La trigonométrie Durée suggérée: 13 heures

La trigonométrie
Durée suggérée: 13 heures

PROGRAMME D’ÉTUDES - MATHÉMATIQUES ACADÉMIQUES 1231 (VERSION 2012)52
LA TRIGONOMÉTRIE
Aperçu du module
Orientation et
contexte
Pourquoi est-ce
important?
Dans le cadre du présent module, les élèves poursuivront l’étude des
triangles rectangles. Ils apprendront comment calculer la longueur des
côtés ou la mesure des angles aigus lorsqu’ils ne peuvent faire appel au
théorème de Pythagore ou aux propriétés des triangles semblables. Les
élèves seront donc appelés à comprendre et utiliser les rapports trigono-
métriques sinus, cosinus et tangente.
La tangente sera explorée en premier car elle se rapporte aux situations
où il est question d’angles d’inclinaison. Les élèves comprendront mieux
ce rapport trigonométrique et pourront en saisir la valeur pratique
en calculant la hauteur d’une variété d’objets. Les élèves exploreront
ensuite le sinus et le cosinus dans le contexte des triangles rectangles.
Lorsqu’ils auront à résoudre des problèmes portant sur un triangle
rectangle, ils détermineront, d’après les renseignements connus, lequel
des rapports trigonométriques doit être utilisé. Les élèves évalueront la
vraisemblance de leurs réponses et cibleront les erreurs commises dans
leur démarche et dans leurs calculs.
Les applications pratiques de la trigonométrie sont très variées. La
trigonométrie permet de mesurer de grandes distances sur la terre, dans
l’eau et dans l’espace. Elle est également utilisée dans les domaines de
la navigation, de la musique, de l’architecture, de l’économie, de la
pharmacie et d’une variété de sciences physiques et de sciences de la vie.
Pour justifier la nécessité des trois rapports trigonométriques de base, les
élèves seront exposés à des situations où il n’est pas possible de recourir
au théorème de Pythagore ou aux propriétés des triangles semblables
pour déterminer la longueur des côtés et la mesure des angles d’un
triangle rectangle. Pour démontrer l’utilité de ces rapports, il faudrait
présenter aux élèves une variété de situations faisant intervenir des
normes de construction nationales ou provinciales, p. ex. une situation
où il faut déterminer si la rampe d’accès d’un immeuble local est
conforme au Code national du bâtiment ou si l’inclinaison d’un toit
est acceptable pour la pose de bardeaux bitumés. La trigonométrie sera
abordée plus en profondeur ultérieurement dans les autres cours de
mathématiques de 11e et 12e année, lorsqu’il sera question du calcul de
l’aire d’un triangle, de la loi des sinus et de la loi des cosinus.

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LA TRIGONOMÉTRIE
Processus
mathématiques
Continuum des résultats d’apprentissage spécifiques 9e à 11e année
9e année 10e année 11e année
Mesure
non traité M4 Développer et appliquer les
rapports trigonométriques de
base (sinus, cosinus, tangente)
pour résoudre des problèmes
comportant des triangles
rectangles.
[C, L, R, RP, T, V]
2231 (Géométrie)
G3 SRésoudre des problèmes
comportant la loi du cosinus et
la loi des sinus, y compris le cas
ambigu.
[L, R, RP]
2230 (Trigonométrie)
T2 Résoudre des problèmes
comportant les rapports
trigonométriques de base (sinus,
cosinus et tangente) pour des
angles de 0° à 360° en position
standard.
[C, CE, R, RP, T, V]
T3 SRésoudre des problèmes à
l’aide de la loi du cosinus et la
loi des sinus, y compris le cas
ambigu.
[C, L, R, RP, T]
[C] Communication [CE] Calcul mental et estimation
[L] Liens [R] Raisonnement
[RP] Résolution de problèmes [T] Technologie
[V] Visualisation

