Contents

Contents
1 Catégories, topologie générale, homotopie, exemples
1.1 Catégories, foncteurs et transformations naturelles . . . . . . . . . . . . .
1.2 Catégories abéliennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Limites et colimites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Topologie générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Topologie quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Groupes topologiques et actions de groupes . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Topologie engendrée par les compacts et topologie colimite directe
1.5 Quelques espaces privilégiés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Connexité par arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Topologie sur les espaces fonctionnels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 3. Homotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9 Cofibrations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10 Fibrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11 Calcul de πn (S n ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Ensembles simpliciaux, le nerf d’une catégorie
2.1 Ensembles simpliciaux, le nerf d’une catégorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Réalisation géométrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Le complexe singulier d’un espace topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3 Fibrés vectoriels et K-théorie
3.1 Quasi fibrés vectoriels et fibrés vectoriels, sections . . . . . . . . . .
3.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Construction sur les fibrés vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Assemblage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Constructions fonctorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Exemples géométriques de fibrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Le fibré canonique sur les espaces projectifs . . . . . . . . .
3.3.2 Variétés de Stiefel et de Grassmann . . . . . . . . . . . . .
3.4 Métriques sur les fibrés, fibrés en disque, espace de Thom . . . . .
3.5 Complexification et structures complexes sur un fibré vectoriel réel
3.6 Classification homotopique des fibrés . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Equivalence stable des fibrés, K-théorie . . . . . . . . . . . . . . .
3.8 Démonstration de la périodicité de Bott . . . . . . . . . . . . . . .
3.9 L’isomorphisme de Thom en K-théorie, KC∗ (CP n ) . . . . . . . . .
3.10 Le groupe K −1 (X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.11 Construction de Milnor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4 Variétés différentiables et cobordisme
4.1 Variétés différentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Le fibré tangent à une variété et le fibré normal à un plongement . .
4.3 Structure complexe sur le fibré normal stable à une variété . . . . . .
4.4 Théorèmes de transversalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Les anneaux de (co)-bordisme et le théorème de Thom-Pontryaguin
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CONTENTS
4.6
L’anneau de cobordisme d’une variété lisse, et les groupes de bordisme d’un espace
4.6.1 Définitions et dépendance fonctorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.2 La suite exacte longue et l’invariance par homotopie . . . . . . . . . . . . .
4.6.3 L’homomorphisme de Gysin et le théorème d’isomorphisme de Thom . . . .
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Chapter 1
Catégories, topologie générale,
homotopie, exemples
Ce chapitre introduit ou rappelle les notions de topologie générale nécessaires dans la suite. Une seconde partie définira
la notion d’homotopie. Puis dans une troisième et donnera les définitions de fibrations et cofibrations.
Enfin la définition d’un ensemble simplicial et de sa réalisation sera donnée.
L’ensemble des entiers naturels est noté N, l’anneau des entiers relatifs Z. Le corps des nombres rationnels est noté
Q, celui des réels R, celui des complexes C, enfin celui de quaternions H.
L’anneau des classes de congruences modulo n sera lui noté Z/nZ.
1.1
Catégories, foncteurs et transformations naturelles
Un catégorie C est la donnée d’une classe d’objets, et pour tout couple d’objets X, Y ∈ C d’un ensemble de morphismes
MorC (X, Y ). Par abus de notation on écrira pour un objet de la catégorie X ∈ C.
Les conditions suivantes sont requises :
• Etant donné X, Y, Z ∈ C, il existe une application dite de composition :
(g, f ) 7→ g ◦ f
MorC (Y, Z) × MorC (X, Y ) → MorC (X, Z)
avec g ∈ MorC (Y, Z), f ∈ MorC (X, Y ).
• La loi de composition est associative : si h ∈ MorC (Z, T ), g ∈ MorC (Y, Z), f ∈ MorC (X, Y ) on a
(h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f )
• Pour tout objet X il existe un élément IdX ∈ MorC (X, X) qui agit, selon le cas, comme élément neutre à gauche
ou à droite :
f ◦ IdX = f
et
IdY ◦ f = f
pour tout f ∈ MorC (X, Y ).
Les exemples de base avec lesquels nous aurons à travailler sont :
• La catégorie Ens des ensembles, les morphismes sont les applications.
• La catégorie T op des espaces topologiques, les morphismes sont les applications continues.
• La catégorie T op∗ des espaces topologiques pointés (X, x0 ) : un espace topologique X donné avec un point
x0 ∈ X. Les morphismes sont les applications continues pointées : celles qui envoie point base sur point base.
3
4
CHAPTER 1. CATÉGORIES, TOPOLOGIE GÉNÉRALE, HOMOTOPIE, EXEMPLES
• La catégorie Gp des groupes, les morphismes sont les homomorphismes de groupes.
• La catégorie Ab des groupes abéliens, les morphismes sont les homomorphismes de groupes.
• Soit k un corps, la catégorie Vk des espaces vectoriels sur k, les morphismes sont les applications linéaires.
• La catégorie Vkf des espaces vectoriels sur k de dimension finie, les morphismes sont les applications linéaires.
• Soit A un anneau, la catégorie ModA des A-modules à gauche, les morphismes sont ceux de A-modules. On
introduira si nécessaire la catégorie ModdA des A-modules à droite.
• Soit E un ensemble ordonné, on l’interprète comme une catégorie de la manière suivante. Les objets sont les
éléments de E et il y a un morphisme, et un seul, entre deux éléments e et e0 si et seulement si e ≤ e0 . Cette
catégorie sera notée Ẽ.
Voici une construction générale qui à partir d’une catégorie en fournit une autre :
Définition 1.1.1 Etant donnée une catégorie C la catégorie opposée C op a les mêmes objets que C mais
•
morC op (X, Y ) = morC (Y, X)
• La composition, notée alors ∗, y est alors définie par :
g ∗ f = f ◦ g ∈ MorC op (X, Z)
où ◦ note la composition dans C, et g ∈ MorC op (Y, Z) = MorC (Z, Y ), f ∈ MorC op (X, Y ) = MorC (Y, X).
Entre deux catégories on introduit la notion de foncteurs.
Définition 1.1.2 Un foncteur F d’une catégorie A vers une catégorie B associe à chaque objet X ∈ A un objet F(A)
de B, et à chaque morphisme µ ∈ MorC (X, Y ) un morphisme F(µ) ∈ MorC (F(X), F(Y )).
Les propriétés suivantes étant satisfaites :
• F(g) ◦ F(f ) = F(g ◦ f ) pour g ∈ MorA (Y, Z), f ∈ MorA (X, Y )
• F(IdX ) = IdF (X)
Un cas particulier est celui du foncteur oubli O d’une catégorie A vers une catégorie B qui correspond à un ”oubli de
structure”.
Un premier exemple de foncteur oubli est celui de la catégorie des espaces topologiques vers celle des ensembles.
Il associe à un espace topologique l’ensemble sous-jaçent. Pour les morphismes l’oubli correspond à l’inclusion des
applications continues dans l’ensemble des applications.
Un second exemple de foncteur oubli est celui de la catégorie des groupes vers celle des ensembles. Il associe à un groupe
l’ensemble sous-jaçent. Pour les morphismes l’oubli correspond à l’inclusion des des morphismes dans l’ensemble des
applications.
On utilisera aussi les transformations naturelles entre foncteurs.
Définition 1.1.3 On appelle transformation naturelle Φ du foncteur F : A → B vers le foncteur G : A → B la
donnée pour tout objet X ∈ A d’un morphisme ΦX : F(X) → G(X) tel que pour tout f ∈ MorA (X, Y ) on ait
ΦY ◦ F(f ) = G(f ) ◦ ΦX
On dit que F : A → B est une équivalence naturelle de foncteurs si ΦX est un isomorphisme pour tout X ∈ C.
La première condition équivaut à dire que le diagramme suivant est commutatif :
F(X)
F (f )
F(Y )
ΦX
/ G(X)
ΦY
G(f )
/ G(Y )
1.1. CATÉGORIES, FONCTEURS ET TRANSFORMATIONS NATURELLES
5
Voici deux exemples de transformations naturelles :
Le déterminant peut être interprété comme une transformation naturelle. Soit A un anneau commutatif unitaire A,
et soit GLn le foncteur qui à A associe le groupe GLn (A) des matrices inversibles à coefficients dans A. Le foncteur
GL1 associe à A le groupe des éléments inversibles de A. Le déterminant
detn,A : GLn (A) → A∗
est une transformation naturelle. : GL1 (A) ∼
= A∗ . Il s’agit de foncteurs de la catégorie des anneaux (commutatifs,
unitaires) vers celle des groupes. L’homomorphisme déterminant est une transformation naturelle.
Le foncteur abélianisation a : Gp → Ab qui à un groupe G associe son quotient abélien par le groupe dérivé : G/D(G).
Le morphisme canonique
G → G/D(G)
s’interprète aussi comme une transformation naturelle du foncteur identité de Gp vers Ab.
Une transformation naturelle est une équivalence naturelle si les morphismes ΦX sont des isomorphes pour tout objet
X. L’ensemble des transformations naturelles de F vers G sera noté N at(F; G).
Lemma 1.1.4 (Yoneda) Soient C une catégorie, F un foncteur de C dans Ens, A un objet de C. Il y a une équivalence
naturelle γ entre les foncteurs
A 7→ F (A)
et
A 7→ N at(HomC (A, −); F )
enfin le foncteur M 7→ HomC (A, M ) de C dans Ens. Il y a équivalence naturelle
γA : N at(HomC (A, −); F ) ∼
= F (A)
donc
• les morphismes γA vérifient les conditions prescrites (commutation du diagramme),
• γA est une bijection pour tout A.
Etant donnée une transformation naturelle φ ∈ N at(HomC (A, −); F ) on lui associe l’élément φA (IdA ). Inversement
un élément x ∈ F (A) définit une transformation naturelle τ par la formule
τM (x)(α) = F (α)(x)
avec α ∈ HomC (A, M ).
On termine cette section par une description des foncteurs adjoints.
Définition 1.1.5 Le foncteur F : A → B est adjoint à gauche du foncteur G : B → A si on a, pour tout couple
d’objets X ∈ A et Y ∈ B, une bijection naturelle en X et Y :
adX,Y : MorB (F(X), Y ) ∼
= MorA (X, G(Y ))
Le foncteur G est adjoint à droite de F. La naturalité signifie que l’isomorphisme commute aux flèches induites par
les morphismes dans les catégories A et B, f : X → X 0 , g : Y → Y 0 :
MorB (F(X 0 ), Y )
adX 0 ,Y
−◦F (f )
MorB (F(X), Y )
/ MorA (X 0 , G(Y ))
G(g)◦−
adX,Y 0
/ MorA (X, G(Y 0 ))
En particulier ceci montre que l’application d’adjonction est déterminée par la connaissance de l’image de l’identité
IdF (X) de F(X). Soit en effet f : F(X) → Y , on a par naturalité
adX,Y (f ) = G(f ) ◦ adX,F (X) (IdF (X) )
6
CHAPTER 1. CATÉGORIES, TOPOLOGIE GÉNÉRALE, HOMOTOPIE, EXEMPLES
car cette formule ne fait qu’exprimer la commutativité du diagramme :
f ◦−
MorB (F(X), F(X))
adX,F (X) (−)
MorA (X, G(F(X)))
/ MorB (F(X), Y )
G(f )◦−
adX,Y (−)
/ MorA (X, G(Y ))
Voici un exemple classique d’adjonction. Soit O le foncteur oubli de Ab vers Ens. Ce foncteur à pour adjoint à
gauche le foncteur qui P
à un ensemble S associe le groupe abélien libre Z[S] de base S. C’est-à-dire l’ensemble des
combonaisons linéaires s∈S αs [s], où presque tous les entiers αs sont nuls.
On peut aussi construire ainsi l’adjoint à gauche du foncteur oubli de Vk vers Ens.
Il y a plusieurs résultats d’existence de foncteurs adjoints. On y reviendra un peu plus tard.
1.2
Catégories abéliennes
1.3
Limites et colimites
Soit Γ une catégorie et F un foncteur de Γ vers C.
Définition 1.3.1 On appelle limite de F et on note limΓ F , si il existe, un objet final dans la catégorie introduite
ci-dessous.
On considère les diagrammes consistant en la donnée d’un objet C ∈ C et morphismes mγ : C → F (γ), pour tout γ ∈ Γ
tels que, pour tout morphisme a : γ → γ 0 , le diagramme suivant soit commutatif
7 F (γ)
mγ
C
F (a)
mγ 0
F (γ 0 )
'
soit mγ 0 = F (a) ◦ mγ . On notera ces données (C; mγ ).
On peut introduire évidemment la catégorie de ces diagrammes. Les objets viennent d’être définis, les morphismes
(C; mγ ) → (C 0 ; m0γ ) consistent en les morphismes de ϕ : C → C 0 qui font commuter tous les triangles :
C
mγ
'
ϕ
m0γ
7 F (γ)
C0
soit mγ = m0γ ◦ ϕ pour tout γ.
La limite est un objet final parmi ces diagrammes. C’est à dire que un objet (L; `γ ), tel que pour tout diagramme
(C; mγ ) il existe un unique morphisme de (C; mγ ) vers (L; `γ ). Un tel objet est évidemment unique à isomorphisme
près.
Un des exemples les plus classiques est donné par les entiers p-adiques (p premier). Soit Ñ la catégorie associée à
l’ensemble ordonné des entiers positifs ou nuls. Et soit Π le foncteur de Ñop dans Ab qui à n associe Z/pn Z, et à
l’unique morphisme le projection canonique. L’anneau des entiers p-adiques alors la limite de ce foncteur. Ce cas
correspond à la terminologie de limite projective.
La colimite est définie de manière duale.
1.4.
TOPOLOGIE GÉNÉRALE
7
Définition 1.3.2 On appelle colimite de F et on note colimΓ F , si il existe, un objet initial dans la catégorie introduite
ci-dessous.
On considère les diagrammes consistant en la donnée d’un objet D ∈ C et morphismes mγ : F (γ) → D, pour tout
γ ∈ Γ tels que, pour tout morphisme a : γ → γ 0 , le diagramme suivant soit commutatif
F (γ)
mγ
'
F (a)
7D
mγ 0
F (γ 0 )
soit mγ = mγ 0 ◦ F (a). On notera ces données (D; mγ ).
On peut introduire évidemment la catégorie de ces diagrammes. Les objets viennent d’être définis, les morphismes
(D; mγ ) → (D0 ; m0γ ) consistent en les morphismes de ϕ : D → D0 qui font commuter tous les triangles :
mγ
F (γ)
7D
ϕ
m0γ
' 0
D
soit mγ = m0γ ◦ ϕ pour tout γ.
La colimite est un objet initial parmi ces diagrammes. C’est à dire que un objet (C; cγ ), tel que pour tout diagramme
(D; mγ ) il existe un unique morphisme de (D; mγ ) vers (C; cγ ). Un tel objet est évidemment unique à isomorphisme
près.
voici un exemple qui correspond à la terminologie limite directe. Soit Ñ la catégorie associée à l’ensemble ordonné N
et I le foncteur de cette catégorie dans Ab qui à n associe le groupe Z/pn Z, et à l’unique morphisme m → n (m ≤ n
associe la multipication par pn−m . La comimite est les groupe Z/p∞ Z, isomorphe au groupe des racines de l’unité
dans C dont l’ordre est une puissance de p.
1.4
Topologie générale
Dans tout ce livre les espaces seront supposés séparés, i.e. satisferont à l’axiome de Hausdorff.
1.4.1
Topologie quotient
Soit X un espace topologique et R une relation d’équivalence sur cet espace. Soit
p : X → X/R
l’application canonique. On définit sur l’ensemble quotient X/R une topologie comme suit. Les ouverts sont les sousensembles V ⊂ X/R tels que p−1 (V ) soit un ouvert de X, comme l’image inverse d’une réunion ou d’une intersection
est l’intersection ou la réunion des images inverses il est clair que ceci définit bien une topologie.
Proposition 1.4.1 Soit f : X → Y une application continue telle que f (x) = f (y) si xRy. Alors l’application
induite f˜ : X/R → Y est continue.
En effet il suffit de montrer que l’image inverse V d’un ouvert U de Y par f˜ est ouverte. Mais cela équivaut par
définition à montrer que p−1 (V ) est ouverte, soit que p−1 ◦ f˜−1 (U ) = f −1 (U ) l’est. Or c’est le cas par continuité de f .
La topologie quotient n’est pas nécessairement séparée. Il suffit pour s’en convaincre de considérer le cas suivant.
On définit sur R une relation d’équivalence dont ses classes : ce sont ] − 1, +1[ d’un côté et d’un autre chaque réel
x 6∈] − 1, +1[. Dans l’espace quotient tout voisinage de 1 rencontre le point qui correspond à ] − 1, +1[.
En fait
8
CHAPTER 1. CATÉGORIES, TOPOLOGIE GÉNÉRALE, HOMOTOPIE, EXEMPLES
Proposition 1.4.2 Si l’espace quotient est séparé les classes d’équivalence sont fermées.
En effet dans l’espace quotient qui est séparé un point est fermé, son image inverse l’est donc aussi.
Cette condition n’est pas suffisante. Un exemple sera donné ci-dessous. On peut sous hypothèse de compacité de
l’espace initial donner une réciproque :
On dira qu’un sous-ensemble E d’un ensemble S muni d’une relation d’équivalence R est saturé si tout x ∈ S tel qu’il
existe y ∈ E tel que xRy on a x ∈ E.
Proposition 1.4.3 Soit X un espace topologique et R une relation d’équivalence sur X. Soit A A ouvert (ou un
fermé) saturé de X et RA la relation induite. Alors l’inclusion canonique
i : A/RA ,→ X/R
est un homéomorphisme sur l’image.
En effet, pour montrer que i est continue il suffit de vérifier, par définition de la topologie sur A/RA , que l’application
canonique p de A dans X/R l’est. Ce dernier point est clair, puisque p est la composée de deux applications continues.
Puis il faut montrer que p est ouverte ou fermée. Supposons A ouvert saturé, et soit U ouvert dans A/RA , il faut
montrer que i(U ) est ouvert, soit que p−1 (i(U )) est ouvert. Or si on note q l’application canonique de A sur A/RA
p−1 (i(U )) = q −1 (U ) on a car A est saturé. Or A est ouvert par hypothèse et q −1 (U ) est ouvert dans A. Donc
p−1 (i(U )) est ouvert dans X.
Proposition 1.4.4 Soit X un espace compact, pour que l’espace quotient soit séparé il faut et suffit que le saturé,
pour la relation d’équivalence R, de tout sous-espace fermé soit fermé.
On commence par observer que si le saturé de tout fermé est fermé est fermé alors l’application q : X → X/R est
fermée. En fait les deux propriétés sont équivalentes, ceci repose sur l’observation que q −1 (q(A)) est le saturé de A
pour sous-ensemble A de X.
Supposons l’espace X/R séparé, soit F un fermé, donc compact, dans X; q(F ) son image dans le quotient. Soit
a ∈ X/R avec a 6∈ q(F ). L’espace quotient étant séparé et q(F ) compact on pet supposer donné un voisinage ouvert
Va de a qui ne rencontre pas q(F ). L’image inverse de Va par q est un ouvert qui ne rencontre pas le saturé de F . Le
saturé de F est contenu dans le complémentaire de q −1 (Va ) qui est fermé. Il est égal à l’intersection des q −1 (Va ) pour
décrivant X/R\q(F ). Il est donc fermé.
Inversement supposons l’application q fermée. Et soit a, b ∈ X/R, a distinct de b. Soit A = q −1 (a), B = q −1 (b). Les
sous-espaces A et B sont compacts, on peut en trouver des voisinages ouverts d’intersection vide, soient U et V . Le
complémentaire dans X de U est fermé dont le saturé F est fermé. Le complémentaire U 0 de F est un ouvert contenant
A. De même, on considère G le saturé du complémentaire de G, puis le complémentaire V 0 de G. Les espaces U 0 et
V 0 sont des ouverts saturés d’intersection vide, contenant respectivement A et B. Leurs images q(U 0 ) et q(V 0 ) sont
des ouverts (leur images images inverses U 0 et V 0 sont ouvertes) d’intersection vide, et contenant respectivement a et
b. Ceci donne le résultat.
1.4.2
Groupes topologiques et actions de groupes
Un cas particulièrement important d’espace quotient est celui où la relation d’équivalence est induite par l’action d’un
groupe topologique
Définition 1.4.5 Un groupe topologique est la donnée d’un espace topologique G muni d’une structure de groupe telle
que les applications
(g, h) 7→ gh G × G → G
et
g 7→ g −1
G→G
soient continues.
Tout groupe devient un groupe topologique si on le munit de la topologie discrète.
Les groupes classiques GLn (R), GLn (C), O(n), U(n) sont des groupes topologiques. Ce sont tous des sous-espaces
d’espaces vectoriels de matrices (n, n) à coefficients réels ou complexes. La loi de multiplication est donné par des
formules polynomiales (de degré 2) en les coefficients de la matrice, et est donc continue. Les coefficients de l’inverse
sont donnés par des fractions rationnelles (formules de Cramer) en les coefficients et est donc également continue.
1.4.
TOPOLOGIE GÉNÉRALE
9
Exercice 1.4.6 Montrer que la composante connexe de l’élément neutre dans un groupe topologique est un sous-groupe.
Montrer que si le groupe est localement connexe la composante connexe de l’élément neutre est ouverte.
Exercice 1.4.7 Montrer que le groupe des matrices inversibles est dense dans l’ensemble des matrices, les coefficients
sont réels ou complexes.
Exercice 1.4.8 Montrer que le groupe des matrices inversibles est dense dans l’ensemble des matrices, les coefficients
sont réels ou complexes.
Exercice 1.4.9 Montrer que le groupe des matrices diagonalisables à coefficients complexes est dense dans l’ensemble
des matrices inversibles. Montrer qu’il contient un ouvert dense (utiliser le résultant). Qu’en est il si les coefficients
sont réels?
