Sujet de mathématiques corrigé

B REVET B LANC
É PREUVE DE M ATHÉMATIQUES
Vendredi 7 mai 2010
Collège La Charme
Durée : 2 heures
Vous n’êtes pas autorisés à sortir avant la fin de l’épreuve.
L’emploi des calculatrices est autorisé.
En plus des points pour chacune des trois parties de l’épreuve, la présentation, la rédaction et l’orthographe seront évaluées sur 4 points.
A CTIVITÉS NUMÉRIQUES - 12
POINTS
Dans toute cette partie, les résultats des calculs demandés doivent être accompagnés soit des étapes de calcul, soit d’explications.
Toutes traces de recherche doit apparaître sur votre copie.
E XERCICE 1
Les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes. On fera apparaître les étapes des calculs.
3
+3
1) On donne A = 4
1
+2
2
Calculer et donner le résultat sous forme d’une fraction irréductible.
2) On donne B =
1, 5 × 103
3 × 104
a) Donner l’écriture décimale de B.
b) Exprimer B en écriture scientifique.
3) On donne C =
4) Soit D =
√
√
√
180 − 2 80. Écrire C sous la forme a 5, où a est un entier relatif et b un nombre entier le plus petit possible.
√
5 12
√ . Montrer que D est un nombre entier, en faisant apparaître les étapes du calcul.
2 3
E XERCICE 2
On donne l’expression :
M = (3x + 5)2 + (3x + 5)(2x + 7)
1) Développer et réduire M.
2) Factoriser M.
3) Calculer M pour x = 2, puis pour x = 0.
4) Résoudre l’équation (3x + 5)(5x + 12) = 0
E XERCICE 3
• Choisir un nombre.
• Le multiplier par 6.
• Ajouter 9.
• Ajouter le carré du nombre choisi.
• Écrire le résultat.
1. Écrire les calculs permettant de vérifier que si l’on fait fonctionner ce programme avec le nombre −2, on obtient 1.
2. Donner le résultat fourni par le programme lorsque le nombre choisi est 5.
3.a Faire deux autres essais en choisissant à chaque fois un nombre entier et écrire le résultat obtenu sous la forme du carré d’un nombre
entier ( les essais doivent figurer sur la copie ).
3.b En est-il toujours ainsi lorsqu’on choisit un nombre entier au départ de ce programme de calcul ?
Justifier la réponse.
4. On souhaite obtenir 4 comme résultat. Quels nombres peut-on choisir au départ ?
A CTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES - 12
POINTS
E XERCICE 1
×
×
E
×
M
A
×
C
×
B
×P
×F
L’unité est le centimètre. La figure ci-dessus n’est pas à l’échelle. On ne demande pas de refaire la figure.
Les points E, M, A et B sont alignés dans cet ordre, les points F, P, A et C sont alignés dans cet ordre.
Les droites ( EF ) et ( MP) sont parallèles.
AM = 6
EF = 6
MP = 4, 8
AC = 4, 5
AP = 3, 6
AB = 7, 5
1) Démontrer que le triangle AMP est un triangle rectangle.
2) Calculer AE et en déduire la longueur ME ( on justifiera les calculs ).
3) Démontrer que les droites ( MP) et ( BC ) sont parallèles.
[ et \
4) Démontrer que les angles CBA
AMP sont égaux.
E XERCICE 2
1) Construire un cercle de centre O et de rayon 3 cm.
Placer sur ce cercle trois points A, B et C de telle façon que :
[ = 65˚
BC = 4 cm et BCA
Construire le point F diamétralement opposé au point B sur ce cercle.
2) Démontrer que le triangle BFC est un triangle rectangle.
d et en déduire la mesure de cet angle à un degré près.
3) Calculer le sinus de l’angle BFC
4) Déterminer, au degré près, les mesures des angles du triangle BOC.
T OURNEZ LA PAGE P ROBLÈME - 12
POINTS
Onagre est un opérateur de téléphonie mobile qui propose les abonnements suivants :
Abonnement A : abonnement 19 e , puis 0, 30 e la minute de communication ;
Abonnement B : abonnement 29 e , puis 0, 20 e la minute de communication.
