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Alg`ebre 1-NOTIONS DE TH´ EORIE DES
CORPS
David Harari
Rappelons qu’un corps Kest par d´efinition un anneau commutatif dans
lequel tout ´el´ement non nul est inversible, i.e. K∗=K\ {0}. La car-
act´eristique de Kest l’entier n∈Ntel que le noyau de l’application Z→K,
x7→ x.1Ksoit nZ. Comme pour tout anneau int`egre, la caract´eristique d’un
corps est z´ero ou un nombre premier p.
Exemples.
•Q,R,Csont des corps de caract´eristique z´ero.
•Pour ppremier, Z/pZet Z/pZ(T) sont des corps de caract´eristique p
(noter que le second est infini).
•Q(i) := {a+ib, (a, b)∈Z×Z}est un corps de caract´eristique z´ero;
c’est le corps des fractions de l’anneau Z[i].
Dans ce court chapitre, on se limitera aux propri´et´es ´el´ementaires des
extensions de corps. Les r´esultats plus avanc´es (notamment la th´eorie de
Galois) seront couverts dans le cours d’alg`ebre 2.
1. Corps et espaces vectoriels
D´efinition 1.1 Soit Kun corps. Une extension de Kest un corps Ltel que
Ksoit un sous-corps de L.
Si Lest un extension de K, il est muni ipso facto d’une structure de
K-espace vectoriel via la multiplication. D’autre part, si ϕ:K→Lest
un morphisme de corps, il est injectif et on peut consid´erer Lcomme une
extension de Ken identifiant K`a ϕ(K)'K.
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D´efinition 1.2 Si Lest de dimension finie sur K, on note [L:K] la dimen-
sion du K-espace vectoriel L; c’est un entier >0 qu’on appelle le degr´e de L
sur K. On dit dans ce cas que Lest finie sur K.1
Proposition 1.3 (”Base t´el´escopique”) Soient Mun corps, Lun sous-
corps de M,Kun sous-corps de L. Alors si (ei)i∈Iest une base de Lsur K
et (fj)j∈Jest une base de Msur L, la famille (eifj)(i,j)∈I×Jest une base de
Msur K.
D´emonstration : Si P(i,j)∈I×Jλij eifj= 0 avec (λij) famille presque nulle
d’´el´ements de K, alors Pj∈Jfj(Pi∈Iλijei) = 0; comme (fj) est une famille
libre du L-ev M, on obtient pour tout jdeJ :Pi∈Iλijei= 0, et comme (ei)
est une famille libre du K-ev L, on a (j´etant fix´e) λij = 0 pour tout ide I.
Finalement la famille (λij ) est nulle et (eifj) est une famille libre du K-ev
M. Si maintenant x∈M, on peut ´ecrire x=Pj∈Jαjfjavec (αj) famille
presque nulle d’´el´ements de L, puis en d´ecomposant chaque αjsur la base
(ei) du K-ev L, on voit que xest combinaison lin´eaire des eifj. Finalement
(eifj) est aussi une famille g´en´eratrice du K-ev M.
Corollaire 1.4 Si Lest fini sur Ket Mest fini sur L, alors Mest fini sur
Ket on a
[M:K] = [M:L].[L:K]
Bien que facile, ce corollaire est extrˆemement utile, comme on le verra
plus loin.
D´efinition 1.5 Soient L/K un extension de corps et α∈L. On note
•K[α] le sous-anneau de Lengendr´e par Ket α; c’est aussi l’ensemble
des P(α) avec P∈K[T].
•K(α) le sous-corps de Lengendr´e par Ket α; c’est le corps des fractions
de K[α], ou encore l’ensemble des R(α) avec R∈K(T).
1Attention `a ne pas confondre avec la notion d’extension de corps de type fini, qui
signifierait qu’il existe des ´el´ements a1, ..., ande Ltels que Lsoit le plus petit corps
contenant Ket les ai. Par exemple K(T) est un corps de type fini sur K. Cette derni`ere
notion est ´egalement diff´erente de celle de K-alg`ebre de type fini : on peut d´emontrer que
si Lest un corps qui est une alg`ebre de type fini sur un sous-corps K, alors Lest finie sur
K.
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D´efinition 1.6 Soient L/K une extension de corps et α∈L. On d´efinit
un morphisme d’anneaux (et aussi de K-espaces vectoriels; c’est donc un
morphisme de K-alg`ebres) ϕ:K[T]→Lpar P7→ P(α).
•Si ϕest injectif, alors K[α]'K[T] et K(α)'K(T). On dit alors que
αest transcendant sur K.
•Si ϕn’est pas injectif, on note πle g´en´erateur unitaire de ker ϕ. On
dit que αest alg´ebrique sur Ket on appelle πle polynˆome minimal de
αsur K
Bien noter que les notions d’´el´ement alg´ebrique et transcendant d´ependent
du corps de base K(tout ´el´ement de Lest ´evidemment alg´ebrique sur L).
Noter aussi que le polynˆome minimal πest toujours irr´eductible sur K(car L
est un anneau int`egre donc si le produit de deux polynˆomes de K[T] annule
α, l’un de ces deux polynˆomes annule α).
Exemples.
•iest alg´ebrique sur Q, de polynˆome minimal X2+ 1.
•L’´el´ement Tde K(T) est transcendant sur K(par d´efinition !).
•On verra que l’ensemble des nombres complexes alg´ebriques sur Qest
d´enombrable. Il y a donc beaucoup plus de nombres r´eels ou complexes
transcendants sur Qque de nombres alg´ebriques, bien qu’exhiber ex-
plicitement un nombre transcendant soit assez difficile !
