constructions de triangles

TRIANGLES
G 1/7
5ième
I. INEGALITÉ TRIANGULAIRE
Soient 3 point A, B et C :
1er cas : si B n’est pas sur le segment [AC] :
×B
A
C
alors AC < AB + BC, AB < AC + BC, BC < AB + AC
2ème cas : si B est sur le segment [AC] :
A
C
B
alors AC = AB + BC
Réciproquement : si AC = AB + BC alors B est sur le segment [AC]
Conséquence : on ne peut construire un triangle que si la somme des longueurs de 2 côtés est toujours
supérieure à la longueur du 3ème.
En pratique : il suffit de regarder si la longueur du plus grand des côtés est inférieur à la somme des 2 autres.
Exemples :
Peut-on construire un triangle ABC avec AB = 6 cm ; AC = 3 cm et BC = 2 cm ?
Peut-on construire un triangle IJK avec IJ = 8 km ; IK = 9 km et JK = 2,1 km ?
II. CONSTRUCTIONS TYPE
TRIANGLES
G 1/7
5ième
CONSTRUCTION DE TYPE 1.
Construire un triangle dont on connaît les longueurs des 3 côtés du triangle.
Exemple :
ABC est un triangle tel que :
AB = 2cm
AC = 3cm
BC = 4cm
1. On trace un coté (à la règle). En général, on choisit le plus long. On nomme ses extrémités.
B
C
2. On reporte (au compas) les longueurs des deux autres côtés à partir de la bonne extrémité.
B
C
3. Les deux arcs se coupent : C’est le 3ème sommet du triangle. On le nomme puis on trace les côtés.
A
B
C
ATTENTION :
La somme des deux côtés les plus courts doit toujours être supérieure au côté le plus long (inégalité
triangulaire)
Sinon, les deux arcs de cercle (Étape 2.) ne se coupent pas et le triangle est impossible à construire.
Dans l’exemple, il n’y a pas de problème : 2 + 3 > 4
TRIANGLES
G 1/7
5ième
CONSTRUCTION DE TYPE 2.
Construire un triangle dont on connaît un angle et les deux côtés qui le forment.
Exemple :
DEF est un triangle tel que :
DE = 3cm
DF = 4cm
a
EDF = 30°
1. On trace un coté (à la règle). En général, on choisit le plus long. On nomme ses extrémités.
D
F
2. On construit (avec le rapporteur) l’angle qu’on connaît à partir du bon sommet.
D
F
3. On reporte la longueur du second côté connu à partir de la bonne extrémité (ici, le point D).
E
D
F
4. On trace les 2 côtés manquants.
E
D
F
TRIANGLES
G 1/7
5ième
CONSTRUCTION DE TYPE 3.
Construire un triangle dont on connaît 2 angles et un côté.
Exemple :
IJK est un triangle tel que :
IJ = 4cm
a
IJK = 60°
a
JIK = 45°
1. On trace LE coté connu.
I
J
2. On construit (avec le rapporteur) les deux angles qu’on connaît à partir du bon sommet.
I
J
3. On prolonge les côtés des deux angles pour obtenir le 3ème sommet du triangle.
K
I
J
TRIANGLES
G 1/7
5ième
III. CERCLE CIRCONSCRIT A UN TRIANGLE
a. Médiatrice d’un segment :
La médiatrice d’un segment [AB] est la droite (d) perpendiculaire à [AB] et qui passe par le milieu I de [AB].
SI un M est un point la médiatrice de [AB] ,
ALORS M est équidistant (« à égale distance »)
de A et de B c’est à dire : MA = MB.
SI un point M est équidistant de A et de B,
ALORS M se trouve sur la médiatrice de [AB].
b. Cercle :
Le cercle de centre O et de rayon R (R est un NOMBRE) est l’ensemble de tous les points situés à une
distance R du point O.
c. Cercle circonscrit à un triangle :
Chaque triangle possède un cercle qui passe par ses 3 sommets. Son centre est I, le point de concours des
médiatrices des 3 cotés du triangle.
On dit que c’est le cercle circonscrit au triangle.
IA = IB = IC
A
I
B
C