See discussions, stats, and author profiles for this publication at: https://www.researchgate.net/publication/242420223 ETUDE DE LA CONVECTION NATURELLE DANS UNE CAVITE VERTICALE CHAUFFEE HORIZONTALEMENT ET CONFINANT UN FLUIDE NONNEWTONIEN DE TYPE OSTWALD-DE WAELE Article CITATIONS READS 0 220 5 authors, including: M. Lamsaadi Mohammed Hasnaoui Université Sultan Moulay Slimane Cadi Ayyad University 28 PUBLICATIONS 282 CITATIONS 211 PUBLICATIONS 2,411 CITATIONS SEE PROFILE SEE PROFILE Ahmed Bahlaoui A. Raji University Sultan Moulay Sliman Faculté des Sciences et Techniques de Beni Mellal 27 PUBLICATIONS 199 CITATIONS 69 PUBLICATIONS 569 CITATIONS SEE PROFILE SEE PROFILE Some of the authors of this publication are also working on these related projects: Mediterranean Agricultural Wastes: Environmentally Sustainable Resource for an Innovative Renewable Energy Technology (ERANETMED2-72-251 MEDWASTE) View project Research Paper View project All content following this page was uploaded by Mohammed Hasnaoui on 22 May 2014. The user has requested enhancement of the downloaded file. 12èmes Journées Internationales de Thermique --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ETUDE DE LA CONVECTION NATURELLE DANS UNE CAVITE VERTICALE CHAUFFEE HORIZONTALEMENT ET CONFINANT UN FLUIDE NON-NEWTONIEN DE TYPE OSTWALD-DE WAELE Mohamed LAMSAADI*, Mohamed NAÏMI*, Mohammed HASNAOUI**, Ahmed BAHLAOUI*, Abdelghani RAJI* * Equipe de Modélisation des Ecoulements et des transferts, Université Cadi Ayyad, Faculté des Sciences et Techniques, UFR de Chimie Appliquée et Sciences de l’Environnement, Béni-Mellal, Maroc. ** Laboratoire de Mécanique des fluides et d’Energétique, Université Cadi Ayyad, Faculté des Sciences Semlalia, Département de Physique, UFR de Thermique et Mécanique des Fluides, B.P. 2390, Marrakech, Maroc. E-mail : [email protected]; [email protected] INTRODUCTION La convection naturelle dans les fluides confinés a fait l’objet de diverses investigations à cause de son importante implication dans différentes situations industrielles (voir Ostrach, 1988). Une revue de la littérature indique que la plupart des contributions scientifiques relatives à ce phénomène ont porté sur le cas de la cavité rectangulaire horizontale, (voir par exemple Amari et al. (1994) et Lamsaadi et al. (2005)), alors que celle disposée verticalement n’a reçu jusqu’à présent que peu d’attention bien qu’elle soit manifeste en pratique. D’autre part, peu de travaux ont concerné la convection naturelle dans les fluides à comportement rhéologique non-Newtonien. Cette situation n’est pas due au manque d’applications pratiques puisque la majorité des fluides utilisés dans les industries agro-alimentaires, chimiques, pétrochimiques et biomédicales sont caractérisés par un comportement rhéologique complexe. Elle s’explique par la difficulté à appréhender physiquement les mouvements convectifs et à les modéliser mathématiquement. La présente étude aborde donc cet aspect tout en considérant le cas d’un fluide non-Newtonien, dont la loi de comportement est de type Ostwald-De Waele, confiné dans une cavité verticale chauffée horizontalement à l’aide d’une densité de flux de chaleur uniforme, les parois verticales étant isolées. Les équations de la convection résultantes sont résolues numériquement dans leur intégralité par le biais d’une approche aux différences finies. Les résultats correspondant sont confrontés à ceux obtenus à partir de l’approximation d’écoulement pour une cavité de grand rapport d’aspect. L’effet des différents paramètres, notamment celui