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Patrick VAUDON : Principe de moindre action.
Université de Limoges – laboratoire Xlim 1
I
Le principe de FERMAT
I- Introduction
La mécanique classique postule l’existence d’une classe particulière de référentiels
appelés référentiels galiléens.
Un référentiel est réputé galiléen lorsqu’une masse qui n’est soumise à aucune
influence extérieure se déplace suivant une trajectoire rectiligne uniforme ou est immobile.
Ce postulat étant posé, si on observe une trajectoire non rectiligne dans de tels
référentiels, c’est que la masse subit une influence extérieure : on traduit physiquement cette
propriété en expliquant que cette influence se manifeste par l’intermédiaire d’une force qui
s’applique à la masse, et qui donc la dévie de sa trajectoire rectiligne et uniforme.
On doit à Isaac NEWTON d’avoir montré que la variation temporelle de la vitesse de la
masse est d’autant plus grande que la force est grande (à masse égale), et d’autant plus grande
que la masse est petite (à force égale). La formalisation de ces deux propriétés conduit
immédiatement au principe fondamental de la dynamique :
dt
vd
mF
r
r
= (I-1)
De la connaissance de la force, et des conditions initiales, cette relation permet de
déterminer les caractéristiques du mouvement, et en particulier la trajectoire.
Cette manière de voir a accumulé tellement de preuves de sa validité, que la relation (I-
1) est rapidement devenue l’équation fondamentale de la mécanique classique.
Pour autant d’autres approches ont vu le jour en s’appuyant sur des concepts généraux
et se voulant universels : l’évolution d’un système d’un point de vue global peut être analysé
en termes énergétiques.
Le principe décrivant cette évolution énergétique globale est le principe de moindre
action. Il a retenu très tôt l’attention des physiciens, et a traversé les multiples évolutions de la
physique : optique géométrique, mécanique classique, électromagnétisme, relativité restreinte
puis générale, et enfin mécanique ondulatoire.

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II – Le principe de FERMAT
Les prémices du principe de moindre action sont attribués à Pierre de FERMAT dans
ses recherches sur le trajet optique suivi par un rayon lumineux vers 1657 où il énonce un
principe quasi philosophique : « La nature agit toujours par les voies les plus courtes et les
plus simples ».
Ce principe contient l’idée de base sous jacente au principe de moindre action : les
phénomènes physiques d’une manière générale, rassemblés sous l’appellation ‘nature’,
n’évoluent pas au hasard, mais suivent une logique qui minimise certains critères qu’il suffit de
préciser pour être en mesure de prévoir par la suite l’évolution ‘naturelle’ de ces phénomènes.
Si ce principe a traversé les siècles jusqu’à nos jours, c’est qu’il conduit de manière
simple et très générale à retrouver les deux lois fondamentales de l’optique géométrique (seules
connues à l’époque de FERMAT) : la réflexion et la réfraction, et qu’il a montré sa cohérence
avec la mécanique classique, relativiste et ondulatoire.
Exemple 1 :
y
miroir
B vertical
Observation(0,5)
A
Source (0,2)
M
2
5 M
1
10
(0,0) x
miroir horizontal
Figure I-1 : représentation du trajet d’un rayon lumineux d’un point source à un point
d’observation après réflexion sur un miroir horizontal puis vertical.
Soit deux miroirs plan, l’un horizontal et coïncidant avec l’axe des x, et l’autre vertical
situé à l’abscisse x = 10.
Une source lumineuse est située en un point A sur l’axe y à la position (x = 0, y = 2).
Un point d’observation est situé en un point B sur l’axe y à la position (x = 0, y = 5).
Comment peut-on déterminer le trajet du rayon lumineux issu de la source et qui
parvient au point d’observation ?

