Électromagnétisme - chap.VII Applications de l’induction

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Électromagnétisme - chap.VII
Applications de l’induction
Électromagnétisme - chap.VII
Applications de l’induction
I Le haut-parleur électrodynamique (induction de Lorentz)
I.1. Présentation du dispositif
Un haut-parleur électrodynamique est constitué :
→
−
⋆ d’un aimant permanent annulaire fixe, d’axe horizontal x′ x qui crée un champ magnétique B radial
et de norme constante B dans la région utile de l’entrefer ;
⋆ d’une bobine mobile indéformable, de même axe x′ x, comportant N spires circulaires de rayon a,
placée dans l’entrefer de l’aimant.
⋆ d’une membrane solidaire de la bobine et pouvant effectuer des déplacements axiaux de faible amplitude. La membrane est ramenée vers sa position d’équilibre par une force élastique modélisée par
un ressort de raideur k, solidaire de l’aimant à une extrémité et solidaire de la membrane à l’autre
extrémité.
De plus, on notera R la résistance équivalente et L l’inductance propre de l’ensemble du circuit mobile.
Tristan Brunier
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Applications de l’induction
I.2. Analyse qualitative
La bobine, alimentée par un générateur délivrant la tension E(t), est parcourue par un courant i(t).
Comme la bobine est plongée dans le champ magnétique créé par l’aimant, elle est soumise aux forces
de Laplace qui la mettent en mouvement.
Si E(t) est variable, le déplacement de l’ensemble {bobine + membrane} est aussi variable. La couche
d’air située à proximité de la membrane est donc mise en mouvement par la membrane ce qui donne ainsi
naissance à une onde sonore.
Le circuit étant mobile dans un champ magnétique permanent, il est le siège d’un phénomène d’induction de Lorentz. Il apparaît donc au niveau de la partie mobile du circuit une force électromagnétique
d’induction e(t) qui va s’opposer à la cause qui lui a donnée naissance, c’est-à-dire à E(t).
Le principe général permet de convertir l’énergie électrique fournie par le générateur en énergie mécanique par les vibrations de l’air. C’est donc un dispositif de couplage électromécanique.
Remarque : On notera que le principe est réversible, de sorte qu’une onde sonore générée à l’extérieur
du dispositif peut mettre en mouvement la membrane et créer par induction une f.e.m. mesurable dans la
bobine. c’est le principe du microphone électrodynamique 1 .
I.3. Équation électrique
Un conducteur mobile se déplaçant dans un champ magnétique permanent est le siège d’un phénomène
→
−
→
−
→
→
d’induction de Lorentz. Le champ électromoteur de Lorentz est de la forme E m = −
v ∧ B où −
v est la
vitesse du conducteur.
Orientons conventionnellement le conducteur dans le sens de +~uθ , (qui est le sens i > 0 sur la figure).
La force électromotrice (comptée positivement dans le sens de i > 0) qui apparaît dans la bobine vaut
alors
Z
Z
Z
→
→
→ −
−
→ −
−
→
−
E m · dℓ =
( v ∧ B ) · dℓ =
vB (~ux ∧ ~ur ) · (dℓ ~uθ )
e=
| {z }
bobine
bobine
bobine
=~
uθ
R
E(t)
L
i
e(t)
Finalement
e = vB 2πNa = vBℓ
La f.e.m. induite se comporte comme une source de tension supplémentaire de sorte que la loi des
mailles fournit, avec l’orientation choisie pour e
Ri + L
di
−e=E
dt
1. Il existe également d’autres types de microphones, comme les microphones à condensateur, couramment utilisés.
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soit
Ri + L
di
− Bℓv = E
dt
(équation électrique)
(1)
I.4. Équation mécanique
L’ensemble mobile {membrane + bobine} de masse m et repéré par son abscisse x(t) lorsqu’il est en
mouvement, est soumis aux forces suivantes :
⋆ son poids et la réaction du support, verticale et opposée au poids ;
⋆ la force de rappel du ressort de raideur k ;
⋆ la résultante des forces de Laplace exercées par l’aimant sur la bobine lorsqu’elle est parcourue par
un courant d’intensité i(t) ;
dx
→
−
⋆ une force de frottement fluide proportionnelle à la vitesse : F = −µ
~ux .
dt
La position x = 0 correspond à la position de repos du système quand i = 0.
→
−
La force de Laplace élémentaire exercée sur un élément de courant idℓ vaut
( −
→
→
−
→ −
−
→
dℓ = dℓ ~uθ
d f = idℓ ∧ B
avec
→
−
B = B ~ur
On en déduit
→
−
d f = −iBdℓ ~ux
car (~ur , ~uθ , ~ux ) est une base orthonormée directe.
La force totale exercée sur la bobine est obtenues par intégration sur la longueur ℓ = 2πNa du conducteur
Z
→
−
→
−
d f = −iBℓ ~ux
f =
bobine
−
→
df
−
→
df
−
→
B
−
→
idℓ
−
→
df
−
→
B
−
→
B
−
→
df
→
−
idℓ
−
→
B
Figure 1 – Représentation de la force de Laplace exercée sur un élément de courant en présence d’un
champ magnétique radial.
On étudie la bobine dans le référentiel terrestre supposé galiléen. L’application du principe fondamental
de la dynamique à la bobine conduit à
→
−
→
→
m−
a = m−
g + R − kx~ux − iBℓ ~ux − µẋ ~ux
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En projetant cette relation sur l’axe (x′ x), on trouve l’équation mécanique
mẍ = −kx − iBℓ − µẋ
soit
mẍ + µẋ + kx = −iBℓ
(équation mécanique)
(2)
I.5. Bilan de puissance
Multiplions l’équation électrique (1) par i :
Ri2 + L
soit
d
dt
1 2
Li
2
!
di
i = Ei + ei
dt
= Ei + Bℓ ẋ i − Ri2
(3)
Chacun des termes a une interprétation claire

