République Algérienne Démocratique et Populaire وزارة ا ـــ ـــ ا ــ ـــ و ا ــ ــــ ا ـــ ــــ Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique Université d'Oran des Sciences et de la Technologie (USTO-MB) Faculté de Physique Département de Physique Energétique Spécialité : Physique Option : Physique des Plasmas et Conversion d’Energie Mémoire présenté par LATROUS Abdelhadi Pour l’obtention du diplôme de Magister en Physique Thème Modélisation électrique d’une décharge à barrières diélectriques DBD Soutenu le : 03 / 12 / 2014 Devant la commission d’examen composée de : Qualité Nom et Prénoms Grade Etb d’Origine Président Mr BELASRI Ahmed Professeur USTO-MB Rapporteur Mlle BENDELLA Soumia MCA USTO-MB Examinateur Mr DIB Anis MCA USTO-MB Examinateur Mr HARRACHE Zahir MCA USTO-MB Membre invité AMIR AID Driss MCB USTO-MB Année universitaire : 2013 / 2014 République Algérienne Démocratique et Populaire وزارة ا ـــ ـــ ا ــ ـــ و ا ــ ــــ ا ـــ ــــ Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique Université d'Oran des Sciences et de la Technologie (USTO-MB) Faculté de Physique Département de Physique Energétique Spécialité : Physique Option : Physique des Plasmas et Conversion d’Energie Mémoire présenté par LATROUS Abdelhadi Pour l’obtention du diplôme de Magister en Physique Thème Modélisation électrique d’une décharge à barrières diélectriques DBD Soutenu le : 03 / 12 / 2014 Devant la commission d’examen composée de : Qualité Nom et Prénoms Grade Etb d’Origine Président Mr BELASRI Ahmed Professeur USTO-MB Rapporteur Mlle BENDELLA Soumia MCA USTO-MB Examinateur Mr DIB Anis MCA USTO-MB Examinateur Mr HARRACHE Zahir MCA USTO-MB Membre invité AMIR AID Driss MCB USTO-MB Année universitaire : 2013 / 2014 A Mes Parents à mes frères à ma femme REMERCIEMENTS ____________________________________________________________ Remerciements Nous tenons tout d’abord à remercier Dieu le tout puissant et miséricordieux, qui nous a donné la force et la patience d’accomplir ce modeste travail. J’adresse mes profonds remerciements à Monsieur Ahmed BELASRI, pour m’avoir accueilli dans sa formation magister et dans son laboratoire. Je salue sa compétence, sa patience et ses judicieux conseils qui m’ont permis de réaliser cette thèse dans les meilleures conditions. J’exprime mes profonds remerciements à ma directrice de mémoire, Mlle Soumia Bendella pour l’aide compétente qu’elle m’a apportée, pour sa patience et son encouragement. Son œil critique m’a été très précieux pour structurer le travail et pour améliorer la qualité des différentes sections. Je veux vraiment vous remercier car j’ai eu beaucoup de chance de vous avoir comme directrice de thèse. Mes vifs remerciements vont également aux membres du jury pour l’intérêt qu’ils ont porté à notre recherche en acceptant d’examiner notre travail et de l’enrichir par leurs propositions. Enfin, je tiens également à remercier toutes les personnes qui ont participé de près ou de loin à la réalisation de ce travail. Modélisation électrique d’une décharge à barrières diélectriques DBD Ce travail de mémoire de magister a été réalisé au Laboratoire de Physique des Plasmas, des Matériaux Conducteurs et leurs Applications. El M’Naour – BP.1505, USTO – Université des Sciences et de la Technologie d’Oran 31000, Algérie Résumé __________________________________________________________ RESUME Pour décrire de façon quantitative les principes de fonctionnement électriques de décharge à barrière diélectrique (DBD), un modèle électrique dynamique pour DBD homogènes a été simulé qui est composé d'un nouveau circuit équivalent pour DBD homogènes et les équations qui en dérivent. Ce modèle est un modèle global et auto-cohérent, valable pour une arbitraire tension d'excitation externe. Ce modèle révèle les relations instantanées des grandeurs électriques internes dans le gap (tension de gap, courant de décharge interne et processus de consommation interne d'énergie) avec les grandeurs électriques externes (tension externe et courant total externe) et fournit les bases théoriques pour calculer les processus de développement temporelles de toutes les quantités électriques internes dans le gap de décharge à partir de la tension externe mesurée et du courant externe totale. Les connaissances acquises sur les processus dynamiques de DBD dans le gap de décharge expliquent quantitativement les mécanismes qui conduisent à l'allumage, le développement et l'extinction des DBD et fournissent une interprétation physique du courant extérieur total mesuré et d’autres phénomènes comme l’effet de mémoire et de multiples impulsions de courant dans une demi-période. Dans ce model, plusieurs termes de courants (courant extérieur total, courant de déplacement extérieur, courant de décharge extérieur, courant de décharge intérieur et courant de déplacement intérieur ) sont introduit pour distingué les différents courants impliqués dans les DBDs. De plus, les équations de charge et de déposition d'énergie par une décharge et dans une demi-période sont dérivées. Les applications de ce modèle à l'étude d'une DBD excité par une onde sinusoïdale bipolaire et une DBD excité par une tension continue sont également inclus. Mots clés : - Plasma ; - Décharge à barrière diélectrique ; - Modèle électrique ; - Décharge filamentaire ; - Modélisation numérique ; - Circuit équivalant ; - Décharge homogène ; Abstract ____________________________________________________________ ABSTRACT In order to quantitatively describe the electrical working principles of dielectric barrier discharges (DBDs), a dynamic electrical model for homogeneous DBDs has been simulated that is composed of a new equivalent circuit for homogeneous DBDs and the equations derived from it. This model is a global and self-consistent model, valid for an arbitrary external excitation voltage. This model reveals instantaneous relations of internal electrical quantities in the gap (gap voltage, internal discharge current and internal power consumption process) to external electrical quantities (external voltage and external total current) and provides the theoretical fundamentals to calculate the temporal development processes of all internal electrical quantities in the discharge gap from the measured external voltage and external total current. The knowledge obtained of dynamic processes of DBDs in the discharge gap explains quantitatively the mechanisms that result in ignition, development and extinction of DBDs and provide physical interpretation of the measured external total current and other phenomena such as memory effect and multiple current pulses in one half period. In this model, several current terms (external total current, external displacement current, external discharge current, internal discharge current and internal displacement current) are introduced to distinguish the different currents involved in DBDs. Moreover, the equations for charge and energy deposition by one discharge and in one half period are derived. Applications of this model to studying a bipolar sine wave excited DBD and a DC voltage excited DBD are also included. Keywords - Plasma ; - Dielectric barrier discharge; - Electric Model; - numerical modeling; - Equivalent circuit; - filamentary discharge; - homogeneous discharge; TABLE DES MATIERES _________________________________________________________________________ INTRODUCTION GENERALE ................................................................................................... XI Position du problème et objectif de la thèse ..................................................................... XII Structure de la thèse ......................................................................................................XIII CHAPITRE I ................................................................................................................................... 2 Généralités sur les Plasmas et les décharges à barrières diélectrique.............................................. 2 I-1) INTRODUCTION ................................................................................................................ 2 I-2) GENERALITES SUR LES PLASMAS ............................................................................... 3 I-2-1) LA PHYSIQUE DES PLASMAS ................................................................................. 3 I-2-2) LES PLASMAS HORS EQUILIBRE THERMODYNAMIQUE OU PLASMAS FROIDS ............................................................................................................... 5 I-2-3) MECANISME DE CREATION D’UNE DECHARGE ............................................... 5 I-2-3-1) COURBE DE PASCHEN ...................................................................................... 5 I-2-3-2) MECANISME DE CLAQUAGE DE TOWNSEND ............................................ 8 I-2-3-3) MECANISME DE CLAQUAGE TYPE STREAMER ....................................... 10 I-2-4) COMMENT EVITER LE PASSAGE A L’ARC ? ..................................................... 14 II-1) PRINCIPE DES DECHARGES A BARRIERES DIELECTRIQUES ............................ 15 II-2) DECHARGES A BARRIERES DIELECTRIQUES DANS LES APPLICATIONS INDUSTRIELLES .................................................................................................................... 16 CHAPITRE II ................................................................................................................................ 20 MODELISATION ELCTRIQUE D’UNE DECHARGE A BARRIERES DIELECTRIQUE ..... 20 II-1) INTRODUCTION............................................................................................................. 20 II-2) CIRCUIT EQUIVALENT POUR UNE DECHAGE A BARRIER DIELECTRIQUE. ..................................................................................................................... 21 II-3) DERIVATION DES EQUATIONS .................................................................................. 24 II-4) ÉQUATIONS POUR CHARGES DEPOSEES ET DE L'ENERGIE PAR UNE DECHARGE ET A UNE DEMI-PERIODE : ........................................................................... 34 II-5) CONCLUSION ................................................................................................................. 38 CHAPITRE III............................................................................................................................... 40 SIMULATION ET DISCUSSION DES RESULTATS................................................................ 40 III-1) INTRODUCTION ........................................................................................................... 40 III-2) LES METHODES NUMERIQUE UTILISEES .............................................................. 41 III-2-1) L’INTEGRAL NUMERIQUE ................................................................................. 41 III-2-1-1) LA METHODE DE TRAPEZE ........................................................................ 41 III-2-1-2) PRECISION ...................................................................................................... 42 III-2-1-3) VERSION COMPOSEE ................................................................................... 43 III-2-2) LA DERIVEE NUMERIQUE .................................................................................. 44 III-2-2-1) L’APPROXIMATION DE LA DERIVEE PREMIERE .................................. 45 VII TABLE DES MATIERES _________________________________________________________________________ III-2-2-2) FORMULES A DEUX POINTS ...................................................................... 45 III-3) SIMULATION................................................................................................................. 47 III-3-2) POURQUOI LE FORTRAN ? ................................................................................. 47 III-3-3) L’ORGANIGRAMME ............................................................................................. 48 III-3-4) DISCUSSION DES RESULTATS ET VALIDATION DU PROGRAMME ......... 