Définition 1.4.10 On dit qu’un groupe topologique G agit sur un espace topologique X si l’application
(g, x) 7→ gx
G×X →X
est continue. En particulier soit g ∈ Cg l’application x 7→ gx, X → X est un homéomorphisme dont le réciproque est
x 7→ g −1 x.
Les classes d’équivalence étant alors les orbites de l’action. Si le groupe est compact le quotient est séparé. On a
souvent à considérer un cas un peu plus général, celui d’un groupe localement compact (par exemple un groupe discret)
agissant sur un espace localement compact.
On notera que le saturé d’un ouverts de X est toujours ouvert. En effet il est réunion des sous-espaces gU , g ∈ G, qui
le sont tous puisque x 7→ gx est un homéomorphisme.
Proposition 1.4.11 Soit un espace topologique X localement compact muni d’une action d’un groupe topologique G.
Supposons que pour tout compact C ⊂ X l’ensemble {g| g ∈ G, gC ∩ C 6= Φ} est compact dans G. En particulier si G
est discret cela veut dire que cet ensemble est fini.
Alors la topologie sur l’espace quotient est séparée.
Il suffit de montrer que deux orbites quelconques distinctes ont des voisinages saturés d’intersection vide.
Soient Ox l’orbite de x ∈ X et Vx un voisinage compact de x, Oy l’orbite de y ∈ X et Vy un voisinage compact de y.
L’ensemble K des g ∈ G tels que gVx ∩ Vy est compact dans G, car c’est un fermé contenu dans l’ensemble, compact
par hypothèse, des g tels que g(Vx ∪ Vy ) ∩ (Vx ∪ Vy ) est non vide.
L’ensemble Kx est compact, comme image de K par l’application k 7→ kx. On peut en trouver un voisinage U qui est
d’intersection vide avec un voisinage Wy de y. Pour faire cela on choisit pour chaque point x0 de Kx un voisinage Vx0
et un voisinage Wx0 de y qui sont d’intersection vide. Puis on extrait un sous-recouvrement fini de Kx et on considère
la réunion, soit U , des Vx0 et l’intersection des Wx0 , soit Wy .
Soit alors le voisinage de x défini comme étant l’intersection du saturé de U et de Vx pour tout g ∈ G, mais g 6∈ K.
On pose alors V = Vx ∩ GU et W = Vy ∩ Wy .
On considère alors
1.4.3
Topologie engendrée par les compacts et topologie colimite directe
Soit X un espace topologique, il est souvent commode de remplacer la topologie sur X par celle dite engendrée par
les compacts, suivant [4] on note k(X) le nouvel espace.
Définition 1.4.12 Un sous ensemble de X est fermé pour la topologie engendrée par les compacts si et seulement si
son intersection avec un compact quelconque de X est fermée.
Ceci définit bien une topologie qui a de bonnes propriétés pour les questions de théorie de l’homotopie. En voici
quelques unes :
Proposition 1.4.13
•
•
• les compacts de k(X) coı̈ncident avec ceux de X,
10
CHAPTER 1. CATÉGORIES, TOPOLOGIE GÉNÉRALE, HOMOTOPIE, EXEMPLES
Soit X un ensemble tel que X = ∪n Xn ou chaque Xn est un espace topologique et l’inclusion Xn → Xn+1 est
homéomorphisme sur l’image. WWW
Proposition 1.4.14 La condition suivante définit une topologie sur X, U ⊂ X est ouvert si et seulement si U ∩ Xn
est ouvert dans Xn pour tout n.
La démonstration est laissée au lecteur. La condition d’homéomorphisme sur l’image n’est pas utilisée, si on l’a inclus
c’est qu’elle sera systématiquement réalisée dans les cas que l’on considérera.
On suppose tous les Xn séparés. WWW
Proposition 1.4.15 Un sous-espace K de X compact est contenu dans Xn pour un certain entier n.
On raisonne par l’absurde et on choisit une suite xn ∈ (Xn \ Xn−1 ) ∩ K (au prix d’une éventuelle réindexation). Le
sous-ensemble I = {xn |n ∈ N} est fermé dans X puisque son intersection avec chaque Xn est finie. Ceci s’applique à
tout sous-ensemble de I. Donc tout sous-ensemble de I est fermé et ouvert. Donc I est discret, puisqu’il est contenu
dans un compact, fermé et discret il est fini. Ce qui est une contradiction.
Evidemment on pourrait remplacer ouvert par fermé dans la définition ci-dessus.
1.5
Quelques espaces privilégiés
Soit Rn+1 l’espace euclidien standard, n ≥ 0.
Définition 1.5.1 La sphère S n est l’ensemble des vecteurs de norme 1.
Proposition 1.5.2 L’espace projectif RP n , c’est-à-dire l’ensemble des droites vectorielles de Rn+1 , s’identifie au
quotient de l’action de R∗ sur Rn+1 \{0}.
Le groupe Z/2Z agit sur S n via l’application antipodale x 7→ −x. L’espace quotient s’identifie donc à l’espace projectif
réel RP n .
Proposition 1.5.3 Soit RP n−1 ,→ RP n l’application induite par l’inclusion standard Rn ,→ Rn+1 . L’espace RP n \RP n−1
est homéomorphe à Rn .
Par l’inclusion standard est l’application (x1 , . . . , xn+1 ) 7→ (x1 , . . . , xn+1 , 0). Le complémentaire de l’image est constitué par les points de coordonnées homogènes (x1 , . . . , xn+1 ) avec xn+1 6= 0. L’application
(x1 , . . . , xn+1 ) 7→ (
xn
x1
,...,
)
xn+1
xn+1
donne l’homéomorphisme recherché.
Soient plus généralement les inclusions ei : (x1 , . . . , xn+1 ) 7→ (x1 , . . . , 0, . . . , xn+1 ), où la coordonnée 0 est en i-ème
position. L’application induite sur les espaces projectifs est notée de manière analogue. Soit Ui = RP n \Im(ei ), cet
espace est homéomorphe à Rn comme précédemment. Il en résulte :
Proposition 1.5.4 L’espace projectif réel RP n est réunion de n + 1 ouverts homéomorphes à Rn .
Corollaire 1.5.5 L’espace RP n est une variété différentiable compacte de dimension n.
n+1
2n+1
Soit
des points (z1 , . . . , zn+1 ) tels que
P C 2 l’espace hermitien standard, n ≥ 0. La sphère S 1 est l’ensemble
2n+1
|z
|
=
1.
Le
groupe
des
nombres
complexes
de
module
1,
S
,
agit
sur
S
via
la multiplication par le scalaire
i
i
λ, |λ| = 1 : λ(z1 , . . . , zn+1 ) = (λz1 , . . . , λzn+1 ) .
Proposition 1.5.6 L’espace projectif CP n , c’est-à-dire l’ensemble des droites vectorielles de Cn+1 , s’identifie au
quotient de l’action de C∗ sur Cn+1 \{0}.
L’espace quotient de S 2n+1 par S 1 s’identifie à CP n .
Proposition 1.5.7 Soit CP n−1 ,→ CP n l’application induite par l’inclusion standard Cn ,→ Cn+1 . L’espace CP n \CP n−1
est homéomorphe à Cn ∼
= R2n .
1.6. CONNEXITÉ PAR ARCS
11
L’inclusion standard est l’application (z1 , . . . , zn ) 7→ (z1 , . . . , zn , 0). Le complémentaire de l’image est constitué par
les points de coordonnées homogènes (z1 , . . . , zn+1 ) avec zn+1 6= 0. L’application
(z1 , . . . , zn+1 ) 7→ (
z1
zn
,...,
)
zn+1
zn+1
donne l’homéomorphisme recherché.
Soient plus généralement les inclusions
ei : (z1 , . . . , zn ) 7→ (z1 , . . . , 0, . . . , zn+1 )
où la coordonnée 0 est en i-ème position. L’application induite sur les espaces projectifs est notée de manière analogue
ei . Soit Ui = CP n \Im(ei ), cet espace est homéomorphe à Cn comme précédemment. Il en résulte :
Proposition 1.5.8 L’espace projectif réel CP n est réunion de n + 1 ouverts homéomorphes à Cn ∼
= R2n .
Corollaire 1.5.9 L’espace CP n est une variété différentiable compacte de dimension 2n.
Proposition 1.5.10 L’espace projectif CP n s’identifie au quotient de l’action de C∗ sur Cn+1 \{0}, et donc avec
l’ensemble des droites vectorielles complexes dans Cn+1 .
Théorème 1.5.11 Le groupe orthogonal O(n) est un groupe topologique compact qui a deux composantes connexes.
Considérons O(n − 1) comme un sous-groupe de O(n) via l’inclusion standard.
Théorème 1.5.12 L’espace quotient O(n)/O(n − 1) est homéomorphe à S n−1 .
Considérons le n-ème vecteur de la base standard. Son stabilisateur sous l’action de O(n) est le sous-groupe O(n − 1).
L’application qui à g ∈ O(n) associe gen ∈ S n−1 est évidemment surjective. Elle détermine une application bijective
continue O(n)/O(n − 1) → S n−1 qui est un homéomorphisme puisque O(n)/O(n − 1) est compact.
Théorème 1.5.13 Le groupe U(n) est un groupe topologique compact connexe.
Considérons U(n − 1) comme un sous-groupe de U(n) via l’inclusion standard.
Théorème 1.5.14 L’espace quotient U(n)/U(n) − 1 est homéomorphe à S 2n−1 .
1.6
Connexité par arcs
On dit qu’un espace topologique X est connexe par arcs si pour toute paire de points x, y ∈ X, il existe une application
continue, f de [0, 1] dans X telle que f (0) = x et f (1) = y.
Introduisons a relation binaire sur un espace topologique X définie par x y si et seulement si il existe un chemin de x
à y dans X. C’est-à-dire si et seulement si il existe une application continue, σ de [0, 1] dans X telle que σ(0) = x et
σ(1) = y. C’est clairement une relation d’équivalence.
Une classe d’équivalence est clairement connexe, elle est appelée une composante connexe par arcs. Si il y a une seule
classe d’équivalence on dit que l’espace X est connexe par arcs. Donc, dans ce cas pour toute paire de points x, y ∈ X,
il existe une application continue, σ de [0, 1] dans X telle que σ(0) = x et σ(1) = y.
L’ensemble des classes d’équivalence de X pour cette relation estr noté π0 (X). Il est clair qu’une application continue
d’un espace X dans un espace Y induit une application f∗ : π0 (X) → π0 (Y ).
On a donc construit un foncteur de la catégorie des espaces topologiques vers la catégorie des ensembles.
Un espace sera dit connexe par arcs si il a une seule composante connexe par arcs. Un espace connexe par arcs est
connexe. Il est par contre faux qu’un espace connexe soit connexe par arcs en général comme le montre l’exemple
ci-dessous.
Exemple 1.6.1 Soit C le sous-ensemble de R2 constitué par la réunion de l’axe des ordonnées ∆ et du graphe G de la
fonction x 7→ sin( x1 ) pour x > 0. Cet espace est connexe. En effet tant le graphe de la fonction que l’axe des ordonnées
le sont. Donc si on a une décomposition de l’espace en deux ouverts l’un contient l’axe des ordonnées l’autre le graphe
de la fonction. Mais l’adhérence de G contient tous les points de ∆ d’ordonnée comprise entre 0 et 1. Une composante
connexe est fermée, donc la composante connexe contenant G contient aussi un point de ∆, donc ∆.
12
CHAPTER 1. CATÉGORIES, TOPOLOGIE GÉNÉRALE, HOMOTOPIE, EXEMPLES
Montrons mantenant qu’il est impossible qu’i existe un arc reliant un point du graphe à l’origine du plan. Soit une
application continue σ de l’intervalle [0, 1] dans C telle que σ(0) soitr l’origine du plan et σ(1) un point de G. Cette
fonction est donnée par σ : t 7→ (a(t), b(t)). Si t < suffisamment proche de 0 σ(t) est proche de (0, 0), donc en
1
1
particulier |b(t)| < 1/2. Les valeurs prises par a(t) appartiennent aux intervalles Ik =] kπ−π/6
, kπ+π/6
[. L’image de
[0, [, et donc [0, ] par continuité, est connexe et est donc {0}. On suppose alors que est la plus grande valeur
strictement positive (on vient de montrer qu’il en existe) telle que a([0, ]) = {0}. En appliquant le raisonnement
précédent (modulo une petite adaptation) on montre par l’absurde que = 1. Ce qui montre que le chemin ne peut
relier l’origine à un point du graphe.
Par contre on a
Théorème 1.6.2 Les ouverts connexes de Rn sont connexes par arcs.
En fait le théorème est vrai pour tout espace connexe tel que tout point admette des voisinages connexes par arcs.
En effet la composante connexe par arcs de tout point est alors ouverte dans l’espace. Si celui est connexe il ne peut
y avoir qu’une composante connexe par arcs.
Voici deux propositions utiles :
Proposition 1.6.3 Soit dans Rn un nombre fini de sous-espaces affines deux à deux distincts de dimension au plus
n − 1, Hi 1 ≤ i ≤ n − 1. L’espace Rn \ ∪i Hi est un ouvert non vide partout dense.
Le résultat a lieu pour le complémentaire du lieu des zéros d’un polynp̂ome non constant en n-variables.
Proposition 1.6.4 Soit dans Rn un nombre fini de sous-espaces affines deux à deux distincts de dimension au plus
n − 2, Hi 1 ≤ i ≤ n−. L’espace Rn \ ∪i Hi est un ouvert connexe par arcs.
La démonstration de ce résultat est intuitive. On va faire un raisonnement par récurrence sur le nombre d de sousespaces Hi .
Si il y a un seul sous-espace H, soient x et y deux points appartenant au complémentaire. Le segment joignant x et y
n’est pas contenu dans H et a donc au plus un point commun avec H, soit A. Le sous-espace affine L engendré par
H, x et y est de dimension au plus n − 1. Soit I un point dans le complémentaire de L, et J et K deux points sur le
segment [x, y] de part et d’autre de A. La ligne brisée [x, J][J, I][I, K][K, y] détermine un arc linéaire par morceaux
de x à y évitant H. Cet arc peut être rendu aussi proche de A qu’on le souhaite.
Soient deux points appartenant au complémentaire. On peut par hypothèse de récurrence trouver un chemin que l’on
supposera linéaire par morceaux entre ces deux points qui évite tous lmes Hi sauf Hd que l’on notera H. Supposons
donc que l’un des segments constituant le chemin, soit S, rencontre H au point A. Plaçons l’origine de l’espace en ce
point A. Puisque x n’appartient à aucun des autres sous-espaces Hi il existe une boule B de rayon et de centre A
qui les évite. Il suffit de faire une modification locale au voisinage de x comme plus haut pour que le chemin évite A,
et en restant dans la boule B le chemin ne rencontrera aucun autre sous-espace.
Si S est parallèle à H alors S est contenu dans H dès qu’il a un point commun avec lui. Comme S ne rencontre aucun
des autres sous-espaces pour un assez petit l’ensemble V (s, ) ne rencontre aucun des autres sous-espaces. Il suffit
de faire une modification le long de S comme indiquée sur la figure ci-dessous pour que le chemin évite H.
1.7. TOPOLOGIE SUR LES ESPACES FONCTIONNELS.
13
I
H
x
J
A
K
y
Figure 1.1: 1
Dans les deux cas la condition sur les voisinages implique que l’on crée pas de nouveaux points d’intersection. On
élimine ainsi tous les points d’intersection et on établit le résultat.
1.7
Topologie sur les espaces fonctionnels.
Soient X et Y deux espaces, sur l’espace des applications continues map(X, Y ) en définissant une base d’ouverts. Pour
chaque K compact de X, U ouvert de Y ondéfinit :
B(K, U ) = {f |f ∈ map(X, Y ) f (K) ⊂ U }
Ces ensembles, quand K et U varient, décrivent une base d’ouverts de map(X, Y ). On appelel cette topologie la
topologie compacte-ouverte.
Si X et Y sont des espaces compacts métriques cette topologie est celle de la convergence uniforme.
Pour des espaces topologiques pointés on met une topologie sur map∗ (X, Y ) comme sous-espace de map(X, Y ).
Définition 1.7.1 Soit (X, x0 ) un espace topologique pointé l’espace Ωn X est l’espace des applications pontées de la
sphère S n (pontée en un point quelconque) dans (X, x0 ).
L’espace des applications libres map(S n , X)est noté Λn X.
Un résultat important sur les espaces fonctionnels est la loi exponentielle. Soient X, Y et Z des espaces topologiques.
En tant qu’ensemble map(X × Y, Z) est en bijection avec map(X, map(Y, Z)), via f 7→ (x 7→ (y 7→ fx (y) = f (x, y)).
Théorème 1.7.2 Si X et Y sont localement compacts et les espaces fonctionnels munis de la topologie compacteouverte, l’application naturelle :
ψ : map(X × Y, Z) → map(X, map(Y, Z))
est un homéomorphisme.
Il faut montrer que l’application est continue et ouverte. Soit K ⊂ X compact, et soit B(L, U ) un ouvert de la base
de la topologie de map(Y, Z), L ⊂ Y compact, U ⊂ Z ouvert. L’ensemble ψ −1 (B(K, B(L, U )) est constitué par les
14
CHAPTER 1. CATÉGORIES, TOPOLOGIE GÉNÉRALE, HOMOTOPIE, EXEMPLES
applications f : X × Y → Z telle que pour tout x ∈ K fx (L) ⊂ U , donc f (K × L) ⊂ U . C’est donc B(K × L, U ), donc
ψ est continue.
Soit maintenant B(K, U ), un ouvert de la base de map(X × Y, Z). Il faut montrer que ψ(B(K, U )) est ouvert. Pour
tout point de x = (a, b) ∈ K soit Va × Wb un voisinage de x produit d’un voisinage compact Va de a, et Wb de b. On
peut recouvrir K par un nombre fini de tels voisinages que l’on notera V1 × W1 , . . . , Vn × Wn . Alors
B(K, U ) ⊃ ∩1≤i≤n B(Vi , B(Wi , U ))
Dans cette inclusion le terme de droite est ouvert. Soit f ∈ B(K, U ) et soit f −1 (U ) ⊂ X × Y . C’est un voisinage
ouvert de K, il contient un voisinage de la forme précédente
(V1 × W1 ) × . . . × (Vn × Wn )
alors f ∈ ∩1≤i≤n B(Vi , B(Wi , U )), ce qui achève la démonstration, car tout f ∈ B(K, U ) est contenu dans un ouvert
contenu dans B(K, U ).
1.8
3. Homotopie
Soit f et g deux applications d’un espace X dans un espace Y
Définition 1.8.1 On dira que f et g sont librement homotopes si il existe une application F de X × [0, 1] dans Y
telle que F (x, 0) = f (x) et F (x, 1) = g(x) pour tout x ∈ X.
La relation d’homotopie est une relation d’équivalence. L’ensemble des classes d’équivalence est noté [X, Y ].
Définition 1.8.2 On dira qu’un espace X est contractile en point x0 si l’application identité de X, soit IdX est
homotope à l’application de X dans X constante en x0 .
Tout sous-ensemble convexe C d’un espace Rn est contractile. En effet soit x0 ∈ C, alors l’application F définie par la
propriété que F (x, t) est le barycentre des points x et x0 affectés respectivement des coefficients t et 1 − t. La convexité
garantissant que cette application est bien à valeurs dans C.
Définition 1.8.3 On dira qu’un espace X est contractile en point x0 si l’application identité de X, soit IdX est
homotope à l’application de X dans X constante en x0 .
Définition 1.8.4 On dira qu’un sous-espace A d’un espace X est rétracte de X si l’inclusion i de A dans X admet
un invers r à gauche, c’est-à-dire une application r telle que r ◦ i = IdX .
Définition 1.8.5 On dira qu’un sous-espace A ⊂ X est rétracte par déformation de X si il existe une homotopie
F : X × [0, 1] → X de IdX avec la compposée r ◦ i, où r est une rétraction de X sur A.de A dans X admet un inverse
r à gauche, c’est-à-dire une application r : X → A telle que F (x, t) = x pour tout x ∈ A et tout t ∈ [0, 1].
Théorème 1.8.6 Si A ⊂ X est rétracte par déformation de X et si Z est un espace quelconque l’inclusion A ,→ X
induit une bijection :
[Z, A] → [Z, X]
Démonstration : Soit F (x, t) la rétraction par déformation. Soit i l’inclusion A ,→ X et r = F (x, 1). Alors r ◦ i est
l’identité de A. Donc la composée
i
r
∗
∗
[Z, A] −→
[Z, X] −→
[Z, A]
est l’identité. Ce qui montre que i∗ est injective.
D’un autre cÙté soit une classe dans [Z, X] représentée par f : Z → X. L’application f est homotope à g donnée
par x 7→ F (f (x), 1) (via F (f (x), t)). Or g est à vleurs dans A. La classe d’homotopie de f est donc image de la classe
d’homotopie d’une application de Z dans A résultat suit.
1.9. COFIBRATIONS.
1.9
15
Cofibrations.
Définition 1.9.1 (Cofibrations) Une inclusion i : A → X est une cofibration si elle vérifie la propriété d’extension
des homotopies (PEH). Soit, si pour tout espace Y toute application h : X ∪ A × I → Y , il existe une application H
faisant commuter le diagramme suivant :
/Y
H
X×
O I
=
?
X ∪A×I
/Y
h
Soit f : X → une application d’espaces pointés.
Définition 1.9.2 Le cylindre Cylf de f : X → Y est le quotient de (X × I)
(x, 1) avec f (x) ∈ Y et ((x0 , t) avec f (x0 ) = y0 pour tout t.
`
Y modulo la relation qui identifie
On inclut X dans Cylf via x 7→ (x, 0). On suppose ci-dessous que les points bases sont non dégénérés.
Proposition 1.9.3 Les inclusions X → Cylf et Y → Cylf , l’inclusion X ∨ Y → Cylf sont des cofibrations.
Si il n’y a pas de point base le résultat analogue a lieu.
Onj donne les formules dans le troisième cas, les deux autres s’en déduisent.
Soient, H une homotopie (basée) X × I → Z, G une homotopie (basée) Y × I → Z dont les valeurs en 0 sont les
restrictions d’une application g : Cylf → Z. Il faut étendre g à Cylf × I en respectant les valeurs imposées sur X × I
et Y × I et Cylf × {0}.
