Détection d'une sous porteuse noyée dans une porteuse plus large - application/pdf
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Table des matières
Résumé ……………………………………………………………………………………………...4
Partie I : Détection du signal intrus
Introduction générale………………………………………………………………………………...5
Organisation du document…………………………………………………………………………...5
Problématique………………………………………………………………………………………..6
1- Chaine de transmission numérique. ………………………………………………………8
1.1 Introduction…………………………………………………………………………...8
1.2 La source de message …………………………………………………………………9
1.2.1 Définition d‟une source à valeurs discrètes………………………………………….9
1.3 Le codage de source…………………………………………………………………..10
1.4 Le codage de canal……………………………………………………………………10
1.5 L‟émetteur…………………………………………………………………………….11
1.6 Canaux de transmissions………………………………………………………………12
1.6.1 Canal de transmission à temps discret………………………………………………12
1.6.2 Exemples de canaux de transmission à temps discret………………………………12
1.6.3 Propriétés des canaux de transmission réels………………………………………...14
1.6.3.1 lignes de transmis………………………………………………………………….14
1.6.3.2 Canaux Radioélectriques………………………………………………………….14
1.6.3.3Transmissions en milieu urbain …………………………………………………...15
1.6.3.4 Canaux multitrajets………………………………………………………………..16
1.7 Le Récepteur ………………………………………………………………………….16
2- Transmission en bande de base ………………………………………………………….17
1
2.1 Les codes en ligne……………………………………………………………………..17
2.1.1 Principe des codes en ligne…………………………………………………………..17
2.1.2 Critère de choix d‟un code en ligne………………………………………………….19
2.1.3 Densité spectrale de puissance d‟un code en ligne…………………………………..20
2.1.4 Puissance d‟un code en ligne……………………………………………………………..21
2.1.4 Energie moyenne par symbole……………………………………………………….21
2.2 Calcule de la probabilité d‟erreur……………………………………………………...22
2.3 Seuil optimale………………………………………………………………………….24
2.4 Probabilité d‟erreur minimale………………………………………………………….25
2.5 Interférences Entre Symboles (IES)…………………………………………………...26
2.6 Condition d‟absence d‟IES- Critère de Nyquist……………………………………….27
3- Détection du signal bande étroite………………………………………………………....29
3.1 Estimation de la densité spectrale de puissance………………………………………..29
3.2 Description de la méthode……………………………………………………………..31
3.3 Teste de détection……………………………………………………………………...32
Π-Partie : Estimation du rythme symbole
Problé matique
Π.1 Introduction…………………………………………………………………………….38
Π.2 Modulation d‟amplitude en quadrature…………………………………………………39
Π.3 Conclusion………………………………………………………………………………40
Chapitre2 Estimation de la période symboles……………………………………………….41
II.2.1 Introduction…………………………………………………………………….41
II.2.2 Estimation par détection de fréquences cycliques…………………………………….41
II.3 Procédure d‟estimation de
en utilisant une nouvelle méthode……………………..43
II.3.1 Principe général de la méthode……………………………………………………….43
2
II.3.2 Calcul de la période symbole…………………………………………………………44
II.4 Complémentarité des deux méthodes…………………………………………………..47
II.5 Présence d‟un résidu de fréquence porteuse……………………………………………48
II.6 Conclusion……………………………………………………………………………...49
PartieIII : résultats et discussion
III.1 Simulation……………………………………………………………………………..50
III.2 Deuxième méthode de détection……………………………………………………...56
Résultats et simulation de la Partie II…………………………………………………….59
Introduction…………………………………………………………………………………59
III.3 Contexte de simulations………………………………………………………………..59
III.4 Résultats obtenus et analyse……………………………………………………………61
III.5) Qualification de l‟estimateur…………………………………………………………..66
III.6) Conclusion…………………………………………………………………………….66
Conclusion générale ……………………………………………………………………...67
Bibliographie ………………………………………………………………………………68
3
Résumé :
Dans le cadre de surveillance du spectre des fréquences, nous nous proposons
d‟élaborer des méthodes de reconnaissance automatiques des signaux à spectre étroit
cachés dans des signaux à spectre large en présence du bruit, sans aucune connaissance
a priori sur le système de transmission (sur le signal intrus).
Il s‟agit de mettre au point des méthodes de détection de signaux qui ont la
propriété d‟être très discrets , de synchroniser le signal en aveugle ; puis de déterminer
la séquence aléatoire émise et ses caractéristiques (la période symbole du signal, la
largeur de bande…) afin de retrouver les symboles du signal informatif à l‟aide d‟un
récepteur classique.
La première partie de notre travail consiste d‟abord à détecter la présence ou
non d‟un signal opportuniste qui se sert de notre bande de fréquence pour émettre.
La deuxième partie est consacrée à extraire les informations que contient le
signal détecté (estimation du rythme symboles, bande de fréquence, reconnaissance de
modulation, la séquence émise etc…..)
Mots clefs : Transmissions à spectre étalé, Surveillance du spectre, Détection de sous porteuse, détection, Synchronisation aveugle d‟un signal à bande étroite.
Keywords: Spread spectrum transmissions, Spectrum surveillance, detection of subcarrier, Blind synchronization, detection of narrowband signals.
4
Partie I : Détection du signal intrus
1- Introduction:
Dans l‟étude de nombreux systèmes, en télécommunication, un problème revient
très souvent :
Celui de la détection. Il s‟agit de décider, à partir d‟un signal reçu la présence ou
l‟absence du signal.
Les solutions apportées à ce problème sont pratiquement toutes basées sur le
rapport de vraisemblance. De nombreux ouvrages traitent ce problème, on peut citer
comme livre de référence celui de van trees[1]. La multitude de récepteurs obtenus
vient des modèles du signal, du bruit, et du mode de perturbation (i.e bruit additif ou
multiplicatif). Si le signal est connu la solution optimale est le « filtre adapté ». En
fonction du degré de connaissance à priori sur le signal, on obtient des structures
différentes de récepteurs. Par exemple, si seulement quelques paramètres du signal
sont inconnus on forme habituellement le test du rapport de vraisemblance généralisé
(“Generalized Likelhood Ratio Test“ (GLR)) où les paramètres estimés sont utilisés
dans le rapport de vraisemblance. Dans notre cas nous n‟avons aucune information sur
le signal et en plus du br uit nous avons un autre signal qui est présent tout au long de
la durée d‟observation et qui a un spectre plus large, qui cache le spectre du signal
qu‟on veut intercepter donc c‟est un peux plus complexe.
2-organisation du document :
Notre document est devisé en deux grandes parties, dans la première le chapitre
1 est introductif destiné à la description d‟une chaine de communication , le chapitre 2
sera consacré à la transmission en bande de base, tendis que dans le chapitre 3 nous
aborderons les différents estimateurs de la densité spectrale des signaux et en
particulier des signaux télécom. La deuxième partie est consacré à l‟extraction de
l‟information à partir du signal détecté et enfin la troisième partie sera consacré à la
description des méthodes utilisées et à la présentation des différents résultats obtenus.
5
3- problématique :
Dans le cadre de la surveillance du spectre des fréquences, il est intéressant
d‟élaborer des méthodes de traitement automatique des signaux, afin de contrôler les
bandes de fréquences non autorisées, où ces transmissions pourraient passer
inaperçues. La littérature concernant la détection d‟un signal en contexte coopératif
est abondante. Par contre, en contexte non-coopératif, la littérature est particulièrement
restreinte, surtout si on a un autre signal en plus du bruit. La première méthode qui
nous vient à l‟esprit c‟est de faire de la séparation de sources en aveugle , car cette
méthode n‟a pas besoin d‟information à priori sur le signal et la différence de bande
entre les deux signaux n‟a aucun effet. Elle serait donc parfaite pour notre problème,
si ce n‟est le fait que nous devons avoir au moins deux capteurs et cela veut dire
changer la configuration de l‟antenne chose qu‟on ne peut pas faire parce que d‟après
notre cahier de charge nous ne devons pas changer la structure de l‟antenne.
Nous avons pu trouver un article qui traite un problème qui se rapproche un peu
du notre problématique. Cet article porte sur la détection d‟un signal noyé dans du
bruit large bande [2]. Dans notre cas le signal est noyé dans un autre signal large bande
et en présence du bruit. Cet article fait une hypothèse très forte sur le signal bande
étroite il ne considère pas un signal à bande étroite mais prend le cas extrême en
considérant un cosinus.
Une fois le signal détecté il faudra le ramener en bande de base. Dans notre cas
comme nous n‟avons aucune information sur ce signal qui sera ramené en bande de
base en fonction du signal large bande, ce qui a pour conséquence l‟introduction d‟un
résidu fréquentiel. La deuxième étape consiste à déterminer la bande de fréquence et à
localiser le spectre, après nous devons faire de la reconnaissance de modulation afin
de démoduler le signal et récupérer la séquence émise. Pour cela, il faut connaitre la
cadence à laquelle nous devons échantillonner le signal (Ts), mais notre cas cette
quantité est inconnue. Nous avons pu trouver plusieurs documents qui traitent de
l‟estimation du rythme symbole. Nous pouvons citer l‟article de Houcke [3] ainsi que
celui de L. Mazet et P. Loubaton [4].
6
15
10
5
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Figure : spectre du signal reçu large bande en bleu qui cache le spectre du signal
bande étroite (signal intrus)
7
Chapitre I : chaine de transmission numérique :
Introduction :
Pour transmettre des informations à distance, il est nécessaire que ces
informations soient mises sous une forme approprié et « portées » par un support
physique : onde électromagnétique, signal électrique, lumière onde acoustique…..
Cette mise en forme impose que l‟émission d‟une donnée nécessite une durée non
nulle.
De plus le signal qui transporte l‟information peut subir des déformations dont il faut
autant que possible réduire les conséquences néfastes. Le schéma de principe d‟une
chaine de transmission numérique est représenté sur la figure 1. On peut distinguer : la
source de message, le milieu de transmission et le destinataire qui sont des données du
problème. Le codage et le décodage de sources le codage et le décodage de canal,
l‟émetteur et le récepteur représentent les degrés de liberté du concepteur pour réaliser
le système de transmission. Nous allons maintenant décrire les différents éléments qui
constituent une chaine de transmission.
Données à
transmettre
Codage
source
Codage
canal
Modulation
Emetteur
canal
y(t)
Décodage
source
Décodage
canal
Démodulation
Egalisation
Récepteur
Figure(1) : chaine de transmission
8
1.2 La source de message :
Pour réaliser une transmission numérique, le message à transmettre doit être sous
forme numérique. Si la source délivre un message analogique tel que le signal de
parole (sortie d‟un microphone) ou le signal d‟image (sortie d‟une camera), il faut le
numériser en échantillonnant le message analogique puis en quantifiant les
échantillons obtenus. Chaque échantillon quantifié est ensuite codé sur M éléments
binaires (appelés traditionnellement bits) .
1.2.1 Définition d’une source à valeurs discrètes :
Une source à valeurs discrètes génère un processus aléatoire à temps discret, une
suite de variable aléatoire (v.a.), à valeurs discrète finis. Soit le processus aléatoire
{Xk} k ϵ {-∞,+∞ } et XK ϵ α = {α1 , α2 , ….., αM } où α est l‟alphabet de la source.