Proposition 1.7 Soient L/K une extension de corps et α∈K. Il y a
´equivalence entre :
1. αest alg´ebrique sur K.
2. K[α] = K(α).
3. K[α]est un K-espace vectoriel de dimension finie.
Si ces conditions sont satisfaites, alors l’entier [K(α) : K]est le degr´e du
polynˆome minimal de α; on l’appelle le degr´e de αsur K.
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D´emonstration : 1. implique 2. car dans ce cas K[α] est un anneau
isomorphe `a K[T]/(π) avec πirr´eductible, donc comme K[T] est un anneau
principal, K[α] est un corps et il est ´egal `a son corps des fractions K(α).
2. implique 1. car si αest transcendant, alors l’anneau K[α] est isomorphe
`a K[T] qui n’est pas un corps.
1. implique 3. car si πest le polynˆome minimal de α, alors le K-espace
vectoriel K[α] est isomorphe `a K[T]/(π) qui est de dimension deg π(via la
division euclidienne par πdans K[T]).
3. implique 1. car si αest transcendant, le K-espace vectoriel K[α] est
isomorphe `a K[T] qui est de dimension infinie.
D´efinition 1.8 Une extension L/K est dite alg´ebrique si tout ´el´ement de L
est alg´ebrique sur K.
Ainsi toute extension finie est alg´ebrique, mais on verra que la r´eciproque
est fausse.
Le th´eor`eme principal sur les ´el´ements alg´ebriques est le suivant :
Theor`eme 1.9 Soit L/K une extension de corps. On note Ml’ensemble
des ´el´ements de Lqui sont alg´ebriques sur K. Alors :
1. Mest un sous-corps de L.
2. Tout ´el´ement de Lqui est alg´ebrique sur Mest dans M; on dit que M
est la clˆoture alg´ebrique de Kdans L.
3. En particulier, si Lest alg´ebriquement clos, Mest alg´ebriquement clos;
on dit dans ce cas que Mest une clˆoture alg´ebrique de K.
Remarque : Plus g´en´eralement on dit qu’une extension Kde Kest une
clˆoture alg´ebrique de Ksi Kest alg´ebriquement clos, et K/K est alg´ebrique.
D’apr`es le th´eor`eme pr´ec´edent, une telle clˆoture existe d`es qu’il existe une
extension Lde Kqui est alg´ebriquement close; ceci est toujours vrai, mais
la preuve n´ecessite le lemme de Zorn. D’autre part, la clˆoture alg´ebrique est
unique `a isomorphisme pr`es (non trivial).
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Preuve du th´eor`eme : 1. Clairement M⊃K, donc 0 et 1 sont
alg´ebriques sur K. Si x∈Lest alg´ebrique sur K, alors il existe un polynˆome
unitaire Xn+...+a0dans K[X] qui annule x. Alors (−1)nXn+...+a0annule
−xet 1 + ... +a0Xnannule x−1, donc −xet x−1sont alg´ebriques sur K. Il
s’agit maintenant de montrer que si x, y sont dans M, alors x+yet xy sont
encore dans M. Or K[x] = K(x) est un corps, et y, qui est alg´ebrique sur K
l’est a fortiori sur K[x], c’est-`a-dire que K[x, y] = K[x][y] est de dimension
finie sur K[x], donc aussi sur Kvia la base t´elescopique. Comme K[x, y]
contient K[x+y] et K[xy], il en r´esulte que ces deux derniers K-espaces
vectoriels sont de dimension finie, ce qui signifie que x+yet xy sont dans
M.
2. Soit x∈L, alg´ebrique sur M. Alors il existe un polynˆome unitaire
P=Xn+an−1Xn−1+... +a0de M[X] qui annule x. Comme chaque aiest
alg´ebrique sur K, on a par r´ecurrence que K[a0, ..., an−1] = K(a0, ..., an−1)
est un corps K0qui est de dimension finie sur K. Comme P∈K0[X] est non
nul et annule x, il en r´esulte que xest alg´ebrique sur K0, i.e. K0[x] est de
dimension finie sur K0; comme K0/K est finie, K0[x] est aussi de dimension
finie sur K, et K[x] (qui en est un sev) aussi, i.e. xest alg´ebrique sur K.
Finalement x∈M.
3. Si P∈M[X] est non constant, il admet une racine xdans le corps
alg´ebriquement clos L, mais xest alors alg´ebrique sur M, donc x∈Md’apr`es
2.
Exemple. L’ensemble Qdes nombres complexes alg´ebriques sur Qest
un corps alg´ebriquement clos, c’est une clˆoture alg´ebrique de Q. Noter que Q
est d´enombrable car Q[X] l’est (c’est la r´eunion pour n∈Ndes polynˆomes
de Q[X] de degr´e au plus n), et chaque polynˆome non nul de Q[X] n’a qu’un
nombre fini de racines dans Q. L’ensemble R∩Qdes r´eels alg´ebriques est
donc ´egalement d´enombrable (”presque tous les r´eels sont transcendants sur
Q”).
2. Corps de rupture, corps de d´ecomposition
´
Etant donn´es Kun corps et Pun polynˆome de K[X], on cherche une exten-
sion Lde Kdans laquelle Pa une racine. Cela am`ene la d´efinition suivante :
D´efinition 2.1 Soit Pun polynˆome irr´eductible de K[X]. On dit qu’une
extension Lde Kest un corps de rupture pour Psur Ks’il existe une racine
αde Pdans Ltelle que L=K[α] (= K(α) puisque αest alg´ebrique sur K).
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