Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
NOMBRES COMPLEXES
(JE SAIS FAIRE)
1LENSEMBLE CDES NOMBRES COMPLEXES
1Simplifier pour tout zC: Re(iz)et Im(iz).
Je sais exprimer Re(zz)et Im(zz)en fonction des parties réelle et imaginaire de zet z.
2Déterminer la forme algébrique du nombre complexe 2i
37i .
Je sais énoncer les propriétés usuelles du module, dont l’inégalité triangulaire généralisée. Je sais qu’un module au
carré est souvent plus intéressant qu’un module en vertu de la relation : zz=|z|2.
3Exprimer |z+1|2en fonction de |z|et Re(z)pour tout zC.
Je sais calculer sous forme algébrique les racines carrées d’un nombre complexe et résoudre les équations du second
degré à coefficients complexes. Je sais que la notation pzn’a de sens que si zest un réel positif.
4Résoudre l’équation : z2z=i1 d’inconnue zC.
2AUTOUR DE LEXPONENTIELLE COMPLEXE
Je sais placer sur le cercle trigonométrique les nombres classiques du genre : e iπ
2, e 2iπ
3...
5Donner de tête les solutions des équations : eiθ=1 et eiθ=i d’inconnue θR.
6Résoudre l’équation : eiθ=1i
p2d’inconnue θR.
Je sais énoncer les formules d’Euler et Moivre. Je sais linéariser dé-linéariser les expressions trigonométriques.
7Donner un argument des nombres complexes : 7, 5i, i +p3 et i
1+i.
Je sais exprimer xet yen fonction de ret θdans le cas où : x+i y =reiθ, ainsi que ret θen fonction de xet
y.
1
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8Donner un argument de 1+2i sous la forme d’une arctangente, puis d’un arccosinus, puis d’un arcsinus.
Je sais mettre en œuvre la technique de l’angle moitié et je sais l’utiliser pour factoriser les expressions : cos x+cos y,
sin xsin y...
Je sais factoriser les sommes du genre :
n
X
k=0
sin(kx +y).
Je sais définir ezpour tout zCet je sais calculer le module et un argument d’une telle exponentielle.
9Résoudre les équations suivantes d’inconnue zC: ez=i et ez=1+2i.
Je sais définir l’ensemble Unet décrire ses éléments. Je sais calculer les racines nèmes d’un nombre complexe donné
sous forme trigonométrique. Je sais que la notation n
pzn’a de sens que si zest un réel positif.
Je sais définir le nombre complexe j et énoncer ses propriétés usuelles.
10 Exprimer en fonction de j les nombres : j32 et 3j2+j+1(j+2).
3INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE DES NOMBRES COMPLEXES
Je sais décrire géométriquement le passage d’un nombre complexe zaux nombres complexes z+u,λzavec λRet
eiθz, et plus généralement az +b.
11 Décrire géométriquement les transformations : z7−izet z7−32iz.
2
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4CORRECTION DES EXERCICES
1Pour tout zC: Re(iz) = Im(z)et Im(iz) = Re(z).
————————————–
2
2i
3+7i =13
58 +11
58 i.
————————————–
3Pour tout zC:|z+1|2= (z+1)z+1=zz+z+z+1=|z|2+2Re(z) + 1.
————————————–
4Discriminant : 3+4i. Racines carrées du discriminant : ±(1+2i). Solutions de l’équation : i et 1 +i.
————————————–
5Pour tout θR: eiθ=1θ0[2π]θ2πZ
et : eiθ=iθπ
2[2π]θπ
2+2πZ.
————————————–
6Pour tout θR: eiθ=1i
p2eiθ=eiπ
4θ≡ −π
4[2π]θ∈ −π
4+2πZ.
————————————–
7arg(7) = π, arg(5i) = π
2, arg i+p3=π
6et arg i
1+iarg(i)arg(1+i)π
2π
4π
4[2π].
————————————–
8arg(1+2i)π+Arctan 2
1[2π]πArctan 2 [2π].
Le nombre 1+2i possède un argument θdans hπ
2,πi[0, π], pour lequel : cos θ=1
p(1)2+22=1
p5. A fortiori :
arg(1+2i)Arccos 1
p5[2π].
Le nombre 1+2i ne possède en revanche pas d’argument dans hπ
2,π
2i, mais par contre : πθh0, π
2ihπ
2,π
2i.
L’égalité : sin(πθ) = sin θ=2
p(1)2+22=2
p5montre alors que : arg(1+2i)πArcsin 2
p5[2π].
————————————–
9Pour tout z=x+iyCavec x,yR: ez=iex=1 et yπ
2[2π]
x=0 et kZ/y=π
2+2kπ
kZ/z=iπ
2+2ikπ
et ez=1+2i ez=p5 eiArctan 2 ex=p5 et yArctan 2 [2π]
x=ln 5
2et kZ/y=Arctan 2 +2kπ
kZ/z=ln 5
2+i Arctan 2 +2ikπ.
————————————–
10 Comme j3=1 : j32 =j3×10+2=j2, et comme par ailleurs : j2+j+1=0, alors :
3j2+j+1(j+2) = 3j3+7j2+3j +2=3×1+7(1j) + 3j +2=24j.
————————————–
11 L’application z7−iz=eiπ
2zn’est autre que la rotation de centre 0 et d’angle de mesure π
2.
Pour tout zC: 32iz=zz=3
2+i=63i
5. Comme par ailleur : 2i =2eiπ
2, l’application z7−32iz
est la similitude de centre 63i
5, de rapport 2 et d’angle de mesure π
2.
————————————–
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