1. Recopier puis compléter le tableau suivant :
Durée ( en minutes )
30
45
60
90
Abonnement A en euro
Abonnement B en euro
2. Soit x le nombre de minutes et y le prix de la communication à payer en fonction du temps.
On note y A le prix pour l’abonnement A et y B le prix de l’abonnement B.
Exprimer y A et y B en fonction de x.
3. Déterminer le nombre de minutes correspondant à un montant de 151 e pour l’abonnement A.
4. (Sur papier millimétré)
Dans un repère orthonormé, représenter graphiquement les fonctions affines définies par :
f ( x ) = 0, 3x + 19 et g( x ) = 0, 2x + 29
On choisira pour unités :
- en abscisse, 1 cm pour 10 minutes ;
- en ordonnée, 1 cm pour 5 euros.
5.a Résoudre l’équation 19 + 0, 3x = 29 + 0, 2x
En déduire le nombre de minutes pour lequel les deux tarifs sont égaux.
5.b Quel est le tarif le plus avantageux si l’on consomme moins d’une heure de communication par mois ?
6.a Déterminer graphiquement le nombre de minutes de communication dont on disposera pour un montant de 70 e , si on choisit
l’abonnement A.
6.b Retrouver ce résultat par le calcul.
no CANDIDAT
Nom :
Épreuve de :
no CANDIDAT
Épreuve de :
Prénom :
Classe :
Correction du brevet blanc du 7 mai 2010
1. Si le nombre de départ est −2, on obtient successivement :
−2 × 6 = −12 ; −12 + 9 = −3 ; −3 + (−2)2 = −3 + 4 donc 1
A CTIVITÉS NUMÉRIQUES - 12 POINTS
2. Si le nombre de départ est 5, on obtient successivement :
5 × 6 = 30 ; 30 + 9 = 39 ; 39 + 52 = 39 + 25 donc 64
E XERCICE 1
15
3 12
3
+3
+
15 2
3
4
4
4
;A= 4 ;A=
;A=
1. A =
× ; A=
5
1
1 4
4
5
2
+2
+
2
2
2 2
2 × 6 = 12 ; 12 + 9 = 21 ; 21 + 22 = 21 + 4 donc 25 = 52
Si le nombre de départ est 9, on obtient successivement :
3.b Notons x le nombre de départ, on obtient successivement :
2.b B = 5 × 10−2
√
3.a Si le nombre de départ est 2, on obtient successivement :
9 × 6 = 54 ; 54 + 9 = 63 ; 63 + 92 = 63 + 81 donc 144 = 122
1500
1, 5 × 103
;B=
2.a B =
; B = 0, 05
30000
3 × 104
3. C =
E XERCICE 3
√
√
√
√
√
√
180 − 2 80 ; C = 36 × 5 − 2 16 × 5 ; C = 6 5 − 2 × 4 5 ; C = −2 5
√
√
√
5 12
5 4×3
5×2 3
√
√
4. D = √ ; D =
;D=
; D=5
2 3
2 3
2 3
6x ; 6x + 9 ; 6x + 9 + x2
On reconnait ici l’identité remarquable ( x + 3)2 = x2 + 6x + 9
Pour tous les nombres entiers de départ on obtient un carré !