Le nombre M de valeurs possible de la source peut être fini ou infini dénombrable. On
connait de la source son alphabet et les probabilités à priori respectives de ses
éléments. Elles sont définis par :
pi= Pr{ αk = i } ; i= 0,1 (source binaire) K
avec :
P(X)1
x
x
Lorsque les probabilités à priori des valeurs des v.a. xk ne dépendent pas de l‟instant K,
la suite est dite stationnaire au premier ordre. Lorsque les probabilisés jointes
pX(xK,xKm)ne dépendent pas de l‟instant K, la suite est dite stationnaire au deuxième
ordre ou au sens large. On dit que la suite { x K } est une suite de v.a. indépendantes et
identiquement distribuées, suite I.I.D. ou encore que le processus { x K } est un bruit
blanc.
9
1.3 Le codage de source :
Le principe du codage de source qui trouve ses fondements dans la théorie de
l‟information a pour but d‟éliminer les éléments binaires peu significatifs du message,
ce dernier est alors sous forme concise et constitué par une suite d‟éléments binaires
mutuellement indépendants et prenant les valeurs 0 et 1 avec des probabilités p 0 et p1 .
Après numérisation et codage, la source de message numérique est caractérisée par
son débit binaire D définit comme le nombre d‟éléments binaires qu‟elle émet par
unité de temps. Si l‟intervalle de temps séparent l‟émission par la source de deux
éléments binaires consécutifs est constant et égale à Tb , alors le débit binaire D est
égale à :
1
1
D= T (bit. s )
b
1.4 Le codage de canal :
Le codage de canal, aussi appelé codage détecteur et/ou correcteur d‟erreurs, est
une fonction spécifique des transmissions numériques, qui n‟a pas son équivalent en
transmission analogique. Cette opération a pour but d‟améliorer la qualité de la
transmission en insérant dans le message des éléments binaires dits de re dondance
suivant une loi donnée, ce qui a pour inconvénient de limité la quantité d‟information
utiles à transmettre. Le décodeur canal, qui connait la loi de codage utilisée à
l‟émission, vient vérifier si cette loi est toujours respectée en réception. Si ce n‟est pas
le cas il détecte la présence d‟erreurs de transmission qu‟il peut corriger sous certaines
conditions.
Remarque : la fonction de codage de canal n‟est pas toujours utilisée, car elle accroît
la complexité des équipements de transmission et donc leur coût.
10
1.5 L’émetteur :
Le message numérique, en tant que suite d‟éléments binaires, est une grandeur
abstraite.
Pour transmettre ce message il est donc nécessaire de lui associé une représentation
physique, sous forme d‟un signal électrique. C‟est la première fonction de l‟émetteur
appelée généralement opération de modulation.
Plus précisément, la modulation consiste à associer à chaque mot de n éléments
binaires issu du message, un signal Si(t), i =1,……, M , de duré T = n Tb choisi parmi
n
M= 2 signaux.
Le message binaire de débit D est donc représenté par un signal, dont on définit
alors la rapidité de modulation R (exprimée en bauds), comme le nombre de signaux
émis par le modulateur par unité de temps :
1
R = T (Bauds)
On parle alors de transmission M-aire et dans ce cas, la rapidité de modulation R
peut s‟exprimer en fonction du débit binaire D par la relation :
D
R = log M
2
Le choix du type de signaux dépend bien entendu des propriétés physiques du
milieu de transmission que le signal va traverser ; l‟émetteur assure donc aussi une
fonction d‟adaptation du signal modulé au milieu de transmission. Parmi les
traitements effectués par l‟émetteur, on peut citer le filtrage du signal modulé pour
limiter sa bande, et permettre ainsi à plusieurs utilisateurs de partager un même milieu
de transmission sans risque d‟interférences.
11
Lorsque la bande allouée à la transmission est centrée autour d‟une fréquence
f 0 élevée, le modulateur élabore parfois un signal dont le spectre est centré autour
d‟une fréquence dite intermédiaire et plus basse que la fréquence f 0 ; l‟émetteur
assure une fonction de changement de fréquence qui permet de centré le signal modulé
autour de la fréquence f 0 souhaiter.
1.6 Canaux de transmissions :
1.6.1 Canal de transmission à temps discret :
Un canal de transmission à temps discret associe une v.a. Y (sortie) à une v.a.
y
X(entrée) suivant une loi conditionnelle PY X ( x ) .
L‟entrée et la sortie d‟un canal de transmission peuvent êtres à valeurs discrètes ou
continues. Il est représenté sur la figure (3).
Figure (3) : représentation d‟un canal binaire symétrique.
1.6.2 Exemples de canaux de transmission à temps discret
Canal binaire symétrique BSC :
L‟entrée x et la sortie y d‟un canal binaire symétrique sont à valeurs binaires.
Les probabilités de transitions sont définies par les relations :
et
Ce canal est représenté sur la figure(3).
12
Canal à bruit additif gaussien blanc AWG N : (Average White Gaussien Noise)
C‟est un canal à bruit additif gaussien, il est représenté sur la figure(4). L‟entrée
x est à valeurs discrètes ou continues et la sortie y est à valeurs continues. Ce canal est
défini par la relation d‟entrée sortie.
y= x + b
Où b est une v.a à valeurs continues, gaussienne centrée et de variance
Les probabilités de transitions du canal AWGN sont définis par
.
Si la suite {bk } est I.I.D , le bruit est gaussien blanc. Les modèles de canaux
BSC est AWGN sont utilisés pour modéliser les canaux de transmission réelles.
Une source produit de l‟information, qui sera transmise par le anal de
transmission. Cette transmission sera possible si la quantité d‟information produite par
la source, son entropie, est inferieure à la capacité du canal de transmission.
Figure (4) : représentation d‟un canal à bruit additif blanc gaussien
13
1.6.3 Propriétés des canaux de transmission réels :
Nous allons présenter les paramètres essentiels des canaux de transmission
habituellement utilisés pour réaliser des transmissions numériques ou analogiques.
1.6.3.1 lignes de transmis
Soit
la vitesse de propagation d‟une onde électrique sur une ligne, la
variation de la phase d‟une sinusoïde de fréquence f est ϕ = βx = 2π fd /v g où d est la
distance parcourue, β est la constante de phase. L‟amplitude de la sinusoïde décroît en
fonction de la distance en
, où α est la constante d‟atténuation. L‟atténuation en
dB est définie à partir de la puissance émise et reçue par :
γ 0d = 10log
= 20 log
Le bruit est essentiellement apporté par les amplificateurs situés à l‟entrée des
répéteurs. Le canal est à bruit additif blanc gaussien de faible densité spectrale, qui est
contrôlée par l‟utilisateur. Les distorsions linéaires produites par la dépendance du
coefficient d‟affaiblissement en fonction de la fréquence et par la diaphonie entre des
lignes situées physiquement dans le même câble de transmission, sont les phénomènes
les plus gênants. La capacité des lignes de transmission est surtout liée à la bande
passante des supports.
1.6.3.2 Canaux Radioélectriques
Tous les canaux radio électriques ont en commun d‟utiliser une antenne
d‟émission et une antenne de réception. Le gain d‟une antenne est défini par :
G=
4A
2
Où A est l‟aire de l‟antenne, est la longueur d‟onde du signal et η est l‟efficacité
de l‟antenne. L‟´equation de transmission de Friis est définie par :
P
r
G
G
( )2
T
R
P
4
d
t
14
Où d est la distance de propagation et GT et G R sont les gains des antennes
2
) est l‟affaiblissement de propagation. Si l‟on
d‟´emission et de réception et (
4d
reporte la relation on obtient :
P
12
r
A
A
( )
T
R
T
R
P
d
t
Pour une surface d‟antenne donnée, augmenter la fréquence utilisée, permet de
diminuer la puissance émise. Cette remarque a bien entendu ses limites, il faut une
plus grande précision sur la réalisation des antennes, l‟absorption par l‟atmosphère
dépend de la fréquence utilisée, la technologie des amplificateurs d‟émission et de
réception est aussi fonction de la fréquence utilisée. Les mêmes lois s‟appliquent à
l‟optique où la longueur d‟onde est de l‟ordre du µm.
La relation permet de définir le Bilan de Liaison, qui sert à déterminer la puissance
d‟émission ou la distance utile de propagation. Le bruit dans les amplificateurs micro
ondes est aussi un effet commun aux systèmes de transmission radio électriques. La
densité spectrale de bruit produite par un amplificateur peut être définie par sa
température équivalente de bruit et par la relation thermodynamique N0 = KT, où N0
23
est la densité spectrale mono-latérale du bruit additif blanc gaussien, k = 1,38.10 est
la constante de Boltzman et T est la température équivalente du bruit de
l‟amplificateur.
1.6.3.3Transmissions en milieu urbain :
En milieu urbain, les antennes d‟émissions et de réception ne sont pas en vue
directe.
L‟affaiblissement moyen décroît en
, avec 3 < α < 4. Le modèle de prédiction le
plus utilisé est celui de Okumura-Hata Pour une distance donnée, la présence des
masques crée un affaiblissement de loi log normale, L‟affaiblissement de propagation
ou la puissance instantanée reçue, exprimés en dB, sui vent une loi gaussienne d‟écart
type compris entre 6 et 10dB.
15
1.6.3.4Canaux multi-trajets
La transmission radioélectrique entre des antennes, qui ne sont pas en vue directe,
est réalisée par des trajets réfléchis ou diffractés sur des obstac les. La présence de
plusieurs trajets est indispensable dans une liaison radioélectrique. La différence de
temps d‟arrivée des trajets définit la durée de dispersion dont l‟inverse est la bande de
cohérence du canal de transmission. Statistiquement, l‟amplitude instantanée du signal
reçu suit une loi de Rayleigh.
Les amplitudes de deux sinusoïdes distantes d‟au moins la bande de cohérence du
canal de transmission sont statistiquement indépendantes. Le mobile peut se déplacer
au cours d‟une transmission. En deux points distants d‟une demi-longueur d‟onde de la
porteuse, les amplitudes du signal reçu sont statistiquement indépendantes. On peut
utiliser deux antennes de réception distantes d‟une demi-longueur d‟onde. La durée de
stationnarité du canal de transmission ou est liée à la vitesse du mobile par la relation
τc =
La fréquence Doppler est égale à l‟inverse du temps de cohérence.
1.7 Le Récepteur :
Le récepteur qui a pour fonction de reconstituer le message émis par la source à
partir du signal reçu, comprend des circuits d‟amplifications, de changements de
fréquence et de démodulation pour les transmissions sur onde porteuse, de filtrage puis
d‟échantillonnage et de prise de décision. Le changement de fréquence et le
démodulateur permettent de ramener le signal modulé en bande de base. Pour
minimiser l‟influence du bruit, source incontournable des erreurs de transmission, le
signal en bande de base est en suite filtré puis échantillonné à des instants
caractéristiques. Finalement un circuit de décision identifie la valeur des éléments
binaires transmis à partir des échantillons reçus. Le choix effectué par le circuit de
décision est binaire, décision 0 ou décision 1 ce qui correspond à une opération dite de
« détection ».
16
Chapitre II : Transmission en bande de base
Dans ce chapitre nous allons, dans un premier temps, décrire les codes en lignes
utilisés pour les transmissions en bande de base, ainsi que quelques-unes de leurs
propriétés les plus importantes; nous examinerons ensuite les problèmes posés par leur
transmission sur ce que nous appellerons le canal « idéal », c‟est-à-dire un canal dont
la bande passante est infini.
