La modélisation à l`aide de la fonction

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Une vraie machine
Modèle associé à la technique «coude en l’air»
du nageur Ian Thorpe
Modèle associé à la course de Donovan Bailey
Modèle associé aux marathoniens
1,07
1,06
1,05
1,04
1,03
1,02
0
Coût énergétique d’un marathon
selon sa vitesse
Coût
énergétique
(kcal/kg/km)
Vitesse
(m/min)
100 200 300 400
14
12
10
8
6
4
2
0
Course de 100 m
de Donovan Bailey
Vitesse
(m/s)
Temps
(s)
4 6 8 102
Temps
(s)
Hauteur du coude
par rapport au
niveau de l’eau
Technique du nageur Ian Thorpe
4
sAÉ Modèle lié à un autre sport
Plusieurs réponses possibles. Exemple :
Description de la situation :
une coureuse en vélo
de montagne teste, dans des conditions similaires, deux types
de roues. À partir du sommet d’une montagne, elle descend
une piste durant 55 s. Après plusieurs descentes, la vitesse
de la cycliste avec ces deux types de roues est analysée.
Voici les résultats de ces deux expériences :
Aucun des trois modèles graphiques précédents ne peut
modéliser cette situation. Le modèle suivant est plus
approprié.
Ce modèle est différent car contrairement aux fonctions des
graphiques associés au nageur et aux marathoniens, la
fonction représentée ici est croissante sur tout son domaine.
De plus, contrairement à la fonction du graphique associé au
nageur, la fonction est toujours positive. Enfin, contrairement à
ce qui est observable dans le graphique associé à la course de
Donovan Bailey, la croissance de la fonction ne plafonne pas.
Roues
de type X
Roues
de type Y
550
500
450
400
350
300
250
200
150
100
50
0
Étude portant sur deux types
de roues de vélo de montagne
Distance
(m)
Temps
(s)
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
La modélisation à l’aide de la fonction
2
Distance parcourue avec
les roues de type X (m) 25 50 146 300 476
Temps (s) 10 15 025 040 055
Distance parcourue avec
les roues de type Y (m) 25 51 148 310 500
Temps (s) 10 15 025 040 055

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26
Planifier un plongeon
parfait
1. Représentation de la situation
En mesurant la distance
entre la position
des centres de gravité et
celle du centre de gravité
de départ, de même
qu’en appliquant le
facteur d’échelle, on
obtient les résultats
suivants :
2. Choix du modèle
En traçant le nuage de points associé à la table de valeurs,
on voit que les points suivent le modèle d’une fonction
polynomiale de degré 2. De plus, on sait que, si le temps
est de 0, alors la distance verticale franchie par le centre
de gravité du plongeur est de 0. Le modèle
D at
2, où
D
est la distance verticale franchie par le centre de gravité
du plongeur et
t est le temps, semble donc approprié
dans cette situation.
Calcul de
a par la moyenne des rapports :
(5 54,89 4,94 4,96) 55
3. Détermination du temps disponible pour le plongeon
Puisque les positions de départ et d’arrivée du plongeur
sont sensiblement les mêmes, son centre de gravité
parcourt 10 m.
En remplaçant
D par 10 dans l’équation précédente et en
isolant la variable
t, on trouve le temps maximal dont
dispose le plongeur pour exécuter ses figures, soit 1,4 s.
10 5
t
2
2 t
2
t 21,4
D
t
2
5
4
3
2
1
0
Distance verticale franchie
par le plongeur
Distance verticale
franchie (m)
Temps
(s)
0,2 0,4 0,6 0,8 1
5
sAÉ 4. Choix des figures
Soit un plongeon composé de trois périlleux carpés
suivis d’une ouverture. La durée de ce plongeon est de
30,40 s 0,1 s, soit 1,3 s.
5. Description du plongeon
Il reste à déterminer la hauteur et le temps où se termine
chacune des figures constituant le plongeon. On obtient
la règle de la hauteur du centre de gravité du plongeur,
h (en m), en fonction du temps (en s), en transformant
l’équation de la distance en fonction du temps.
En se servant du fait que la hauteur du centre de gravité
du plongeur est de 11 m au départ et que la hauteur du
centre de gravité du plongeur varie de façon opposée
à la distance franchie par le centre de gravité du plongeur,
on peut écrire l’équation suivante :
h 11 5 t
2
Le tableau ci-dessous présente la synthèse du temps et de
la hauteur où se terminent les quatre figures du plongeon.
On peut certifier que le plongeon est réalisable
en observant que le centre de gravité est situé à plus
de 1 m au-dessus du niveau de l’eau une fois toutes
les figures complétées.
Les mathématiques
de l’endurance
La vitesse initiale du test devrait être de 7 km/h et la vitesse
maximale, de 18 km/h.
Le test peut donc être décrit de la façon suivante.
• Il comporte 12 paliers, chacun ayant une durée de
1 min 30 s.
• La vitesse au premier palier est de 7 km/h.
• La vitesse augmente de 1 km/h à chaque palier.
6
sAÉ
26
Temps Distance verticale
(s) franchie (m)
00
0,2 0,2
0,4 0,8
0,6 1,76
0,8 3,16
1,0 4,96
Distance verticale franchie
par le plongeur
Temps Hauteur
(s) (m)
Temps et hauteur du plongeur à la fin
de chacune des figures
1er périlleux carpé 0,40 10,2
2epérilleux carpé 0,80 7,8
3epérilleux carpé 1,20 3,8
Ouverture 1,30 2,55

