Singularit´es quasi-ordinaires toriques et poly`edre de Newton du

Canad. J. Math. Vol. 52 (2), 2000 pp. 348–368
Singularit´ es quasi-ordinaires toriques et
poly` edre de Newton du discriminant
P. D. G o n z ´ alez P´ erez
Abstract. Nous ´ etudions les polynˆ omes F∈C{Sτ}[Y]` a coefficients dans l’anneau de germes de fonctions
holomorphes au point sp´ ecial d’une vari´ et´ e torique affine. Nous g´ en´ eralisons ` acecaslaparam
´
etrisation
classique des singularit´ es quasi-ordinaires. Cela fait intervenir d’une part une g´ en´ eralization de l’algorithme
de Newton-Puiseux, et d’autre part une relation entre le poly` edre de Newton du discriminant de Fpar rapport
`
aYet celui de Fau moyen du polytope-fibre de Billera et Sturmfels [3]. Cela nous permet enfin de calculer,
sous des hypoth` eses de non d´ eg´ en´ erescence, les sommets du poly` edre de Newton du discriminant a partir de
celui de F, et les coefficients correspondants ` a partir des coefficients des exposants de Fqui sont dans les arˆ etes
de son poly` edre de Newton.
1 Introduction
Le sujet de la premi` ere partie de ce travail est la repr´ esentation des racines Y(X)d’une
´
equation polynˆ ome F(X1,...,Xd;Y)=0pardess
´
eries ` a exposants fractionnaires en
les variables X=(X1,...,Xd). Il s’agit de g´
en´ eraliser le th´ eor` emedeNewton-Puiseux.
Nous poursuivrons dans une direction inaugur´ ee par McDonald dans [9], et pr´ ecisons ses
r´ esultats.
Notre approche est d’´ etudier d’abord le probl` eme dans le cas d’un polynˆ ome F∈
C{Sτ}[Y], o ` uC{Sτ}est l’anneau des germes des fonctions holomorphes au point sp´ ecial
d’une vari´ et´ e torique affine correspondant ` aunc
ˆ
one rationnel strictement convexe, τ⊂
(Rd)∗,dedimensiond.Nousr
´
esolvons le probleme, lorsque le discriminant ∆YFde Fpar
rapport ` aYest de la forme Xuo`
uest une unit´ edansC{Sτ}et uappartient au semigroupe
Sτ:=τ∨∩Zddes ´
elements de Zdqui appartiennent au cˆ one dual τ∨:={w∈Rd/w,u≥
0,∀u∈τ}. Ceci est en fait une g´ en´ eralisation de l’´ etude classique des singularit´ es quasi-
ordinaires, qui correspondent au cas o ` uτest le quadrant positif.
La r´ eduction du cas g´ en´ eral ` a ce cas fait appel ` a des constructions combinatoires sur le
poly` edre de Newton N(F)⊂Rd+1 de F.Laplusimportante,d
´
ej` autilis
´
ee dans [9] est celle
du poly` edre-fibre Q(F)⊂Rdde N(F) par rapport `
asaprojectionN(F)→Rdsur l’espace
des exposants des monˆ omes en X.Lespointsextr
ˆ
emes de Q(F) correspondent ` acertains
chemins dans les arˆ etes de N(F).
Le poly` edre-fibre est ´ egalement reli´ e au poly` edre de Newton de Fdu discriminant de F
par rapport ` aY.SiF=a0(X)+···+ar(X)Yr, on a l’inclusion de poly`
edres de Newton
N(∆YF)+N(a0)+N(ar)⊆Q(F)
(o ` u la somme est la somme de Minkowski), avec l’´ egalit´ esousdeshypoth
`
eses de non-
d´ eg´ en´ erescence des coefficients de Fpar rapport ` aN(F), (th´ eor` eme 4).
Rec¸u par les ´ editeurs le 18 juin 1998; revis´ ee le 1er novembre, 1999.
Classification (AMS) par sujet: primaire: 14M25; secondaire: 32S25.
c
Soci´ et´ eMath
´
ematique du Canada 2000.
