Courbes algébriques

Courbes algébriques
Benjamin Collas et Yvon Vignaud
Mai 2001
1
Introduction
La géométrie algébrique est l’étude des variétés algébriques, définies en tant
que lieu annulateur de polynômes.
L’objectif de ce mémoire est de présenter les différents objets de cette
théorie, d’aborder les principes fondateurs, tel le Nullstellensatz, avec pour objectif final la démonstration du théorème de Bézout : d’un énoncé à la fois simple
et intuitif (« Dans un corps algébriquement clos, deux courbes projectives de
degré respectif n et m ont exactement n · m points d’intersection »), il apparaı̂t
plus particulièrement évident dans le cas où l’une des courbes est une droite.
Pour présenter ce théorème dans sa plus grande généralité, nous introduirons
les notions de variétés affines et projectives. Puis nous établirons des relations
entre les propriétés géométriques des courbes et certains objets algébriques, en
élaborant progressivement une correspondance Géométrie-Algèbre.
Pour finir, nous illustrerons son importance en soulignant son intervention
dans la démonstration du théorème de Harnack, point de départ du 16e problème
d’Hilbert sur le développement d’une topologie des variétés algébriques réelles.
Table des matières
1 Ensembles algébriques affines
1.1 Espaces affines et ensembles algébriques . . . . . . .
1.2 Idéal d’un ensemble de points . . . . . . . . . . . . .
1.3 Composantes irréductibles d’un ensemble algébrique
1.4 Ensembles algébriques du plan . . . . . . . . . . . .
1.5 Le Nullstellensatz de Hilbert . . . . . . . . . . . . .
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3
3
5
5
5
6
2 Variétés affines
2.1 Anneaux de coordonnée
2.2 Fonctions rationnelles et
2.3 Formes . . . . . . . . . .
2.4 Idéaux . . . . . . . . . .
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6
7
7
8
9
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anneaux
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locaux
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3 Propriétés locales des courbes planes
9
3.1 Points multiples et droites tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 Multiplicité et anneaux locaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.3 Nombre d’intersection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4 Variétés projectives
18
4.1 Ensembles algébriques projectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.2 Variétés affines et projectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5 Courbes projectives planes
21
5.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.2 Le théorème de Bézout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.3 Le théorème de Harnack . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2
1
Ensembles algébriques affines
1.1
Espaces affines et ensembles algébriques
Dans la totalité de ce rapport, nous considérons un corps k algébriquement
clos.
Terminologie 1.1
1. On appelle espace affine de dimension n, et on note An (k), ou encore An ,
l’ensemble k n , produit cartésien itéré n fois du corps k.
2. Les éléments de l’espace affine sont appelés points.
3. A1 et A2 sont appelés respectivement droite et plan affine.
4. Un point P de An est dit zéro de F ∈ k[X1 , ..., Xn ] si F(P)=0. On appelle
hypersurface définie par F, et on note V(F ), l’ensemble des zéros de F
(pour F non constant).
5. Une courbe plane algébrique est une hypersurface du plan affine
6. Un hyperplan est une hypersurface définie par F de degré 1. Une droite
est un hyperplan de A2 .
Définition 1.2 (ensemble algébrique)
Soit S = (Fi )i∈I T
une famille d’éléments de k[X1 , ..., Xn ].
On note V(S) = i∈I V(Fi ) On appelle ensemble algébrique affine tout ensemble
de la forme V(S) pour une certaine famille S.
Remarque 1.3
Sans restreindre la généralité, on peut supposer que S est un idéal de k[X1 , ..., Xn ].
Mieux, on peut prendre S une famille finie de polynômes, puisque k[X1 , ..., Xn ]
est noethérien.
Proposition 1.4 (Propriétés élémentaires des ensembles algébriques)
1. Si I ⊂ J alors V(J) ⊂ V(I)
T
S
2. Si (Iα )α est une famille d’idéaux, alors V( α Iα ) = α V(Iα )
3. V(F G) = V(F ) ∪ V(G) pour F,G polynômes.
4. V(0) = An et V(1) = Remarque 1.5
Ainsi, les ensembles algébriques définissent une topologie, dite de Zariski, dont
ils sont les fermés.
3
(a) V(Y 2 − X(X 2 − 1))
(b) V(Y 2 − X 2 (X + 1))
(c) V(Y 2 − XY − Y X 2 + X 3 )
(d) V(4(X 2 +Y 2 )2 −4X(X 2 −
3Y 2 ) − 27(X 2 + Y 2 ) + 27)
(e) V((X 2 + Y 2 )3 − 4X 2 Y 2 ) (f) V((X 2 + Y 2 )2 + 3X 2 Y −
Y 3)
Fig. 1 – Exemples d’ensembles algébriques
4
1.2
Idéal d’un ensemble de points
Définition 1.6 (Idéal annulateur)
Soit X une partie de An . On appelle idéal annulateur de X et on note
I(X) = {F ∈ k[X1 , ..., Xn ]; F (P ) = 0 ∀ P ∈ X}
Proposition 1.7 (Propriétés élémentaires de V et I)
Soit X, Y ⊂ An et S une famille de polynômes
1. Si X ⊂ Y alors I(Y ) ⊂ I(X)
2. I() = k[X1 , ..., Xn ]
3. I(An ) = 1
4. S ⊂ I(V(S)) et X ⊂ V(I(X))
5. V(I(V(S))) = V(S) et I(V(I(X))) = I(X)
6. I(X) est un idéal radical : I(X) = Rad(I(X)).
1.3
Composantes irréductibles d’un ensemble algébrique
Définition 1.8 (Réductibilité)
Un ensemble algébrique V est dit réductible s’il existe V1 et V2 deux ensembles
algébriques distincts de V tels que V1 ∪ V2 = V . Sinon, V est dit irréductible
Proposition 1.9
V est irréductible ⇐⇒ I(V ) est premier.
Théorème 1.10
Soit V un ensemble algébrique. Il existe une famille finie V1 , ...,
m d’ensembles
SV
m
algébriques irréductibles tels que Vi 6⊂ Vj pour i 6= j et V = i=1 Vi , unique à
permutation près. Les Vi sont appelés composantes irréductibles de V.
La preuve repose essentiellement sur l’existence d’un idéal maximal dans toute
famille d’idéaux (fait obtenu par k[X1 , ..., Xn ] noethérien).
1.4
Ensembles algébriques du plan
Proposition 1.11
Soient F et G deux polynômes de k[X, Y ] sans facteurs communs.
Alors V(F ) ∩ V(G) est un ensemble fini de points.
La preuve passe par Bézout dans k(X)[Y ] principal.
Corollaire 1.12
Soit F un polynôme irréductible dans k[X, Y ]. Alors I(V(F )) = (F ) et V(F )
est irréductible.
Corollaire 1.13
Les ensembles algébriques irréductibles du plan affine sont A2 (k), , les points,
et les courbes planes irréductibles V(F ), où F est irréductible.
1
ceci est vrai dès que k est infini, et donc vrai pour k algébriquement clos
5
Corollaire 1.14
Soit F = F1n1 ...Frnr un polynôme dans k[X, Y ], décomposé en produits d’irréductibles.
