Devoir Libre n° 2 – Vendredi 18 septembre 2009

Lycée Masséna – Spéciale PSI
Année 2009-2010
Devoir Libre n° 2 – Vendredi 18 septembre 2009
Durée : 4 heures
E4A 2000 – CCP TSI 2002
Le problème, consacré à la propagation guidée de la lumière, comporte deux parties indépendantes : fibres optiques et optique géométrique (première partie), approche électromagnétique et onde évanescente (deuxième partie).
Remarques préliminaires importantes : il est rappelé aux candidat(e)s que
*
*
*
les explications des phénomènes étudiés, les justifications physiques interviennent dans la notation au même titre
que les calculs,
tout au long de l'énoncé, les paragraphes en italiques ont pour objet d'aider à la compréhension du problème mais
ne donnent pas lieu à des questions,
tout résultat fourni dans l'énoncé peut être admis et utilisé par la suite, même s'il n'a pas été démontré par les candidat(e)s.
Le guidage de la lumière est assuré par des fibres optiques : c’est un guide d'onde pour les radiations lumineuses.
Une fibre optique est constituée d’un cylindre de verre (ou de plastique) appelé cœur, entouré d’une gaine transparente d’indice de réfraction plus faible. La gaine contribue non seulement aux propriétés mécaniques de la fibre, mais
évite aussi les fuites de lumière vers d’autres fibres en cas de contact. Actuellement, le diamètre du cœur d’une fibre va
de 3 à 200 µm selon ses propriétés et le diamètre extérieur de la gaine peut aller jusqu’à 400 µm.
PREMIERE PARTIE : FIBRES OPTIQUES ET OPTIQUE GEOMETRIQUE
I.A
Lois DE SNELL-DESCARTES
On considère un dioptre de surface S, séparant deux milieux homogènes, d’indices de réfraction différents n1 et
n2 . Un rayon lumineux rectiligne, incident dans le milieu 1, tombant sur le dioptre en un point I, donne naissance à un
rayon réfléchi dans le milieu 1 et à un rayon réfracté dans le milieu 2.
N le vecteur normal à S en I, dont le sens est défini de 2 vers 1. Le plan d’incidence est le plan défini par le rayon
lumineux et N , et l’angle d’incidence est l’inclinaison du rayon incident sur la normale à la surface.
Soit
I.A.1 Enoncer les lois définissant le rayon réfléchi.
I.A.2. Enoncer les lois définissant le rayon réfracté.
I.B
Fibre optique à saut d'indice
Soit une fibre optique F constituée d’un cœur cylindrique de rayon a et d’indice n1 , entouré d’une gaine d’indice
n2 inférieur à n1 et de rayon extérieur b . Les faces d’entrée et de sortie sont perpendiculaires au cylindre d’axe Oz
formé par la fibre. L’ensemble, en particulier la face d’entrée, est en contact avec un milieu d’indice n0 et pour les applications numériques on supposera que ce milieu est de l’air pour lequel n0 = 1.
I.B.1 « Zigzag » plan
Un rayon lumineux SI arrive en un point I sur la face d’entrée de la fibre. A quelle(s) condition(s) d’incidence ce
rayon a-t-il, dans la fibre, un trajet plan ?
On considère un rayon SI incident sur le cœur et contenu dans le plan Oxz (Figure 1). On appelle
d’incidence et θ l’angle de la réfraction sur la face d’entrée de la fibre.
Figure 1
i l’angle
I.B.2 Déterminer en fonction de n0 , n1 et n2 la condition que doit satisfaire i pour que le rayon réfracté ait une propagation guidée dans le cœur.
La valeur maximale de i est alors désignée par i a (angle d’acceptance de la fibre).
I.B.3 On appelle ouverture numérique (O.N.) du guide la quantité
O.N. = n0 sinia . Exprimer O.N. en fonction de n1 et
n2 .
ia et O.N. pour une fibre d’indices n1 = 1,456 (silice) et n 2 = 1, 410 (silicone). Quelle serait la valeur de
ces grandeurs pour un guide à base d’arséniure de gallium pour lequel n1 = 3,9 et n 2 = 3,0 ? Commentaires.