348

Singularit´ es quasi-ordinaires toriques 349
Un c ˆ one τ⊂(Rd)∗est compatible avec des poly`
edres P1,...,Ps⊂Rds’il est constitu´ e
des fonctions lin´ eaires qui prennent toutes leur valeur minimale sur P1,...,Psen des point
fix´ es p1∈P1,...,ps∈Ps.Ond
´
ecrit le r´ esultat principal, le th´ eor` eme 3, dans le cas o ` u
Fest un polynˆ ome r´ eduit dans l’anneau C{X}[Y]. Si τ⊂(Rd
+)∨est un cˆ
one rationnel
strictement convexe de dimension dcompatible avec les poly` edres N(∆YF), N(ar)etQ(F),
alors l’homomorphisme C{X}→C{Sτ}´
etendant l’inclusion des alg` ebres C[Zd
+]→C[Sτ]
transforme Fen un polynˆ ome Fτ∈C{Sτ}[Y] dont toutes les racines sont de la forme
Xuε(X)o`
uu∈1
kZd,ε(X)estuneunit
´
e dans l’anneau C{1
kSτ}et kest un entier positif. La
construction des racines est donn´ ee par un algorithme qui g´ en´ eralise celui du th´ eor` eme de
Newton-Puiseux (th´ eor` eme 2), et qui pourrait se d´ evelopper ` a l’aide d’un logiciel de calcul
formel. On peut comparer l’algorithme obtenu avec celui de [2], developp´ epourlecas
quasi-ordinaire.
Nous utilisons ces r´ esultats pour donner une description des sommets du poly` edre de
Newton du r´ esultant ResY(F,G) des polynˆ
omes F,G∈C{Sτ}` a partir des poly` edres-fibres
Q(F), Q(G)etQ(FG); nous calculons enfin les coefficients des monˆ omes correspondants
aux sommets du poly´ edre de Newton de a0ar∆YFet de ResY(F,G)sousdeshypoth
`
eses de
non d´ eg´ en´ erescence. Ces coefficients d´ ependent entre autres des r´ esultants des paires de
polynˆ omes ` a une variable obtenus en-regardant de Fet de Gque les termes donts les expo-
sants appartiennent ` a des paires parall` eles d’arˆ etes de N(F)etN(G). On montre un r´ esultat
analogue pour le discriminant. Nous trouvons aussi, avec une m´ ethode tr` es diff´ erente, des
r´ esultats de mˆ eme nature que ceux de Gel’fand, Kapranov et Zelevinski dans [6].
2 Param´ etrisation de singularit´ es quasi-ordinaires toriques
2.1 L’alg` ebre des germes de fonctions holomorphes au point distingu´ e d’une vari´ et´ eto-
rique affine
Soit τun cˆ one convexe rationnel de dimension ddans (Rd)∗. Cette condition garantit
quelec
ˆ
one dual τ∨:={w∈Rd/w,u≥0,∀u∈τ}est un cˆ
one rationnel stricte-
ment convexe. Pour cette raison, chaque ´ el´ ement de Sτpeut s’exprimer commme somme
d’´ el´ ements du semigroupe Sτd’un nombre fini de mani`
eres. L’ensemble des s´ eries for-
melles ` aexposantsdansSτest un anneau, que nous notons par C[[Sτ]]. La propri´
et´ ede
finitude pr´ ec´ edente permet de garantir que les coefficients de la s´ erie produit sont des fonc-
tions polynomiales des coefficients des facteurs. Ces anneaux sont d´ efinisdans[9],pour
construire des racines d’un polynˆ ome F∈C[X1,...,Xd][Y], `
alaNewton-Puiseux.
On va donner une interpr´ etation g´ eom´ etrique de ces anneaux au moyen de la vari´ et´ e
torique associ´ ee au cˆ one τdans le cas o ` uτest un cˆ one rationnel strictement convexe de
dimension ddans Rd.
Soit N⊂(Rd)∗un r´
eseau de dimension d,der
´
eseau dual M⊂Rd.Lec
ˆ
one τd´ efinit le
semi-groupe de type fini Sτ:=τ∨∩M.SoitC[Sτ]l’alg`
ebre du semi-groupe Sτ`
acoefficients
dans C. Associons `
a(τ,N)lavari
´
et´ etoriqueaffineZτ:=Spec C[Sτ]. Chaque point ferm´ e
de Zτest d´
efinit par un homomorphisme de semi-groupes Sτ→C.Lavaleurdelafonction
Xu∈C[Sτ]aupointxest x(u). L’orbite de dimension 0 de la vari´
et´ eZτest le point sp´ ecial
zτd´
efini par l’homomorphisme de semi-groupes Sτ→Cqui applique 0 → 1etu→ 0si
u=0 (pour tout ceci, voir [4] ou [10]).