Les valeurs de l’extension H̃ sur la classe des points ((x, t), u), et des points ((y, 1), u), sont données par les formules
suivantes -au temps de déformation u :
• si t ≤ u3 , H̃((x, t), u) = H(x, −3t + u),
•
u
3
−3
≤ t ≤ 1 − u3 , H̃((x, t), u) = g(x, 2u−3
t−
u
2u−3 ),
• si t ≥ 1 − u3 H̃((x, t), u) = G(f (x), 3 t−1
u + 1), malgré la résence de u au dénominateur on vérifie que cette formule
s’étend par continuité en u = 0 car 3(1 − t) ≥ u.
Ceci est décrit dans la figure 1.9 l’application H̃ est constante (à x constant) sur les droites en pointillés. Les
applications décrites respectent les points bases.
On peut dans la définition de cofibration enlever la condition ”i est une inclusion” en remplaçant X ∪ A × I ⊂ X × I
par a somme amalgamée de X et A × I au dessus de A × {0}. En effet la condition implique que i soit injective, mais
alors il faut supposer que i est un homéomorphisme
sur l’image. Le fait que la condition implique alors l’injectivité se
`
voit comme suit. On choisit Y = X A×{0} A × I, on a le diagramme commutatif :
X×
O I
H
/X
`
A×{0}
A×I
=
C’est-à-dire que l’inclusion X
montré :
X
`
`
?
A×{0}
A×{0}
A×I
h
/X
`
A×{0}
A×I
A × I ,→ X × I admet une rétraction exacte. Le résultat suit. En chemin on a
Proposition 1.9.4 L’inclusion A → X est une cofibration si et seulement si X ∪ A × I est rétracte de X × I.
Proposition 1.9.5 L’image d’une cofibration est un sous-espace fermé.
16
CHAPTER 1. CATÉGORIES, TOPOLOGIE GÉNÉRALE, HOMOTOPIE, EXEMPLES
X
I
t
Y
Cylf
I (paramètre de déformation u)
g
u
H
G
1/3
2/3
g(x,t)
Z
H(x,u)
G(f(x),u)
Figure 1.2: 1
1.9. COFIBRATIONS.
17
En effet, soit r : X × I → X ∪ A × I une rétraction. L’ensemble des points tels que r((x, t)) = (x, t) est fermé, et A est
intersection de cet ensemble avec X × {0}, donc fermé comme intersection de deux fermés. La condition A sous-espace
fermé de X est par contre insuffisante pour que A ,→ X soit une cofibration.
Définition 1.9.6 (Cofibrations) Une inclusion i : A → X est une cofibration si elle vérifie la propriété d’extension des
homotopies (PEH). Soit, si pour toute application h : X ∪ A × I → Y l’application H faisant commuter le diagramme
suivant existe :
H
/Y
XO
=
?
A
h
/Y
Une définition équivalente est celle de NDR paire (pour le nom anglo-saxon : neighborhood deformation retract)
(X, A).
Définition 1.9.7 la paire (X, A) est une NDR paire si les conditions suivantes ont lieu.
• Il existe des applications continues u : X → I, h : X × I → I, telles que :
• A = u−1 (0), h(−, 0) = IdX ,
• ha, t) = a pour tout a ∈ A et t ∈ I,
• h(x, 1) ∈ A pour tout x ∈ u−1 ([0, 1[).
Le voisinage u−1 ([0, 1[) de A se rétracte par déformation sur A.
Théorème 1.9.8 Les conditions suivantes sur une paire (X, A) sont équivalentes :
• L’inclusion A ,→ X est une cofibration,
• X × {0} ∪ A × I est rétracte de X × I,
• X × {0} ∪ A × I est rétracte par déformation de X × I,
• (X, A) est une paire NDR.
On a vu plus haut que les deux premières conditions sont équivalentes. La quatrième implique clairement la troisième
qui implique la seconde. Il reste à montrer que la première ou la seconde implique la quatrième. Sit r une rétraction
de X × I sur X × {0} ∪ A × I. Soient, comme il est d’usage, p1 et p2 les projections sur les deux facteurs de X × I.
La fonction u est définie par la formule u(x) = sup{t − p2 ◦ r(x, t)}, t ∈ I et h(x, t) = P1 ◦ r(x, t).
Alpors :
• L’ensemble u−1 ({0}) est égal à A. En effet si t ≥ p2 ◦ r(x, t) pour tout t > 0, r(x, t) ∈ A × I, par continuité en
t = 0 r(x, 0) = x ∈ A;
• h(x, 0) = x et h((a, t)) = (a, t) par hypothèse;
• enfin si u(x) < 1 par définition de u on a p2 ◦ r(x, 1) > 0 et r(x, 1) ∈ A × I, donc h(x, 1) ∈ A.
L’exemple suivant est facle mais fonadmental :
Proposition 1.9.9 L’inclusion de S n−1 dans Dn est une cofibration.
La démonstration est donnée par la figure ci-dessous et l’argument qui suit. L’espace Dn ×I est identifié au sous-espace
Dn × [0, 1] ⊂ Rn × R, Dn × {0}sn−1 × [0, 1] est identifié au sous-espace évident. La rétraction dcylindre plein Dn × [0, 1]
sur le cylindre ”creux sans couvercle” Dn × {0}sn−1 × [0, 1] est alors la projection radiale de centre (0, . . . , 0, 2).
18
CHAPTER 1. CATÉGORIES, TOPOLOGIE GÉNÉRALE, HOMOTOPIE, EXEMPLES
O
K
r(K)
Figure 1.3: 1
1.10
Fibrations
Définition 1.10.1 (Fibrations) Une application p : E → F est une fibration si elle vérifie la propriété de relèvement
des homotopies (PRH). Soit, si pour tout espace X, toute application f : X → E, h : X ×I → B, telles que h◦i0 = p◦f ,
l’application H faisant commuter le diagramme suivant existe :
f
X
i0
X ×I
H
/E
=
p
h
/B
Si la propriété a lieu pour tout espace I n , n ≥ 0, on parle de fibrations de Serre.
1.11
Calcul de πn (S n ).
La sphère S n est identifiée au bord du simplexe standard ∆n , soit Σn = ∂∆n+1 . Par subdivision barycentrique on
peut supposer que Σn est réunion de simplexes isomorphes à ∆n et de diamètre arbitrairement petit. L’intersection
de deux de ces simplexes étant soit vide soit une face commune.
Lemma 1.11.1 Soit f : Σn → Σn , on peut remplacer f par une application homotope et envoyant isomorphiquement
chaque n-simplexe de la subdivision sur un n-simplexe de la subdivision.
Les théorèmes classiques d’approximation des fonctions continues sur les compacts montent que l’on peut déformer f
par homotopie en une application h envoyant chaque n-simplexe de la subdivision sur un k-simplexe de la subdivision,
k ≤ n. La restriction de h à chaque n-simplexe est affine. Ceci est assuré pourvu que le diamètre de la subdivision soit
1.11. CALCUL DE πN (S N ).
19
assez petit. Le lemme demande plus : il faut que n-simplexe soit envoyé sur un n-simplexe, et non sur un k-simplexe,
k < n.
On considère les sommets de la triangulation. Soit s un sommet et f (s) son image
Supposons avoir associé à chaque sommet s un sommet h(s) voisin de f (s) de telle manière que chaque n-simplexe
soit envoyé sur un n-simplexe. Sur un sous-ensemble de l’ensemble des sommets.
On ajoute un sommet, alors soit le nouveau sommet ne forme de k-simplexe avec aucun des des sommets précédents.
Alors le choix de h(s) est libre. Sinon il forme un k simplexe. Il peut y en avoir plusieurs.
Ceci est possible, au prix de subdivisions et d’homotopies supplémentaires.
Pour
Si un simplexe σ est envoyé par une application affine sur un un k-simplexe µ,
Soit maintenant un n-simplexe σ de la subdivision, et soient σ1 , . . . , σt les n-simplexes de la subdivision envoyés par
f sur σ. La restriction de f à chaque σi est une application affine bijective αi , elle se prolonge en de manière unique
une application affine bijective α̃i de l’espace Rn+1 tout entier en demandant que le vecteur normal à σi pointant vers
l’extérieur soit envoyé sur le vecteur normal à σ pointant vers l’extérieur.
Soit i = 1 si l’application linéaire associée à α̃i est de déterminant strictement positif, i = −1 si il est strictement
négatif.
On pose
X
degσ (f ) =
i
i
Lemma 1.11.2 La quantité degσ (f ) ne dépend pas du choix du simplexe σ.
Il suffit de montrer que pour deux simplexes σ et σ 0 ayant une face µ de dimension n−2 en commun degσ (f ) = degσ0 (f ).
En effet d’un simplexe à un autre par une chaı̂ne de telles paires de simplexes.
Soient ν1 , . . . , νk tous les (n − 2)-simplexes d’image µ par f . Pour un (n − 2)-simplexe de la décomposition il y a deux
sommets de la décomposition, et deux sommets seulement, tels que le joint de ce (n − 2)-simplexe avec l’un quelconque
de ces deux sommets soit un (n − 1)-simplexe de la décomposition.
Soient si et s0i les deux (n − 1)-simplexes de (n − 2)-face commune (µ. Plsieurs situations peuvent se présenter.
Les n − 1-simplexes d’image σ 0 sont contigus à ceux d’image σ car dans leur image doit se trouver le n − 2-simplexe µ.
Quand on passe d’un simplexe d’image σ à un simplexe contigu d’image σ 0 le signe de l’application linéaire associée
ne change pas.
Sauf si on reste sur le même simplexe
Il y a ceux qui ne touchent pas un simplexe d’image σ.
Les (n − 2−-simplexes qui relèvent µ. Un point de chaque côté c’est envoyé -éventuellement- sur σ ou σ 0 .
Lemma 1.11.3 La quantité deg(f ) ne dépend que la classe d’homotopie de f .
Plus précisément pour que la définition ait un sens il faut montrer
Théorème 1.11.4 —’application :
πn (sn ) → Z, [f ] 7→ deg(f )
est un isomorphisme de groupes.
20
CHAPTER 1. CATÉGORIES, TOPOLOGIE GÉNÉRALE, HOMOTOPIE, EXEMPLES
Chapter 2
Ensembles simpliciaux, le nerf d’une
catégorie
2.1
Ensembles simpliciaux, le nerf d’une catégorie
Dans cette section on introduit la définition d’un ensemble simplicial,puis on construit sa éalisation géométrique. Soit
∆ la catégorie dont les objets sont les ensembles finis
[n] = {0, 1, . . .}
et les morphismes les applications monotones entre ces ensembles.
Et soit ∆op la catégorie opposée.
Définition 2.1.1 On appelle ensemble simplicial un foncteur de ∆op vers Ens.
Proposition 2.1.2 ?? Un ensemble simplicial X• est équivalent à la donnée :
• D’une suite d’ensembles Xn , n ≥ 0, dont les éléments sont appelés les n-simplexes.
• D’applications di : Xn → Xn−1 , i = 0, . . . , n dites applications de faces telles que
di dj = dj−1 di , si i < j
• D’applications si j : Xn → Xn+1 , j = 0, . . . , n dites applications de dégénérescences telles que
si sj = sj si−1 si i > j
• De plus on a
di sj = sj−1 di si i < j
sdi sj = Id si i = j, j + 1
di sj = sj di−1 si i > j + 1
L’application di est induite par l’injection di de [n − 1] dans [n] qui envoie j sur j si j < i et j sur j + 1 si j ≥ i; si
elle est induite par l’application sj de [n] dans [n − 1] qui envoie j sur j si j <≤ i et j sur i − 1 si j > i.
Les relations entre ces applications sont faciles à vérifier.
Ceci montre un sens de l’équivalence.
On reviendra plus en détails plus loin sur l’autre sens. Il dépend du :
Lemma 2.1.3 Toute application monotone f de [m] dans [n] peut s’écrire comme composée d’applications dsi et sj .
21
22
CHAPTER 2. ENSEMBLES SIMPLICIAUX, LE NERF D’UNE CATÉGORIE
On va donner une version plus forte. On commence par écrire f comme composée, dans l’ordre, d’une injection et
d’une surjection toutes deux monotones. Et on se ramène donc à traiter du cas d’une injection puis d’une surjection.
Dans le cas d’une injection i de [m] dans [n] on fait une récurrence sur n − m. Supposant m 6= n car il n’y a rien alors
à démontrer, soit j le plus grand entier qui n’est pas dans l’image de i. L’inclusion i s’écrit alors de manière unique
comme une composée : dj ◦ i0 , avec i0 injection monotone de [m] dans [n − 1]. Il suffit alors d’appliquer l’hypothèse de
récurrence à i0 pour avoir le résultat.
En fait on montre ainsi que toute application injective monotone de [m] dans [n] a une décomposition bien définie
sous la forme
dj1 ◦ dj2 ◦ . . . ◦ djt
avec t = n − m et j1 > j2 > . . . > jt .L’ordre sur les jα est conséquence de la construction.
Cette décomposition est unique. En effet sa longueur est nécessairement n−m, de plus l’indice j1 est le plus grand entier
qui n’est pas dans l’image. Une hypothèse de récurrence concernant l’unicité permet alors d’achever la démonstration.
Dans le cas d’une surjection s de [m] dans [n] on va faire une récurrence sur m − n. Supposant m 6= n car il n’y a rien
alors à démontrer, soit j le plus petit entier dont l’image inverse est de cardinal supérieur ou égal à 2. La surjection
s s’écrit alors de manière unique comme une composée : sj ◦ s0 , avec s0 une surjectio monotone de [m] dans [n + 1]
telle que l’image inverse de j soit de cardinal 1. Il suffit alors d’appliquer l’hypothèse de récurrence à s0 pour avoir le
résultat.
En fait on montre ainsi que toute application surjective monotone de [m] dans [n] a une décomposition bien définie
sous la forme
sj1 ◦ sj2 ◦ . . . ◦ sjt
avec t = m − n et j1 < j2 < . . . < jt . L’ordre sur les jα est conséquence de la construction et de l’hypothèse sure s0
faite plus haut.
Cette décomposition est unique. En effet sa longueur est nécessairement n−m, de plus l’indice j1 est le plus petit entier
qui n’est pas dans l’image. Une hypothèse de récurrence concernant l’unicité permet alors d’achever la démonstration.
et donc
Corollaire 2.1.4 Toute application monotone f de [m] dans [n] a une écriture unique
di1 ◦ di2 ◦ . . . ◦ di` ◦ sj1 ◦ sj2 ◦ . . . ◦ sjh
avec i1 > i2 > . . . > i` , j1 < j2 < . . . < jh et si k estr le cardinal de l’image de f , alors ` = n − k, h = m − k .
L’existence a été démontrée. L’unicité suit de ce qui a été dit plus haut, et du fait que la décomposition d’une
application monotone comme composée d’une application injective monotone et d’une application surjective monotone
est unique.
Ceci permet de finir la démonstration de la proposition. Etant donnée un e application monotone f [m] dans [n] on
doit définir l’application induite f ∗ : Xn → Xm . Si f = di1 ◦ di2 ◦ . . . ◦ di` ◦ sj1 ◦ sj2 ◦ . . . ◦ sjh on définit f ∗ par
f ∗ = sjh ◦ sjh−1 ◦ . . . ◦ sj1 ◦ di` ◦ di`−1 ◦ . . . ◦ di1
Il faut vérifier que pour deux applications monotones f et g on a (f g)∗ = g ∗ ◦ f ∗ . Soient les décompositions canoniques
f ∗ = sjh ◦ sjh−1 ◦ . . . ◦ sj1 ◦ di` ◦ di`−1 ◦ . . . ◦ di1
et
g ∗ = skh0 ◦ skh0 −1 ◦ . . . ◦ sk1 ◦ dm`0 ◦ dm`0 −1 ◦ . . . ◦ dm1
On forme la composée
skh0 ◦ . . . ◦ sk1 ◦ dm`0 ◦ . . . ◦ dm1 ◦ sjh ◦ . . . ◦ sj1 ◦ di` ◦ . . . ◦ di1
En utilisant les relations de commutations des si et des dj de [?] on peut d’abord se ramener à un expression de la
forme
snh+h0 ◦ . . . ◦ sn1 ◦ dp`+`0 ◦ . . . ◦ dp1
sans conditions d’ordre sur les indices.
Puis en utilisant les relations de commutattion des si entre eux puis des di entre eux oin se ramène à une expression
du même type mais satisfaisant la condition d’ordre sur les indices. Cette écriture correspond, par unicité, à la
décomposition de f ◦ g ce qui donne le résultat.
Voici plusieurs exemples fondamentaux d’ensemble simplicial.
2.1. ENSEMBLES SIMPLICIAUX, LE NERF D’UNE CATÉGORIE
23
Définition 2.1.5 (n-simplexe standard) Soit ·[\] l’ensemble simplicial défini par
• L’ensemble des m-simplexes ∆[n]m est l’ensemble des applications monotones de [m] dans [n].
• Soit f une application monotone de [m] dans [p]. L’application induite de ∆[n]p dans ∆[n]m est donnée par
g 7→ f ◦ g.
On notera que si δn est l’identité de [n], un élément quelconque g ∈ ∆[n]p s’écrit g ∗ (δn ).
Définition 2.1.6 (Nerf d’une catégorie) Soit C une catégorie. On définit un ensemble simplicial N (C)• par
• L’ensemble des n-simplexes N (C)n sont les suites
αn−1
α
0
C1 →
− ... →
− Cn−1 −−−→ Cn
C0 −→
avec αi ∈ mor(Ci , Ci+1 ).
• L’application de face di envoie le n-simplexe
α
αn−1
0
C0 −→
. . . −−−→ Cn
vers le n − 1-simplexe
α
αi+1 ◦αi
αn−1
0
− . . . −−−→ Cn
C0 −→
... →
− Ci −−−−−→ Ci+2 →
• L’application de dégénérescence sj envoie le n-simplexe
α
αn−1
0
C0 −→
. . . −−−→ Cn
vers le n + 1-simplexe
α
Id
αj
αn−1
0
C0 −→
... →
− Cj −→ Cj −→ Cj+1 . . . −−−→ Cn
Définition 2.1.7 (Complexe singulier d’un espace) Soit X un espace topologique. On définit le complexe singulier de
X, Sin• (X) par
• L’ensemble n-simplexes Sinn (X) est l’ensemble des applications continues de ∆n dans X. Une application de
∆n dans X est appelé un n-simplexe singulier.
• L’application de face di envoie le n-simplexe singulier σ : ∆n → X vers le n − 1-simplexe singulier ∆n−1 =
∆n (i) → ∆n .
sj
• L’application de dégénérescence sj envoie le n-simplexe singulier σ : ∆n → X vers le n + 1-simplexe ∆n+1 −→
σ
→ X. Où sj est la restriction l’application
∆n −
(x1 , . . . , xn ) 7→ (x1 , . . . , xj + xj+1 , . . . , xn+1 )
de Rn+1 dans Rn à ∆n+1 et qui prend valeurs dans ∆n .
Définition 2.1.8 Soit X un espace topologique. On définit le complexe des chaı̂nes singulières à coefficients dans R
de X, C• (X; R) par
• L’ensemble n-chaı̂nes Cn (X; R) est le R-module libre de base l’ensemble Sinn(X).
• L’application de face di est l’extension R-linéaire de l’application di sur les simplexes singuliers.
• L’application de dégénérescence sj est l’extension R-linéaire de l’application sj sur les simplexes singuliers.
24
CHAPTER 2. ENSEMBLES SIMPLICIAUX, LE NERF D’UNE CATÉGORIE
2.1.1
Réalisation géométrique.
Soit xX• un espace simplicial. On considère l’espace suivant
a
|X• | =
Xn × ∆n /R
n
où R est la relation d’équivalence engendrée par les relations élémentaires
(f ∗ (x), e) (x, f∗ (e))
pour toute application monotone f de [m] dans [n].
L’application f∗ : ∆m → ∆n est l’unique extension affine de l’application qui envoie le i-ème sommet vers le f (i)-ème
sommet.
• Si on considère l’ensemble simplicial tel que Xn est réduit à un point pour tout n alors la réalisation géométrique
est un point.
• Si on considère un ensemble simplicial constant (c’est-à-dire que Xn = X pour tout n et que toutes les applications
faces et dégénérescences sont égales à l’identité) alors la réalisation de l’espace est X avec la topologie discrète
évidemment (c’est la seule qu’on ait sur X!).
• Si on prend le n-simplexe ∆[n], on a :
Lemma 2.1.9 La réalisation géométrique |∆[n]| s’identifie avec ∆n .
En effet on doit identifier dans
a
∆[n]m × ∆m
m
∗
les points (f (x), e) et (x, f∗ (e)), avec f monotone de [m] dans [p], x ∈ ∆[n]p et e ∈ ∆m . Or un élément de
x ∈ ∆[n]p s’écrit g ∗ (δn ) pour un unique g ainsi qu’on l’a vu plus haut. On observe alors qu’il suffit d’identifier
les points (g ∗ (δn ), e) et (δn , g∗ (e)). La relation d’équivalence engendrée est la même. On en déduit aussitÙt que
|∆[n]| est un quotient de ∆n .
Maintenant il faut montrer qu’il n’y a pas d’identifications supplémentaires. Si deux points (δn , e) et (δn , e0 ))
sont identifiés il doit y avoir entre eux une chaÓne du type :
(δn , e) = (δn , g∗ (e0 )) ∼ (g ∗ (δn ), e0 ) = (h∗ (δn ), e0 ) = (h∗ (δn ), e0 ) ∼ (δn , h∗ (e0 ))
Maintenant si g ∗ (δn ) = (h∗ (δn ) on a g = h et h∗ (e0 ) = e. Le résultat suit.
2.1.2
Le complexe singulier d’un espace topologique
Chapter 3
Fibrés vectoriels et K-théorie
Les espaces topologiques seront toujours supposés localement connexes, séparés, paracompacts et avec une base dénombrable
d’ouverts.()
C + X ()
3.1
Quasi fibrés vectoriels et fibrés vectoriels, sections
3.1.1
Définitions
Les notes ci dessous suivent le livre de Karoubi de près.