50 III-5) APPLICATIONS AUX LAMPES A DECHARGE. ....................................................... 53 III-4) CONCLUSION ................................................................................................................ 57 REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES. VIII LISTE DES FIGURES _________________________________________________________________________ Liste des figures FIGURE .I-1 : Diagramme des plasmas dans l'espace Te/ne……………………………….4 FIGURE .I-2 : Courbe de Paschen pour différents gaz……………………………………6 FIGURE .I-3: Courbe de Paschen et mode de claquage en fonction du produit pd...........7 FIGURE I-4 : Schéma avalanche électronique……………..……………………………...8 FIGURE I-5 : Schéma claquage de type Townsend…………………………..…………...9 FIGURE I-6: Mécanisme de type streamer avalanche primaire : création d’une charge d’espace …………...…………….…………………………………………11 FIGURE I-7 : Avalanches secondaires créées par photo-ionisation dans le cas d’un streamer positif………...…………………………………………………..12 FIGURE I-8 : Avalanches secondaires créées par photo-ionisation dans le cas d’un streamer négatif…………………………...……………………………….13 FIGURE I-9 : Création du streamer et développement jusqu’à la transition à l’arc…….14 FIGURE.I-10 : Illustration schématique des phases de développement d'un filament DBD……………………………………………………………………....15 FIGURE .II-1 :a) Circuit équivalent pour DBD filamentaire, et b) Circuit équivalent simplifié…………………………….………………………………………22 FIGURE .II-2 :a) Les électrodes de la configuration DBD, et b) Circuit équivalent correspondant …………………….…………………………..……………23 FIGURE III-1: Pour les fonctions qui présentent de fortes variations sur l'intervalle d'intégration ou si l'intervalle est trop grand, la méthode des trapèzes peut donner n'importe quoi, à moins qu'elle ne soit pas utilisée sur des sousintervalles réguliers (méthode composée) ou irréguliers où l'on concentre le découpage dans les zones de forts gradients (méthode composée adaptative)….……………...……………………………………….……….43 FIGURE III-2 :L’organigramme présentant les équations utilisées pour la modélisation..........................................................................................49 IX LISTE DES FIGURES _________________________________________________________________________ Figure III-3 : en bleu La tension externe d’excitation publié utilisé pour la validation du programme [48] le programme et en rouge la tension interne dans le Gap calculé par , ………………………………………………...…... 50 Figure III-4 : En bleu le voltage interne dans le gap , rouge le voltage interne dans le gap Figure III-5 : en bleu le courant total externe , , de l’article publié [48] et en simulé avec notre programme 51 publié dans [48] et en rouge le , courant interne de décharge dans le gap Simulé .……………………51 , Figure III-6 : En bleu le courant interne de décharge dans le gap de l’article publié , [48] et en rouge le courant interne de décharge dans le gap simulé par notre programme……………………………………………………………...52 Figure III-7 : la puissance instantanée d’entrée , simulé et la puissance instantanée , consommée de la décharge de plasma dans le gap Figure III-8 : (a) , et , de la 1er application (b) , ) simulé ……..….53 , et de la 2eme application……………………………………………………………….…..…54 Figure III-9 : (a) de la 1er application (b) et de la 2eme et application……………………………………………………………….……..54 Figure III-10: (a) , et , de la 1er application (b) , et , de la 2eme application……………………………………………………………………...55 X INTRODUCTION GENERALE _________________________________________________________________________ INTRODUCTION GENERALE La modélisation numérique des dispositifs de décharge a connue un développement très important pendant la dernière décennie. Ce développement a été en partie soutenu, à l'instar de beaucoup d'autres disciplines, par la mise sur le marché de machines de plus en plus rapides permettant l'exploitation de modèles de plus en plus complexes et la mise en œuvre de simulations de plus en plus gourmandes en temps de calcul. La finesse des prédictions et résultats obtenus à partir de ces simulations a motivé un nombre de plus en plus important de chercheurs à s'intéresser à la modélisation numérique comme un outil d'analyse des décharges électriques et des procédés plasmas. Les objectifs généralement recherchés par la modélisation numérique dans le domaine des décharges électriques sont de deux types. Il peut s'agir dans le premier cas d'améliorer la compréhension d'un phénomène donné comme la cinétique chimique, la dynamique des espèces chargées, et le dépôt d'énergie électrique dans le gaz, le transport d'une espèce donnée. Il peut aussi concerner la construction d'outils prédictifs permettant la simulation globale de dispositifs plasma. Les modèles numériques représentent un outil de recherche dont l’intérêt et les avantages sont bien connus. En effet, ils sont complémentaires aux expériences, en permettant d’approfondir ou d’élargir l’étude, leur utilisation étant en principe beaucoup plus souple. De plus, lorsque l’expérience à mettre en place est lourde financièrement et/ou matériellement, une étude numérique peut lui être substituée. Ainsi, grâce aux modèles numériques, nous pouvons obtenir des données de bases mais également des résultats physiques qui pourront être exploités. La situation physique que nous cherchons à décrire correspond à une décharge électrique entre deux électrodes, séparées par une distance d, à une pression p. La température du gaz est supposée constante et égale à 300°K. Une tension est appliquée sur une électrode, l’anode, et la cathode est fixée à un potentiel nul. Une décharge de courant total I peut être maintenue entre les électrodes pour une composition gazeuse donnée et pour une gamme de conditions de pression p, de distance inter électrodes d et de tension V. Pour notre décharge, nous avons développé un modèle qui décrit le comportement électrique d’une décharge à barrières diélectriques. XI INTRODUCTION GENERALE _________________________________________________________________________ Nous avons développé un modèle électrique dynamique pour les décharges à barrières diélectriques homogènes. Ce modèle dynamique comprend un circuit équivalent pour DBD homogènes et certaines équations dérivées de ce circuit équivalent. Ces équations nous donnent des relations dynamiques entre les quantités électriques internes instantanés (tension de gap interne , courant de décharge interne , ) et les grandeurs , ) , donc ) à partir de la tension externe mesuré et le électriques externes ( tension externe et le courant total externe permet de calculer le processus d'évolution temporelle de toutes les grandeurs électriques internes ( , , courant total externe et , , pour une tension externe arbitraire. En outre dans ce modèle, nous avons également dérivé des équations pour grandeurs électriques des charges internes et des charges externes et de l'énergie déposés par une décharge, ainsi que leurs homologues correspondants dans une demi-période, si plusieurs décharges se produisent dans cette demi-période. XII INTRODUCTION GENERALE _________________________________________________________________________ Présentation du rapport de ce mémoire Nous commençons dans le chapitre I par une présentation des généralités des plasmas et des décharges à barrières diélectriques (DBD) ainsi que les applications industrielle des décharges DBD. Dans le chapitre 2, nous présentons le modèle électrique utilisé dans notre étude, un modèle dynamique qui se base sur les équations du circuit de décharge. Le chapitre 3 présente la méthode numérique utilisée pour résoudre notre système d’équations ainsi que la validation du modèle. Et à la fin du chapitre nous avons présenté les résultats sur l’application de notre modèle sur 2 types de lampes de décharge à barrières diélectriques. Une conclusion résume notre travail. XIII CHAPITRE I _________________________________________________________________________ Chapitre I Page | 1 CHAPITRE I _________________________________________________________________________ CHAPITRE I Généralités sur les Plasmas et les décharges à barrières diélectriques I-1) INTRODUCTION Le travail présenté dans cette thèse concerne la modélisation électrique d’une décharge à barrière diélectrique. L’utilisation de deux électrodes planes, parallèles et isolées par un diélectrique, constitue, avec la fréquence d’excitation et le type de gaz de remplissage, les conditions obtention, à la pression atmosphérique, d’une décharge luminescente analogue à celle habituellement obtenue à basse pression. Dans ce premier chapitre, nous allons présenter le contexte de l’étude en présentant succinctement la physique des plasmas ainsi que les mécanismes possibles de production des plasmas étudiés. Les plasmas concernés par notre étude appartiennent à la famille des plasmas hors équilibre thermodynamique, également appelés plasmas froids, pour lesquels les mécanismes de production peuvent être de deux types : des décharges de Townsend et des streamers. Ensuite, nous présentons un aperçu du principe et les différents régimes des décharges à barrières diélectriques, ce qui permettra par la suite de bien situer la décharge étudiée ainsi que ces applications industrielles avec la caractéristique courant-tension d’une décharge à électrodes planes et parallèles seront également résumés dans ce chapitre. Page | 2 CHAPITRE I _________________________________________________________________________ I-2) GENERALITES SUR LES PLASMAS Cette partie est consacrée à la définition de la notion de plasma, à la présentation du type de plasmas étudiés, ainsi qu’à une brève description des mécanismes de création de ces plasmas. I-2-1) LA PHYSIQUE DES PLASMAS Nous allons tout d’abord définir l’état plasma. Le plasma est souvent considéré comme le quatrième état de la matière avec les états solide, liquide et gazeux. La matière connue de l’univers est composée à plus de 99 % de matière à l’état de plasma. A l’état naturel le plasma se retrouve sous différentes formes dans l’univers : les étoiles, le soleil, la matière interstellaire en font partie. Sur terre les plasmas à l’état naturel sont quant à eux plus rares : la flamme, les aurores boréales et la foudre en sont des exemples. Mais de nombreux plasmas sont développés en laboratoire car ils possèdent des propriétés singulières permettant des applications dans de très nombreux domaines. Nous allons maintenant définir plus précisément ce qu’est un plasma. Un plasma est un gaz partiellement ou totalement ionisé. Les plasmas sont donc composés d’électrons, d’ions chargés positivement ou négativement, de neutres, d’espèces excités et de photons. Un plasma est globalement neutre possédant autant de charges positives que négatives. Les plasmas peuvent être caractérisés selon deux paramètres clés : la densité électronique ne et la température électronique Te. En réalisant un diagramme dans l’espace en fonction de ces deux paramètres, deux grandes classes de plasma peuvent être distinguées les plasmas chauds et les plasmas froids. Ce diagramme est présenté sur la Figure I-1. Page | 3 CHAPITRE I _________________________________________________________________________ FIGURE .I-1 : Diagramme des plasmas dans l'espace Te/ne L’une des caractéristiques d’un plasma reliée à la densité électronique est son degré d’ionisation α qui se calcule à partir de la formule suivante : ∝= ne ne + N Où ne est la densité d’électron et N la densité de neutres. A partir de ce degré d’ionisation et de la température des électrons, nous pouvons donc répertorier les plasmas dans les deux grandes catégories définies précédemment (plasmas chauds et plasmas froids aussi appelés plasmas hors équilibre thermodynamique). Il existe d’autres paramètres que nous ne présenterons pas ici caractérisant les plasmas et permettant de les classer en sous catégories plus détaillées. Nous nous restreindrons au grand ensemble plasma chaud/plasma froid. Le premier grand ensemble plasma chaud comprend des plasmas totalement ionisés qui possèdent une température supérieure à 106 K (le cœur du soleil, les éclairs, les réacteurs