1



Emagn = Li2
énergie stockée sous forme magnétique


2

Pg = Ei
puissance fournie par le générateur


Pel = ei = Bℓ ẋ i
puissance électrique reçue grâce au phénomène d’induction




PJ = −Ri2
puissance dissipée par effet Joule
Cette équation traduit un bilan de puissance électrique : la puissance électrique fournie au circuit par
le générateur (Ei) et par le phénomène d’induction (ei) est en partie dissipée par effet Joule et en partie
stockée dans la bobine
dEmagn
= Pg + Pel + PJ
dt
Multiplions l’équation mécanique (2) par v :
mẍẋ + µẋ2 + kxẋ = f ẋ
soit
d
dt
1
1
mẋ2 + kx2
2
2
!
= −µẋ2 − iBℓẋ
(4)
Chacun des termes a une interprétation claire


1


énergie cinétique
Ec = mẋ2



2


1
Ep = kx2
énergie potentielle élastique
2




Pfrott = −µẋ2
puissance dissipée par frottements mécaniques



P
puissance des efforts de Laplace
Laplace = f ẋ = −iBℓẋ
Cette équation traduit un bilan de puissance mécanique : la variation de l’énergie mécanique est égale
au travail des efforts non conservatifs : forces de frottements et forces de Laplace. D’après la loi de Lenz,
les actions de Laplace s’opposent au mouvement et se comportent comme une force de frottements : c’est
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donc bien une force non-conservative ici. L’équation (4) est l’application du théorème de la puissance
mécanique.
On remarque que ei = Bℓ ẋ i = −f ẋ. En sommant les équations (3) et (4), on obtient un bilan de
puissance global
d
dt
1
1
1
mẋ2 + kx2 + Li2
2
2
2
!
= Ei − µẋ2 − Ri2
d
(Ec + Ep + Emagn ) = Pg + Pfrott + PJ
dt
soit
(5)
Cette équation indique que la puissance totale stockée par le circuit, sous forme mécanique ou sous forme
magnétique, est égale à la puissance reçue de la part du générateur (Ei) à laquelle on ôte la puissance
dissipée par frottements (µẋ2 ) et par effet Joule (Ri2 ).
Remarque
Comme dans l’exemple du rail de Laplace, nous remarquons que ni la puissance des forces de
Laplace, ni celle de la f.e.m. induite n’interviennent dans le bilan énergétique global. Ceci est
dû au fait que ces deux grandeurs se compensent exactement
PLaplace + Pelec = 0
Le couplage électromécanique est parfait.
I.6. Régime sinusoïdal forcé : réponse électrique
Le signal électrique appliqué au haut-parleur put s’interpréter comme une superposition de signaux
sinusoïdaux. Le système étant régi par des équations différentielles linéaires, l’étude d’une excitation sinusoïdale simple permet de déduire les propriétés globales du système.
Supposons alors que l’alimentation délivre une tension sinusoïdale de la forme :
E(t) = E0 cos ωt
Utilisons les notations complexes et posons
E(t) = E0 ejωt
i(t) = I ejωt
avec
jωt
x(t) = X e
avec
I = I0 ejϕI
X = X0 ejϕX
On cherche à déterminer i(t) et x(t) pour en déduire i(t) = Re [i(t)] et x(t) = Re [x(t)].
Les grandeurs complexes vérifient les mêmes équations que les grandeurs réelles. Les équations électrique (1) et mécanique (2) pour les grandeurs complexes s’écrivent donc
E0 = (R + jLω) I − jω Bℓ X
−mω X = −k X − jωµX − Bℓ I
2
On tire de la seconde équation :
X =−
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Bℓ I
−mω 2 + k + jωµ
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et en remplaçant dans l’équation électrique, on obtient :

!