du nombre de Rayleigh et de l’indice de comportement, est analysé. EQUATIONS GOUVERNANT LA CONVECTION Sous les hypothèses de la convection, communément utilisées, les équations adimensionnelles de la vorticité ( Ω ), de l’énergie (T) et de la fonction de courant ( ψ ) s’écrivent respectivement: ⎡ ⎡∂2Ω ∂2Ω ⎤ ∂Ω ∂( u Ω ) ∂( vΩ ) + + = Pr ⎢ µ a ⎢ 2 + ⎥ ∂t ∂x ∂y ∂y 2 ⎦ ⎣⎢ ⎣ ∂x (1) ⎡ ∂µ ∂ Ω ∂ µ a ∂ Ω ⎤ ⎤ + S + 2⎢ a + ⎥ Ω ⎥ ∂ y ∂ y ⎦ ⎥⎦ ⎣ ∂x ∂x Tanger, Maroc du 15 au 17 Novembre 2005 où u = ∂T ∂( uT ) ∂( vT ) ∂ 2 T ∂ 2 T + + = 2 + 2 et ∂t ∂x ∂y ∂x ∂y (2) ∂ 2ψ ∂ 2ψ + = −Ω , ∂x 2 ∂y 2 (3) ∂ψ ∂ψ ∂v ∂u , Ω= , − ,v = − ∂y ∂x ∂x ∂y ⎡ ⎡⎛ ∂ u ⎞ 2 ⎛ ∂ v ⎞ 2 ⎤ ⎡ ∂ u ∂v ⎤ 2 ⎤ µ a = ⎢2 ⎢⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ + ⎢ + ⎥ ⎥ ⎢ ⎢⎣⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂ y ⎠ ⎥⎦ ⎣ ∂ y ∂x ⎦ ⎥ ⎦ ⎣ n −1 2 et ⎡⎡ ∂ 2 µ ∂ 2 µ a ⎡ ∂u ∂ v ⎤ ⎤ ∂ 2 µ a ⎤ ⎡ ∂ v ∂u ⎤ 2 − S Ω = Pr ⎢⎢ 2 a − + ⎢ − ⎥⎥ ⎥ ⎥⎢ ∂ x∂ y ⎣ ∂ x ∂ y ⎦ ⎥⎦ ∂ y2 ⎦ ⎣∂x ∂ y ⎦ ⎢⎣⎣ ∂x ∂T − PrRa ∂y Les conditions aux limites associées au problème sont: u = v = ψ = ∂T ∂x = 0 en x = 0 et A et (4) u = v = ψ = ∂T ∂ y + 1 = 0 en y = 0 et 1 Les paramètres adimensionnels suivants : (k ρ ) L ′2− 2n et A = H ′ L ′ , Pr = α 2− n g β L′2 n +2q′ Ra = (5) (k ρ ) α n λ sont, respectivement, le rapport d’aspect de la cavité, les nombres de Prandtl et de Rayleigh généralisés. Le transfert de chaleur est caractérisé par le nombre de Nusselt définit par: 1 Nu = (6) T ( A / 2 , 0) − T ( A / 2,1) SOLUTION NUMERIQUE Les équations gouvernantes sont résolues en utilisant l’approche aux différences finies centrées dans un maillage régulier. L’intégration des équations (1) et (2) est effectuée à l’aide de la méthode implicite des directions alternées (ADI). L'équation (3), elle, est traitée par la méthode de sur-relaxation successive par point (PSOR) avec un facteur de relaxation optimal calculé par la formule de Franckel (Roache, 1982). Pour une cavité ayant A = 12 la grille uniforme de 241×41 de taille a été trouvée suffisante pour modéliser l’écoulement et le transfert au sein de la cavité considérée. 259 12èmes Journées Internationales de Thermique --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------−m ANALYSE DE L’ECOULEMENT PARALLELE Dans le cas d’une cavité ayant A >> 1 l’écoulement présente un aspect parallèle et une stratification thermique (Kimura et al. (1984), Vasseur et al (1987) et Mamou et al. (1996)), ce qui se traduit par: u ( x , y ) = u ( y ) , v ( x , y ) = 0 , ψ ( x , y ) = ψ ( y ) et (7) T (x , y ) = C ( A / 2 − x ) + θ ( y ) où la constante C n’est autre que le gradient vertical de température. Moyennant une telle approximation, le système d’équations (1)-(4) devient : n −1 ⎡ ⎤ dθ d 2ψ ⎥ d 2 ⎢ d 2ψ (8) + Ra =0 2 ⎢ 2 2 ⎥ dy dy dy dy ⎣ ⎦ dψ d 2 θ C = (9) d y dy 2 ψ = dψ dy = dθ dy + 1 = 0 en y = 0 et 1 (10) C est déterminée par l’intégration de l’équation (2), sur le volume de contrôle, choisi arbitrairement dans la figure 1, en prenant en compte les conditions aux limites (4) et en raccordant avec la région de l’écoulement parallèle. Soit 1 1 C = u ( y ) θ ( y )dy = ∫ ∫ ψ ( y ) dy 0 1 1 + ψ 2 ( y ) dy ∫ 0 (11) 0 La fonction de courant, ψ , la température, T, et la constante, C, sont obtenues à partir des équations (8)-(11) en combinant la méthode itérative de Jacobi et la méthode d’intégration de Simpson. ANALYSE D’ECHELLE Dans cette section, une analyse d’échelle est développée pour prédire l’intensité de transfert de chaleur en fonction de Ra et n. Ainsi, au voisinage immédiat des parois verticales, où la majorité du mouvement du fluide