Contents

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1 Cat´egories, topologie g´en´erale, homotopie, exemples 3
1.1 Cat´egories, foncteurs et transformations naturelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Cat´egoriesab´eliennes.............................................. 6
1.3 Limitesetcolimites............................................... 6
1.4 Topologieg´en´erale............................................... 7
1.4.1 Topologiequotient ........................................... 7
1.4.2 Groupes topologiques et actions de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.3 Topologie engendr´ee par les compacts et topologie colimite directe . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Quelquesespacesprivil´egi´es.......................................... 10
1.6 Connexit´epararcs ............................................... 11
1.7 Topologie sur les espaces fonctionnels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.8 3.Homotopie.................................................. 14
1.9 Cofibrations. .................................................. 15
1.10Fibrations.................................................... 18
1.11 Calcul de πn(Sn)................................................. 18
2 Ensembles simpliciaux, le nerf d’une cat´egorie 21
2.1 Ensembles simpliciaux, le nerf d’une cat´egorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.1 R´ealisationg´eom´etrique......................................... 24
2.1.2 Le complexe singulier d’un espace topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 Fibr´es vectoriels et K-th´eorie 25
3.1 Quasi fibr´es vectoriels et fibr´es vectoriels, sections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.1 D´efinitions ............................................... 25
3.2 Construction sur les fibr´es vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2.1 Assemblage ............................................... 28
3.2.2 Constructions fonctorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3 Exemples g´eom´etriques de fibr´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3.1 Le fibr´e canonique sur les espaces projectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3.2 Vari´et´es de Stiefel et de Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4 M´etriques sur les fibr´es, fibr´es en disque, espace de Thom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.5 Complexification et structures complexes sur un fibr´e vectoriel r´eel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.6 Classification homotopique des fibr´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.7 Equivalence stable des fibr´es, K-th´eorie ................................... 39
3.8 D´emonstration de la p´eriodicit´e de Bott . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.9 L’isomorphisme de Thom en K-th´eorie, K∗
C(CPn) ............................. 40
3.10 Le groupe K−1(X) .............................................. 40
3.11ConstructiondeMilnor ............................................ 40
4 Vari´et´es diff´erentiables et cobordisme 43
4.1 Vari´et´esdiff´erentiables ............................................ 43
4.2 Le fibr´e tangent `a une vari´et´e et le fibr´e normal `a un plongement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.3 Structure complexe sur le fibr´e normal stable `a une vari´et´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.4 Th´eor`emesdetransversalit´e.......................................... 48
4.5 Les anneaux de (co)-bordisme et le th´eor`eme de Thom-Pontryaguin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1

2CONTENTS
4.6 L’anneau de cobordisme d’une vari´et´e lisse, et les groupes de bordisme d’un espace . . . . . . . . . . . 51
4.6.1 D´efinitions et d´ependance fonctorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.6.2 La suite exacte longue et l’invariance par homotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.6.3 L’homomorphisme de Gysin et le th´eor`eme d’isomorphisme de Thom . . . . . . . . . . . . . . . 54

