MAT 2

MAT 2
MATerials MATem`atics
Volum 2009, treball no. 7, 30 pp. ISSN: 1887-1097
Publicaci´o electr`onica de divulgaci´o del Departament de Matem`atiques
de la Universitat Aut`onoma de Barcelona
www.mat.uab.cat/matmat
Fem matem`atiques treballant
amb els nombres primers
Joan Gimbert Quintilla
1 Presentaci´o
L’estudi dels nombres primers ha apassionat a molts
1097 1999
2011
29
9876673
137
5669
11
41
matem`atics, i no matem`atics, de tots els temps. Al
llarg d’aquesta notes1, amb l’objectiu de contagiar-nos
una mica d’aquest apassionament, ens anirem plante-
jant preguntes i cercant respostes sobre diferents as-
pectes dels nombres primers. I com l’ess`encia de l’acti-
vitat matem`atica consisteix justament en saber fer-se
preguntes i buscar-hi respostes, podem dir que “farem
matem`atiques treballant amb els nombres primers”.
2 Qu`e s´on els nombres primers?
Per comen¸car, quins s´on els 10 primers nombres primers? Aquests, com
segurament tots ja sabeu, s´on
2,3,5,7,11,13,17,19,23 i 29.
Quin ha estat el criteri que hem aplicat per triar aquests nombres i descartar-
ne d’altres com el 4o el 21?Els nombres triats no es poden expressar com a
producte d’altres m´es petits, als quals se’ls anomena factors. Aquest fet no
succeeix amb els nombres descartats com el 4 = 2 ·2 o el 21 = 3 ·7.
1Aquestes notes varen sorgir com a gui´o d’un seminari divulgatiu sobre nombres pri-
mers, que v`arem impartir a la Universitat de Lleida dins del curs Lli¸cons populars de
Matem`atiques, impulsat pel Dr. Javier Chavarriga Soriano, a qui volem retre homenatge.

2 Fem matem`atiques treballant amb els nombres primers.
Donem, ara, la definici´o precisa de nombre primer. Un nombre primer
´es un enter m´es gran que 1 que nom´es es divisible2per ell mateix i per la
unitat. Als enters que no s´on primers, i s´on m´es grans que 1, se’ls anomena
nombres compostos3.
Un cop recordada la noci´o de nombre primer, anem a veure quin paper
tenen aquests nombres en l’aritm`etica4. Euclides, matem`atic grec del segle
III aC, va demostrar que tot nombre enter positiu major que 1 es pot escriure
de manera ´unica com a producte de nombres primers5. Aix´ı, per exemple,
120 = 2 ·2·2·3·5 = 23·3·5. Aquest resultat, conegut com a teorema
fonamental de l’aritm`etica, ens diu que els nombres primers juguen un paper
en l’aritm`etica semblant al que tenen els `atoms i els elements en la qu´ımica.
Com es pot demostrar el teorema fonamental de l’aritm`etica?
Si tenim un nombre enter compost n, aleshores sabem que nt´e almenys
un divisor propi, ´es a dir, un divisor m´es petit que ni m´es gran que 1.
Considerem el m´es petit dels divisors propis de n. Aquest divisor propi, diem-
li p1, haur`a de ser primer, ja que si no ho fos tindria un divisor propi i aquest
seria tamb´e un divisor de n, en contra de la suposici´o que p1era el m´es petit
de tots. Aix´ı, podem escriure a=p1·a1, essent p1primer. Si a1fos primer,
aleshores ja tindr´ıem la descomposici´o buscada. En cas contrari, apliquem el
mateix raonament al nombre enter a1. D’aquesta manera, podrem expressar
n=p1·a1=p1·p2·a2. Repetim aquest proc´es, un nombre finit de vegades,
obtindrem n=p1·p2·. . . ·pk−1·pk, on els nombres pis´on primers i p1≤
p2≤. . . ≤pk.
Veiem com s’aplica el raonament anterior en un exemple concret. Aix´ı,
132 = 2 ·66 = 2 ·2·33 = 2 ·2·3·11 = 22·3·11.
La descomposici´o d’un nombre compost en producte de factors primers rep
el nom de factoritzaci´o.
2Donats dos enters positius aib, direm que a´es divisible per b(b´es un divisor de a)
si existeix un enter ctal que b·c=a. Aix´ı, per exemple, 6 ´es divisible per 2 ja que tenim
2·3 = 6. L’anterior definici´o equival a dir que la resta de la divisi´o entera de aper b´es 0.
3En el conjunt de nombres enters positius es distingeix entre nombres primers, nombres
compostos i la unitat (1).
4L’aritm`etica ´es la branca de les matem`atiques que t´e per objecte d’estudi els nombres
enters i les seves operacions.
5Aquesta unicitat ´es llevat de l’ordre dels factors. Dit d’una altra manera, la descom-
posici´o en factors primers ´es ´unica si fixem, per exemple, que els factors primers s’escriguin
en ordre creixent. A m´es, entendrem que aquest “producte” es redueix a un ´unic factor
quan el nombre ´es primer.

