Introduction `a la géométrie plane 1 Droites et angles 2 Droites

UNIVERSITE de SAVOIE Ann´ee 2013-2014
Karim NOUR
Introduction `a la g´eom´etrie plane
1 Droites et angles
•Soient Aet Bdeux points. On note (AB) l’unique droite qui passe par Aet Bet [AB] le segment de droite
limit´e par les points Aet B. Une droite est enti`erement d´etermin´ee par deux de ses points. On trace une
droite en utilisant une r`egle non n´ecessairement gradu´ee.
La distance de A`a B(ou la longueur de [AB]) est not´ee |AB|et mesur´ee `a l’aide d’une r`egle gradu´ee.
Trois points sont dits align´es s’ils se trouvent sur la mˆeme droite.
•Soient (D) et (D0) deux droites. On a l’une des situations suivantes :
- (D) et (D0) sont confondues. On a une infinit´e de points d’intersection.
- (D) et (D0) sont parall`eles (elles ne se coupent pas). On a aucun point d’intersection et on note (D)k(D0).
- (D) et (D0) se coupent en un seul point. On dit qu’elles sont concourantes ou s´ecantes en leur point
d’intersection.
•Deux droites concourantes forment quatre angles :
- Deux angles aigus compris entre 0◦et 90◦(angle droit)
- Deux angles obtus compris entre 90◦et 180◦(angle plat).
Les angles aigus (resp. obtus) sont ´egaux et dits oppos´es par le sommet.
On mesure les angles `a l’aide d’un rapporteur.
•Soient A, B, C des points. On note
d
ABC l’angle entre les droites (AB) et (BC) en allant de A`a Cet en
passant par B. L’angle est bien d´efini et compris entre 0◦et 180◦.
2 Droites parall`eles et perpendiculaires
•Axiome d’Euclide : Par un point Anon situ´e sur une droite (D), il ne passe qu’une droite (D0) parall`ele `a
la droite (D).
•Deux droites non confondues parall`eles `a une troisi`eme sont parall`eles.
•Si deux droites sont parall`eles et qu’une troisi`eme droite est s´ecante `a l’une, alors cette troisi`eme droite est
s´ecante `a l’autre.
•On consid`ere deux droites non confondues et une s´ecante `a ces deux droites. On d´efinie alors les angles
suivants :
- Angles alternes internes : ils se trouvent `a l’int´erieur de la bande, de part et d’autre de la s´ecante.
- Angles alternes externes : ils se trouvent `a l’ext´erieur de la bande, de part et d’autre de la s´ecante.
- Angles correspondants : ils se trouvent du mˆeme cˆot´e de la s´ecante, l’un l’int´erieur de la bande, l’autre
`a l’ext´erieur.
•Deux angles alternes (internes ou externes) ou correspondants form´es par deux droites parall`eles et une
s´ecante sont ´egaux. Les r´eciproques sont aussi vraies.
•Deux droites (D) et (D0) concourantes sont dites perpendiculaires (on note (D)⊥(D0)) si les angles form´es
par ces droites sont tous droits.
•Par un point A, il ne passe qu’une seule droite (D0) perpendiculaire `a une droite (D).
Le point d’intersection Hdes droites (D) et (D0) est dit la projection orthogonale de Asur (D).
La distance |AH|est dite la distance du point A`a la droite (D).
On utilise une ´equ`erre pour tracer des droites perpendiculaires.
•Si deux droites sont parall`eles et qu’une troisi`eme droite est perpendiculaire `a l’une, alors cette troisi`eme
droite est perpendiculaire `a l’autre.
•Deux droites non confondues perpendiculaires `a une troisi`eme sont parall`eles.
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3 Cercles
•Un cercle est une ligne ferm´ee dont tous les points sont situ´es `a une mˆeme distance R(appel´ee rayon) d’un
point fixe O(appel´e centre). On le note C(O, R) et on le trace `a l’aide d’un compas.
•Soient C(O, R) un cercle et (D) une droite. On a l’une des situations suivantes :
- (D) et C(O, R) ne se coupent pas.
- (D) coupe C(O, R) en deux points.
- (D) coupe C(O, R) en un point A. On dit que (D) est une tangente au cercle en A. On a (D)⊥(AO).
•Soient C(A, r) et C(B, R) deux cercles. On a l’une des situations suivantes :
-C(A, r) et C(B, R) ne se coupent pas.
-C(A, r) et C(B, R) sont confondus. On a A=Bet r=R.
-C(A, r) et C(B, R) se coupent en deux points Met N. On a (AB)⊥(M N).
-C(A, r) et C(B, R) se coupent en un point M. On dit qu’ils sont tangents et A, M, B sont align´es.