2.1 Les codes en ligne :
2.1.1 Principe des codes en ligne :
Considérons la transmission d‟un message constitué par une suite infinie, ou du
moins très longue, d‟éléments binaires k émis aux instants KTb , (I.I.D) sur
l‟alphabet {0, 1}, avec :
P
k i; i= 0,1 k
i P
r
Sauf indication contraire nous supposerons dans la suite du mémoire que les
probabilités P0 et P1 sont identiques ( P0 = P1 =1/2).
Le principe du codage en ligne consiste à associer, à chaque élément binaire k du
message, un signal S i (t) de durée Tb choisi parmi ensemble de deux signaux, en
fonction de la valeur de l‟élément binaire k :
S i = 0 t 0, Tb ; i = 0, 1
L‟opération réalisée par le codeur en ligne est alors la suivante :
Si
Si
k = 0
k = 1
émission du signal S 0 (t-k Tb )
émission du signal S1 (t-k Tb )
Ainsi, à la suite des éléments binaires { k }, le codeur en ligne associe le signal e(t)
ayant pour expression :
e(t) =
S
(tkT
b);
i(k)
k
17
i(k) = 0,1
(2.1.1)
Où l‟indice k varie implicitement de -∞ à + ∞ la valeur de l‟indice i(k) est fonction de
la valeur de l‟élément binaire k :
i(k) = 0
i(k) = 1
k = 0
k = 1
si
si
Les signaux S 0 (t ) et S1 (t ) peuvent s‟exprimés à partir d‟une forme d‟onde unique
h(t) dont la durée est évidemment égale à Tb :
Si (t)A
(t) ;
ih
i = 0,1
On parle alors de modulation d‟impulsion en amplitude (MIA, ou en anglais PAM
« pulse amplitude modulation »). Ainsi, le signal e(t) en sortie du codeur en ligne peut
s‟écrire :
e(t) =
A
i(k )
h(t- kTb )
(2.1.2)
k
En générale pour simplifier les notations, le double indice i(k) est supprimé et le
signal e(t) s‟écrit simplement sous la forme :
e(t) =
a
k
h ( t kTb )
(2.1.3)
k
Où a k est maintenant un symbole binaire prenant ses valeurs dans l‟alphabet { A0 , A1 }
avec la convention suivante :
a k = A0
a k = A1
si
si
ak = 0
ak = 1
L‟opération précédente peut être généralisée en associant à chaque mot de n
éléments binaires issu du message, un signal S i (t ) de duré T = nTb choisi parmi
M 2 n signaux.
L‟expression du signal e(t) en sortie du codeur est donnée par (2.1.1) en
remplaçant Tb par T :
18
e(t) =
a h(t kT )
k
(2.1.4)
k
Où les a k sont des symboles M-aires qui prennent leur valeur dans un alphabet à M
éléments { A0 , A1 ,……, AM 1 }. L‟utilisation de symboles M-aires permet, en général,
à débit binaire donné D, de réduire la rapidité de modulation R en sortie du codeur en
ligne, puisque :
D
R = log M
2
(2.1.5)
2.1.2 Critère de choix d’un code en ligne :
Pour les transmissions en bande de base, le milieu de transmission est constitué
par un câble (bifilaire ou coaxial) caractérisé par sa bande passante. Le code en ligne
doit d‟abord être choisi pour assurer la compatibilité entre le débit D à transmettre et la
bande passante du milieu de transmission (choix d‟un nombre d‟états M).
D‟autres contraintes peuvent encore exister pour le choix d‟un code en ligne ;
illustrons-les à l‟aide de trois exemples.
Lorsque la distance entre la source de message et le destinataire est importante,
alors le signal issu du codeur en ligne doit être périodiquement « régénéré » pour
compenser l‟atténuation et la distorsion apportées par le câble. Cette opération de
régénération est réalisée à l‟aide de dispositifs électroniques (répéteurs -régénérateurs)
qu‟il faut alimenter en courant continu. Ce courant continu, dit de télé-alimentation, et
le signal associé au code en ligne utilisent en générale le même câble pour des raisons
économiques évidentes. Pour éviter toute interférence entre ces deux signaux, le
spectre du code en ligne doit être nul au voisinage de la fréquence zéro (le spectre d‟un
courant continu est constitué par une raie à la fréquence zéro).
Pour réaliser le décodage, le récepteur a besoin de connaître le rythme de la
transmission (le rythme symbole), c‟est-à-dire la fréquence, égale à 1/T, à laquelle les
symboles a K ont été transmis. La présence d‟une raie à cette fréquence dans le spectre
du code en ligne facilite la récupération du rythme de la transmission en réception.
En imposant certaines règles pour le codage des symboles a K , telle que, par
exemple, des configurations de symboles interdites, le récepteur pourra détecter la
présence anormale d‟erreurs de transmission, et disposer ainsi d‟éléments pour estimer
la qualité de la liaison.
La densité spectrale de puissance des codes en ligne est une de leurs caractéristiques
importantes.
19
2.1.3 Densité spectrale de puissance d’un code en ligne :
Un code en ligne représenté par la relation 2.1.4 est un processus aléatoire
cyclostationaire. Il possède une densité spectrale de puissance (DSP), qui peut être
évaluée en utilisant la formule de Bennett, décrite par la relation suivante.
1
2
S
(
f)S
(
f)
H
(
f)
S
a
T
(2.1.6)
Où S a ( f ) est la DSP de la suite codée { a k } et H(f) est la transformé de Fourier de la
fonction h(t) de mise en forme spectrale. Si les symboles sont indépendants et centrés,
la DSP d‟une modulation numérique possède une expression particulièrement simple.
2
E
a
2
k
S
(f)
H
(f)
S
T
(2.1.7)
La DSP de la suite codée est obtenue à partir de la transformée de Fourier discrète de
sa fonction d‟autocorrélation.
S
R
k) e j 2 KTf
a(f)
a(
(2.1.8)
Avec :
Ra = Eanan*k .
R
'a(
k
)
R
(
k
)
m
a
a , et on trouve
2
On pose :
S
R
k)e j2K T f =
a(f)
a(
R'
a
(k)
j 2 K T f
+ ma
2
e
j2 K f
On utilise les propriétés des transformées de Fourier des distributions on trouve :
m n
S
(
f
)
(
R
(
k
)
m
)
e
(
f
)
a
T
T
2
2
a
j
2
K
T
f
a
a
k
n
20
(2.1.9)
On remplace la relation 2.1.9 dans 2.1.6 on trouve :
2
2
2
H
(
f
)
m
n
n
2
a
j
2
K
T
f
S
(
f
)
(
R
(
k
)
m
)
e
H
(
)
(
f
)
(2.1.10)
S
a
a
2
T
T
T
T
k
n
Cette expression porte le nom de formule de BENETTE.
2.1.4 Puissance d’un code en ligne :
La puissance du signal S (t ) est évaluée par l‟intégrale de sa D.S.P, soit
H
(
f
) df
2
E
a
K
P
S
T
2
Pour simplifier la présentation, on utilisera toujours une fonction de mise en forme
spectrale h(t ) normée, dans ce cas on obtient simplement l‟expression de la puissance
du signal :
P
S
EaK
2
(2.1.11)
T
2.1.4 Energie moyenne par symbole :
L‟énergie moyenne par symbole est obtenue à partir de la puissance du signal et
de la rapidité de modulation DS = 1/T par la relation suivante :
E
P
E
a
S
ST
k
2
(2.1.12)
L‟énergie moyenne par élément binaire est définie à partir de l‟énergie moyenne
par symbole et du nombre d‟éléments binaires associés en moyenne à un symbole
transmis m = log 2 M
2
E
a
E E
k
s
E
s
b
log
M
m
log
M
2
2
21
(2.1.13)
Le débit binaire et la rapidité de modulation sont reliés par la relation
D
1
b
D
S
T log
2M
(2.1.14)
-L‟efficacité spectrale exprimé en bits/s/Hz est définie par :
b
D
(
bits
/s/Hz
)
B
Où Db désigne le débit binaire et B la bande de fréquence du canal.
-Le rapport signal sur bruit défini par :
RSB
E
n
N
0
Où Eb désigne la quantité d‟énergie par bit, exprimé en nombre de joules par bits, et
N 0 /2 la densité spectrale du bruit additif, blanc sur le canal, exprimé en W/Hz. On en
déduit que la puissance moyenne du signal est donnée par PS Eb Db et que la
puissance du bruit dans la bande B est donnée par Pb N0 B. On en déduit le rapport
signal sur bruit en puissance :
Ps
E
b =
Pb
N0
2.2 Calcule de la probabilité d’erreur :
Afin de calculer la probabilité d‟erreur, nous devons considérer la structure du
récepteur linéaire composé d‟un filtre linéaire de réponse impulsionnelle hr (t ) suivi
d‟un échantillonneur aux instants nT+t 0 et d‟un comparateur à seuils fonctionnant
symbole par symbole. Ce récepteur est représenté sur la figure (5).
αˆ n
tn=nT + t0
Filtre adapté
Comparateur
Affectation
M-aire=> binaire
Echantillonneur
Figure(5) : Schéma de principe d‟un récepteur
22
L‟échantillon y (t 0 ) , prélevé à l‟instant t 0 en sortie du filtre de réception, est comparé
à un seuil S et une décision concernant la valeur de l‟élément binaire 0 est prise selon
la règle suivante :
y (t 0 ) > S alors
y (t 0 ) < S alors
^
0 = 1
(2.2.1)
^
0 = 0
^
Où 0 représente le résultat de la décision prise sur l‟élément binaire 0 en sortie du
récepteur.
^
P
P
1
/
0
0
e
0
r
0
^
P
P
0
/
1
0
e
1
r
0
(2.2.2)
Si p0 , p1 est la distribution de probabilité associée à l‟élément binaire 0 , alors la
probabilité d‟erreur Pe est égale à :
P
p
P
p
e
0
e
0
1P
e
1
(2.2.3)
S
S
P
p
(
y
)
dy
p
P
(
y
)
dy
e
0
Y
/
0
1
Y
/
1
P
0
0
On suppose qu‟Y est une variable aléatoire gaussienne et de moyenne a 0 r(t) et de
2
variance on a :
y
r
(
t
)
1
0
P
(
y
)
exp
(
2
)
Y
/
1
2
2
2
2
y
r
(
t
)
1
0
P
(
y
)
exp
(
2
)
Y
/
0
2
2
2
2
23
(2.2.4)
Figure (6) : Densité de probabilité sous les deux hypothèses
En remplaçant les densités de probabilités conditionnelles par leurs expression e t en
introduisant la fonction d‟erreur complémentaire erfc(x) définie par :
2
2
erfc
exp(
u
)
du
x
(2.2.5)
La probabilité d‟erreur p e a finalement pour expression :
(
t
)
S
(
t
)
S
1 r
1 r
0
0
P
p
erfc
p
erfc
e
0
1
2
22
2
(2.2.6)
Avec :
S : seuil de décision
erfc : fonction d‟erreur
r (t 0 ) = h(t)gr (t)
g r (t ) : Filtre de réception
2.3 Seuil optimale :
Le seuil optimal est obtenu en cherchant la valeur de S qui annule la dérivée de la
probabilité d‟erreur, soit :
dPe
0
dS
24
Ce qui conduit à résoudre l‟équation :
2
2
r
(
t
)
S
r
(
t
)
S
0
0
p
exp
p
exp
0
1
2 0
2
2
2
Le seuil optimal, S opt , est alors égale à :
2
S
opt
P
ln0
2
r
(
t0) P
1
(2.3)
Le seuil optimal dépend de la distribution de la probabilité p0 , p1, c‟est-à-dire de la
structure du message ; si, par exemple, p1 p 0 , le seuil se déplace vers les valeurs
négative, de manière à « favoriser » la décision K = 1. Lorsque p0 p1 = ½ , le seuil
^
optimal est égale à zéros, le détecteur test le signe de l‟échantillon y (t 0 ) pour décoder
l‟élément binaire 0 .
