dipole rc gazzah

L’essentiel du cours proposé par Mahmoud Gazzah
Le condensateur, le dipôle RC
Description sommaire d’un condensateur
Définition et symbole
:
Un condensateur est constitué de deux armatures métalliques séparées par un isolant appelé
diélectrique.
Le condensateur est caractérisé par sa capacité C exprimée en Farads (F)
Pour un condensateur plan C= ε
S
e
Pour augmenter la capacité du condensateur, on peut :
- augmenter la surface S en roulant les plaques ou en multipliant les plaques .
- Diminuer l’épaisseur entre les deux plaques.
- , Augmenter la constante diélectrique ε,
Relation charge-intensité
soit, à un instant de date t quelconque ,
( )
A
dq
i t
dt
=
.
. •
Quand le courant circule effectivement dans le sens choisi sur le schéma, l’intensité est
positive, les électrons de charge (–) s’accumulent en B donc sont évacués par A, q
A
(t)
augmente dans le temps, ce qui signifie que
0
A
dq
dt
>
.
• Quand le courant circule en sens inverse du sens choisi, l’intensité est négative, les
électrons de charge (–) s’accumulent en A,q
A
(t) diminue au cours du temps et
0
A
dq
dt
<
.
Relation entre charge, capacité du condensateur et tension à ses bornes
Soit un montage contenant un générateur de courant constant, une résistance et un condensateur.
Le graphique représentant la tension en fonction du temps du condensateur (Uc) à courant constant
est une droite passant par l'origine.
q
A
q
B
A B
i
La capacité C(s’exprime en F) d’un condensateur est la grandeur qui caractérise son aptitude à emmagasiner une charge électrique lorsqu’il est sous
tension. Elle ne dépend que des caractéristiques géométriques du condensateur et de la nature du diélectrique.

Ainsi, on a Uc(t)=kt avec k, un réel.
I est le courant en ampères (A), ∆Q la variation de charge électrique en coulombs (C) et ∆t la
variation de temps en secondes (s).Ce qui permet d’écrire : tIQ
∆
=
∆
.
A t=0, on a q=0 , le condensateur est déchargé, nous avons
Q
0
=
0
.
Finalement on a : tIQ .
=
La quantité de charge électrique Q qui passe dans le circuit en fonction du temps est une droite
passant par l'origine
Egalisons les deux dernières égalités, Uc(t)=kt et tIQ .
=
on trouve que Uc
k
I
Q=
On note C=
k
I
; C est la capacité du condensateur et s'exprime en Farads (F)
On a la relation suivante : UcCQ .
=
La relation charge-tension permet d’en déduire la valeur de la charge,
q
A
(t) = C u
AB
(t)
La relation charge-intensité permet d’obtenir la valeur de l’intensité,
( )
A AB
dq du
i t C
dt dt
= =

Réponse du dipôle RC à un échelon de tension: établissement des équations différentielles
Cas de la charge d'un condensateur : Réponse à
un échelon montant de tension
On réalise le circuit RC suivant (le condensateur
est initialement déchargé) :
Cas de la décharge d'un condensateur :
Réponse à un échelon descendant de tension
On réalise le circuit suivant (le condensateur
est initialement chargé) :
L’interrupteur étant en position 1.
D’après la loi des mailles,u
AB
(t) + u
KA
(t)-E=0
D’après la loi d’Ohm,
( ) ( )
A AB
KA
dq du
u t Ri t R RC
dt dt
= = =
L’interrupteur étant en position 2, .
La loi des mailles donne u
AB
(t) + u
KA
(t) = 0
et conduit à l’équation
1
( )
AB AB
du
u t
dt RC
= −
Ainsi, u
AB
(t) vérifie une équation différentielle qui
admet comme solution
( )
t
RC
AB
u t K e
−
=
E
u
AB
u
KA
A
B
R
C
i
K
u
AB
u
K
A
B
R
C
i
K
u (V)
E
t (s)
0
u (V)
E
t (s)
0
Echelon montant
Echelon
descendant
E
u
AB
u
KA
A
B
K
1
2
R
C
i
Position 1 : le dipôle RC est soumis à
un échelon montant de tension.
Position 2 : le dipôle RC est soumis à
un échelon descendant de tension.