de fusion). Le second grand ensemble des plasmas froids comprend des plasmas hors équilibre thermodynamique où les ions et les neutres restent à une température inférieure à 1000 K, alors que les électrons minoritaires sont à des températures très élevées de l’ordre de 10000-50000 K. Le degré d’ionisation de ce type de plasma se situe entre 10-6 et 10-2. Page | 4 CHAPITRE I _________________________________________________________________________ Les plasmas étudiés dans cette thèse sont des plasmas froids hors équilibre thermodynamique. Dans la partie suivante, nous allons nous intéresser à définir ces plasmas froids. I-2-2) LES PLASMAS HORS EQUILIBRE THERMODYNAMIQUE OU PLASMAS FROIDS Les plasmas hors équilibre thermodynamique sont donc des plasmas faiblement ionisés, où la température des électrons est nettement supérieure à celle des autres espèces présentes dans le gaz. Mais du fait de leur petit nombre et malgré leur température élevée, les électrons ne chauffent pas significativement le gaz d’où leur nom de plasma froid. Pour générer ce type de plasma, on peut par exemple appliquer un champ électrique qui met en mouvement les électrons qui engendrent des collisions ionisantes et donc crée un plasma: ce sont les plasmas de décharge. Dans notre étude c’est ce type de plasma que nous avons étudié. Les applications des plasmas froids sont très nombreuses, nous pouvons en citer quelques exemples : les tubes d’éclairage, la gravure en microélectronique, le dépôt de couche mince, les lasers à gaz ou le traitement des polluants et des surfaces. Nous donnerons plus loin des applications possibles des types de décharges étudiées au cours de ce mémoire . Dans la partie suivante, les mécanismes physiques de création des plasmas de décharge vont être présentés. I-2-3) MECANISME DE CREATION D’UNE DECHARGE Nous étudions donc des plasmas de décharge produits par l’application d’un champ électrique entre deux électrodes. Dans cette partie, on va s’intéresser aux mécanismes d’initiation de ces plasmas. I-2-3-1) COURBE DE PASCHEN En 1889, Friedrich Paschen a recherché pour différents gaz la tension nécessaire (disruptive) pour initier un plasma entre deux électrodes planes et parallèles. Cette tension est dépendante de la nature du gaz, de sa pression et de sa température. Les courbes de Paschen pour une température fixe de 300 K sont présentées sur la Figure I-2 pour différents gaz. La tension disruptive est tracée en fonction du produit pression du gaz et Page | 5 CHAPITRE I _________________________________________________________________________ distance inter-électrodes. Cette figure montre que le bon paramètre n’est ni la pression, ni la distance mais le produit de ces deux grandeurs. FIGURE .I-2 : Courbe de Paschen pour différents gaz [1] Les exemples présentés sur cette figure correspondent à une décharge dans différents gaz monoatomiques comme l’argon ou moléculaires comme l’air. Cette courbe peut s’écrire sous la forme de l’équation de Paschen pour une température constante [1]: , = . . + ln . Les valeurs C et D sont des constantes dépendantes de la nature du gaz, et de celle des électrodes. En observant cette courbe, nous pouvons remarquer qu’elle présente un minimum de tension qui correspond à la densité optimale de molécules présentes dans le gaz pour favoriser un claquage. Pour une distance d donnée : Avant ce minimum de tension, la pression est peu élevée, la densité de molécules est faible : nous avons donc un grand libre parcours moyen et une faible fréquence de collisions. Pour initier une décharge, il faut donc augmenter le champ électrique pour que les électrons soient plus énergétiques et ainsi favoriser la probabilité d’ionisation lors d’une collision. Après ce minimum, la pression est plus élevée la fréquence de collisions également, mais de ce fait la distance parcourue par les électrons avant une collision est réduite Page | 6 CHAPITRE I _________________________________________________________________________ et donc l’énergie acquise par cet électron également. Pour que les collisions soient ionisantes, il est nécessaire d’augmenter le champ électrique pour rendre les électrons plus énergétiques et augmenter la probabilité d’ionisation. Dans les gaz, nous pouvons distinguer plusieurs modes de claquage autour de ce minimum en se plaçant dans le cas d’une distance inter-électrodes d fixe. Pour cela, on va distinguer le comportement de la branche de gauche et de celle de droite autour du minimum. Sur la branche de gauche pour une pression donnée, le claquage s’effectuera entre les distances les plus longues. Les modes courants de claquage sur cette branche sont ceux de type pseudo-spark [2]. Sur la branche de droite, pour une pression donnée le claquage se produit à faibles distances. La plupart des dispositifs de décharge fonctionnent sur la branche du milieu et de droite, cela correspond aux claquages de type Townsend et de type streamer. Ces différents processus sont indiqués sur la Figure I-3. FIGURE .I-3: Courbe de Paschen et mode de claquage en fonction du produit pd Nous allons définir les deux derniers types de claquage. A basse pression, la décharge apparaît homogène, dans ce cas la décharge est décrite par le modèle de Townsend. A plus Page | 7 CHAPITRE I _________________________________________________________________________ haute pression, la décharge devient filamentaire, il y a une constriction du plasma, le modèle décrivant ce claquage est celui de type streamer. Nous allons maintenant présenter ces deux mécanismes de claquage. Tous les mécanismes de claquage d’une décharge partent du même phénomène à savoir une avalanche électronique depuis un électron germe présent dans le gaz produit par une ionisation naturelle (rayonnement cosmique, radioactivité, …). A la surface de la Terre, le taux moyen d'ionisation naturelle est de l'ordre de 106 événements par m2 et par seconde. I-2-3-2) MECANISME DE CLAQUAGE DE TOWNSEND Dans le cas d’une décharge électrique, un gaz compris entre deux électrodes est soumis à un champ électrique, les électrons primaires contenus dans le gaz vont être accélérés en migrant jusqu’à l’anode. Lors de cette migration, ils vont réaliser des collisions ionisantes ou non avec les atomes contenus dans le gaz. Les collisions ionisantes vont permettre de générer de nouveaux électrons. Cette génération de nouveaux électrons dans le volume de gaz permet d’amplifier la densité électronique et est définie par le coefficient α appelé premier coefficient de Townsend. Ce phénomène d’avalanche électronique est présenté sur la figure I-4. FIGURE I-4 : Schéma d’une avalanche électronique Ce coefficient est défini par les formules suivantes où n(0) est le nombre d’électrons primaires Page | 8 CHAPITRE I _________________________________________________________________________ =∝ = 0 ∝ Si on considère I(x) le courant électrique avec I(0) le courant initial à la cathode, on peut décrire l’amplification du courant entre la cathode et l’anode séparées d’une distance d comme [3] [4]: = 0 ∝ Lors du transit des électrons de la cathode à l’anode, la génération d’électrons secondaires entraîne la création d’ions chargés positivement. Ces ions vont migrer jusqu’à la cathode où ils vont pouvoir arracher des électrons à l’électrode. Ce phénomène est décrit par le deuxième coefficient de Townsend qui est la probabilité de libération d’un électron de la cathode lors du bombardement ionique. On appelle cet effet l’émission secondaire, le coefficient dépend de la nature de l’électrode et du gaz. Pour décrire complètement l’initiation de la décharge, il faut donc tenir compte de la combinaison de l’amplification électronique dans le volume et de l’émission secondaire d’électrons à la cathode par bombardement ionique. Le schéma récapitulant l’association de ces deux phénomènes est présenté sur la figure I-5. Migration des ions à la cathode + émission d’e- à la cathode FIGURE I-5 : Schéma de claquage de type Townsend Page | 9 CHAPITRE I _________________________________________________________________________ ! ℎ# Le courant créé à la cathode s’exprime : primaire lors de son transit cathode-anode génère correspond donc à $# = ! ℎ# = ∝ ∝ 0 + . $# . Un électron − 1 ions. Le courant ionique −1 . A partir de ces résultats, nous pouvons donc déduire le courant total à la cathode : − ! ℎ# = = 0 + 0 1− − ! ℎ# ∝ ∝ −1 Le courant total électronique à l’anode s’écrit : = − ! ℎ# ∝ = ∝ 0 − 1 => 1− ∝ ∝ − ! ℎ# −1 Lorsque le dénominateur s’annule, on peut avoir un courant même en l’absence d’un 1 courant extérieur, cela nous donne la condition d’auto-entretien d’une décharge qui est ∝ = ln +1 Le processus de Townsend est un processus homogène qui décrit une décharge à basse pression, c'est-à-dire des produits ( < 100 Torr.cm. Le temps d’établissement d’une décharge de type Townsend est assez lent puisqu’il est dépendant du temps de migration des ions à la cathode. Par contre, à haute pression les temps caractéristiques d’établissement de la décharge sont beaucoup plus rapides que le temps nécessaire pour que les ions migrent vers la cathode. C’est pourquoi nous allons ensuite présenter le claquage de type streamer valable pour des plus hautes pressions. I-2-3-3) MECANISME DE CLAQUAGE DE TYPE STREAMER Le mécanisme de type streamer est dominant pour des produits pression/distance supérieurs à 100 Torr.cm d’après le critère de Raether [5] qui est variable selon la nature du gaz et des électrodes. C’est un processus inhomogène qui engendre l’apparition de filaments. Ce mécanisme présente plusieurs étapes de formation: 1ère étape : Avalanche primaire Un champ électrique est appliqué entre deux électrodes, un électron primaire présent dans le gaz près de la cathode va être accéléré par le champ électrique et créer une avalanche électronique primaire. Les électrons plus légers vont migrer jusqu’à l’anode, les Page | 10 CHAPITRE I _________________________________________________________________________ ions plus lourds vont alors créer une charge d’espace derrière ce front de charges négatives en raison de la présence d’un nuage ionique se déplaçant plus lentement. La charge d’espace crée un champ électrique E’ opposé au champ appliqué. Cette première étape est schématisée sur la figure I-6: FIGURE I-6: Mécanisme de type streamer avalanche primaire : création d’une charge d’espace Le champ de charge d’espace E’ doit être suffisamment élevé par rapport au champ géométrique E pour induire une distorsion du champ. Cette distorsion augmente le champ en tête d’avalanche et permet d’augmenter la vitesse de propagation vers l’anode. Il est communément admis que le streamer se développe quand le nombre d’électrons dans la tête d’avalanche dépasse 108 cm-3. 