Dans la suite k désigne soit le corps des réels R, soit celui des complexes C, soit celui des quaternions H.
Le produit fibré au dessus de Z deux applications f : X → Z et g : Y → Z est le sous-ensemble de X × Y constitué
par les couples (x, y) tels que f (x) = g(y). On le note X ×Z Y . On a un diagramme commutatif :
X ×Z Y
p2
p1
X
/Y
g
/Z
f
Définition 3.1.1 Un quasi-fibré vectoriel ξ sur un corps k, est la donnée d’une application continue surjective p : E →
B. On suppose que :
• il existe des applications continues + : E×B E → E et ∗ : k×E → E, (λ, x) 7→ λ∗x, λ ∈ k telles que p(λ∗v) = p(v)
pour tous v ∈ E et λ ∈ k. On note Eb = p−1 (b).
• Les applications induites + : Eb × Eb , k × Eb → Eb déterminent sur Eb une structure d’espace vectoriel sur k.
On supposera toujours que la dimension de cet espace vectoriel est finie.
L’espace E est l’espace total du fibré, B est la base, p est la projection, Eb la fibre en b.
On définit les homomorphismes de fibrés vectoriels, d’abord au dessus d’une même base :
Définition 3.1.2 Un homomorphisme ϕ d’un quasi- fibré vectoriel ξ = (p : E → B) dans un quasi-fibré vectoriel
ξ 0 = (p0 : E 0 → B) est une application continue ϕ : E → E 0 telle que les conditions suivantes aient lieu :
• p = p0 ◦ ϕ, donc on a des applications de restrictions ϕb : Eb → Eb0 sur chaque fibre,
• ces applications sont linéaires sur chaque fibre, c’est à dire que pour tout b ∈ B, x, y ∈ Eb , λ ∈ k, ϕb (x + y) =
ϕb (x) + ϕb (y), ϕ(λ ∗ x) = λ ∗ ϕ(x).
Cette définition s’étend évidemment au cas de quasi-fibrés de bases différentes ξ = (p : E → B) ξ 0 = (p0 : E 0 → B 0 )
25
26
CHAPTER 3. FIBRÉS VECTORIELS ET K-THÉORIE
Définition 3.1.3 Un homomorphisme ϕ d’un quasi-fibré vectoriel ξ = (p : E → B) dans un quasi-fibré vectoriel
ξ 0 = (p0 : E 0 → B 0 ) est d’un couple d’applications continues ϕ : E → E 0 et f : B → B 0 ) tel que les conditions suivantes
aient lieu :
• f ◦ p = p0 ◦ ϕ, soit la commutativité de
E
ϕ
p0
p
B
/ E0
f
/ B0
donc on a des applications de restrictions ϕ : Eb → Ef0 (b) sur les fibres,
• ces applications sont linéaires sur les fibres.
Si V est un espace vectoriel B × V → B est le fibré trivial. Si d est la dimension de V il sera noté θkd , quand le contexte
rend clair sur quel corps on travaille l’indice k sera omis.
Un quasi-fibré vectoriel est un fibré vectoriel si il vérifie en tout b ∈ B, la condition de trivialité locale suivante :
Définition 3.1.4 On dira qu’un quasi-fibré ξ = (p : E → B) est localement trivial en b ∈ B si il existe un voisinage
de b, Ub , un espace vectoriel V , tel qu’existe un homéomorphisme hV : Ub × V → p−1 (Ub ) rendant commutatif le
diagramme suivant
hU
/ p−1 (Ub )
Ub ×6V
66
66
66 p
66 1
p
66
66
6 Ub
où p1 est la projection sur le premier facteur.
On demande de plus que pour tous λ ∈ k, v ∈ V , b0 ∈ Ub on ait
hU ((b0 , λv)) = λ ∗ hU ((b0 , v))
et
hU ((b0 , v + w)) = hU ((b0 , v)) + hU ((b0 , w)), v, w ∈ Eb0
La fibre Eb s’identifie donc à V comme espace vectoriel, V sera aussi appelé la fibre dans ce cas. Dans la suite on
notera λ ∗ x plus simplement λx.
Définition 3.1.5 Un quasi-fibré ξ = (p : E → B) est un fibré vectoriel si il vérifie en tout b ∈ B la condition de
trivialité locale.
Proposition 3.1.6 Soit ξ un fibré vectoriel. La fonction dim : B → N, b 7→ dim Eb est localement constante. Donc
constante sur les composantes connexes.
Si B est connexe la valeur de la fonction est appelée la dimension du fibré.
Le fibré vectoriel trivial θkn de base B et de dimension n a pour espace total B ×k n , et pour projection p1 : X ×k n → B.
Voici une construction élémentaire sur les quasi-fibrés ou les fibrés.
Définition 3.1.7 (quasi-fibré et fibré induit)
Soient f : X → B et ξ = (p : E → B) un quasi fibré vectoriel de base B. Le quasi fibré induit par f de base X est
donné par
f ∗ (ξ) = (π : E 0 → X), E 0 = {(x, e)|f (x) = p(e)} ⊂ X × E, π((x, e)) = p(e)
3.1. QUASI FIBRÉS VECTORIELS ET FIBRÉS VECTORIELS, SECTIONS
27
La fibre en x s’identifie à la fibre en f (x). Quand ξ est un fibré vectoriel f ∗ (ξ) est un fibré vectoriel, en effet par
construction si Ub est un ouvert de trivialisation pour ξ, et si x ∈ X, tout ouvert U tel que x ∈ U et f (U ) ⊂ Uf (x)
sera un ouvert de trivialisation pour f ∗ (ξ).
Un cas particulier de cette construction est donnée par le cas de l’inclusion i d’un sous-espace X dans B. Dans ce cas
le quasi fibré, ou le fibré, induit par restriction , sera noté i∗ (ξ) ou ξ|X selon l’usage.
Définition 3.1.8 (Sections d’un fibré vectoriel) On appelle section d’un fibré vectoriel ξ = (p : E → B) toute application continue s : B → E telle que p ◦ s = Id. La section nulle est donnée par b 7→ 0 ∈ Eb .
L’espace des sections d’un fibré ξ = (p : E → B), qui est un espace vectoriel, est noté Γ(ξ) ou Γ(X, E).
Le théorème suivant relève de la topologie générale, pour sa démonstration on renvoie à [1].
Théorème 3.1.9 Soient B un espace paracompact, X un sous-espace fermé etξ un fibré de base B. Alors l’application
de restriction
Γ(ξ) → Γ(ξ|X )
est surjective. Autrement dit toute section de ξ au dessus de X s’étend en une section globale.
On utilisera ce théorème lors de la classification homotopique des fibrés de la manière suivante : une section sur un
sous-espace fermé et ne prenant pas la valeur nulle s’étend sur un voisinage du fermé en une section ne prenant pas la
valeur nulle.
Des sections si , 1 ≤ i ≤ n sont dites linéairement indépendantes si pour tout b ∈ B le système (s1 (b), . . . , sn (b)) est
libre.
Proposition 3.1.10 Un fibré vectoriel de dimension n est trivial si et seulement si il admet n sections linéairement
indépendantes.
On donnera plus bas des exemples, mais en voici un fondamental.
Soit V un espace vectoriel sur k. A partir du fibré trivial B × V → B → B, on forme le nouveau fibré trivial
B×End(V ) → B → B. Soit maintenant s : B → End(V ) une application continue prenant valeurs dans les projecteurs,
on a donc s(b)2 = s(b) pour tout b ∈ B.
Le rang du projecteur s(b), étant égal à la trace de la matrice, est constant sur les composantes connexes. Par extension
l’application s sera aussi appelée un projecteur.
Proposition 3.1.11 L’espace σ = {s(b)(v)| ∈ B, v ∈ V } munit de la projection canonique sur B est un fibré vectoriel.
Il convient juste de vérifier la trivialité locale. Soit b ∈ B, par continuité de s on peut choisir un voisinage Ub de b tel
que pour une norme quelconque sur End(V ) on ait ks(b) − s(b0 )k < 21 pour tout b0 ∈ Ub . On pose W = Ims(b).
La trivialisation locale est donnée par
σ|Ub → Ub × W, (b0 , w) 7→ (b0 , s(b) ◦ s(b0 )(w))
Il suffit de vérifier que l’application w 7→ s(b)(w) est injective (et donc bijective) sur s(b0 )(V ), w = s(b)(w), donc
s(b0 )(w) − w = s(b0 ) ◦ s(b)(w) − s(b0 )(w) = (s(b) − s(b0 ))(w)
donc ks(b0 )(w) − wk < 21 kwk. Il suit que s(b0 )(w) 6= 0.
Voici en exemple une description du fibré de Moëbius λ1 de base RP 1 ∼
= S 1 . Une première définition de ce fibré est
la suivante. On fait le quotient de [0, 1] × R par la relation d’équivalence (0, x) ∼ (1, −x). La base, quotient de [0, 1],
s’identifie à S 1 par t 7→ e2πit . La fibre en tout point est isomorphe à R.
On peut le voir comme facteur direct dans le fibré trivial θ2 ∼
= S 1 × R2 de base S 1 .
Proposition 3.1.12 Le fibré vectoriel λ1 est l’image du projecteur
cos(t/2)2
− sin(t/2) cos(t/2)
p : eit 7→
− cos(t/2) sin(t/2)
sin(t/2)2
Exercice 3.1.13 Démontrer la proposition.
28
CHAPTER 3. FIBRÉS VECTORIELS ET K-THÉORIE
Ce fibré vectoriel n’admet pas de section partout non nulle. La formule ”évidente” ci dessous pour une section
cos(t/2)
it
p : e 7→
− sin(t/2)
n’est pas bien définie, ni continue si on fait un choix. Une façon de voir qu’il n’est pas isomorphe au fibré trivial est
la suivante. L’espace E \ B, pour un fibré réel ξ trivial de dimension un sur une base connexe est non connexe. Alors
que les formules données plus haut montrent que pour le fibré de Moëbius sur S 1 l’espace E \ B est connexe.
Tout fibré vectoriel sur un espace compact est, à isomorphisme près, image d’un projecteur comme ci-dessus 3.1.11.
Cela sera démontré dans la section suivante après que l’on ait défini la somme de Whitney.
3.2
Construction sur les fibrés vectoriels
Dans les constructions ci dessous il convient de vérifier qu’elles respectent la condition de trivialité locale. Ceci est en
général aisé et ne sera pas fait systématiquement.
3.2.1
Assemblage
Proposition 3.2.1 (Assemblage ou recollement) Soient ξ = (p : E → B) et ξ 0 = (p0 : E 0 → B 0 ). On suppose que B et
B 0 sont deux sous-espaces ouverts d’un espace X, et que X = B ∪ B 0 . On suppose donné un isomorphisme
0
ψ : ξ|B∩B 0 → ξ|B∩B
0
Alors il existe un fibré vectoriel de base Ξ = (F → X), appelé assemblage ou recollement de ξ et ξ 0 au dessus de
B ∩ B 0 , , tel que
`
• F = E E 0 /(e ∼ ψ(e), e ∈ ξ|B∩B 0 ,
• comme pξ|R = p0 ◦ ψ la projection π est bien définie.
Pour montrer que l’assemblage est un fibré on utilise l’hypothèse que B et B 0 sont ouverts.
L’exemple le plus classique d’application est celui aux suspensions ΣX. On travaille avec la suspension non réduite,
c’est le quotient de X × [−1, +1] par la relation qui identifie tous les points (x, 1) en un seul d’un côté et tous les
points (x, −1) en un seul d’un autre côté. Le cône positif correspond aux points (x, u) avec u ≥ 0, le cône négatif à
ceux pour lesquels u ≤ 0.
La suspension non réduite est réunion du cône positif et du cône négatif qui sont tous les deux des espaces contractiles,
ΣX = C + X ∪ C − X, X = C + X ∩ C − X.
Les cônes positifs et négatifs ne sont pas des ouverts de la suspension. Mais C + X est rétracte par déformation
de l’ouvert U + quotient de X×] − 1/2, 0], resp. C − X est rétracte par déformation de l’ouvert U − quotient de
X × [−1, +1/2[; U + ∪ U − ∼
= X×] − 1/2, 0] se rétracte par déformation sur X. Ceci autorise à travailler directement
avec les cônes positifs et négatifs.
On verra plus loin qu’un fibré vectoriel sur un espace contractile est isomorphe au fibré trivial. Il en résulte que la
donnée d’un fibré vectoriel ξ de fibre V sur ΣX, fournit des trivialisations
t+ : ξ|C + X → C + X × V
sur le cône positif , respectivement
t− : ξ|C − X → C + X × V
sur le cône négatif. Ceci détermine une application α : X → GL(V ) par
x 7→ (v 7→ p2 ◦ t− ◦ (t+ )−1 (x, v))
où p2 : X × V → V est la projection sur le second facteur. La proposition 3.2.1 devient :
Proposition 3.2.2 Le fibré ξ est isomorphe au fibré obtenu par assemblage des fibrés triviaux de base C + X et C − X,
de fibre V , le long de l’intersection X, à l’aide de l’application α.
3.2. CONSTRUCTION SUR LES FIBRÉS VECTORIELS
29
C
+X
X
C+X
U+
X
U‐
C‐X
Figure 3.1: 1
Ceci s’applique en particulier aux sphères, on y reviendra.
La construction de 3.2.1 se généralise au cas d’un recouvrement ouvert quelconque. Soit un fibré vectoriel ξ = (p : E →
B) et Ui , hi , i ∈ I, et un système d’ouverts trivialisants pour ξ. Les applications hi satisfont donc aux conditions de
3.1.4. Pour simplifier les notations on suppose que la fibre est pour tout i isomorphe au même espace vectoriel V . Ces
données permettent de construire un nouveau fibré vectoriel comme suit. L’espace total est le quotient de
a
Ui × V
i
par toutes les relations (b, v) ∼ (b, h−1
j ◦ hi (v)) dès que celles ci ont un sens, c’est-à-dire quand b ∈ Ui ∩ Uj . La
projection est induite des produits. On pose gi,j : Ui ∩ Uj → GL(V ) pour l’application b 7→ (v 7→ h−1
j ◦ hi (v)). On
notera :
Proposition 3.2.3 Sur Ui ∩ Uj ∩ Uk la relation de cocycles a lieu :
gk,i = gk,j ◦ gj,i
Proposition 3.2.4 L’application canonique du fibré obtenu par assemblage vers le fibré initial est un isomorphisme.
3.2.2
Constructions fonctorielles
Définition 3.2.5 (Somme de Whitney)
Soient ξ = (p : E → B) et ξ 0 = (p0 : E 0 → B) deux fibrés vectoriels de base B. La somme de Whitney ξ⊕ξ 0 : E ⊕E 0 → B
est définie comme suit. L’espace total E ⊕ E 0 est l’ensemble
{(x, x0 )|(x, x0 ) ∈ E × E 0 , tels que p(x) = p0 (x0 )}
la projection est donnée par (x, x0 ) 7→ p(x) = p(x0 ) = b. C’est un sous-espace de E × F , et a donc ainsi une topologie
naturelle.
30
CHAPTER 3. FIBRÉS VECTORIELS ET K-THÉORIE
La fibre en b ∈ B est donc isomorphe à Eb ⊕ Eb0 . Si la condition de trivialité est satisfaite sur Ub au voisinage de b pour
E, respectivement sur Ub0 au voisinage de b pour E 0 elle le sera sur l’intersection Ub ∩ Ub0 pour la somme de Whitney.
Le résultat suivant est fondamental :
Théorème 3.2.6 Soit B un espace compact, et ξ = (p : E → B) un fibré vectoriel. Il existe un fibré ζ te que le fibré
ξ ⊕ ζ est isomorphe au fibré trivial.
On se ramène au cas où la base est connexe et soit alors d la dimension de la fibre. La démonstration utilise les
partitions de l’unité. On se donne un recouvrement f de la base par n ouverts de trivialisation Ui , soient hi les
homéomorphismes de trivialisation. Et soit ci une partition de l’unité subordonnée au recouvrement. On définit un
morphisme injectif ξ → θnd ∼
= θd ⊕ . . . ⊕ θd par la formule suivante, pour v ∈ Eb :
−1
−1
v 7→ c1 (b)h−1
1 (v) + . . . + ci (b)hi (v) + . . . + cn (b)hn (v)
On identifie ξ à son image par le plongement. Le fibré ζ est un supplémentaire de ξ plongé dans θnd . La façon la
plus simple de le construire est d’introduire un produit scalaire <, > sur Rnd , resp. Cnd . Alors l’espace total de ζ
est constitué par l’ensemble des (b, v) ∈ B × Rnd , resp. B × Rnd , tels que < v, w >= 0 pour tous les w ∈ Eb . Il est
facile de voir que ζ est un fibré, et par construction ξ ⊕ ζ ∼
= θnd , et ξ est l’image de la projection orthogonale de θnd
parallèlement à ζ.
Définition 3.2.7 (Homomorphismes)
Soient ξ = (p : E → B) et ζ = (p0 : F → B) deux fibrés vectoriels de base B. Le fibré vectoriel Hom(ξ, ζ) est défini
comme suit. L’espace total Hom(E, F ) est l’ensemble des couples
{(h, b)|b ∈ B, h ∈ Hom(Eb , Fb )
La projection est donnée par (h, b) 7→ b. L’espace total est muni d’une topologie de la manière suivante. Soit Ub un
voisinage ouvert connexe de trivialisation commun à ξ et ζ, V et W les fibres respectives. Les homéomorphismes de
trivialisation fournissent une bijection entre le sous-espace (qui doit être un ouvert) Hom(ξ|Ub , ζ|Ub ) ⊂ Hom(ξ, ζ) et
Uf × Hom(V, W ). La topologie est définie par transfert de structure sur ce sous-espace. Ces sous-espaces forment un
recouvrement de Hom(ξ, ζ), ceci définit une base d’ouverts et donc la topologie.
Définition 3.2.8 (Dual) Un cas particulier de la définition précédente est celui où ζ est le fibré trivial de dimension
1. Dans ce cas on obtient le fibré ξ ∗ dual de ξ.
Définition 3.2.9 (Produit tensoriel) Si ξ et ζ sont des fibrés vectoriels de base B, le fibré ξ ⊗ ζ est par définition
Hom(ξ ∗ , ζ).
Soit F un foncteur de la catégorie des k-espaces vectoriels vers la catégorie des k-espaces vectoriels. Il sera dit continu
si l’application
Hom(V, W ) → Hom(F (V ), F (W ))
est continue pour tous V et W . Des exemples de tels foncteurs suivent :
• V 7→ S n (V ),
• V 7→ Λn (V ),
• V 7→ Γn (V ),
• V 7→ Tn (V ).
Définition 3.2.10 (Cas général d’un foncteur continu) Soit F un foncteur continu de la catégorie des k-espaces
vectoriels vers la catégorie des k-espaces vectoriels. Il s’étend naturellement en un foncteur de la catégorie des fibrés
vectoriels de B dans elle même.
Dans le cas de fibrés vectoriels complexes (ou quaternioniens) on peut aussi construire le conjugué ξ¯ d’un fibré vectoriel
ξ = (p : E → B).
Définition 3.2.11 L’espace total et la projection de ξ¯ sont les mêmes que pour ξ, mais l’application de structure
k × E → E, (λ, v) → λ ∗ v est remplacée par k × E → E, (λ, v) → λ̄ ∗ v.
3.3. EXEMPLES GÉOMÉTRIQUES DE FIBRÉS
3.3
31
Exemples géométriques de fibrés
Dans la définition suivante CP n est interprétée comme étant l’ensemble des droites vectorielles de Cn+1 .
Définition 3.3.1 On appelle fibré de Hopf sur CP n , et on note γn , le sous-espace de CP n × Cn+1 constitué par les
éléments (L, v) où L est un sous-espace de dimension 1 de Cn+1 et v ∈ L.
On note p l’application de λn vers CP n qui à (L, v) associe L.
On met sur Cn+1 le produit hermitien standard. Soit D(γn ) l’ensemble des (L, v) avec |v| ≤ 1, et S(γn ) l’ensemble
des (L, v) avec |v| = 1.
Proposition 3.3.2 L’espace D(λn )/S(γn ), appelé espace de Thom de γn , est homéomorphe à CP n+1 .
Voici une variante.
Proposition 3.3.3 Le compactifié d’Alexandroff de γn est homéomorphe à CP n+1 .
Démonstration : Soit (L, v) ∈ λn . Supposons donc donné un vecteur non nul ` = (`1 , . . . , `n+1 ) ∈ Cn+1 déterminant
L et v = (v1 , . . . , vn+1 ) colinéaire à `. Quitte à remplacer ` par µ`, avec µ complexe de module 1, on peut toujours
supposer < `|v >≥ 0.
On détermine une application dans CP n+1 comme suit. On associe à (L, v) l’élément (`1 , . . . , `n+1 , < `|v >. Supposons
que ||v|| tende vers +∞. Alors l’image du point (L, v)λn dans RP n+1 tend vers la classe de (0, . . . , 0, 1). En effet si
w = (`1 , . . . , `n+1 , < `|v >) le point
`1
`n+1 < `|v >
w
=(
,...,
,
)
||w||
||w||
||w|| ||w||
tend vers le point (0, . . . , 0, 1) de S 2n+1 . Les (n + 1)-premières coordonnées tendant vers 0, la dernière vers 1 car on a
supposé < `|v >≥ 0.
Définition 3.3.4 On appelle fibré de Hopf sur RP n , et on note λn , le sous-espace de RP n × Rn+1 constitué par les
éléments (L, v) où L est un sous-espace de dimension 1 de Rn+1 et v ∈ L.
On note p l’application de λn vers RP n qui à (L, v) associe L.
On met sur Rn+1 le produit scalaire standard. Soit D(λn ) l’ensemble des (L, v) avec |v| ≤ 1, et S(λn ) l’ensemble des
(L, v) avec |v| = 1.
Proposition 3.3.5 L’espace D(λn )/S(λn ), appelé espace de Thom de λn , est homéomorphe à RP n+1 .
