Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
4CORRECTION DES EXERCICES
1Pour tout z∈C: Re(iz) = −Im(z)et Im(iz) = Re(z).
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2
2−i
3+7i =13
58 +11
58 i.
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3Pour tout z∈C:|z+1|2= (z+1)z+1=zz+z+z+1=|z|2+2Re(z) + 1.
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4Discriminant : −3+4i. Racines carrées du discriminant : ±(1+2i). Solutions de l’équation : −i et 1 +i.
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5Pour tout θ∈R: eiθ=1⇐⇒ θ≡0[2π]⇐⇒ θ∈2πZ
et : eiθ=i⇐⇒ θ≡π
2[2π]⇐⇒ θ∈π
2+2πZ.
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6Pour tout θ∈R: eiθ=1−i
p2⇐⇒ eiθ=e−iπ
4⇐⇒ θ≡ −π
4[2π]⇐⇒ θ∈ −π
4+2πZ.
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7arg(−7) = π, arg(5i) = π
2, arg i+p3=π
6et arg i
1+i≡arg(i)−arg(1+i)≡π
2−π
4≡π
4[2π].
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8arg(−1+2i)≡π+Arctan 2
−1[2π]≡π−Arctan 2 [2π].
Le nombre −1+2i possède un argument θdans hπ
2,πi⊂[0, π], pour lequel : cos θ=−1
p(−1)2+22=−1
p5. A fortiori :
arg(−1+2i)≡Arccos −1
p5[2π].
Le nombre −1+2i ne possède en revanche pas d’argument dans h−π
2,π
2i, mais par contre : π−θ∈h0, π
2i⊂h−π
2,π
2i.
L’égalité : sin(π−θ) = sin θ=2
p(−1)2+22=2
p5montre alors que : arg(−1+2i)≡π−Arcsin 2
p5[2π].
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9Pour tout z=x+iy∈Cavec x,y∈R: ez=i⇐⇒ ex=1 et y≡π
2[2π]
⇐⇒ x=0 et ∃k∈Z/y=π
2+2kπ
⇐⇒ ∃ k∈Z/z=iπ
2+2ikπ
et ez=1+2i ⇐⇒ ez=p5 eiArctan 2 ⇐⇒ ex=p5 et y≡Arctan 2 [2π]
⇐⇒ x=ln 5
2et ∃k∈Z/y=Arctan 2 +2kπ
⇐⇒ ∃ k∈Z/z=ln 5
2+i Arctan 2 +2ikπ.
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10 Comme j3=1 : j32 =j3×10+2=j2, et comme par ailleurs : j2+j+1=0, alors :
3j2+j+1(j+2) = 3j3+7j2+3j +2=3×1+7(−1−j) + 3j +2=−2−4j.
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11 L’application z7−→ iz=eiπ
2zn’est autre que la rotation de centre 0 et d’angle de mesure π
2.
Pour tout z∈C: 3−2iz=z⇐⇒ z=3
2+i=6−3i
5. Comme par ailleur : −2i =2e−iπ
2, l’application z7−→ 3−2iz
est la similitude de centre 6−3i
5, de rapport 2 et d’angle de mesure −π
2.
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