Impédance acoustique Plan du document IMIP DE L’UNIVERSITE DE MAROUA

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WICHDA SAMUEL ELEVE INGENIEUR EN EXPLORATION DU PETROLE ET DU GAZ
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Rappel : L'impédance acoustique d'un milieu pour une onde acoustique caractérise la
résistance du milieu au passage de cette onde.
Plan du document
1 Définition
2 Cas d'un composant acoustique
3 Application à la propagation des ondes à l'interface entre deux milieux
3.1 Lois et hypothèses constitutives de l'acoustique linéaire
3.2 Écriture de l'équation unidimensionnelle des ondes
3.3 Relation entre amplitude des ondes à l'interface de deux milieux
3.3.1 Cas général
3.3.2 Étude de quelques cas limites
3.4 Relation entre puissance des ondes à l'interface
3.5 Application numérique
1-Définition
Pour les faibles amplitudes, la pression acoustique et la vitesse de la particule associée du
milieu sont liées linéairement.
L'impédance acoustique (aussi appelée impédance acoustique spécifique, car c'est une
grandeur intensive) Zac d'un milieu pour une onde acoustique est le rapport de la pression
acoustique et de la vitesse de la particule associée du milieu :
avec
 p en Pa,
Impédance acoustique

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 v en m/s.
L'unité de l'impédance acoustique est le Pa·s/m, souvent appelé le rayl en l'honneur de John
William Strutt, baron Rayleigh (1842–1919).
Pour une onde acoustique plane progressive, le rapport vaut :
avec
 ρm en kg/m³ la masse volumique du milieu,
 c en m/s la vitesse de l'onde acoustique dans le milieu.
Le signe dépend du sens de la propagation et du choix de l'orientation de l'axe de propagation
de l'onde acoustique. Le produit ρm c a souvent plus d'importance acoustique en tant que
propriété caractéristique du milieu que ρm ou c individuellement. C'est pour cette raison que
ρm c est appelé l'impédance acoustique caractéristique du milieu.
Bien que l'impédance acoustique du milieu soit une grandeur réelle pour les ondes
acoustiques planes progressives, cela n'est plus vrai pour les ondes acoustiques planes
stationnaires ou les ondes acoustiques divergentes. Dans le cas général, Zac est complexe :
avec Rac la résistance acoustique et Xac la réactance acoustique du milieu pour l'onde
considérée.
L'impédance acoustique caractéristique d'un milieu est analogue à l'impédance
électromagnétique caractéristique √(µ/ε) d'un milieu et à l'impédance électrique
caractéristique d'une ligne électrique de transmission.
La masse volumique et la vitesse du son variant avec la température, c'est aussi le cas pour
l'impédance acoustique caractéristique. À titre d'exemple, le tableau suivant donne la vitesse
du son dans l'air, c, la masse volumique de l'air, ρm, et l'impédance acoustique caractéristique
de l'air, Zac = ρm c, en fonction de la température, T.
T (°C)
c (m/s)
'ρ'm (kg/m³)
Zac (Pa·s/m)
-10
325,4
1,341
436,5
-5
328,5
1,316
432,4
0
331,5
1,293
428,3
+5
334,5
1,269
424,5
+10
337,5
1,247
420,7
+15
340,5
1,225
417,0
+20
343,4
1,204
413,5
+25
346,3
1,184
410,0
+30
349,2
1,164
406,6