L’anneau des s´ eries convergentes ` aexposantsdansS
τ, que nous notons par C{Sτ},est

350 P. D. Gonz´ alez P´ erez
l’ensemble des s´ eries de C[[Sτ]] qui sont absolument convergentes dans un voisinage du
point sp´ ecial zτde la vari´
et´ etoriqueZτ.Siτest un cˆ one convexe rationnel de dimension
d,ond
´
efini C{Sτ}=C{Sσ}o`
uσparcourt les c ˆ ones rationnels strictement convexes de
dimension dcontenus dans τ.
Lemme 1 L’al g` ebre locale des germes de fonctions holomorphes au point zτde Zτest iso-
morphe ` aC{Sτ}.
Preuve Soient u1,...,usdes g´
en´ erateurs du semi-groupe Sτ. L’homomorphisme
C[U1,...,Us]→C[Sτ], d´ efini par Ui→ Xui∈C[Sτ] est surjectif. Son noyau est un
id´ eal premier I.Cemorphismed
´
efinit un plongement Zτ⊂Csde la vari´
et´ etoriqueaffine
Zτ:=Spec C[Sτ]d
´
efinie par le cˆ one τ, et l’image du point distingu´ ezτest l’origine de Cs.
Soit Rl’alg` ebre des germes fonctions holomorphes dans un voisinage de zτdans Zτ.
Remarquons que l’homomorphisme compos´ eC[U1,...,Us]→C[Sτ]→C[[Sτ]]
s’´ etend en un homomorphisme χ:C{U1,...,Us}→C[[Sτ]] dont l’image est C{Sτ}.
En effet, l’image du monˆ ome Uλ,o
`
uλ=(λ1,...,λ
s)∈Ns,estlemon
ˆ
ome Xu(λ),o
`
u
u(λ)=λiui∈Sτ. Donc, l’image de φest la s´
erie χ(φ)=u∈Sτ(u(λ)=ucλ)Xu,
qui est bien d´ efinie parce que τest strictement convexe. Supposons que φest absolument
convergente au point x=(x
1,...,x s) correspondant au point x∈Zτpar le plonge-
ment torique Zτ⊂Cs.LavaleurdelafonctionXu∈C[Sτ]aupointduZτ,ned
´
epend
pas de l’immersion, donc si u=u(λ), on a x(u)=xλet la s´
erie χ(φ) est absolu-
ment convergente au point x.Ceciimpliquequelas
´
erie χ(φ)∈C[[Sτ]] est conver-
gente. Avec un raisonnement analogue, on peut montrer que l’homomorphisme d’alg` ebres
χ:C{U1,...,Us}→C{Sτ}est surjectif.
Par ailleurs, on a montr´ e aussi que χ(φ) est une fonction holomorphe dans un voisinage
de zτdans Zτ,d
´
efinissant un unique ´ el´ ement de R. Clairement, tous les ´ el´ ements de Rsont
obtenus de cette forme. Si la fonction χ(φ) est nulle dans un voisinage de zτdans Zτ,la
s´ erie φest dans l’ideal engendr´ eparIdans C{U1,...,Us}donc χ(φ)=0.
Comme cons´ equencedecelemme,ond
´
eduit que l’anneau C{Sτ}est noeth´ erien et
int´ egralement clos parce que Zτest une vari´
et´ e normale (voir [7, Section 71]).
2.2 Extensions galoisiennes
Soit k∈Zun entier positif fix´
e. Consid´ erons les r´ eseaux N=kN ⊂N.Leursr
´
eseaux
duaux respectifs sont M=1
kM⊃M.Unc
ˆ
one τstrictement convexe dans (Rd)∗est
rationnel pour les deux r´ eseaux en mˆ eme temps. Nous notons Zτ(resp. Z
τ)lavari
´
et´ e
torique associ´ ee ` a(τ,N)(resp. ` a(τ,N)). Le semi-groupe associ´
e` a(τ,N)estS
τ:=1
kSτ⊂
M. L’homomorphisme de semi-groupes M⊃Sτ→S
τ⊂Md´
efinit un morphisme
torique fk:Z
τ→Zτ. L’image du point distingu´
edeZ
τest le point distingu´
eduZτ,doncon
obtient un morphisme de germes irr´ eductibles (Z
τ,z τ)→(Zτ,zτ). En utilisant le lemme 1
on v´ erifie que l’homomorphisme des alg` ebres int` egres associ´ ees est C{Sτ}→C{S
τ}.
L’homomorphisme des semi-groupes M→Md´
efinit le morphisme fk:T→Tob-
tenu en restreignant fkaux tores respectifs de Z
τet Zτ.Onpeutv
´
erifier directement que

Singularit´ es quasi-ordinaires toriques 351
le noyau de ce morphisme fk|T, comme morphisme de groupes alg´
ebriques, est le sous-
groupe fini Hde T,form
´
edes´ el´ ements (w1,...,wd)telsquewk
i=1, pour i=1,...,d.
