Introduction `a la géométrie plane 1 Droites et angles 2 Droites

UNIVERSITE de SAVOIE
Karim NOUR
Année 2013-2014
Introduction à la géométrie plane
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Droites et angles
• Soient A et B deux points. On note (AB) l’unique droite qui passe par A et B et [AB] le segment de droite
limité par les points A et B. Une droite est entièrement déterminée par deux de ses points. On trace une
droite en utilisant une règle non nécessairement graduée.
La distance de A à B (ou la longueur de [AB]) est notée |AB| et mesurée à l’aide d’une règle graduée.
Trois points sont dits alignés s’ils se trouvent sur la même droite.
• Soient (D) et (D0 ) deux droites. On a l’une des situations suivantes :
- (D) et (D0 ) sont confondues. On a une infinité de points d’intersection.
- (D) et (D0 ) sont parallèles (elles ne se coupent pas). On a aucun point d’intersection et on note (D) k (D0 ).
- (D) et (D0 ) se coupent en un seul point. On dit qu’elles sont concourantes ou sécantes en leur point
d’intersection.
• Deux droites concourantes forment quatre angles :
- Deux angles aigus compris entre 0◦ et 90◦ (angle droit)
- Deux angles obtus compris entre 90◦ et 180◦ (angle plat).
Les angles aigus (resp. obtus) sont égaux et dits opposés par le sommet.
On mesure les angles à l’aide d’un rapporteur.
d l’angle entre les droites (AB) et (BC) en allant de A à C et en
• Soient A, B, C des points. On note ABC
passant par B. L’angle est bien défini et compris entre 0◦ et 180◦ .
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Droites parallèles et perpendiculaires
• Axiome d’Euclide : Par un point A non situé sur une droite (D), il ne passe qu’une droite (D0 ) parallèle à
la droite (D).
• Deux droites non confondues parallèles à une troisième sont parallèles.
• Si deux droites sont parallèles et qu’une troisième droite est sécante à l’une, alors cette troisième droite est
sécante à l’autre.
• On considère deux droites non confondues et une sécante à ces deux droites. On définie alors les angles
suivants :
- Angles alternes internes : ils se trouvent à l’intérieur de la bande, de part et d’autre de la sécante.
- Angles alternes externes : ils se trouvent à l’extérieur de la bande, de part et d’autre de la sécante.
- Angles correspondants : ils se trouvent du même côté de la sécante, l’un l’intérieur de la bande, l’autre
à l’extérieur.
• Deux angles alternes (internes ou externes) ou correspondants formés par deux droites parallèles et une
sécante sont égaux. Les réciproques sont aussi vraies.
• Deux droites (D) et (D0 ) concourantes sont dites perpendiculaires (on note (D) ⊥ (D0 )) si les angles formés
par ces droites sont tous droits.
• Par un point A, il ne passe qu’une seule droite (D0 ) perpendiculaire à une droite (D).
Le point d’intersection H des droites (D) et (D0 ) est dit la projection orthogonale de A sur (D).
La distance |AH| est dite la distance du point A à la droite (D).
On utilise une équèrre pour tracer des droites perpendiculaires.
• Si deux droites sont parallèles et qu’une troisième droite est perpendiculaire à l’une, alors cette troisième
droite est perpendiculaire à l’autre.
• Deux droites non confondues perpendiculaires à une troisième sont parallèles.
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Cercles
• Un cercle est une ligne fermée dont tous les points sont situés à une même distance R (appelée rayon) d’un
point fixe O (appelé centre). On le note C(O, R) et on le trace à l’aide d’un compas.
• Soient C(O, R) un cercle et (D) une droite. On a l’une des situations suivantes :
- (D) et C(O, R) ne se coupent pas.
- (D) coupe C(O, R) en deux points.
- (D) coupe C(O, R) en un point A. On dit que (D) est une tangente au cercle en A. On a (D) ⊥ (AO).
• Soient C(A, r) et C(B, R) deux cercles. On a l’une des situations suivantes :
- C(A, r) et C(B, R) ne se coupent pas.
- C(A, r) et C(B, R) sont confondus. On a A = B et r = R.
- C(A, r) et C(B, R) se coupent en deux points M et N . On a (AB) ⊥ (M N ).