2ème étape : Création d’avalanches secondaires Au processus d’ionisation par collisions électrons-ions s’ajoute un processus de photo-ionisation qui engendre des avalanches secondaires. Lors de cette étape, il est possible de distinguer deux types de streamer : le streamer négatif et le streamer positif [1] Streamer positif : La génération d’un streamer positif est présentée sur la FIGURE I-7. Les atomes excités par l’avalanche primaire produisent des photons dans la direction de l’avalanche primaire c'est-à-dire vers la cathode. Les électrons produits par ces photons initient des avalanches secondaires dans cette même direction. Ces avalanches secondaires se mêlent aux ions générés par la première avalanche et forment un plasma quasi-neutre. Ces électrons peuvent aussi exciter de nouveaux atomes qui émettent des photons. L’avalanche Page | 11 CHAPITRE I _________________________________________________________________________ secondaire d’ions va renforcer la charge positive près de la cathode et faire évoluer le canal de plasma. Le streamer peut ainsi croître. FIGURE I-7 : Avalanches secondaires créées par photo-ionisation dans le cas d’un streamer positif [1] Streamer négatif : Le streamer est appelé négatif lorsque le début de l’avalanche primaire est proche de la cathode, ainsi le streamer se dirige principalement en direction de l’anode comme présenté sur le schéma de la Figure I-8. Les caractéristiques de propagation sont différentes de celles présentées dans le cas du streamer positif, car dans ce cas la dérive des électrons a lieu dans la même direction que celle du streamer. Dans ce cas, la photoionisation et les avalanches secondaires se dirigent vers l’anode c'est-à-dire vers la tête du streamer chargée négativement. Page | 12 CHAPITRE I _________________________________________________________________________ FIGURE I-8 : Avalanches secondaires créées par photo-ionisation dans le cas d’un streamer négatif [1] 3ème étape : Propagation du streamer et passage à l’arc dans le cas d’un streamer positif : En migrant le front négatif va être relié à l’anode créant le streamer, les avalanches secondaires fusionnant avec le canal principal vont développer le streamer. Ce dernier au bout d’un certain temps va relier l’anode et la cathode si le courant n’est pas limité cela engendrera le passage à l’arc comme on peut l’observer sur la FIGURE I-9. Dans ce cas, la température du gaz va rapidement croître du fait des collisions électrons-neutres et le plasma ainsi obtenu sera très proche de l’équilibre thermodynamique, avec une température du gaz pouvant atteindre plusieurs milliers de kelvin. Page | 13 CHAPITRE I _________________________________________________________________________ FIGURE I-9 : Création du streamer et développement jusqu’à la transition à l’arc I-2-4) COMMENT EVITER LE PASSAGE A L’ARC ? Pour empêcher ce passage à l’arc et ainsi avoir une décharge stable, plusieurs méthodes sont possibles : 1. Faire une pré-ionisation du gaz [6]. Le principe de cette technique consiste à créer avant l’application de la tension suffisamment d’électrons germes afin que les têtes d’avalanche se recouvrent ce qui annulera le champ de charge d’espace. Cette technique est une technique très performante développée pour l’excitation des lasers à gaz dans les années 1980. 2. Limiter le courant : par l’ajout de ballast résistif [7] ou capacitif ce qui correspond à des décharges à barrières diélectriques [8] que nous présenterons plus loin. 3. Diminuer le produit pression distance inter-électrode. L’examen de la Figure 1-2 de la courbe de Paschen montre qu’il est toutefois possible de rester dans un régime stable à haute pression à condition d’avoir des distances interélectrodes très petites. Ainsi à la pression atmosphérique, une distance interélectrode de l’ordre de la centaine de microns permet d’être au voisinage du minimum de la courbe de Paschen et donc en régime de Townsend. Par exemple, pour une décharge dans l’air à 760 torr dans une cavité de 100 µm, le produit pd vaut 7.6 torr.cm, ce qui se situe bien dans la partie d’une décharge de type Townsend dans la courbe de Paschen. C’est le domaine des microdécharges [9]. Page | 14 CHAPITRE I _________________________________________________________________________ II) GENERALITES SUR LES DECHARGES A BARRIERES DIELECTRIQUES II-1) PRINCIPE DES DECHARGES A BARRIERES DIELECTRIQUES La décharge à barrières diélectriques est caractérisée par la présence d’au moins une couche diélectrique située à l'intérieur de la décharge. On trouve également des dispositifs à DBD qui comportent une ou deux couches diélectriques directement en contact avec les armatures métalliques [10]. Le rôle principal du diélectrique est d'éviter la formation d'un arc électrique qui se produirait entre électrodes métalliques. Comme on le verra plus tard, ceci conduit à une phase de courant brève pendant laquelle les électrons et le gaz se trouvent hors équilibre thermodynamique. A des fortes pressions, la décharge à barrières diélectriques est bien souvent constituée d'une multitude de filaments de faible durée [11→14], et le développement d'un filament peut schématiquement comporter trois phases [15]. FIGURE.I-10 : Illustration schématique des phases de développement d'un filament DBD [15]. Sur la figure I-10, ces trois phases apparaissent. (i) Le claquage ou la formation de la décharge. Sous l'action d'un champ électrique suffisamment élevé appliqué à l'espace gazeux (une distance de l'ordre de quelques millimètres), une avalanche électronique peut être initiée Page | 15 CHAPITRE I _________________________________________________________________________ dans le gaz. Ce phénomène d'amorçage ne dépend pratiquement pas de la présence du diélectrique [16]. (ii) Le transport des charges dans l'espace inter-électrodes (l'impulsion de courant). Un canal de conduction s'établit, conduisant à l'apparition d'une charge d'espace. L'accumulation des charges au voisinage ou sur les diélectriques entraîne une diminution rapide de la différence de potentiel de l'espace gazeux. Par ailleurs, les mécanismes de destruction des électrons (recombinaison et attachement) deviennent plus importants que les mécanismes de production (ionisation). La décharge s’interrompt : le courant engendré est donc impulsionnel. (iii) la cinétique des réactions des espèces excitées (la chimie de la décharge). Pendant le bref passage du courant, les électrons énergétiques excitent les espèces, précurseurs des radicaux ou des excimères à produire. Cette production peut s'étendre dans la phase de post-décharge, bien au-delà de l'extinction du courant. L'efficacité de production des densités des espèces excitées précurseurs dépend de l'énergie des électrons pendant la première phase [15]. Le claquage est normalement achevé au bout de quelques nanosecondes ou quelques dizaines de nanosecondes, le transport des charges dure de quelques nanosecondes à quelques centaines de nanosecondes. Ensuite, la durée de production des radicaux ou des excimères dépendra seulement des processus chimiques mis en jeu. Le réamorçage de la DBD est facilité par l'emploi d'une source de tension alternative qui permet de s'affranchir de l'effet de l'accumulation des charges sur les diélectriques. II-2) DECHARGES A BARRIERES DIELECTRIQUES DANS LES APPLICATIONS INDUSTRIELLES Les premières expériences utilisant des décharges à barrières diélectriques à pression atmosphérique furent réalisées par Siemens, en 1857, qui obtient ainsi la première synthèse de l’ozone dans l’air à partir d’une DBD [17]. La production d'ozone fut l'objet de nombreuses recherches finalisées qui aboutirent à la réalisation de réacteurs industriels largement utilisés de nos jours [12] [18] [19]. L’ozone est principalement utilisé dans le traitement de l’eau pour la rendre potable ainsi que dans l’industrie du papier ou en Page | 16 CHAPITRE I _________________________________________________________________________ association avec de l’oxygène et de l’hydroxyde d’hydrogène, il permet de traiter la pâte à papier sans intervention de chlore. Au cours de ces dernières décennies, les applications des décharges à barrières diélectriques ont été diversifiées. Selon l'objectif recherché soit la décharge filamentaire, soit la décharge luminescente est privilégiée. A titre d'exemple pour ce dernier type de décharge, des études ont été développées dans l'azote pour le traitement des films de polymères au LGET [20] [21]. Récemment, une modélisation de ce type de décharge luminescente haute pression a été réalisée au LAPLACE [22]. Une autre application envisagée concerne des études sur la dépollution des gaz d'échappement des moteurs à combustion interne [23]. Il est apparu très tôt que ces décharges à barrières diélectriques constituaient un moyen privilégié afin de créer des excimères de gaz rares [24]. En effet, en plus d'un fonctionnement à haute pression, une condition supplémentaire doit être réunie pour former les excimères [10]. Des électrons très rapides (entre 8 et 20 eV) sont nécessaires pour former les états atomiques précurseurs de ces excimères. La DBD est un candidat idéal pour réaliser la lampe à excimères, car ce sont des décharges fonctionnant à haute pression, et dont les électrons très énergétiques évoluent dans un champ électrique élevé, proche de la tension d'amorçage [10]. Etant donné le caractère transitoire de la décharge, les électrons ne sont pas "thermalisés" : la température des électrons est de l'ordre de quelques milliers de Kelvin, tandis que le gaz est proche de la température ambiante [14]. Les applications développées utilisent le rayonnement ultraviolet lointain (U.V.L.) émis par ces milieux gazeux. Pour des pressions de quelques centaines de Torr, voire de plusieurs atmosphères, l'essentiel de la luminescence U.V.L. est constitué par le second continuum des gaz rares, situé respectivement à 172 nm, 145 nm et 130 nm pour le xénon, le krypton et l'argon. Depuis les expériences de Tanaka [24], les gaz rares ou des mélanges gaz rare/halogène ont fait l'objet de nombreux travaux sous excitation par décharge à barrières diélectriques. Ces lampes à excimères (et exciplexes) sont des sources intenses de rayonnement incohérent U.V. et U.V.L., et sont dotées d'une bonne efficacité (> 10%) [25] [26]. Comme ces émissions proviennent des transitions liée-libre (état fondamental Page | 17 CHAPITRE I _________________________________________________________________________ dissociatif), leur réabsorption est négligeable, ceci explique leur forte intensité et efficacité [27]. Ces rayonnements, de faibles largeurs spectrales (environ 10 à 15 nm), sont émis dans des gammes de longueurs d'ondes intéressantes pour des applications industrielles : Ces radiations permettent d’initier des réactions chimiques, de briser des liaisons moléculaires, ou de modifier les propriétés de surface. Les applications concernées sont principalement le dépôt de couches minces en micro-électronique [28] [16] [29], le traitement de surface [30→36] [13], la photooxidation du silicium à basse température [28] [37], la photo-dégradation de micropolluants [28] [26] [16] [36] ou le traitement de l’eau et des gaz d’échappement [38] [23] [16]. Les écrans à plasmas utilisent le rayonnement des excimères pour exciter différents luminophores [40] pour produire les trois couleurs fondamentales (rouge, vert et bleu). Une application visée pour un proche futur, concerne le pompage des lasers à excimères par des DBD afin de minimiser le coût du système laser [40] [41]. Les canons à électrons et les décharges capacitives constituent le moyen le plus répandu actuellement. Enfin, les décharges à barrières diélectriques intéressent également les "éclairagistes" qui, pour des considérations environnementales (l’économie d'énergie et l'élimination du mercure), souhaiteraient remplacer les lampes à décharge d'arc à mercure par des lampes à excimères [42][43], ou à exciplexes [16] [13]. Page | 18 CHAPITRE II _________________________________________________________________________ Chapitre II Page | 19 CHAPITRE II _________________________________________________________________________ CHAPITRE II MODELISATION ELECTRIQUE D’UNE DECHARGE A BARRIERES DIELECTRIQUE II-1) INTRODUCTION Pendant longtemps les décharges à barrières diélectriques DBDs ont été exclusivement liées à la génération de l'ozone. Les décharges à barrières diélectriques sont des décharges dont la plupart filamentaires. Dans les décharges filamentaires la tension dans le gap est uniforme. Une détermination expérimentale de l'évolution temporelle des grandeurs électriques internes dans une DBD filamentaire est très difficile. Dans les dix dernières années, la génération de DBD homogènes dans certains gaz dans des conditions spécifiques ont été obtenus [ex. Kogelschatz 2000/2001] [44→46]. Cette structure des décharges homogènes a une tension de gap uniforme et fournit la possibilité d'un accès dans le processus de l'évolution temporelle des grandeurs électriques internes dans le gap de décharge. La première détermination expérimentale publiée de l'évolution temporelle de la tension de gap a été réalisée dans [47]. Dans les travaux de Massines la formule pour la détermination de la tension de gap a été donnée: Ou + = −* 1 +, est le courant de décharge. 