Ce morphisme est un revˆ etement galoisien ` akdfeuilles de la vari´
et´ eT,parcequelegroupe
Hagit transitivement sur les fibres. Donc on a une extension galoisienne des corps des
fonctions rationnelles C(T)→C(T). On va montrer qu’on a une situation analogue pour
les corps des fonctions m´ eromorphes aux points distingu´ es des vari´ et´ es toriques corres-
pondantes.
Soit L(resp. L) le corps des fractions de C{Sτ},(resp.deC{S
τ}). L’homomorphisme
C{Sτ}→C{S
τ}d´
efinit une extension de corps L→L.
Lemme 2 L’ex te nsi on de c or ps L →Lest galoisienne. Soit G son groupe de Galois. L’action
de H sur les monˆ omes d´ efinit un ´ epimorphisme de groupes H →Getl’ensembledes´ el´ ements
G-invariants de l’anneau C{S
τ}est C{Sτ}.
Preuve Clairement, L→Lest une extension normale finie. `
Achaquew∈Hest associ´ e
l’homomorphisme d’alg` ebres C{S
τ}→C{S τ}qui applique Xu
k→ w(u)Xu k.Celad
´
efinit
un homomorphisme de groupes H→G.
Remarquons que Xu
k→ w(u)Xu kd´
efinit l’action de l’´ el´ ement w∈Hsur un monˆ ome
de C[S
τ]. Le corollaire 1.16 de [10] garantit que le morphisme Z τ→Zτco¨
ıncide avec la
projection du quotient de Zτpar rapport `
al’actiondugroupeH.C’est-
`
a-dire que C[Sτ]
est l’ensemble des ´ el´ ements invariants de l’alg` ebre C[S
τ] par l’action de H.
Si Hest l’image de Hdans Gon a montr´
e que le sous-corps fixe de Lpar Hco¨ ıncide
avec L,donc(L)G⊂L,c’est-
`
a-dire que L⊂Lest une extension galoisienne et donc
H=G.
2.3 Param´ etrisation de singularit´ es quasi-ordinaires toriques
Supposons que F∈C{X1,...,Xd}[Y] est un polynˆ
ome r´ eduit tel que 0 ∈Cest une racine
de multiplicit´ er≥1 du polynˆ ome F(0,Y) et que le discriminant de Fsoit de la forme
Xqεo`
uεest une unit´ edeC{X1,...,Xd}.D’apr
`
es le th´ eor` eme de pr´ eparation de Weiers-
trass, il existe un pseudo-polynˆ ome ` a la Weierstrass Hde degr´ eren Y,etuneunit
´
edans
C{X1,...,Xd,Y}tels que F=H.Pard
´
efinition, la projection du germe (X,0) ⊂Cd×C
d´ efini par le polynˆ ome H∈C{X1,...,Xd}[Y]sur(Cd,0) est quasi-ordinaire. D’apr` es
[1,Theorem3],ilexistek∈Ntel que Hait ses rracines dans l’anneau C{X1/k
1,...,X1/k
d}.
On va g´ en´ eraliser la construction de racines associ´ ees ` a une projection quasi-ordinaire,
au cas o ` ulegerme(
Cd,0) est remplac´ eparungermedevari
´
et´ etoriqueaffine(Zτ,zτ)au
point distingu´ e.
Th´ eor` eme 1 Pour tout polynˆ ome F ∈C{Sτ}[Y]r´
eduit tel que le discriminant de F soit
de la forme Xu0ε,o
`
uεest une unit´ e dans l’anneau C{Sτ}et que 0∈Csoit une racine de
multiplicit´ er ≥1du polynˆ ome F(zτ,Y)il existe k ∈Ntel que F ait r racines sans terme
constant dans l’anneau C{1
kSτ}.
Preuve Nous fixons un nombre fini de g´ en´ erateurs du semi-groupe Sτ. Cela permet de
d´ efinir un plongement de la vari´ et´ etoriqueaffineZτ⊂Cs. Il lui est associ´
eun´ epimor-

352 P. D. Gonz´ alez P´ erez
phisme d’alg` ebres χ:C{U1,...,Us}→C{Sτ}(voir le lemme 1). Consid´
erons un po-
lynˆ ome G∈C{U1,...,Us}[Y]telqueGχ=F.OnaG(0,Y)=F(zτ,Y). D’apr`
es le
th´ eor` eme de pr´ eparation de Weierstrass il existe un pseudo-polynˆ ome ` alaWeierstrassH
de degr´ eren Y,etuneunit
´
eεdans C{U1,...,Us,Y}tels que G=εH. Clairement, les
germes d´ efinis au point (zτ,0) par Fet par Hχco¨
ıncident. Donc, on peut supposer que F
est un polynˆ ome r´ eduit de degr´ ertel que F(zτ,Y)=Yr.