Alors V(F ) = V(F1 )∪...∪V(Fr ) est la décomposition en composantes irréductibles
de V(F ) et I(V(F )) = (F1 × ... × Fr ).
1.5
Le Nullstellensatz de Hilbert
Lemme 1.15
Si k est un sous-corps algébriquement clos de L, et s’il existe un morphisme
d’anneaux de k[X1 , ..., Xn ] dans L dont la restriction à k est l’identité, alors k
= L.
Proposition 1.16 (Nullstellensatz faible)
Si I est un idéal non trivial de k[X1 , ..., Xn ], V(I) 6= Théorème 1.17 (Nullstellensatz de Hilbert)
Soit I idéal de k[X1 , ..., Xn ]. Alors I(V(I)) = Rad(I)
Corollaire 1.18
Si I est un idéal premier, alors V(I) est irréductible
Corollaire 1.19
Soit F = F1n1 ...Frnr décomposé en produit de facteurs irréductibles. Alors
V(F ) = V(F1 ) ∪ ... ∪ V(Fr ) est la décomposition en composante irréductibles.
En outre I(V(F )) = (F1 ...Fr )
Corollaire 1.20
Soit I un idéal de k[X1 , ..., Xn ]. Alors V(I) est fini si et seulement si la dimension
d de k[X1 , ..., Xn ]/I sur k est finie. Dans ce cas, Card(V(I)) ≤ d.
Preuve :
Dans le sens direct, on utilise Théorème 1.17. Dans l’autre sens, on utilise les
polynômes interpolateurs de Lagrange.
2
Variétés affines
Dans toute cette section, k est un corps algébriquement clos, et les ensembles
algébriques affines considérés seront dans An (k), avec k et n fixés. Tous les
anneaux considérés seront commutatifs et contiendront k. Tous les morphismes
d’anneaux auront la propriété d’avoir pour restriction à k l’identité.
Définition 2.1 (Variété affine)
On appelle variété affine tout ensemble algébrique affine irréductible.
Dans cette section, on parlera de variété, en lieu et place de variété affine.
6
2.1
Anneaux de coordonnée
Définition 2.2 (Anneau de coordonnée)
Soit V une variété. On appelle anneau de coordonnée de V, et on note Γ(V ),
l’anneau intègre k[X1 , ..., Xn ]/I(V )
Définition 2.3 (Fonctions polynômiales)
f : V → k est dite polynômiale si elle est la restriction d’un polynôme P à V.
L’ensemble des fonctions polynômiales est un sous-anneau de F(V, k) contenant
k.
Remarque 2.4
Deux polynômes définissent la même fonction si et seulement si (F −G) ∈ I(V ).
On peut donc identifier Γ(V ) à l’anneau des fonctions polynômiales.
2.2
Fonctions rationnelles et anneaux locaux
Définition 2.5 (corps des fonctions sur V)
Soit V une variété. On appelle corps des fonctions rationnelles de V, et on note
k(V) le corps des fractions de Γ(V ).
Terminologie 2.6
f ∈ k(V ) est dite définie en P ∈ V s’il existe a, b ∈ Γ(V ) tels que f =
b(P ) 6= 0. Sinon, on dit que P est un pôle de f.
a
b
et
Définition 2.7 (anneau local)
On note OP (V ) l’anneau des fonctions définies en P. C’est un anneau local2
Proposition 2.8
L’ensemble des pôles d’une fonction rationnelle est un ensemble algébrique
Preuve :
Pour G ∈ k[X1 , ..., Xn ], on note Ḡ sa classe dans Γ(V ). Soit f ∈ k(V ) et Jf =
G ∈ k[X1 , ..., Xn ] ; Ḡ.f ∈ Γ(V ) , idéal contenant I(V ). V(Jf ) est exactement
l’ensemble des points où f n’est pas définie.
Proposition 2.9
Γ(V ) =
\
OP (V )
P ∈V
Preuve : T
Soit f ∈ P ∈V OP (V ). Alors V(Jf ) = . Par le Théorème 1.17, 1 ∈ Jf , et
donc f ∈ Γ(V ).
Remarque 2.10
∆
Si f est définie en P, on peut définir la valeur de f en P par f (P ) =
quantité qui ne dépend pas du représentant choisi.
2
cf Proposition 2.11
7
a(P )
b(P ) ,
Proposition 2.11
∆
MP (V ) = {f ∈ OP (V ) ; f (P ) = 0} est l’idéal maximal de l’anneau local OP (V ).
On l’appelle l’idéal maximal de V en P.
Preuve :
MP (V ) est le noyau du morphisme d’évaluation. En particulier, OP (V )/MP (V )
est isomorphe à k. Comme MP (V ) est exactement l’ensemble des non-unités
de OP (V ), on en déduit simultanément que OP (V ) est local, et que son idéal
maximal est MP (V ).
Proposition 2.12
OP (V ) est noethérien
Preuve :
– Γ(V ) est noethérien.
∆ Soit J un idéal de Γ(V ). Alors I = F ∈ k[X1 , ..., Xn ] ; F̄ ∈ J est un
idéal de k[X1 , ..., Xn ] noethérien. Soit alors F1 , ..., Fr générateurs de I,
f1 , ...fr leurs classes. Ces dernières engendrent J.
– OP (V ) est noethérien car c’est le localisé d’un anneau noethérien
2.3
Formes
Définition 2.13
Soit F ∈ k[X1 , ..., Xn+1 ] un polynôme homogène de degré d.
∆
On pose alors F∗ = F (X1 , ...Xn , 1).
Définition 2.14
P
Soit f ∈ k[X1 , ..., Xn ] polynôme quelconque de degré d, f =
i fi avec fi
homogène de degré i.
∆
d .f + X d−1 .f + ... + f = X d .f ( X1 , ..., Xn )
On pose alors f ∗ = Xn+1
0
d
n+1
n+1 1
Xn+1
Xn+1
Terminologie 2.15
On appelle forme de degré d tout polynôme homogène de degré d. Les processus
changeant f en f ∗ et F en F∗ sont respectivement dits d’homogénéisation et de
deshomogénéisation.
Proposition 2.16
1. (F.G)∗ = F∗ .G∗ et (f.g)∗ = f ∗ .g ∗
r .(F )∗ = F , où r est la plus grande puissance de X
2. (f ∗ )∗ = f et Xn+1
∗
n+1
divisant F .
t
r .f ∗ + X s .g ∗ où r = deg(g),
3. (F + G)∗ = F∗ + G∗ et Xn+1
.(f + g)∗ = Xn+1
n+1
s = deg(f ) et t = r + s − deg(f + g)
Proposition 2.17
Soit F ∈ k[X, Y ] une forme. Alors F se factorise en produit de facteurs linéaires.
8
2.4
Idéaux
Proposition 2.18
Soit I un idéal de k[X1 , ..., Xn ] tel que V(I) = {P1 , ..., Pn }.
On pose Oi = OPi (An ).