jωB 2 ℓ2

= I R + jLω +
E0 = I R + jLω +
2
−mω + k + jωµ



1


µ
m
1 k 
+ jω 2 2 +
B 2 ℓ2
B ℓ
jω B 2 ℓ2
On en déduit la fonction de transfert complexe
I
i(t)
= Z = R + jLω + Z m
=
E(t) E0
où Z m est de la forme
Zm =
1
avec
1
1
+ jCm ω +
Rm
jLm ω




Rm =




Cm =






Lm =
B 2 ℓ2
µ
m
B 2 ℓ2
B 2 ℓ2
k
L’impédance Z m est appelé impédance motionnelle du haut-parleur et ne dépend que des grandeurs
mécaniques.
Le schéma électrique équivalent au haut-parleur en régime sinusoïdal est représenté ci-dessous
R
L
i
Rm
E0(t)
Lm
Cm
On en déduit
i(t) = Z E = |Z| ejϕz E0 ejωt
où ϕz = arg(Z)
On en déduit la relation entre les grandeurs réelles
i(t) = I0 cos(ωt + ϕz ) avec
(
I0 = |Z|E0
ϕz = arg (R + jLω + Z m )
I.7. Régime sinusoïdal forcé : réponse mécanique
De la relation
X =−
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I
Bℓ I
=
−
k + jωµ − mω 2
Bℓ
1
k
µ
m
+ jω 2 2 − ω 2 2 2
2
2
B ℓ
B ℓ
B ℓ
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on déduit les réponses en position et en vitesse à l’aide des fonctions de transfert
1 Zm
x(t)
X
=−
=
i(t)
I
jω Bℓ
v(t)
X Zm
=
= jω
i(t)
I
Bℓ
En posant
Z m = |Z m | ejϕm
avec ϕm = arg(Z m )
on obtient les relations entre les grandeurs réelles

!

I
|
π
|Z
0

m

cos ωt + ϕz + ϕm −
x(t) = −
Bℓ ω
2


|Z |

v(t) = − m I0 cos(ωt + ϕz + ϕm )
Bℓ
avec ϕm = arg(Z m )
I.8. Rendement du haut-parleur
En toute généralité, un rendement est défini par
η=
hPutile i
hPfournie i
Ici, la puissance utile est celle qui permet de mettre l’air en mouvement, c’est donc la puissance des
forces de frottement fluide :
Putile = µv 2
La puissance fournie est celle délivrée par le générateur :
Pfournie = Ei
Le rendement prend donc la forme :
η=
hµv 2 i
hEii
Mais d’après l’équation traduisant le bilan de puissance global
!
1
1
d 1
mẋ2 + kx2 + Li2 + Ri2 + µ v 2 i
hEii = h
dt 2
2
2
(6)
En régime sinusoïdal permanent, la valeur moyenne d’une dérivée totale est nulle
Z T
1
dg
dg
dt = g(T ) − g(0) = 0
h i=
dt
T 0 dt
On en déduit
hEii = hRi2 i + hµ v 2i
Le rendement est donc de la forme
η=
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hµv 2 i
hµv 2 i
=
=
hEii
hRi2 i + hµv 2i
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1
< 1
hRi2 i
1+
hµv 2 i
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η
ηmax
ω
ωr
Figure 2 – Allure de la courbe η = η(ω).
Le rendement est bien inférieur à 100%. Avec
1
hRi i = R I02
2
2
et
1 µ
1 |Z m |2 2
2 2
I
hµv i =
|Z | I =
2 B 2 ℓ2 m 0
2 Rm 0
2
on obtient l’expression du rendement
1
η =
1 + R Rm
=
1
|Z m |2

1 + R Rm 
=
1
!2 
1

Cm ω −
Lm ω
1
+
2
Rm
R
1+
+ RRm
Rm
1
Cm ω −
1
Lm ω
!2
Finalement, on a
1
1
η=
R
RRm
1+
Rm 1 + R + Rm Rm
Cm ω −
1
Lm ω
!2
Le rendement est maximal pour Lm Cm ω 2 = 1
η = ηmax =
1
1+
R
Rm
2 2
=
B ℓ
µ R + B 2 ℓ2
pour ω = ωr = √
1
Lm Cm
=
s
k
m
I.9. Applications numériques
On considère une bobine de longueur totale ℓ = N 2πa = 20 m, la résistance électrique du circuit
valant R = 2 Ω .
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La masse totale de l’ensemble mobile vaut m = 0, 12 kg, la constante de rappel élastique k =
43.103 N.m−1 et le coefficient de frottement vaut µ = 6 kg.s−1 .
L’aimant crée un champ magnétique B = 0, 2 T dans son entrefer.
On en déduit les valeurs numériques suivantes