0 + + . / 1 est la tension de gap. Page | 20 CHAPITRE II _________________________________________________________________________ est la tension appliquée. +, . est la capacité équivalente de diélectrique. / la tension due à l'accumulation des charges sur les plaques diélectriques. La valeur de . est ajustée de telle manière que la valeur moyenne de sur un cycle est égale à zéro. Cette formule a été donnée sur la base physique du processus de chargement des diélectriques par le courant de décharge + et la présence de symétrie dans la géométrie de décharge. Comme indiqué dans notre modèle dans la section 2.3, cette équation n'est valable que si + est le courant extérieur total mesuré, pas le courant de décharge comme donné dans cet article [47]. Même pour ce cas, cette équation n'est valable que pour une tension d'excitation externe AC symétrique, mais, elle n’est pas valable pour une impulsion unipolaire. Par ailleurs pas d'équation pour le calcul des autres grandeurs électriques internes ont été fournies dans cet article. Le modèle électrique de DBD qui permet de déterminer l'évolution temporelle de toutes les grandeurs électriques dans le gap de décharge a été partiellement publiée par Shuhai Liu et Manfred Neiger [48][49]. La dérivation détaillée de ce modèle temporellement dynamique est donnée dans ce chapitre. Un nouveau circuit équivalent pour les décharges à barrières diélectriques homogènes est introduit, à partir de laquelle plusieurs équations peuvent être dérivées. Le calcul détaillé est présenté dans la section 2.3. Ces équations montrent les relations instantanées entre grandeurs électriques internes (tension de gap, le courant de décharge, l’énergie interne consommée) et de grandeurs électriques externes pour une forme d'onde de tension d'excitation externe arbitraire, et fournit donc des fondements théoriques pour la première fois afin de calculer simultanément toutes les grandeurs électriques dans le gap de décharge à partir des grandeurs électriques externes mesurées. Ce modèle est auto-cohérent, c'est-à-dire les grandeurs électriques peuvent être calculées à partir d’autres grandeurs sans violer les principes physiques connus, par exemple l'énergie et les charges de conservation. Ce modèle est un modèle global, c'est-à-dire, toutes les grandeurs électriques sont incluses dans ce modèle. II-2) CIRCUIT EQUIVALENT POUR UNE DECHARGE A BARRIERES DIELECTRIQUES. Le modèle électrique présenté dans ce chapitre repose sur un circuit équivalent de la configuration DBD, qui a été étudié dans ce mémoire. Dans cette section, ce circuit Page | 21 CHAPITRE II _________________________________________________________________________ équivalent pour une DBD homogène (verticale homogène à la direction du champ électrique) est décrit en détail. FIGURE .II-1 :a) Circuit équivalent pour DBD filamentaire, et b) Circuit équivalent simplifié. Puisque les DBD filamentaires ont été connus depuis longtemps et les DBD homogènes que dans les dix dernières années ont été observées, alors que la majorité des articles publiés est sur les DBD filamentaires. Plusieurs circuits équivalents électriques ont été mis en avant pour décrire électriquement les DBD filamentaires. Par exemple le circuit donné par( Hosselet 1971) [50] comme le montre la figure 2.1.a . Chaque micro- décharge dans le gap de décharge est un condensateur en parallèle avec une résistance variable [50] [51]. La barrière diélectrique est représentée par des micros – décharge capacitifs sont reliées par la résistance de surface de la barrière. Ce circuit équivalent a été simplifié comme représenté dans la figure 2.1.b. Pour décrire les grandeurs moyennes sur toute la surface de la barrière, sans tenir compte de la zone partielle de l'empreinte micro- décharge et le processus de décharge dans le canal filamentaire. Pour Cg et Cd, leurs valeurs de décharge-libre ont été employées. La résistance de gap de décharge a été considérée comme infinie dans la phase de décharge-libre et à diminuer lorsque les décharges ont été allumé. Ce circuit équivalent simplifié est plus adapté pour les DBD homogènes [52]. Pour une DBD homogène le nouveau circuit équivalent est introduit. La DBD est supposé être du type à plaques parallèles, avec une électrode recouverte par un diélectrique (voir la figure2.2a). Le circuit équivalent de cette configuration est représenté sur la figure2.2b, avec et + représentant les capacités équivalentes de gap et la couche diélectrique, respectivement. En cas de doubles couches de barrière sur les deux électrodes, Page | 22 CHAPITRE II _________________________________________________________________________ + est la capacité totale en série des deux couches diélectriques. Le plasma de décharge n'est pas représentée par une résistance variable dans le temps comme par exemple dans (1971 Hosselet , pankove 1980 )[50], comme illustré dans la figure 2.1.b , mais par une source de courant , source de courant commandée en tension. à la place de 2 , , , le courant de conduction dans le gap de gaz . , est contrôlée par , une variable inconnue 2 , . en utilisant est évité et il devient possible d'obtenir des relations générales entre le courant de décharge conductrice gap de gaz et le courant totale extérieur mesuré est une , dans le dans le circuit externe . Comme indiqué à la section 2.3, il n'y a pas de résistance inclus dans ces trois équations différentielles (2.1) - (2.3). Il y a cinq variables dans les trois équations différentielles, et si deux de ces variables sont connues, donc ces équations sont résolues. L'introduction de , à la place de 2 permet également d'éviter que la tension de gap égal à zéro après la décharge selon la figure 2.1b. En réalité, doit être n'est pas égal à zéro après la décharge dans la plupart des cas, comme nous le verrons par la suite. En outre, contrairement au traitement habituel que la capacité cg disparaît suite à la panne de gaz ou change avec le temps dû à la décharge (par exemple, Xu et Kushner 1998, Meiner 1999) [53], cg est supposé ici constante au cours de la phase de décharge. Sa valeur est supposée égale à sa valeur de capacité avant l'allumage de la décharge. La tension d'excitation externe dans notre modèle peut être d'une quelconque forme d'onde dépendante du temps. Dans ce modèle, les procédés de perte de charges de mémoire ne sont évidemment pas pris en considération. FIGURE .II-2 :a) les électrodes de la configuration DBD, et b) Circuit équivalent correspondant [48]. Page | 23 CHAPITRE II _________________________________________________________________________ II-3) DERIVATION DES EQUATIONS Selon le théorème de Kirchhoff, on obtient d'après la figure II.2b): = + , = =6 + Où + 7 , = − , 2.2 2.3 : Tension aux bornes de diélectrique; : Tension aux bornes de gap de décharge; ∶ Courant extérieure totale; , , + 5 : tension externe sur l'appareil; + 4, 4, + 2.1 : Courant de décharge dans le gap; : Courant de déplacement dans le gap. et sont les capacités équivalentes de la barrière diélectrique et le gap de décharge, respectivement. Ils sont connus pour la configuration d'électrodes donnée, et peuvent être = :/ :; < calculées par les équations suivantes : + Où = :/ + < +: 7 += l’épaisseur de la barrière diélectrique; Est l’épaisseur de l'intervalle de décharge; > : La surface de décharge; :/ : La permittivité du vide; :; : La constante diélectrique du matériau de la barrière diélectrique utilisé. Page | 24 CHAPITRE II _________________________________________________________________________ On dérive l'équation (2.3) par rapport au temps et on remplace l'équation (2.1) et ?@,A +6 5 − = (2.2) dans l'équation (2.3), on obtient: 6= , 7 , +B= + , En réarrangeant, on obtient une expression pour le courant extérieur mesurée facilement: , = = 4, , Avec DED 1+ + + + DED / 1+ , , + + 4, + 2.4 , = DED = / 1 + 6 , est la capacité totale de la configuration DBD. A partir de = , / 1+ = , qui peut être / 1+6 2.5 2.6 67 67 = = l'équation (2.4), le courant total mesuré externe , est composé de deux termes qui ont 4, des mécanismes physique différents. Le premier terme est le courant de déplacement externe, décrivant la charge et la décharge de la capacité totale de la configuration DBD. Le second terme décrit la contribution du mouvement des particules chargées dans l'espace de décharge du courant extérieur total mesuré. En d'autres termes, , est le courant de réponse dans le circuit externe si un courant de décharge conductrice , est dans le gap. Le courant externe total mesuré de courant de déplacement 4, 4, , et le courant de décharge extérieur est connu pour une courbe de tension externe donné, à partir du courant externe mesurée , . , , est la somme , . Parce que est facilement calculée Page | 25 CHAPITRE II _________________________________________________________________________ D'autre part, nous savons de la figure 2.2.b: = , + 4, = , + = + 2.7 2.8 En substituant l'équation (2.4) dans l'équation (2.7) nous obtenons : , 4, , 4, , Le courant total externe est aussi égal à la somme de courant de déplacement interne 4, et le courant de conduction de décharge interne. La réponse externe de , 4, sont et , 4, respectivement, , déplacement capacitif, alors que décharge de plasma. et , et 4, sont les courants de sont les courant de conduction due à la , De l'équation (2.4), nous pouvons calculer le courant de décharge réel le gap de décharge à partir du courant total extérieure mesuré = , K1 + + L − , et C'est une erreur d'interpréter le courant mesuré , , : dans 2.9 comme le courant de décharge, même si le courant de déplacement est assez petit pour être négligé. Le courant de décharge , est toujours plus grand que le courant de décharge externe , . De la même façon pour la charge transportée par la décharge dans le gap par un même facteur est plus grand que de la charge externe transférée. En présentant de nouveaux termes de , courant (le courant total externe courant de décharge externe le courant de décharge interne , , le courant de déplacement externe 4, , ainsi que le courant de déplacement interne , ) dans et le 4, et ce mémoire, on a fourni une description claire des différents mécanismes physiques pour des différents courants. À partir de l'équation (2.1), on obtient : + Où + = 0 = 1 + + / , N N+ = 0 , le voltage initial en + +. 0 2.10 Si on remplace l’équation (2.10) dans l’équation (2.3), on obtient : Page | 26 CHAPITRE II _________________________________________________________________________ = − = − 1 + - + / N− N , N + 0 2.11 Par remplacement de l’équation (2.4) dans l’équation (2.11), on obtient : = − = + − + 1 + 1 -O + + + / / 1+ + , N N + + + + + 1+ 0 + N− Par la suite, nous allons déterminer la valeur de , + N + P N− 0 … 0 pour les différents cas : + 0 2.11! 