54 PROGRAMME D’ÉTUDES - MATHÉMATIQUES ACADÉMIQUES 1231 (VERSION 2012)
Résultats d’apprentissage
spécifiques
L’élève doit pouvoir:
LA TRIGONOMÉTRIE
Stratégies d’enseignement et d’apprentissage
Mesure
M4 Développer et appliquer les
rapports trigonométriques de
base (sinus, cosinus, tangente)
pour résoudre des problèmes
comportant des triangles
rectangles.
[C, L, R, RP, T, V]
M4.1 Identifier l’hypoténuse
d’un triangle rectangle et les côtés
opposé et adjacent pour un angle
aigu donné du triangle.
Indicateurs de rendement
La trigonométrie a trait à la mesure des triangles. Il s’agit de la branche des
mathématiques qui s’intéresse au rapport entre les côtés et les angles d’un
triangle. La compréhension du théorème de Pythagore et des propriétés des
triangles semblables est essentielle à l’étude de la trigonométrie appliquée
aux triangles rectangles. En 8e année, les élèves ont appris à trouver la
longueur d’un côté manquant d’un triangle rectangle à l’aide du théorème
de Pythagore (8FE1). En 9e année, les élèves se sont familiarisés avec le
concept de similitude et ont utilisé les propriétés des triangles semblables
pour calculer la longueur de côtés inconnus en présence d’une paire de
triangles semblables (9FE3). Dans le présent module, les élèves apprendront
comment procéder pour trouver la mesure d’angles ou de côtés inconnus
dans un triangle rectangle lorsqu’ils ne peuvent faire appel au théorème
de Pythagore ou aux propriétés des triangles semblables. Ils apprendront
à mettre en application les trois rapports trigonométriques de base. La
trigonométrie est un des volets les plus pratiques des mathématiques; vous
devriez donc offrir aux élèves de nombreuses occasions d’explorer ce thème
et de résoudre une variété de problèmes.
Les élèves connaissent déjà le terme hypoténuse. Les adjectifs « opposé » et
« adjacent » sont toutefois nouveaux pour eux. Vous pourriez utiliser des
exemples du monde réel, p.ex. des chambres dans un hôtel, pour amener
les élèves à se familiariser avec ces termes. En effet, lorsqu’un groupe
séjourne à l’hôtel, il demande souvent à avoir des chambres adjacentes
ou des chambres situées l’une en face de l’autre dans le couloir. Les élèves
doivent être en mesure de reconnaître l’hypoténuse et les côtés adjacents et
opposés dans des triangles rectangles de tailles et orientations variées et dont
les angles et les côtés sont nommés différemment d’une figure à l’autre.
Il vous faudra parler des conventions pour désigner les côtés et les angles
d’un triangle. Les lettres grecques, p. ex. θ (thêta), sont souvent utilisées
pour identifier les angles aigus et les lettres minuscules correspondant aux
sommets, pour identifier les côtés.
La tangente sera explorée en premier. Plusieurs exemples de mesures font
intervenir des distances verticales ou horizontales dans la vie courante. Les
élèves se familiariseront d’abord avec la tangente car elle peut être calculée
à l’aide de ces distances. En prenant appui sur la définition de la tangente,
rappelez aux élèves que ce rapport ne dépend pas de l’hypoténuse. Le sinus
et le cosinus seront abordés plus tard.
La notion de tangente sera explorée dans le contexte des triangles rectangles
semblables. Les élèves feront appel aux connaissances acquises en 9e année
pour tracer divers triangles semblables à un triangle rectangle donné puis
cibler les angles et côtés correspondants. Pour ce faire, les élèves peuvent
utiliser un crayon, une règle et un rapporteur d’angles ou recourir à des
outils technologiques comme Geometer’s Sketchpad. Les élèves pourront
ensuite déterminer le rapport entre la longueur du côté opposé et la
longueur du côté adjacent. Ce rapport s’appelle la tangente (tan). Il est
important que les élèves comprennent bien que la tangente ne dépend que
de la mesure de l’angle aigu et non de la taille du triangle.
M4.2 Expliquer la relation entre
des triangles rectangles semblables
et les définitions des rapports
trigonométriques de base.

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PROGRAMME D’ÉTUDES - MATHÉMATIQUES ACADÉMIQUES 1231 (VERSION 2012)
Stratégies d’évaluation Ressources et notes
LA TRIGONOMÉTRIE
Résultat d’apprentissage général :
Développer le sens spatial et le raisonnement proportionnel.
Mathématiques 10: fondements et
pré-calcul
Papier et crayon
• Demander aux élèves de répondre aux questions ci-dessous :
(i) Dans le ∆ABC, C
∠
= 90o, l’hypoténuse mesure 13 cm et le
côté opposé à l’angle A mesure 12 cm.
(a) Quelle est la longueur du côté adjacent à l’angle A?
(b) Quelle est la longueur du côté opposé à l’angle B?
(M4.1)
(ii) Trace (à l’échelle) un triangle rectangle où tanθ = 0,25.
(M4.2)
Entrevue
• Discuter avec les élèves de la mesure d’un angle lorsque
tanθ = 1. Que peut-on dire au sujet des angles d’un triangle
rectangle lorsque la tangente est supérieure ou inférieure à 1?
(M4.2)
Journal
• Dans un triangle rectangle, la tangente d’un des angles aigus est
égale à 1. Demander aux élèves d’expliquer de quelle manière les
mesures des deux côtés opposés aux angles aigus sont liées.
(M4.2)
2.1 La tangente
Ressource de l’enseignant (RE):
p. 8-11
Feuilles reproductibles (FR)
2.1a, 2.2
Manuel de l’élève (MÉ): p. 70-77
Lien Internet
Les élèves peuvent consulter le site
Web suivant pour voir comment
la tangente évolue lorsque les
mesures d’angles changent :
http://www.intmath.com/
trigonometric-functions/5-signs-of-
trigonometric-functions.php
[en anglais seulement]
Ressource autorisée