Il existe alors un isomorphisme naturel de k[X1 , ..., Xn ]/I
N
Y
sur
(Oi )/IOi
i=1
Corollaire 2.19
dimk (k[X1 , ..., Xn ]/I ) =
N
X
dimk (Oi /IOi ) < +∞
i=1
Corollaire 2.20
Si V(I) = {P }, k[X1 , ..., Xn ] est isomorphe à OP (An )/IOP (An )
3
Propriétés locales des courbes planes
3.1
Points multiples et droites tangentes
Les courbes affines planes correspondent à des polynômes non-constants
F ∈ k[X, Y ] sans facteurs multiples, où F est déterminée à la multiplication
par un scalaire non nul près. Pour des raisons qui apparaı̂tront ultérieurement,
nous allons modifier légèrement notre définition pour prendre en compte la
multiplicité des composantes.
Terminologie 3.1
Voici donc notre nouvelle approche
1. F, G ∈ k[X, Y ] sont dits équivalents si ∃λ ∈ k ∗ tel que F = λ.G
2. On définit les courbes affines planes comme les classes d’équivalence des
polynômes non-constants sous cette relation. On parlera de “la courbe
plane Y 2 − X 3 ”, voire “la courbe plane Y 2 = X 3 ”.
3. Le degré d’une courbe est le degré d’un polynôme qui la définit.
4. On appelle droites les courbes affines planes de degré 1.
Q
5. Si F = Fini , où les Fi sont les facteurs irréductibles de F, on appelle
composantes irréductibles de F les Fi . On dit alors que Fi est de multiplicité ni dans F .3
6. Soit F une courbe, et P = (a, b) ∈ F . On note FX la dérivée partielle de
F par rapport à X. P est dit simple si FX (P ) 6= 0 ou FY (P ) 6= 0. Dans
ce cas, on appelle droite tangente à F en P la droite FX (P )(X − a) +
FY (P )(Y − b) = 0.
7. Si P n’est pas simple, il est dit multiple(ou singulier). Une courbe sans
points multiples est dite régulière.
3
Les composantes Fi de F peuvent être retrouvées via V(F ), mais pas les ni .
9
Notation 3.2
Si F est irréductible, V(F ) est une variété de A2 . On note généralement Γ(F ),
k(F ), et OP (F ) en lieu et place de Γ(V(F )),. . .
Définition 3.3 (multiplicité)
Soit F = Fm + Fm+1 + ... + Fn , où les Fi sont des formes de degré respectif i,
et Fm 6= 0. On appelle multiplicité
Q ri de F au point P = (0, 0), et on note mP (F )
4
l’entier m. Écrivons Fm = Li avec les Li des droites distinctes. Les Li sont
appelées droites tangentes à F en P = (0, 0), de multiplicité ri .
Terminologie 3.4
Si F a m tangentes simples distinctes, on dit que P est un point multiple ordinaire de F. Un point double ordinaire est appelé noeud. On appelle droites à
travers F les droites non-tangentes à F.5
Q
Soit F = P Fini la factorisation de F en composantes irréductibles. Alors
mP (F ) =
ni .mP (Fi ). Si L est une P
droite tangente à Fi d’ordre ri , alors
L est tangente à F avec la multiplicité
ni .ri .
Remarque 3.5
Un changement de coordonnées permet de définir de même la multiplicité de F
en un point (a, b) quelconque.
Pour des exemples de courbes admettant un point multiple ordinaire ou non en
(0, 0), voici les courbes suivantes : Si l’on indique la multiplicité en premier, les
courbes sont respectivement de caractéristiques suivantes : (a) 2-ordinaire, (b)
1-non-ordinaire, (c) 1-non-ordinaire, et (d) 2-non-ordinaire.
3.2
Multiplicité et anneaux locaux
Notation 3.6
F est une courbe plane irréductible, et P ∈ F . Pour G ∈ k[X, Y ] on notera g
sa classe dans Γ(F ) = k[X, Y ]/(F )
Lemme 3.7
Soit P = (0, .., 0) ∈ k[X1 , ..., Xn ], O = OP (An ), et M = MP (An ). Alors ∀r,
I r .O = M r
Preuve :
Il suffit de montrer la propriété pour r = 1. Elle est immédiate par récurrence
sur n.
Lemme 3.8
Soit V une variété, I = I(V ), P ∈ V , et J un idéal contenant I. On pose J 0
l’image de J dans Γ(V ). Alors OP (An )/J.OP (An ) est isomorphe à OP (V )/J 0 .OP (V ) .
En particulier, OP (An )/I.OP (An ) est isomorphe à OP (V ).
4
5
cette définition est en accord avec la définition précédente de points simples et multiples
par convention, on parle de tangentes de multiplicité nulle
10
(a) V(Y 2 − X 3 )
(b) V(Y 2 − X 3 − X 2 ))
(c) V((X 2 + Y 2 )2 + 3X 2 Y 2 − Y 3 )
(d) V((X 2 + Y 2 )3 − 4X 2 Y 2 )
Fig. 2 – Exemple de points singuliers
11
Théorème 3.9
P est un point simple de F si et seulement si OP (F ) est un anneau de valuation
discrète. En ce cas, pour toute droite L passant par P à travers F, l ∈ OP (F )
est un paramètre local pour OP (F ).
Preuve :
?
=⇒ Soit P un point simple de F, et L une droite passant par P à travers F. On
prend ici P = (0, 0), Y tangente à F en P , et L = X 6 . Montrons que MP (F )
est engendré par x (et donc principal) : Déjà MP (F ) = (x, y), que P soit simple
ou non. F = Y + termes de degré supérieur = Y.G − X 2 .H où G = 1+ termes
de degré supérieur et H ∈ k[X]. Alors y.g = x2 .h et y = x2 .h.g −1 ∈ (x), car
?
g(P ) 6= 0. ⇐= Découle du Théorème 3.11.
Notation 3.10
Soit P un point simple sur une courbe irréductible F. On note ordFP la fonction
ordre sur k(F ) définie par l’anneau de valuation discrète OP (F ). Pour F fixée,
on écrit plus simplement ordP . Pour G ∈ k[X, Y ] on écrit aussi ordFP (G) pour
ordFP (g). Si P est un point simple sur une courbe réductible, on écrit ordFP pour
ordFPi , où Fi est la composante de F contenant P.
Si P est un point simple de F, et que L est une droite passant par P, alors
ordFP (L) = 1 si L n’est pas tangente à F en P , et ordFP (L) ≥ 2 si elle est
tangente 7
Théorème 3.11
Soit P un point d’une courbe irréductible F. Alors pour n ≥ mP (F ),
mP (F ) = dimk (MP (F )n/MP (F )n+1 )
Preuve :
– On dispose de la suite exacte
n
0 −→ M/M
n+1 −→ O/M n+1 −→ O/M n −→ 0 (?)
On prend P = (0, 0)
– D’après leLemme 3.7, M n = I n .O, avec I = (X, Y ).
– Comme V(I n ) = {P },
∼
∼
k[X, Y ]/(I n ,F ) −→ (OP (A2 ))/(I n ,F ).OP (A2 ) −→ O/I n .O = O/M n
que l’on obtient en appliquant successivement le Corollaire 2.20, le
Lemme 3.8 et le Lemme 3.7.