B 2 ℓ2



R
=
= 2, 67 Ω
m


µ


B 2 ℓ2
L
=
= 0, 372 mH
m


k



m

Cm =
= 7, 5 mF
B 2 ℓ2
et ηmax =
1
1+
R
Rm
= 57, 1% pour fr =
1
1
=
2π Lm Cm 2π
√
s
k
= 95 Hz
m
L’impédance motionnelle est du même ordre de grandeur que les impédances du circuit. On constate
que le rendement maximal est obtenu pour une très basse fréquence. La fréquence de résonance peut être
augmentée en augmentant la constante de raideur k.
Le comportement du haut-parleur dépend donc de la fréquence. Un tel dispositif ne peut donc transcrire
parfaitement un signal électrique. Dans la pratique, on utilise plusieurs haut-parleurs dans des enceintes,
chacun étant adapté à la restitution d’une gamme de fréquence (tweeter pour les aigus, boomer pour les
basses). On peut jouer avec les caractéristiques physiques (k, m, B, ℓ) du haut-parleur pour faire varier
sa réponse fréquentielle.
II Inductance propre (induction de Neumann)
II.1. Expérience
Réalisons le montage de la figure ci-dessous et observons, à l’aide d’un oscilloscope, l’intensité du
courant qui traverse la résistance.
(1)
L
K
Y
(2)
GBF
R
Figure 3 –
On note les observations suivantes :
1. Lorsque le GBF impose un échelon de tension :
⋆ si l’interrupteur est en position (2), l’intensité du courant évolue rapidement vers une valeur
constante ;
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⋆ si l’interrupteur est en position (1), l’intensité du courant évolue lentement vers la même valeur
constante.
2. Lorsque la tension imposée par le GBF est constante, l’intensité du courant est constante.
On constate que la bobine agit de sorte à limiter les variations du courant et n’a aucune action lorsque
le courant est constant.
La bobine étant un simple enroulement de fil de cuivre, elle ne possède pas de propriété particulière.
En revanche, traversée par un courant d’intensité i, elle génère un champ magnétique, proportionnel 2 à i
B∝i
Le flux Φ de ce champ magnétique à travers la bobine elle-même est aussi proportionnel à i
ZZ
→
→ −−
−
Φ=
B · d2 S ∝ i soit Φ = Li
où L est un facteur géométrique.
Lorsque l’intensité est variable, le flux Φ du champ magnétique à travers la bobine est donc lui aussi
variable. D’après la loi de Faraday, il apparaît aux bornes de la bobine une force électromotrice e donnée
par
dΦ
di
e=−
= −L
dt
dt
D’après la loi de Lenz, cette force électromotrice s’oppose aux causes de l’induction, c’est-à-dire à la
variation du courant. On dit qu’une bobine lisse le courant.
Propriété
Dans un circuit électrique fixe, une bobine est le siège d’un phénomène d’induction
de Neumann.
II.2. Définitions
a) Flux
propre
::::::::::::::
Définition :
Un circuit électrique C parcouru par un courant crée un champ magnétique. Le flux de ce champ magnétique à travers le circuit C lui-même est
appelé flux propre.
Le flux propre d’un circuit électrique est proportionnel à l’intensité du courant qui le traverse, le facteur
de proportionnalité ne dépendant que de la géométrie du conducteur.
2. à condition que l’approximation des régimes quasi-stationnaires soit valable, ce qui est le cas pour des signaux électriques
de basse fréquence (fréquence inférieure à 1 GHz pour un circuit d’environ 1 m).
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b) :::::::::::::
Inductance:::::::::
propre
Définition :
L’inductance propre (ou coefficient d’auto-induction) d’un circuit électrique, notée L, est définie par
Φpropre = Li
où Φpropre est le flux propre du circuit et i l’intensité du courant qui
traverse le circuit.
En orientant le circuit dans le sens conventionnel i > 0, on voit que Φpropre > 0 si i > 0. On en déduit
que L est positif.
Remarque
L’orientation du circuit est choisie dans le sens conventionnel i > 0, la normale étant alors
orientée à l’aide de la règle du tire-bouchon.
Propriété
L’inductance propre est un coefficient positif L > 0 qui ne dépend que de la
géométrie du conducteur.
c) Auto-induction
::::::::::::::::::
Par conséquent, un circuit électrique C parcouru par un courant d’intensité i(t) variable est le siège
d’un phénomène d’induction de Neumann. Il apparaît donc une force électromotrice e telle que
e=−
dΦpropre
dt
Dans le cas d’une bobine, avec Φpropre = Li, on retrouve bien
e = −L
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di
dt
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Propriété
La variation du flux propre d’un circuit filiforme donne naissance à un phénomène
d’auto-induction (ou induction propre). Il apparaît alors dans le circuit une force
électromotrice
dΦpropre
d
e=−
= − (Li)
dt
dt
où e est orienté dans le sens conventionnel i > 0.
Si le circuit est fixe et indéformable, L = cste et
e = −L
di
dt
II.3. Lien avec l’électrocinétique
La tension u aux bornes d’une bobine s’exprime aisément en fonction du courant d’intensité i qui le
traverse :
di
(convention récepteur)
u = +L
dt
On constate que la tension u est de la forme
u = −e avec e = −L
di
dt
où e est assimilable à une force électromotrice d’induction.
i
e = −L
L
di
dt
i
u
u=L
di
dt
II.4. Calcul d’inductance propre
Exercice
::::::::
On considère une bobine, assimilable à un solénoïde infini, comportant N = 500 spires, de rayon a = 2 cm
et de longueur ℓ = 10 cm. Déterminer l’inductance propre de cette bobine.
B(t)
i
N spires
longueur l
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Si la bobine est parcourue par un courant d’intensité i lentement variable, elle génère un champ magnétique, assimilable à celui d’un solénoïde infini, c’est-à-dire
µ0 Ni
−
→
B =
~uz
ℓ
où ~uz porte l’axe du solénoïde et est orienté à partir du sens conventionnel i > 0.
Le flux de ce champ magnétique à travers la bobine elle-même vaut
Φpropre =
ZZ
N spires
→ −
− −−
→
→ −
→
B · d2 S = B · S
→
−