- C(A, r) et C(B, R) se coupent en un point M . On dit qu’ils sont tangents et A, M, B sont alignés.
• Soit un cercle de centre O et trois points A, B et M appartenant à ce cercle.
_
d est un angle au centre qui intercepte l’arc de cercle AB.
- L’angle AOB
_
dB est un angle inscrit qui intercepte l’arc de cercle AB.
- L’angle AM
• La mesure d’un angle inscrit dans un cercle est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre qui
intercepte le même arc.
• Si deux angles inscrits interceptent le même arc, alors ils ont la même mesure.
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Géométrie à la règle et au compas
La géométrie à la règle et au compas a pour but d’effectuer des constructions de figures et de résoudre des
problèmes de la géométrie plane en utilisant uniquement une règle non graduée et un compas. Pour commencer,
il faut clairement définir ce que l’on entend par construire un point, une droite ou un cercle.
• S’il n’est pas donné, un point est obtenu :
- soit par l’intersection de deux droites,
- soit par l’intersection d’une droite et d’un cercle (non tangents),
- soit par l’intersection de deux cercles (non tangents).
• Si elle n’est pas donnée, une droite est construite par deux points.
• S’il n’est pas donné, un cercle est construit à l’aide d’un point (le centre) et d’une distance (le rayon) définie
par deux points.
• La règle s’utilise seulement pour tracer une droite dont on connaı̂t déjà deux points.
• Le compas s’utilise pour tracer un cercle dont on connait le centre et le rayon (donné par la distance entre
deux points) et également pour reporter une distance déjà connue.
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Médiatrices et bissectrices
• Le milieu d’un segment [AB] est un point I situé sur la droite (AB) tel que |AI| = |IB|.
Une règle graduée permet de placer le point I.
• La médiatrice d’un segment [AB] est la droite (D) qui passe par le milieu I de [AB] et qui est aussi
perpendiculaire à la droite (AB).
La droite (D) est formée des points équidistants des points A et B.
• Comment tracer la médiatrice d’un segment [AB] à l’aide d’une règle non graduée et d’un compas ?
On trace deux arcs de cercle de même rayon (suffisamment grand pour que ces arcs se coupent) centrés en
A et B, on obtient deux points P et Q situés à la même distance de A et B. Il ne reste qu’à tracer la droite
(P Q).
• La bissectrice d’un angle formé par deux droites concourantes (D) et (D0 ) en un point O est la droite qui
passe par O et qui coupe l’angle en deux parties égales.
La bissectrice est la droite (∆) formés des points équidistants des droites (D) et (D0 ).
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• Comment tracer la bissectrice d’un angle formé par deux droites concourantes en O à l’aide d’une règle
non graduée et d’un compas ?
On trace un arc de cercle centré en O qui détermine sur les deux côtés de l’angle deux points A et B. On
trace alors deux arcs de cercle centrés en A et B de même rayon suffisamment grand pour qu’ils se coupent
en un point C. Il ne reste qu’à tracer la droite (OC).
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Polygones
• Un polygone est une surface géométrique dont les côtés sont des segments de droites. On dit triangle (3
côtés), quadrilatère (4 côtés), pentagone (5 côtés), hexagone (6 côtés), etc
• Un polygone est dit convexe s’il est situé tout entier du même côté du prolongement de chacun de ses côtés.
Sinon il est dit concave.
• Un polygone est dit croisé si deux de ses côtés se croisent.
• Un polygone est dit régulier s’il est inscriptible dans un cercle et a tous ses côtés de même longueur (et
donc tous ses angles égaux).
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Triangles
• La longueur de n’importe lequel des côtés d’un triangle est inférieure à la somme des deux autres.
• La somme des angles d’un triangle est égale à 180◦ .
• Une hauteur est la droite issue d’un sommet perpendiculairement au côté opposé.
Les trois hauteurs sont concourantes en un point appelé orthocentre.
• Une médiane est une droite issue d’un sommet et qui coupe le côté opposé en son milieu.
Les trois médianes sont concourantes en un point appelé centre de gravité et situé aux deux-tiers de chacune
d’elles en partant du sommet.
• Les médiatrices des côtés d’un triangle sont concourantes en le centre du cercle circonscrit au triangle
(cercle passant par les trois sommet du triangle).
