alg-geom/9704021 PDF

arXiv:alg-geom/9704021v1 24 Apr 1997
Vincent Mercat
138, rue Cardinet
75017 Paris
[email protected]
Le probl`eme
de
Brill-Noether
pour des fibr´es stables
de petite pente.

Introduction
Tout au long de ce travail, nous consid´erons que Cest une courbe alg´ebrique
lisse de genre gsur un corps alg´ebriquement clos de caract´eristique 0.
Le probl`eme de Brill-Noether consistait `a l’origine `a d´eterminer `a quelles
conditions il existe un fibr´e vectoriel en droites Lsur C, de degr´e det poss´edant k
sections globales ind´ependantes. On obtenait ainsi un morphisme de la courbe C
dans l’espace projectif Pk−1et la r´esolution du probl`eme de Brill-Noether dans
ce cas a permis de faire consid´erablement avancer la classification des courbes
et l’´etude de la vari´et´e de modules de courbes Mg. Les premiers r´esultats
remontent `a la fin du si`ecle dernier. On trouve une approche moderne de ce
probl`eme avec une d´emonstration de tous les th´eor`emes connus dans l’ouvrage
de Arbarello, Cornalba, Griffiths et Harris (cf [A-C-G-H]).
Avec l’apparition des vari´et´es de modules Un,d (resp. e Un,d) de fibr´es vectoriels
stables (resp. semi-stables) de rang net de degr´e d, le probl`eme de Brill-Noether
se g´en´eralisait: `a quelles conditions existe-il des fibr´es stables de rang nde degr´e
dposs´edant ksections globales ind´ependantes?
En g´en´eralisant les constructions faites dans le cas des fibr´es en droites, on est
amen´e `a poser (voir le chapitre 1):
Wk−1
n,d := {E∈Un,d |h0(E)≥k}
f
Wk−1
n,d := {[E]∈e
Un,d |h0(gr E)≥k}.
L’apparition de l’exposant k−1 est due au cas des fibr´es en droites: on cherchait
un morphisme C→Pk−1. Mais pour les fibr´es de rang sup´erieur, cette notation
est particuli`erement malheureuse.
On donne `a Wk−1
n,d (resp. f
Wk−1
n,d ) une structure de sous-sch´ema ferm´e de Un,d
(resp. e Un,d) (cf [L], [A-C-G-H] ou [B-G-N]). Le probl`eme de Brill-Noether
consiste alors `a trouver quand ces espaces sont vides, quelle est leur dimension,
s’ils sont irr´eductibles etc...
Il r´esulte de la construction que si Wk−1
n,d 6=∅et si Wk−1 n,d 6=Un,d, alors on sait
que
dimWk−1
n,d ≥ρ(g, d, n, k −1) = n2(g−1) + 1 −k(k−d+n(g−1))
Jusqu’au d´ebut des ann´ees 90, nous avions tr`es peu de r´esultats (cf [Se])
pour les fibr´es de rang sup´erieur `a un. Monserrat Teixidor i Bigas d´emontre
en 1991 un th´eor`eme qui donne une solution assez g´en´erale au probl`eme (cf
[Te1] ou th´eor`eme B-2 du Chap. 1). Ce th´eor`eme est encore aujourd’hui le
r´esultat le plus g´en´eral que nous poss´edons. Cependant il n’est pas enti`erement
2

satisfaisant: il n’est valable que pour une courbe g´en´erique (dans un sens tr`es
vague) et des r´esultats plus r´ecents montrent qu’il ne donne pas une solution
optimale. En 95, Brambila-Paz, Grzegorczyk et Newstead (cf [B-G-N] ou
th´eor`eme B-4 du chap. 1) donne une solution au probl`eme pour toutes les
courbes si d
n≤1.
Ce travail consiste en fait `a g´en´eraliser ce th´eor`eme au cas des fibr´es stables de
pente 1 < µ < 2. Nous nous inspirons tr`es largement des id´ees contenues dans
[B-G-N] pour d´emontrer le th´eor`eme suivant:
Th´eor`eme: Soit Cune courbe lisse. On suppose que 1<d
n<2. Alors les
espaces de Brill-Noether Wk−1
n,d sont non-vides si et seulement si
k≤n+1
g(d−n)
et alors toutes les composantes irr´eductibles de Wk−1
n,d sont de dimension exacte-
ment ρ(g, d, n, k −1).
Pour d´emontrer ce th´eor`eme, nous commen¸cons dans le chapitre 2 par ´etudier
les fibr´es vectoriels engendr´es par leurs sections: si Fest un fibr´e vectoriel de
rang let de degr´e dengendr´e par ses sections, alors on note D(F) le dual du
noyau du morphisme d’´evaluation:
O−−−−→D(F)∗−−−−→H0(F)⊗ O−−−−→F−−−−→0
Nous obtenons que si Fest stable de rang let de pente d
l>2g,D(F) est un
fibr´e stable de rang n=d−gl et de degr´e dposs´edant n+lsections globales
ind´ependantes. La condition d
l>2gimplique que d n<2. On obtient un
isomorphisme
Wn+l−1
n,d ≃Ul,d,
ceci donne un plongement
Ul,d ֒→Ud−gl,d.
A notre connaissance, l’existence de tels morphismes entre des vari´et´es de
modules de fibr´es stables ´etaient inconnus jusque l`a: nous y consacrerons
ult´erieurement une ´etude.
De plus, Paranjape et Ramanan (cf [P-R]) ont montr´e que si Kest le fibr´e
canonique, alors D(K), que nous noterons EK, est un fibr´e stable si la courbe
Cest non-hyperelliptique (semi-stable sinon). On en d´eduit la non-existence de
fibr´e stables de pente <2 avec k > n +1
g(d−n). Nous pr´eciserons quelques
propri´et´es remarquables de ce fibr´e.
Le chapitre 3 est le chapitre technique de ce travail: le chapitre 2 donne
l’existence de fibr´es stables tels que le rang et le degr´e v´erifient d−n=gl; il
3