Chapter 1
Cat´egories, topologie g´en´erale,
homotopie, exemples
Ce chapitre introduit ou rappelle les notions de topologie g´en´erale n´ecessaires dans la suite. Une seconde partie d´efinira
la notion d’homotopie. Puis dans une troisi`eme et donnera les d´efinitions de fibrations et cofibrations.
Enfin la d´efinition d’un ensemble simplicial et de sa r´ealisation sera donn´ee.
L’ensemble des entiers naturels est not´e N, l’anneau des entiers relatifs Z. Le corps des nombres rationnels est not´e
Q, celui des r´eels R, celui des complexes C, enfin celui de quaternions H.
L’anneau des classes de congruences modulo nsera lui not´e Z/nZ.
1.1 Cat´egories, foncteurs et transformations naturelles
Un cat´egorie Cest la donn´ee d’une classe d’objets, et pour tout couple d’objets X, Y ∈ C d’un ensemble de morphismes
MorC(X, Y ). Par abus de notation on ´ecrira pour un objet de la cat´egorie X∈ C.
Les conditions suivantes sont requises :
•Etant donn´e X, Y, Z ∈ C, il existe une application dite de composition :
(g, f)7→ g◦f
MorC(Y, Z)×MorC(X, Y )→MorC(X, Z)
avec g∈MorC(Y, Z), f∈MorC(X, Y ).
•La loi de composition est associative : si h∈MorC(Z, T ), g∈MorC(Y, Z), f∈MorC(X, Y ) on a
(h◦g)◦f=h◦(g◦f)
•Pour tout objet Xil existe un ´el´ement IdX∈MorC(X, X) qui agit, selon le cas, comme ´el´ement neutre `a gauche
ou `a droite :
f◦IdX=f
et
IdY◦f=f
pour tout f∈MorC(X, Y ).
Les exemples de base avec lesquels nous aurons `a travailler sont :
•La cat´egorie Ens des ensembles, les morphismes sont les applications.
•La cat´egorie Top des espaces topologiques, les morphismes sont les applications continues.
•La cat´egorie Top∗des espaces topologiques point´es (X, x0) : un espace topologique Xdonn´e avec un point
x0∈X. Les morphismes sont les applications continues point´ees : celles qui envoie point base sur point base.
3

4CHAPTER 1. CAT ´ EGORIES, TOPOLOGIE G ´ EN ´ ERALE, HOMOTOPIE, EXEMPLES
•La cat´egorie Gpdes groupes, les morphismes sont les homomorphismes de groupes.
•La cat´egorie Abdes groupes ab´eliens, les morphismes sont les homomorphismes de groupes.
•Soit kun corps, la cat´egorie Vkdes espaces vectoriels sur k, les morphismes sont les applications lin´eaires.
•La cat´egorie Vf
kdes espaces vectoriels sur kde dimension finie, les morphismes sont les applications lin´eaires.
•Soit Aun anneau, la cat´egorie ModAdes A-modules `a gauche, les morphismes sont ceux de A-modules. On
introduira si n´ecessaire la cat´egorie Modd
Ades A-modules `a droite.
•Soit Eun ensemble ordonn´e, on l’interpr`ete comme une cat´egorie de la mani`ere suivante. Les objets sont les
´el´ements de Eet il y a un morphisme, et un seul, entre deux ´el´ements eet e0si et seulement si e≤e0. Cette
cat´egorie sera not´ee ˜ E.
Voici une construction g´en´erale qui `a partir d’une cat´egorie en fournit une autre :
D´efinition 1.1.1 Etant donn´ee une cat´egorie Cla cat´egorie oppos´ee Cop a les mˆemes objets que Cmais
•
morCop (X, Y ) = morC(Y, X)
•La composition, not´ee alors ∗, y est alors d´efinie par :
g∗f=f◦g∈MorCop (X, Z)
o`u ◦note la composition dans C, et g∈MorCop (Y, Z) = MorC(Z, Y ),f∈MorCop (X, Y ) = MorC(Y, X).
Entre deux cat´egories on introduit la notion de foncteurs.
D´efinition 1.1.2 Un foncteur Fd’une cat´egorie Avers une cat´egorie Bassocie `a chaque objet X∈ A un objet F(A)
de B, et `a chaque morphisme µ∈MorC(X, Y )un morphisme F(µ)∈MorC(F(X),F(Y)).
Les propri´et´es suivantes ´etant satisfaites :
• F(g)◦ F(f) = F(g◦f)pour g∈MorA(Y, Z),f∈MorA(X, Y )
• F(IdX) = IdF(X)
Un cas particulier est celui du foncteur oubli Od’une cat´egorie Avers une cat´egorie Bqui correspond `a un ”oubli de
structure”.
Un premier exemple de foncteur oubli est celui de la cat´egorie des espaces topologiques vers celle des ensembles.
Il associe `a un espace topologique l’ensemble sous-ja¸cent. Pour les morphismes l’oubli correspond `a l’inclusion des
applications continues dans l’ensemble des applications.
Un second exemple de foncteur oubli est celui de la cat´egorie des groupes vers celle des ensembles. Il associe `a un groupe
l’ensemble sous-ja¸cent. Pour les morphismes l’oubli correspond `a l’inclusion des des morphismes dans l’ensemble des
applications.
On utilisera aussi les transformations naturelles entre foncteurs.
D´efinition 1.1.3 On appelle transformation naturelle Φdu foncteur F:A → B vers le foncteur G:A→Bla
donn´ee pour tout objet X∈ A d’un morphisme ΦX:F(X)→ G(X)tel que pour tout f∈MorA(X, Y )on ait
ΦY◦ F(f) = G(f)◦ΦX
On dit que F:A→Best une ´equivalence naturelle de foncteurs si ΦXest un isomorphisme pour tout X∈ C.
La premi`ere condition ´equivaut `a dire que le diagramme suivant est commutatif :
F(X)
F(f)
ΦX//G(X)
G(f)
F(Y)ΦY//G(Y)

