Positions du soleil et de la lune par rapport à...

Positions du soleil et de la lune par rapport à la terre
L'idée de ce document m'est venue lorsqu'un ami a construit un planétaire re-
produisant les mouvements du soleil et de la lune par rapport à la terre. Les princi-
paux termes utilisées pour définir l'heure, caractériser les positions des astres dans
le ciel, construire un calendrier et comprendre le phénomène d'éclipses sont définis :
écliptique, obliquité, précession, nutation, jour stellaire, jour sidéral, jour solaire,
année sidérale, année tropique, équation du temps, mois lunaire, éclipses de lune,
éclipses de soleil, calendriers de type solaire, lunaire ou luni-solaire, libration, ma-
rées … Puisque ce planétaire est animé par une horloge mécanique de précision,
une annexe sur le principe des balanciers compensés en température a été ajouté
(annexe n° 6). J'ai essayé de rendre cet exposé abordable à tout esprit curieux,
même peu féru de mathématique et de physique. Les lecteurs soucieux d'approfon-
dir leurs connaissances trouverons des références de sites internet et des renvois
sous forme d'annexes en fin de document, plus complets et plus précis. Les données
astronomiques utilisée sont le plus souvent celles publiées par l'Institut de
Mécanique Céleste et de Calcul des Éphémérides (I.M.C.C.E.) ; elle sont disponibles
sur internet à l'adresse suivante : http://www.imcce.fr/langues/fr/ephemerides/.
J'ai également utilisé certaines données figurant dans le livre de Jean MEEUS :
« Calculs Astronomiques à l'usage des amateurs » ; ce livre est publié par la Société
Astronomique de France. Les valeurs précises d'un certain nombre de constantes
ont été obtenues à l'adresse suivante :
http://hpiers.obspm.fr/eop-pc/models/constants_fr.html.
Des précisions et des photographies sur le planétaire évoqué plus haut sont
disponibles à l'adresse suivante :http://emmanuel-bouquet.fr/
Toute critique constructive et toute question seront les bienvenues à
l'adresse mél suivante : [email protected]
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Partie I : Quel référentiel choisir pour un planétaire ?...........................................................5
I.1. Choix d'un référentiel héliocentrique ?.........................................................................6
I.2. Choix d'un référentiel géocentrique ?............................................................................7
I.3. Choix d'un référentiel terrestre ?...................................................................................9
Partie II : Comment repérer un astre dans le ciel ?................................................................9
Partie III : jour sidéral et jour solaire....................................................................................10
III.1. Définition du jour solaire...........................................................................................11
III.2. Jour solaire vrai et jour solaire moyen.....................................................................12
III.3. Jour solaire moyen et jour stellaire..........................................................................14
Partie IV : influence de la précession des équinoxes.............................................................16
IV.1 Année sidérale et année tropique...............................................................................16
IV.2. Année civile : calendriers julien et grégorien...........................................................18
IV.3. Jour stellaire et jour sidéral......................................................................................19
Partie V : mouvement de la lune............................................................................................20
V.1 Complexité du mouvement...........................................................................................20
V.2 Description simplifiée du mouvement de la lune dans le référentiel géocentrique ;
mois anomalistique..............................................................................................................21
V.3 Orientation de la trajectoire dans l'espace..................................................................23
V.4 Influence du soleil sur l'inclinaison de la trajectoire..................................................24
V.5 Influence du soleil sur la forme et l'orientation de la trajectoire..............................25
V.6 Les différentes périodes lunaires ou mois lunaires....................................................26
V.6.1 Mois anomalistique..............................................................................................26
V.6.2 Mois sidéral...........................................................................................................26
V.6.3 Mois tropique........................................................................................................28
V.6.4 Mois draconitique.................................................................................................28
V.6.5 Les phases de la lune............................................................................................29
V.6.6 mois synodique......................................................................................................31
V.6.7. Application aux calendriers solaire, lunaire et luni-solaire..............................31
V.6.8. Rotation propre de la lune...................................................................................32
V.6.9. Libration de la lune..............................................................................................34
V.6.9.a) Libration parallactique.................................................................................36
V.6.9.b) Libration en longitude..................................................................................37
V.6.9.c) Libration en longitude...................................................................................39
