nombres complexes (je sais faire)

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
NOMBRES COMPLEXES
(JE SAIS FAIRE)
1
1
L’ENSEMBLE C DES NOMBRES COMPLEXES
Simplifier pour tout z ∈ C :
Re(iz)
et
Im(iz).
′
′
′
Je sais exprimer Re(zz ) et Im(zz ) en fonction des parties réelle et imaginaire de z et z .
2
Déterminer la forme algébrique du nombre complexe
2−i
.
3 − 7i
Je sais énoncer les propriétés usuelles du module, dont l’inégalité triangulaire généralisée. Je sais qu’un module au
carré est souvent plus intéressant qu’un module en vertu de la relation : zz = |z|2 .
3
Exprimer |z + 1|2 en fonction de |z| et Re(z) pour tout z ∈ C.
d’un nombre complexe et résoudre les équations du second
Je sais calculer sous forme algébrique les racines carrées
p
degré à coefficients complexes. Je sais que la notation z n’a de sens que si z est un réel positif.
4
Résoudre l’équation :
2
z2 − z = i − 1
d’inconnue z ∈ C.
AUTOUR DE L’EXPONENTIELLE COMPLEXE
Je sais placer sur le cercle trigonométrique les nombres classiques du genre :
5
6
Donner de tête les solutions des équations :
Résoudre l’équation :
1−i
eiθ = p
2
eiθ = 1
et
eiθ = i
iπ
e2,
e
2iπ
3 ...
d’inconnue θ ∈ R.
d’inconnue θ ∈ R.
Je sais énoncer les formules d’Euler et Moivre. Je sais linéariser dé-linéariser les expressions trigonométriques.
7
Donner un argument des nombres complexes :
−7,
i+
5i,
p
Je sais exprimer x et y en fonction de r et θ dans le cas où :
y.
1
3
et
i
.
1+i
x + i y = reiθ ,
ainsi que r et θ en fonction de x et
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8
Donner un argument de −1 + 2i sous la forme d’une arctangente, puis d’un arccosinus, puis d’un arcsinus.
Je sais mettre en œuvre la technique de l’angle moitié et je sais l’utiliser pour factoriser les expressions :
sin x − sin y. . .
Je sais factoriser les sommes du genre :
n
X
cos x +cos y,
sin(k x + y).
k=0
z
Je sais définir e pour tout z ∈ C et je sais calculer le module et un argument d’une telle exponentielle.
9
Résoudre les équations suivantes d’inconnue z ∈ C :
ez = i
et
ez = 1 + 2i.
Je sais calculer les racines nèmes d’un nombre complexe donné
Je sais définir l’ensemble Un et décrire ses éléments.
p
n
sous forme trigonométrique. Je sais que la notation z n’a de sens que si z est un réel positif.
Je sais définir le nombre complexe j et énoncer ses propriétés usuelles.
10
Exprimer en fonction de j les nombres :
3
j32
et
3j2 + j + 1 (j + 2).
INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE DES NOMBRES COMPLEXES
Je sais décrire géométriquement le passage d’un nombre complexe z aux nombres complexes z + u, λz avec λ ∈ R et
eiθ z, et plus généralement az + b.
11
Décrire géométriquement les transformations :
z 7−→ iz
et
2
z 7−→ 3 − 2iz.
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4
1
CORRECTION DES EXERCICES
Pour tout z ∈ C :
Re(iz) = −Im(z)
et
Im(iz) = Re(z).
————————————–
2
3
2−i
13 11
=
+
i.
3 + 7i
58 58
————————————–
|z + 1| = (z + 1) z + 1 = zz + z + z + 1 = |z|2 + 2Re(z) + 1.
2
Pour tout z ∈ C :
————————————–
4
Discriminant :
−3 + 4i.
Racines carrées du discriminant :
±(1 + 2i).
Solutions de l’équation :
−i
et
1 + i.
————————————–
5
et :
6
7
eiθ = 1
Pour tout θ ∈ R :
eiθ = i
⇐⇒
Pour tout θ ∈ R :
arg(−7) = π,
⇐⇒
π
θ ≡ [2π]
2
1−i
eiθ = p
2
arg(5i) =
π
,
2
⇐⇒
θ ≡ 0 [2π]
⇐⇒
θ ∈ 2πZ
π
⇐⇒
θ ∈ + 2πZ.
2
————————————–
iπ
eiθ = e− 4
⇐⇒
θ ≡−
π
[2π]
4
⇐⇒
θ ∈−
π
+ 2πZ.
4
————————————–
‹

p π
π π
i
π
≡ arg(i) − arg(1 + i) ≡ − ≡ [2π].
arg i + 3 =
et arg
6
1+i
2
4
4
————————————–
2
[2π] ≡ π − Arctan 2 [2π].
8
−1
i
h
−1
π
1
, π ⊂ [0, π], pour lequel : cos θ = p
Le nombre −1+2i possède un argument θ dans
= − p . A fortiori :
2
2
2
5
(−1) + 2
‹

1
[2π].
arg(−1 + 2i) ≡ Arccos − p
5
h
i
h
i h
i
π π
π
π π
Le nombre −1 + 2i ne possède en revanche pas d’argument dans − ,
, mais par contre : π − θ ∈ 0,
⊂ − ,
.
2 2
2
2 2
2
2
2
montre alors que : arg(−1 + 2i) ≡ π − Arcsin p [2π].
=p
L’égalité : sin(π − θ ) = sin θ = p
2
2
5
5
(−1) + 2
————————————–
π
Pour tout z = x + i y ∈ C avec x, y ∈ R :
ez = i
⇐⇒
e x = 1 et y ≡ [2π]
9
2
π
⇐⇒
x = 0 et ∃ k ∈ Z/ y = + 2kπ
2
iπ
+ 2ikπ
⇐⇒
∃ k ∈ Z/ z =
2
p
p
et
ez = 1 + 2i
⇐⇒
ez = 5 eiArctan 2
⇐⇒
e x = 5 et y ≡ Arctan 2 [2π]
ln 5
et ∃ k ∈ Z/ y = Arctan 2 + 2kπ
⇐⇒
x=
2
ln 5
⇐⇒
∃ k ∈ Z/ z =
+ i Arctan 2 + 2ikπ.
2
————————————–
arg(−1 + 2i) ≡ π + Arctan
10
Comme j3 = 1 :
j32 = j3×10+2 = j2 , et comme par ailleurs : j2 + j + 1 = 0, alors :
3j2 + j + 1 (j + 2) = 3j3 + 7j2 + 3j + 2 = 3 × 1 + 7(−1 − j) + 3j + 2 = −2 − 4j.
————————————–
11
L’application z 7−→ iz =
Pour tout z ∈ C :
iπ
e2z
3−2iz = z
n’est autre que la rotation de centre 0 et d’angle de mesure
⇐⇒
z=
3
6 − 3i
=
.
2+i
5
Comme par ailleur :
6 − 3i
π
est la similitude de centre
, de rapport 2 et d’angle de mesure − .
5
2
————————————–
3
π
.
2
iπ
−2i = 2e− 2 ,
l’application z 7−→ 3−2iz