1.1. CAT ´ EGORIES, FONCTEURS ET TRANSFORMATIONS NATURELLES 5
Voici deux exemples de transformations naturelles :
Le d´eterminant peut ˆetre interpr´et´e comme une transformation naturelle. Soit Aun anneau commutatif unitaire A,
et soit GLnle foncteur qui `a Aassocie le groupe GLn(A) des matrices inversibles `a coefficients dans A. Le foncteur
GL1associe `a Ale groupe des ´el´ements inversibles de A. Le d´eterminant
detn,A :GLn(A)→A∗
est une transformation naturelle. : GL1(A)∼
=A∗. Il s’agit de foncteurs de la cat´egorie des anneaux (commutatifs,
unitaires) vers celle des groupes. L’homomorphisme d´eterminant est une transformation naturelle.
Le foncteur ab´elianisation a:Gp→ Abqui `a un groupe Gassocie son quotient ab´elien par le groupe d´eriv´e : G/D(G).
Le morphisme canonique
G→G/D(G)
s’interpr`ete aussi comme une transformation naturelle du foncteur identit´e de Gpvers Ab.
Une transformation naturelle est une ´equivalence naturelle si les morphismes ΦXsont des isomorphes pour tout objet
X. L’ensemble des transformations naturelles de Fvers Gsera not´e Nat(F;G).
Lemma 1.1.4 (Yoneda) Soient Cune cat´egorie, Fun foncteur de Cdans Ens,Aun objet de C. Il y a une ´equivalence
naturelle γentre les foncteurs
A7→ F(A)
et
A7→ N at(HomC(A, −); F)
enfin le foncteur M7→ HomC(A, M)de Cdans Ens. Il y a ´equivalence naturelle
γA:Nat(HomC(A, −); F)∼
=F(A)
donc
•les morphismes γAv´erifient les conditions prescrites (commutation du diagramme),
•γAest une bijection pour tout A.
Etant donn´ee une transformation naturelle φ∈ N at(HomC(A, −); F) on lui associe l’´el´ement φA(IdA). Inversement
un ´el´ement x∈F(A) d´efinit une transformation naturelle τpar la formule
τM(x)(α) = F(α)(x)
avec α∈HomC(A, M).
On termine cette section par une description des foncteurs adjoints.
D´efinition 1.1.5 Le foncteur F:A → B est adjoint `a gauche du foncteur G:B → A si on a, pour tout couple
d’objets X∈ A et Y∈ B, une bijection naturelle en Xet Y:
adX,Y : MorB(F(X), Y )∼
=MorA(X, G(Y))
Le foncteur Gest adjoint `a droite de F. La naturalit´e signifie que l’isomorphisme commute aux fl`eches induites par
les morphismes dans les cat´egories Aet B,f:X→X0,g:Y→Y0:
MorB(F(X0), Y )adX0,Y //
−◦F(f)
MorA(X0,G(Y))
G(g)◦−
MorB(F(X), Y )adX,Y 0//MorA(X, G(Y0))
En particulier ceci montre que l’application d’adjonction est d´etermin´ee par la connaissance de l’image de l’identit´e
IdF(X)de F(X). Soit en effet f:F(X)→Y, on a par naturalit´e
adX,Y (f) = G(f)◦adX,F(X)(IdF(X))