reste donc `a traiter le cas des fibr´es de rang net de degr´e dtels que d−nn’est
pas divisible par g. Nous sommes conduits `a faire des calculs de param`etres un
peu lourds et complexes, mais nous n’avons pas trouv´e d’´echappatoire.
Notons que ce th´eor`eme montre en fait que si d
n≥1, k n≤1 et ( d n,k n)6= (a, 1)
avec aun entier, alors Wk−1
n,d est non vide.
Je remercie J.M. Drezet, I. Grzegorczik, Y. Laszlo, P. E. Newstead et C. Sorger
pour m’avoir soutenu dans mon travail.
Chapitre 1: Le probl`eme de Brill-Noether
Dans ce chapitre nous d´efinissons les espaces de Brill-Noether (partie A), puis
nous donnons un panorama des diff´erents r´esultats connus jusqu’`a aujourd’hui
(partie B).
A- Les espaces de Brill-Noether
Soit Cune courbe alg´ebrique lisse de genre g≥2 sur un corps alg´ebriquement
clos de caract´eristique 0.
Notations: On notera O=OCle fibr´e trivial, Kle fibr´e canonique sur C, et
Lk=L⊕· · ·⊕L(resp. L⊗k=L⊗ · · ·⊗L) la somme (resp. le produit tensoriel)
de kfois le fibr´e L.
Un gk
dest un fibr´e vectoriel en droites de degr´e dposs´edant k+ 1 sections
globales ind´ependantes.
Si Eest un fibr´e vectoriel alg´ebrique de rang net de degr´e dsur C,µ(E) = d
n
est la pente de E.
Si Fest un fibr´e vectoriel sur C, on notera nFet dFle rang et le degr´e de F.
De plus, on notera D(F) le dual du noyau du morphisme d’´evaluation de F:
D(F) = Kerev : H0(F)⊗ O −→ F∗.
On pose hi(E) = dim Hi(E).
On rappelle qu’un fibr´e Esur Cest dit stable (resp. semi-stable) si pour tout
sous-faisceau propre Fde Eon a µ(F)< µ(E) (resp. µ(F)≤µ(E)).
Tout fibr´e Esemi-stable admet une filtration
0 = E0⊂ · · · ⊂ Ep=E
4

telle que Ej/Ej−1est stable et µ(Ej/Ej−1) = µ(E) pour 0 < j ≤p. Le
fibr´e gradu´e associ´e ⊕jEj/Ej−1est appel´e le gradu´e de Eet est not´e gr E.
La filtration sera appel´ee filtration de Harder-Narasimhan. Pour les fibr´es non
semi-stables on a une filtration analogue o`u les quotients sont suppos´es semi-
stables de pentes strictement d´ecroissantes. Cette filtration sera aussi appel´ee
filtration de Harder-Narasimhan.
On note Un,d (resp. e Un,d) la vari´et´e de modules des fibr´es vectoriels stables (resp.
semi-stables) de rang net de degr´e dsur C. Les points de Un,d sont les classes
d’isomorphisme de fibr´es stables tandis que les points de e Un,d repr´esentent les
classes d’´equivalences de fibr´es semi-stables, o`u E∼Fsi et seulement si leurs
gradu´es gr Eet gr Fsont isomorphes (cf [Se] ou[L]) . On notera [E] la classe
d’´equivalence contenant E.
Les espaces de Brill-Noether: Les espaces de Brill-Noether Wk−1
n,d et f
Wk−1
n,d
sont d´efinis en tant qu’ensembles par:
Wk−1
n,d := {E∈Un,d |h0(E)≥k}
f
Wk−1
n,d := {[E]∈e
Un,d |h0(gr E)≥k}
On donne `a Wk−1
n,d (resp. f
Wk−1
n,d ) une structure de sous-sch´ema ferm´e de Un,d
(resp. e Un,d) (cf [L], [A-C-G-H] ou [B-G-N]). Le probl`eme de Brill-Noether
consiste `a trouver quand ces espaces sont vides, quelle est leur dimension, s’ils
sont irr´eductibles etc...
Il r´esulte de la construction que si Wk−1
n,d 6=∅et si Wk−1
n,d 6=Un,d, alors:
- toute composante irr´eductible Wde Wk−1
n,d v´erifie
dimW≥ρ(g, d, n, k −1) = n2(g−1) + 1 −k(k−d+n(g−1))
- son espace des points singuliers Sing Wk−1
n,d v´erifie
Wk
n,d ⊂Sing Wk−1
n,d
- son espace tangent en un point Etel que h0(E) = kest le noyau du
morphisme
p∗: Ext1(E, E)−−−−→H0(E)∗⊗H1(E)
dual du morphisme de Petri
p: H0(E)⊗H0(E∗⊗K)−−−−→H0(End(E)⊗K)
donn´e par la multiplication des sections.
5