6
Quitte à opérer un changement affine de coordonnées
en effet, si L est tangente, on peut reprendre la démonstration du Théorème 3.9, et avec
L = Y , y = x2 .h.g −1 impose ordP (y) = ordP (x2 ) + ordP (h.g −1 ) ≥ 2, car x est un paramètre
local. Si L n’est pas tangente, l est paramètre local, donc ordP (l) = 1
7
12
∆
– Calculons la dimension dp de k[X, Y ]/(I p ,F ) pour p ≥ m = mP (F ). Alors
F.G ∈ I p dès que G ∈ I p−m . ϕ : k[X, Y ]/I p −→ k[X, Y ]/(I p ,F ) morphisme
naturel d’anneau ψ : k[X, Y ]/I p−m −→ k[X, Y ]/I p k-linéaire définie par
ψ([G]) = [F.G] On vérifie alors que la séquence suivante est exacte :
ψ
ϕ
0 −→ k[X, Y ]/I p−m −→ k[X, Y ]/I p −→ k[X, Y ]/(I p ,F ) −→ 0
Comme dimk [X, Y ]/I r =
dp =
r.(r+1)
,
2
on obtient
p.(p + 1) (p − m).(p − m + 1)
m.(m − 1)
−
= p.m −
= p.m + s
2
2
2
– En appliquant ce résultat à n et n+1, et en l’injectant dans (?), on obtient
dimk (MP (F )n/MP (F )n+1 ) = (n + 1).m + s − (n.m + s) = m
Remarque 3.12
?
Finissons maintenant la preuve du Théorème 3.9 (sens ⇐=). Supposons que
∆
R = OP (F ) soit un AVD, d’uniformisante t et d’idéal maximal M .
i
π
– Montrons que 1, t, ...tn−1 est une k-base de R. k −→ R −→ R/M est
un isomorphisme de k sur R/M . En effet, si π ◦ i(λ) = 0 alors λ ∈ M
impose λ non inversible, et donc λ = 0. π ◦ i est donc injectif. Soit g
dans R/M . On pose λ = g(P ). Alors π ◦ i(λ) = g, et π ◦ i est surjectif.
Ainsi, ∀z ∈ R ∃!λ ∈ k tel que z − λ ∈ M . On montre alors aisément par
récurrence sur n que pour tout z ∈ R et tout n ∈ N il existe λ0 , ...λn dans
k, et zn+1 dans R tels que
z=
n
X
λi .ti + zn+1 .tn+1
i=1
L’unicité de cette décomposition découle de la propriété de la fonction
d’ordre suivante : si ord(a) < ord(b) alors ord(a + b) = ord(a). On en
déduit le résultat escompté.
– On a la suite exacte
n
0 −→ M/M
n+1 −→ R/M n+1 −→ R/M n −→ 0
n
dont on déduit dimk M/M
n+1 = (n + 1) − n = 1
– Le Théorème 3.11 donne mP (F ) = 1, et P est simple.
13
3.3
Nombre d’intersection
Soient F et G deux courbes planes, et P un point du plan. Nous voulons
définir un nombre d’intersection de F et G en P , qui sera noté I(P, F ∩ G).
La définition mathématique8 de ce nombre étant peu intuitive, nous allons
d’abord dresser une liste de propriétés, que nous imposons à ce nombre. Puis
nous prouverons qu’il n’existe qu’un seul objet satisfaisant à ces contraintes. La
preuve nous fournira d’ailleurs un algorithme simple pour calculer I(P, F ∩ G)
en un nombre raisonnable d’étapes.
Terminologie 3.13
On dit que F et G se coupent proprement en P si F et G n’ont pas de composante commune passant par P . On dit que F et G se coupent transversalement
en P si P est un point simple sur F et sur G, et que la tangente à F est différente
de la tangente à G en P .
Voici les propriétés que nous imposons : (1) I(P, F ∩G) ∈ N si F et G se coupent
proprement en P. Sinon, I(P, F ∩ G) = ∞. (2) I(P, F ∩ G) = 0 ⇐⇒ P 6∈ F ∩ G
En outre, I(P, F ∩ G) ne dépend que des composantes de F et G passant par
P. (3) I(P, F ∩ G) est invariant par changement affine de coordonnées. (4)
I(P, F ∩ G) = I(P, G ∩ F ) (5) I(P, F ∩ G) ≥ mP (F ).mP (G), avec égalité si et
Q ri
9
seulement
Q sisjF et G n’ont pas de tangentes communes en P (6) Si F = Fi
et G = Gj , alors
I(P, F ∩ G) =
X
ri sj I(P, Fi ∩ Gj )
i,j
(7)∀A ∈ k[X, Y ], I(P, F ∩ G) = I(P, F ∩ (G + AF )) Cette dernière propriété,
moins intuitive que les autres, nous dit que pour F irréductible I(P, F ∩ G) ne
dépend que de l’image de G dans Γ(F ).
Théorème 3.14
Il existe un unique nombre d’intersection I(P, F ∩ G) défini pour toutes les
courbes planes F et G, et tous les points P , satisfaisant aux propriétés (1) à
(7). Quand F et G se coupent proprement, il est donné par la formule
I(P, F ∩ G) = dimk (OP (A2 )/(F,G) )
Preuve :
Unicité : Il s’agit de donner un algorithme constructif pour calculer I(P, F ∩ G)
en utilisant les propriétés (1) à (7).
– Grâce (3), on peut supposer P = (0, 0).
8
9
que nous donnons dans le Théorème 3.14
en particulier, F et G se coupent transversalement en P si et seulement si I(P, F ∩ G) = 1
14
– (1) nous permet de supposer que I(P, F ∩ G) est fini.
Comme le cas I(P, F ∩ G) = 0 est résolu par (2), on peut raisonner par
récurrence.
– Supposons que I(P, F ∩ G) = n > 0,et que I(P, A ∩ B) peut être calculé
dès que I(P, F ∩ G) < n. On note r et s les degrés respectifs de F (X, 0)
et G(X, 0). (4) permet de supposer r ≤ s.
– Cas r = 0 Alors F = Y H impose I(P, F ∩G) = I(P, Y ∩G)+I(P, H ∩G)
(cf (6)). Si G(X, 0) = X m (a0 + a1 X + ...), et a0 6= 0, alors
(7)
I(P, Y ∩ G) = I(P, Y ∩ G(X, 0))
(2)+(6)
=
(5)
I(P, Y ∩ X m ) = m
Comme P ∈ G, m > 0, I(P, H ∩ G) < n est calculable.
– Cas r > 0 On peut toujours multiplier F et G par des constantes non
nulles afin de rendre F (X, 0) et G(X, 0) unitaires. Soit H = G−X s−r F .
Alors I(P, F ∩ G) = I(P, F ∩ H), et deg(H(X, 0)) = t < s. En répétant
le procédé, et en échangeant F et H si t < r, on obtient une paire de
courbes A et B qui satisfont au cas précédent, et qui vérifient en outre
I(P, F ∩ G) = I(P, A ∩ B)
Existence :
Définissons I(P, F ∩ G) = dimk (OP (A2 )/(F,G) )
– I(P, F ∩ G) ne dépend que l’idéal de OP (A2 ) engendré par F et G, donc
(2), (4), et (7) sont évidentes.