Soit Lle corps de fractions de l’anneau int´ egre C{Sτ}.LesfacteursFide la factorisa-
tion de Fen polynˆ omes irr´ eductibles dans L[Y]sontdansC{Sτ}[Y] parce que, d’apr`
es le
lemme 1, l’anneau C{Sτ}est int´
egralement clos et le coefficient de Yrest une unit´ e(voir
[11, th´ eor` eme 5, section 3, chap. V]). De plus, le discriminant de Fidivise le discriminant
de Fdonc ∆YFiest de la forme Xuo`
u∈C{Sτ}est une unit´ e. On peut donc supposer
que Fest irr´ eductible, engendrant un ideal premier (F)dansC{Sτ}[Y]. Consid´
erons le
germe de vari´ et´ eanalytiqueirr
´
eductible (X,x)⊂(Zτ×C,x)aupointxcorrespondant `
a
l’alg` ebre int` egre R=C{Sτ}[Y]/(F).
Soit (X,x)→(Zτ,zτ) la projection des germes, et choisissons un repr´
esentant fini
π:X→Zτtel que π−1(zτ)={x}.L’hypoth
`
ese sur le discriminant implique qu’il existe
un voisinage Wdu point zτdans Zτtel que πest non ramifi´
esurW∗:=W∩T.Par
continuit´ e, comme π−1(zτ)={x}, on peut supposer que π−1(W) est un sous-ensemble
relativement compact de Cs+1.
Comme πest un morphisme fini, l’intersection de l’image inverse du lieu discriminant
de πavec Xest une sous-vari´ et´ eanalytiqueferm
´
ee propre de X.Soncompl
´
ementaire est
un ouvert X∗⊂X, connexe parce que Xest analytiquement irr´
eductible. Ceci montre que
π:X∗→W∗est un revˆ
etement connexe ` arfeuillets.
On peut supposer que l’ouvert W∗du tore Test W∗=(D∗)do`
uD∗=D(0,1) \{0}⊂
C∗.SoitJle sous-groupe du groupe fondamental π1(W∗,w)∼
=Zdassoci´
eaurev
ˆ
etement
π:X∗→W∗. Puisque Jest d’indice fini, il existe k∈Ntel que kZd⊂J.Lerev
ˆ
etement
fk:W∗→W∗,d
´
efini par x→ (xk
1,...,xk
d), est associ´
e au sous-groupe kZddu Zd.Donc,il
existe un revˆ etement p:W∗→X∗tel que π◦p=fk, (voir [5, chap. 13]).
Clairement, pest holomorphe, et born´ edanslecompl
´
ementaire dans Wd’un ensemble
analytique ferm´ e, c’est-` a-dire que pest une fonction faiblement holomorphe dans W.
Comme W⊂Zτest une vari´
et´ e normale, toute fonction faiblement holomorphe est ho-
lomorphe, (voir [7, Section 71]). Donc, ps’´ etend en un morphisme W→X.Lafonc-
tion holomorphe π◦pco¨ ıncide sur W∗avec le morphisme torique fk:Z
τ→Zτ(o `
uon
consid` ere W∗⊂Z
τet aussi W∗⊂Zτ). Donc, elle est ´
egale ` alarestrictiondumorphisme
fk`
aW. Nous remarquons que p(z
τ)=xparce que fk(z τ)=zτet π−1(zτ)={x}.
En utilisant le lemme 1, on voit que l’homomorphisme d’alg` ebres int` egres associ´ eau
morphisme fkaux points distingu´
es est C{Sτ}→C{S
τ}.Consid
´
erons le monomorphisme
d’alg` ebres R→C{S
τ}correspondant au morphisme de germes p:(W,z τ)→(X,x).
L’alg ` ebre Rest une sous-C{Sτ}-alg`
ebre de C{S
τ}parce que π◦p=fk. Nous avons donc
un diagramme:
R−−−−→C{S
τ}
C{Sτ}
Soit L(resp. K,L) le corps des fractions de C{Sτ},(resp.deR,C{S
τ}). Par construction,