a lieu dans une couche limite mince d’épaisseur δy ′ << L ′ , en considérant les équations (1) et (2), on peut écrire respectivement : n(δu )n δT ~ Ra (12) n+ 2 δy (δy ) et DT δT ~ (13) H (δy )2 où DT est la différence de température, entre les parois supérieures et inférieures, dont l’échelle peut être déterminée à partir de la conservation d'énergie dans le volume de contrôle (Fig. 1). Soit DT ~ δuδT δy (14) H D’autre part, la condition (10) requière δT ~1 (15) δy Par conséquent, des équations précédentes découlent les échelles suivantes : δu Tanger, Maroc du 15 au 17 Novembre 2005 −m 3m 2 ⎛ Ra ⎞ ⎛ Ra ⎞ ⎛ Ra ⎞ (16) et δT ~ ⎜ ⎟ ⎟ , δu ~ ⎜ ⎟ n n ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ n ⎠ Ce qui donne, comme échelle, pour le nombre de Nusselt δy ~ ⎜ m ⎛ Ra ⎞ (17) Nu ~ ⎜ ⎟ ⎝ n ⎠ où m = 2 / (5n + 4 ) . Ainsi, en adoptant la même procédure que Bian et al. (1994) et en tenant compte des résultats de l’analyse de l’écoulement parallèle, Nu peut être écrit en régime de couche limite comme suit ( ) ⎛ Ra ⎞ Nu = − 0.08 n 2 + 0.264 n + 0.155 ⎜ ⎟ ⎝ n ⎠ m (18) RESULTATS ET DISCUTIONS Le problème de convection naturelle au sein de la cavité considérée est gouverné par le rapport d’aspect, A , l’indice de comportement, n, le nombre de Prandtl, Pr, et le nombre de Rayleigh, Ra . Pour inclure les comportements pseudo-plastique ( 0 < n < 1 ), Newtonien ( n = 1 ) et dilatant ( n > 1 ), on a affecté à n les valeurs 0.6, 1.0 et 1.4. Pour les fluides non-Newtoniens, les valeurs rencontrées pour Pr sont très élevées ce qui rend négligeable la contribution des termes convectifs dans le membre de gauche de l’équation (1). Par conséquent, la convection thermique devient insensible aux variations de ce paramètre pour les grandes valeurs de celui-ci. Aussi, les simulations numériques ont montré qu’à partir de A = 12 , l’influence du confinement latéral ne se fait plus sentir et l’écoulement garde un aspect parallèle et une stratification thermique dans la région centrale de la cavité, ce qui justifie, donc, le choix de cette valeur de A. Il en résulte que les paramètres de contrôle de l’étude sont n et Ra. Des configurations des champs d’écoulement et de température, obtenues numériquement pour Ra = 10 4 et différentes valeur de n , sont présentées dans la figure 2. Comme on peut le voir, pour tous les cas étudiés, l’écoulement présente un aspect parallèle et une stratification thermique dans la région centrale de la cavité. D’autre part, une couche limite d'épaisseur constante se développe à proximité des parois verticales alors que le fluide est pratiquement immobile (stagnant) ailleurs. Ceci se traduit par des lignes de courant serrées, au voisinage des bords rigides verticaux, et des isothermes aplaties, dans le cœur de la cavité. Cette tendance, qu’on peut avoir aussi en augmentant Ra à n fixe (résultats non présentés ici), est d’autant manifeste que n est petit. La figure 3 dans laquelle sont reportées les valeurs de l’intensité de courant, ψc , en fonction de Ra, pour différentes valeurs de n, montre clairement l’excellent accord entre la solution numérique (symboles) et celle basée sur l’analyse de l’écoulement parallèle (traits continus), ce qui témoigne de la validité de l’approximation de l’écoulement parallèle. Dans la figure 4, les résultats sont comparés, en termes de nombre de Nusselt, à ceux issus de l’analyse d’échelle (traits discontinus). Un excellent accord est observé pour 260 12èmes Journées Internationales de Thermique --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ra n > 5× 10 3 . Dans une telle