Sujet de mathématiques corrigé

BREVET BLANC
ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Vendredi 7 mai 2010
Collège La Charme
Durée : 2 heures
Vous n’êtes pas autorisés à sortir avant la fin de l’épreuve.
L’emploi des calculatrices est autorisé.
En plus des points pour chacune des trois parties de l’épreuve, la présentation, la rédaction et l’orthographe seront évaluées sur 4 points.

ACTIVITÉS NUMÉRIQUES - 12 POINTS
Dans toute cette partie, les résultats des calculs demandés doivent être accompagnés soit des étapes de calcul, soit d’explications.
Toutes traces de recherche doit apparaître sur votre copie.
EXERCICE 1
Les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes. On fera apparaître les étapes des calculs.
1) On donne A=
3
4+3
1
2+2
Calculer et donner le résultat sous forme d’une fraction irréductible.
2) On donne B=1, 5 ×103
3×104
a) Donner l’écriture décimale de B.
b) Exprimer Ben écriture scientifique.
3) On donne C=√180 −2√80. Écrire Csous la forme a√5, où aest un entier relatif et bun nombre entier le plus petit possible.
4) Soit D=5√12
2√3. Montrer que Dest un nombre entier, en faisant apparaître les étapes du calcul.
EXERCICE 2
On donne l’expression :
M= (3x+5)2+ (3x+5)(2x+7)
1) Développer et réduire M.
2) Factoriser M.
3) Calculer Mpour x=2, puis pour x=0.
4) Résoudre l’équation (3x+5)(5x+12) = 0
EXERCICE 3
•Choisir un nombre.
•Le multiplier par 6.
•Ajouter 9.
•Ajouter le carré du nombre choisi.
•Écrire le résultat.
1. Écrire les calculs permettant de vérifier que si l’on fait fonctionner ce programme avec le nombre −2, on obtient 1.
2. Donner le résultat fourni par le programme lorsque le nombre choisi est 5.
3.a Faire deux autres essais en choisissant à chaque fois un nombre entier et écrire le résultat obtenu sous la forme du carré d’un nombre
entier ( les essais doivent figurer sur la copie ).
3.b En est-il toujours ainsi lorsqu’on choisit un nombre entier au départ de ce programme de calcul?
Justifier la réponse.
4. On souhaite obtenir 4 comme résultat. Quels nombres peut-on choisir au départ ?

ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES - 12 POINTS
EXERCICE 1
×E×B ×M×
A
×C
×P
×F
L’unité est le centimètre. La figure ci-dessus n’est pas à l’échelle. On ne demande pas de refaire la figure.
Les points E,M,Aet Bsont alignés dans cet ordre, les points F,P,Aet Csont alignés dans cet ordre.
Les droites (EF)et (MP)sont parallèles.
AM =6MP =4, 8 AP =3, 6
EF =6AC =4, 5 AB =7, 5
1) Démontrer que le triangle AMP est un triangle rectangle.
2) Calculer AE et en déduire la longueur ME ( on justifiera les calculs ).
3) Démontrer que les droites (MP)et (BC)sont parallèles.
4) Démontrer que les angles [ CBA et \ AMP sont égaux.
EXERCICE 2
1) Construire un cercle de centre Oet de rayon 3 cm.
Placer sur ce cercle trois points A,Bet Cde telle façon que :
BC =4cm et [ BCA =65˚
Construire le point Fdiamétralement opposé au point Bsur ce cercle.
2) Démontrer que le triangle BFC est un triangle rectangle.
3) Calculer le sinus de l’angle d BFC et en déduire la mesure de cet angle à un degré près.
4) Déterminer, au degré près, les mesures des angles du triangle BOC.
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PROBLÈME - 12 POINTS
Onagre est un opérateur de téléphonie mobile qui propose les abonnements suivants :
Abonnement A : abonnement 19 e, puis 0, 30 ela minute de communication ;
Abonnement B : abonnement 29 e, puis 0, 20 ela minute de communication.
1. Recopier puis compléter le tableau suivant :
Durée ( en minutes ) 30 45 60 90
Abonnement Aen euro
Abonnement Ben euro
2. Soit xle nombre de minutes et yle prix de la communication à payer en fonction du temps.
On note yAle prix pour l’abonnement Aet yBle prix de l’abonnement B.
Exprimer yAet yBen fonction de x.
3. Déterminer le nombre de minutes correspondant à un montant de 151 epour l’abonnement A.
4. (Sur papier millimétré)
Dans un repère orthonormé, représenter graphiquement les fonctions affines définies par :
f(x) = 0, 3x+19 et g(x) = 0, 2x+29
On choisira pour unités :
- en abscisse, 1 cm pour 10 minutes ;
- en ordonnée, 1 cm pour 5 euros.
5.a Résoudre l’équation 19 +0, 3x=29 +0, 2x
En déduire le nombre de minutes pour lequel les deux tarifs sont égaux.
5.b Quel est le tarif le plus avantageux si l’on consomme moins d’une heure de communication par mois ?
6.a Déterminer graphiquement le nombre de minutes de communication dont on disposera pour un montant de 70 e, si on choisit
l’abonnement A.
6.b Retrouver ce résultat par le calcul.

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