où l’on a utilisé le fait que le champ était uniforme. La surface S définie par les N spires de la bobine
vaut
→
−
S = N × πa2 ~uz
On en déduit
Φpropre =
µ0 Ni
~uz
ℓ
!
2
· N × πa ~uz
µ0 N 2 πa2
i
=
ℓ
Par identification avec l’expression du flux propre Φpropre = Li, on trouve
µ0 N 2 πa2
L=
ℓ
L’application numérique fournit L =
4π.10−7 × 5002 × π × (2.10−2)2
≈ 4 mH.
0, 1
La valeur de L est relativement faible malgré les dimensions importantes de la bobine. Le henry (H)
est une grande unité.
Remarque
On vérifie que µ0 s’exprime en H.m−1 dans le système d’unité international (système S.I.)
III Couplage de deux circuits par inductance mutuelle (induction
de Neumann)
III.1. Expérience
Réalisons le circuit représenté sur la figure ci-dessous.
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R1
Circuit primaire
GBF
L1
Y
L2
R2
Circuit secondaire
On notes les observations suivantes :
1. un courant d’intensité variable dans le circuit primaire génère un courant (également variable) dans
le circuit secondaire ;
2. un courant constant dans le circuit primaire ne génère aucun courant dans le circuit secondaire ;
3. l’intensité du courant dans le circuit secondaire est d’autant plus faible que les bobines sont éloignées
l’une de l’autre ;
4. l’intensité du courant dans le circuit secondaire est maximale lorsque les axes des deux bobines sont
superposés. Lorsque les axes sont orthogonaux, aucun courant ne traverse le circuit secondaire.
Interprétons ces observations.
Lorsqu’un courant, d’intensité i1 , traverse le circuit primaire, la bobine L1 crée un champ magnétique
variable B1 , proportionnel à i1 :
B1 ∝ i1
Lorsque les bobines se font face, le flux Φ1→2 du champ B1 à travers la bobine d’inductance L2 est
RR −
→ −−→
non-nul. Comme le flux est de la forme Φ1→2 = L2 B 1 · d2 S 2 , Φ1→2 est proportionnel à i1 :
Φ1→2 = Mi1
1. Lorsque l’intensité i1 est variable, le flux du champ magnétique à travers la bobine d’inductance L2
est variable. D’après la loi de Lenz-Faraday, il apparaît au niveau du circuit secondaire une force
électromotrice e2 donnée par
e2 = −
di1
dΦ1→2
= −M
dt
dt
C’est cette force électromotrice qui est à l’origine du courant induit dans le circuit secondaire.
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Physique
Électromagnétisme - chap.VII
Applications de l’induction
R1
L1
GBF
Y
i1
e2 = −M
di1
dt
R2
L2
2. Si le courant est constant dans le circuit primaire, aucun phénomène d’induction ne se produit et
aucun courant n’est généré dans le circuit secondaire.
3. Si l’on éloigne les bobines l’une de l’autre, Φ1→2 diminue tout comme l’intensité du courant induit
dans le circuit secondaire.
4. Si les bobines ne se font pas face, Φ1→2 est faible et le courant induit dans le secondaire est faible.
En particulier, si les bobines ont des axes orthogonaux, Φ1→2 = 0 et aucun courant n’apparaît dans
le circuit secondaire.
III.2. Définitions
a) Coefficient
d’induction mutuelle
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Définition :
Soient deux circuits électriques filiformes C1 et C2 parcourus par des
courants d’intensités respectives i1 et i2 . Le flux à travers C2 du champ
magnétique créé par C1 est proportionnel à i1 :
Φ1→2 = M12 i1
où M12 est appelé inductance mutuelle (ou coefficient d’induction mutuelle) de C1 vers C2 .
De la même manière
Φ2→1 = M21 i2
On admet que les coefficients d’induction mutuelle M12 et M21 vérifient :
M12 = M21 = M
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théorème de Neumann
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Applications de l’induction
M
L1
L2
i1
e1 = −M
L1
i2
i1
di2
dt
L2
e2 = −M
di1
dt
i2
Figure 4 – Représentation schématique du phénomène d’induction mutuelle.
Le coefficient d’induction mutuelle M ne dépend que de la géométrie des circuits filiformes C1 et C2 et
de leur position relative. Le signe de M n’est pas fixé car il dépend de l’orientation relative des circuits.
Propriété
L’inductance mutuelle est un coefficient purement géométrique dont le signe n’est
pas fixé et dépend de l’orientation choisie pour les circuits.
b) :::::::::::
Induction:::::::::::
mutuelle
Propriété
Soient deux circuits électriques filiformes C1 et C2 parcourus par des courants d’intensités respectives i1 et i2 . La variation du flux à travers C2 du champ magnétique
créé par C1 donne naissance à un phénomène d’induction mutuelle. Il apparaît alors
dans le circuit C2 une force électromotrice
e2 = −
d
dΦ1→2
= − (M i1 )
dt
dt
où e2 est orienté dans le sens conventionnel choisi.
Si les circuits sont fixes et indéformables, M = cste et
e2 = −M
di1
dt
Remarque
Le phénomène d’induction mutuelle se superpose au phénomène d’induction propre.
III.3. Loi de Faraday
Les flux à travers chaque circuit s’écrivent respectivement :
φ1 = φ1 propre + φ2→1 = L1 i1 + Mi2
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et
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φ2 = φ2 propre + φ1→2 = L2 i2 + Mi1
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Les lois de Faraday s’écrivent donc pour les deux circuits, en considérant les coefficients d’induction
propre et mutuelle constants :
!
!
di1
di2
di2
di1
e1 = − L1
et
e2 = − L2
+M
+M
dt
dt
dt
dt
Les circuits agissent donc l’un sur l’autre, et on dit qu’ils sont couplés.
III.4. Oscillateurs couplés par inductance mutuelle
Considérons le montage de la figure ci-dessous où la résistance des bobinages a été négligée. Les condensateurs étant initialement chargés, on ferme l’interrupteur K et on étudie le régime libre dans chacun des
circuits.
M
C
C
•
i1
K
v1
•
L
i2
L
v2
Les intensités des courants dans les deux branches valent
i1 = C
dv1
dt
et i2 = C
dv2
dt
La loi des mailles appliquée à chacun des circuits conduit à