Ainsi,
( )
AB
AB
du
E u t RC
dt
= +
ce qui s’écrit encore
1( )
AB AB
du
E
u t
dt RC RC
= − +
La tension u
AB
(t) vérifie donc une équation
différentielle qui admet comme solution
( ) t
RC
AB
u t K e E
−
= +
On détermine la constante K à l’aide des conditions
initiales : à t = 0 s, u
AB
(t
o
) = K + E. Nous avons donc
K = u
AB
(t
o
) – E. Or, lorsque t = t
o
, u
AB
(t
o
) = 0 V : il
vient K = –E. La solution de l’équation différentielle
s’écrit donc
( ) 1
t
RC
AB
u t E e
−
= −
On détermine la constante K à l’aide des conditions
initiales : en particulier, lorsque u
AB
(t
o
) = E, nous
voyons que K = E.
La solution de l’équation différentielle s’écrit donc
( )
t
RC
AB
u t Ee
−
=
Remarque : ces solutions décrivent le régime transitoire, mais on retrouve le régime permanent en faisant
tendre t vers l’infini.
Comment déterminer τ graphiquement ?
la charge du condensateur.
• 1
ère
méthode : les 63 %
On peut calculer que u
AB
(t = τ) = 0,63 E : partant de t = 0, on atteint le temps τ lorsque la charge
est complétée à 63 % de E (ou la décharge à 37 % de E)
• 2
ème
méthode : la tangente à l’origine
τ est l’abscisse de l’intersection de la tangente à l’origine de la courbe u
AB
(t) avec son asymptote
horizontale.
Démonstration : la tangente du type
( ) '( 0) 0
E
u t u t t t E t
RC
τ
= = × + = − = − × ×
coupe l’asymptote u = E pour – τ ×E × t = E soit t = τ.

Expression des autres grandeurs électriques
Réponse à un échelon montant de tension
CHARGE
tension u
AB
(t) Lorsque u
AB
(to) = 0 V,
( ) 1
t
AB
u t E e
τ
−
= −
charge q
A
(t) Lorsque q
A
(to) = 0 C,
( ) 1
t
A
q t CE e
τ
−
= −
intensité i(t)
( )
t
E
i t e
R
τ
−
=
Réponse à un échelon descendant de tension
DECHARGE
tension u
AB
(t) Lorsque u
AB
(to) = E,
( )
t
AB
u t Ee
τ
−
=
charge q
A
(t) Lorsque q
B
(to) = CE,
( )
t
A
q t CE e
τ
−
=
intensité i(t)
( )
t
E
i t e
R
τ
−
= −
Energie emmagasinée dans un condensateur
2
.
2
1
C
UCEc =
La constante de temps τ=RC
caractérise la rapidité avec
laquelle le régime permanent
s’établit et elle est égale à la
durée pendant laquelle le
condensateur emmagasine
63% de sa charge maximale
=1/2 q2/C =1/2 q.uc
Le condensateur est équivalent alors à un interrupteur ouvert et à un réservoir d’énergie qui emmagasine l’énergie
électrique maximale
La durée du régime transitoire
est sensiblement égale à 5 τ
(sensiblement égale à la durée
pendant laquelle le condensateur
est chargé à 99%).
L’évolution de la
charge q(t) est
continue et
décrite par :une
fonction
exponentielle qui croit
en
régime transitoire et
prend une valeur
sensiblement égale à
CE en régime
permanent
L’évolution de l’intensité i(t) du courant
est discontinue et
décrite par :
une fonction exponentielle qui décroit
en régime transitoire et prend une
valeur sensiblement nulle en régime
permanent.
q+RC dq/dt =CE
i+RC di/dt =0
=q/C