Résumé – Nombres complexes • Définition : L`ensemble des

Résumé – Nombres complexes
• Définition : L’ensemble des nombres complexes, noté C est l’ensemble de tous les nombres de la
forme a + bi, où a, b ∈ IR, avec i2 = −1 :
C = {a + bi tels que a, b ∈ IR et i2 = −1}.
• Partie réelle : Si z = a + bi, alors la partie réelle de z, notée Re(z) est donnée par
Re(z) = a.
• Partie imaginaire : Si z = a + bi, alors la partie imaginaire de z, notée Im(z) est donnée par
Im(z) = b.
• Conjugué : Si z = a + bi, alors le conjugué de z, noté z̄ est donné par
z̄ = a − bi.
Le conjugué d’un nombre complexe est donc obtenu en changeant le signe de sa partie imaginaire.
• Addition et Soustraction : Les parties réelles et imaginaires sont additionnées ou soustraites séparément. Par exemple, si z1 = 3 + 4i et z2 = 5 − 2i, alors
z1 + z2 = (3 + 4i) + (5 − 2i) = 8 + 2i
et
z1 − z2 = (3 + 4i) − (5 − 2i) = (3 + 4i) + (−5 + 2i) = −2 + 6i.
• Multiplication : On effectue les opérations en traitant i comme une variable symbolique sauf qu’à
chaque fois qu’on rencontre i2 , on le remplace par −1. Par exemple, si z1 = 3 + 4i et z2 = 5 − 2i, alors
z1 z2 = (3 + 4i)(5 − 2i) = 15 + 20i − 6i − 8i2 = 15 + 14i + 8 = 23 + 14i.
• Division : Pour obtenir z/ z2 , on multiplie cette fraction par z̄2 /z̄2 . Par exemple, si z1 = 3 + 4i et
z2 = 5 − 2i, alors
z1
z1 z̄2
3 + 4i 5 + 2i
15 + 26i + 8i2
15 + 26i − 8
7 + 26i
7
26
=
=
·
=
=
=
=
+ i.
z2
z2 z̄2
5 − 2i 5 + 2i
25 − 4i2
25 + 4
29
29 29
• Remarque : Le produit d’un nombre complexe par son conjugué donne toujours un nombre réel : si
z = a + bi, alors
z z̄ = (a + bi)(a − bi) = a2 − b2 i2 = a2 + b2 .
• Plan complexe : Un nombre complexe z = a + bi peut être représenté par un point dans le plan
complexe. L’axe usuel des x devient l’axe réel tandis que l’axe usuel des y devient l’axe imaginaire.
• Formes d’un nombre complexe : Un nombre complexe peut prendre l’une des deux formes ci-bas.
• Forme Rectangulaire : C’est la forme que l’on a déjà introduite : z = a + bi.
• Forme Polaire : C’est la forme z = r6 θ, où le module r est la distance à l’origine et l’argument
θ est l’angle (en degrés) que fait le segment Oz avec l’axe réel.
• Formules de conversion pour passer d’une forme à l’autre :
• Forme Polaire → Forme Rectangulaire : Soit z = r6 θ, alors
a = r cos θ et b = r sin θ.
• Forme Rectangulaire → Forme Polaire : Soit z = a + bi, alors
r=
p
a2 + b2 .
Pour obtenir θ, on utilisera la convention que −180◦ ≤ θ ≤ 180◦ :
 ◦
premier ou quatrième quadrant,
 0 ,
180◦ ,
deuxième quadrant,
θ = tan−1 (b/a) +

−180◦ , troisième quadrant.
• Multiplication et division sous forme polaire : Soient z1 = r1 6 θ1 et z2 = r2 6 θ2 , alors
z1 z2 = (r1 6 θ1 )(r2 6 θ2 ) = r1 r2 6 (θ1 + θ2 ).
On remarque que les modules se multiplient et que les arguments s’additionnent. Quant à la division,
on a
z1
r1 6 θ1
r1
=
= 6 (θ1 − θ2 ).
z2
r2 6 θ2
r2
On remarque que les modules se divisent et que les arguments se soustraient.
• Fonction puissance sous forme polaire : Soit z = r6 θ, alors
z n = (r6 θ)n = rn 6 nθ.