di
(

e1 = −L 1 − M
0 = v1 − e1
dt
avec
di

0 = v2 − e2

e2 = −L 2 − M
dt
di2
dt
di1
dt
En notant M = k L où k est le coefficient de couplage (compris entre −1 et 1), on obtient


di
di

0 = v1 + L 1 + kL 2
dt
dt
di
di


0 = v2 + L 2 + kL 1
dt
dt
soit, en remplaçant i1 et i2 par leurs expressions en fonction de v1 et v2 :


d2

0 = v1 + LC
(v1 + kv2 )
dt2
d2


0 = v2 + LC
(v2 + kv1 )
dt2
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Remarque
Les équations différentielles en v1 et v2 sont couplées. La réponse du circuit (1) dépend de la
réponse du circuit (2) et réciproquement. On parle d’oscillateurs couplés.
Posons
et V = v1 − v2
U = v1 + v2
Dans ces conditions en prenant la somme et la différence des deux équations différentielles, on trouve


d2 U

0 = U + LC(1 + k)
dt2
d2 V


0 = V + LC(1 − k)
dt2
On obtient des équations découplées en U et V
Les solutions sont de la forme




U = U0 cos(ω1 t + ϕu )
1
ω0
avec ω1 = p
=√
1+k
LC(1 + k)
ω0
1
=√
avec ω2 = p
1−k
LC(1 − k)



