CORRIGE TD n°2

CORRIGE TD n°2
EXERCICE 1 : construction de l’image AB en utilisant les éléments cardinaux
EXERCICE 2 : la lunette astronomique
Une lunette astronomique est constituée d'un objectif L1 de focale f1=20 cm et d'un oculaire L2
de focale f2=1 cm, tous deux assimilés à des lentilles minces convergentes.
1. Comment doit-on placer L1 et L2 pour observer des objets célestes à l'infini sans
accommoder (système afocal) ? Calculer alors la distance d=L1L2 entre les deux lentilles.
2. Calculer le grossissement G de cette lunette :
L'image est-elle à l'envers ou à l'endroit par rapport à l'objet ?
3. On désire utiliser cette lunette pour observer des objets terrestres rapprochés. Quelle doit
être la nouvelle distance d pour observer l'image d'un objet situé à une distance D de L1
sans accommoder (mise au point de la lunette) ? Faire un schéma. Doit-on rapprocher ou
éloigner l'objectif de l'oculaire ? Application numérique : D = 50 m.
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CORRECTION
1. On veut observer un objet à l’infini. L’image doit être à l’infini pour qu’on puisse
l’observer à l’œil sans accommoder. Après L1, l’image est dans le plan focal image de L1.
Cette image sert d’objet pour la lentille L2. L’image donnée par la lentille L2 doit être à
l’infini. Son objet doit donc être placé dans le plan focal objet. On en déduit que le foyer
image de L1 doit être confondu avec le foyer objet de L2. Pour cela l’écart d entre les
lentilles doit être : d = O1 F1 ' + F2O2 = 20 + 1 = 21 cm .
2. Un objet à l’infini est vu sous l’angle α. On veut déterminer sous quelle angle est vu le
même objet à travers la lunette.
A1 B1
A1 B1
α ' f1'
'
et
α
=
.
On
en
déduit
que
G
=
= . On remarque d’après le
f1'
f 2'
α f 2'
graphique que l’image est inversée : le haut se retrouve en bas et réciproquement.
On a α =
3. On doit éloigner les deux lentilles car l’image intermédiaire se retrouve au-delà du foyer
image de l’objectif
L’image d’un objet situé à la distance D de l’objectif doit se retrouver au foyer objet de
l’oculaire. Pour déterminer la position de cette image on applique la relation de
f '× D
1
1
1
. Et A1 doit
conjugaison à la première lentille L1 :
et donc O1 A1 = 1
+ =
D − f1 '
OA1 D f '
f '× D
+ f2 ' .
être au foyer objet de la lentille L2 d’où d = 1
D − f1 '
AN d = 21,08 cm.
La modification est donc minime.
EXERCICE 3 : Système de deux miroirs
Deux miroirs sphériques M1 et M2 ont même centre O : M1 est concave, et de rayon OS1=R1,
M2 est convexe, et de rayon R2 = kR1 avec k<1. Une ouverture percée dans M1, centrée sur
l’axe principal commun des deux miroirs permet à la lumière de se propager à droite de M1.
On se place dans l’approximation de Gauss.
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1. Trouver la relation de conjugaison et de grandissement en fonction de
x = OA et x ' = OA ' .
2. Montrer que ce système est équivalent à une lentille mince dont on précisera le centre
et la distance focale.
Indication : on écrira deux fois les relations de conjugaison et de grandissement des miroirs
avec origine au centre.
CORRECTION
1. On applique une première fois la formule de conjugaison avec origine au centre et on
1
1
2
note A1 la position de l’image intermédiaire :
.
+
=
OA OA1 OS1
1
1
2
On fait la même chose pour le deuxième miroir :
.
+
=
OA1 OA ' OS 2
1
1
2
2
On déduit que :
−
=
−
OA ' OA OS 2 OS1
Déterminons maintenant la relation de grandissement.
A ' B ' A ' B ' A1 B1
OA OA ' OA '
γ=
=
= γ 1γ 2 = 1
=
AB
A1 B1 AB
OA OA1 OA
1
2
2
2. Pour une lentille mince de distance focale
, placée en O, on retrouve
=
−
f ' OS 2 OS1
la bonne relation de conjugaison ainsi que la bonne relation de grandissement.
EXERCICE 4 : association de lentilles simples
Soit une lentille convergente L1 (f’1= 25 cm) et une lentille divergente L2 (f’2= -33 cm)
placées à un mètre de l’une de l’autre.
1. Déterminer graphiquement la position de l’image à travers l’association d’un objet AB
situé en A tel que O1 A = −45 cm en procédant successivement.
2. Déterminer numériquement la position de l’image en utilisant les relations de
conjugaison de chacune des lentilles.
10
CORRECTION
On applique la relation de conjugaison pour la lentille L1 :
1
1
1
. On en déduit que
−
=
O1 A1 O1 A f1 '
f1 ' O1 A
. On applique la relation de conjugaison pour la lentille L2.
f1 '+ O1 A
1
1
1
et O2 A1 = O2O1 + O1 A1 . En remplaçant les expressions on
−
=
O2 A2 O2 A1 f 2 '
O1 A1 =
(
)
f 2 ' ⎡ O2O1 + O1 A f1 '+ O2O1 × O1 A⎤
⎣
⎦
. On réalise l’application
obtient : O2 A2 =
O2O1 + O1 A f1 '+ O2O1 × O1 A + f 2 ' f1 '+ O1 A
(
)
(
)
numérique : O2 A2 = −18,81 cm . L’image est virtuelle.
EXERCICE 5 : un objectif photographique.
Un objectif photographique est formé de deux lentilles minces de même axe optique :
- L1 est convergente de centre optique O1 et de distance focale image f’1= 10 cm.
- L2 est divergente de centre optique O2 et distance focale image f’2= -2,5 cm.
- La distance entre O1 et O2 est égale à 8 cm.
1.
2.
3.
4.
5.
Déterminer graphiquement la position du foyer image du doublet.
Déterminer graphiquement le position du foyer objet du doublet.
Déterminer numériquement la position des foyers objets et images.
Déterminer la distance focale de l’association.
Déterminer la position du plan principal objet et du plan principal image.
CORRECTION
1.
2.
3. L’objet est à l’infini. L’image de cet objet est au point focal image de la lentille L1
soit F1’. On applique la relation de conjugaison pour connaître l’image de F1’à
travers la lentille L2 :
1
1
1
f 'O F '
−2,5 × 2
−
=
et donc O2 F ' = 2 2 1 =
= 10 cm .
O2 F ' O2 F1 ' f 2 '
f 2 '+ O2 F1 ' −2,5 + 2
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Pour avoir une image à l’infini, l’objet intermédiaire doit être au foyer objet de L2.
Cherchons la position de l’objet de L1 qui donne une image au foyer objet de L2. Pour
cela, appliquons la relation de conjugaison à la lentille L1 :
f 'O F
1
1
1
10 × 10,5
−
=
= −210 cm
et donc O1 F = 1 1 2 =
O1 F2 O1 F f1 '
f1 '− O1 F2 10 − 10,5
4. A l’aide de la formule de Gullstrand, on détermine la distance du doublet :
e
1
1 1
1
1
0, 08
= '+ '− ' '=
−
+
= 2 δ d’où f ' = 50 cm .
f ' f1 f 2 f1 f 2 0,1 0, 025 0, 0025
5. Le plan principal est image est donc 50 cm avant F’ soit 40 cm avant O2 soit 32 cm
avant la première lentille.
Le plan principal objet est 50 cm après F soit 160 cm avant la première lentille ou
encore 168 cm avant la deuxième lentille.
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