I.B.4 Calculer
L’atténuation de la lumière dans les fibres optiques est due à l’absorption et à la diffusion par le matériau constitutif
2+
2+
du cœur et par ses impuretés (Fe , Cu , OH−). Elle se mesure en décibels par km :
AdB
où
=
km
φ 
10
log10  1 
l(km)
 φ2 
φ1 et φ 2 désignent les flux lumineux dans les plans de front successifs 1 et 2 distants de l .
I.B.5 On parvient couramment à réaliser des fibres dans lesquelles le flux, après un parcours de 50 km, représente
10 % du flux incident. Calculer l’atténuation de telles fibres.
I.C
Applications
I.C.1
Endoscope à fibres, fibroscope
Le but d’un endoscope est de permettre à un observateur de « voir » dans des endroits inaccessibles, d’intérêts
divers (médical, militaire, industriel, etc). L’endoscope à fibres est constitué de deux faisceaux de fibres : l’un éclaire le
site, l’autre assure le retour vers l’extérieur de la lumière émise par la cible éclairée. Le nombre de fibres constituant
4
6
chaque faisceau est de l’ordre de 10 à 10 .
5
Si l'on imagine la cible divisée en environ 10 petits carrés, chaque fibre au voisinage de la cible recueillant la lumière de l’un d’eux, quel est le problème posé à l’autre extrémité par la reconstitution de l’image ?
Quel est le problème technologique majeur posé alors par la fabrication du faisceau de fibres ?
I.C.2
Transmission optique par fibre
Deux grands problèmes se posent lorsque l’on veut transmettre des signaux lumineux dans les fibres :
l’atténuation (cf. I.B.5) de l’impulsion qui se propage et son élargissement temporel.
On considère la fibre étudiée en I.B et on suppose que la lumière incidente qui véhicule le signal définit un cône
convergent de sommet O et de demi-angle i a .
δτmax des durées extrémales de propagation dans le cœur en fonction de la longueur L de
la fibre, des indices n1 et n2 et de c (vitesse de la lumière dans le vide).
I.C.2.a Calculer la différence
I.C.2.b Calculer la différence
δτmax pour L = 1 km, n1 = 1,456 et n 2 = 1, 410 . On prendra c = 3.108 m.s-1.
On envoie à l’entrée de la fibre des impulsions lumineuses très brèves avec une période T (figure 2) :
Figure 2
I.C.3
Quelle est la valeur minimale de
vous une bande passante associée ?
T pour que les impulsions soient séparées à la sortie ? Comment définissez-
En transmission numérique, on exprime le résultat en nombre maximum d’éléments binaires (présence ou absence d’impulsion : bit) qu’on peut transmettre par seconde. Que vaut le débit en b/s (bits par seconde) de cette fibre ? Le
comparer au standard téléphone Numéris (64 kb/s) et au standard télévision (100 Mb/s).
I.D
Fibres à gradient d'indice
2
Les fibres à gradient d’indice parabolique (variation en r de l’indice dans le cœur) ont une importance particulière pour la transmission d’informations. L’indice dans le cœur (de rayon a) diminue de façon continue de la valeur n1 sur
l’axe de la fibre à la valeur n2 dans la gaine (toujours de rayon extérieur b).
Soit r la distance d’un point quelconque de la fibre à l’axe Oz . On suppose que l’indice n (r) vaut :

r2 
n( r ) = n1 1 − ∆ 2 
a 

n( r ) = n 2
avec
sants ( n j
∆=
pour 0 < r < a
pour a < r < b ,
n1 − n 2
.
n1
On considère un empilement de lames à faces parallèles, homogènes, de faible épaisseur et d’indices décrois< nj −1 ). Soit i j − 2 l’angle d’incidence du rayon lumineux sur la lame j − 1 (Figure 3).
Figure 3
I.D.1 Tracer l’allure du rayon lumineux dans l’empilement de lames et donner une relation entre les angles d’incidences
et les indices successifs.