•Soit un cercle de centre Oet trois points A, B et Mappartenant `a ce cercle.
- L’angle
d
AOB est un angle au centre qui intercepte l’arc de cercle
_
AB.
- L’angle
d
AMB est un angle inscrit qui intercepte l’arc de cercle
_
AB.
•La mesure d’un angle inscrit dans un cercle est ´egale `a la moiti´e de la mesure de l’angle au centre qui
intercepte le mˆeme arc.
•Si deux angles inscrits interceptent le mˆeme arc, alors ils ont la mˆeme mesure.
4 G´eom´etrie `a la r`egle et au compas
La g´eom´etrie `a la r`egle et au compas a pour but d’effectuer des constructions de figures et de r´esoudre des
probl`emes de la g´eom´etrie plane en utilisant uniquement une r`egle non gradu´ee et un compas. Pour commencer,
il faut clairement d´efinir ce que l’on entend par construire un point, une droite ou un cercle.
•S’il n’est pas donn´e, un point est obtenu :
- soit par l’intersection de deux droites,
- soit par l’intersection d’une droite et d’un cercle (non tangents),
- soit par l’intersection de deux cercles (non tangents).
•Si elle n’est pas donn´ee, une droite est construite par deux points.
•S’il n’est pas donn´e, un cercle est construit `a l’aide d’un point (le centre) et d’une distance (le rayon) d´efinie
par deux points.
•La r`egle s’utilise seulement pour tracer une droite dont on connaˆıt d´ej`a deux points.
•Le compas s’utilise pour tracer un cercle dont on connait le centre et le rayon (donn´e par la distance entre
deux points) et ´egalement pour reporter une distance d´ej`a connue.
5 M´ediatrices et bissectrices
•Le milieu d’un segment [AB] est un point Isitu´e sur la droite (AB) tel que |AI|=|IB|.
Une r`egle gradu´ee permet de placer le point I.
•La m´ediatrice d’un segment [AB] est la droite (D) qui passe par le milieu Ide [AB] et qui est aussi
perpendiculaire `a la droite (AB).
La droite (D) est form´ee des points ´equidistants des points Aet B.
•Comment tracer la m´ediatrice d’un segment [AB] `a l’aide d’une r`egle non gradu´ee et d’un compas ?
On trace deux arcs de cercle de mˆeme rayon (suffisamment grand pour que ces arcs se coupent) centr´es en
Aet B, on obtient deux points Pet Qsitu´es `a la mˆeme distance de Aet B. Il ne reste qu’`a tracer la droite
(P Q).
•La bissectrice d’un angle form´e par deux droites concourantes (D) et (D0) en un point Oest la droite qui
passe par Oet qui coupe l’angle en deux parties ´egales.
La bissectrice est la droite (∆) form´es des points ´equidistants des droites (D) et (D0).
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•Comment tracer la bissectrice d’un angle form´e par deux droites concourantes en O`a l’aide d’une r`egle
non gradu´ee et d’un compas ?
On trace un arc de cercle centr´e en Oqui d´etermine sur les deux cˆot´es de l’angle deux points Aet B. On
trace alors deux arcs de cercle centr´es en Aet Bde mˆeme rayon suffisamment grand pour qu’ils se coupent
en un point C. Il ne reste qu’`a tracer la droite (OC).
6 Polygones
•Un polygone est une surface g´eom´etrique dont les cˆot´es sont des segments de droites. On dit triangle (3
cˆot´es), quadrilat`ere (4 cˆot´es), pentagone (5 cˆot´es), hexagone (6 cˆot´es), etc
•Un polygone est dit convexe s’il est situ´e tout entier du mˆeme cˆot´e du prolongement de chacun de ses cˆot´es.
Sinon il est dit concave.
•Un polygone est dit crois´e si deux de ses cˆot´es se croisent.
•Un polygone est dit r´egulier s’il est inscriptible dans un cercle et a tous ses cˆot´es de mˆeme longueur (et
donc tous ses angles ´egaux).
7 Triangles
•La longueur de n’importe lequel des cˆot´es d’un triangle est inf´erieure `a la somme des deux autres.
•La somme des angles d’un triangle est ´egale `a 180◦.
•Une hauteur est la droite issue d’un sommet perpendiculairement au cˆot´e oppos´e.
Les trois hauteurs sont concourantes en un point appel´e orthocentre.
•Une m´ediane est une droite issue d’un sommet et qui coupe le cˆot´e oppos´e en son milieu.
Les trois m´edianes sont concourantes en un point appel´e centre de gravit´e et situ´e aux deux-tiers de chacune
d’elles en partant du sommet.
•Les m´ediatrices des cˆot´es d’un triangle sont concourantes en le centre du cercle circonscrit au triangle
(cercle passant par les trois sommet du triangle).