2.4 Probabilité d’erreur minimale :
Eb
La probabilité d‟erreur minimale est exprimée en fonction du rapport N , où
0
Eb représente l‟énergie du signal reçu à l‟entrée du récepteur lorsque l‟élément binaire
0 est émis, et N 0 est la densité spectrale monolatérale du bruit.
22
E
h(
t)dt
0
b a
En tenant compte du fait que 0 1, la probabilité d‟erreur p e est égale à :
E
1
b
P
e erfc
2
N
0
(2.4)
On constate que la probabilité d‟erreur ne dépend donc pas de la forme d‟o nde h(t)
mais uniquement de son énergie. Deux formes d‟ondes différentes, mais ayant même
énergie, conduiront donc à la même probabilité d‟erreur. Dans la figure 7 nous avons
25
tracé la probabilité d‟erreur en coordonnées logarithmiques en fonction du rappor t
Eb
N0
en dB.
-1
Probabilité d erreur
10
-2
10
-3
10
0
1
2
3
Eb/N0 en dB
4
5
6
Figure(7) : probabilité d‟erreur pour un code en ligne à symbole binaire en fonction
Eb
du rapport N en dB
0
2.5 Interférences Entre Symboles (IES) :
L‟interférence entre symboles apparaît à la sortie du filtre de réception. Elle est
caractérisée par la contribution des autres symboles transmis sur le symbole, que l‟on
désire détecter. L‟échantillonneur fournit au détecteur à seuil, une suite d‟échantillons
1
à la rapidité de modulation DS = T . L‟échantillon y(nTt0)sert à décider la valeur
du symbole d n . L‟´echantillon est défini par :
y
(
nT
t
)
a
r
(
t
)
a
r
(
t
mT
)
b
(
t
nT
)
0
n
0
n
m
0
0
m
0
26
(2.5.1)
Le premier terme dépend du symbole n , le deuxième qui dépend des symboles
anm(m0) est appelé terme d‟interférence entre symboles (IES) et le troisième
représente le bruit.
2.6 Condition d’absence d’IES- Critère de Nyquist :
L‟absence d‟IES, aux instants de décision t0 nT, impose que l‟impulsion r(t)
vérifie la condition suivante :
r
(
t
nT
)
r
(
t
)0
0
0
,
n
n
(2..6.1)
Où 0,n représente le symbole de Kronecker. L‟impulsion r(t) peut être de durée et de
forme quelconques, mais tous ses échantillons aux instants t0 nT doivent être nuls.
En faisant la transformé de Fourier du signal échantillonné re (t ) on trouve :
t
1
n
R
(
f)
R
(
f) j2 n 0
e
T
Tn
Te
(2.6.2)
Et tenant compte de la relation 2.6.1 la condition d‟absence d‟IES peut s‟écrire :
n
R
f T
T
(2.6.3)
n
Cette condition est appelé critère de Nyquist. Pratiquement, cela signifie qu‟on ne peut
pas transmettre sans IES un signal de rapidité de modulations R=1/T dans une bande
inférieure à 1/2T.
Si on considère une bande de fréquence supérieure à [-1/2T, 1/2T], il est y a des
fonctions qui vérifient le critère de Nyquist. Une solution généralement retenue dans
les équipements de transmissions, est la fonction en cosinus surélevé :
27
1
T
si
f
2
T
T
T
1
1
1
C
S
(f)
1
sin
f
si f
2
2
T
2
T
2
T
0
AIILEURS
(2.6.4)
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-0.05
0
100
200
300
400
500
600
Figure(8) : réponse impulsionnelle d‟un filtre en racine de cosinus surélevé
28
Chapitre 3 : Détection du signal bande étroite :
Avant de parler de la détection du signal intrus (signal bande étroite) nous allons
faire un rappelle théorique sur l‟estimation de la densité spectrale de puissance parce
que nous allons en avoir besoin après pour expliquer la méthode de détection que nous
avons utilisé.
Introduction :
L‟analyse spectrale est la décomposition en composantes fréquentielles d‟une
grandeur variant en fonction du temps. C‟est l‟une des techniques les plus courantes de
traitement de signaux.
L‟analyse spectrale expérimentale est un outil d‟investigation irremplaçable
dans de nombreux domaines. Les techniques usuelles d‟analyse spectrale se rattachent
à deux classes principales :
-
méthodes directes (filtrage sélectif, périodogramme).
méthodes indirectes (corrélogramme, méthodes paramétriques…)
L‟analyse spectrale expérimentale diffère du modèle théorique pour la raison
principale que l‟observation du signal n‟est faite que pendant une durée limitée
(nombre fini d‟échantillons dans le cas numériques). Ceci no us contraint à définir la
notion d‟estimateur. En effet, cette densité définie par transformation de Fourier de la
fonction d‟autocorrélation devra, en pratique être calculée à partir d‟observation de
durée limitée.
3.1 Estimation de la densité spectrale de puissance :
a- Le périodogramme :
Soit x(n) un processus aléatoire stationnaire du second ordre au sens large, centré.
*
sa fonction d‟autocorrélation et S(f ) sa dsp. On appelle
(
k
)
E
x
n
k
x
(
n
)
On note R
(
0
,1
)définie
par
:
périodogramme la fonction aléatoire de f
1
1N
2
j
n
f
S
(
f)
x
n
e
n
N
n
0
2
^
29
(3.1)
Cette estimateur peut être calculé directement en élevant au carré la transformé de
Fourier (FFT) de la séquence observée, ce qui montre tout l‟intérêt de cette approche.
En réalité, cet estimateur est bien décevant car il est biaisé et la variance de l‟erreur
spectrale de décroît pas avec la durée d‟observation. Quelque soit cette durée, la
variance de cette estimateur reste proportionnelle au carré du spectre cherché.
L‟idée est de ne pas utilisé directement le périodogramme pour estimé la dsp mais des
séquences qui représentent des portions du signal, en divisant l‟échantillon x(n) de
longueur N en K segments de longueur.
i
M, on définie les séquences élémentaires x M (k ) par :
i
x
(
k
)
x
(
iM
k
),
i
0
.....
k
1
,
k
0
........
M
1
(3.2)
M
M
On peut alors construire pour chacune des séquences élémentaires une
estimation de la dsp, soit :
^
2
1
i
i
i
2
j
k
f
S
(
f
)
X
(
f
)
,
avec
X
(
f
)
x
(
k
)
e
i
M
M
M
M
(3.3)
On calcule les K périodogramme et on effectue leur moyenne :
1^
^
1K
S
(f)
S
f)
N
i(
K
i
0
(3.4)
i
En supposant que les échantillons successifs x M (k ) ne sont pas corrélés, on constate
que la variance est divisée par un facteur K qui correspond au nombre de segments
choisis. Si on veut avoir une variance la plus petite possible on a qu‟à choisir une
grande valeur pour K mais cela n‟est pas sans conséquences car en détériore la
résolution spectrale en réduisant le nombre de point de chaque fenêtre d‟analyse M =
N/K. On conclusion le choix de K relève d‟un compromis entre résolution et variance
si K est grand la variance est diminué mais la résolution se dégrade et la réciproque est
vrai.
b- estimateur de welch :
On prend la procédure précédente, en applique cette fois une fenêtre de
pondération sur les données de langueur M. les nouvelles tranches s‟écrivent :
30
i
i
x
(
k
)
*
w
(
k
)
x
(
k
)
M
M
W
(3.5)
Et on calcule :
i
2
1X
(f)
w
1K
S
(
f
)
w
K
M
i
0
^
(3.6)
^
La formule d‟estimation S w ( f ) doit être corrigée, car, par l‟application de la
i
fenêtre wM (k ) , nous avons modifié la puissance moyenne de la tranche x m (k ) . Il
convient d‟appliquer un
1 M1 2
w
M(k).d‟où la nouvelle expression de l‟estimateur :
terme correcteur égal à M
K0
i
2
(f)
M1K X
w
S
(f)
w
M
1
K
M
2
i
0
w
(
k
)
M
^
(3.7)
k
0
Le fait de multiplier certains échantillons par des coefficients de pondération très petits
fait que ces échantillons jouent un rôle négligeable dans le calcul, d‟où l‟idée de welch
de faire chevaucher les sous intervalles. Le taux de recouvrement le plus souvent
utilisé est 50%.
3.2 Description de la méthode :
Pour bien comprendre les motivations, qui nous ont poussés à nous orienté vers
cette méthode, nous allons faire un petit résumé du problème. Dans notre cas nous
avons deux signaux dont l‟un des deux on a aucune information à priori ; les deux
signaux ont des Ts différent et donc deux bandes différentes et le signal qu‟on veut
détecter a une puissance plus faible que le signal large bande ; dans le domaine
temporel les deux signaux sont présent tout au long de la duré d‟observation par contre
dans le domaine fréquentiel le spectre du signal bande étroite vas êtres présent en
même temps que le spectre du signal large bande que pendant une bande de fréquence
bien précise. Donc notre idée est de découpé la bande du signal totale en plusieurs sous
bande ensuite on met un détecteur dans chaque sous bande.
31
On se fixe un seuil après on fait notre teste de détection ; il est bien évident que les
performances de notre méthode vas reposer sur notre détecteur et plus précisément sur
le seuil de détection.
3.3 Teste de détection :
Le test de détection est le suivant :
H
(
t)
b
(
t)
0: y
H
(
t)
x
(
t)
b
(
t)
1:y
(3.3.1)
C‟est un test binaire composé de deux hypothèses. H 0 est l‟hypothèse dite nulle
correspondant à l‟événement « signal absent » et H 1 est l‟hypothèse dite alternative
correspondant à l‟événement « signal présent ».
Soient py / H0 et py / H1 , les densité de probabilité de y(t) respectivement
sous H 0 et sous H 1 . Lorsque les probabilités a priori PH 1 et 1 - PH 1
respectivement des hypothèses H0 et H1 sont connues, alors le détecteur optimal, au
sens du minimum de la probabilité d‟erreur décide H 1 est vrai si :
py/ H1
1 PH1
>
py/ H0
PH1
(3.3.2)
p
(y/H)
1
(y
)
Le rapport
p
(y/H) est appelé rapport de vraisemblance, les fonctions
0
p(y / H0 ) et p( y / H1) sont appelées fonctions de vraisemblance et un test basé sur ce
rapport est appelé « test de vraisemblance ».