– Les changements de coordonnées donnent des isomorphismes d’anneaux
locaux, donc (3) est également claire. On peut donc dorénavant supposer
P = (0, 0) et que toutes les composantes de F et G passent par P .
– Si F et G n’ont pas de composante commune, la Proposition 1.11
donne V(F, G) fini. On peut donc appliquer le Corollaire 2.19, et obtenir
I(P, F ∩ G) fini.
– Si F et G ont une composante commune H, alors (F, G) ⊂ (H). Il y a alors
un morphisme de O/(F,G) sur O/(H) , et I(P, F ∩ G) ≥ dimk (O/(H) ). Le
Lemme 3.8 donne O/(H) isomorphe à OP (H). Comme Γ(H) ⊂ OP (H)
et que dimk (Γ(H)) = ∞ (cf Corollaire 1.20), on obtient (1).
– Prouvons que I(P, F ∩ G.H) = I(P, F ∩ G) + I(P, F ∩ H), ce qui montrera
(6). On peut toujours supposer que F et G.H n’ont pas de composante
commune (le résultat est évident dans l’autre cas) Soit ϕ : O/(F,G.H) −→
O/(F,G) morphisme naturel d’anneau, et ψ : O/(F,H) −→ O/(F,G.H) définie
par ψ([z]) = [G.z] Nous allons montrer que la séquence suivante est
exacte :
ψ
ϕ
0 −→ O/(F,H) −→ O/(F,G.H) −→ O/(F,G) −→ 0
La seule difficulté réside dans l’injectivité de ψ. Supposons ψ([z]) = 0. On
a alors Gz = uF + vGH avec u, v ∈ O Soit S ∈ k[X, Y ] tel que S(P ) 6= 0,
15
Su = A, Sv = B, et Sz = C dans k[X, Y ] Alors G(C − BH) = AF dans
k[X, Y ]. Comme F et G n’ont pas de composante commune, F divise
D
C−BH. Il existe donc D tel que C−BH = DF On a alors z = B
S .H+ S .F .
D’où [z] = 0. L’exactitude de la suite impose le résultat annoncé.
– Il ne reste donc « plus que » la propriété (5) à montrer.
– Soit m = mP (F ), n = mP (G), et I = (X, Y ).
ψ
ϕ
k[X, Y ]/I n × k[X, Y ]/I m → k[X, Y ]/I m+n → k[X, Y ]/(I m+n ,F,G) → 0
↓α
π
O/(F,G) →
O/(I m+n ,F,G)
→0
avec ϕ, π, et α les morphismes d’anneaux naturels, et ψ définie par
ψ([A], [B]) = [AF + BG]
– ϕ et π sont surjectives par définition, et comme V(I m+n , F, G) ⊂ {P },
le Corollaire 2.20 affirme que α est un isomorphisme.
– On vérifie facilement que la première ligne du diagramme est exacte.
On en déduit que dim(k[X, Y ]/I n ) + dim(k[X, Y ]/I m ) ≥ dim(Ker ϕ),
avec égalité si et seulement si ψ est injective. On a également
dim(k[X, Y ]/(I n+m ,F,G) ) = dim(k[X, Y ]/(I n+m ) ) − dim(Ker ϕ)
– On obtient donc :
I(P, F ∩ G) = dim(O/(F,G) )
≥ dim(O/(I m+n ,F,G) ) car π est surjective
= dim(k[X, Y ]/(I m+n ,F,G) ) car α est bijective
≥ dim(k[X, Y ]/I m+n ) − dim(k[X, Y ]/I n ) − dim(k[X, Y ]/I m )
= mn
– Nous avons donc montré I(P, F ∩ G) ≥ m.n avec égalité si et seulement
si π est un isomorphisme, et que ψ est injective. Remarquons que π est
un isomorphisme si et seulement si I m+n ⊂ (F, G).O.
– Pour finir la preuve de (5), il nous suffit donc de montrer le
Lemme 3.15
1. Si F et G ont des tangentes distinctes en P , alors I t ⊂ (F, G).O
pour t ≥ m + n.
2. ψ est injective si et seulement si F et G ont des tangentes distinctes
16
Preuve :
1. – Soit L1 , .., Lm les tangentes de F et M1 , ..., Mn les tangentes de
G. On pose Li = LM pour i > m et Mj = Mn pour j > n
Soit Aij = L1 ...Li .M1 ...Mj pour tout i, j ≥ 0, avec la convention
A00 = 1. (Ai,j )i+j=t forme alors une base de l’espace vectoriel
des formes de degré t dans k[X,Y].
– Montrons que pour i + j ≥ m + n − 1, Ai,j ∈ (F, G).O (ce qui
achèvera la preuve de cette première partie du lemme) Supposons
par exemple i ≥ m (idem pour j ≥ n). Alors Aij = Am0 B, où B
est une forme de degré t = i + j − m. F = Am0 + F 0 où tous les
termes de F 0 sont de degré ≥ m + 1. D’où Aij = BF − BF 0 , où
tous les termes de BF 0 sont de degré supérieur à i+j +1. Il suffit
donc de montrer que pour t suffisamment grand, I t ⊂ (F, G).O.
V(F, G) = {P, Q1 , ..., Qs }. On choisit un polynôme H qui s’annule en les Qi , mais pas en P . Comme HX et HY sont dans
I(V(F, G)), le théorème des zéros de Hilbert nous donne l’existence de N tel que (HX)N et (H.Y )N appartiennent à (F, G) ⊂
k[X, Y ]. Comme H N est une unité de O, X N et Y N ∈ (F, G).O,
et donc I 2N ⊂ (F, G).O
2. Supposons que les tangentes soient distinctes, et que
ψ([A], [B]) = [AF + BG] = 0. Alors AF + BG est la somme de
formes de degré ≥ m + n. A = Ar + termes de plus haut degré B =
Bs + termes de plus haut degré Alors AF +BG = Ar Fm +Bs Gn +...
impose r +m = s+n et Ar Fm +Bs Gn = 0. Comme Fm et Gn n’ont
pas de facteurs communs, Fm | Bs et Gn | Ar . On en déduit s ≥ m
et r ≥ n, et donc ([A], [B]) = (0, 0) Réciproquement, supposons
0
,
que L soit une tangente commune de F et G. Alors Fm = LFm−1
0
0
0
Gn = LGn−1 . Mais alors ψ([Gn−1 ], [−Fm−1 ]) = 0.
Notons pour finir que le nombre d’intersection possède les deux propriétés
supplémentaires suivantes : (8) Si P est un point simple de F, alors I(P, F ∩G) =
ordFP (G) (9) Si F et G n’ont pas de composantes communes, alors
X
I(P, F ∩ G) = dimk (k[X, Y ]/(F,G) )
P
Preuve :
(8) On peut toujours supposer F irréductible. Soit g la classe de G dans OP (F ).
Alors on a ordFP (G) = dimk ((OP (F ))/(g) ). Comme (OP (F ))/(g) est isomorphe
à O/(F,G) , la preuve est finie. (9) découle facilement du Corollaire 2.19.