•Les bissectrices des angles d’un triangle sont concourantes en le centre du cercle inscrit dans le triangle
(cercle tangent int´erieurement aux trois cˆot´es du triangle).
•Les crit`eres d’isom´etries de deux triangles ABC et A0B0C0:
(1) |AB|=|A0B0|,|BC|=|B0C0|et |AC|=|A0C0|.
(2) |AB|=|A0B0|,|BC|=|B0C0|et
d
ABC =
d
A0B0C0.
(3) |AB|=|A0B0|,
d
BAC =
d
B0A0C0et
d
ABC =
d
A0B0C0.
Dans ce cas, les angles oppos´es aux cˆot´es de mˆeme longueur sont ´egaux et les cˆot´es oppos´es aux angles
´egaux ont mˆeme longueur.
•Un triangle isoc`ele a deux cˆot´es de mˆeme longueur. Les angles `a la base sont ´egaux.
La hauteur issue du sommet principal est ´egalement m´ediane, m´ediatrice et bissectrice.
•Un triangle ´equilat´eral a les trois cˆot´es de mˆeme longueur. Les trois angles sont ´egaux `a 60◦.
Toute hauteur est ´egalement m´ediane, m´ediatrice et bissectrice.
•Un triangle rectangle a un angle droit. Le cˆot´e oppos´e `a l’angle droit est dit hypoth´enuse.
Il est inscriptible dans un demi-cercle dont le diam`etre est l’hypot´enuse. La r´eciproque est aussi vraie.
La m´ediane issue du sommet de l’angle droit vaut la moiti´e de la longueur de l’hypot´enuse.
•Un triangle rectangle isoc`ele a un angle droit et deux cˆot´es de mˆeme longueur.
8 Quadrilat`eres
•Un parall´elogramme est un quadrilat`ere convexe qui a l’une des propri´et´es ´equivalentes suivantes :
(i) Les cˆot´es oppos´es sont parall`eles.
(ii) Les cˆot´es oppos´es ont mˆeme longueur.
(iii) Deux cˆot´es oppos´es sont parall`eles et ont mˆeme longueur.
(iv) Les diagonales se coupent en leurs milieux.
(v) Les angles oppos´es sont de mˆeme mesure.
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•Un rectangle est un parall´elogramme qui a l’une des propri´et´es ´equivalentes suivantes :
(i) Un angle droit (tous les autres sont droits).
(ii) Les diagonales de mˆeme longueur.
•Un losange est un parall´elogramme qui a l’une des propri´et´es ´equivalentes suivantes :
(i) Deux cˆot´es cons´ecutifs de mˆeme longueur.
(ii) Les diagonales sont perpendiculaires.
•Un carr´e est un parall´elogramme qui est `a la fois un rectangle et un losange.
•Un trap`eze est un quadrilat`ere convexe qui a deux cˆot´es oppos´es parall`eles (appell´es bases).
Un trap`eze rectangle est un trap`eze qui a un angle droit.
Un trap`eze isoc`ele est un trap`eze qui a des cˆot´es non parall`eles de mˆeme longueur. Les diagonales d’un
trap`eze isoc`ele sont de mˆeme longueur.
9 Th´eor`emes de Pythagore et de Thal`es
•Th´eor`eme de Pythagore : Lorsqu’un triangle est rectangle, le carr´e de l’hypot´enuse est ´egal `a la somme
des carr´es des cˆot´es de l’angle droit. La r´eciproque de ce th´eor`eme est vraie.
•Th´eor`emes de Thal`es : Soient (D) et (D0) deux droites concourantes en un point A,
B, C deux points de (D) et B0, C0deux points de (D0) tel que (BB0)k(CC0).
Alors |AB|
|AC|=|AB0| |AC0|=|BB0| |CC0|.
La r´eciproque de ce th´eor`eme est vraie. C’est `a dire, si |AB|
|AC|=|AB0| |AC0|et si les points A, B, C et A, B0, C0
sont align´es dans le mˆeme ordre alors (BB0)k(CC0).
10 P´erim´etres et aires
•Le p´erim`etre mesure le longueur du conture d’une figure g´eom´etrique.
•L’aire mesure la surface d’une figure g´eom´etrique.
•Les formules des p´erim`etres et des aires de quelques figures g´eom´etriques sont les suivantes :
Nom Figure P´erim`etre PAire A
Triangle P=a+b+c A =b.h
2
Trap`eze P=a+b1+b2+c A =h.(b1+b2)
2
Parall´elogramme P= 2.(a+b)A=b.h
Rectangle P= 2.(l+L)A=l.L
Losange P= 4.a A =d1.d2
2
Carr´e P= 4.a A =a2
Cercle P= 2.π.r A =πr2=πd2
4
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