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2-Cas d'un composant acoustique
Lorsque le milieu considéré est un composant acoustique, comme un résonateur, un silencieux
ou un tuyau d'orgue, l'impédance acoustique se mesure à l’entrée du composant.
L'impédance acoustique ne fait intervenir que des grandeurs intensives (la pression acoustique
et la vitesse de la particule), par opposition à d'autres définitions d'impédance qui introduisent
l'aire de la section d'entrée du composant acoustique, une grandeur extensive par nature :
 L'impédance mécanique Zm est définie par :
A p étant la force exercée à l'entrée du composant acoustique.
 L'impédance hydraulique Zh est définie par :
A v étant le débit volumique acoustique à l'entrée du composant acoustique.
3-Application à la propagation des ondes à l'interface
entre deux milieux
Ondes d'incidences normales, ondes réfléchies et ondes transmises à l'interface séparant deux
milieux acoustiques M1 et M2
Lorsqu'une onde acoustique rencontre l'interface séparant deux milieux d'impédances
acoustiques différentes, une partie de l'onde est transmise dans l'autre milieu tandis qu'une
autre partie se réfléchit sur l'interface. La notion d'impédance acoustique permet d'étudier
complètement et quantitativement ce phénomène et d'estimer les quantités d'énergie
acoustique transmises et réfléchies.
3.1-Lois et hypothèses constitutives de l'acoustique linéaire
L'étude de la propagation des ondes à l'interface de deux milieux acoustiques peut se faire en
première approximation sous les hypothèses de l'acoustique linéaire non dispersive, et en se
restreignant aux ondes d'incidence normale à l'interface. Dans ce cas, la thermodynamique
fournit une relation constitutive linéaire entre les efforts et la déformation :

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dans laquelle x est la variable d'espace suivant la direction normale à l'interface, p(x, t) est la
pression acoustique dans le milieu, u(x, t) est le champ des déplacements, ρm est la masse
volumique du milieu, et c est la vitesse de l'onde acoustique dans le milieu.
Cette équation est valable aussi bien pour :
 un liquide, auquel cas ρ c2 = B est son module de compressibilité ;
 un gaz, auquel cas ρ c2 = γ p0, γ étant le rapport des chaleurs spécifiques et p0 la
pression moyenne. En acoustique linéaire, la pression acoustique p est une
perturbation de cette pression moyenne ;
 un solide dont on ne considère qu'une direction privilégiée pour la propagation des
ondes, par exemple une barre en traction-compression, ρ c2 = E étant le module
d'Young, une corde vibrante, ρ c2 = T / S étant le rapport de la tension T de la corde sur
sa section S, ou une barre en torsion, ρ c2 = G étant le module de Coulomb ou module
de cisaillement de la barre. De plus, la pression acoustique p doit être remplacée par la
contrainte σ suivant la direction de propagation de l'onde.
Pour plus de précisions, voir la définition de la vitesse du son dans les différents milieux pré-
cités.
3.2-Écriture de l'équation unidimensionnelle des ondes
Le principe fondamental de la dynamique appliqué localement au milieu et dans la direction
normale à l'interface s'écrit :
En remarquant que , on peut combiner cette équation avec la loi constitutive de
l'acoustique linéaire pour obtenir l'équation des ondes, aussi appelée équation de D'Alembert,
qui est vérifiée simultanément par la vitesse et la pression acoustique :
La vitesse v étant solution de l'équation des ondes, on peut rechercher une solution de
propagation sous la forme de la somme d'une onde directe f et d'une onde rétrograde g :
En dérivant cette dernière équation, il vient :

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De même, en dérivant la loi constitutive :
Sachant que la pression acoustique s'écrit elle aussi sous la forme d'une solution de
propagation, il est possible de l'identifier à l'expression ci-dessus, en introduisant l'impédance
acoustique caractéristique Zac = ρm c :
3.3-Relation entre amplitude des ondes à l'interface de deux milieux
3.3.1-Cas général
Si l'on choisit l'origine x = 0 à l'interface entre les deux milieux M1 = {x < 0}, d'impédance
acoustique Z1, et M2 = {x > 0}, d'impédance acoustique Z2, on peut définir les restrictions
suivantes :
 f1 la restriction de la fonction d'onde directe sur M1 ;
 g1 la restriction de la fonction d'onde rétrograde sur M1 ;
 f2 la restriction de la fonction d'onde directe sur M2 ;
 g2 la restriction de la fonction d'onde rétrograde sur M2.
En x = 0, la condition de continuité des vitesses et des pressions s'écrit :
Si l'on se donne l'onde directe venant de la gauche f1 et l'onde rétrograde venant de la droite
g2, on peut en déduire les ondes transmises f2 et réfléchies g1 :
Dans cette matrice, les éléments ont la signification physique suivante (concernant les vitesses
particulaires, pour les pressions permuter Z1 et Z2) :
 est le coefficient de transmission en amplitude des ondes depuis M1
vers M2 ;