V = V0 cos(ω2 t + ϕv )
Les solutions pour v1 et v2 sont obtenues à l’aide des relations
v1 =
U +V
2
et v2 =
U −V
2
On en déduit que v1 et v2 sont des combinaisons linéaires de signaux sinusoïdaux de pulsations ω1
et ω2 .
(
v1 (t) = A1 cos(ω1 t + ϕ1 ) + A2 cos(ω2 t + ϕ2 )
v2 (t) = B1 cos(ω1 t + ψ1 ) + B2 cos(ω2 t + ψ2 )
où A1 , A2 , B1 , B2 et ϕ1 , ϕ2 , ψ1 , ψ2 sont des constantes à déterminer en fonction des conditions initiales.
Les solutions sont la superposition de deux solutions sinusoïdales de pulsation ω1 et ω2 , qui sont les
pulsations propres du système.
Remarque
Il est possible de choisir les conditions initiales de sorte que A2 = B2 = 0. Dans ce cas, les
tensions v1 et v2 évoluent à la pulsation ω1 uniquement. On dit que l’on a excité un mode propre
du système.
Propriété
L’évolution d’un système d’oscillateurs couplés résulte d’une superposition de solutions oscillantes, appelés modes propres du système.
Chaque mode propre est caractérisé par une pulsation caractéristique, appelée pulsation propre.
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Remarque
Pour k = 0, il n’y a aucun couplage est les pulsations propres valent ω1 = ω2 = ω0 : on retrouve
la pulsation propre d’un circuit LC non couplé.
Pour k 6= 0, ω1 6= ω2 : le système présente deux modes propres distincts.
Plus le couplage est fort, plus les pulsations ω1 et ω2 sont éloignées l’une de l’autre.
IV Énergie magnétique des circuits filiformes
IV.1. Cas d’un circuit isolé
Considérons un circuit électrique filiforme, assimilable à un dipôle d’inductance L.
i
e
L
i
La puissance reçue par un tel dipôle, traversé par un courant d’intensité i vaut
!
dEm
d 1 2
1
di
=
Li =
avec Em = Li2
P = uL i = −ei = Li
dt dt 2
dt
2
Le circuit d’inductance L stocke donc une énergie Em sous forme magnétique. Cette énergie peut être
restituée. En effet considérons le circuit RL ci-dessous :
i
R
e
L
On suppose que e est une fonction échelon telle que
E pour t ≤ 0
e(t) =
0 pour t > 0
Pour t < 0, lorsque le régime permanent est atteint, le courant est constant et vaut
i=
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E
R
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Pour t > 0, l’équation différentielle régissant l’évolution de l’intensité i s’écrit
Ri + L
di
=0
dt
On en déduit
i(t) = i0 e−Rt/L
E
E
, on trouve i0 = .
R
R
L’énergie dissipée par effet Joule vaut
Avec i(t = 0) =
EJ =
Z
+∞
0
E2
Ri2 (t) dt =
R
Z
+∞
e−2Rt/L
0
0
On en déduit
1
EJ = L
2
"
#+∞
L −Rt/L
E2
−
dt =
e
R
2R
E
R
!2
=
1
L i20
2
Ainsi même en l’absence de source, un courant circule dans le circuit : l’énergie magnétique stockée
initialement dans la bobine est restituée et dissipée dans la résistance R.
Propriété
L’énergie magnétique stockée par un dipôle d’inductance L, traversé par un courant d’intensité i vaut
1
1
Em = Li2 = Φi2
2
2
où Φ est le flux magnétique à travers le circuit.
IV.2. Cas de deux circuits filiformes couplés
Considérons deux circuits filiformes, fixes et indéformables en influence mutuelle.
M
i1
u1
•
R1
L1
•
R2
L2
i2
u2
Les sources situés au niveau des circuits primaire et secondaire génèrent respectivement les tensions u1
et u2 .
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Les lois des mailles appliquées aux circuits primaire et secondaire conduisent à
dΦ1
dt
dΦ2
u2 = R2 i2 +
dt
La puissance fournie par les sources vaut
avec Φ1 = L1 i1 + Mi2
u1 = R1 i1 +
avec Φ2 = L2 i2 + Mi1
dΦ1
dΦ2
+ i2
Psources = u1 i1 + u2 i2 = R1 i21 + R2 i22 + i1
{z
} | dt {z
|
dt}
P
J
Pm
La puissance fournie par les sources est en partie dissipée par effet Joule et en partie stockée sous forme
magnétique. La puissance magnétique stockée vaut
Pm = i1
=
=
dΦ2
dΦ1
+ i2
dt
dt
!
di1
di2
L1 i1
+
+ Mi1
dt
dt
d
dt
di2
di1
L2 i2
+ Mi2
dt
dt
!
!
1
1
L1 i21 + L2 i22 + Mi1 i2
2
2
dEm
dt
où Em est l’énergie stockée sous forme magnétique.
=
Propriété
L’énergie magnétique stockée par un ensemble de deux circuits filiformes en interaction mutuelle vaut
Em =
1
1
1
(Φ1 i1 + Φ2 i2 ) = L1 i21 + L2 i22 + Mi1 i2
2
2
2
où L1 et L2 sont les inductances propres de chacun des circuits et M leur inductance
mutuelle.
Plus généralement, pour un système de N circuits filiformes couplés :
N
1 X
Em =
φk ik
2 k=1
où φk est le flux magnétique total à travers le circuit k traversé par l’intensité ik .
Remarque
Pour deux circuits filiformes non couplés, M = 0 et l’on retrouve l’énergie stockée par deux
circuits d’inductances propres L1 et L2 :