Joan Gimbert Quintilla 3
3 Quants nombres primers hi ha?
Un cop vist el paper rellevant que tenen els nombres primers en l’aritm`etica,
sembla bastant natural preguntar-nos si la successi´o de nombres primers ´es
finita o, ben al contrari, sempre podrem trobar nombres primers tan grans
com desitgem.
De nou, va ser Euclides qui va donar la resposta. Ell va demostrar, d’una
manera senzilla i elegant, que hi ha infinits nombres primers, ´es a dir, que la
llista de nombres primers no s’acaba mai.
Com es pot demostrar l’exist`encia d’infinits nombres primers? 6
Suposem que tenim la llista {2,3,5, . . . , pn}dels nprimers nombres pri-
mers. Si som capa¸cos de deduir-ne l’exist`encia d’un nombre primer major
que pn, aleshores haurem provat que la llista de nombres primers no s’aca-
ba mai. Com dedu¨ım, doncs, l’exist`encia d’aquest nou nombre primer? Si
considerem el nombre resultant de sumar una unitat al producte de tots els
nombres de la llista, ´es a dir, si prenem N= 2 ·3·5·. . . ·pn+ 1, aleshores
N´es un enter major que pni que no ´es divisible per cap dels primers de
la llista, ja que la resta de la divisi´o entera de Nper cadascun d’ells ´es 1.
Aleshores, si N´es compost tots els seus factors primers seran majors que pn
i, en cas que sigui primer, el propi N´es un nombre primer major que pn.
Aix´ı, doncs, queda provada l’exist`encia d’un nombre primer major que pni,
conseq¨uentment, queda demostrada l’exist`encia d’infinits nombres primers.
En la demostraci´o anterior hem emprat uns nombres enters molt parti-
culars, aquells que resulten de fer el producte de tots els nombres primers
menors o iguals que un nombre primer fixat p. Aquests nombres s’anomenen
primerials i es denoten per #p. Aix´ı,
#2 = 2
#3 = 2 ·3 = 6
#5 = 2 ·3·5 = 30
#7 = 2 ·3·5·7 = 210
#11 = #7 ·11 = 2310
#13 = #11 ·13 = 30030.
Si sumem una unitat a cada nombre anterior, els nombres resultants seran
6En el llibre Proofs from The Book , d’en Martin Aigner i G¨unter M. Ziegler, es recullen
fins a sis demostracions diferents (vegeu [2]).
MAT 2
MATerials MATem`atics
Volum 2006, treball no. 1, 14 pp.
Publicaci´o electr`onica de divulgaci´o del Departament de Matem`atiques
de la Universitat Aut`onoma de Barcelona
www.mat.uab.cat/matmat
Trigonometria esf`erica i hiperb`olica
Joan Girbau
L’objectiu d’aquestes notes ´es establir de forma curta i elegant les f´ormules
fonamentals de la trigonometria esf`erica i de la trigonometria hiperb`olica.
La redacci´o consta, doncs, de dues seccions independents, una dedicada a la
trigonometria esf`erica i l’altra, a la hiperb`olica. La primera est`a adre¸cada a
estudiants de primer curs de qualsevol carrera t`ecnica. La segona requereix
del lector coneixements rudimentaris de varietats de Riemann.
1 Trigonometria esf`erica
Aquells lectors que ja s`apiguen qu`e ´es un triangle esf`eric i com es mesuren els
seus costats i els seus angles poden saltar-se les subseccions 1.1 i 1.2 i passar
directament a la subsecci´o 1.3.
1.1 Arc de circumfer`encia determinat per dos punts
A cada dos punts AiBde la circumfer`encia unitat, no diametralment opo-
sats, els hi associarem un ´unic arc de circumfer`encia, de longitud menor que
π, (vegeu la figura 1) tal com explicarem a continuaci´o.
A
B
O
figura 1