Soit un rayon lumineux SO incident sous l’angle i au point O d’une fibre F ′ à gradient d’indice. Dans le repère
Oxz , traçons la tangente à la trajectoire du rayon lumineux en un point M(x,z) où l’indice vaut n(x,z), et soit θ(x,z) l’angle
que fait cette tangente avec l’axe z (Figure 4).
Figure 4
I.D.2 Donner l’expression d’une quantité K , fonction de n et θ , invariante le long de la trajectoire du rayon dans le
cœur. Donner la valeur de K en fonction de n1 et θ 0 = θ( r = 0, z = 0 )
Quelle relation existe-t-il entre
I.D.3
n0 , n1 , i et θ 0 ?
Etablir l'équation différentielle :
f ( dx , dz , ∆, a, θ 0 , x ) = 0 , satisfaite par la trajectoire x = x(z) du rayon lumineux
dans le cœur .
La mettre sous la forme :
dz =
dx
A2 −1
, où
A s’exprime en fonction de ∆ , x , a et θ 0 .
On se place dans le cas où la quantité
∆ est jugée suffisamment petite pour qu’on soit dans l’approximation
∆ << 1.
I.D.4
Montrer qu’alors l’équation différentielle de la trajectoire prend la forme :
α dz =
dx
1− β x2
En déduire l’équation x = x(z) de la trajectoire dans le cœur.
Quelle est la trajectoire du rayon dans la gaine ?
I.D.5
Fibre autofocalisante
I.D.5.a Déterminer l’angle d’acceptance
ia de cette fibre qui conduit à un rayon guidé dans le cœur.
I.D.5.b Comparer l’ouverture numérique O.N.’ de cette fibre F ′ à celle O.N. de la fibre F à saut d’indice.
I.D.5.c Exprimer la période
Λ (période spatiale) de la trajectoire du rayon lumineux dans le cœur.
I.D.5.d Pourquoi peut-on dire que la fibre est autofocalisante si les conditions sont telles que
?
On est toujours dans l’hypothèse
θ 20 (exprimé en radians) << 1
∆ << 1 et la fibre F ′ a une longueur L suffisamment grande pour considérer
L >> Λ .
I.D.6 Calculer dans ces conditions, à l’ordre le plus bas, le temps T ′ mis par un rayon caractérisé par l’angle de réfraction θ 0 (correspondant à i ≤ i a ) pour parcourir cette fibre. Montrer qu’on peut écrire :
T' =
n1 L
α' +β' sin 2 θ 0 + γ' sin 4 θ 0
c cos θ 0
[
]
Donner la valeur des coefficients α ′ , β ′ et γ ′ .
On utilisera éventuellement les résultats suivants :
si
I.D.7
kL >> 1, on a : I 1 =
∫
L
sin 2 kzdz ≅
0
L
L
3L
4
et I 2 = ∫ sin kzdz ≅
0
2
8
Temps de parcours et débit
δτ ′ entre ce rayon et celui caractérisé par θ 0 = 0 . Montrer, en ayant
4
remarqué que θ 0 << 1, qu’on obtient, pour θ 0 exprimé en radians : δτ ′ = Bθ0 , où B s’exprime en fonction de n1 , L et
c.
I.D.7.a Calculer la différence de temps de parcours
I.D.7.b En déduire l’expression de
ainsi que le rapport
δτmax
′ pour les rayons qui restent dans le cœur. Exprimer δτmax
′ en fonction de n1 , n2
δτmax
′
(cf. I.C.2.b).
δτmax
I.D.7.c Donner la valeur de ce rapport pour
les débits des deux types de fibres.
n1 = 1,456 et n 2 = 1, 410 . Justifier qualitativement ce résultat. Comparer
CCP TSI 2002 - ETUDE D'UN DISPOSITIF INTERFERENTIEL
Soient deux ondes électromagnétiques de pulsations différentes ω1 et ω2 et de phases φ1 et φ2. Les champs électriques
et
r
E1
r
E 2 associés à ces ondes sont considérés comme parallèles à un axe Ox. Leurs composantes suivant cet axe s'écri-
vent en un point M de l'espace :
 E1 = E10 cos(ω1t − φ1 )

 E2 = E20 cos(ω 2t − φ2 )
où E10 et E20 désignent des constantes.
