Électromagnétisme - chap.VII Applications de l’induction

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Physique
Électromagnétisme - chap.VII
Applications de l’induction
Électromagnétisme - chap.VII
Applications de l’induction
I Le haut-parleur électrodynamique (induction de Lorentz)
I.1. Présentation du dispositif
Un haut-parleur électrodynamique est constitué :
⋆d’un aimant permanent annulaire fixe, d’axe horizontal x′xqui crée un champ magnétique −→ Bradial
et de norme constante Bdans la région utile de l’entrefer ;
⋆d’une bobine mobile indéformable, de même axe x′x, comportant Nspires circulaires de rayon a,
placée dans l’entrefer de l’aimant.
⋆d’une membrane solidaire de la bobine et pouvant effectuer des déplacements axiaux de faible am-
plitude. La membrane est ramenée vers sa position d’équilibre par une force élastique modélisée par
un ressort de raideur k, solidaire de l’aimant à une extrémité et solidaire de la membrane à l’autre
extrémité.
De plus, on notera Rla résistance équivalente et Ll’inductance propre de l’ensemble du circuit mobile.
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I.2. Analyse qualitative
La bobine, alimentée par un générateur délivrant la tension E(t), est parcourue par un courant i(t).
Comme la bobine est plongée dans le champ magnétique créé par l’aimant, elle est soumise aux forces
de Laplace qui la mettent en mouvement.
Si E(t)est variable, le déplacement de l’ensemble {bobine + membrane} est aussi variable. La couche
d’air située à proximité de la membrane est donc mise en mouvement par la membrane ce qui donne ainsi
naissance à une onde sonore.
Le circuit étant mobile dans un champ magnétique permanent, il est le siège d’un phénomène d’in-
duction de Lorentz. Il apparaît donc au niveau de la partie mobile du circuit une force électromagnétique
d’induction e(t)qui va s’opposer à la cause qui lui a donnée naissance, c’est-à-dire à E(t).
Le principe général permet de convertir l’énergie électrique fournie par le générateur en énergie méca-
nique par les vibrations de l’air. C’est donc un dispositif de couplage électromécanique.
Remarque : On notera que le principe est réversible, de sorte qu’une onde sonore générée à l’extérieur
du dispositif peut mettre en mouvement la membrane et créer par induction une f.e.m. mesurable dans la
bobine. c’est le principe du microphone électrodynamique 1.
I.3. Équation électrique
Un conducteur mobile se déplaçant dans un champ magnétique permanent est le siège d’un phénomène
d’induction de Lorentz. Le champ électromoteur de Lorentz est de la forme −→ Em=−→ v∧−→ Boù −→ vest la
vitesse du conducteur.
Orientons conventionnellement le conducteur dans le sens de +~uθ, (qui est le sens i > 0sur la figure).
La force électromotrice (comptée positivement dans le sens de i > 0) qui apparaît dans la bobine vaut
alors
e=Zbobine
−→
Em·−→ dℓ=Zbobine (−→ v∧−→ B)·−→ dℓ=Zbobine vB (~ux∧~ur
|{z }
=~uθ
)·(dℓ ~uθ)
R
i
L
e(t)
E(t)
Finalement
e=vB 2πNa =vBℓ
La f.e.m. induite se comporte comme une source de tension supplémentaire de sorte que la loi des
mailles fournit, avec l’orientation choisie pour e
Ri +Ldi
dt−e=E
1. Il existe également d’autres types de microphones, comme les microphones à condensateur, couramment utilisés.
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soit
Ri +Ldi
dt−Bℓv =E(équation électrique) (1)
I.4. Équation mécanique
L’ensemble mobile {membrane + bobine} de masse met repéré par son abscisse x(t)lorsqu’il est en
mouvement, est soumis aux forces suivantes :
⋆son poids et la réaction du support, verticale et opposée au poids ;
⋆la force de rappel du ressort de raideur k;
⋆la résultante des forces de Laplace exercées par l’aimant sur la bobine lorsqu’elle est parcourue par
un courant d’intensité i(t);
⋆une force de frottement fluide proportionnelle à la vitesse : −→ F=−µdx
dt~ux.
La position x= 0 correspond à la position de repos du système quand i= 0.
La force de Laplace élémentaire exercée sur un élément de courant i−→ dℓvaut
d−→ f=i−→ dℓ∧−→ Bavec (−→
dℓ= dℓ ~uθ
−→
B=B ~ur
On en déduit
d−→ f=−iBdℓ ~ux
car (~ur, ~uθ, ~ux)est une base orthonormée directe.