En choisissant l‟une des deux hypothèses H 0 et H 1 , deux types d‟erreurs peuvent se
produire :
-
Erreur de premier type : elle correspond au cas où l‟hypothèse H 1 est choisie
alors que le signal est absent. En terminologie radar, cette erreur est dite de
fausse alarme dont la probabilité Pfa est donnée par :
1
P
H
P
prob
y
1/
H
fa
0
P
H
1
32
(3.3.3)
-
Erreur de second type : elle se produit lorsque l‟hypothèse H 0 est choisie alors
que le signal est présent. Sa probabilité Pnd est donnée par :
1
P
H
P
prob
y
1/
H
nd
1
P
H
1
(3.3.4)
En terminologie radar, cette probabilité est appelée probabilité de nondétection et son complément 1 Pnd est désigné par la probabilité de détection Pd qui
correspond à la probabilité de choisir correctement l‟hypothèse H 1
Il est courant de représenté les performances d‟un détecteur à l‟aide d‟un
réseaux de courbes montrant la probabilité de détection Pd en fonction de la probabilité
de fausse alarme Pfa (figure 9). Le test est bon lorsque ces courbes sont situées audessus de la ligne de chance qui caractérise le hasard pur.
Dans la littérature, cette représentation est appelé courbe COR (Caractéristiques
Opérationnelles du récepteur) [4].
Figure(9) : Exemple de courbe COR montrant la probabilité de détection Pd en
fonction de la probabilité de fausse alarme Pfa
33
Il existe un test le plus puissant qui maximise la probabilité de détection appelé test de
Neyman-Pearson sous la contrainte de probabilité de fausse alarme constante.
On suppose qu‟on a des variables aléatoires gaussiennes X, i.i.d, le test de NeymanPearson est le suivant :
L
x
.........,
x
/H
1
n
0
1
S
Rejet de H 0 si L
x
.........,
x
/H
1
n
0
0
(3.3.5)
Avec :
.........,
x
L x
1
n
0/H
1la fonction de vraisemblance sous l‟hypothèse H 1
.........,
x
L x
1
n
0/H
0la fonction de vraisemblance sous l‟hypothèse H 0
S : Seuil de décision
1
exp
2
n
22
2
2
1
1
exp
2
n
22
2
2
1
Rejet de H 0
si
n
x m
i
1
2
i
1
xi m
0
i
1
n
> S
(3.3.6)
2
n
Rejet de
H0
si :
T =
x S ,
i 1
i
où T est appelé statistique du test.
Nous remarquons que pour faire le test de détection il est primordial de connaitre les
densités de probabilité de y(t), py / H0 et py / H1 ) respectivement sous H 0 et sous
H 1 , ainsi que les probabilités a priori PH 1 et 1 - PH 1 respectivement des
hypothèses H0 et H1 ; seulement dans notre cas nous n‟avons aucune information a
priori sur le signal que nous voulons détecté c‟est pour cela que nous nous so mme
orienté vers la détection du spectre du signal (densité spectrale de puissance).
34
Le teste de détection est le suivant :
Sous l’hypothèse H 0 : nous avons le spectre du signal large bande (dsp) + le spectre
du bruit (dsp) du bruit.
Sous l’hypothèse H 1 : nous avons le spectre du signal large bande (dsp) + le spectre
du signal bande étroite (dsp) + le spectre du bruit (dsp).
H
S
(
f
)
S
(
f
)
0
1
b
H
S
(
f
)
S
(
f
)
S
(
f
)
1
1
2
b
(3.3.7)
Avec :
S1 ( f )
1
2
S
a
1(f)H
1(f) la densité spectrale de puissance du signal large bande défini
T
dans la section 2.1.3 équation 2.1.6.
S2 ( f )
1
2
S
a
2(f)H
2(f) la densité spectrale de puissance du signal bande étroite.
T
Sb ( f )
N0
2
H( f ) la densité spectrale de puissance du bruit.
2
Il est bien évident qu‟en pratique on ne dispose pas des valeurs réelles mais des
estimés donc les deux hypothèses deviennent :
^
^
^
^
H
S
(f)
S
(f)
1
0
b
(3.3.8)
^
H
S
(f)
S
(f)
S
(f)
1
2
1
b
35
On remplaçant les densités spectrales estimé respective du signal large b ande, bande
étroite et du bruit par la relation 3.7 on trouve :
2
2
i
i
KX
KX
(
f)
(
f)
M
M
1
w
bw
1
1
H
0
M
1
M
1
K
K
2
2
0 M
0 M
w
(
k
) i
w
(
k
) i
M
M
k
0
k
0
2
2
2
i
i
i
KX
KX
KX
(
f)
(
f)
(
f)
M
M
M
1
w
2
w
bw
1
1
1
H
1
M
1
M
1
M
1
K
K
M
K
2
2
2
0 M
0
0 M
w
(
k
) i
w
(
k
) i
w
(
k
) i
M
M
M
k
0
k
0
k
0
Avec :
x (k)e (signal large bande)
x (k)e (signal bande étroite)
(f) =
x (k)e (bruit)
(f) =
X 1iw ( f ) =
i
1
M
j2 kf
X 2i w
i
2
M
j2 kf
i
X bw
i
bM
j2 kf
Le seuil de détection est :
S = MAX [
36
(3.3.9)
Π-Partie : Estimation du rythme symbole
Problématique : Nous supposons qu‟un signal produit par un émetteur inconnu
utilisant une modulation QAM (Quadrature Amplitude Modulation) a été détecter et
ramené en bande de base par rapport à la fréquence porteuse du récepteur. Les
paramètres techniques de la modulation (période symbole, résidu de fréquence
porteuse, filtre de mise en forme) sont inconnus, et le signal transmis par l‟émetteur est
de surcroît perturbé par un canal de propagation à trajets multiples inconnu.
L'estimation de la période symbole du signal reçu constitue une étape essentielle de la
chaîne de traitements effectuée à la réception. En effet, la connaissance de la période
symbole est nécessaire à la mise en œuvre de certaines méthodes d'égalisation, mais
aussi au niveau de la démodulation, car cette étape requiert une estimation préalable de
Ts.
Habituellement, l'estimation aveugle de la période symbole Ts est effectuée en
exploitant la propriété de cyclostationnarité des signaux de communications
numériques : ces méthodes classiques, souvent appelées méthodes cycliques (voir [4]
pour une approche détaillée), reposent sur l'observation que la plus petite fréquence
cyclique du signal reçu correspond à la vitesse de modulation 1/Ts La détection des
fréquences cycliques fournit donc une estimée de la période symbole. Toutefois,
lorsque l'excès de bande du signal observé est faible, la probabilité de fausse détection
de la fréquence cyclique 1/Ts augme nte : les performances des méthodes cycliques
peuvent alors être peu convaincantes. Dans le cas où le signal observé est modulé
linéairement, une approche alternative fondée sur l'optimisation de fonctions de
contraste et permettant de palier à ce problème a récemment été proposée dans [3].
L'approche décrite dans [3] concerne uniquement le cas de modulations linéaires de
symboles i.i.d, ce qui est notre cas puisqu‟on est en présence d‟une modulation QAM.
37
Π.1) Introduction :
Rappelons tout d‟abord le contexte dans lequel ce travail se situe. En effet, le
signal reçu est échantillonné avec une fréquence d‟échantillonnage qui n‟est pas un
multiple du débit symbole (
). Dans ce qui suit,
nous travaillerons avec
=2.8.
Notre objectif dans le cadre de ce rapport consiste à définir des techniques
permettant d'estimer la période symbole à partir du signal reçu, et préalablement à tout
autre traitement, tel que l‟égalisation ou la démodulation car la plupart des algorithmes
d'égalisation qu‟on trouve dans la littérature [4],[6], requièrent la connaissance de la
période symbole. Nous nous plaçons dans le contexte suivant : nous supposons que
l‟émetteur utilise une modulation linéaire. Notons par
l‟enveloppe complexe du
signal temps continu reçu par le système de communication, il peut être écrit sous la
forme :
+
(Π.1)
Où
est la séquence de symboles supposées être i.i.d.
la période symbole
qu‟on cherche à estimer et h(t) est le résultat de la convolution entre le filtre de mise
en forme (filtre en racine de cosinus surélevé dans notre cas) et la réponse
impulsionnelle du canal de propagation,
est la fréquence de décalage de la
porteuse(ou résidu de porteuse) et
est un bruit gaussien de moyenne nulle et de
variance .
Dans tout ce qui suit, nous supposons que
est bornée et causale. Le but étant donc
de retrouver la période symbole
; ce genre de problème est appelé „aveugle‟
puisqu‟on ne connaît ni
ni
. On ne dispose non plus d‟aucune séquence
d‟apprentissage. Pour pouvoir résoudre ce problème, on a recours soit aux statistiques
d‟ordre supérieur à 2 du signal de sortie y(t), soit à la propriété de cyclostationnarité de
ce dernier.
Etant donné qu‟on ne dispose pas d‟information à priori sur ce signal de sortie,
l‟alternative est donc de passer par la cyclostationnarité. Tout ce dont on dispose est le
signal reçu c'est-à-dire
.
Avec la méthode cyclique [7], le signal reçu
possède la propriété suivante : tout
multiple de
avec
, est une fréquence cyclique. Cette remarque est la clé de
plusieurs estimations de Ts. Dés lors, une estimation de Ts peut être obtenue comme
étant l‟argument maximum d‟une certaine fonction de coût [6].
38
Due à la largeur de bande du filtre de mise en forme, nous pouvons penser que
possède une seule fréquence cyclique strictement positive i.e pour
Cependant
cette méthode souffre de certains inconvénients, dont on a parlé plus haut, notamment
lorsque l‟excès de bande tend vers zéro. Une nouvelle méthode est présentée et qui
permet de remédier à ces inconvénients.
Π.2) Modulation d’amplitude en quadrature :
Un signal
modulé en QAM s‟écrit sous la forme suivante :
(Π.2)
Où les deux signaux
et
ont pour expression :
(Π.3)
Le signal modulé
est donc la somme de deux porteuses en quadrature, modulées
en amplitude par les deux signaux
et
.
et
sont des symboles qui prennent leurs valeurs dans le même alphabet à
éléments donnant ainsi naissance à une modulation possédant
éléments .
Chaque état est donc représenté par un couple ( , ) ou ce qui revient au même par
un symbole complexe
Dans le cas particulier mais très fréquent où M
peut s‟écrire
, alors les
représentent un mot de n bits et les
représentent
aussi un mot de n bits. L‟intérêt de cette configuration est que le signal s(t) est obtenu
par une combinaison de deux porteuses en quadrature modulées en amplitude par des
symboles
et indépendants. Cette modulation prend naturellement le nom de
modulation d‟amplitude en quadrature (MAQ) et si sa constellation comporte E états,
on la note MAQ-E (voir figure (Π.1)).
39
QAM-16
3
2
quadrature
1
0
-1
-2
-3
-3
-2
-1
0
phase
1
2
3
Figure (Π.1) modulation QAM à 16 états
Π.3) Conclusion : Après ces brefs rappels sur quelques notions de télécommunication,
nous allons entamer la deuxième partie de ce rapport dans laquelle nous verrons, après
avoir passé en revue l‟estimateur basé sur la cyclostationnarité, la méthode utilisée
pour l‟estimation de la période symbole, c'est-à-dire la nouvelle méthode de
déconvolution qui se base sur le critère du module constant.
