Courbes algébriques

Courbes alg´ebriques
Benjamin Collas et Yvon Vignaud
Mai 2001
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Introduction
La g´eom´etrie alg´ebrique est l’´etude des vari´et´es alg´ebriques, d´efinies en tant
que lieu annulateur de polynˆomes.
L’objectif de ce m´emoire est de pr´esenter les diff´erents objets de cette
th´eorie, d’aborder les principes fondateurs, tel le Nullstellensatz, avec pour ob-
jectif final la d´emonstration du th´eor`eme de B´ezout : d’un ´enonc´e `a la fois simple
et intuitif («Dans un corps alg´ebriquement clos, deux courbes projectives de
degr´e respectif net mont exactement n·mpoints d’intersection »), il apparaˆıt
plus particuli`erement ´evident dans le cas o`u l’une des courbes est une droite.
Pour pr´esenter ce th´eor`eme dans sa plus grande g´en´eralit´e, nous introduirons
les notions de vari´et´es affines et projectives. Puis nous ´etablirons des relations
entre les propri´et´es g´eom´etriques des courbes et certains objets alg´ebriques, en
´elaborant progressivement une correspondance G´eom´etrie-Alg`ebre.
Pour finir, nous illustrerons son importance en soulignant son intervention
dans la d´emonstration du th´eor`eme de Harnack, point de d´epart du 16eprobl`eme
d’Hilbert sur le d´eveloppement d’une topologie des vari´et´es alg´ebriques r´eelles.
Table des mati`eres
1 Ensembles alg´ebriques affines 3
1.1 Espaces affines et ensembles alg´ebriques . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Id´eal d’un ensemble de points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Composantes irr´eductibles d’un ensemble alg´ebrique . . . . . . . 5
1.4 Ensembles alg´ebriques du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Le Nullstellensatz de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Vari´et´es affines 6
2.1 Anneaux de coordonn´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Fonctions rationnelles et anneaux locaux . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Formes................................. 8
2.4 Id´eaux................................. 9
3 Propri´et´es locales des courbes planes 9
3.1 Points multiples et droites tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 Multiplicit´e et anneaux locaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.3 Nombre d’intersection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4 Vari´et´es projectives 18
4.1 Ensembles alg´ebriques projectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.2 Vari´et´es affines et projectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5 Courbes projectives planes 21
5.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.2 Le th´eor`eme de B´ezout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.3 Le th´eor`eme de Harnack . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2

1 Ensembles alg´ebriques affines
1.1 Espaces affines et ensembles alg´ebriques
Dans la totalit´e de ce rapport, nous consid´erons un corps kalg´ebriquement
clos.
Terminologie 1.1
1. On appelle espace affine de dimension n, et on note An(k), ou encore An,
l’ensemble kn, produit cart´esien it´er´e nfois du corps k.
2. Les ´el´ements de l’espace affine sont appel´es points.
3. A1et A2sont appel´es respectivement droite et plan affine.
4. Un point P de Anest dit z´ero de F ∈k[X1, ..., Xn]si F(P)=0. On appelle
hypersurface d´efinie par F, et on note V(F), l’ensemble des z´eros de F
(pour F non constant).
5. Une courbe plane alg´ebrique est une hypersurface du plan affine
6. Un hyperplan est une hypersurface d´efinie par Fde degr´e 1. Une droite
est un hyperplan de A2.
D´efinition 1.2 (ensemble alg´ebrique)
Soit S= (Fi)i∈Iune famille d’´el´ements de k[X1, ..., Xn].
On note V(S) = Ti∈IV(Fi)On appelle ensemble alg´ebrique affine tout ensemble
de la forme V(S)pour une certaine famille S.
Remarque 1.3
Sans restreindre la g´en´eralit´e, on peut supposer que S est un id´eal de k[X1, ..., Xn].
Mieux, on peut prendre S une famille finie de polynˆomes, puisque k[X1, ..., Xn]
est noeth´erien.
Proposition 1.4 (Propri´et´es ´el´ementaires des ensembles alg´ebriques)
1. Si I⊂Jalors V(J)⊂ V(I)
2. Si (Iα)αest une famille d’id´eaux, alors V(SαIα) = TαV(Iα)
3. V(F G) = V(F)∪ V(G)pour F,G polynˆomes.
4. V(0) = Anet V(1) = 
Remarque 1.5
Ainsi, les ensembles alg´ebriques d´efinissent une topologie, dite de Zariski, dont
ils sont les ferm´es.
3

(a) V(Y2−X(X2−1)) (b) V(Y2−X2(X+ 1))
(c) V(Y2−XY −Y X2+X3) (d) V(4(X2+Y2)2−4X(X2−
3Y2)−27(X2+Y2) + 27)
(e) V((X2+Y2)3−4X2Y2) (f) V((X2+Y2)2+ 3X2Y−
Y3)
Fig. 1 – Exemples d’ensembles alg´ebriques
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1.2 Id´eal d’un ensemble de points
D´efinition 1.6 (Id´eal annulateur)
Soit Xune partie de An. On appelle id´eal annulateur de X et on note
I(X) = {F∈k[X1, ..., Xn]; F(P) = 0 ∀P∈X}
Proposition 1.7 (Propri´et´es ´el´ementaires de Vet I)
Soit X,Y⊂Anet Sune famille de polynˆomes
1. Si X⊂Yalors I(Y)⊂ I(X)
2. I() = k[X1, ..., Xn]
3. I(An) = 1
4. S⊂ I(V(S)) et X⊂ V(I(X))
5. V(I(V(S))) = V(S)et I(V(I(X))) = I(X)
6. I(X)est un id´eal radical : I(X) = Rad(I(X)).
1.3 Composantes irr´eductibles d’un ensemble alg´ebrique
D´efinition 1.8 (R´eductibilit´e)
Un ensemble alg´ebrique V est dit r´eductible s’il existe V1et V2deux ensembles
alg´ebriques distincts de V tels que V1∪V2=V. Sinon, V est dit irr´eductible
Proposition 1.9
V est irr´eductible ⇐⇒ I(V)est premier.
Th´eor`eme 1.10
Soit V un ensemble alg´ebrique. Il existe une famille finie V1, ..., Vmd’ensembles
alg´ebriques irr´eductibles tels que Vi6⊂ Vjpour i6=jet V=Sm
i=1 Vi, unique `a
permutation pr`es. Les Visont appel´es composantes irr´eductibles de V.
La preuve repose essentiellement sur l’existence d’un id´eal maximal dans toute
famille d’id´eaux (fait obtenu par k[X1, ..., Xn] noeth´erien).
1.4 Ensembles alg´ebriques du plan
Proposition 1.11
Soient F et G deux polynˆomes de k[X, Y ]sans facteurs communs.
Alors V(F)∩ V(G)est un ensemble fini de points.
La preuve passe par B´ezout dans k(X)[Y] principal.
Corollaire 1.12
Soit F un polynˆome irr´eductible dans k[X, Y ]. Alors I(V(F)) = (F)et V(F)
est irr´eductible.
Corollaire 1.13
Les ensembles alg´ebriques irr´eductibles du plan affine sont A2(k),, les points,
et les courbes planes irr´eductibles V(F), o`u F est irr´eductible.
1ceci est vrai d`es que kest infini, et donc vrai pour kalg´ebriquement clos
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