On va démontrer la variante ci-dessous. Le passage de la proposition suivante à celle ci se fait en observant que
v
l’intérieur de D(λn ) est homéomorphe λn . L’homéomorphisme est donné par (L, v) 7→ (L, 1−||v||
). Puis que le
compactifié d’Alexandroff de λn est homéomorphe à l’espace de Thom. Ce dernier point se montre en observant
que l’application ci-dessus de l’intérieur de D(λn ) vers λn se prolonge en une application continue de D(λn ) vers le
compactifié de λn en envoyant S(λn ) sur le point à l’infini. L’application passe au quotient et donne une bijection
continue et donc un homéomorphisme puisque la source est compacte.
Le fibré λ1 est obtenu à partir du fibré trivial sur U = S 2 \ {n} et V = S 2 \ {s} par assemblage comme suit. On
identifie S 2 à CP 1 et on décrira les points par leurs coordonnées homogènes, le pôle nord au point de coordonnées
homogènes (1, 0), le pôle sud a (0, 1). Une trivilasition de λ1 sur U est donnée par
p−1 (U ) → U × C, ((z1 , z2 ); (v1 , v2 )) 7→ ((z1 , z2 ); v1 )
où
sur V par
p−1 (V ) → V × C, ((z1 , z2 ); (v1 , v2 )) 7→ ((z1 , z2 ); v2 )
Sur la copie de S 1 constitué par les points (eiθ , 1 la composée de la trivialisation et de la réciproque est
((eiθ , 1); v) 7→ ((eiθ , 1); (v, e−iθ ) 7→ eiθ , 1); e−iθ v)
Voici une variante.
Proposition 3.3.6 Le compactifié d’Alexandroff de λn est homéomorphe à RP n+1 .
32
CHAPTER 3. FIBRÉS VECTORIELS ET K-THÉORIE
Démonstration : Soit (L, v) ∈ λn . Supposons donc donné un vecteur non nul ` = (`1 , . . . , `n+1 ) ∈ Rn+1 déterminant
L et v = (v1 , . . . , vn+1 ) colinéaire à `. Quitte à remplacert ` par −` on peut toujours supposer < `|v >≥ 0.
On détermine une application dans RP n+1 comme suit. On associe à (L, v) l’élément (`1 , . . . , `n+1 , < `|v >. Supposons
que ||v|| tende vers +∞. Alors l’image du point (L, v)λn dans RP n+1 tend vers la classe de (0, . . . , 0, 1). En effet si
w = (`1 , . . . , `n+1 , < `|v >) le point
`1
`n+1 < `|v >
w
=(
,...,
,
)
||w||
||w||
||w|| ||w||
tend vers le point (0, . . . , 0, 1) de S n+1 . Les (n + 1)-premières coordonnées tendant vers 0, la dernière vers 1 car on a
supposé < `|v >≥ 0.
3.3.1
Le fibré canonique sur les espaces projectifs
On identifie CP n , respectivement RP n , à l’ensemble des droites L dans Cn+1 , respectivement Rn+1 . Ces ensembles
sont naturellement munis d’une topologie : RP n est le quotient de S n par l’action antipodale qui identifie x à −x,
CP n est lui le quotient de S 2n+1 par l’action du groupe S 1 des nombres complexes de modules 1.
On peut aussi voir ces ensembles comme sous-ensembles d’espaces RN avec N assez grand, voir 4.1.9 et les constructions
qui suivent..
Définition 3.3.7 L’espace total du fibré canonique λn de base CP n , resp. RP n , est le sous-ensemble de CP n × Cn+1 ,
resp. de RP n × Rn+1 :
{(L, v)| v ∈ L}
La projection est donnée par (L, v) 7→ L.
Comme on a vu plus haut que le fibré de Moëbius λ1 est non trivial ce qui implique que les fibrés λn sur les espaces
RP n le sont aussi. Les résultats suivants utilisent les fibrés tangents aux variétés 4.2.
Proposition 3.3.8 La somme de Whitney du fibré tangent à RP n , respectivement à CP n , et d’un fibré trivial, soit
T RP n ⊕ θR1 , respectivement T CP n ⊕ θC1 , est isomorphe à la somme de Whitney (λn∗ )⊕n+1 .
En effet, le fibré tangent à S n , respectivement à S 2n+1 , a une action du groupe Z/2Z, respectivement S 1 . Le quotient
est le fibré tangent à RP n , respectivement T CP n . Le résultat suit alors des observations suivantes.
• D’abord on a T S n ⊕ R ∼
= RP n × Rn+1 , respectivement T CP n ⊕ C ∼
= Cn+1 .
• L’action des groupes Z/2Z et S 1 sur les membres de droite de ces identifications est l’action diagonale.
• Enfin le quotient de S n × R, resp. de S 2n+1 × C, l’action diagonale de Z/2Z, resp. de S 1 , est le dual du fibré
canonique λn .
Figure
3.3.2
Variétés de Stiefel et de Grassmann
Dans toute la suite on considérera les espaces Rn et Cn munis de leur produit scalaire, scalaire hermitien standard.
L’orthogonalité sera prise au sens correspondant à la situation. En particulier on emploiera la terminologie de systèmes
de vecteurs orthonormaux dans les deux cas. Les vecteurs de la base standard (orthonormée) seront notés ei .
Définition 3.3.9 (Variétés de Stiefel) La variété de Stiefel Wn+p,n (R), resp.Wn+p,n (C) est l’ensemble des systèmes
de n vecteurs (u1 , . . . , un) orthonormés dans Rn+p , resp. Cn+p .
Cet ensemble est naturellement muni d’une topologie, soit en utilisant l’argument ci-dessous qui l’identifie à un espace
homogène, soit en observant qu’on peut le plonger dans (Rn+p )×n , resp. (Cn+p )×n , par l’application (u1 , . . . , un ) 7→
u1 × . . . × un
Le groupe O(n + p), U (n + p), agit sur l’ensemble des n-repères orthonormés. A un système de vecteurs orthonormés
(v1 , . . . , vn ), et à M ∈ O(n + p), resp. U (n + p), on associe le système orthonomé (M v1 , . . . , M vn ). Cette action
est transitive. Le stabilisateur d’un n-système est le groupe unitaire (resp. orthogonal) du sous-espace orthogonal,
3.3. EXEMPLES GÉOMÉTRIQUES DE FIBRÉS
33
isomorphe donc à O(p), resp. U (p). En particulier le stabilisateur du système des n premiers vecteurs de la base
standard est l’ensemble des matrices orthogonales ou unitaires de la forme :


1 0 ... ...
0
0 1
0 ... ...
0




... ...


0 . . .
1
0
...
0



0 . . .
0



 ... ...
Mp
0 ...
0
avec Mp orthogonale ou unitaire (p, p).
Il en résulte que :
Proposition 3.3.10 les variétés de Stiefel sont difféomorphes aux espaces homogènes suivants, et sont des variétés
différentiables :
• Wn+p,n (R) ∼
= O(n + p)/O(p),
• Wn+p,n (C) ∼
= U (n + p)/U (p).
Proposition 3.3.11 Le groupe O(n), resp. U (n) agit librement (à droite) sur les variétés de Stiefel Wn+p,n (R), resp.
Wn+p,n (C).
Dans cette proposition les groupes O(n) et U (n) sont identifiés à ceux correspondants aux n premières coordonnées.
L’action est donnée par la formule
(M, (v1 , . . . , vn )) 7→ (v1 , . . . , vn )M
avec M ∈ O(n), resp. U (n).
On a des inclusions
• Wn+p,n (R) ,→ Wn+p+1,n (R),
• Wn+p,n (C) ,→ Wn+p+1,n (C)
obtenues par inclusion de l’espace de dimension n + p dans celui de dimension n + p + 1;
on a aussi
• Wn+p,n (R) ,→ Wn+p+1,n+ (R),
• Wn+p,n (C) ,→ Wn+p+1,n+ (C)
obtenues par adjonction au système donné des n vecteurs le (n + p + 1)-ième vecteur, en+p+1 , de la base standard.
La variété de Grassmann ou grassmannienne Gn+p,n (R), resp. Gn+p,n (C) est l’ensemble des n-sous-espaces dans Rn+p ,
resp. Cn+p . Ces ensemblesaussi peuvent être muni d’une topologie et d’une structure de variété différentiable. Ceci
peut être vu comme suit. Le groupe O(n + p), resp. U (n + p), agit à gauche sur l’ensemble des n sous-espaces. Le
stabilisateur du sous-espace engendré par les n premiers vecteurs de base est O(n) × O(p), resp. U (n) × U (p). Il en
résulte
Proposition 3.3.12 On a des difféomorphismes :
Gn+p,n (R) ∼
= O(n + p)/O(n) × O(p)
Gn+p,n (C) ∼
= U (n + p)/U (n) × U (p)
On peut aussi plonger Gn+p,n (R), resp. Gn+p,n (C), dans un espace projectif, ce qui permet de définir une topologie
comme sous-espace. Soit un sous-espace L de dimension n, (u1 , . . . , un ) une base quelconque de L, le produit extérieur
u1 ∧ . . . ∧ un dans Λn (Rn+p ), resp. dans Λn (Cn+p ), est bien défini à un scalaire non nul près. On définit donc des
applications
Gn+p,n (R) → P(Λn (Rn+p )), resp. Gn+p,n (C) → P(Λn (Cn+p ))
qui sont, d’après l’algèbre multilinéaire, injectives.
34
CHAPTER 3. FIBRÉS VECTORIELS ET K-THÉORIE
Définition 3.3.13 Le fibré canonique γn+p,n de base Gn+p,n (R), respectivement Gn+p,n (C), est le sous-ensemble :
{(v, L)| v ∈ L, L n − sous − espace ⊂ Rn+p (resp. Cn+p )}
On a des inclusions :
• in+p,n : Gn+p,n (R) ,→ Gn+p+1,n (R),
• in+p,n : Gn+p,n (C) ,→ Gn+p+1,n (C),
• hn+p,n : Gn+p,n (R) ,→ Gn+p+1,n+1 (R),
• hn+p,n : Gn+p,n (C) ,→ Gn+p+1,n+1 (C),
Pour les deux premières l’application est induite par les inclusions par les (n + p) premières coordonnées Cn+p ,→
Cn+p+1 , resp. Rn+p ,→ Rn+p+1 ; pour les secondes à un n-sous-espace L ⊂ Cn+p , resp. L ⊂ Rn+p , on associe la somme
directe L ⊕ Cen+p+1 , resp. L ⊕ Ren+p+1 .
Ces applications induisent sur les fibrés vectoriels :
• γn+p,n ∼
= i∗n+p,n (γn+p+1,n ),
• h∗n+p,n (γn+p+1,n+1 ) ∼
= γn+p+1,n ⊕ C,
• h∗n+p,n (γn+p+1,n+1 ) ∼
= γn+p+1,n ⊕ R.
On introduit aussi
Définition 3.3.14 (Variétés de Stiefel et grassmaniennes infinies)
On pose Wn (R) = ∪p Gn+p,n (R), Wn (C) = ∪p Gn+p,n (C), et Gn (C) = ∪n Gn+p,n (C), Gn (R) = ∪n Gn+p,n (R).
Ces espaces sont munis de la topologie limite directe, on les appelle variétés de Stiefel et grassmaniennes infinies.
Théorème 3.3.15 La variété de Stiefel infinie est contractile.
Les variétés de Stiefel ont, en tant que variété, une structure de CW -complexe, il suffit donc de montrer la trivialité
des groupes d’homotopie. Or les fibrations :
O(n − 1) → O(n) → S n
et
U (n − 1) → U (n) → S 2n+1
et la suite exacte des groupes d’homotopie montrent que πk (O(n − 1)) ∼
= πk (O(n)) si k ≤ n − 1, resp. πk (U (n − 1)) ∼
=
πk (U (n)) si k ≤ 2n. Il suit que πk (Wn+p,n (R)) = {0} si k ≤ p, resp. πk (Wn+p,n (C)) = {0} si k ≤ 2p. Le résultat suit.
Ce résultat justifie que dans la suite on note BO(n) pour Gn (R), et BU (n) pour Gn (C).
Proposition 3.3.16 Les espaces BO(n), resp.BU (n), sont équipés d’un fibré vectoriel canonique colimite des fibrés
sur les espaces Gn+p,n (R), resp. Gn+p,n (C). On le notera γn (R), resp. γn (C).
Les applications hn+p,n ci dessus induisent des applications hn : BO(n) → BO(n + 1), resp. hn : BU (n) → BU (n + 1).
Proposition 3.3.17 On a un isomorphisme de fibrés h∗n (γn+1 ) ∼
= γn ⊕ θ 1 .
3.4
Métriques sur les fibrés, fibrés en disque, espace de Thom
Etant donné un fibré ξ de base B il est souvent commode d’avoir sur chaque fibre Eb une structure d’espace vectoriel
euclidien ou hermitien dépendant continûment de b. Ceci est possible :
Théorème 3.4.1 On peut trouver une section continue du fibré ξ ∗ ⊗ ξ ∗ , respectivement ξ ∗ ⊗ ξ¯∗ , prenant valeurs dans
les formes définies positives
3.4. MÉTRIQUES SUR LES FIBRÉS, FIBRÉS EN DISQUE, ESPACE DE THOM
35
On peut se ramener pour la démonstration à supposer que la base est connexe, si bien qu’en tout b ∈ B la fibre Eb est
isomorphe à une espace vectoriel V . Soit alors Ui , i ∈ I un recouvrement de B par des ouverts trivialisants. Puisque
B est paracompact on peut le supposer localement fini. Pour chaque i soit hi un homéomorphisme de trivialisation :.
hi : Ui × V → ξ|Ui
Soit aussi ci une partition de l’unité de B subordonnée à au recouvrement par les Ui . Les homéomorphismes hi
∗
, que l’on notera aussi hi
définissent aussi des homéomorphismes de la restriction du fibré Ui × V ∗ ⊗ V ∗ → ξ ∗ ⊗ ξ|U
i
par abus. Soit alors f ∈ V ∗ ⊗ V ∗ une forme bilinéaire définie positive. La section du fibré ξ ∗ ⊗ ξ ∗ , respectivement
ξ ∗ ⊗ ξ¯∗ donnée :
b 7→ Σi∈I ci (b)hi (f )
est une solution au problème. On adapte sans difficulté au cas hermitien. On dira alors que le fibré vectoriel est muni
d’une structure euclidienne, ou hermitienne définie positive.
Soit ξ = (p : E → B) un un tel fibré.
Définition 3.4.2 Le fibré en disque associé à ξ, D(ξ) est défini par
{x|x ∈ E, kxk ≤ 1}
Le fibré en sphères associé à ξ, S(ξ) est défini par
{x|x ∈ E, kxk = 1}
Dans les deux cas la projection est la restriction de p.
Il est facile de montrer que les fibrés en disque et en sphères associés ne dépendent pas du choix de la métrique, en ce
sens que pour deux métriques distinctes les fibrés correspondants sont isomorphes.
Définition 3.4.3 L’espace de Thom de ξ est le quotient T (ξ) = D(ξ)/S(ξ). Si la base est compacte on peut le voir
aussi comme le compactifié d’Alexandroff de E.
La construction est fonctorielle pour les morphismes de fibrés vectoriels préservant la forme quadratique ou hermitienne,
quitte à modifier celles ci. La seule condition nécessaire est que le morphisme soit injectif sur chaque fibre.
Voici des exemples :
Soit ξ est le fibré vectoriel trivial θn . L’espace T (θn ) est homéomorphe à la n-ième suspension réduite de B auquel on
adjoint un point base ”à l’extérieur”, 2n-ième si le fibré est complexe :
a
a
T (θRn ) = Σn (B
∗), T (θC2n ) = Σ2n (B
∗)
Proposition 3.4.4 L’espace de Thom T (ξ ⊕ θ1 ) est homéomorphe à ΣT (ξ) si k = R, Σ2 T (ξ) si k = C.
Soit λn le fibré vectoriel canonique sur RP n , respectivement sur CP n . Pour alléger les notations d’ici à la fin de cette
section on abrégera la notation en λ.
Proposition 3.4.5 L’espace de Thom de (λ∗ )⊕k est homéomorphe au quotient RP n+k /RP k−1 , resp. à CP n+k /CP k−1 .
On se place dans le cas complexe, le cas réel est identique. Dans ce qui suit on a identifié CP k−1 au sous-espace
de CP n+k constitué par les points dont les (n + 1)-coordonnées homogènes sont nulles. Un point du quotient
CP n+k /CP k−1 est soit le point base noté ∗, soit la donnée de (n + k + 1)-complexes ordonnés (z0 , . . . , zn , . . . , zk+1 ),
à un facteur scalaire non nul près , et dont les (n + 1) premiers ne sont pas tous nuls. Les complexes (z, . . . , zn )
déterminent une droite complexe L de Cn+1 , et chaque zi , n + 1 ≤ i ≤ n + k un élément du dual L∗ . Ceci détermine
un homéomorphisme du quotient CP n+k /CP k−1 \ ∗ vers l’espace total du fibré (λ∗ )⊕k . Celui ci s’étend en un
homéomorphisme de CP n+k /CP k−1 vers le compactifié d’Alexandroff de (λ∗ )⊕k , or l’espace de Thom est justement
le compactifié d’Alexandroff.
La proposition suivante est utile dans diverses situations :
Proposition 3.4.6 Soient ξ = (p : E → B) et ζ = (π : F → B) deux fibrés vectoriels de base commune B. Par
extension on note aussi p : D(ξ) → B, resp. π : D(ζ) → B pour la projection du fibré en disques.
Il existe une cofibration à homotopie près :
T (π ∗ (ξ|S(ζ) ) → T (ξ) → T (ξ ⊕ ζ)
36
CHAPTER 3. FIBRÉS VECTORIELS ET K-THÉORIE
La démonstration repose sur les observations suivantes :
• les espaces T (ξ) et T (π ∗ (ξ)) sont homotopiquement équivalents,
• et on a un homéomorphisme (sous l’hypothèse que la base est compacte)
T (ξ ⊕ ζ) = T (π ∗ (ξ))/T (π ∗ (ξ|S(ζ) )
Ce résultat permet aussi de retrouver le cas précédent. On obtient par exemple avec B = RP n , ξ le fibré de dimension
0 et ζ = λ :
a
a
Sn
∗ → RP n
∗ → T (λ) ∼
= RP n+1
puis avec B = RP n , ξ = λ et ζ = λ, modulo les identifications des applications
a
S n+1 ∨ S 1 ∼
∗) → RP n+1 → T (λ⊕2 ) ∼
= Σ(S n
= RP n+2 /RP 1
et (à homotopie près) avec B = RP n , ξ = λ⊕2 et ζ = λ, modulo les identifications des applications
a
S n+2 ∨ S 2 ∼
∗) → RP n+2 /RP 1 → T (λ⊕3 ) ∼
= Σ2 (S n
= RP n+3 /RP 2
et ainsi de suite. Le résultat analogue a lieu dans le cas complexe.
Dans le cas des grassmaniennes infinies BO(n) et BU (n) (voir section3.4) on note M O(n) et M U (n) les espaces de
Thom des fibrés γ n .
Il résulte de 3.3.17 que l’on a des applications canoniques (on gardera la notation hn )
hn : ΣM O(n) → M O(n + 1),
hn : Σ2 M U (n) → M U (n + 1)
3.5
Complexification et structures complexes sur un fibré vectoriel réel
Soit ξ un fibré vectoriel réel de base B. Son complexifié ξ ⊗ C est défini par :
Définition 3.5.1 Le fibré vectoriel ξ ⊗C est le fibré vectoriel réel ξ ⊕ξ muni de la structure de fibré vectoriel complexe
déterminé par la formule :
(a + ib)(v, v 0 ) = (av − bv 0 , av 0 + bv)
avec v, v 0 ∈ Eb , a, b ∈ R.
Le complexifié du fibré de Moëbius λ1 de base S 1 ∼
= RP 1 est trivial.
Mais plus généralement le complexifié du fibré λn de base RP n , n > 1, ne l’est pas comme le montre le calcul des
classes caractéristiques.
Quand on a un fibré vectoriel complexe ξ on peut le considérer simplement comme un fibré vectoriel réel par oubli de
structure. En particulier dans le cas du complexifié ξ ⊗ C, d’un fibré vectoriel réel ξ la définition ci dessus montre que
l’on obtient par oubli de la structure complexe ξ ⊕2 .
Voici une réciproque à cette question. Etant donné un fibré vectoriel réel ξ on dit qu’on peut le munir d’une structure
complexe si il existe un fibré vectoriel complexe ζ, tel que ce dernier coı̈ncide avec ξ par oubli de la structure complexe.
La proposition suivante est facile à démontrer.
Proposition 3.5.2 Une condition nécessaire pour qu’un fibré vectoriel réel ξ admette une structure complexe est qu’il
soit de dimension paire.
Pour que ξ admette un structure complexe il faut et suffit qu’il admette un isomorphisme J de carré −Id.
Les structures complexes sont en bijection avec ces endomorphismes.
Le fibré tangent tangent à S 2 s’identifie au sous-espace suivant de S 2 × R3 :
T S 2 = {(x, v)| < x|v >= 0}
il admet une structure complexe, c’est le fibré tangent à CP 1 .
3.5. COMPLEXIFICATION ET STRUCTURES COMPLEXES SUR UN FIBRÉ VECTORIEL RÉEL
37
v
x
ϕ
θ
Figure 3.2: 1
On peut aussi le voir comme l’assemblage 3.2.2 des fibrés vectoriels complexes triviaux de dimension 1 sur deux copies
de D2 le long du bord S 1 via l’application z 7→ z 2 , S 1 → GL1 (C) ∼
= C∗ . Dans le but de montrer cela on utilise les
3
notations suivantes, R est muni de sa structure euclidienne standard, les vecteurs de la base orthomormée directe
sont notés i, j, k. Le plan (O; i, j) est identifié au plan complexe. Un point de la sphère S 2 est déterminé par ses angles
(θ, ϕ) :
On introduit la rotation d’axe porté par ei(θπ/2) , d’angle ψ, dans le repère direct (O; ei(θ , eiθ+π/2 , k), elle sera notée
Rθ,ψ . Enfin p est la projection sur le plan (O; i, j).