40
Chapitre2 : Estimation de la période symboles
II.2.1) Introduction : Comme nous l‟avons évoqué un peu plus haut, cette partie
concerne l‟estimation de la période symbole. Mais avant de parler de la nouvelle
méthode basée sur le concept de la déconvolution, nous allons parler d‟abord
brièvement d‟une méthode d‟estimation basée sur l‟estimation par détection de la
fréquence cyclique (appelée aussi méthode classique) et voir quelques inconvénients
qui pourront être évités avec la nouvelle méthode. Nous verrons ensuite que la
combinaison de ces deux méthodes permet de garantir une meilleur estimation de .
Enfin nous parlerons de la manière dont l‟estimation de la période symbole est réalisée
en présence d‟un résidu de porteuse.
II.2.2) Estimation par détection de fréquences cycliques :
L'approche en question, comme nous l‟avons évoqué plus haut dans la problématique,
consiste à remarquer que le signal en sortie du filtre c‟est-à-dire
(équation (Π.1))
est cyclostationnaire à l‟ordre 2, et que le débit symbole 1/Ts est sa plus petite
fréquence cyclique strictement positive.
Ceci s‟explique par le fait que le support de la fonction de transfert
de la réponse
impulsionnelle
est borné (car appartenant à l‟intervalle [-B,B], avec
,
le facteur d‟excès de bande). Ainsi, en dehors de cette bande, cette fonction de
transfert étant nulle, il en est de même pour le cyclo-spectre car relié à la fonction de
transfert par [8] :
(Π.4)
Avec
la variance du signal d‟entrée.
Ainsi, les seules valeurs de k qui n‟annulent pas
fréquences cycliques sont donc
.
sont donc 1, 0, -1. Les
Dans ce cas, le facteur d‟excès de bande ou de roll-off doit être très grand devant 0 et
strictement inférieur à 1 pour des raisons que nous verrons peu après.
41
Ce problème d'estimation est relativement classique, et se résous en pratique à partir
du signal à temps discret
obtenu par échantillonnage de y(t) à une période Te
qui respecte Shannon.
On remarque en effet que
est cyclostationnaire et que sa plus petite
fréquence cyclique positive correspond à
. Autrement dit, il existe un entier k
tel que l‟autocorrelation cyclique considérée au point k et à la fréquence cyclique est
non nulle.
Estimer
équivaut donc à estimer la plus petite fréquence cyclique
de
.
Pour ceci, on peut par exemple définir l‟estimée de
comme l‟argument d‟une
certaine fonction de coût définie de la manière qui suit :
(Π.5)
où
cyclique
est l‟estimateur de l‟autocorrelation cyclique de
et à l‟instant K défini par :
à la fréquence
(Π.6)
I est un intervalle de recherche de qu‟il faut choisir avec précaution. N est le nombre
d‟échantillons disponibles et K est un paramètre qu‟il faut choisir de telle sorte qu‟il
permette une bonne estimation de .
Comme nous l‟avons dit précédemment, le choix du roll-off est d‟une importance
capitale pour une bonne estimation. En effet, si la bande passante du signal d‟entrée est
de l‟ordre de
, l‟autocorrelation cyclique du signal de sortie prend des valeurs très
faibles.
La méthode ainsi présentée, conduit alors à des performances qui peuvent être
médiocres si on ne considère pas un grand nombre d‟échantillons, ce qui pourrait être
un inconvénient dans les applications temps réel.
42
II.3) Procédure d’estimation de
en utilisant une nouvelle méthode:
La plus populaire des fonctions de coût utilisées pour déterminer le filtre
égaliseur est sans doute le critère du module constant introduit par Godard dans [5] et
étudié ensuite par de nombreux auteurs. Cette fonction nous permet aussi de
déterminer la période symbole.
II.3.1) Principe général de la méthode :
Afin d‟estimer , nous proposons d'échantillonner le signal reçu y(t) à une
fréquence initiale
(une période qui respecte le théorème d‟échantillonnage de
Shannon), puis de générer par interpolation le signal
pour chaque valeur de
appartenant à une grille discrète de points bien choisie. Notons au passage que
n‟est en général pas stationnaire, mais cyclostationnaire (ou presque
périodiquement corrélée).
Pour chaque , un CMA (Constant Modulus Algorithm), permet de construire
un égaliseur
fonctionnant à cette cadence et qui minimise le critère du module
constant introduit par Godard dans [6 ]et qui est utilisable sous certaines conditions
que nous verrons après . La valeur minimale du critère est égale à
.
La figure II.2 illustre le procédé ci-dessus. On obtient alors un estimateur initial de la
période symbole en cherchant le point
de la grille pour lequel
est minimum.
L'inconvénient majeur de cette approche est évidemment sa complexité : elle nécessite
en effet de mettre en oeuvre un égaliseur en tout point de la grille, alors que les
méthodes cycliques sont quant à elles beaucoup moins complexes.
Figure II.2 : génération de la fonction de coût
43
Pour mener à bien ce travail, on commence d‟abord par des cas qui sont plus ou moins
simples c‟est à dire qu‟on considère pour un début que
qui est la fréquence de
décalage de la porteuse (appelé aussi résidu de porteuse) est nulle, c‟est à dire que,
dans un premier temps, nous supposons pour des raisons de simplifications que la
fréquence porteuse de l‟émetteur est connue du récepteur et donc que le signal reçu a
pu être ramené en bande de base.
Une fois cette étape franchie, nous généraliserons l‟approche au cas où un résidu de
fréquence porteuse est présent.
II.3.2) Calcul de la période symbole
Soit
la fonction de transfert d‟un égaliseur numérique fonctionnant à la
cadence
. On désigne par
le signal à temps discret en sortie de
l‟égaliseur excité par les échantillons
.
(Π.7)
Cette équation peut être réécrite sous la forme suivante :
(Π.8)
Posons
, l‟équation ci-dessus (II.8) peut être exprimée sous la forme suivante,
car dépendant de
mais aussi de
:
(Π.9)
La fonction de coût qui sera utilisée pour la minimisation peut être écrite sous la forme
générique suivante [3]:
(Π.10)
44
Avec
et
des fonctions mathématiques à valeurs réelles définies sur C et qui so nt
respectivement concaves sur et convexes sur R. Elles sont de plus, continûment
différentiables.
sont des fonctions polynômes en
,
ou
.
Pour être une fonction de contraste, J(G,α) doit vérifier les conditions suivantes :
admet une limite inférieure c’est à dire qu’il existe un réel constant k
tel que pour tout filtre stable G,
.
L’égalité survient si et seulement si
=1 c’est-dire
=
.
( , , , ) sont définies de telles sortes que
ainsi défini soit une fonction
de contraste avec une borne inférieure que nous appellerons K.
Dans cette perspective, nous pouvons envisager deux cas:
celui-ci est différent de 1 ( ≠1).
= 1 un cas et un autre où
Dans le premier cas, c'est-à-dire = , il est important de noter que
est une suite stationnaire. En effet, le signal analogique reçu y(t) est le résultat d‟un
filtrage linéaire par H(f) du signal cyclostationnaire s(t) et, par conséquent, est luimême cyclostationnaire de période
.
Il en va de soi donc que le signal à temps discret
est de même pour la sortie de l‟égaliseur
est stationnaire, il en
.
Lorsque = , le critère du module constant introduit par Godard [5] est obtenu à
partir de l‟équation (II-10) en remplaçant les fonctions définies ci-dessus par:
Ce qui donne :
(Π.11)
Cela conduit à la propriété suivante [9] :
45
Propriété :
si et seulement si la suite
est de module constant égale à 1 :
Dans le deuxième cas, les données reçues sont échantillonnées avec une période
quelconque, les signaux
et
sont en général non
stationnaires. Par conséquent la quantité
dépend de n. Dans ce cas
plus général, il nous faut donc une autre fonction de coût plus générale.
En partant une fois de plus de l‟équation (II-10) et en remplaçant les fonctions
( , , , )
on a :
(Π.12)
La mise en œuvre et les propriétés de cet algorithme ont été largement étudiées dans la
littérature, notamment dans [5], [10].
Nous faisons l‟hypothèse suivante [9] :
Supposons que la bande passante du signal y(t) soit inférieure à
du canal de propagation s‟annule dans un
également que la réponse fréquentielle
intervalle de fréquence
.
Alors le critère
Supposons
définit par :
vérifie les deux conditions suivantes :
46
La période symbole est donc obtenue en minimisant cette fonction de coût qui non
seulement dépend de
par l‟intermédiaire de , mais aussi du filtre numérique (ou
filtre égaliseur) G(z) , dont le rôle est de compenser l‟effet des trajets multiples ; ce qui
permet ainsi de retrouver les données émises à un retard et / ou un décalage près.
Cependant, il n‟est pas aisé de pouvoir minimiser cette fonction de coût puisque,
comme nous l‟indique l‟équation (II.12) cette fonction est à deux variables (G et ).
Et c‟est justement pour cette raison qu‟on va d‟abord fixer une des valeurs c'est-à-dire
et la faisons varier dans une certaine plage (par l‟intermédiaire de
), ensuite
cherchons pour chacune des valeurs de
, le G tel que la fonction de coût soit
minimale. Autrement dit, pour chaque valeur de
correspond une fonction de coût
minimale par rapport à G. Toutefois, cela ne nous permet d‟avoir que
pour
l‟instant. Sachant que cette dernière dépend de
(et donc de ), le tracé de la courbe
de cette dernière par rapport à
, nous montrera qu‟ il existe bien un minimum et
qu‟il est atteint pour seulement
dans l‟exemple considéré).
II.4) Complémentarité des deux méthodes :
La fonction de coût
ne se prête pas à une optimisation par algorithme
du gradient. Si la densité de la grille n'est pas suffisante pour produire un estimateur de
variance suffisamment faible, il est donc nécessaire de réitérer la procédure
d'optimisation de
sur une grille plus étroite et centrée sur la première estimée
de Ts.
En revanche, les méthodes cycliques permettent de mettre en œuvre un
algorithme du gradient. Toutefois, elles sont basées sur la minimisation d'une fonction
de coût souffrant de nombreux maxima locaux et nécessitent donc d'utiliser, comme
dans la méthode proposée, une recherche exhaustive sur une grille afin de mettre en
évidence une estimée initiale de Ts. Lorsque l'estimée initiale ainsi obtenue ne
coïncide pas avec le point de la grille le plus proche de Ts (on parle alors de fausse
détection), l'algorithme du gradient peut être mis en échec.
47
Par conséquent, une procédure globale d'estimation de la période symbole consiste à
effectuer dans un premier temps une recherche exhaustive en utilisant celle des deux
méthodes mentionnées qui fournit le plus faible pourcentage de fausses détections,
puis, dans un deuxième temps, d'initialiser un algorithme du gradient basé sur les
méthodes cycliques. Il reste donc à déterminer par simulation le pourcentage de
fausses détections correspondant à chacune des méthodes [9].
II.5) Présence d’un résidu de fréquence porteuse
Supposons cette fois, qu‟un résidu de fréquence porteuse
subsiste dans le
signal reçu y(t). La question est donc comment cette hypothèse influe-t-elle sur les
solutions du critère du module constant ? Si l‟égaliseur G(f) est tel que, pour une
certaine période d‟échantillonnage , le critère du module constant
est nul,
comment donc la période symbole peut-elle être estimée ?
