dipole rc gazzah

L’essentiel du cours proposé par Mahmoud Gazzah
Le condensateur, le dipôle RC
Description sommaire d’un condensateur
Définition et symbole :
Un condensateur est constitué de deux armatures métalliques séparées par un isolant appelé
diélectrique.
Le condensateur est caractérisé par sa capacité C exprimée en Farads (F)
La capacité C(s’exprime en F) d’un condensateur est la grandeur qui caractérise son aptitude à emmagasiner une charge électrique lorsqu’il est sous
tension. Elle ne dépend que des caractéristiques géométriques du condensateur et de la nature du diélectrique.
Pour un condensateur plan C = ε
S
e
Pour augmenter la capacité du condensateur, on peut :
- augmenter la surface S en roulant les plaques ou en multipliant les plaques .
- Diminuer l’épaisseur entre les deux plaques.
- , Augmenter la constante diélectrique ε,
Relation charge-intensité
soit, à un instant de date t quelconque ,
i (t ) =
dq A
dt
.
i
A
qA
qB
B
.
•
•
Quand le courant circule effectivement dans le sens choisi sur le schéma, l’intensité est
positive, les électrons de charge (–) s’accumulent en B donc sont évacués par A, qA(t)
dq A
augmente dans le temps, ce qui signifie que
> 0.
dt
Quand le courant circule en sens inverse du sens choisi, l’intensité est négative, les
dq A
électrons de charge (–) s’accumulent en A,qA(t) diminue au cours du temps et
< 0.
dt
Relation entre charge, capacité du condensateur et tension à ses bornes
Soit un montage contenant un générateur de courant constant, une résistance et un condensateur.
Le graphique représentant la tension en fonction du temps du condensateur (Uc) à courant constant
est une droite passant par l'origine.
Ainsi, on a Uc(t)=kt avec k, un réel.
I est le courant en ampères (A), ∆Q la variation de charge électrique en coulombs (C) et ∆t la
variation de temps en secondes (s).Ce qui permet d’écrire : ∆Q = I .∆t
A t=0, on a q=0 , le condensateur est déchargé, nous avons Q0 = 0 .
Finalement on a : Q = I .t
La quantité de charge électrique Q qui passe dans le circuit en fonction du temps est une droite
passant par l'origine
I
Egalisons les deux dernières égalités, Uc(t)=kt et Q = I .t on trouve que Q = Uc
k
I
On note C= ; C est la capacité du condensateur et s'exprime en Farads (F)
k
On a la relation suivante : Q = C.Uc
La relation charge-tension permet d’en déduire la valeur de la charge,
qA(t) = C uAB(t)
La relation charge-intensité permet d’obtenir la valeur de l’intensité,
i (t ) =
dq A
du
= C AB
dt
dt
Réponse du dipôle RC à un échelon de tension: établissement des équations différentielles
E
Position 1 : le dipôle RC est soumis à
un échelon montant de tension.
R
K
1
i
Position 2 : le dipôle RC est soumis à
un échelon descendant de tension.
C
B
A
2
uKA
uAB
u (V)
u (V)
E
E
t (s)
t (s)
0
0
Echelon montant
Echelon descendant
Cas de la charge d'un condensateur : Réponse à
Cas de la décharge d'un condensateur :
un échelon montant de tension
Réponse à un échelon descendant de tension
On réalise le circuit RC suivant (le condensateur
est initialement déchargé) :
On réalise le circuit suivant (le condensateur
est initialement chargé) :
L’interrupteur étant en position 1.
L’interrupteur étant en position 2, .
E
K
K
R
i
R
i
C
B
A
C
B
A
uK
uKA
uAB
D’après la loi des mailles,uAB(t) + uKA(t)-E=0
D’après la loi d’Ohm,
u KA (t ) = R i (t ) = R
dq A
du
= RC AB
dt
dt
uAB
La loi des mailles donne uAB(t) + uKA(t) = 0
et conduit à l’équation
du AB
1
=−
u AB (t )
dt
RC
Ainsi, uAB(t) vérifie une équation différentielle qui
admet comme solution
u AB (t ) = K e
−
t
RC
Ainsi,
E = u AB (t ) + RC
du AB
dt
ce qui s’écrit encore
du AB
1
E
=−
u AB (t ) +
dt
RC
RC
La tension uAB(t) vérifie donc une équation
différentielle qui admet comme solution
u AB (t ) = K e
−
t
RC
+E
On détermine la constante K à l’aide des conditions
initiales : en particulier, lorsque uAB(to) = E, nous
voyons que K = E.
La solution de l’équation différentielle s’écrit donc
On détermine la constante K à l’aide des conditions
initiales : à t = 0 s, uAB(to) = K + E. Nous avons donc
K = uAB(to) – E. Or, lorsque t = to, uAB(to) = 0 V : il
vient K = –E. La solution de l’équation différentielle
s’écrit donc
u AB (t ) = E e
−
t
RC
t
−


u AB (t ) = E 1 − e RC 


Remarque : ces solutions décrivent le régime transitoire, mais on retrouve le régime permanent en faisant
tendre t vers l’infini.
Comment déterminer τ graphiquement ?
la charge du condensateur.
• 1ère méthode : les 63 %
On peut calculer que uAB(t = τ) = 0,63 E : partant de t = 0, on atteint le temps τ lorsque la charge
est complétée à 63 % de E (ou la décharge à 37 % de E)
•
2ème méthode : la tangente à l’origine
τ est l’abscisse de l’intersection de la tangente à l’origine de la courbe uAB(t) avec son asymptote
horizontale.
Démonstration : la tangente du type u (t ) = u '(t = 0) × t + 0 = −
coupe l’asymptote u = E pour – τ ×E × t = E soit t = τ.
E
t = −τ × E × t
RC
La constante de temps τ=RC
caractérise la rapidité avec
laquelle le régime permanent
s’établit et elle est égale à la
durée pendant laquelle le
condensateur emmagasine
63% de sa charge maximale
La durée du régime transitoire
est sensiblement égale à 5 τ
(sensiblement égale à la durée
pendant laquelle le condensateur
est chargé à 99%).
Expression des autres grandeurs électriques
L’évolution de la
charge q(t) est
continue et
décrite par :une
fonction
exponentielle qui croit
en
régime transitoire et
prend une valeur
sensiblement égale à
CE en régime
permanent
=q/C
L’évolution de l’intensité i(t) du courant
est discontinue et
décrite par :
une fonction exponentielle qui décroit
en régime transitoire et prend une
valeur sensiblement nulle en régime
permanent.
i+RC di/dt =0
q+RC dq/dt =CE
Réponse à un échelon montant de tension
CHARGE
Lorsque uAB(to) = 0 V,
tension uAB(t)
Réponse à un échelon descendant de tension
DECHARGE
Lorsque uAB(to) = E,
tension uAB(t)
t
− 

τ
u AB (t ) = E 1 − e 


charge qA(t)
Lorsque qA(to) = 0 C,
t
− 

τ
q A (t ) = CE 1 − e 


t
intensité i(t)
E −
i (t ) = e τ
R
Energie emmagasinée dans un condensateur
Ec =
u AB (t ) = E e
charge qA(t)
−
Lorsque qB(to) = CE,
q A (t ) = CE e
intensité i(t)
t
τ
−
t
τ
E − τt
i (t ) = − e
R
1
C.U C2 =1/2 q2/C =1/2 q.uc
2
Le condensateur est équivalent alors à un interrupteur ouvert et à un réservoir d’énergie qui emmagasine l’énergie
électrique maximale