4 Fem matem`atiques treballant amb els nombres primers.
tots primers? La resposta ´es negativa, tal com pot observar-se en la taula
seg¨uent:
p#p+ 1
2 3 primer
3 7 primer
5 31 primer
7 211 primer
11 2311 primer
13 30031 compost 59 ·509
17 510511 compost 19 ·97 ·277
19 9699691 compost 347 ·27953
Observeu que si #p+1 ´es compost, aleshores tots els seus factors s´on m´es
grans que p, tal com hem raonat en la demostraci´o de l’exist`encia d’infinits
nombres primers.
Com a curiositat podem dir que, segons la informaci´o recollida i actualit-
zada pel professor Chris Caldwell (vegeu [6]), els ´unics nombres primers de
la forma #p+ 1, per a valors de p < 100000, s’obtenen prenent
p= 2,3,5,7,11,31,379,1019,1021,2657,3229,4547,4787,
11549,13649,18523,23801,24029 i 42209.
Cal dir, per adonar-nos de la magnitud dels nombres primerials, que el nom-
bre #42209 t´e 18241 xifres (el r`ecord pel que fa als nombres primers de la
forma #p+ 1 correspon a p= 392113 i t´e 169966 xifres).
Posat’s a fer-nos preguntes, quants nombres primers de la forma #p+ 1
hi ha? Doncs, a hores d’ara, no es coneix la resposta. ´ Es un dels molts
problemes encara no resolts sobre els nombres primers. M´es endavant en
citarem d’altres.
4 Com podem trobar nombres primers “pe-
tits”?
4.1 Sed`as d’Erat`ostenes
En el segle III aC un altre matem`atic grec, Erat`ostenes, va idear un m`etode
que permet destriar els nombres primers d’entre tots els nombres m´es petits

Joan Gimbert Quintilla 5
o iguals que un enter donat. Aquest algorisme, conegut avui dia com a sed`as
d’Erat`ostenes, procedeix de la manera seg¨uent:
1. Disposem en una taula tots els nombres enters compresos entre 2 i N,
essent Nun enter fixat.
2. Marquem el 2 i anem suprimint tots els m´ultiples de 2 m´es grans que
2 i menors o iguals que N, ´es a dir, eliminem tots els nombres parells
4,6,8,..., fins a No a N−1, segons correspongui.
3. Prenem el primer nombre enter ino marcat ni eliminat. Marquem
aquest nombre ii eliminem tots els m´ultiples de imajors que ii menors
o iguals que N, ´es a dir, nombres de la forma k·i, essent 2 ≤k≤[N
k],
on [x] denota la part entera7de x.
4. Si tots els nombres que resten estan marcats, aleshores acabem. En cas
contrari, tornem al pas 3.
´
Es clar que els nombres que queden despr´es d’aplicar el sed`as d’Erat`ostenes
s´on justament els nombres primers menors o iguals que N.
Detallem, a continuaci´o, com s’aplica el sed`as d’Erat`ostenes per a trobar
els nombres primers menors o iguals que 100.
Taula inicial:
2345678910
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
7La part entera d’un nombre real x, que es denota per [x], es defineix com el m´es gran
dels nombres enters menors o iguals que x. Aix´ı, per exemple, [2,71] = 2.
MAT 2
MATerials MATem`atics
Volum 2006, treball no. 1, 14 pp.
Publicaci´o electr`onica de divulgaci´o del Departament de Matem`atiques
de la Universitat Aut`onoma de Barcelona
www.mat.uab.cat/matmat
Trigonometria esf`erica i hiperb`olica
Joan Girbau
L’objectiu d’aquestes notes ´es establir de forma curta i elegant les f´ormules
fonamentals de la trigonometria esf`erica i de la trigonometria hiperb`olica.
La redacci´o consta, doncs, de dues seccions independents, una dedicada a la
trigonometria esf`erica i l’altra, a la hiperb`olica. La primera est`a adre¸cada a
estudiants de primer curs de qualsevol carrera t`ecnica. La segona requereix
del lector coneixements rudimentaris de varietats de Riemann.
1 Trigonometria esf`erica
Aquells lectors que ja s`apiguen qu`e ´es un triangle esf`eric i com es mesuren els
seus costats i els seus angles poden saltar-se les subseccions 1.1 i 1.2 i passar
directament a la subsecci´o 1.3.
1.1 Arc de circumfer`encia determinat per dos punts
A cada dos punts AiBde la circumfer`encia unitat, no diametralment opo-
sats, els hi associarem un ´unic arc de circumfer`encia, de longitud menor que
π, (vegeu la figura 1) tal com explicarem a continuaci´o.
A
B
O
figura 1