nombres complexes (je sais faire)

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
NOMBRES COMPLEXES
(JE SAIS FAIRE)
1L’ENSEMBLE CDES NOMBRES COMPLEXES
1Simplifier pour tout z∈C: Re(iz)et Im(iz).
Je sais exprimer Re(zz′)et Im(zz′)en fonction des parties réelle et imaginaire de zet z′.
2Déterminer la forme algébrique du nombre complexe 2−i
3−7i .
Je sais énoncer les propriétés usuelles du module, dont l’inégalité triangulaire généralisée. Je sais qu’un module au
carré est souvent plus intéressant qu’un module en vertu de la relation : zz=|z|2.
3Exprimer |z+1|2en fonction de |z|et Re(z)pour tout z∈C.
Je sais calculer sous forme algébrique les racines carrées d’un nombre complexe et résoudre les équations du second
degré à coefficients complexes. Je sais que la notation pzn’a de sens que si zest un réel positif.
4Résoudre l’équation : z2−z=i−1 d’inconnue z∈C.
2AUTOUR DE L’EXPONENTIELLE COMPLEXE
Je sais placer sur le cercle trigonométrique les nombres classiques du genre : e iπ
2, e 2iπ 3...
5Donner de tête les solutions des équations : eiθ=1 et eiθ=i d’inconnue θ∈R.
6Résoudre l’équation : eiθ=1−i
p2d’inconnue θ∈R.
Je sais énoncer les formules d’Euler et Moivre. Je sais linéariser dé-linéariser les expressions trigonométriques.
7Donner un argument des nombres complexes : −7, 5i, i +p3 et i
1+i.
Je sais exprimer xet yen fonction de ret θdans le cas où : x+i y =reiθ, ainsi que ret θen fonction de xet
y.
1

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8Donner un argument de −1+2i sous la forme d’une arctangente, puis d’un arccosinus, puis d’un arcsinus.
Je sais mettre en œuvre la technique de l’angle moitié et je sais l’utiliser pour factoriser les expressions : cos x+cos y,
sin x−sin y...
Je sais factoriser les sommes du genre :
n
X
k=0
sin(kx +y).
Je sais définir ezpour tout z∈Cet je sais calculer le module et un argument d’une telle exponentielle.
9Résoudre les équations suivantes d’inconnue z∈C: ez=i et ez=1+2i.
Je sais définir l’ensemble Unet décrire ses éléments. Je sais calculer les racines nèmes d’un nombre complexe donné
sous forme trigonométrique. Je sais que la notation n
pzn’a de sens que si zest un réel positif.
Je sais définir le nombre complexe j et énoncer ses propriétés usuelles.
10 Exprimer en fonction de j les nombres : j32 et 3j2+j+1(j+2).
3INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE DES NOMBRES COMPLEXES
Je sais décrire géométriquement le passage d’un nombre complexe zaux nombres complexes z+u,λzavec λ∈Ret
eiθz, et plus généralement az +b.
11 Décrire géométriquement les transformations : z7−→ izet z7−→ 3−2iz.
2

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4CORRECTION DES EXERCICES
1Pour tout z∈C: Re(iz) = −Im(z)et Im(iz) = Re(z).
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2
2−i
3+7i =13 58 +11 58 i.
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3Pour tout z∈C:|z+1|2= (z+1)z+1=zz+z+z+1=|z|2+2Re(z) + 1.
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4Discriminant : −3+4i. Racines carrées du discriminant : ±(1+2i). Solutions de l’équation : −i et 1 +i.
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5Pour tout θ∈R: eiθ=1⇐⇒ θ≡0[2π]⇐⇒ θ∈2πZ
et : eiθ=i⇐⇒ θ≡π
2[2π]⇐⇒ θ∈π 2+2πZ.
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6Pour tout θ∈R: eiθ=1−i
p2⇐⇒ eiθ=e−iπ
4⇐⇒ θ≡ −π
4[2π]⇐⇒ θ∈ −π 4+2πZ.
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7arg(−7) = π, arg(5i) = π
2, arg i+p3=π 6et arg i 1+i≡arg(i)−arg(1+i)≡π 2−π 4≡π 4[2π].
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8arg(−1+2i)≡π+Arctan 2
−1[2π]≡π−Arctan 2 [2π].
Le nombre −1+2i possède un argument θdans hπ
2,πi⊂[0, π], pour lequel : cos θ=−1
p(−1)2+22=−1 p5. A fortiori :
arg(−1+2i)≡Arccos −1
p5[2π].
Le nombre −1+2i ne possède en revanche pas d’argument dans h−π
2,π 2i, mais par contre : π−θ∈h0, π 2i⊂h−π 2,π 2i.
L’égalité : sin(π−θ) = sin θ=2
p(−1)2+22=2 p5montre alors que : arg(−1+2i)≡π−Arcsin 2 p5[2π].
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9Pour tout z=x+iy∈Cavec x,y∈R: ez=i⇐⇒ ex=1 et y≡π
2[2π]
⇐⇒ x=0 et ∃k∈Z/y=π
2+2kπ
⇐⇒ ∃ k∈Z/z=iπ
2+2ikπ
et ez=1+2i ⇐⇒ ez=p5 eiArctan 2 ⇐⇒ ex=p5 et y≡Arctan 2 [2π]
⇐⇒ x=ln 5
2et ∃k∈Z/y=Arctan 2 +2kπ
⇐⇒ ∃ k∈Z/z=ln 5
2+i Arctan 2 +2ikπ.
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10 Comme j3=1 : j32 =j3×10+2=j2, et comme par ailleurs : j2+j+1=0, alors :
3j2+j+1(j+2) = 3j3+7j2+3j +2=3×1+7(−1−j) + 3j +2=−2−4j.
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11 L’application z7−→ iz=eiπ
2zn’est autre que la rotation de centre 0 et d’angle de mesure π
2.
Pour tout z∈C: 3−2iz=z⇐⇒ z=3
2+i=6−3i 5. Comme par ailleur : −2i =2e−iπ
2, l’application z7−→ 3−2iz
est la similitude de centre 6−3i
5, de rapport 2 et d’angle de mesure −π 2.
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