La composante suivant l'axe Ox du champ électrique total
des composantes des champs
r
r
E1 et E 2 : Etot = E1 + E2 .
r
Etot en un point M de l'espace est alors égale à la somme
Par ailleurs, l'intensité lumineuse I mesurée par un détecteur d'ondes électromagnétiques placé en M est proportionnelle à la valeur moyenne temporelle du carré du champ électrique au point M :
I = K < E 2 > t où K est un coefficient
de proportionnalité.
1/
a/ Donner l'expression de
2
Etot (carré de la composante du champ électrique total au point M) puis exprimer sa valeur
2
moyenne temporelle < Etot >t en fonction de E10 et E20 .
b/ Exprimer les intensités respectives I 1 et I 2 de chacune des deux ondes et en déduire l'expression de l'intensité totale I en y faisant apparaître I 1 et I 2 .
c/ Montrer alors que si ω1 est différent de ω2, alors les deux ondes n'interfèrent pas.
2/ a/ On considère maintenant deux ondes de même pulsation : ω = ω1 = ω2 (donc de même longueur d'onde λ). Reprendre les questions 1a 1b et 1c (on posera φ = φ2 - φ1) et montrer que dans ce cas, les deux ondes interfèrent.
b/ Préciser les intensités associées à chaque type de frange (brillante ou sombre).
3/ En un point M du champ d'interférences, le déphasage φ est relié à la différence de marche δ par la relation : φ = 2πδ/λ .
On suppose que :
- la distance entre les deux sources (synchrones et ponctuelles) d'ondes électromagnétiques S1 et S2 est égale à L
- la droite (S1S2) est parallèle à l'axe O'x
- le point O est le milieu du segment [S1S2]
- le point M est situé dans un plan perpendiculaire à Oz placé à une distance D du point O grande devant L : L<<D.
a/ Exprimer la différence de marche δ(M) au point M de coordonnées x et y en fonction de x, y, L et D pour un point
M situé dans le plan (xO'y).
b/ Sachant que le point M est situé au voisinage du point O' (ses coordonnées x et y vérifient donc : x<<D et y<<D),
effectuer un développement limité pour obtenir une expression simplifiée de S(M) ne dépendant que de x, L et D.
4/ Quelle est l'équation d'une frange dans le plan (xO'y) ? En déduire la forme des franges au voisinage du point O'.
5/ Donner l'expression de l'interfrange i défini comme la distance entre deux franges identiques voisines.
6/ On considère un dispositif interférentiel particulier formé de deux miroirs plans M1 et M2 placés dans l'air et formant un
dièdre d'arête A et d'angle égal à π/2−α avec α petit devant π/2.
Une source lumineuse S ponctuelle et monochromatique de longueur d'onde λ est placée dans le plan bissecteur du
dièdre formé par les miroirs, à une distance R de l'arête (AS=R).
Soient S’1 l'image de S donnée par M1 et S 2 l'im age de S’ 1 donnée par M2 ,c'est-à-dire schématiquement :
M1
2
S →
S1' M→
S2 .
Soient S’2, l'im age de S donnée par M 2 et S 1 l'image de S’2 donnée par M1 ,c'est-à-dire schématiquement :
M1
2
S M→
S 2' →
S1 .
Les deux sources secondaires S1 et S2 émettent deux ondes susceptibles d'interférer : les franges d'interférences sont
observées sur un écran E perpendiculaire au plan bissecteur du dièdre et placé à une distance d du point A (AO=d) avec
d > R.
a/ Montrer par un calcul sans approximation que l'angle entre les 2 segments de droite [AS1] et [AS2] est égal à 4α.
Puis, sachant que α est petit devant π/2 , exprimer la distance L entre les deux sources secondaires S1 et S2.
b/ En utilisant le résultat général obtenu à la question 5, exprimer l'interfrange i en fonction d e λ , d , . R e t α .
c/ Donner l'expression de la largeur [E1E2] du champ d'interférences intercepté par l'écran ainsi que le
nombre N de franges brillantes observées.
-3
d/ Calculer i, [E1E2] et N pour λ= 0,6 µm, α = 2.10 rad, R = 10 cm et d = 70 cm.