L’isomorphisme depuis le fibré trivial vers le fibré tangent sur l’hémisphère supérieur est donné par la formule :
(x, v) 7→ (p(x), Rθ,−ϕ (v))
L’isomorphisme depuis le fibré trivial vers le fibré tangent sur l’hémisphère inférieur est lui donné par la formule :
(x, v) 7→ (p(x), Rθ−π/2,−π/2−ϕ (v))
Dans cette formule v est d’origine le pôle nord de S 2 , dans le plan tangent à S 2 au pôle nord, donc parallèle au plan
(O, i, j).
L’application d’assemblage est obtenue comme composition de, la restriction à S 1 des applications suivantes :
• le premier isomorphisme,
• suivi de l’isomorphisme réciproque du second.
La restriction à S 1 correspond à prendre ϕ = π/2. La composée est donc Rθ−π/2,−π/2 ◦ Rθ−π/2,−π/2 = Rθ−π/2,−π , soit
la rotation d’axe porté par ei(θ−π/2) et d’angle −π . Son effet sur le plan tangent au pôle nord de la sphère, qu’elle
envoie sur le plan tangent au pôle sud, en identifiant ces deux plans tangents à C, est la symétrie autour de la droite
portée par eiθ − π/2. Ce n’est pas une application linéaire d’espace vectoriel complexe. On doit donc modifier la
trivialisation pour obtenir une structure complexe, il suffit pour cela de précomposer la trivialisation sur l’hémisphère
supérieur par la symétrie autour de l’axe des abscisses. Dans ce cas la transformation obtenue est la rotation d’angle
2θ + π. Le résultat suit.
On notera aussi que l’on montre de manière analogue que le fibré λ sur S 2 est obtenu comme assemblage à partir de
l’application z 7→ z, S 1 → GL1 (C). On notera enfin que :
38
CHAPTER 3. FIBRÉS VECTORIELS ET K-THÉORIE
Proposition 3.5.3 Le fibré vectoriel T S 2 n’est pas isomorphe au fibré trivial θ2 . En fait on ne peut trouver de section
partout non nulle du fibré tangent (il n’y a pas de champ de vecteurs tangents partout non nul sur S 2 ).
Sinon on pourrait construire une homotopie entre l’identité de S 2 et l’application antipodale, en contradiction avec
l’action en homologie de l’application antipodale sur le second groupe d’homologie qui est −Id..
Exercice 3.5.4 Soit ξk le fibré vectoriel complexe de base S 2 associé à l’application d’assemblage z 7→ z k . Montrer
que la classe d’isomorphisme de ξk ⊕ θR1 , en tant qu’espace vectoriel réel ne dépend que de la parité de k.
3.6
Classification homotopique des fibrés
Soit B un espace compact et soit ξ un fibré vectoriel de base B. Soit Ξ un fibré vectoriel de base B×I, soit i : B ,→ B×I
l’inclusion b 7→ (b, 0), on suppose que i∗ (Ξ) ∼
= ξ. Soit j : B → B × I l’inclusion b 7→ (b, 1). Le résultat suivant est à la
base de la classification homotopique des fibrés.
Proposition 3.6.1 Le fibré vectoriel j ∗ (ξ) est isomorphe à ξ.
Soient t ∈ I, it : B → B × B × I l’inclusion b 7→ (b, t) et Ξt = i∗t (Ξ). Soit enfin p : B × I → B la, projection sur le
premier facteur. Le fibré vectoriel p∗ (Ξt ) restreint à B × {t} par l’inclusion it est identique à Ξt . Les fibrés vectoriels Ξ
et p∗ (Ξt ) de base B ×I coı̈ncide sur B ×{t}. Ceci fournit une section de Hom(Ξ, p∗ Ξt ) au dessus de B ×{t}, section que
l’on peut étendre, 3.1.9, à tout B × I. Sur un voisinage de B × {t} cette section prend valeurs dans les isomorphismes.
Comme B est compact on peut supposer que la section prend valeurs dans les isomorphismes sur un sous-ensemble
B×]t − , t + [, > 0, si t 6= 0, 1. Ceci implique que pour tout u ∈]t − , t + [ les fibrés Ξt et Ξu sont isomorphes. Si
t = 0, 1 on remplace par les voisinages adéquats. Comme I est connexe on en déduit que ξ = Ξ0 ∼
= Ξ1 = j ∗ (Ξ).
Corollaire 3.6.2 Soient X compact et deux applications continues homotopes f, g : X → B. Soit ξ un fibré vectoriel
de base B. Les fibrés induits f ∗ (ξ) et g ∗ (ξ) sont isomorphes.
Corollaire 3.6.3 Un fibré vectoriel sur un espace contractile compact est isomorphe à un fibré trivial.
Soit F : X × I → Y l’homotopie entre f et g. On applique alors le théorème précédent au fibré F ∗ (ξ) de base B × I.
L’exemple 3.2.2 peut alors être reformulé comme suit :
Proposition 3.6.4 On reprend les notations de 3.2.2. L’application d’assemblage induit une surjection
[X, GL(V )] → ΦV (ΣX)
vers l’ensemble des classes d’isomorphie de fibrés vectoriels de base ΣX et de fibre V .
L’étape suivante de la classification homotopique consiste à associer à un fibré vectoriel ξ de base B une application
f de B dans un espace équipé d’un fibré ”universel” γ, application telle que f ∗ (γ) ∼
= ξ.
Soit donc ξ = (p : E → B) un fibré vectoriel de base B de dimension n et, soient ζ de dimension p et un isomorphisme
n+p
h: ξ ⊕ ζ ∼
= θk . Ces données déterminent une application
B → Gn+p,n (k)
au point b ∈ B on associe le n sous-espace h(Eb ) ⊂ k n+p . On compose cette application avec le plongement canonique
Gn+p,n (k) ,→ Gn (k), ce qui fournit une application
c(ξ) : B → Gn (k)
Cette application dépend du choix de ζ et de h, mais
Théorème 3.6.5 Les applications obtenues pour des choix différents sont homotopes. Ceci détermine donc une application
Φnk (B) → [B, Gn (k)]
Cette application est une bijection.
On commence par la première partie du théorème. Soient ζ et de h, ζ 0 et de h0 deux données telles que plus haut :
3.7. EQUIVALENCE STABLE DES FIBRÉS, K-THÉORIE
39
• h : ξ ⊕ ζ → θn+p est un isomorphisme,
0
• h0 : ξ ⊕ ζ 0 → θn+p est un isomorphisme.
On peut prendre p = p0 quitte à ajouter des facteurs triviaux. Afin de construire l’homotopie recherchée puis construit
un plongement i : ξ ⊕ ζ ,→ θ2(n+p) en post-composant h par le plongement θ(n+p) ,→ θ2(n+p) déterminé par les (n + p)
premières coordonnées. , puis obtient un plongement j : ξ ⊕ ζ ,→ θ2(n+p) en post-composant h0 par le plongement
θ(n+p) ,→ θ2(n+p) déterminé par les (n + p) dernières coordonnées.
On définit ensuite un fibré vectoriel de base B × I, dont l’espace total J en faisant le joint géométrique fibre à fibre à
fibre de i(ξ) et j(ξ) :
J = {(ti(v) + (1 − t)j(v)|v ∈ Eb t ∈ I}, p : J → B × I, ti(v) + (1 − t)j(v) 7→ (b, t)
Il faut évidemment vérifier que c’est un fibré vectoriel. Ceci est garanti par le choix des plongements par lesquels on
post-compose et dont les images (sur chaque fibre) est réduite au vecteur nul. On peut interpréter cette construction
en termes de projecteurs [1].
3.7
Equivalence stable des fibrés, K-théorie
Soit B un espace, on le suppose connexe.
Définition 3.7.1 Le groupe de Grothendieck Kk (B) (ici l’indice k réfère au corps sur lequel on considère les fibrés
vectoriels) est le groupe abélien libre engendré par les classes d’isomorphisme de k-fibrés vectoriels de base B, modulo
la relation d’équivalence suivante. Si on a une suite exacte de fibrés vectoriels de base B :
{0} → ξ → ζ → λ → {0}
alors [zeta] = [ξ] + [λ].
Dans cette formule la classe du fibré vectoriel ξ dans le groupe de Grothendieck est notée [ξ]. La suite est exacte
quand pour tout b ∈ B la suite exacte des fibres associées {0} → Eb → Fb → Lb → {0} est exacte. Les espaces totaux
de ξ, ζ, λ étant notés E, F , L. Si la suite est exacte on montre que ξ ⊕ λ ∼
= ζ, ceci résulte de :
Théorème 3.7.2 Soit B un espace paracompact.
Soit ϕ : ξ → ζ un morphisme de fibrés vectoriels injectifs sur chaque fibre. Il existe un morphisme ψ : ζ → ξ tel que
ψ ◦ ϕ soit l’identité de ξ.
Soit ϕ : ξ → ζ un morphisme de fibrés vectoriels surjectifs sur chaque fibre. Il existe un morphisme ψ : ζ → ξ tel que
ϕ ◦ ψ soit l’identité de ζ.
La démonstration est laissée au lecteur.
Le théorème de périodicité de Bott calcule ce groupe dans le cas des sphères :
Théorème 3.7.3 (Bott)
Les groupes KC (S 2n ) sont isomorphes à Z, les groupes KC (S 2n+1 ) sont triviaux.
Les groupes KR (S n ) sont isomorphes à
• Z si n ≡ 0 (mod 4),
• Z/2Z si n ≡ 1, 2 (mod 8),
• {0} sinon.
On définit aussi le groupe de K-théorie réduit. Soit X un espace pointé par x0 ∈ X.
Définition 3.7.4 Le groupe K̃k (X) est le noyau de l’application de restriction Kk (X) → Kk ({x0 } ∼
= Z.
On suppose X compact, connexe. Alors :
Proposition 3.7.5 Dans le groupe K̃k (X) tout élément peut s’écrire sous la forme [ξ] − [θn ], avec ξ de dimension n.
Définition 3.7.6 Deux fibrés vectoriels ξ et ζ de base B sont dits stablement équivalents si on peut trouver des entiers
m et n tels que
ξ ⊕ θm ∼
= ζ ⊕ θn
40
CHAPTER 3. FIBRÉS VECTORIELS ET K-THÉORIE
3.8
Démonstration de la périodicité de Bott
3.9
L’isomorphisme de Thom en K-théorie, KC∗ (CP n )
3.10
3.11
Le groupe K −1 (X)
Construction de Milnor
Soit G est un groupe topologique, on suppose qu’il a le type d’homotopie d’un CW -complexe, on note e l’élément
neutre. Voici une construction due à Milnor d’un espace contractile sur lequel G agit librement. En particulier si G
est un groupe discret le quotient de cet espace par l’action de G sera un espace d’Eilenberg-Mac Lane K(G, 1).
Le P
joint itéré G∗n est l’ensemble des sommes formelles (non commutative) de la forme t1 g1 + . . . + tn gn , avec gi ∈ G
0
et
i ti = 1, ti ≥ 0, modulo la relation t1 g1 + . . . + 0gi + . . . + tn gn ∼ t1 g1 + . . . + 0gi + . . . + tn gn , pour tous
0
g1 , . . . , gi , gi , . . . , gn . Le groupe G agit sur cet espace par
g()t1 g1 + . . . + tn gn = t1 gg1 + . . . + tn ggn
L’action est libre.
L’espace G∗n se plonge dans G∗(n+1) par :
t1 g1 + . . . + tn gn 7→ t1 g1 + . . . + tn gn + 0e
Lemma 3.11.1 Le plongement G∗n ,→ G∗(n+1) est homotope à l’application constante.
L’homotopie est donnée par la formule
(t1 g1 + . . . + tn gn , u) 7→ ((1 − u)t1 g1 + . . . + (1 − u)tn gn + ue
Lemma 3.11.2 la connectivité de G∗n est supérieure ou égale à n − 1. par conséquent la colimite :
EG = ∪n G∗n
est contractile.
Soit maintenant Cn (G) le quotient de G∗(n+1) sous l’action de G. Le lemme 3.11.1 montre que la composée G∗(n+1) →
Cn (G) → Cn+1 (G) est homotopiquement triviale. En fait on a
Proposition 3.11.3 L’espace Cn+1 (G) est homéomorphe au cône, non réduit, de l’application quotient G∗(n+1) →
Cn (G).
L’homéomorphisme est donné par les formules :
•
(t1 g1 + . . . + tn+1 gn+1 , u) 7→ ut1 g1 + . . . + utn+1 gn+1 + (1 − u)e
si u 6= 0, dans cette formule la somme formelle de gauche est dans G∗(n+1) , celle de droite désigne la classe dans
le quotient Cn+1 (G);
• si u = 1, la formule demeure exacte mais on doit l’interpréter de plus comme l’inclusion de Cn (G) dans Cn+1 (G)
et vérifier la cohérence avec la construction du cône, ce qui est de la routine.
Cette application est bijective du cône privé de son sommet (qui correspond à u = 0) vers Cn+1 (G) privé du
point 0g1 + . . . + 0gn+1 + 1e.
• Pour u = 0, on utilise encore la même formule. Tous les points sont envoyés vers 0g1 + . . . + 0gn+1 + 1e. Dans
la construction du cône G∗(n+1) × {0} est écrasé en un point. On peut donc passer au quotient et obtenir
l’homéomorphisme annoncé.
Les exemples les plus classiques de cette construction sont pour G = Z/2Z où l’on trouve Z/2Z∗n ∼
= S n et Cn (Z/2Z) ∼
=
n
1
1 ∗n+1 ∼ 2n+1
1 ∼
n
RP et G = S où l’on trouve (S )
et Cn (S ) = CP .
=S
On note BG le quotient de EG par l’action de G. L’application EG → BG est une G-fibration principale. Elle est
universelle au sens suivant :
3.11. CONSTRUCTION DE MILNOR
41
Théorème 3.11.4 Soient X un espace paracompact, et E → X un G-fibré principal. Il existe des applications ϕ et
f , compatibles à l’action de G, rendant le diagramme suivant commutatif :
E
ϕ
p0
p
X
/ EG
f
/ BG
En conséquence le fibré principal p : E → X est isomorphe au fibré induit de EG → BG par l’application f .
WWW base dénombrable
On choisit un recouvrement localement fini par des ouverts trivialisants Ui , i ∈ N, soit hi : EUi → p−1 (Ui ) les
homéomorphismes de trivialisation associés. On choisit une partition de l’unité associée, soit ci . On définit alors
ϕ : E → EG par
e 7→ Σi ci (p(e))p2 (hi (e))
avec p2 : Ui × G → la projection. Cette application est équivariante et passe donc au quotient définissant par là même
f.
42
CHAPTER 3. FIBRÉS VECTORIELS ET K-THÉORIE
Chapter 4
Variétés différentiables et cobordisme
4.1
Variétés différentiables
Ce chapitre donne une courte introduction aux variétés différentiables et à la transversalité.
Tous les espaces considérés seront compacts ou paracompacts. On suppose connu les éléments du calcul différentiel, des
applications différentiables et de classe C ∞ d’un ouvert U ⊂ Rn dans Rp . On peut étendre la définition d’application
différentiable ou C ∞ à un sous-espace de A ⊂ Rn :
Définition 4.1.1 On dira qu’une application f : A → Rp est différentiable (resp. C ∞ ) si au voisinage de tout point
de a ∈ A on peut la prolonger en une application différentiable (resp. C ∞ ). dans Rn .
On a besoin des deux théorèmes fondamentaux suivants du calcul différentiel.
Théorème 4.1.2 (Théorème d’inversion locale) Soient U un ouvert de Rn et f : U → Rn différentiable (resp. C ∞ ).
Soit a ∈ U si la différentielle en a dfa est injective (et donc bijective) l’application f induit une bijection différentiable
(resp. C ∞ ) d’un voisinage ouvert Ua de a vers un voisinage ouvert f (Ua ) de f (a). L’application réciproque f (Ua ) → Ua
est différentiable (resp. C ∞ ).
Théorème 4.1.3 (Théorème des fonctions implicites) Soit ϕ une fonction différentiable définie sur un ouvert de
Rn × Rp à valeurs dans Rp . Soit (a, b) × Rp , on suppose que ϕ(a, b) = 0.
La différentielle de ϕ s’écrit comme somme de deux différentielles partielles, relativement à Rn et à Rp que l’on écrira
dϕ = dϕx + dϕy en référence aux variables x1 , . . . , xn correspondant à Rn , y1 , . . . , yp correspondant à Rp .
On suppose que la différentielle dϕy (a, b) est injective (et donc bijective). Autrement dit la matrice jacobienne en (a, b)
des dérivées partielles de ϕ par rapport aux variables yi est inversible.
Il existe alors un voisinage ouvert U × V de (a, b) dans Rn × Rp (U ouvert de Rn , V ouvert de Rp ), un voisinage
ouvert W de 0 dans Rp et une fonction différentiable ψ : W → V tels que :
• la différentielle partielle dϕy est injective en tout point de U × V ,
• ψ(x) est la seule solution de ϕ(x, y) dans U × V ,
• ψ est bijective.
On peut dans tout le théorème remplacer différentiable par C ∞ .
Il ya deux approches possibles pour définir les variétés différentiables ou C ∞ . La première est de les considérer
comme des sous-ensembles de Rn généralisant le surfaces. La seconde, abstrait, consiste à donner une définition par
recollement.
Définition 4.1.4 Un sous-ensemble V ⊂ Rn est une variété différentiable (resp. lisse ou C ∞ ) si pour tout point
v ∈ V il existe un voisinage U de v une application différentiable (resp. C ∞ ) ϕ : E p × E n−p → U , ici E k est le disque
ouvert de centre O, de rayon 1 dans Rk , telle que
• g est bijective et de différentielle partout bijective donc il en est de même sde sa réciproque, (resp. un difféomorphisme),
• g(E p × E n−p ) ∩ V = g(E p ).
43
44
CHAPTER 4. VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES ET COBORDISME
Autrement dit c’est un sous-espace qui localement ressemble à un sous-espace affine. L’entier p qui apparaı̂t dans la
définition est constant sur les composantes connexes de V . On l’appellera la dimension de la composante considérée,
et quand il n’y aura pas d’ambiguı̈tés (ce qui sera le cas la plupart du temps) la dimension de la variété.
Par exemple la sphère S n ⊂ Rn+1 est une variété de dimension n, de même le tore Tn = (S 1 )n ⊂ R2n est une variété.
Il y aussi des variétés à bord. Dans ce cas là la définition ci dessus est modifiée comme suit :
Définition 4.1.5 Un sous-ensemble V ⊂ Rn est une variété à bord différentiable (resp. lisse ou C ∞ ) de bord ∂V si
pour tout point v ∈ V , soit la condition de la définition précédente ?? est satisfaite, soit il existe un voisinage U de v
une application différentiable (resp. C ∞ ) ϕ : R+ × E p−1 × E n−p → U telle que
• g est bijective et de différentielle partout bijective donc il en est de même sde sa réciproque, (resp. un difféomorphisme),
• g(R+ × E p−1 × E n−p ) ∩ V = g(R+ × E p−1 ).
Les points qui sont dans l’image de {0} × E p−1 ⊂ R+ × E p−1 forment le bord ∂V de V .
La seconde définition possible, abstraite, suit :
Définition 4.1.6 Soit n un entier donné. On appelle (n)-atlas A = {Ui , i ∈ I} sur un espace topologique X un
recouvrement par des ouverts homéomorphes à un disque ouvert E n .
Dans la suite on omettra l’entier n dans la notation, sauf nécessité.
Soit X un espace topologique. Un atlas A1 sur X raffine un atlas A2 sur X si tout ouvert du premier est contenu
dans un ouvert du second. Deux atlas A1 et A2 sur X sont équivalents si ils sont raffinés par un atlas commun A3 .
Définition 4.1.7 Une variété topologique V de dimension n est un espace topologique muni d’une classe d’équivalence
de n-atlas.
Etant donné un atlas on peut supposer que les fonctions de transition ont plus de régularité que la simple continuité.
Soit A = {Ui , i ∈ I} un atlas de X, ui les homéomorphismes avec E n . La fonction de transition gi,j : ui (Ui ∩ Uj ) →
k
uj (Ui ∩Uj ) est la composée des restrictions (u−1
i ) : h(Ui ∩Uj ) → Ui ∩Uj et (uj ) : Ui ∩Uj → E est un homéomorphisme
n
n
sur l’image. Il s’agit d’applications d’un ouvert de R dans un ouvert de R , donc on peut les supposer différentiables
ou de classe C r . Dès que la relation a un sens on a :
gk,i = gk,j ◦ gj,i
Définition 4.1.8 Une structure différentiable (resp. de classe C r ) sur une variété topologique est la donnée d’un
atlas A dont les fonctions de transitions sont différentiables (resp. de classe C r ).
Soit un atlas A1 = {Ui , i ∈ I} qui raffine un atlas A2 = {Vj , j ∈ J}, on note ui et vj les homéomorphismes associés.
On suppose qu’ils définissent d tous les deux des structures différentiables ou C r . On dira que les structures sont
équivalentes si pour ous i, j tels que Ui ⊂ Vj l’application vj ◦ u−1
est différentiable (resp. de lasse C r ).
i
On étend cette relation en une relation d’équivalence sur les atlas définissant des structures différentiables (resp. de
classe cr ) sur X. Une variété différentiable (resp. de classe C r ) est une classe d’équivalence de cette relation.
L’exemple canonique de ce genre de situation est donné par les espaces projectifs RP n et CP n , dans la proposition
ci-dessous on utilise les coordonnées homogènes classiques :
Proposition 4.1.9 L’espace projectif RP n (resp. CP n ) est réunion des ouverts Ui , 0 ≤ i ≤ n, définis par
Ui = {(x0 , . . . , xi−1 , 1, xi+1 , . . . , xn }
qui sont tous homéomorphes (et en fait s’identifie) à Rn (resp. Cn ).
Les espaces projectifs sont évidemment des variétés de classe C ∞ ).