V.6.9.d) Synthèse sur la libration..............................................................................40
Partie VI : les éclipses.............................................................................................................40
VI.1 Les éclipses de lune.....................................................................................................40
VI.1.1. Définition et première condition d'obtention...................................................40
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VI.1.2. Ombre et pénombre ...........................................................................................40
VI.1.3. Largeurs des zones d'ombre et de pénombre....................................................42
VI.1.4. Estimation de la durée d'une éclipse.................................................................43
VI.1.5. Les deux conditions nécessaires à l'existence d'une éclipse de lune...............45
VI.1.6.Prévision et périodicité des éclipses de lune ; le saros......................................47
VI.1.7.Influence de l'atmosphère terrestre : déviation et diffusion de la lumière......50
VI.1.8. Conditions de visibilité d'une éclipse de lune...................................................53
VI.2 Les éclipses de soleil....................................................................................................53
VI.2.1. Définition et première condition d'obtention....................................................53
VI.2.2. Ombre et pénombre ...........................................................................................54
VI.2.3. Cas où le sommet du cône d'ombre est entre la lune et la terre : éclipse
annulaire de soleil ..........................................................................................................55
VI.2.4. Cas où le sommet du cône d'ombre est à l'intérieur de la terre ou à la surface
de la terre : éclipse totale de soleil ................................................................................57
VI.2.5. Éclipse de soleil hybride.....................................................................................58
VI.2.6. Zones d'observations d'une éclipse de soleil......................................................58
VI.2.7. Les deux conditions nécessaires à l'existence d'une éclipse de soleil..............61
VI.2.8. Durées de visibilités des éclipses de soleil........................................................63
VI.2.8.a) Durée de visibilité pour un observateur fixe................................................64
VI.2.8.b) Durée de visibilité à la surface de la terre....................................................65
VI.2.9. Périodicité des éclipses de soleil ; le saros.........................................................66
Annexe n° 1 : Trajectoires elliptiques.....................................................................................67
Annexe n° 2 : trajectoire de la terre par rapport au soleil et trajectoire du soleil par
rapport à la terre.....................................................................................................................72
Annexe n° 3 : variations saisonnières de la durée du jour solaire ; équation du temps.....73
I : Les deux causes de la variation de durée du jour solaire............................................73
I.1. Les variations saisonnières de la vitesse du soleil.................................................73
I.2. Influence de l'excentricité de la trajectoire du soleil sur la durée du jour solaire.
..........................................................................................................................................74
I.3. Influence de l'obliquité sur la durée du jour solaire...............................................75
II : Équation du temps........................................................................................................76
II.1. Définition de l'équation du temps..........................................................................77
II.2 Influence de l'excentricité sur l'équation du temps...............................................78
II.2.1 Anomalie moyenne, anomalie excentrique, anomalie vraie, équation de
Képler..........................................................................................................................78
II.2.2 Influence de l'excentricité sur l'équation du temps : équation du centre.....80
II.2.3 Exemple de détermination de l'équation du centre........................................80
II.3 Influence de l'obliquité sur l'équation du temps....................................................81
II.3.1 Les coordonnées géocentriques écliptiques du soleil......................................81
II.3.2 Les coordonnées géocentriques équatoriales du soleil...................................82
II.3.3. Calcul de l'équation du temps.........................................................................83
II.4. Influence de la longitude sur l'heure solaire vraie...............................................85
Annexe n° 4 : choix des engrenages du planétaire................................................................86
I. Engrenage ; rapport de transmission.............................................................................86
II. Train d'engrenages ; rapport de transmission.............................................................87
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III. Comment déterminer les nombres de dents des roues d'un train d'engrenage ?.....88
III. 1. Première étape : choix du nombre rationnel approché......................................88
III.1.1. Méthode « manuelle »....................................................................................88
III.1.2. Recours à l'informatique...............................................................................89