17
4
4.1
Variétés projectives
Ensembles algébriques projectifs
Définition 4.1 (racine)
On dit qu’un point P ∈ Pn (k) est une racine de F ∈ k[X1 , ..., Xn+1 ] si pour
tout choix de coordonnées homogènes [x1 , ..., xn+1 ] de P , F (x1 , ...xn+1 ) = 0.
On note alors F (P ) = 0.
Remarque 4.2
P
Si on décompose F = Fi avec Fi forme de degré i, alors
F (P ) = 0 ⇐⇒ ∀ i Fi (P ) = 0
Remarque 4.3
On définit alors comme dans le cas affine les objets suivants : V(S) ensemble
algébrique projectif, I(X) idéal annulateur de X ⊂ Pn (k).
Remarque 4.4
Soit I un idéal de k[X1 , ..., Xn+1 ] engendré par une famille S de polynômes. On
P (i) (i)
peut écrire I = (F (1) , ...F (r) ), avec F (i) =
Fj , Fj forme de degré j. Dans
n
o
(i)
ces conditions, V(S) = V(I) = V( Fj ).
Définition 4.5 (idéal homogène)
On dit qu’un idéal I ⊂ k[X1 , ..., Xn+1 ] est homogène si pour tout F ∈ I, chacune
des formes composant F est dans I. En particulier, tout idéal annulateur est
homogène.
Proposition 4.6
I est homogène ⇐⇒ I est généré par un ensemble fini de formes.
Preuve :
?
?
(i)
=⇒ Si I = (F (1) , ...F (r) ) est homogène, il est généré par les Fj . ⇐= Soit
S = F (α) , engendrant I, avec deg(F (α) ) = dα .
Soit F = Fm + ... + Fr ∈ I, avec Fi forme de degré i. Il suffit de montrer
que Fm ∈ I, car alors F − Fm ∈ I et une récurrence termine la preuve. F =
P (α) (α)
A .F . En identifiant les termes de degré m, on obtient
P (α)
Fm = Am−d .F (α) ∈ I
Lemme 4.7
Soit I un idéal homogène. Alors
I est premier ⇐⇒ ∀ F, G f ormes (F.G ∈ I ⇒ F ∈ I ou G ∈ I)
Définition 4.8 (variété projective)
V ⊂ Pn (k) est dit irréductible s’il n’est pas l’union de deux sous-ensembles
algébriques. Le Lemme 4.7 permet de montrer, comme dans le cas affine, que
V est irréductible si et seulement si I(V ) est premier. Un tel V est appelé
variété projective.
18
Comme dans le cas affine, un ensemble algébrique projectif s’écrit de façon
unique comme l’union de variétés projectives, qu’on nomme composantes irréductibles
de V .
Définition 4.9 (cône)
Soit V un ensemble algébrique projectif. On appelle cône sur V , et note
∆ C(V ) = (x1 , ..., xn+1 ) ∈ An+1 | [x1 , ..., xn+1 ] ∈ V ou (x1 , ..., xn+1 ) = (0, ..., 0)
Proposition 4.10
1. Si V 6= alors Ia (C(V )) = Ip (V )
2. Si I est un idéal homogène tel que Vp (I) 6= alors C(Vp (I)) = Va (I)
Cette proposition permet de réduire les problèmes projectifs aux problèmes
affines. On obtient ainsi les résultats suivants :
Théorème 4.11 (Nullstellensatz projectif )
Soit I un idéal homogène. Alors on a :
Vp (I) = ⇐⇒
I contient toutes les formes de degré assez grand
Vp (I) 6= =⇒
Ip (Vp (I)) = Rad(I)
Preuve :
Vp (I) = ⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
Va (I) ⊂ {(, 0, ..., 0)}
(X1 , ..., Xn+1 ) ⊂ Ia (Va (I))
(X1 , ..., Xn+1 ) ⊂ Rad(I)
∃N ∈ N (X1 , ..., Xn+1 )N ⊂ I
Ip (Vp (I) = Ia (C(Vp (I))) = Ia (Va (I))
Définition 4.12 (anneau homogène de coordonnée)
Soit V une variété projective. On appelle anneau homogène de coordonnée de
V , et on note
∆
Γh (V ) = k[X1 , ..., Xn+1 ]/I(V )
On appelle corps homogène des fonctions surV , et on note kh (V ), le corps des
fractions de Γh (V )
Remarque 4.13
Contrairement à la situation affine, les éléments de Γh (V ) et kh (V ) ne déterminent
pas de fonctions sur V . Toutefois, si f , g sont des formes dans Γh (V ) de même
degré d, alors fg définit bien une fonction partout où g ne s’annule pas.
Définition 4.14 (corps des fonctions)
Soit V une variété projective. On appelle corps des fonctions sur V , et on note
f
∆
k(V ) =
avec f et g f ormes de même degré
g
19
Terminologie 4.15
Pour I idéal homogène, on note Γ = k[X1 , ..., Xn ]/I . Un élément f ∈ Γ est
appelé forme de degré d s’il existe F forme de degré d telle que [F ] = f . Pour
V variété projective, les éléments de k(V ) sont appelés fonctions rationnelles
sur V . On dit que z ∈ k(V ) est défini en P ∈ V si z = fg avec f et g formes de
mêmes degré et g(P ) 6= 0.
Proposition 4.16
Tout élément f ∈ Γ s’écrit de façon unique sous la forme
f = f0 + ... + fm
avec fi forme de degré i pour tout i.
Preuve :
L’existence de cette décomposition étant claire, démontrons l’unicité. Supposons
P
que f =
gi ,Pavec gi P
classe de Gi , une autre décomposition de f , classe de
F . Alors F − Gi = (Fi − Gi ) ∈ I. Comme I est homogène, on en déduit
Fi − Gi ∈ I et donc fi = gi .
Proposition 4.17
∆
On note OP (V ) = {z ∈ k(V ) déf inie en P }. C’est un sous-anneau local de
k(V ) dont l’idéal maximal est
f
MP (V ) =
avec g(P ) 6= 0 et f (P ) = 0
g
4.2
Variétés affines et projectives
Notation 4.18
∆
On note Ui = {(x1 , ...xn+1 ) ∈ Pn (k) ; xi 6= 0}
On peut alors considérer An comme partie de Pn (k) via l’application ϕ qui
envoie (x1 , ...xn ) ∈ An sur [x1 , ...xn , 1] ∈ Un+1 ⊂ Pn (k). Notre propos est
d’étudier les relations entre les ensembles algébriques de An et ceux de Pn (k).
Définition 4.19
Soit V un ensemble algébrique dans An . Pour I = I(V ) ⊂ k[X1 , ..., Xn ], on
définit I ∗ , idéal engendré par {F ∗ | F ∈ I}. Comme I ∗ est homogène, on peut
∆
définir V ∗ = V(I ∗ ) ⊂ Pn (k)
Définition 4.20
Soit V un ensemble algébrique dans Pn (k). Pour I = I(V ) ⊂ k[X1 , ..., Xn+1 ],
∆
on définit I∗ , idéal engendré par {F∗ | F ∈ I}. On pose alors V∗ = V(I∗ ) ⊂ An .
