Exemples de calculs d`aires de Géométrie spatiale 201-1D3

Exemples de calculs d'aires de Géométrie spatiale 201-1D3-MO
Ex.1 Calculer la superficie des terrains dont le relevé apparaît ci-dessous.
a) Terrain ABCDE
b) Terrain ABCDEF
Ex.2 Trouver le rayon r du cercle suivant.
Ex.3 Les sommets d’un triangle sont les points A(1,2), B(7,6) et C(-2,4). Le triangle est circonscrit à un
cercle. Quel est le rayon du cercle ?
Ex.4 Calculer l'aire de chacune des régions illustrées ci-dessous.
a)
b)
Aires de surfaces pour Géométrie spatiale 201-1D3-MO
Aire d’un parallélogramme
Aire d’un trapèze
A  bh
A
( B  b) h
2
où b est la base et h la hauteur
où b est la base et h la hauteur
Aire d’un triangle
A
bh
2
où b est la base et h la hauteur
A
ab
ac
bc
sin C  sin B  sin A
2
2
2
où a, b, c sont les côtés et A, B, C les angles qui
leur sont respectivement opposés
Formule de Héron
A
où p 
Triangle inscrit dans un cercle de rayon R
p( p  a)( p  b)( p  c)
abc
est le demi-périmètre
2
Triangle circonscrit à un cercle de rayon r
R
A  pr
A 
abc
4R
où p 
abc
est le demi-périmètre
2
Aires de secteurs de polygones réguliers
Un polygone est régulier si :
1. ses angles sont tous égaux.
2. Ses côtés sont tous égaux.
Un polygone régulier est inscrit dans un cercle lorsque tous ses sommets sont sur un cercle. Dans ce cas,
on dit que le cercle est circonscrit au polygone.
Le rayon du polygone est le rayon du cercle circonscrit au polygone.
Le centre du polygone est le centre du cercle circonscrit au polygone.
1) Secteur polygonal :
2) Secteur circulaire :
r 2
A
,  en radian
2
3) Segment circulaire :
A
r2
  sin  , en radian
2
Un polygone est circonscrit à un cercle lorsque tous ses côtés sont
tangents à ce cercle.
L’apothème du polygone est le rayon du cercle inscrit dans le polygone.
Exercices
#1 Calculer la superficie du terrain suivant.
#2 Calculer l’aire du terrain triangulaire dont les sommets sont les points A, B et C.
Indice : la distance entre 2 points x1 ; y1  et x2 ; y 2  est 𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2 .
a) A(1,2 ; 3,1) , B(2,7 ; 2,5) et C (3,0 ; 4,2) .
b) A(1,2 ; 3,1) , B(2,7 ; 2,5) et C (4,1;  4,1) .
#3 On veut aménager un bassin formant un triangle équilatéral inscrit dans un cercle, les segments
circulaires étant réservés à un aménagement floral. Sachant que le côté du triangle équilatéral mesure 6
m, trouver l’aire du triangle équilatéral et des segments circulaires.
#4 On désire installer une fontaine dans le centre d’un parc. Le bassin doit être un carré inscrit dans un
cercle dont les segments circulaires serviront pour un arrangement floral. Le rayon du cercle est de 2m.
a) Quelle est la superficie du bassin ?
b) Trouver l’aire de la surface réservée à cet arrangement floral.
#5 Un dispositif d’arrosage de pelouse possède un rayon d’action de 2
m. Deux de ces dispositifs sont distancés de 3 m. Calculer la superficie du
terrain S qui est dans le champ d’action des deux dispositifs.
#6 Déterminer le rayon du cercle.
Réponses
1) 67516 m 2
2) a) 1,37 u 2
b) 20,3 u 2
3) 22,1 m 2
4) a) 8m 2
b) 4,6 m 2
5) 1,8 m 2
6) 0,297 cm