situation, les variations de Vasseur, P., Satish, M. G. et Robillard, L. “Natural Convection in a Thin, Inclined, Porous Layer Cavity Nu avec Ra n , représentées en échelle logarithmique, Heated by a Constant Heat Flux ”, Int. J. Heat Mass montrent une parfaite linéarité pour toutes les valeurs de n Transfer 30, 537 (1987). considérées, confirmant ainsi l’existence d’un régime de couche limite pour les grandes valeurs de Ra ou les petites valeurs de n . Pour ce qui est de l’influence de n, comme le montrent ces deux figures, une augmentation de ce paramètre conduit à une réduction de la convection thermique alors que sa diminution produit l’effet contraire. Ceci indique que le comportement pseudo plastique ( 0 < n < 1 ) a L′ tendance à favoriser la convection thermique alors que celui dilatant ( n > 1 ) agit dans le sens de la défavoriser. CONCLUSION Dans la présente étude, le phénomène de la convection naturelle dans une cavité rectangulaire verticale élancée ( A = 12 ), chauffée horizontalement et remplie d’un fluide non-Newtonien, a été entreprise par voie numérique et à l’aide de l’approximation de l’écoulement parallèle. Les résultats obtenus montrent un accord parfait entre ces deux approches d’une part, et avec celle de l’analyse d’échelle, pour Ra n > 5× 10 3 , d’autre part. Enfin, l’effet de la rhéologie est tel que la convection thermique est favorisée par le caractère pseudo-plastique ( 0 < n < 1 ) et défavorisé par celui dilatant ( n > 1 ). q′ q′ H′ Volume de contrôle x ′, u ′ y ′, v ′ Fig. 1 : Modèle physique et système de coordonnées REFERENCES Amari B., Vasseur P.et Bilgen E., « Natural convection of non-Newtonian fluids in a horizontal porous layer », Warme-und Stoffubertragung, Vol. 29, pp. 185-193, (1994). Bian W., Vasseur P. et Bilgen E., « Natural convection of non-Newtonian fluids in an inclined porous layer », Chem. Eng. Comm, Vol. 129, pp. 79-97 (1994). Kimura, S. et Bejan, « The Boundary Layer Natural Convection Regime in a Rectangular Cavity with Uniform Heat Flux from the Side », J. Heat Transfer 106, 98 (1984). Lamsaadi M., Naïmi M. et Hasnaoui M., « Natural convection of non-Newtonian power law fluids in a shallow horizontal rectangular cavity uniformly heated from below », Heat and Mass Transfer, Vol. 41, pp. 239249 (2005). Mamou. M, Vasseur P. et Bilgen E., « Analytical and numerical study of double-diffusive convection in a vertical enclosure », Heat and Mass Transfer, Vol. 32, pp. 115-125 (1996). Ostrach. S, « Natural convection in enclosures », J. Heat Transfer, Vol. 110, pp.1175-1190 (1988). Roache, P. J., « Computational fluid dynamics », Hermosa Publishers, Albuquerque, New Mexico, (1982). Tanger, Maroc du 15 au 17 Novembre 2005 n = 0.6 n = 1.0 n = 1.4 Fig. 2 : Lignes de courant (à gauche) et isothermes (à droite) pour A = 12 , Ra = 10 4 et différentes valeurs de n. 261 12èmes Journées Internationales de Thermique --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6 Solution numérique n = 0.6 n = 0.8 n = 1.0 n = 1.2 n = 1.4 5 4 ψc 3 Solution d'écoulement parallèle 2 1 0 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 Ra Fig. 3 : Evolution de la fonction de courant ψc au centre de la cavité avec Ra pour différentes valeurs de n. 20 Solution numérique n = 0.6 n = 0.8 n = 1.0 n = 1.2 n = 1.4 10 8 6 Nu Solution d'écoulement parallèle Relation corrélée Eq.(17) 4 2 1 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 Ra/n Fig. 4 : Evolution du Nu au centre de la cavité avec Ra pour différentes valeurs de n. Tanger, Maroc du 15 au 17 Novembre 2005 View publication stats 262