0 , par exemple la tension sinusoïdale est strictement 1).En cas d’une tension d’excitation alternative. Nous supposons que la tension d'alimentation externe appliquée symétrique. Pour la première décharge stationnaires + + 0 = 0. Pour la suite des décharges 0 ≠ 0. Si une tension alternative symétrique est utilisée pour l'excitation d’une DBD, c'est toute la tension et les quantités de courant, y compris la tension aux bornes barrière + TU ⁄V sont calculées dans une demi-période: S 1 +K + L= 2 + / , N N+ + 0 Page | 27 CHAPITRE II _________________________________________________________________________ U ⁄V 1 = = - + 1 / + =− N , U ⁄V - N , / + U ⁄V N+ TU ⁄V 1 N− + 1 - U ⁄V + / N , , N N+ N+ + + 0 0 2.12 Si on remplace l’équation (2.10) dans l’équation (2.12), on obtient : + 0 =− 1 2 + , / N N 2.13 Si on remplace l’équation (2.13) dans l’équation (2.10) et (2.11), on obtient les deux U ⁄V voltages de gap et diélectrique sous les conditions initial mentionnés précédemment : + = = = 1 + Ici, l’instant - N , / − − 1 + + / N− , 1 2 + / , N U ⁄V 1 N+ 2 + N / N , 2.14 N N 2.15 = 0 peut être un point arbitraire dans le temps. Donc, le zéro de 0 dépend de l’instant 0 sélectionnée [48]. trigger dans l'oscilloscope peut être appliqué directement comme le temps dans l'équation ci-dessus. Pour cette raison, la valeur de + Des impulsions de courant de décharge ont la même polarité dans la demi-période montant ou descendant. Ici, la demi-période montant est la durée du temps de pic négatif au pic positif suivant. De même, la demi-période descendant est la durée de temps de pic positif Page | 28 CHAPITRE II _________________________________________________________________________ au pic négative suivante. Ainsi, les points de crête de la tension externe sont des points de transition pour la polarité de la décharge. Pour cette raison, une période est divisée en une demi-période de montée et une demi-période de descente à la place de la division usuelle en une demi-période positive et négative selon la valeur d'amplitude de la tension externe. Les deux pics peuvent être considérées comme temps zéro. Si nous prenons un pic négatif comme le temps zéro, + + 0 devient une constante: 0 =− U ⁄V U ⁄V 1 2 + 1 - O =− 2 + / =− Où + + / 1+ − N N + , U ⁄V X/ 2 N + N , 1+ , + N + = N + + 0 P N N 2.16 est la valeur de crête positive de la tension externe, et l'intégrale dans le deuxième terme de l'équation (2.16) est les charges totales déposées par le courant de décharge interne constante. , dans la demi-période de montée. Donc la valeur de + 0 est une En substituant l'équation (2.16) dans l'équation (2.14) et (2.15) et en réarrangeant, on obtient: + = 1 + / , N N− + + − U ⁄V X/ 2 , + N + N Page | 29 CHAPITRE II _________________________________________________________________________ = = 1 + -O 1+ / + − + U ⁄V X/ + 2 − + + 2 + + + 1 + + = = N N , + + 1 1 + 1+ N N + N + *- , N - , N + 1 + , / / + U ⁄V - 1 * + 2 / , + U⁄V 1 N− 2 N+ N , / U⁄V P N− N / + N , + + N−- , N / N N1 2.17 N1 2.18 Page | 30 CHAPITRE II _________________________________________________________________________ Les équations (2.17) et (2.18) ont une signification physique claire. Il est montré clairement à partir de l'équation (2.17) et (2.18) que deux procédures physiques déterminent ensemble et + . Le premier terme de l'équation (2.17) et (2.18) résultent de la source de tension externe . est divisé entre Cg et Cd selon la loi de deux condensateurs en série de division de tension. Le deuxième terme résulte de la source de courant interne , , c'est à dire le courant interne de conduction que dans le circuit externe la charge ∆Z + provoque un changement de tension sur ∆ = = 1 + + U ⁄V 1 * + 2 / , + et + et N , bien sont en parallèle, et par conséquent, il : N −- N , / N1 2.19 Donc non seulement la charge déposée par la décharge momentanée dans cette demipériode, mais aussi la charge restante de la demi-période précédente (le premier terme de l'équation (2.19)) provoque ce changement de tension. Ces charges de la demi-période précédente provoquent ce qu’on appelle l'effet mémoire dans DBD. Comme représenté dans l'équation (2.18), ces charges mémoire permettent de déclencher la décharge de la prochaine demi-période d'une tension externe basse (effet mémoire). Sous excitation charge périodiquement de − à + unipolaire impulsionnelle [54] ces charge mémoire peuvent seules déclencher la décharge. La source de tension externe la demi-période montante et vice versa de + <[ à − <[ <[ <[ en dans la demi-période descendante. Les charges libres (les termes intégraux dans le crochet dans les équations (2.17) et (2.18)) Les charges libres changent du demi-montant négatif de la charge total déposée pour la période descendant au demi-montant positif des charges totales déposées à demi-période montant. Comme représenté dans l'équation (2.18), le dépôt de charge par le courant interne de la décharge conductrice , réduit le champ électrique dans le gap d'espacement par ∆ (l’équation (2.19)) et, enfin, conduit à une extinction de la décharge, tandis que la tension aux bornes de diélectrique augmente par ∆ . La moitié des charges transférées par , dans une demi-période est utilisée pour neutraliser les charges mémoire restant dans la Page | 31 CHAPITRE II _________________________________________________________________________ demi-période précédente, et l'autre moitié est laissée en tant que de nouvelles charges mémoire avec une polarité opposée à la demi-période suivante. Ce processus alternatif se produit chaque demi-période. Les charges mémoire sont égales à la moitié du total des charges déposées par l'équation (2.18). , dans chaque demi-période. C’est la prédiction théorique de 2) En cas d'excitation unipolaire. Si des impulsions de tension unidirectionnelles sont utilisées pour l’excitation de la DBD. En plus de la décharge au front montant ou au sommet d'impulsions de tension (décharge primaire), une décharge opposée (décharge secondaire) se produira au flanc descendant [54]. Cette décharge secondaire élimine les , charges mémoire déposées par la décharge primaire . C'est ce qu'on appelle l'effet de l'auto-effacement. Due à cet effet, il n'y a pas de charges mémoire restante pour la prochaine impulsion de tension externe. Par conséquent, non seulement pour le claquage de la décharge, mais aussi pour la décharge stationnaire il n'y a pas de charges mémoire disponibles pour la décharge primaire. Si nous choisissons le temps zéro avant la décharge primaire. L'équation (2.10) et (2.11) deviennent: = + 1 + = / + = = + , + − N N + + + 1 + − 1 + + - , N N 2.20 + - , N N 2.21 / / Le premier terme dans les équations (2.20) et (2.21) résulte de la source de tension externe . + est divisé entre et selon la loi de diviseur de tension de deux condensateurs en série. Le deuxième terme résulte de la source de courant interne Le courant de conduction interne , parallèle, et améliore la tension entre charge + + pourtant le circuit externe et et en même temps réduit la tension entre , . sont en par la Page | 32 CHAPITRE II _________________________________________________________________________ même valeur de tension (voir le deuxième terme de l'équation (2.20) et (2.21)). Au début, la tension interne augmente avec la tension externe (par exemple une impulsion positive) jusqu'à ce que la décharge primaire se produise. Le courant interne de conduction de cette décharge primaire , efface partiellement ou totalement ceci est due à l’accumulation des charges sur le diélectrique et finalement éteint la décharge primaire. Lorsque la tension externe chute, le premier terme de l'équation (2.21) diminue, mais le second terme reste, de sorte que pourrait diminuer à zéro et encore à une valeur négative qui pourrait être assez grande pour déclencher une décharge négative. Contrairement à la décharge primaire, la décharge secondaire n'est pas éteinte par l'accumulation des charges, mais par l'énergie disponible stockée par des charges de mémoire laissés par la décharge primaire. La puissance instantanée d’entrée = ∗ DBD peut être calculée comme suit: , , à partir du circuit externe dans la cellule 2.22 , La puissance instantanée consommée de la décharge de plasma dans le gap peut être = ∗ 2.23 calculée d'après l'équation (2.22) , , Les équations précédentes provenant du circuit équivalent de DBD permettent une modélisation quantitative des mécanismes qui conduisent la dynamique d’allumage et d'extinction d’une DBD homogènes pour des formes d'onde d’une tension arbitraire. Un modèle similaire a été donné par (trésor et al 1999) pour tension externe AC, mais dans leur modèle les charges mémoire n'ont pas été considérées. Les équations dérivées cidessus montrent les relations généralisées entre les grandeurs électriques internes et externes pour une DBD homogènes sous une forme d'onde de tension d'excitation arbitraire, et fournissent donc des fondements théoriques simples pour la détermination de la simulation des grandeurs électriques internes dans l'espace de décharge. En mesurant la tension externe et le courant total externe , , l'évolution temporelle de tous de grandeurs électriques internes dans le gap peut être calculée. En suivant le processus de l'évolution temporelle des grandeurs électriques internes, on peut acquérir une connaissance profonde du processus physiques dans les DBDs. Page | 33 CHAPITRE II _________________________________________________________________________ II-4) ÉQUATIONS POUR CHARGES DEPOSEES ET DE L'ENERGIE PAR UNE DECHARGE ET A UNE DEMI-PERIODE : Dans le calcul ci-dessus, nous avons obtenu les relations entre les quantités instantanées dynamiques internes ( externes , et , , , , ) et les quantités dynamiques . Dans cette section, nous dérivons les équations pour le calcul de la charge interne transféré, la charge externe transféré et l’énergie déposée par une décharge dans une demi-période. On introduit deux nouvelles quantités: la tension interne ], d'allumage de décharge = Nous supposons à et la tension interne d’extinction de décharge 5 = la décharge s’allume et à V ^, . la décharge s'éteint. Nous définissons le transfert de charge interne et externe par une décharge comme suit: Z Z Z , , _ = ` , _ = - N N , ` =Z N ⁄ 1+ ⁄ 2.24 On intègre l’équation (2.9), et on remplace les définitions ci-dessus par leur valeur on obtient : , , + De l'équation (2.24), on peut voir que la charge interne transférée n'est pas égale à la charge externe transférée, mais plus par un facteur de 1 + ⁄ + . Selon l'équation (2.11a), on obtient : 5 V = = 5 1+ ⁄ = ], 1+ − V ⁄ 1 + + + + + + _ ` + , + 0 − + N + N− 0 + + 0 2.25 0 Page | 34 CHAPITRE II _________________________________________________________________________ = ^, − 5 1+ ⁄ + 1 + + − ^, + N N ± V _ - N , ` N= 2.26 − ], ^, A partir de l’équation (2.25) et (2.26) on obtient l'équation qui calcule la charge interne transféré par une décharge: Z , = _ = ` , + + N N ], +b V − 5 L'énergie consommée par une décharge peut être calculé comme suit: d , _ = ` , _ = ` , − N N * 1 + 0 =e 1+ ⁄ _ +` , N 1+ + + _ - + ` V ⁄ , + N + 0 fZ N gb1 + + N− , + + +c 0 0 1 N ZV, − 2 + ⁄ c 2.27 N + 2.28 Nous supposons que la tension externe est un signal évolue lentement par-rapport à la durée de décharge (ex. Une tension sinusoïdale à basse fréquence), donc le changement Page | 35 CHAPITRE II _________________________________________________________________________ Z = + − Donc, l'équation (2.27) peut être simplifiée sous la forme suivante: Z , = + ], − ≈ V de tension externe pendant la décharge bref peut être ignoré, c.-à-d + ], ^, . 2.29 ^, 2.30 On remplace l’équation (2.29) dans l’équation (2.24), on obtient : , 5 Les équations (2.29) et (2.30) montrent à la fois que les charges internes et externes transférées par une décharge sont proportionnelles à la différence de la tension interne d'allumage de la décharge ], et la tension interne d’extinction du décharge L'équation (2.28) peut également être simplifiée sous la condition 5 l'introduction de l'équation (2.25) et (2.29) dans l'équation (2.28), on obtient: d , =e = 1+ − ], 1 = b 2 1 = b 2 5 2b Z ], ⁄ + ZV, , +c 1 − b 2 + + + + ^, + ], cZ V + cb ], , 0 − + − − cZ ^, V ^, c ≈ ^, 0 fZ . V . Par , , 2.31 Les équations (2.30) et (2.31) ne sont pas nouveaux, elles ont déjà été donné, par exemple à partir du modèle analytique du DBD de (Kuchner 1990)[55]. Par contre la relation entre la charge transférée interne et externe, la quantité d'énergie interne consommée par la décharge doit être égale à l'énergie externe d’entrée à chaque période selon le théorème de la conservation d'énergie, bien que la puissance d’entrée instantanée à partir du circuit externe ne signifie pas la puissance consommée par la décharge à cause des charges et l'énergie stockées. Si en plus la décharge se produis dans une demi-période, Page | 36 CHAPITRE II _________________________________________________________________________ les charges et l'énergie déposées dans une demi-période sont la somme des charges et n l'énergie déposés par toutes les décharges simples: Z d i$ − (ék$# , Où et i$ − (ék$# , =l Z mo5 n =l d mo5 , , m, m, 2.32 2.33 représente le nombre des décharges se produisant dans une demi-période. ^, d , , Z . Car , , + et Z , ], , sont tous exprimés à partir des paramètres d’état et ^, , +, ], sont connus pour des conditions expérimentales données (configuration d'électrode, gaz de décharge et la pression du gaz), donc à partir des équations (2.29) - (2.33), nous pouvons prédire les charges transférées et l'énergie d’entrée. Page | 37 CHAPITRE II _________________________________________________________________________ II-5) CONCLUSION Dans ce chapitre, nous avons introduit un modèle électrique dynamique pour les décharges à barrières diélectriques homogènes, qui a été partiellement publiés dans [48]. Ce modèle dynamique comprend un circuit équivalent pour DBD homogènes et certaines équations dérivées de ce circuit équivalent. Ces équations nous donnent des relations dynamiques entre les quantités électriques internes instantanés (tension de gap interne , courant de décharge interne externe , et le courant total externe ) et les grandeurs électriques externes ( tension , ) , donc permet de calculer le processus d'évolution temporelle de toutes les grandeurs électriques internes ( , ) à partir de la tension externe mesuré , et le courant total externe , , et pour une tension externe arbitraire. En outre dans ce modèle, nous avons également dérivé des équations pour grandeurs électriques des charges internes et des charges externes et de l'énergie déposés par une décharge, ainsi que leurs homologues correspondants dans une demi-période, si plusieurs décharges se produisent dans cette demi-période. Ce modèle est simple, mais fournit l'arrière-plan théorique pour déterminer le processus d'évolution dynamique de toutes les grandeurs électriques internes. L'accès à la réussite des processus dynamiques dans le gap est un progrès encourageants dans la compréhension des processus dynamiques impliqués dans des décharges à barrières diélectriques. Une description complète de quantification les processus électriques dans les DBD a été introduit. Page | 38 CHAPITRE III _________________________________________________________________________ Chapitre III Page | 39 CHAPITRE III _________________________________________________________________________ CHAPITRE III SIMULATION ET DISCUSSION DES RESULTATS III-1) INTRODUCTION La simulation numérique (ou expérience numérique) permet de reproduire sur un ordinateur un phénomène physique complexe dont on souhaite étudier l’évolution.. Elle repose sur la programmation de modèles théoriques ou mathématiques (intégration des équations du mouvement, d’équations différentielles, etc…) qui sont adaptés aux moyens numériques. Elle est donc une adaptation aux moyens numériques de la modélisation mathématique, et serve à étudier le fonctionnement et les propriétés d’un système modélisé ainsi qu’à en prédire son évolution. On parle également de calcul numérique. Les interfaces graphiques permettent la visualisation des résultats des calculs par des images de synthèse. Le chapitre précédent a décrit le modèle mathématique expliquant électriquement le phénomène de la décharge à barrière diélectrique que nous étudions dans ce mémoire. Dans ce chapitre, nous allons présenter, dans la première partie, les méthodes numériques appliquées. Dans la deuxième partie, le langage de programmation utilisé et les résultats de la simulation effectuée avec une comparaison de nos résultats avec les résultats publiés par Shuhai Liu et Manfred Neiger du même modèle dans l’article [48] pour valider notre modèle. Page | 40 CHAPITRE III _________________________________________________________________________ III-2) LES METHODES NUMERIQUE UTILISEES On a appliqué dans notre modèle deux grandes célèbres méthodes numériques, la première est l’intégration numérique et la deuxième est la dérivation numérique. III-2-1) L’INTEGRAL NUMERIQUE Le problème consiste ici à calculer, pour une fonction p et deux valeurs a et b q fixées, l’intégrale définie par [56][57] : S p = -p 3.1 Il existe typiquement deux grands types des méthodes, les méthodes dites indirectes pour lesquelles on recherche une approximation polynomiale de la fonction p méthodes dites directes qui reposent sur l’évaluation de la fonction p , et les en certaines valeurs privilégiées de l’intervalle d’intégration. III-2-1-1) LA METHODE DE TRAPEZE On a appliqué cette méthode dans notre modèle, cette méthode est expliqué en détaille ci-dessous. La méthode la plus directe est la méthode des trapèzes qui se résume au schéma suivant [58][59]: ≈ r−! bp ! + p r c 2 3.2 Explicité ici à un seul et unique trapèze dont les arêtes sont les quatre points > !; 0 , tb!; p ! c, r; p r r; 0 . Comme le montre la figure III-1, cela revient à assimiler la fonction à une droite. De ce fait, la méthode des trapèzes ne donne un résultat exact que lorsque la fonction est une fonction linéaire. On peut aisément se convaincre (au moins graphiquement) que l'approximation (3.2) sera d'autant meilleure que la fonction f aura un gradient essentiellement constant sur l'intervalle [a; b]. Tout dépend de la précision souhaitée. Page | 41 CHAPITRE III _________________________________________________________________________ La relation approchée (3.2) peut être interprétée légèrement différemment. En q q supposant que f est constante sur l'intervalle, on a -p =p - =p r−! 3.3 où est à déterminer. On retrouve le résultat précédent en choisissant tel que p = bp ! + p r c(C’est la valeur moyenne de f pour l'échantillon à deux points). 5 V Notez qu'il n'y a aucune raison des privilégier les bords. En d'autres termes, on peut très bien considérer le schéma suivant : q -p =p i r−! où i est le milieu de l'intervalle, soit i = ! + qu V 3.4 . C'est la méthode des rectangles III-2-1-2) PRECISION La méthode des trapèzes nécessite deux évaluations de la fonction, aux points 5 = ! et v = r. C'est un schéma à 2 points. Il est d'ordre ℎw (avec ℎ = r − !), ce qui signifie que l'erreur commise sur I est proportionnelle à ℎw . On peut s'en convaincre en considérant r infiniment proche de !, de telle sorte qu'un développement de Taylor autour de ! donne : p =p ! + − ! px ! + : −! V 3.5 Page | 42 CHAPITRE III _________________________________________________________________________ Figure III-1: Pour les fonctions qui présentent de fortes variations sur l'intervalle d'intégration ou si l'intervalle est trop grand, la méthode des trapèzes peut donner n'importe quoi, à moins qu'elle ne soit utilisée sur des sous-intervalles réguliers (méthode composée) ou irréguliers où l'on concentre le découpage dans les zones de forts gradients (méthode composée adaptative)[60]. Pour q -p ∈ [!, r]. En reportant cette expression dans la relation (3.4), on trouve ≈ r−! = p ! +p r 2 q -: −! r−! bp ! + p r c + : ℎw 2 V 3.6 Notez qu'il y a une différence essentielle entre dérivation et d'intégration: pour un schéma à deux points, la première est d'ordre ℎ alors que la seconde est d’ordre ℎw . III-2-1-3) VERSION COMPOSEE On peut augmenter l'ordre de la méthode, c'est-à-dire réduire l'erreur, grâce à la méthode des trapèzes composée qui consiste à découper l'intervalle [!, r] en 2, 3, . .. ou − 1 sous-intervalles de largeur constante ℎ = vu5 ℎ ≈ bp ! + p r c + ℎ l p| 2 ces conditions, on montre facilement que |oV |T5 + |, avec $ ∈ [1, − 1]. Dans 3.7 Page | 43 CHAPITRE III _________________________________________________________________________ où p$ ≡ p $ . Formellement, l'ordre n'a pas changé: c'est toujours ℎw , mais ℎ est plus petit. On voit donc que si ≫ 1, alors ℎ ≪ r − ! et la précision est meilleure. Une autre façon de s'en convaincre est de remarquer que ℎ = qu vu5 , c'est-à-dire que pour un intervalle donné, la précision varie approximativement comme n'est pas sans efforts: il faudra à présent par un temps de calcul plus grand. uw . Notez que ce gain + 1 évaluations de la fonction, ce qui se solde En regroupant les différents termes, on peut simplifier et ré-exprimer le résultat sous la forme [60][61]. q S p = -p vu5 ℎ ≈ €p ! + p r + 2 l p 2 |o5 | • 3.8 La méthode des trapèzes est une méthode d’ordre 1. L’erreur dans la méthode des trapèzes est donnée par l’expression q ‚- p 1 r−! − ƒ‚ ≤ V 12 La somme S s’exprime par w ∈ [!, r] vu5 ℎ ƒ = €p ! + p r + 2 l p 2 |o5 III-2-2) LA DERIVEE NUMERIQUE …†(|p xx | | 3.9 • Comme pour l’intégrale, on voudrait être en mesure d’evaluer numériquement la dérivée d’une fonction qui n’est connue que par ses valeurs en un certain nombre de points. Ce problème de dérivation numérique est très commun en ingénierie et en analyse numérique (c’est la base des méthodes de différences finies). Page | 44 CHAPITRE III _________________________________________________________________________ III-2-2-1) L’APPROXIMATION DE LA DERIVEE PREMIERE Supposons donnée une fonction f suffisamment dérivable sur un intervalle [!, r] de 2 seulement connue de façon discrète i.e. par ses valeurs en des points |, $ = 0, . . . , . Une des méthodes les plus anciennes utilisées pour obtenir des formules de dérivation numérique consiste à construire des quotients différentiels à l’aide de la formule de Taylor. III-2-2-2) FORMULES A DEUX POINTS On suppose que les approximation de p′ p autour de p / • p x ŽT ‹ [61][62]: ∈ [ /, / = p sont régulièrement espacés : | = / + $ℎ et on cherche une . Ecrivons un premier développement de Taylor1 d’ordre 1 de / +ℎ =p On obtient : Œ ‹ Š / | / / / + ℎp + ℎ] x / +ℎ −p ℎ ℎV + p" :5 , :5 2 / ℎ d = − p" :5 , :5 ∈ [ / , 2 !((k# $i! $# (k i$èk / p 5 −ℎ =p ∈[ 5 5 − ℎp − ℎ, 5 ] 5 à k#$ + ℎ] kk †k #ii$… ℎV + p" :V , :V 2 Ecrivons un autre développement de Taylor d’ordre 1 de f autour de x / •! ék$•é 5 3.10 “ : Page | 45 CHAPITRE III _________________________________________________________________________ On obtient alors: • p x Žu ‹ Œ ‹ Š 5 = d= p 5 −p ℎ 5 +ℎ ℎ p" :V , :V ∈ [ 2 5 !((k# $i! $# (k i$èk − ℎ, 5 5 •! ék$•é à ”!† ℎ ] kk †k #ii$… 3.11 “ Les formules obtenues sont donc deux approximations de la dérivée première en un point donné i.e. deux discrétisations de p′ $ et l’erreur commise à chaque fois tend vers 0 comme ℎ. On parle d’approximation d’ordre 1. Augmentons l’ordre du développement de Taylor de p autour de p p / +ℎ =p 5 −ℎ =p / + ℎp x 5 − ℎp :5 ∈ [ / , :V ∈ [ 5 / +ℎ] − ℎ, x 5 ] / ℎV ℎw + p" :5 + p 2 6 w :5 , 5 ℎV ℎw + p" :V − p 2 6 w :V , En soustrayant membre à membre, on obtient : p 5 +ℎ −p 5 − ℎ = 2ℎp x 5 ℎw + p 6 w : :5 + p w :V +ℎ −p 5−ℎ 5 2ℎ !((k# $i! $# •! ék$•é “ (k i$èk ké 3.12 5 Œ ℎV ‹ d=− p w :5 + p w :V , ‹ 12 Š :5 ∈ [ 5 , 5 + ℎ ] , :V ∈ [ 5 − ℎ, 5 ] kk †k #ii$… Ce qui donne : • ‹ ‹ p x Ž• = p 5 5 Page | 46 CHAPITRE III _________________________________________________________________________ ℎV ∃: ∈ [ 5 − ℎ, 5 + ℎ ]/− p 12 L’estimation de l’erreur se simplifie : ℎV =− p 6 w : . w :5 + p w :V La formule centrée est une formule d’ordre 2 et donc plus précise que les deux premières formules, même si elle nécessite la connaissance de p au même nombre de points. Il faut cependant noter que les points utilisés sont disposés symétriquement par rapport à celui où l’on calcule la dérivée. III-3) SIMULATION Dans notre simulation, on a utilisé pour programmer les équations dérivées du circuit présenté dans la figure II-2-b le fortran comme un langage de programmation. Notre but est de faire un programme qui calcule à partir des quantités externe (le voltage d’excitation externe décharge dans le gap et le courant extérieur total) les quantités interne (le courant de , aux bornes de diélectrique , la tension aux bornes de gap de décharge + puissance instantanée d’entrée décharge de plasma dans le gap précédant. , la tension , le courant de déplacement dans le gap , 4, , la et la puissance instantanée consommée de la , ) en appliquant les équations dérivées du circuit III-3-1) POURQUOI LE FORTRAN ? Beaucoup de langages informatiques ont été développés depuis le milieu du XXe siècle, avec une certaine portion comme langues d'usage général et d'autres développés pour des applications spécifiques. Fortran est axé sur le traitement des calculs avec rapidité et précision. Il a subi trois révisions majeures de son histoire, et est encore la langue de choix pour de nombreuses applications scientifiques. Fortran Histoire Développé dans les années 1950, Fortran est devenu très populaire parmi les scientifiques et d'autres personnes qui ont besoin d’un langage simple pour développer des applications à coup de chiffres. La langue a été révisée en 1966 et 1977 comme Fortran 66 et Fortran Page | 47 CHAPITRE III _________________________________________________________________________ 