III. 2. Seconde étape : choix du train d'engrenage........................................................89
Annexe 5 : les forces de marées..............................................................................................91
I. Origine des forces de marées...........................................................................................91
I.1. Calcul préliminaire du « jour lunaire moyen ».......................................................91
I.2. Cause des marées ? Pas si simple !..........................................................................92
I.3. Cas d'un objet dans un champ uniforme.................................................................93
I.4. Cas d'un objet dans un champ non uniforme..........................................................94
II. Évaluation des forces de marée exercées par un astre sur un autre..........................95
II.1. Évaluation des forces de marées exercées par la lune sur la terre.....................95
II.2. Évaluation des forces de marées exercées par les autres astres.........................96
III. Théorie statique des marées........................................................................................97
III.1. Force de marée créé par la lune sur la terre........................................................97
III.2. Expression du vecteur champ de marée créé par la lune sur terre...................98
III.3. Surface libre des océans en présence de la lune................................................100
III.4. Surface libre des océans en présence de la lune et du soleil.............................103
III.5. Influence des phases de la lune sur l'amplitude des marées............................104
III.6. Influence de la longitude et de la latitude terrestre sur la hauteur d'eau......105
IV. Prévision actuelle des marées....................................................................................107
IV.1. Mérites et insuffisances de la théorie statique..................................................107
IV.2. Méthode actuelle de prévision des marées : méthode des harmoniques..........108
V. Influence du phénomène des marées sur la distance terre – lune............................108
V.1. Moment cinétique du système terre – lune.........................................................108
V.2. Influence des marées sur la distance terre – lune..............................................110
V.3. Évaluation de l'actuelle vitesse d'augmentation de la distance terre – lune....111
V.4. Influence des marées sur l'énergie mécanique du système terre - lune............112
V.5. Influence des marées sur l'énergie du système terre – lune et évolution du
système à long terme....................................................................................................112
V.6. Mouvements des centres de la terre et de la lune dans le référentiel
barycentrique.................................................................................................................113
Annexe 6 : balanciers compensés en température..............................................................116
I. Nécessité d'une compensation en température............................................................116
I.1. Expression approchée de la période d'oscillation d'un balancier........................116
I.2. Loi de dilatation d'un métal...................................................................................116
I.3. Nécessité d'une compensation en température du balancier..............................117
II. Exemples de compensation en température...............................................................117
II.1. Balancier à gril de cinq tiges................................................................................117
II.2. Balancier à gril de neuf tiges...............................................................................118
II.3. Balancier avec tige d'invar...................................................................................118
III. Étude rigoureuse d'un balancier compensé en température...................................119
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Pour comprendre l'importance de cette question, partons d'une situation simple fa-
cile à imaginer : un cycliste roule à vitesse constante en ligne droite et intéressons-nous
au mouvement d'un point à la périphérie d'une roue (point au plus près de la valve par
exemple). Quel est le mouvement de ce point ? Deux (au moins) points de vue sont pos-
sibles.
Première description : celle du cycliste regardant sa roue : le point est animé d'un
mouvement circulaire à vitesse constante autour de l'axe de la roue. Ce mouvement est
alors décrit par rapport à un solide de référence : ici le cadre du vélo. Ce solide de
référence est appelé « référentiel du mouvement ».
Remarque : se pencher pour regarder la roue n'est pas très commode ; on peut aussi se demander ce
qu'enregistrerait une webcam fixée au vélo par une perche de façon à rester dans l'axe de la roue...
Deuxième description : celle faite par un spectateur immobile par rapport à la
terre, regardant le cycliste passer. Le référentiel est cette fois-ci la terre. Le mouvement
est alors beaucoup plus complexe : la trajectoire est une courbe appelée cycloïde. La figure
du schéma n° 1 représente les positions successives tous les 2 dixièmes de seconde d'un
point à la périphérie d'une roue de 0,70m de rayon lorsque le vélo se déplace par rapport
à la terre à la vitesse de 36km/h (10m/s).
Remarque : cette fois-ci, la webcam serait fixée au bord de la route et filmerait la roue passant devant
elle...
Cet exemple montre clairement que, selon que l'on choisit un référentiel ou un autre, la
description du mouvement peut être radicalement différente.
Revenons maintenant à l'astronomie et plus précisément au système solaire.
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schéma n° 1