Proposition 4.21
Soit V, W ⊂ An
1. ϕ(V ) = V ∗ ∩ Un+1 et (V ∗ )∗ = V
2. V ⊂ W =⇒ V ∗ ⊂ W ∗
20
3. V irréductible =⇒ V ∗ irréductible
4. Soit V = ∪Vi la décomposition en irréductibles de V . Alors V ∗ = ∪Vi∗
est la décomposition en irréductibles de V ∗
5. V ∗ est le plus petit ensemble algébrique projectif contenant V .
6. Si V 6= An , alors aucune composante de V ∗ n’est incluse ni ne contient
H∞ = Pn (k) − Un+1 Soit V, W ⊂ Pn (k)
7. V ⊂ W =⇒ V∗ ⊂ W∗
8. Si aucune composante de V n’est incluse ni ne contient H∞ , alors V∗ 6= An
et (V∗ )∗ = V
Terminologie 4.22
On appelle clôture projective de V l’ensemble V ∗ (cf 5).
Proposition 4.23
Soit V = V(F ) hypersurface affine, alors V ∗ = V(F ∗ ).
Remarque 4.24
Soit V une variété affine, et V ∗ sa cloture projective. Si f ∈ Γh (V ∗ ) est une
forme de degré d, on peut définir f∗ ∈ Γ(V ) par le procédé suivant : Soit F ∈
k[X1 , ..., Xn+1 ] dont la classe modulo Ip (V ∗ ) est f . On pose alors f∗ la classe de
F∗ modulo I(V ). Ceci ne dépend du choix de F , car G ∈ I(V ∗ ) ⇒ G∗ ∈ I(V ).
On dispose alors de l’isomorphisme naturel
α : k(V ∗ ) −→ k(V )
f
f∗
7−→
g
g∗
où f et g sont deux formes de même degré sur V ∗ . Si P ∈ V , on peut considérer
P ∈ V ∗ via ϕ. α induit donc un isomorphisme de OP (V ∗ ) sur OP (V ). Ainsi, on
identifie généralement k(V ) avec k(V ∗ ) et OP (V ∗ ) avec OP (V ). Toute variété
projective V est recouverte par les n + 1 ensembles V ∩ Ui . Si nous formons V∗
relativement à Ui , les points de V ∩ Ui correspondent aux points de V∗ , et les
anneaux locaux correspondants sont isomorphes. Ainsi, les questions sur V en
P peuvent être réduites à des questions sur la variété affine V∗ .
5
Courbes projectives planes
5.1
Définitions
Une courbe projective plane est une hypersurface de P2 (k), à ceci près que,
comme dans le cas affine, on désire que les composantes puissent être multiples.
Terminologie 5.1
– Deux formes non-constantes F et G dans k[X, Y, Z] sont dites équivalentes
s’il existe λ ∈ k non nul tel que F = λ.G.
21
– Une courbe projective plane est une classe d’équivalence de formes.
– Le degré d’une courbe est le degré d’une forme la représentant. On appelle droites, coniques, cubiques et quartiques les courbes de degré respectif 1, 2, 3, 4.
Notation 5.2
Les notations et conventions développées pour les courbes affines s’étendent aux
courbes projectives. Ainsi, on parle de composantes simples, multiples, on écrit
OP (F ) au lieu de OP (V(F )) pour une courbe irréductible. . . Remarquons que
O(x,y,1) (F ) est canoniquement isomorphe à O( x, y)(F∗ )
Définition 5.3 (multiplicité)
Soit F une courbe projective plane, et P ∈ Ui . On peut alors hétérogénéiser F
relativement à Xi , et définir mP (F ) = mP (F∗ )
Remarque 5.4
Cette définition est légitime car le Théorème 3.14 assure son indépendance
relativement au choix de Ui . Remarquons aussi que la multiplicité est invariante
par changement linéaire de coordonnées (en effet, les résultats de la section 3
nous assurent du fait que la multiplicité d’une courbe affine en un point ne
dépend que de l’anneau local de la courbe en ce point)
Remarque 5.5
Soit P1 , ...Pn ∈ P2 (k). Alors il existe une droite L qui ne passe par aucun des Pi
Soit F une courbe de degré d. On pose F∗ = LFd ∈ k(P2 (k)). F dépend de L, mais
L d
L
) .F , avec M
unité dans
si M est une autre droite telle que L, on a (MFd ) = ( M
chacun des OPi (P2 (k)). Remarquons également que l’on peut toujours trouver
un changement linéaire de coordonnées tel que L devienne la droite Z à l’infini.
Ainsi, via l’identification de k(A2 ) avec k(P2 (k)), cette F∗ est identique à F∗
définie anciennement par F (X, Y, 1).
Si P est un simple point de F irréductible, alors OP (F ) est un anneau de
valuation discrète.
Définition 5.6 (nombre d’intersections)
Soit F et G deux courbes projectives planes et P ∈ P2 (k).
On définit I(P, F ∩ G) = dimk ((OP (P2 (k)))/(F∗ ,G∗ ) ).
Remarque 5.7
Cette définition est légitime car elle ne dépend pas du choix de F∗ et G∗ . En
outre, ce nombre d’intersection vérifie les propriétés (1) à (8). A ceci près que
dans (3), le changement de coordonnées doit être linéaire, et que dans (7), A
doit vérifier deg(A) = deg(G) − deg(F ).
Terminologie 5.8
Une droite L est dite tangente en P à une courbe F si
I(P, F ∩ L) > mP (F )
22
On dit que P est un point multiple ordinaire si F admet mP (F ) tangentes
distinctes en P . Deux courbes F et G sont dites projectivement équivalentes
s’il existe un changement linéaire de coordonnées envoyant F sur G. Tout ce que
nous dirons sur une courbe sera également vrai pour des courbes équivalentes.
5.2
Le théorème de Bézout
Le plan projectif a été conçu de telle sorte que deux droites distinctes se
coupent en un seul point. Il s’agit en fait d’un cas particulier du
Théorème 5.9 (Bézout)
Soient F et G deux courbes projectives planes de degré respectif m et n, n’ayant
pas de composante commune. Alors
X
I(P, F ∩ G) = mn
P
Preuve :
– Comme dans le cas affine, F ∩G est fini, donc on peut10 supposer qu’aucun
des points de F ∩ G ne se trouve sur la droite à l’infini Z = 0. On a alors :
X
X
I(P, F ∩ G) =
I(P, F∗ ∩ G∗ ) = dimk (k[X, Y ]/(F∗ ,G∗ ) )
P
P
– On pose Γ∗ = k[X, Y ]/(F∗ ,G∗ ) , Γ = k[X, Y, Z]/(F.G) , R = k[X, Y, Z] et Γd
(resp.Rd ) l’espace vectoriel des formes de degré d dans Γ (resp.R).
– Le théorème sera démontré si l’on prouve que dim Γ∗ = dim Γd = mn
pour d suffisamment grand.