• Les bissectrices des angles d’un triangle sont concourantes en le centre du cercle inscrit dans le triangle
(cercle tangent intérieurement aux trois côtés du triangle).
• Les critères d’isométries de deux triangles ABC et A0 B 0 C 0 :
(1) |AB| = |A0 B 0 |, |BC| = |B 0 C 0 | et |AC| = |A0 C 0 |.
d = A0d
(2) |AB| = |A0 B 0 |, |BC| = |B 0 C 0 | et ABC
B0C 0.
d = B 0d
d = A0d
(3) |AB| = |A0 B 0 |, BAC
A0 C 0 et ABC
B0C 0.
Dans ce cas, les angles opposés aux côtés de même longueur sont égaux et les côtés opposés aux angles
égaux ont même longueur.
• Un triangle isocèle a deux côtés de même longueur. Les angles à la base sont égaux.
La hauteur issue du sommet principal est également médiane, médiatrice et bissectrice.
• Un triangle équilatéral a les trois côtés de même longueur. Les trois angles sont égaux à 60◦ .
Toute hauteur est également médiane, médiatrice et bissectrice.
• Un triangle rectangle a un angle droit. Le côté opposé à l’angle droit est dit hypothénuse.
Il est inscriptible dans un demi-cercle dont le diamètre est l’hypoténuse. La réciproque est aussi vraie.
La médiane issue du sommet de l’angle droit vaut la moitié de la longueur de l’hypoténuse.
• Un triangle rectangle isocèle a un angle droit et deux côtés de même longueur.
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Quadrilatères
• Un parallélogramme est un quadrilatère convexe qui a l’une des propriétés équivalentes suivantes :
(i) Les côtés opposés sont parallèles.
(ii) Les côtés opposés ont même longueur.
(iii) Deux côtés opposés sont parallèles et ont même longueur.
(iv) Les diagonales se coupent en leurs milieux.
(v) Les angles opposés sont de même mesure.
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• Un rectangle est un parallélogramme qui a l’une des propriétés équivalentes suivantes :
(i) Un angle droit (tous les autres sont droits).
(ii) Les diagonales de même longueur.
• Un losange est un parallélogramme qui a l’une des propriétés équivalentes suivantes :
(i) Deux côtés consécutifs de même longueur.
(ii) Les diagonales sont perpendiculaires.
• Un carré est un parallélogramme qui est à la fois un rectangle et un losange.
• Un trapèze est un quadrilatère convexe qui a deux côtés opposés parallèles (appellés bases).
Un trapèze rectangle est un trapèze qui a un angle droit.
Un trapèze isocèle est un trapèze qui a des côtés non parallèles de même longueur. Les diagonales d’un
trapèze isocèle sont de même longueur.
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Théorèmes de Pythagore et de Thalès
• Théorème de Pythagore : Lorsqu’un triangle est rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme
des carrés des côtés de l’angle droit. La réciproque de ce théorème est vraie.
• Théorèmes de Thalès : Soient (D) et (D0 ) deux droites concourantes en un point A,
B, C deux points de (D) et B 0 , C 0 deux points de (D0 ) tel que (BB 0 ) k (CC 0 ).
|AB|
|AB 0 |
|BB 0 |
Alors
=
=
.
|AC|
|AC 0 |
|CC 0 |
|AB 0 |
|AB|
=
et si les points A, B, C et A, B 0 , C 0
La réciproque de ce théorème est vraie. C’est à dire, si
|AC|
|AC 0 |
sont alignés dans le même ordre alors (BB 0 ) k (CC 0 ).
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Périmétres et aires
• Le périmètre mesure le longueur du conture d’une figure géométrique.
• L’aire mesure la surface d’une figure géométrique.
• Les formules des périmètres et des aires de quelques figures géométriques sont les suivantes :
Nom
Figure
Périmètre P
Aire A
b.h
A=
2
Triangle
P =a+b+c
Trapèze
P = a + b1 + b2 + c
A=
Parallélogramme
P = 2.(a + b)
A = b.h
Rectangle
P = 2.(l + L)
A = l.L
Losange
P = 4.a
A=
Carré
P = 4.a
A = a2
Cercle
P = 2.π.r
A = πr2 =
4
h.(b1 + b2 )
2
d1 .d2
2
πd2
4