77, respectivement. Une mise à jour plus récente a été publiée en Fortran 90 en 1990. En raison de sa popularité, il ya un grand nombre de sous-programmes et d'autres codes qui sont disponibles pour l'utilisation par toute personne qui en a besoin. Fortran est relativement facile à apprendre, mais son plus grand avantage est que c'est un langage informatique puissant. Il a été conçu dès le début pour faire des calculs à grande vitesse avec précision, et il continue à être un favori pour les applications scientifiques en raison de cette caractéristique. Un de ses atouts dans le domaine de l'analyse numérique est qu'il facilite le codage des programmes faciles éventail de manipulation, qui sont d'une grande importance pour les statisticiens [63][64]. Bibliothèques de code existant Il ya eu un investissement important dans le code Fortran depuis sa création, et une grande partie du code est réutilisable. Par exemple, si quelqu'un a conçu une routine de jour en Fortran et rendu disponible au public sur Internet, ce code peut facilement être intégré dans votre programme Fortran. Fortran 90 rend cette tâche plus facile que par le passé, ce qui entraîne des temps de développement plus courts et des coûts de développement réduits. Cet ensemble de connaissances et de règles est un atout précieux pour la communauté Fortran. Détection d'erreur Améliorations à Fortran 90 inclure un large éventail de détection d'erreur, y compris la détection des erreurs qui pourraient causer un problème à atteindre la précision souhaitée codage. Les propriétés de détection d'erreur comprennent également la capacité de détecter la violation des règles de nommage, la violation des règles de syntaxe et l'utilisation des fonctionnalités Fortran obsolètes. Fortran 90 détecte également l'utilisation de types de données non valides, ce qui est une caractéristique des langages de programmation modernes orientés objet. III-3-3) L’ORGANIGRAMME L’organigramme ci-dessous va nous présenter en détail et graphiquement l’enchainement des opérations et les décisions effectuées par notre programme. Page | 48 CHAPITRE III _________________________________________________________________________ Début :/ , :; , >, + , + + = , = > = :/ :; = K1 + 1 + , - , / , + N , = :/ L = , , , ∗ , , > , − U ⁄V 1 N− 2 + − = , +, Fin , / ∗ , , + + , N N Figure III-2 : l’organigramme présente les équations utilisées pour la modélisation. Page | 49 CHAPITRE III _________________________________________________________________________ III-3-4) DISCUSSION DES RESULTATS ET VALIDATION DU PROGRAMME Pour valider notre programme, on a comparé graphiquement nos résultats de simulation avec les résultats publiés par Shuhai Liu et Manfred Neiger [48]. Shuhai Liu et Manfred Neiger sont les premiers qui introduisent le nouveau circuit équivalant présenté dans ce mémoire. 3000 2000 1000 voltage [V] 0 -1000 -2000 -2 0 Ua(t) 2 4 6 8 10 temps [S*10-7] Up,g(t) Figure III-3 : en bleu La tension externe d’excitation publié utilisé pour la validation du programme [48] programme , et en rouge la tension interne dans le Gap calculé par le . Page | 50 CHAPITRE III _________________________________________________________________________ 2000 1500 voltage[V] 1000 500 0 -500 -1000 -1500 -2e-7 0 2e-7 4e-7 6e-7 8e-7 1e-6 temps[S] Vp,g(t) simulé Vp,g(t) publié , Figure III-4 : En bleu la tension interne dans le gap , La tension interne dans le gap publié dans [48] et en rouge simulé avec notre programme. 300 200 courant[mA] 100 0 -100 -200 -300 -400 -2 0 2 4 6 8 10 temps[s*10-7] Ia(t) Ip,g(t) Figure III-5 : en bleu le courant total externe courant interne de décharge dans le gap Simulé , , publié dans [48] et en rouge le . Page | 51 CHAPITRE III _________________________________________________________________________ 0.3 0.2 courant [A] 0.1 0.0 -0.1 -0.2 -0.3 -2e-7 0 2e-7 4e-7 6e-7 8e-7 1e-6 temps[S] Ip,g(t) publié Ip,g(t) simulé Figure III-6 : En bleu le courant interne de décharge dans le gap [48] et en rouge le courant interne de décharge dans le gap programme. , , de l’article publié simulé par notre Les figures III-4 et III-6 font une comparaison entre les résultats publiés par Shuhai Liu et Manfred Neiger et nos résultats trouvés par notre programme. On a trouvé que nos graphes sont identiques avec les graphes publiés mais avec une petite erreur négligeable. Cette erreur revenient aux méthodes de programmation utilisés pour calculer l’intégral et la dérivé numérique trouvé dans leurs formules mathématiques. Page | 52 CHAPITRE III _________________________________________________________________________ 600 400 puissance[W] 200 0 -200 -400 -600 -2 0 2 4 6 8 10 -7 temps[S*10 ] Pt,a(t) Pp,g(t) Figure III-7 : la puissance instantanée d’entrée consommée de la décharge de plasma dans le gap , simulé et la puissance instantanée , ) simulé. III-5) APPLICATIONS SUR LES LAMPES A DECHARGE. La lampe utilisée pour nos applications est une décharge à barrière diélectrique dans le mélange NeXe pour la première application et le KrCl2 pour la deuxième application, ces application sont conditionnées par : • une pression de 400 torrs • une distance inter-électrode de 1 cm • la surface des électrodes à 1 cm2 • la capacité du diélectrique fixé à •ž = Ÿ. ¡ ∗ ¢Ÿu£ ¤ • température du gaz à 300 k • la capacité gap de décharge •¥ = ¦. ¦§¨¢ ∗ ¢Ÿu¢¨ ¤ On a utilisé une tension sinusoïdale d’une fréquence de 10© ª« et une tension nominale de 3 KV pour exciter la lampe de décharge pour la première application et on a utilisés une tension constante de 5 KV pour la deuxième application. Les grandeurs internes calculées (la tension aux bornes de gap de décharge , le courant de décharge Page | 53 CHAPITRE III _________________________________________________________________________ , dans le gap , gap , la puissance instantanée consommée de la décharge de plasma dans le , ) à partir les grandeurs externes (courant total externe d’excitation ) sont présentées dans les figures ci-dessous : , voltage externe 0.06 1.5 0.05 1.0 0.04 courant[A] courant[A] 0.5 0.0 0.03 0.02 -0.5 0.01 -1.0 0.00 -1.5 0.0 5.0e-6 1.0e-5 1.5e-5 2.0e-5 2.5e-5 0.0 5.0e-7 temps[s] 1.0e-6 1.5e-6 2.0e-6 2.5e-6 temps[s] It,a(t) Ip,g(t) It,a(t) Ip,g(t) (a) Figure III-8 : (a) , (b) et application , de la 1er application (b) 4000 , , et de la 2eme 6000 3000 5000 2000 4000 voltage[v] voltage[v] 1000 0 3000 2000 -1000 1000 -2000 0 -3000 -4000 0.0 5.0e-6 1.0e-5 1.5e-5 2.0e-5 2.5e-5 0.0 5.0e-7 temps[s] 1.5e-6 Ua(t) Ug(t) Ua(t) Ug(t) Figure III-9 : (a) 1.0e-6 temps[s] et de la 1er application (b) et de la 2eme application Page | 54 2.0e-6 2.5e-6 CHAPITRE III _________________________________________________________________________ 1500 250 1000 200 puissance[W] 300 puissance[W] 2000 500 0 -500 150 100 50 -1000 0 -1500 0.0 5.0e-6 1.0e-5 1.5e-5 2.0e-5 2.5e-5 0.0 5.0e-7 temps[s] 1.0e-6 1.5e-6 2.0e-6 temps[s] Pt,a(t) Pp,g(t) Pt,a(t) Pp,g(t) (a) , Figure III-10 : (a) application (b) et , , La variation du courant total externe , gap , de la 1er application (b) et , et de la 2eme le courant de décharge dans le est représenté dans la figure III-8 (a) pour une tension excitation sinusoïdale et , (b) pour une tension excitation continue. On peut remarquer que les graphes de et , sont approximativement identique dans les deux applications. Cette identification nous indique que les valeurs du courant de déplacement interne presque nulles pendant toute la période de décharge. Puisque L’équation (2.9) montre que les valeurs de + et , 4, = est très petites , + 4, . les capacités équivalentes de la barrière diélectrique et le gap de décharge, respectivement.ont une grande influence sur la variation de , 1.00038 ≈ 1 et obtient : , et ⁄ 4, . Dans l’équation (2.9) les valeurs du facteur ¬1 + 6 - = = 4.42 ∗ 10 u® = 1.00038 ≈ 1 67 = ≈ 0. Si on remplace dans l’équation (2.9) on , , ≈ Ces résultats explique pourquoi les graphes de − 4.42 ∗ 10u® ≈ 0 ∗ , , et , sont presque identiques. Page | 55 2.5e-6 CHAPITRE III _________________________________________________________________________ Dans le cas d’excitation par une tension continue la puissance instantanée consommée de la décharge de plasma dans le gap instantanée d’entrée , , est environ de La puissance indique que la décharge de plasma dans le gap consomme la majorité de la puissance et de l’énergie fournie par le circuit. Par contre pour la première application dans une tension sinusoïdale la puissance consommée est contrôlée par la tension de la décharge. Si la tension de gap égale à la tension d’allumage, une décharge se produit. Si la tension de gap n'est pas assez élevée pour maintenir la décharge, la décharge s’éteint. Page | 56 CHAPITRE III _________________________________________________________________________ III-4) CONCLUSION Dans ce chapitre, on a expliqué en détail les méthodes numériques utilisées pour simuler les équations des grandeurs internes d’une décharge électrique (le courant de décharge dans le gap , , la tension aux bornes de gap de décharge ). Puis on a présenté le déroulement du notre programme par un organigramme qui spécifie les équations utilisés. Nos résultats sont identiques avec les résultats trouvés par Shuhai Liu et Manfred Neiger les premiers chercheurs qui découvrent le circuit équivalent de la décharge à barrière diélectrique étudié dans cette thèse. On a appliqué notre modèle sur deux lampes à décharge à barrières diélectriques, l’une pour une tension d’excitation sinusoïdale et l’autre pour une tension continue. Page | 57 Conclusion générale _________________________________________________________________________ CONCLUSION GENERALE Afin de décrire quantitativement les principes de fonctionnement des décharges à barrières diélectrique DBD, nous avons développé un modèle électrique dynamique pour les DBD homogènes. Dans ce modèle nous avons représenté la décharge par un circuit électrique équivalent. Ce modèle est valide pour une tension d’excitation arbitraire. Nous avons pu révéler les relations instantanées des quantités électriques internes dans le gap ( la tension du gap, courant de décharge interne et la puissance interne de consommation de l’énergie). L’interprétation de l’allumage et l’extinction d’une décharge DBD provient des mesures électriques de la décharge. La décharge DBD étudié dans cette thèse est représentée par deux électrodes planes et parallèles recouvertes par un diélectrique. Le gap est remplit d’un gaz qui n’est pas représenté par une résistance mais plutôt par une densité de courant Ipg(t). En utilisant une densité de courant plutôt qu’une résistance R(t) inconnue et variable non linéaire. Ce modèle dynamique comprend un circuit équivalent pour DBD homogènes et certaines équations dérivées de ce circuit équivalent. Ces équations nous donnent des relations dynamiques entre les quantités électriques internes instantanés (tension de gap interne , courant de décharge interne externe , et le courant total externe ) et les grandeurs électriques externes ( tension , ) , donc permet de calculer le processus d'évolution temporelle de toutes les grandeurs électriques internes ( , ) à partir de la tension externe mesuré , et le courant total externe , , et pour une tension externe arbitraire. En outre dans ce modèle, nous avons également dérivé des équations pour grandeurs électriques des charges internes et des charges externes et de l'énergie déposés par une décharge, ainsi que leurs homologues correspondants dans une demi-période, si plusieurs décharges se produisent dans cette demi-période. Ce modèle est simple, et fournit l'arrière-plan théorique pour déterminer le processus d'évolution dynamique de toutes les grandeurs électriques internes. L'accès à la réussite des processus dynamiques dans le gap est un progrès encourageants dans la compréhension des processus Page | 60 Conclusion générale _________________________________________________________________________ dynamiques impliqués dans des décharges à barrières diélectriques. Une description complète de quantifier les processus électriques dans les DBD a été introduit. 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