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La réponse à cette question peut être obtenue par les lois de la réflexion en optique
géométrique, mais le principe de FERMAT permet une résolution particulièrement élégante : le
trajet de la lumière sera le plus court chemin entre la source et l’observation, ce chemin
possédant un point de réflexion sur chaque miroir.
Soit M
1
(x,0) le point de réflexion sur le miroir horizontal.
Soit M
2
(10,y) le point de réflexion sur le miroir vertical.
Le trajet total S parcouru par la lumière est égal à :
S = AM
1
+ M
1
M
2
+ M
2
B (I-2)
( ) ( )
2
2
2
2
y5100y10xx4S −+++−++= (I-3)
Pour que ce trajet soit minimum, il faut nécessairement :
0dy
y
S
dx
x
S
dS =
∂
∂
+
∂
∂
= (I-4)
Cette relation indique que le trajet optique suivi par le rayon lumineux est stationnaire
pour des variations infinitésimales du premier ordre dx et dy.
Dans ce problème particulier, les variations de dx et dy sont indépendantes, et on doit
alors vérifier la double condition :
0
y
S
x
S=
∂
∂
=
∂
∂
(I-5)
La relation(I-5) est nécessaire, mais non suffisante pour avoir la certitude que l’on se
trouve en présence d’un extremum local : il faudrait en toute rigueur étudier la concavité de la
courbe pour des variations suivant x et suivant y. Lorsque les concavités sont opposées, on se
trouve en présence d’un col, et non d’un extremum.
( )
0
y10x 10x
x4 x
x
S2
22 =
+−
−
+
+
=
∂
∂
(I-6)
Des considérations physiques nous amènent à retenir la solution telle que :
xy = 2x – 10 (I-7)
( ) ( )
0
y5100
y5
y10x
y
y
S
2
2
2
=
−+
−
−
+−
=
∂
∂
(I-8)
Des considérations physiques nous amènent à retenir la solution telle que :
xy = 5x – 50 + 20y (I-9)

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La résolution du système (I-7),(I-9) donne les valeurs suivantes :
x = 5,71429 y = 1,5 (I-10)
et les points de réflexion M
1
et M
2
ont donc pour coordonnées :
M
1
(5,71429 ; 0) M
2
(0 ; 1,5) (I-11)
On peut s’assurer que le trajet lumineux obtenu à partir du principe de FERMAT vérifie
bien la loi de SNELL-DESCARTES : l’angle d’incidence (par rapport à la normale à la
surface) est égal à l’angle de réflexion (par rapport à cette même normale).
On devine à travers cet exemple simple que la méthode d’optimisation qui permet le
calcul du trajet le plus court devient lourde rapidement, au fur et à mesure que le nombre de
réflexions augmente. L’intérêt réside dans la formulation extrêmement concise du problème à
résoudre.
Exemple 2 :
Le principe de FERMAT permet également de déterminer le point de réflexion sur une
surface non plane. Dans cet exemple, on considère une sphère de rayon 1 centrée sur l’origine
et dont la surface a pour équation :
x² + y² +z² = 1 (I-12)
Une source lumineuse est située en un point A sur l’axe y à la position (x = 0, y = 2).
Un point d’observation est situé en un point B sur l’axe y à la position (x = 4, y = 0).
y
Source (0,2)
A
M
B x
Observation ( 4,0)
Figure I-2 : Trajet d’un rayon lumineux entre un point source et un point d’observation, avec
réflexion sur un miroir sphérique.
On se propose de déterminer le point M correspondant au point de réflexion sur la
sphère. Le principe de FERMAT nous indique que ce point est tel que le trajet parcouru par la
lumière entre la source et l’observation, avec un point appartenant à la sphère ; est minimum.
Le trajet parcouru par la lumière entre les points A et B est égal à :
S = AM + MB (I-13)

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( ) ( )
2
22
2
yx4y2xS +−+−+= (I-14)
Le trajet de la lumière sera stationnaire si :
0dy
y
S
dx
x
S
dS =
∂
∂
+
∂
∂
= (I-15)
Contrairement au cas précédent, les variables x et y ne sont pas indépendantes. Dans ce
problème particulier, puisque le point M est situé à l’intersection de la sphère avec le plan xOy,
soit sur le cercle de rayon 1 centré sur l’origine, on a :
x² + y² = 1 (I-16)
ce qui implique après différentiation xdx = - ydy
On doit donc imposer :
0dx
y
S
y
x
x
S
dx
y
S
y
x
dx
x
S
dy
y
S
dx
x
S
dS =
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
= (I-17)
Du calcul des dérivées partielles :
( ) ( )
2
22
2
yx4 x4 y2x x
x
S+−
−
−
−+
=
∂
∂
(I-18)
( ) ( )
2
22
2
yx4
y
y2x
y2
y
S+−
+
−+
−
−=
∂
∂ (I-19)
on conclut que les coordonnées du point de réflexion sont solutions de l’équation :
( )
( ) ( )
0
yx4 4 y2x
y2
y
x
x
y
S
y
x
x
S
2
22
2
=
+−
−
−+
−+
=
∂
∂
−
∂
∂ (I-20)
soit encore :
( ) ( )
0y2x4yx4
y
x
2
2
22
2
=−+−+− (I-21)
et puisque le point de réflexion appartient au cercle x² + y² = 1
( )
(
)
0x12x2x1x4
x1 x
2
222
2
2
=−−+−−+−
− (I-22)
La résolution numérique fournit les coordonnées du point de réflexion :