– Montrons que dim Γd = mn pour d ≥ m + n :
– π : R −→ Γ projection canonique ϕ : R×R −→ R définie par ϕ(A, B) =
AF + BG ψ : R −→ R × R définie par ψ(C) = (GC, −F C)
– F et G n’ont pas de facteur commun, donc la séquence suivante est
exacte :
ψ
ϕ
π
0 −→ R −→ R × R −→ R −→ Γ −→ 0
– En restreignant ces applications aux formes de degré donné, on obtient
les séquences exactes suivantes :
ψ
ϕ
π
0 −→ Rd−m−n −→ Rd−m × Rd−n −→ Rd −→ Γd −→ 0
– Comme dim Rd =
dim Γd = mn.
(d+1)(d+2)
,
2
on obtient après calcul que
– Montrons que α : Γ −→ Γ définie par α([H]) = [ZH] est injective.
10
quitte à effectuer un changement linéaire de coordonnées
23
– Supposons ZH = AF + BG. Pour tout J ∈ k[X, Y, Z], on note J0 =
J(X, Y, 0). F , G et Z n’ont pas de zéros communs, donc F0 et G0 sont
des formes premières entre elles.
– Or A0 F0 + B0 G0 = 0, donc il existe C ∈ k[X, Y ] tel que B0 = F0 C et
A0 = −G0 C.
– Posons A1 = A + CG et B1 = B − CF . On a alors (A1 )0 = (B1 )0 = 0,
d’où A1 = ZA0 et B1 = ZB 0 . On en déduit ZH = A0 F + B 0 G
– Soit d ≥ m + n et choisissons A1 , ..., Amn ∈ Rd dont les classes forment
une base de Γd . Soit Ai∗ = Ai (X, Y, 1) ∈ k[X, Y ] et ai sa classe dans Γ∗
Montrons que a1 , ...amn forment une base de Γ∗ .
– α induit un isomorphisme de Γd sur Γd+1 , en tant que morphisme injectif entre deux espaces de même dimension (cf d et d + 1 ≥ m + n).
– On en déduit que pour tout r ≥ 0, les classes de Z r Ai , ..., Z r Amn
forment une base de Γd+r
– Montrons que les ai engendrent Γ∗ : Soit h = [H] ∈ Γ∗ . Pour un certain
N , Z N H ∗ est une forme de degré d + r, donc
mn
X
N
∗
Z .H =
λ i Z r Ai
i=1
(Z N H ∗ )∗
P
P
Alors H =
= λi Ai∗ , et h = λi ai
P
– Montrons que les ai sont indépendants : Supposons
λi ai = 0. Alors
P
r
s ∗
pour certains r, s et
t
(cf
Proposition
2.16)
Z
λ
A
i i = Z B F +
P
Z t C ∗ G. Mais alors
λi [Z r Ai ] = 0 dans Γd+r , et λi = 0 (car les [Z r Ai ]
forment une base)
Corollaire 5.10
Si F et G n’ont pas de composantes communes,
X
mP (F ).mP (G) ≥ deg(F ). deg(G)
P
Preuve :
Il suffit d’appliquer la propriété (5) du nombre d’intersection.
Corollaire 5.11
Si F et G se rencontrent en deg(F ). deg(G) points distincts, alors ces points
sont tous simples sur F et G.
Corollaire 5.12
Si F et G ont plus de deg(F ). deg(G) points en commun, alors elles ont une
composante commune.
Voici maintenant quelques exemples en utilisant des coniques : On a ainsi respectivement,(a) 4 points d’intersections d’ordre 1, (b) 1 point d’ordre 2 et 2
points imaginaires (ce sont les points cocycliques qui appartiennent à tous les
cercles), (c) 2 points d’ordre 1 et 1 point d’ordre 2,(d) 3 points d’ordre 1 et 1
point à l’infini, et (e) 2 points d’ordre 2.
24
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Fig. 3 – Exemples d’intersection de courbes algébriques
25
5.3
Le théorème de Harnack
Nous présentons ici un exemple de participation du théorème de Bézout
dans la démonstration d’un théorème.
Celui-ci apparaı̂t comme l’amorce du 16e problème que Hilbert présenta lors
du Congrès International des Mathématiciens de Paris en 1900, et qui occupe
encore une partie de la communauté mathématiques, bien que partiellement
résolu en 1975 et 1995.
16. Problem of the topology of algebraic curves and surfaces
The maximum number of closed and separate branches which a plane algebraic
curve of the n-th order can have has been determined by Harnack.
There arises the further question as to the relative position of the branches in
the plane. As to curves of the 6-th order, I have satisfied myself–by a complicated
process, it is true–that of the eleven branches which they can have according to
Harnack, by no means all can lie external to one another, but that one branch
must exist in whose interior one branch and in whose exterior nine branches
lie, or inversely. A thorough investigation of the relative position of the separate
branches when their number is the maximum seems to me to be of very great
interest, and not less so the corresponding investigation as to the number, form,
and position of the sheets of an algebraic surface in space. Till now, indeed, it
is not even known what is the maximum number of sheets which a surface of
the 4-th order in three dimensional space can really have.
David Hilbert, Congrès International des Mathématiciens de Paris, 1900.
Terminologie 5.13 (Ovale)
On nomme ovale une composante connexe d’une courbe homéomorphe à S1 .
Comme H1 (P(R)2 , Z) = Z/2Z, on distingue des chemins pairs (homologues à
0) et des chemins impairs (homologues à 1).
(a) Exemple de courbe algébrique composée
d’ovales
On considère ici les zéros dans P(R)2 .
26
Théorème 5.14
Le nombre maximum de composantes connexes disjointes homéomorphes à S1
qu’une courbe lisse réelle algébrique plane de degré d puisse avoir est
(d − 1)(d − 2)
+1
2
Preuve :
Nous admettrons la propriété suivante :
Une courbe plane Y définie par un polynôme à coefficients réels et contenant
un point p d’un ovale pair de X doit l’intersecter au moins deux fois, lui être
tangent, ou être singulière en p.
Supposons maintenant que X(R) possède m = (d−1)(d−2)
+ 2 ovales U1 , . . . , Um
2
et parmi eux U1 , . . . , Um−1 des ovales pairs. On choisit maintenant p1 , . . . , pm−1
points tel que pi appartienne à Ui , et q1 , . . . , qd−4 points sur Um .
Or, l’ensemble des polynômes homogènes de degré d − 2 de P2 forme un espacevectoriel de dimension d(d − 1)/2.
Or, comme d(d−1)
≥ m − 1 + d − 4, on peut trouver un polynôme non-nul G de
2
degré d − 2 sur P2 s’annulant sur les p1 , . . . , pm−1 , q1 , . . . , qd−4 , i.e. une courbe
plane Y de degré d − 2 contenant tous ces points.
Or, Y doit intersecter chacun des ovales U1 , . . . , Um−1 de X(R) au moins deux
fois, et l’ovale Um au moins d − 4 fois.
Ainsi les courbes Y et X possèdent au moins 2(m − 1) + d − 4 = d(d − 1) + 2
points d’intersections ce qui contredit Bézout.
Comme chaque fois où un théorème fournit une majoration, les exemples
rares correspondent à ceux atteignant ce maximum. Voici en exemple une courbe
de degré 4 possédant 4 ovales.
4
4
2 2
2
2
(b) V( y16 + x4 + 5x16y − 23y
− 11x
+
16
4
38
)
5
27