Les deux définitions sont équivalentes, ceci résulte du théorème suivant :
Théorème 4.1.10 (Whitney) Toute variété de dimension n se plonge dans un espace Rk avec k assez grand. En fait
k = 2n est suffisant.
4.2. LE FIBRÉ TANGENT À UNE VARIÉTÉ ET LE FIBRÉ NORMAL À UN PLONGEMENT
45
x Voici un exemple, on représente RP n comme le quotient de la sphère S n par l’action antipodale. L’application
((x0 , . . . , xn ) 7→ (x20 , . . . , x2n ; x0 x1 , . . . , x0 xn , x1 x2 , . . . , x2 xn , . . . , xn−1 xn )
définit un plongement de
RP n ,→ Rn+1+
n(n+1)
2
Ce n’est pas un plongement en dimension minimale. On peut obtenir un autre plongement (qui n’est pas non plus en
dimension minimale) en introduisant une partition de l’unité ci subordonnée au recouvrement défini dans 4.1.9. Soit
alors un point x = (x0 , . . . , xn ) ∈ RP n , on définit µi : RP n → Rn par
µi (x0 , . . . , xn )) = ci (x)(x0 /xi , . . . , xi−1 /xi , xi+1 /xi , . . . , xn /xi )
si xi 6= 0
µi (x) = 0
sinon. L’application
×0≤i≤n µi : RP n → (Rn )n+1
fournit un plongement. L’avantage de cette méthode s’étend facilement à toutes les variétés compactes en choisissant
un recouvrement fini par des ouverts homéomorphes (ou difféomorphes) à un E n .
On définit aussi les fonctions différentiables (resp. de classe C r ) d’une variété différentiable (resp. de classe C r ) dans
une autre variété différentiable (resp. de classe C r ).
Définition 4.1.11 Soient V et W deux variétés différentiables (resp. de classe C r ), A = {Ui , i ∈ I}, B = {Vj , j ∈ J}
des atlas définissant les structures sur V et W , ui et vj les homéomorphismes associés. Soit f : V → W une application
continue, quitte à raffiner A on peut supposer que pour tout i f (Ui ) ⊂ Vj pour un certain j.
On dira que f est différentiable (resp. de classe C r ) si pour tout (i, j) ∈ I × J tel que f (Ui ) ⊂ Vj l’application
vj ◦ f ◦ Ui−1 est différentiable (resp. de classe C r ).
On a aura besoin des théorème suivants :
Théorème 4.1.12 (Voisinage collier) Soit V une variété différentiable (resp. de classe C r ) de bord ∂V , il existe un
voisinage U de ∂V difféomorphe (différentiablement ou au sens C r )) à ∂V × [0, 1].
Le théorème suivant est équivalent à l’existence du fibré normal au plongement 4.2.
Théorème 4.1.13 (Voisinage tubulaire) Soit V une variété différentiable (resp. de classe C r ), éventuellement de
bord ∂V . Soit W une sous-variété dont le bord si il est non vide est contenu dans celui de V . Il existe un voisinage
U de W difféomorphe (différentiablement ou au sens C r )) au fibré en disques fermés de base W du fibré normal.
4.2
Le fibré tangent à une variété et le fibré normal à un plongement
Soit V ⊂ Rn+k une variété de dimension n considérée comme sous-espace de Rn+k .
Définition 4.2.1 Le fibré tangent T V à la variété est le sous-espace de V × Rn+k constitué par les paires (x, w) où
x ∈ V . Soit U une carte d’un atlas de V telle que x ∈ U , et soit h : E n → U l’application (différentiable) de structure.
Soit e ∈ E n tel que h(e) = x, alors w est de la forme dhe (u), u ∈ Rn .
Cette définition suppose, pour être justifiée, suppose plusieurs vérifications qui sont de la routine et ne seront pas
faites ici. Mais en particulier il faut montrer que deux plongements distincts donnent des fibrés tangents isomorphes.
Une façon de procéder est de donner une définition à partir de la seconde définition d’une variété, et d’assemblage ou
recollement de fibrés vectoriels. Puis de vérifier la coı̈ncidence avec la définition que l’on vient de donner.
Le sous-espace constitué par les éléments (x, w) à x est appelé l’espace tangent en x et noté Tx V . Une définition
plus terre à terre consiste à dire que Tx V est l’ensemble des vecteurs tangents, au sens usuel, à toutes les courbes
différrentiables contenues dans V et passant en x au point x. Le fibré tangent est la réunion de tous ces espaces
(indexés par x) et hérite d’un e topologie comme sous-ensemble de V × Rn+k . On notera T V pour l’espace total de
ce fibré, et τV pour le fibré vectoriel si il y anécessité de les distinguer.
On a évidemment :
46
CHAPTER 4. VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES ET COBORDISME
Proposition 4.2.2 Soit ϕ : V m → W n une application différentiable entre variété différentiables de dimension respective met n. Cette application induit une application dϕ : T V → T W qui se restreint à la différentielle de ϕ en
v ∈ V , dϕv : Rm ∼
= T Wϕ(v) via les difféomorphismes de structure associés à des cartes appropriés.
= T Vv → Rn ∼
Proposition 4.2.3 Soit ϕ : V → W une application différentiable entre variété différentiables de même dimension.
On suppose qu’en tout point la différentielle de ϕ en v ∈ V , dϕv : Rm ∼
= T Wϕ(v) est un isomorphisme.
= T Vv → Rn ∼
Alors on a un isomorphisme :
TV ∼
= ϕ∗ (T W )
Dans le cas des groupes de Lie le fibré tangent est très simple : il est trivial. Ceci se démontre en utilisant les
translations du groupe.
Proposition 4.2.4 Le fibré tangent à un groupe de Lie est trivial.
Le fibré tangent T V à une variété différentiable V hérite lui même d’une structure de variété différentiable, soit p la
projection du fibré, la proposition suivante est facile
Proposition 4.2.5 Le fibré tangent à T V est isomorphe à la somme de Whitney p∗ τV ⊕ p∗ τV .
Il y a dans cette pro
Définition 4.2.6 Soit V × Rn+k un plongement. On se donne un produit scalaire sur Rn+k . Le fibré normal νV au
plongement est le fibré vectoriel de V × Rn+k orthogonal à T V . Soit l’ensemble des (x, w) avec < w|t >= 0 pour tout
t ∈ Tx V .
Le fibré normal n’est pas défini abstraitement comme le fibré tangent, mais toujours comme fibré normal à un plongement. on peut cependant donner une version qui ne dépende pas du plongement :
Proposition 4.2.7 Soit V d une variété différentiable compacte et i : V ,→ Rm , j : V ,→ Rn , deux plongements. Soient
νi et νj les fibrés normaux. Il existe un isomorphisme :
νi ⊕ θk−m+d ∼
= νj ⊕ θk−n+d
dès que k est assez grand.
Les deux fibrés sont stablement isomorphes et définissent la même classe dans K̃R (V ).
On peut évidemment supposer que m = n pour simplifier les notations. Si m est assez grand les deux plongement
sont isotopes [?]. C’est-à-dire qu’on peut supposer qu’il existe un plongement de Is : V × I → Rm × R, de la forme
(x, t) 7→ (I(x, t), t) restreignant en i en t = 0 et j en t = 1. Le fibré normal à Is de base V × I restreint au fibré normal
à i en t = 0, au fibré normal à j en t = 1, 3.6.1 implique alors que ces deux derniers fibrés sont isomorphes.
On peut aussi définir le fibré normal stable à une application différentiable f : V → W .
Proposition 4.2.8 Soient i, j : V → Rn deux plongements différentiables de V , et soit une application différentiable
f : V → W . Si n est assez grand les fibrés normaux au plongements f × i : V → W × Rn et f × i : V → W × Rn sont
isomorphes. On appellera ce fibré le fibré normal stable à f .
4.3
Structure complexe sur le fibré normal stable à une variété
On commence par supposer que dans les définitions ci dessous que les variétés V et W sont connexes. De plus on
suppose la dim(V ), ou que dim(W ) − dim(V ), dans la définition ci-dessous est paire. Les définitions seront adaptées
après.
Définition 4.3.1 Une variété M est munie d’une structure presque complexe, on dira plus souvent orientation complexe, si le fibré normal à un plongement est muni d’une structure complexe.
On aura besoin d’une définition un peu plus générale :
Définition 4.3.2 Le fibré normal à un plongement f : V → W est muni d’une orientation complexe si le fibré normal
à ce plongement est muni d’une structure complexe.
4.3. STRUCTURE COMPLEXE SUR LE FIBRÉ NORMAL STABLE À UNE VARIÉTÉ
f ×i
47
p
Toute application différentiable f : V → W peut être factorisée comme V → W × Rn → W , où i est un plongement.
La définition ci-dessus peut encore se généraliser en :
Définition 4.3.3 Une orientation complexe sur une application f : V → W est une structure complexe sur le fibré
f ×i
normal à un plongement V → V × Rn factorisant f .
La terminologie ”orientation complexe sur une application” est quelque peu abusive et transitoire. Elle est précisée
par les définitions qui suivent, et est précisée plus bas.
Il faut définir une relation d’équivalence stable entre deux orientations complexes. mais auparavant il faut tout de
suite souligner que, comme dans le cas d’une variété orientable qui a deux orientations, une variété dont le fibré normal
stable peut être muni d’une structure complexe il n’y aura pas unicité de cette structure. On donne la relation dans
le cas le plus général. On procède en deux étapes.
Définition 4.3.4 Deux orientations complexes sur une application f : V → W , correspondant à des plongements
f ×i
f ×j
V → V × Rn et W → V × Rn seront équivalentes si :
(f,id)×I
• on peut trouver un plongement V × R −→ W × R × Rn ,
f ×i
• et une structure complexe sur le fibré normal à ce plongement qui en 0 ∈ R restreigne à V → V × Rn , en 1 ∈ R
f ×j
restreigne à V → V × Rn .
Une classe d’équivalence est appelée une structure complexe sur le fibré normal stable à l’application f . La classe
d’équivalence de ce fibré dans le groupe de Grothendieck réduit K̃C (V ) sera notée [νf ]. Par abus, quand le contexte
est clair, on utilisera parfois cette notation, un plongement spécifique étant donné, pour la classe du fibré normal dans
le groupe non réduit KC (V ). On rappelle que [νf ] + [θCn ] est la classe d’un fibré vectoriel pour tout n assez grand.
Cette définition soulève cependant une difficulté si on l’appliquait aux variétés, resp. aux applications, dont la dimension est paire ou impaire, resp. où la différence des dimensions est paire ou impaire. Elle ne permet pas de définir une
orientation complexe sur la restriction au bord de V d’une application f : V → W , si V est une variété à bord. Elle
exige une toute petite adaptation,
Définition 4.3.5 Une orientation complexe sur une application f : V → W telle que dim(W ) − dim(V ) soit impaire
f,∗
est une orientation complexe sur f : V → W × R, ∗ : V → R désignant une application constante.
Il reste à expliquer comment lever la restriction de connexité, mais cela est fait en définissant une orientation comme
la donnée d’une orientation pour la restriction à chaque composante connexe de la source.
On peut définir aussi des structures complexes sur le fibré tangent stable. dans la mesure où on dispose d’un plongement
de V dans un espace Cn on peut évidement passer de l’une à l’autre.
L’ensemble des orientations complexes sur le fibré tangent (ou normal) stable à une variété est un groupe abélien.
Ceci résulte du théorème de Thom-Pontryaguin que l’on va voir ??. Ce ci s’applique aussi dans le cas du fibré normal
à une application.
On termine cette section par un cas particulier de cette structure de groupe qui éclaire un point important concernant
les structures presque complexes.
Soit V une variété munie d’une orientation complexe qu’on notera O, sur le fibré tangent (ou normal) stable. Il existe
une une orientation complexe sur sur le fibré normal stable à V × R, telle que la restriction de cette orientation sur
V × {t} soit O est pour tout t la structure initiale. Ceci n’est pas suffisant néanmoins, la bonne question à poser
est la suivante. Etant donné une structure complexe sur le fibré tangent stable (ou le fibré normal stable) à une
variété à bord (V, ∂V ), et en particulier à V × I, comment définir par restriction une structure sur le fibré tangent
stable (resp. le fibré normal stable) au bord. On peut évidemment procéder composante connexe par composante
connexe. Soit T V ⊕ θRn une structure complexe O sur T V . Soit U \ W l’intérieur d’un voisinage collier 4.1.12 U d’une
composante connexe W du bord. C’est un ouvert homéomorphe à W ×]0, 1[, W s’identifie dans U à W × {0}. On
choisit un difféomorphisme croissant ]0, 1[→ R, ceci détermine donc un difféomorphisme sur l’image W × R → V . Ce
difféomorphisme permet restreindre la structure complexe de T V ⊕ θn à T (W × R) ⊕ θRn , et donc d’avoir une structure
presque complexe sur T W .
Si on revient au cas de V × [0, 1] il faut faire attention à ce que les structures définies sur V /times{0} et V /times{1}
ne sont pas les mêmes du fait que les identifications (évidentes) des voisinages collier font utilise dans le premier cas
une application croissante, dans le second une application décroissante. En conclusion ces deux structures sont en fait
opposées.
48
4.4
CHAPTER 4. VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES ET COBORDISME
Théorèmes de transversalité
Dans toute cette section les variétés sont supposées différentiables. La transversalité a été introduite par R. Thom
dans son étude du cobordisme, au delà de son importance dans ce domaine cette théorie et ses avatars sont centraux
dans de larges champs des mathématiques.
Définition 4.4.1 Soient M une variété et V et W deux sous-variétés, V et W sont dites transversales en x ∈ V ∩ W
si la condition suivante sur les espaces tangents en x a lieu :
Tx V + Tx W = Tx M
Elles sont dites transverses si elles sont transversales en tout point commun.
Voici une conséquence immédiate de la définition :
Théorème 4.4.2 Soient M une variété de dimension m, et V et W deux sous-variétés transverses de dimension
respective p et q. Alors V ∩ W est une sous-variété de de dimension p + q − m.
De plus :
Proposition 4.4.3 Si de plus on suppose que les fibrés normaux stables de V et W dans M ont une structure presque
complexe il en est de même pour les fibrés normaux stables de V ∩ W dans V et W .
On peut généraliser à la situation suivante :
Définition 4.4.4 Soient M une variété, V et W deux variétés, f : V → M , g : W → M deux applications différentiables.
Elles sont dites transversales en (x, y, z) tels que x = f (y) = g(z) si la condition suivante sur les espaces tangents en
a lieu :
dfy (Ty V ) + dgz (Tz W ) = Tx M
Elles sont dites transverses si elles sont transversales pour tout (x, y, z) tels que f (y) = g(z) = x.
Théorème 4.4.5 Soient M une variété de dimension m, V et W deux variétés de dimension respective p et q,
f : V → M , g : W → M deux applications transverses. Le produit fibré
V ×M W = {(y, z)|x ∈ V, y ∈ W, f (y) = g(z)}
est une variété de dimension p + q − m, les projections canoniques sur V et W sont différentiables.
De plus :
Proposition 4.4.6 Si de plus on suppose que les fibrés normaux stables aux applications ont une structure presque
complexe il en est de même pour les fibrés normaux stables de V ×M W → V et V ×M W → W . .
Les théorèmes suivants sont fondamentaux et sont démontrés, sous une forme voisine, dans [3] :
Théorème 4.4.7 Thom) Soient M une variété de dimension, V et W deux variétés de dimension respective, f : V →
M , g : W → M deux applications. On peut trouver une application f 0 arbitrairement proche de f , au sens de la
topologie C ∞ , transverse à g. En particulier on peut déformer f par une homotopie pour la rendre transverse à g.
On peut en obtenir une version paramétrée.
Théorème 4.4.8 (Thom) On se place dans la situation précédente, mais avec cette fois ci deux applications f, f 0 : V →
M transverses à g : W → M . On suppose de plus f et f 0 homotopes. Alors il existe une application différentiable
F : V × R → M telle que F (x, 0) = f (x), F (x, 1) = f 0 (x) et pour tout t ∈ R l’application x 7→ F (x, t) est transverse à
g.
4.5. LES ANNEAUX DE (CO)-BORDISME ET LE THÉORÈME DE THOM-PONTRYAGUIN
4.5
49
Les anneaux de (co)-bordisme et le théorème de Thom-Pontryaguin
Une apllication majeure de la transversalité est la réduction du calcul des groupes de (co)-bordisme à celui de groupes
d’homotopie.
Définition 4.5.1 Le groupe de bordisme des variétés différentiables compactes sans bord de dimension k, Nk , est le
quotient du groupe abélien libre engendré par les classes de difféomorphie de variétés (compactes, lisses) de dimension
k par les relations
`
• [V W ] = [V ] + [W ], désignant par [V ] la classe de V , et
`
• V ∼ W si et seulement si il existe une variété compacte à bord de dimension k + 1 dont le bord est V W .
`
La définition implique que 2[V ] = 0 : le bord du cylindre V × I est V
V.
La collection de Nk est muni d’une structure d’anneau gradué N∗ . Le produit des variétés définit une application
Nk ⊗ N` → Nk+`
les vérifications à effectuer relèvent de la routine.
En dimension 1 la seule variété compacte connexe est S 1 , qui est le bord de D2 . En dimension 2 toutes les surfaces
orientables sont des bords : S 2 , T2 , et les tores à g tous. Par contre les surfaces non orientables, par exemple RP 2 ou
la bouteille de Klein ne sont pas des bords.
On passe au groupe de bordisme des variétés différentiables compactes de fibré tangent stable est muni d’une structure
presque complexe. On dira variété presque complexe.
Définition 4.5.2 Le groupe de bordisme des variétés presque complexes sans bord de dimension k, Uk , est le quotient
du groupe abélien libre engendré par les classes de difféomorphie de variétés (compactes, lisses) de dimension k presque
complexes, par les relations
`
• [V W ] = [V ] + [W ], désignant par [V ] la classe de V , et
• soient V et W presque complexes, V ∼ W si et seulement si il existe une variété compacte à bord de dimension
`
k + 1, dont le fibré normal stable est muni d’une structure presque complexe qui induit sur le bord V W les
structures données.
La définition n’implique pas que que 2[V ] = 0 : car les deux copies de V bord du cylindre V × I ont des structures
opposées.
La collection de Uk est muni d’une structure d’anneau gradué U∗ . Le produit des variétés définit une application
Uk ⊗ U` → Uk+`
les vérifications à effectuer relèvent de la routine.
En dimension 1 la seule variété compacte connexe est S 1 , on peut mettre une structure complexe sur le fibré tangent
stable T S 1 ⊕ θ1 , celle ci s’étend à D2 , donc U 1 = {0}. En dimension 2 les surfaces non orientables ne peuvent avoir de
structure complexe sur leur fibré tangent stable. Par contre on a vu que c’était le cas pour S 2 , cette structure donne
un élément non trivial dans U 2 , et en fait un générateur de ce groupe. L’élément ainsi construit est non-trivial car le
fibré stable est déterminé par l’application S 1 → U (n), composition de z 7→ z 2 de S 1 dans lui même et du plongement
standard de S 1 dans U (n). Or cette application est un élément non nul de π1 (U (n)) ∼
= π1 (S 1 ). Le tore T2 peut être
aussi muni d’une structure presque complexe, comme produit des structures complexes sur S 1 , mais celle ci est un
bord; on peut cependant par un procédé dit de somme connexe
T2 #S 2
mettre une structure complexe sur le fibré tangent stable à T2 de telle manière que celui ci ne soit pas un bord.
Ainsi qu’on l’a vu plus haut les espaces de Thom M O(n) sont reliés entre eux par des applications ΣM O(n) →
M O(n + 1), ceci fournit donc des applications πh (ΣM O(n)) → πh (M O(n + 1) et d’introduire le système direct :
...
/ πn+k+1 (M O(n + 1))
πn+k (M O(n))
RRR
jj5
RRR σ
hn∗jjjjj
RRR
RRR
jjjj
RR)
jjjj
πn+k+1 (ΣM O(n))
...
50
CHAPTER 4. VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES ET COBORDISME
ainsi que dans le cas presque complexe
...
/ π2n+k+2 (M U (n + 1))
π2n+k (M U (n))
SSS
jjj4
SSS σ2
hn∗ jjjj
SSS
j
SSS
jjjj
SS)
jjjj
π2n+k+2 (Σ2 M U (n))
...
Théorème 4.5.3 (Thom-Pontryaguin)
La colimite sur n des groupes πn+k (M O(n)) est isomorphe à Nk .
La colimite sur n des groupes π2n+k (M U (n)) est isomorphe à Uk .
Un tel théorème a lieu si on considère les autres types de bordisme, bordisme orienté, symlectique, stablement trivialisé,
spinoriel... La situation est cependant particulièrement intéressante dans les deux cas précédents à cause des théorèmes
:
Théorème 4.5.4 (Thom) L’anneau N∗ est isomorphe à l’anneau de polynômes F2 [ti ], avec i 6= 2j − 1 et |ti | = i.
Théorème 4.5.5 (Milnor, Novikov) L’anneau U∗ est isomorphe à l’anneau de polynômes Z[xi ], avec |xi | = 2i.
Dans ces deux cas on peut introduire de manière duale les anneaux de cobordisme N ∗ et U ∗ . La définition est
identique, mais au lieu de graduer par la dimension on gradue par l’opposé de la dimension, si bien que les groupes
non triviaux N k et U k sont pour les exposants négatifs. Dans le cas de U ∗ on considère la structure du fibré normal
à la place de celle du fibré tangent. Les théorèmes ci dessus deviennent :
Théorème 4.5.6 (Thom) L’anneau N ∗ est isomorphe à l’anneau de polynômes F2 [ti ], avec −i 6= 2j − 1 et |ti | = −i.
Théorème 4.5.7 (Milnor, Novikov) L’anneau U ∗ est isomorphe à l’anneau de polynômes Z[xi ], avec |xi | = −2i.
On commence par montrer comment associer à une variété V (resp. une variété presque presque complexe) de
dimension k un élément dans πn+k (M O(n)), resp. π2n+k (M U (n)), pour n assez grand.