4. Il faut résoudre ( x + 3)2 = 4
√
√
L’équation X 2 = A possède deux solutions A et − A
Or 4 = 22
Il y a donc deux solutions :
x+3 = 2
x = 2−3
x = −1
E XERCICE 2
1. M = (3x + 5)2 + (3x + 5)(2x + 7)
M = (9x2 + 30x + 25) + (6x2 + 21x + 10x + 35)
ou
ou
ou
x + 3 = −2
x = −2 − 3
x = −5
M = 15x2 + 61x + 60
A CTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES - 12 POINTS
2. M = (3x + 5)2 + (3x + 5)(2x + 7)
M = (3x + 5) [(3x + 5) + (2x + 7)]
E XERCICE 1
M = (3x + 5)(5x + 12)
3. Pour x = 2, M = 15 × 22 + 61 × 2 + 60 ; M = 15 × 4 + 122 + 60 ; M = 242
Pour x = 0, M = 60
4. Résoudre (3x + 5)(5x + 12) = 0
Si un produit de facteurs est nul alors l’un des facteurs est nul
3x + 5 = 0
3x = −5
5
x=−
3
ou
ou
ou
5x + 12 = 0
5x = −12
x=−
12
c’est à dire x = −2, 4
5
1) Comparons PM2 + PA2 et MA2
PM2 + PA2 = 4, 82 + 3, 62 = 23, 04 + 12, 96 = 36 et MA2 = 62 = 36
Comme PM2 + PA2 = MA2 d’après la réciproque de la propriété de Pythagore
le triangle AMP est rectangle en P
2) Dans le triangle AEF les droites ( MP) et ( EF ) sont parallèles.
D’après la propriété de Thalès on a :
AP
MP
6
4, 8
AM
=
=
d’où
=
AE
AF
EF
AE
6
6×6
Donc AE =
= 7, 5 cm et comme M ∈ [ AE], ME = AE − AM, d’où ME = 1, 5 cm
4, 8
3) Comparons
AM
AP
et
AB
AC
AM
6
AP
3, 6
AM
AP
=
= 0, 8 et
=
= 0, 8. Ainsi
=
AB
7, 5
AC
4, 5
AB
AC
Les points A, M et B sont alignés et dans le même ordre que les points alignés A, P et C.
D’après la réciproque de la propriété de Thales les droites ( MP) et ( BC ) sont parallèles
P ROBLÈME - 12 POINTS
1. Recopier puis compléter le tableau suivant :
Durée ( en minutes )
Abonnement A en euro
Abonnement B en euro
[ et \
4) Les droites ( MP) et ( BC ) étant parallèles, les angles alternes-internes CBA
AMP sont égaux .
E XERCICE 2
1)
B
30
28
35
45
32,5
38
60
37
41
90
46
47
2. y A = 0, 3x + 19 et y B = 0, 2x + 26
3.
+
0, 3x + 19 = 151
C
0, 3x = 151 − 19
+
0, 3x = 132
x=
O
+
132
0, 3
x = 440
Avec l’abonnement A, une dépense de 151 e correspond à 440 min de communication.
5.a
F +
19 + 0, 3x = 29 + 0, 2x
+ A
2) Le triangle BFC est inscrit dans un cercle de diamètre [ BF ],
Or on sait que si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre un de ses côtés alors ce triangle est
rectangle
le triangle BFC est donc rectangle en C
d =
3) Dans le triangle BFC rectangle en C, on a sin BFC
4
BC
=
BF
6
d ≈ 42˚à 1˚près
Ainsi BFC
d
[ est un angle au centre qui intercepte le même arc que l’angle inscrit BFC.
4) L’angle BOC
Or on sait que si un angle inscrit et un angle au centre interceptent le même arc alors la mesure de l’angle
au centre est le double de la mesure de l’angle inscrit
d d’où BOC
[ = 2 BFC
[ ≈ 84 ˚
Ainsi BOC
d sont complémentaires dans le triangle rectangle BFC, donc
[
L’angle CBO et l’angle BFC
[ ≈ 48 ˚
CBO
[ ≈ 48 ˚
La somme des angles dans le triangle CBO donne BCO
0, 3x − 0, 2x = 29 − 19
0, 1x = 10
x = 100
Les deux tarifs sont égaux pour 100 min
5.b Le tarif A
6.a Graphiquement, avec l’abonnement A, une dépense de 70 e correspond à 170 min de communication.
6.b
70 = 19 + 0, 3x
70 − 19 = 0, 3x
51 = 0, 3x
x=
51
0, 3
x = 170
4. (Sur papier millimétré)
70
49
29
19
5
10
100
170