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Représentation à l’aide d’une table de valeurs
Représentation graphique
Équation
Cette situation peut être représentée par l’équation
V ( t ) 7.
Voici la justification de chacun des paramètres de l’équation :
a1, car la vitesse augmente de 1 km/h entre chaque palier;
b11,5 , car chaque palier dure 1,5 min;
h0 et k 7, car la vitesse initiale au temps
t 0 est de
7 km/h.
Contrainte de distance
Le test respecte bien la contrainte de distance comme le
montre la table de valeurs. La distance totale parcourue après
le dernier palier est de 3750 m, ce qui est inférieur à 4 km.
On peut aussi le constater par le fait que la vitesse moyenne
au cours du test est de 12,5 km/h et que le test dure 18 min,
au maximum; la distance maximale parcourue est donc de
3,75 km, soit 12,5 .
Réactivation 1
a.
b. 1) [0, 13] s 2) [0, 1,6] s
c.
Plusieurs réponses possibles selon le graphique tracé en a.
Exemple :
1) La distance est croissante de 0 à s, de 1 à 8 s
et de 8 à 12 s.
2) La distance est décroissante de s à 1 s, de 3 à 8 s
et de 9 à 13 s.
3) La distance est constante de 3 à 8 s et de 9 à 12 s.
d. 0
e. Il y a 2 abscisses à l’origine.
Réactivation 2
a. Dans la table de valeurs de gauche, oui, il y a une situation
de proportionnalité, car le quotient
est toujours 2450.
Dans la table de valeurs de droite, il n’y a pas de situation
de proportionnalité directe, car le quotient
varie.
On peut cependant dire qu’il y a une situation
de proportionnalité inverse.
b. Table de valeurs de gauche : fonction de variation directe.
Table de valeurs de droite : fonction de variation inverse.
Dans la fonction de variation directe, c’est le quotient
des valeurs des 2 variables qui donne une constante alors
que dans la fonction de variation inverse, la constante
est obtenue par le produit des valeurs des 2 variables.
c. La meilleure option consiste à réduire de 25 % la longueur
du bras de levier résistant.
Plusieurs justifications possibles.
Exemple :
Dans les 2 tables de valeurs, la force nécessaire
est de 2450 N lorsque le bras de levier moteur mesure 2 m
et que le bras de levier résistant mesure 1 m. Dans la table
force nécessaire
bras de levier moteur
force nécessaire
bras de levier résistant
Page 69
1
2
1
2
1
3
3
5
1
3
3
5
2
1
0Temps (s)
Distance de l’haltère
par rapport au sol (m)
2468 10 12 14
Épaulé-jeté de Maryse Turcotte
Page 68
2
RÉVISION
18
60
2
3
2
t
3
Vitesse moyenne
12,5 km/h
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
0
Test d’endurance par paliers
Vitesse
(km/h)
Temps écoulé
(min)
24681012141618
Distance Distance
Temps Vitesse parcourue totale
Palier écoulé (km/h) dans ce parcourue
(min) palier (m) (m)
1 [0, 1,5[ 7 175 175
2 [1,5, 3[ 8 200 375
3 [3, 4,5[ 9 225 600
4 [4,5, 6[ 10 250 850
5 [6, 7,5[ 11 275 1125
6 [7,5, 9[ 12 300 1425
7 [9, 10,5[ 13 325 1750
8 [10,5, 12[ 14 350 2100
9 [12, 13,5[ 15 375 2475
10 [13,5, 15[ 16 400 2875
11 [15, 16,5[ 17 425 3300
12 [16,5, 18[ 18 450 3750
Test d’endurance par paliers