On choisit un plongement de V dans Rn+k , resp. R2n+k dans le cas presque complexe, avec n assez grand pour ce
faire. On choisit un voisinage tubulaire U de V dans Rn+k 4.1.13. Si V est presque complexe on suppose avoir de plus
une structure complexe sur le fibré normal. Ce fibré normal ν est classifié par une application :
V → BO(n), resp. V → BU (n)
en passant aux espaces de Thom
T (ν) → M O(n), resp. T (ν) → M U (n)
L’espace de Thom T (ν) est obtenu en identifiant en un point Rn+k \ Ů , resp. R2n+k \ Ů . En prenant le compactifié
d’Alexandroff de Rn+k , resp. R2n+k cela donne des applications
S n+k → T (ν), resp. S 2n+k → T (ν)
En composant avec les applications précédentes, et en prenant l’image dans la colimite on a l’application cherchée. Il
y aune longue liste de vérifications à faire pour montrer que ceci est bien défini..
• Deux plongements différents, dans le cas presque complexe avec des structures équivalentes, donnent deux
applications homotopes. Ceci est tout à fait analogue aux arguments développés lors de l’étude de la classification
homotopique des fibrés 3.6.5 et du fait que deux plongements distincts sont isotopes, quitte à augmenter la
dimension de l’espace de plongement.
• Il faut montrer que deux variétés cobordantes V et W (avec la structure presque complexe si nécessaire) donnent
deux applications homotopes. Ceci est obtenu par un plongement de la variété à bord M , et à l’aide d’une
fonction de Morse sur M , c’est-à-dire une fonction µ : M → I différentiable, n’ayant que des points critiques
isolés et non dégénérés. Ces conditions sur /mu n’interviennent que pour garantir que le sous-espace fermé
µ−1 (t) a une structure de CW -complexe (cela a l’air superflu WWW). Ceci garantissant que l’on peut appliquer
tous les résultats concernant les fibrés vectoriels sans soucis. On suppose enfin que µ prend la valeur 0 sur V , 1
sur W .
L’homotopie au temps t de déformation est alors donné par la restriction du fibré normal au plongement de la
variété M au sous-espace c−1 (t).
4.6. L’ANNEAU DE COBORDISME D’UNE VARIÉTÉ LISSE, ET LES GROUPES DE BORDISME D’UN ESPACE51
Dans une seconde partie il faut montrer la compatibilité aux structures de groupes, ce qui est assez formel et revient
à réécrire la définition de la somme sur les groupes d’homotopie. On prend des plongements de V et W disjoints et on
choisit des voisinages tubulaires disjoints. Si les plongements ont lieu dans un espace Rn+k on choisit un plongement
V , et un voisinage tubulaire contenus dans le demi-espace des xn+k > 0, et pour W dans le demi-espace des xn+k < 0.
Chacun de ces deux sous-espaces est homéomorphe à Rn , on peut donc effectuer la seconde partie de la construction
de Thom sur chacun de ces sous-espaces et obtenir deux applications
v : S n+k → T (νV )
w : S n+k → T (νW )
`
La construction de Thom appliquée au plongement de V W est la composée :
v∨w
S n+k → S n+k ∨ S n+k −→ T (νV ) ∨ T (νW ) → M O(n)
La première application est celle qui écrase le méridien xn+k = 0 en un point, la dernière est la somme des deux
applications classifiantes.
Enfin il faut montrer qu’il y a isomorphisme.
C’est à ce niveau que la transversalité joue un rôle essentiel. Une application S n+k → M O(n), par définition de la
topologie colimite, prend valeurs dans l’espace de Thom au dessus d’une grassmannienne finie Gn+k,n (R). On peut
supposer l’application pointée et qu’elle envoie le point à l’infini du compactifié d’Alexandroff de Rn+k sur le point base
de l’espace de Thom. En considérant la situation en dehors de ces points on peut se ramener à une application de Rn+k
vers γn+k,n . On peut d’abord supposer que cette application est différentiable, puis la modifier en une application
arbitrairement proche pour la rendre transverse à la section nulle du fibré.
L’image inverse de la section nulle est alors une sous-variété de codimension n de S n+k de Rn+k . De plus son
fibré normal est le fibré sur Gn+k,n (R) induit par le quotient T γn+k,n (R)/T Gn+k,n (R) soit γn+k,n . Dans la formule
précédente T γn+k,n (R) désigne le fibré tangent à l’espace total de γn+k,n qui se trouve être p∗ (γn+k,n ⊕ T Gn+k,n (R)).
La construction initiale montre que cela donne une section de l’application de Thom et donne donc la surjectivité.
Il y a alors les vérifications d’usage à faire.
• Deux applications homotopes se relèvent en des variétés cobordantes,
• ce qui par ailleurs donne l’injectivité.
Même démonstration dans le cas presque complexe.
4.6
4.6.1
L’anneau de cobordisme d’une variété lisse, et les groupes de bordisme d’un espace
Définitions et dépendance fonctorielle
Soit V une variété différentiable de dimension d sans bord, resp. WWW
Définition 4.6.1 Le groupe de cobordisme N k (V ), k ∈ Z, est le quotient du groupe abélien libre engendré par les
triplets (f : Z → V ), où Z est une variété lisse de dimension d−k sans bord, f est une application propre différentiable,
modulo la relation de cobordisme suivante
` : (f0 : Z0 → V ) ∼ (f : Z1 → V ) si et seulement si il existe une variété lisse
W de dimension d − k + 1, de bord Z0 Z1 , et une application lisse F : W → V restreignant à f0 sur Z0 , à f1 sur Z1 .
Il peut être commode de reformuler la relation de cobordisme de la manière suivante. Au lieu de demander une
application F : W → V on demande une application F : W → V × R, avec W sans bord, qui soit transverse aux
inclusions V × {0} → V × R et V × {1} → V × R et telle que F −1 (V × {0}) → V × {0} s’identifie à f0 , resp.
F −1 (V × {1}) → V × {0} s’identifie à f1 .
dans la suite ces triplets seront notés (f : Z → V ), ou pour faire plus court (Z, f, V ).
Cette définition peut être étendue à un complexe fini X quelconque. On plonge X dans un espace euclidien assez
grand et on le remplace par un voisinage régulier. Dans ce contexte la condition que f soit lisse peut être également
levée.
La définition s’étend au cas presque complexe en imposant les conditions de structure sur le fibré normal stable aux
applications.
52
CHAPTER 4. VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES ET COBORDISME
Définition 4.6.2 Le groupe de cobordisme U k (V ), k ∈ Z, est quotient du groupe abélien libre engendré par les triplets
(f : Z → V ), où Z est une variété lisse de dimension d − k sans bord, f est une application différentiable. On suppose
de plus que le fibré normal stable à f est muni d’une structure complexe.
Le quotient est pris modulo la relation suivante
` : (f0 : Z0 → V ) ∼ (f : Z1 → V ) si et seulement si il existe une variété
lisse W de dimension d − k + 1, de bord Z0 Z1 , et une application lisse F : W → V restreignant à f0 sur Z0 , à f1
sur Z1 , avec une structure complexe sur νF qui induit celles sur νf0 et νf1 .
On peut aussi reformuler la relation comme plus haut. On demande qu’il existe une application F : W → V ×R, avec W
sans bord, qui soit transverse aux inclusions V ×{0} → V ×R et V ×{1} → V ×R et telle que F −1 (V ×{0}) → V ×{0}
s’identifie à f0 , resp. F −1 (V ×{1}) → V ×{0} s’identifie à f1 , que cette application soit munie d’une structure complexe
sur le fibré normal stable en induisant évidemment les structures complexes données sur les fibrés normaux à f0 et f1 .
Théorème 4.6.3 Le groupe N k (V ) est isomorphe à la colimite sur n du système des ensembles (groupes dès que
n > k) d’homotopie pointés
· · · → [S n−k (V
a
∗), M O(n)] → [S n+1−k (V
a
∗), M O(n + 1)] → . . .
Le groupe U k (V ) est isomorphe à la colimite sur n du système
· · · → [S 2n−k (V
a
∗), M U (n)] → [S 2n+2−k (V
a
∗), M U (n + 1)] → . . .
Théorème 4.6.4 Le groupe Nk (X) est isomorphe à la colimite sur n du système
· · · → [S n+k , (X
a
∗) ∧ M O(n)] → [S n+1+k , (X
a
∗) ∧ M O(n + 1)] → . . .
Le groupe Uk (X) est isomorphe à la colimite sur n du système
· · · → [S 2n+k , (X
a
∗) ∧ M U (n)] → [S 2n+2+k (X
a
∗) ∧ M U (n + 1)] → . . .
Corollaire 4.6.5 Soit X un CW -complexe compact, resp. V une variété compacte, et soit k un entier. Les F2 -espaces
vectoriels Nk (X), resp. N k (V ) sont de dimension finie.
Corollaire 4.6.6 Soit X un CW -complexe compact, resp. V une variété compacte, et soit k un entier. Les Z-modules
Uk (X), resp. U k (V ) sont de type fini.
Sur les groupes gradués N ∗ (V ) et U ∗ (V ) existe une structure d’anneau gradué qui est définie comme suit. on se donne
deux classes u ∈ N m (V ) et v ∈ N n (V ), resp. u ∈ U m (V ) et v ∈ U n (V ), et des triplets représentatifs (Y, f, V ) et
(Z, g, V ). On peut supposer avoir choix des triplets de telle manière que les applications f et g soient transverses 4.4.7.
On forme alors le produit fibré
W
i
/Y
g
/V
j
Z
f
avec dim(V ) dim(W ) = m + n, f ◦ i = j ◦ g. Si on est dans le cas complexe le fibré stable νf ◦i hérite d’une orientation.
Car ce fibré stable est isomorphe à la somme de Whitney i∗ (νf ) ⊕ j ∗ (νg ).
La proposition suivante relève de vérifications de routine :
Proposition 4.6.7 La classe du triplet (W, f ◦ i, V ) ne dépend que des classes u et v et non du choix des triplets
représentatifs. On la notera uv ∈ N m+n (V ), resp. uv ∈ U m+n (V ). On a les propriétés standards du produit :
• la classe de (V, Id, V ) est élément unité;
• la loi est associative;
• elle est commutative au sens gradué.
4.6. L’ANNEAU DE COBORDISME D’UNE VARIÉTÉ LISSE, ET LES GROUPES DE BORDISME D’UN ESPACE53
Soit g : V → W une application différentiable. Soit un triplet (Z, f, W ) définissant une classe u dans N k (W ). Si les
applications f et g sont transverses on récupère en prenant le produit fibré au dessus de W un triplet (V ×W Z, p, V ).
D’après 4.4.7 on peut déformer par homotopie f en f 0 etla rendre transverse à g, on obtient alors un triplet à l’aide
de g et f 0 .
Les propositions suivantes relèvent de vérifications de routine :
Proposition 4.6.8 Soit (Z, f, W ) un triplet représentant une classe u de N k (W ). La classe dans N k (V ) des triplets
obtenus par la construction ci-dessus ne dépend que la classe d’homotopie de f . De plus cette classe ne dépend pas du
représentant choisi pour la classe u.
Cette classe sera notée f ∗ (u).
Soient g : V → W , h : W → X, on a (h ◦ g)∗ = g ∗ ◦ h∗
Le résultat s’étend directement au cas quasi-complexe.
Proposition 4.6.9 Soit (Z, f, W ) un triplet représentant une classe u de U k (W ). La classe dans U k (V ) des triplets
obtenus par la construction ci-dessus ne dépend que la classe d’homotopie de f . De plus cette classe ne dépend pas du
représentant choisi pour la classe u.
Cette classe sera notée f ∗ (u).
Soient g : V → W , h : W → X, on a (h ◦ g)∗ = g ∗ ◦ h∗ .
L’application f ∗ est un homomorphisme d’anneaux gradués.
4.6.2
La suite exacte longue et l’invariance par homotopie
Les anneaux N ∗ (V ) et U ∗ (V ) vérifient, avec les aménagements appropriés, les axiomes d’Eilenberg-Steenrod sur
les théories cohomologiques. Ceci à l’exception de l’axiome de dimension. Dans cete section on vérifie l’axiome
d’homotopie et la longue suite exacte. De part la construction purement géométrique des théories ces vérifications
sont rapides et conséquences presque formelle des théorèmes de transversalité.
Le cas de l’invariance par homotopie est conséquence directe de 4.4.8 :
Théorème 4.6.10 Soient f0 , f1 : V → W deux applications homotopes. Alors les applications induites f0∗ et f1∗ de
N ∗ (W ) vers N ∗ (V ), resp. de U ∗ (W ) vers U ∗ (V ) sont égales.
Le cas de la longue suite est un peu plus compliqué. il faut introduire des groupes relatifs. Ceci est fait en troduisant
de la cohomologie à valeurs dans une famille de supports Φ.
Définition 4.6.11 Une famille de supports Φ d’un espace topologique consiste en une famille de fermés qui est
• stable par réunion (finie),
• par sous-objet : F 0 ⊂ F , F ∈ Φ, alors T 0 ∈ Φ,
• si T ∈ Φ, alors il existe un voisinage de T dans Φ.
Voici des exemples de familles de supports qui seront utiles.
Soit ξ un fibré vectoriel de base B d’espace total E. On suppose que ξ est équipé d’une métrique.
Définition 4.6.12 La famille Φ est constituée par tous les sous-espaces bornés : F ∈ Φ si et seulement si il existe
k > 0 tel que pour tout b ∈ B, v ∈ Eb ∩ F kvk ≤ k.
Une variante est obtenue en considérant les sous-espaces uniformément bornés : il existe k > 0 tel que pour tout F ∈ Φ
pour tout b ∈ B, v ∈ Eb ∩ F , kvk ≤ k.
Voici une autre situation, soit V une variété et W une sous-variété. On choisit un voisinage tubulaire U de W dans
V . Ce voisinage tubulaire s’identifie au fibré en disque ouvert d’un fibré vectoriel ξ de base B. On peut alors, par
transport de structure, introduire les familles de supports précédentes pour U . Il est aussi important d’introduire des
familles de supports sur V \ W . On conserve les notations identifiant U au fibré en disques d’un fibré vectoriel ξ.
Définition 4.6.13 La famille Φ est constituée par tous les sous-espaces F tel qu’il il existe > 0 tel que pour tout
b ∈ B, v ∈ Eb ∩ F kvk ≥ .
Une variante est obtenue en considérant une constante uniforme : il existe > 0 tel que pour tout F ∈ Φ pour tout
b ∈ B, v ∈ Eb ∩ F , kvk ≥ .
54
CHAPTER 4. VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES ET COBORDISME
En général on utilise le cas où la constante est uniforme.
Définition 4.6.14 (Groupes de cobordisme à valeurs dans une famille Φ) Soit Φ une famille de supports sur une
variété V . On introduit des groupes NΦk (V ), resp. UΦk (V ), de manière analogue à ce qui a été fait en 4.6.2. On
¯ ∈ Φ, F̄ (W ) ∈ Φ.
reprend les mêmes notations et les mêmes coditions et on demande de plus que f (Z)
Avec cette définition on peut énoncer :
Théorème 4.6.15 On a une suite exacte longue
i∗
j∗
δ
. . . NΦk (V \ W ) → N k (V ) → N k (W ) → NΦk+1 (V \ W ) → . . .
Théorème 4.6.16 On a une suite exacte longue
j∗
i∗
δ
j ∗ . . . UΦk (V \ W ) → U k (V ) → U k (W ) → UΦk+1 (V \ W ) → . . .
Dans cet énoncé i et j désignent les inclusions W → V et V \ W → V . L’homomorphisme δ est construit comme suit.
On choisit un représentant pour la classe u ∈ N k (W ), soit f : Z → W , puis on choisit un voisinage tubulaire fermé U
de W dans V . Le produit fibré ∂U ×W Z et l’application ∂U ×W Z → V induite par la projection p1 déterminent un
élément de NΦk+1 (V \ W ). Des vérifications de routine montrent que la classe ainsi déterninée ne dépend que de u et
non du choix du représentant.
Démonstration de l’exactitude, on traite le cas réel, le cas complexe ne nécessite que des adaptations mineures :
• i∗ ◦ j∗ = 0, par définition des applications : un triplet (Z, f, V \ W ) est d’image d’intersection vide, donc
transverse, à W ;
• δ ◦ i∗ = 0, cette fois on part d’un triplet (Z, f, V ) représentant une classe u ∈ N k (V ), on peut supposer
l’application f transverse à W . La classe de i∗ (u) est celle du triplet (P = f −1 (f (Z) ∩ W ), f, W ), en notant
encore f la restriction. Pour calculer δ sur cette dernière classe. On considère un voisinage tubulaire de W dans
V , sa restriction à l’intersection f (Z) ∩ W , on la note D(ν) et S(ν) pour le sou-fibré en sphères associé. Alors
δ ◦ i∗ (u) est la classe du triplet obtenu en faisant le produit fibré des applications S(ν) → W et f : P → W .
Mais en faisant le produit fibré de D(ν) → W et f : P → W on obtient le cobordisme à zéro;
• j∗ ◦ δ = 0 la démonstration est analogue au cas précédent, le fibré en disque fournit un cobordisme à zéro.
• i∗ (x) = 0, dans ce cas on part d’un triplet (Z, f, V ), on peut supposer f transverse à W . Par hypothèse le triplet
(P = f −1 (f (Z) ∩ W ), f, W ) est cobordant à zéro. La somme amalgamée de Z × I, f V avec le produit fibré
du cobordisme à zéro avec la projection S(ξ) → f (Z) ∩ W fournit un cobordisme du triplet initial à un triplet
évitant W .
• δ(x) = 0, dans ce cas on choisit un cobordisme à zéro dans V \ W du triplet, à valeurs dans V \ W obtenu
par produit fibré de S(ν) → W et f : Z → W . Puis on le recolle le long de S(ν)) avec D(ν), ceci donne une
application d’une variété Z vers V , transverse à W avec la propriété requise.
• j∗ (x) = 0, dans ce cas on part d’un triplet (Z, f, V \ W ) qui considéré comme triplet à valeurs dans V est
cobordant à zéro. on choisit un cobordisme (U, F, V ) que l’on rend transverse à W . On note toujours ν le
fibré normal à W dans V . Le triplet, à valeurs dans V \ W , obtenu par produit fibré de S(ν) → F (U ) ∩ W et
F −1 (F (U ) ∩ W ) → W est cobordant (dans V \ W ) au triplet initial et est dans l’image de δ.
4.6.3
L’homomorphisme de Gysin et le théorème d’isomorphisme de Thom
Soit d’abord un triplet (V, f, W ), avec dans le cas complexe une orientation sur νf et soit un second triplet (Z, g, V )
avec de même une orientation sur νg dans le cas complexe. On suppose que les espaces considérés sont connexes,
ceci n’est pas une restriction mais permet d’écrire dim(W ) − dim(V ) = p et dim(V ) − dim(Z) = n. Alors le triplet
(Z, f ◦ g, W ) est tel que dim(W ) − dim(Z) = n + p, dans le cas complexe il hérite d’une orientation sur le fibré νf ◦g
obtenue comme somme des orientations sur νf et νg : l’orientation de νf est donnée par une structure complexe sur
le fibré normal à un plongement à V ,→ W × Rp , celle de de νg est donnée par une structure complexe sur le fibré
normal à un plongement à Z ,→ V × Rq . L’orientation sur νf ◦g est donnée par la structure obtenue par somme de
Whitney sur le plongement :
Z ,→ V × Rq ,→ W × Rp × Rq
La proposition suivante relève des vérifications de routine :
4.6. L’ANNEAU DE COBORDISME D’UNE VARIÉTÉ LISSE, ET LES GROUPES DE BORDISME D’UN ESPACE55
Proposition 4.6.17 Avec les notation ci-dessus :
• la classe du triplet (Z, f ◦ g, W ) dans le groupe N n+p (W ), resp. U n+p (W ) ne dépend que de la classe du triplet
(Z, f g, V ) dans le groupe N n (V ), resp. U n (V );
• la classe du triplet (Z, f ◦g, W ) dans le groupe N n+p (W ), resp. U n+p (W ) ne dépend que de la classe d’homotopie
de f ;
• si la classe du triplet (Z, f g, V ) est notée u cette classe sera notée f∗ (u);
• f∗ est un homomorphisme de groupes appelé homomorphisme de Gysin associé à f ;
• dès que la composition a un sens on a (g ◦ f )∗ = f∗ ◦ g∗ .
Soit un produit
Soit ξ un fibré vectoriel réel, resp. complexe, de base une variété V compacte sans bord, d’espace total E et de
dimension réelle d, resp. complexe d. Soit Φ la famille de supports définie plus haut. Le triplet donné par la section
nulle s : V ,→ E) détermine une classe dans NΦd (E), resp. UΦ2d (E), qui sera appelée la classe de Thom du fibré ξ et
notée Uξ .
L’application s détermine un homomorphisme de Gysin comme plus haut, mais qui prend ses valeurs dans les groupes
de cobordisme à valeurs dans la famille de supports Φ.
Théorème 4.6.18 (Isomorphisme de Thom) L’application s∗ : N k (V ) → NΦk+d (V ), resp. s∗ : U k (V ) → UΦk+d (V ) est
un isomorphisme.
En effet la projection du fibré p : E → V fournit un homomorphisme de Gysin dans l’autre sens qui donne la réciproque.
L’application s∗ peut s’identifier au un cup produit externe x 7→ Uξ ∪ p∗ (x)x.
Définition 4.6.19 Par définition la classe d’Euler d’un fibré vectoriel réel ξ, notée e(ξ), de dimension d, resp.
complexe de dimension 2d est par définition la classe s∗ (Uξ ) ∈ N d (V ), resp. U 2d (V ).
Géométriquement elle s’interprète comme le plongement (comme sous-variété) de l’intersection de la section nulle de
ξ avec une section transverse. Cela résulte directement d’un théorème analogue à 4.4.7 pour les sections d’un fibré
vectoriel.
56
CHAPTER 4. VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES ET COBORDISME
Bibliography
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[4] [Wh] George Whitehead, Elements of homotopy theory. Springer GTM 61 (1978).
57