Em =
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1
1
L1 i21 + L2 i22
2
2
en l’absence de couplage
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IV.3. Densité volumique d’énergie magnétique
Si de l’énergie est stockée sous forme magnétique, c’est qu’une énergie est associée à la présence d’un
champ magnétique. Cherchons à relier l’énergie magnétique au champ magnétique sur l’exemple simple
d’un solénoïde infini.
On considère un solénoïde très long, de section S et de longueur ℓ, comportant N spires et traversé
par un courant i. On sait que l’énergie stockée sous forme magnétique est de la forme
Em =
1 2 1
Li = Φi
2
2
où L est l’inductance propre du solénoïde et Φ = Li est le flux propre du solénoïde.
Mais le flux propre est le flux du champ magnétique à travers le solénoïde, soit
Φ=
ZZ
N spires
→
− −−
→
B · d2 S = NBS
où l’on a utilisé le fait que le champ était uniforme à intérieur du solénoïde.
Par ailleurs, le champ magnétique créé par le solénoïde vaut
B = µ0
N
i
ℓ
d’où l’on déduit
Bℓ
µ0 N
i=
L’énergie magnétique stockée par le solénoïde vaut donc
Em =
1
1
Bℓ
B2
× Sℓ
Φi = NBS
=
2
2
µ0 N
2µ0 |{z}
=V
L’énergie magnétique est le produit d’un terme ne dépendant que de B par le volume V = Sℓ du
solénoïde. Le terme B 2 /2µ0 est donc une énergie volumique, encore appelée densité volumique d’énergie.
Propriété
→
−
On associe au champ magnétique B , une densité volumique d’énergie magnétique,
donnée par
B2
um =
en J.m−3
2µ0
L’énergie magnétique d’une distribution de courant vaut
Em =
ZZZ
3
um d V =
R3
ZZZ
R3
B2 3
dV
2µ0
où l’intégration porte sur tout l’espace.
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Remarque
– Cette relation a été établie dans le cas particulier du solénoïde infini. On admet toutefois la
généralité de cette expression dans un milieu de perméabilité µ0 .
– La densité d’énergie magnétique est d’autant plus grande que le champ magnétique est intense.
– On note l’analogie entre les expressions des densités volumiques d’énergie magnétique et
électrique
ε0 E 2
B2
←→ ue =
um =
2µ0
2
IV.4. Application au calcul d’inductance
Exercice
::::::::
Considérons une bobine torique constituée de N = 500 spires rectangulaires parcourues par un courant
d’intensité I. On note r1 = 10 cm et r2 = 12 cm les rayons intérieurs et extérieurs du tore et h = 2 cm la
hauteur des spires.
1. Calculer le champ magnétique créé par le tore en tout point de l’espace.
2. Déterminer la valeur de l’inductance propre du tore en exprimant l’énergie magnétique de deux façons
différentes.
1. La distribution de courant est invariante par rotation autour de l’axe (Oz) du tore. On en déduit
que le champ magnétique créé par le tore ne dépend que de r et z (et pas de l’angle θ repérant la
rotation autour de (Oz)).
Par ailleurs, en un point M donné, le plan passant par M et contenant l’axe (Oz) du tore est un
plan de symétrie pour la distribution de courant. Le champ magnétique étant un pseudo-vecteur, il
est orthogonal, au point M, à ce plan. Le champ magnétique est donc orthoradial.
Finalement, on a
−
→
B tore = B(r, z) ~uθ
Choisissons comme contour d’Ampère un cercle C d’axe (Oz) et de rayon r, orienté suivant +~uθ .
Appliquons le théorème d’Ampère sur ce contour :
I
→
−
→
−
B tore · dℓ = µ0 Ienlacée
C
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La circulation du champ magnétique se simplifie sur C en
Z 2π
I
→
−
→
−
B tore · dℓ =
B(r, z) ~uθ · (rdθ ~uθ ) = 2πr B(r, z)
0
C
L’intensité enlacée par le contour n’est non nulle que si le contour appartient à l’intérieur du solénoïde.
Dans ces conditions :
0
à l’extérieur du tore
2πr B(r, z) =
µ0 NI
à l’intérieur du tore
Finalement
−
→
B tore

 µ0 NI
~uθ à l’intérieur du tore
=
2πr
→
−

0 à l’extérieur
2. La densité volumique d’énergie magnétique vaut

 µ0 N 2 I 2
2
B
à l’intérieur du tore
=
um =
2 2
2µ0  8π r 0 à l’extérieur
L’énergie magnétique stockée par le tore vaut
Em =
soit
ZZZ
3
um d V =
R3
ZZZ
3
um d V =
tore
µ0 N 2 I 2
Em =
8π 2
Z
r2
r1
dr
r
Par ailleurs, on sait que
Z
Z
r2
r=r1
Z
Z
2π
θ=0
Z
h
z=0
h
µ0 N 2 I 2
r dr dθ dz
8π 2 r 2
µ0 N 2 h
dθ dz =
ln
4π
0
0
| {z } | {z }
2π
2π
h
Em =
1 2
LI
2
r2
r1
!
I2
On en déduit l’inductance propre du tore
µ0 N 2 h
L=
ln
2π
r2
r1
!
L’application numérique fournit
4π.10−7 × 5002 × 2.10−2
L=
× ln
2π
12
10
!
= 0, 182 mH
C’est une valeur faible mais non négligeable.
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