Nous montrons ici que les solutions de la condition de module constant peuvent
être aisément déduites du cas où le résidu de porteuse est supposé nul. Grâce à une
démarche identique à celle du paragraphe précédent, il apparaît que le signal y(t) reçu
comme nous l‟avons écrit plus haut (équation (II.1) ) est :
+
D‟après [8], on a la proposition suivante :
Proposition :
Supposons en outre qu‟il existe un résidu de porteuse
non nul et que le signal z(t)
observé en sortie de l‟égaliseur est de module constant. Alors pour réel, on peut
écrire :
où
correspond à une solution du critère du module constant caractérisé au
paragraphe précédent, dans le cas où le résidu de porteuse est supposé nul.
Cette proposition signifie qu'il y a équivalence, à un facteur
près, entre les
solutions du critère du module constant dans le cas où le résidu de fréquence porteuse
est nul et dans le cas où il vaut
.
48
II.6) Conclusion :
Dans cette partie, nous avons vu entre autre l‟estimation de la période symbole
avec les deux méthodes d‟estimation ; nous avons vu qu‟avec la méthode du critère du
module constant, nous obtenons de bonnes estimations contrairement à celle clas sique
où nous avons vu que lorsque le roll-off est très petit, l‟estimation peut être faussée.
Toutefois, cette dernière est plus facile à mettre en œuvre que la première. En outre,
nous avons vu aussi que la combinaison de ces méthodes donne des meilleurs résultats.
Pour finir, nous avons, pour la CMA, que l‟estimation en présence d‟un résidu de
porteuse se déduit facilement, contrairement à ce que nous pouvons nous attendre.
49
PartieIII : résultats et discussion
III.1 Simulation :
Dans cette partie nous allons étudier les performances du détecteur en fonction du
rapport signal à bruit (RSB) et en deuxième partie en fonction de l‟atténuation entre les
deux signaux.
Nous générons le premier signal (large bande) avec Ns1= 10000 symboles
(nombre de symbole par segments), le nombre de segment est de 100, le nombre totale
de symbole du signal est de 10000*100=1000000 symboles chaque symbole a une
duré Ts = 0.5 s Te= 0.1 s , la bande du signal est B=3MHZ, les symboles seront
mis en forme par un filtre en racine de cosinus surélevé avec 0.5 (le rolloff), une
fois le signal généré nous allons le modulé par une modulation QAM à 4 états, pour le
signal bande étroite Ns2= 1000 symboles, chaque symboles a une duré e Ts= 5 s on
fait varié le RSB et on estime le spectre du signal reçu pour chaque valeur du RSB
ensuite on fait le test de détection pour chaque segment du signal.
8
6
6
6
5
5
5.5
6
5
4
0
50
100
150
4.5
0
50
100
150
4
0
50
100
150
4
6
6
6
6
5
4
4
4
4
2
2
2
3
0
50
100
150
0
0
50
100
150
0
0
50
100
150
0
6
6
6
6
4
4
4
4
2
2
2
2
0
0
50
100
150
0
0
50
100
150
0
0
50
100
150
0
6
6
6
6
4
4
4
4
2
2
2
2
0
0
50
100
150
0
0
50
100
150
0
0
50
100
150
0
0
50
100
150
0
50
100
150
0
50
100
150
0
50
100
150
Figure(10) : représentation des différents détecteurs dans chaque bande
La figure suivante nous montre les différents tests de détection sous H1 et H0
effectués dans chacune des bandes du signal. Dans le premier carré nous voyons bien
que le spectre en bleu qui représente l‟hypothèse H1 est supérieur au seuil de
50
détection, donc cela indique la présence du signal bande étroite tant dis que le spectre
ver qui représente l‟hypothèse H0 est au dessous du seuil (rouge) et donc on a que le
signal large bande qui est présent.
Dans le deuxième carré de la figure nous voyons bien que les deux s pectres se
superpose car il n ya plus de signal bande étroite, après nous remarquons que les deux
spectre continue à diminuer dans les autres carrés jusqu'à ce qu‟on ai que le spectre du
bruit et qui restera constant dans tous les autres carré.
D‟après la figure nous pouvons déduire que la méthode utilisée nous permet
aussi d‟estimer la bande de fréquence de la porteuse inconnue et même de la localiser
dans la bande de la porteuse utile (porteuse large bande), chose très importante pour
extraire les informations sur la porteuse.
6.8
bleu spectre sous H1
ver spectre sous H0
rouge seuil
6.6
6.4
6.2
6
5.8
5.6
5.4
5.2
5
0
20
40
60
80
100
120
140
Figure(11) : représentation des deux spectres sous H1 et H0 pour un rapport signal à
bruit (RSB=10 dB)
Dans cette figure nous voyons bien que le spectre en bleu qui représente
l‟hypothèse H1 est supérieur au seuil de détection, donc cela indique la présence du
signal bande étroite après on voit qu‟il commence à diminuer jusqu‟à ce qu‟il
disparaisse et se superpose avec le spectre ver qui représente l‟hypothèse H0 et donc
on a que le signal lar ge bande qui est présent.
51
7
bleu spectre sous H1
ver spectre sous H0
seuil de detection
6.8
6.6
6.4
6.2
6
5.8
5.6
5.4
5.2
0
20
40
60
80
100
120
140
Figure(12) : représentation des deux spectres sous H1 et H0 pour un rapport signal à
bruit (RSB=8 dB)
8
bleu spectre sous H1
ver spectre sous H0
seuil de detection
7.8
7.6
7.4
7.2
7
6.8
6.6
6.4
0
20
40
60
80
100
120
140
Figure(13) : représentation des deux spectres sous H1 et H0 pour un rapport signal à
bruit (RSB=2 dB)
52
8.4
bleu spectre sous H1
ver spectre sous H0
seuil de detection
8.2
8
7.8
7.6
7.4
7.2
7
6.8
6.6
0
20
40
60
80
100
120
140
Figure(14) : représentation des deux spectres sous H1 et H0 pour un rapport signal à
bruit (RSB=1.5 dB)
8.8
bleu spectre sous H1
ver spectre sous H0
seuil de detection
8.6
8.4
8.2
8
7.8
7.6
7.4
7.2
7
6.8
0
20
40
60
80
100
120
140
Figure(15) : représentation des deux spectres sous H1 et H0 pour un rapport signal à
bruit (RSB=1 dB)
53
Dans cette figure en voit que les deux spectres sous H1 et sous H0 dépasse le seuil
de détection donc on constate que nous avons une fausse alarme ce qui revient à dire
que pour détecter la présence du signal nous devons avoir un RSB supérieure ou égale
à 1.5 dB.
Pour cette partie nous allons fixer le RSB à 10 dB et nous allons varier l‟atténuation
entre les deux porteuses et voir jusqu‟à quelle rapport on peut détecter le signal.
6.4
bleu spectre sous H1
ver spectre sous H0
seuil de detection
6.2
6
5.8
5.6
5.4
5.2
5
0
20
40
60
80
100
120
140
Figure(16) : représentation des deux spectres sous H1 et H0 pour un rapport signal à
bruit RSB=10 dB et une atténuation de 8dB
54
6
bleu spectre sous H1
ver spectre sous H0
seuil de detection
5.9
5.8
5.7
5.6
5.5
5.4
5.3
5.2
5.1
5
0
20
40
60
80
100
120
140
Figure(17) : représentation des deux spectres sous H1 et H0 pour un rapport signal à
bruit RSB=10 dB et une atténuation de 10dB
5.6
bleu spectre sous H1
ver spectre sous H0
seuil de detection
5.5
5.4
5.3
5.2
5.1
5
0
20
40
60
80
100
120
140
Figure(18) : représentation des deux spectres sous H1 et H0 pour un rapport signal à
bruit RSB=10 dB et une atténuation de 14dB
55
Figure (19) : probabilité de détection et de fausse alarme en fonction de l‟atténuation
III.2 Deuxième méthode de détection :
La deuxième méthode est la suivante :
On suppose les deux hypothèses suivantes :
H0 = x1 t + b(t )
t x
t b
(t)
H1 = x
1
2
Où x1 (t ) représenté le signal de la porteuse large bande et x 2 (t ) représenté le signal
qu‟on veut détecter. On rappelle qu‟on a aucune information sur x 2 (t ) on suppose
qu‟on dispose d‟une mesure où on a que le signal large bande ; à la réception le signal
reçu est le suivant
X
(
t
)
x
(
t
)
x
(
t
)
b
(
t
)
r
1
2
On soustrait le signal x1 (t ) du signal reçu et on trouve le signal x 2 (t ) plus le bruit ainsi
qu‟un résidu de la soustraction puisque on dispose que des valeurs estimés des
symboles nous allons supposés que ce biais est négligeable donc le signal reçu
devient :
Xr(t) = x2(t) b(t)
Comme nous n‟avons aucunes informations sur le signal qu‟on veut détecter donc on
ne connaît pas son rythme symbole et donc nous allons le ré-échantillonnées au rythme
symbole de la porteuse plus large ce qui a pour effet de sur-échantillonnée le signal.
Les résultats de cette méthode sont représentés dans la figure suivante
56
signal bande étroite émis
0.05
0
-0.05
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
1600
1800
2000
1600
1800
2000
signal bande étroite avant le filtre adapté
0.05
0
-0.05
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
signal bande étroite après le filtre adapté
0.05
0
-0.05
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
Figure(20) : représentation du signal bande étroite avant et après le filtre adapté
Pour un SNR=20dB
Dans la figure précédente nous remarquons que pour un très grand SNR
(SNR=20dB) la porteuse à bande étroite est parfaitement détecté et la séquence après
le filtre adapté est identique à celle qui a étais émise.
signal bande étroite émis
0.05
0
-0.05
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
1600
1800
2000
1600
1800
2000
signal bande étroite avant le filtre adapté
0.1
0
-0.1
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
signal bande étroite après le filtre adapté
0.1
0
-0.1
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
Figure(21) : représentation du signal bande étroite avant et après le filtre adapté
Pour un SNR=12dB
57
signal bande étroite émis
0.1
0
-0.1
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
1600
1800
2000
1600
1800
2000
signal bande étroite avant le filtre adapté
0.5
0
-0.5
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
signal bande étroite après le filtre adapté
0.5
0
-0.5
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
Figure(22) : représentation du signal bande étroite avant et après le filtre adapté
Pour un SNR=10dB
Comparaison :
Après les différentes simulations que nous avons faites nous pouvons dire que pour
des SNR très grand les deux méthodes présentent de bonnes performances mais la
méthode d‟Alcatel est plus simple à implémentée et plus rapide, d‟un point de vu
complexité elle est plus recommander mais malheureusement c‟est rarement le cas
qu‟on ait de très bon SNR sur tout dans ce genre d‟application (écoute passive) du
coup les performances ce dégrades très vite dès que le SNR est faible (limité à 11dB)
par contre la méthode que nous avons développés présente de très bonne performance
même pour un SNR très faible (1.5dB) .