La force totale exercée sur la bobine est obtenues par intégration sur la longueur ℓ= 2πNa du conduc-
teur
−→
f=Zbobine d−→ f=−iBℓ ~ux
−→
B
−→
B
−→
df
−→
df
i
−→
dℓ
−→
B
−→
B
i
−→
dℓ
−→
df
−→
df
Figure 1 – Représentation de la force de Laplace exercée sur un élément de courant en présence d’un
champ magnétique radial.
On étudie la bobine dans le référentiel terrestre supposé galiléen. L’application du principe fondamental
de la dynamique à la bobine conduit à
m−→ a=m−→ g+−→ R−kx~ux−iBℓ ~ux−µ˙x ~ux
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En projetant cette relation sur l’axe (x′x), on trouve l’équation mécanique
m¨x=−kx −iBℓ −µ˙x
soit
m¨x+µ˙x+kx =−iBℓ (équation mécanique) (2)
I.5. Bilan de puissance
Multiplions l’équation électrique (1) par i:
Ri2+Ldi
dti=Ei +ei
soit
d
dt 1 2Li2!=Ei +Bℓ ˙x i −Ri2(3)
Chacun des termes a une interprétation claire
Emagn =1
2Li2énergie stockée sous forme magnétique
Pg=Ei puissance fournie par le générateur
Pel =ei =Bℓ ˙x i puissance électrique reçue grâce au phénomène d’induction
PJ=−Ri2puissance dissipée par effet Joule
Cette équation traduit un bilan de puissance électrique : la puissance électrique fournie au circuit par
le générateur (Ei) et par le phénomène d’induction (ei)est en partie dissipée par effet Joule et en partie
stockée dans la bobine dEmagn
dt=Pg+Pel +PJ
Multiplions l’équation mécanique (2) par v:
m¨x˙x+µ˙x2+kx ˙x=f˙x
soit
d
dt 1 2m˙x2+1 2kx2!=−µ˙x2−iBℓ ˙x(4)
Chacun des termes a une interprétation claire
Ec=1
2m˙x2énergie cinétique
Ep=1
2kx2énergie potentielle élastique
Pfrott =−µ˙x2puissance dissipée par frottements mécaniques
PLaplace =f˙x=−iBℓ ˙xpuissance des efforts de Laplace
Cette équation traduit un bilan de puissance mécanique : la variation de l’énergie mécanique est égale
au travail des efforts non conservatifs : forces de frottements et forces de Laplace. D’après la loi de Lenz,
les actions de Laplace s’opposent au mouvement et se comportent comme une force de frottements : c’est
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donc bien une force non-conservative ici. L’équation (4) est l’application du théorème de la puissance
mécanique.
On remarque que ei =Bℓ ˙x i =−f˙x. En sommant les équations (3) et (4), on obtient un bilan de
puissance global
d
dt 1 2m˙x2+1 2kx2+1 2Li2!=Ei −µ˙x2−Ri2soit d dt(Ec+Ep+Emagn) = Pg+Pfrott +PJ(5)
Cette équation indique que la puissance totale stockée par le circuit, sous forme mécanique ou sous forme
magnétique, est égale à la puissance reçue de la part du générateur (Ei)à laquelle on ôte la puissance
dissipée par frottements (µ˙x2)et par effet Joule (Ri2).
Comme dans l’exemple du rail de Laplace, nous remarquons que ni la puissance des forces de
Laplace, ni celle de la f.e.m. induite n’interviennent dans le bilan énergétique global. Ceci est
dû au fait que ces deux grandeurs se compensent exactement
PLaplace +Pelec = 0
Le couplage électromécanique est parfait.
Remarque
I.6. Régime sinusoïdal forcé : réponse électrique
Le signal électrique appliqué au haut-parleur put s’interpréter comme une superposition de signaux
sinusoïdaux. Le système étant régi par des équations différentielles linéaires, l’étude d’une excitation sinu-
soïdale simple permet de déduire les propriétés globales du système.
Supposons alors que l’alimentation délivre une tension sinusoïdale de la forme :
E(t) = E0cos ωt
Utilisons les notations complexes et posons
E(t) = E0ejωt
i(t) = Iejωt avec I=I0ejϕI
x(t) = Xejωt avec X=X0ejϕX
On cherche à déterminer i(t)et x(t)pour en déduire i(t) = Re [i(t)] et x(t) = Re [x(t)].
Les grandeurs complexes vérifient les mêmes équations que les grandeurs réelles. Les équations élec-
trique (1) et mécanique (2) pour les grandeurs complexes s’écrivent donc
E0= (R+jLω)I−jω Bℓ X
−mω2X=−k X −jωµX −Bℓ I
On tire de la seconde équation :
X=−Bℓ I
−mω2+k+jωµ
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