Vision 2 ■ Ressources supplémentaires • Corrigé du manuel – Vol. 1 © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée
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de valeurs de droite, si le bras de levier moteur est allongé
de 25 %, on a besoin de 1960 N pour une nouvelle
longueur de 2,5 m. Dans la table de valeurs de gauche,
pour une même force de 1960 N, il faut un bras de levier
résistant mesurant 0,8 m, ce qui correspond à une
diminution de 20 % de la longueur du bras de levier.
Donc, si la longueur du bras de levier résistant est diminuée
de 25 %, il faudra une force moindre que 1960 N.
C’est ce qui rend cette option plus avantageuse,
car à ce moment-là, la force nécessaire sera de 1837,5 N.
Mise à jour
1. a) Le point B. À cet endroit, le taux de variation diminue.
La diminution de la distance entre les deux personnes
par seconde est moindre, d’où le fait qu’une
des deux personnes se soit arrêtée.
b) Variable indépendante : [0, 18] ;
variable dépendante : [0, 16].
c) Après 10 s, au point C.
d) De 10 à 18,5.
e) La distance qu’il y a au départ entre les deux personnes.
2. a) 140 ch
b) 3800 r/min
c) Domaine : [500, 4500]
Image : [0, 140].
d) La fonction est croissante si le régime du moteur est
de 500 à environ 3800 r/min. Elle est décroissante
à partir de 3800 r/min.
e) Dès que l’automobile est en marche, même si celle-ci
n’avance pas, le régime du moteur est de 500 r/min.
Mise à jour (suite)
3. a) Non, car le quotient n’est pas constant.
b)
c) Oui, car le quotient
est 1,08 partout.
d) Situation en a) :
v , où v représente la vitesse
en m/s et
d , la durée de
la foulée en s. Situation en b) :
v 1,08 n , où n
représente le nombre de foulées par seconde et v ,
la vitesse en m/s.
1,08
d
vitesse
nombre de foulées par seconde
vitesse
durée de la foulée
Page 73
Page 72
4. a)
b) Une fonction de variation inverse.
c) 141,2
d) 4,71 cm
e) 1412 kg
f) Non, car autrement, ça voudrait dire qu’il n’y avait pas
de gaz dans le cylindre.
5.
C 3,13 d, où C représente la circonférence en cm, et d ,
le diamètre en cm.
Quelques modèles
Problème
La situation est associée au graphique .
Variable dépendante : quantité d’air dans les poumons ;
variable indépendante : le temps. Au moment de l’inspiration,
les poumons se remplissent d’air rapidement (une forte
croissance a lieu), pour ensuite se vider progressivement
(une décroissance plus lente est observée). Un maximum
est atteint lorsque les poumons sont remplis d’air.
La situation est associée au graphique .
Variable dépendante : volume cardiaque ;
variable indépendante : le temps. Au début de l’observation
(au temps 0), un volume cardiaque est observable,
c’est l’ordonnée à l’origine. Ce volume cardiaque diminue
de manière importante les premières années (décroissance),
pour diminuer petit à petit par la suite (présence
d’une asymptote).
C
2
G
1
Page 74
2.1
section
0510
30
25
20
15
10
5
15 20 25 30Masse
(kg)
Hauteur
(cm)
Compression d’un gaz
dans un cylindre
28
Durée de la foulée (s)
Nombre de foulées
par seconde
0,18 0,20 0,24 0,30
5543
1
3
1
6
4
9

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La situation est associée au graphique .
Variable dépendante : fréquence cardiaque maximale
théorique; variable indépendante : l’âge. Au fur et à mesure
que l’âge avance, la fréquence cardiaque maximale théorique
diminue de façon régulière (décroissance). Théoriquement,
à l’âge 0, on peut dire que cette fréquence maximale est
de 220 (c’est l’ordonnée à l’origine).
La situation est associée au graphique .
Variable dépendante : volume d’air expiré ; variable
indépendante : le temps. Au début de l’expérience,
les poumons de la personne sont remplis d’air. Le volume d’air
alors expiré augmente rapidement (croissance) pour ensuite
plafonner (présence d’une asymptote) au fur et à mesure que
la personne vide ses poumons.
Activité 1
a.
50
40
30
20
10
0
Vitesse d’un conducteur
Vitesse
(km/h)
Durée du
parcours (h)
10 20 30 40 50
10
–10
–20
0
Conversion de températures
Degrés
Celsius
Degrés
Fahrenheit
10 20 30 40 50
Page 75
B
4
D
3
70
60
50
40
30
20
10
0
Aire d’un cube
Aire
Mesure de l’arête
1324
500
400
300
200
100
0
Distance du radar
Distance
(m)
Temps (s)
10 20 30 40
1
0,5
0
Probabilité d’obtenir face
à chaque lancer
Probabilité
Nombre
de lancers
24681013579