Conclusion :
Dans ce chapitre, nous avons présenté les performances des deux méthodes pour
la détection d‟une porteuse inconnue noyée dans une porteuse plus large en présence
du bruit. Ces performances ont pu êtres illustrées par des simulations qui ont prouves
que la méthode que nous avons développés présente de meilleurs performances que
celle utilisé par ALCATEL cette méthode qui est basé en grande partie sur l‟estimation
du seuil de détection, les performances de cette méthode repose sur la qualité de
l‟estimateur, plus notre estimateur est optimale plus les performances de notre
méthode sont meilleurs comme nous l‟ont montré les simulations précédentes.
58
Résultats et simulation de la Partie II :
Introduction :
Dans cette partie, nous présenterons le contexte dans lequel les différentes simulations
ont été réalisées. Nous parlerons de l‟efficacité de la méthode b asée sur la CMA et la
qualité de notre estimateur et ce, en calculant des grandeurs comme l‟espérance
mathématique, la variance et l‟erreur quadratique moyenne (EQM) et d‟autre part, voir
à partir de quel rapport
on a une bonne détection ?
Pour mener à bien cette tâche, nous considérons dans un premier temps qu‟on n‟a pas
de multi-trajets, pour voir déjà si le programme fonctionne dans ce cas simple. Puis
une fois que c‟est confirmé on passe à la chaîne complète en ajoutant les multi-trajets.
III.3) Contexte de simulations
En effet, notre objectif, est de simuler un signal échantillonné à 2.8 échantillons
par symbole. Pour cela, nous avons d‟abord pris une période de symbole de 28, ce qui
est 10 fois plus grande que ce que nous recherchons. Ensuite, c‟est seulement après
mise en forme du signal, c'est-à-dire qu‟en sortie du filtre et avant émission qu‟on fait
une décimation d‟un facteur 10. Ce qui nous permet donc de transmettre à 2.8
échantillons par symbole.
Le signal émis provient d‟une source numérique modulé par une modulation de
type QAM et qui délivre des séquences de symboles i.i.d qui passent à travers un filtre
de mise en forme, qui dans notre cas est un filtre de Nyquist en racine de cosinus
surélevé avec un roll-off (facteur d‟excès de bande petit pour montrer la robustesse de
cette méthode de déconvolution. Nous considérons un canal à trajets multiples. Nous
avons pris par exemple canal = [
] On suppose de plus
qu'un bruit gaussien de densité spectrale de puissance égale à
dans la bande
s‟ajoute au signal reçu. On note Eb l‟énergie du signal par bit.
Les étapes suivies par notre programme sont représentées sur le schéma suivant :
59
Figure III.1 : les différentes étapes suivies pour retrouver Ts
Comme nous l‟avons dit, et comme les courbes suivantes vont le corroborer, le
minimum est pour la fonction coût est atteinte en TS = 2.8 échantillons par symbole.
Dans un cadre pratique, étant donné qu‟on n‟a aucune connaissance de la fonction
(II.12), on est amené à estimer cette dernière. Pour cela, on substitue à l ‟espérance
mathématique E { }une moyenne empirique calculée à partir des échantillons
disponibles.
On définit ainsi l‟estimateur (II.12) de la façon suivante [3]:
(III.1)
Où N est le nombre d‟échantillons contenus dans le signal reéchantillonné
qui est
en entrée du filtre égaliseur.
la sortie du filtre égaliseur contient la séquence des
symboles émis c‟est-à-dire
avec un éventuel retard et/ou décalage.
60
III.4) Résultats obtenus et analyse :
Pour un premier temps, nous avons fait les simulations sans prendre en compte
le canal et en prenant un filtre de mise en forme en racine de cosinus surélevé (comme
nous le montre le schéma ci-dessus) dans le but de vérifier si notre programme
marche. Nous avons seulement rajouté du bruit dans le signal après l‟opération de
décimation.
1.28
1.26
1.24
J
1.22
1.2
1.18
1.16
1.14
1.12
2.2
2.4
2.6
2.8
3
3.2
3.4
Nombre d"echantillons par symboles dans le signal reçu
FigureIII.1 Minimum de la fonction de coût en Ts=2.8 échantillons par symbole
Nous constatons ainsi que le minimum est atteint en Ts=2.8 échantillons par symbole
pour un rapport signal à bruit
.
61
1.28
1.26
1.24
1.22
J
1.2
1.18
1.16
1.14
1.12
1.1
1.08
2.2
2.4
2.6
2.8
3
3.2
3.4
Nombre d"echantillons par symboles dans le signal reçu
FigureIII.2 Minimum de la fonction de coût en Ts=2.8 échantillons par symbole pour
un rapport signal à bruit
1.9
1.85
1.8
J
1.75
1.7
1.65
1.6
1.55
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
Nombre d"echantillons par symboles dans le signal reçu
5
FigureIII.3 Tracer de la fonction de coût pour un Ts=2.8 échantillons par symbole
pour un rapport signal à bruit
62
Dans cette figure nous remarquons bien que le minimum n‟est pas atteint en Ts=2.8 et
malgré qu‟il n‟y ai pas de multi-trajet et que nous avons un bon rapport signal à bruit,
pour remédiez à ce problème nous avons ajouter une fonction d‟optimisation qui
cherche le minimum de la fonction coût ce qui nous as permis de gagner quelques
précieux dB, la figure suivante illustre les nouveaux résultats.
1.3
1.28
1.26
J
1.24
1.22
1.2
1.18
1.16
1.14
2.2
2.4
2.6
2.8
3
3.2
3.4
Nombre d"echantillons par symboles dans le signal reçu
FigureIII.4 Tracer de la fonction de coût pour un Ts=2.8 échantillons par symbole
pour un rapport signal à bruit
63
1.34
1.32
1.3
J
1.28
1.26
1.24
1.22
1.2
1.18
1.16
2.2
2.4
2.6
2.8
3
3.2
3.4
Nombre d"echantillons par symboles dans le signal reçu
3.6
FigureIII.5 Tracer de la fonction de coût pour un Ts=2.8 échantillons par symbole
pour un rapport signal à bruit
Nous constatons que le rapport signal à bruit minimal qu‟il faut pour estimé le rythme
symbole est de 7dB.
Maintenant nous allons rajouter un canal multi-trajets à fin de tester la robustesse de la
méthode.
64
1.2
1.18
1.16
J
1.14
1.12
1.1
1.08
1.06
1.04
2.2
2.4
2.6
2.8
3
3.2
3.4
Nombre d"echantillons par symboles dans le signal reçu
FigureIII.6 Tracer de la fonction de coût pour un Ts=2.8 échantillons par symbole et
en présence d‟un canal multi-trajets pour un rapport signal à bruit
1.25
1.2
J
1.15
1.1
1.05
1
2.2
2.4
2.6
2.8
3
3.2
3.4
Nombre d"echantillons par symboles dans le signal reçu
FigureIII.6 Tracer de la fonction de coût pour un Ts=2.8 échantillons par symbole et
en présence d‟un canal multi-trajets pour un rapport signal à bruit
.
65
Nous constatons que pour un canal multi-trajets nous avons besoin d‟un rapport signal
à bruit plus élevé (
) car il fait une rotation de la constellation ce qui rends la
décision des symboles émis à la réception plus difficile et donc une erreur d‟estimation plus
grande d‟où la nécessité d‟un RSB plus grand.
III.5) Qualification de l’estimateur
Comme nous l‟avons évoqué, nous allons voir l‟efficacité de l‟estimateur en
calculant sa variance et son erreur quadratique moyenne. Nous savons que, plus ces
quantités sont faibles, meilleur est l‟estimateur.
Le calcul de ces grandeurs dans le cas de notre estimateur nous a permis de trouver des
valeurs qui varient autour de zéro :
Variance= 0.0233 ; EQM=0.0322.
Nous pouvons donc conclure que notre estimateur est efficace vue la
faiblesse des grandeurs ci-dessus. Ce qui nous amène à dire aussi que cet
estimateur est robuste vis-à-vis des interférences et des multi-trajets.
III.6) Conclusion
Nous avons dans cette partie de simulation, pu confirmer les résultats
théoriques montrant les performances de cette méthode, basée sur le concept de la
déconvolution. Hormis les critères de performances qu‟on a vus, il existe aussi
d‟autres qui permettent de confirmer tout ce qui fait en termes de performances. On
peut citer l‟excès de bande, qui plus elle est petite, meilleure est la détection.
66
Conclusion générale :
Il est bien connu que le récepteur optimal pour la détection d‟un signal
déterministe dans un bruit gaussien est le filtre adapté. Ce résultat est couramment
utilisé dans un contexte de communications où l‟hypothèse d‟un signal déterministe
est souvent réaliste. Ceci n‟est pas toujours le cas dans un contexte non coopératif.
Dans ce dernier cas, les paramètres inconnus n‟ont pas de densité de probabilité
connue a priori, le GLR est alors utilisé et les paramètres sont estimés par le principe
du maximum de vraisemblance.
Dans ce mémoire, on s‟est placé à un degré de connaissance moindre sur le signal à
détecter. En effet, on s‟est intéressé aux signaux modulés que nous avons modélisés
par des processus cyclo-stationnaire. Nous avons ensuite élaboré une méthode qui est
principalement basé sur l‟estimation du spectre et le découpage en plusieurs bandes,
mais la nouveauté est que au lieu d‟utiliser un seuil bien connu et fixe nous avons
choisis de mettre un seuil variable en fonction du spectre du signal que nous avons
estimé ce qui nous as permis de détecter le signal à des RSB très faible. Dans le ca dre
de notre étude nous avons supposés que le résidu fréquentiel dû aux fêtes de ramener
le signal en bande de base avec un Ts différent a pour effet de rajouter du bruit à nos
mesures mais nous proposons comme perspective de prendre en considération le
décalage fréquentiel entre les deux porteuses et de l‟estimer en même temps qu‟on fait
notre détection afin d‟avoir une étude encore plus précise et qui s‟approche plus de la
réalité. Nous proposons aussi d‟utiliser d‟autres estimateurs du spectre du signal que
nous avons utilisés dans notre étude, des techniques qui sont plus performantes que
celles utilisé ici (méthode haute résolutions) qui pourrons encore améliorés les
performances de notre méthode car la robustesse de cette dernière repose
essentiellement sur l‟estimation du spectre. Dans la seconde partie nous avons étudié
le problème de l‟estimation de la période symbole des signaux de télécommunications
émettant à travers des canaux de propagation à trajets multiples. Le but fixé, étant de
mettre en évidence une méthode d‟estimation du débit plus performante que celles qui
existent déjà. Cette dernière est basée sur les principes de déconvolution. Une étude
théorique et expérimentale de notre estimateur a été réalisée.
Souvent en évoque dans la littérature la complexité de calcul des méthodes de
détection cyclostationnaire. Une évaluation du surcoût de complexité peut s‟avérer
intéressante. Dans ce mémoire, nous nous sommes concentrés sur le développement
des méthodes de détection et extraction d‟information avec le minimum
d‟informations a priori. Mais, on pourrait envisager dans la continuité de ce travail une
étude de la complexité. De plus, il serait intéressant de comparer les performances et la
complexité de la méthode développée avec les autres méthodes de détections que l‟on
peut trouver dans la littérature. En terme de perspective, nous pensons qu‟il sera
intéressant d‟étendre ce type d‟approche au contexte de modulations non linéaires
telles que par exemples la modulation quasi linéaire GMSK (Gausian Minimum Shift
Keying).
67
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