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Mines Physique 1 PSI 2009 — Énoncé 1/7
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ECOLE NATIONALE DES PONTSET CHAUSS ´ EES.
´
ECOLESNATIONALES SUP´ ERIEURESDE L’A´ ERONAUTIQUE ET DE L’ESPACE,
DE TECHNIQUESAVANC´ EES,DEST´ EL ´ ECOMMUNICATIONS,
DESMINESDEPARIS,DESMINESDESAINT–´ ETIENNE,DESMINESDENANCY,
DEST´ EL ´ ECOMMUNICATIONSDEBRETAGNE,
´
ECOLE POLYTECHNIQUE(FILI` ERE TSI)
CONCOURS D’ADMISSION 2009
PREMI ` ERE´ EPREUVEDEPHYSIQUE
Fili` ere PSI
(Dur´ ee del’´ epreuve:3heures)
L’usagedelacalculatrice estautoris´ e
Sujetmis ` adisposition desconcours:ENSAE(Statistique),ENSTIM,INT,TPE–EIVP,Cycle
international
Lescandidats sontpri´ esdementionnerdefac¸on apparentesurla premi` erepagedelacopie:
PHYSIQUEI—PSI.
L’´ enonc´ ede cette´ epreuve comporte7 pages.
–Si, aucoursdel’´ epreuve,un candidatrep` ere ce quiluisemble ˆ etreune erreurd’´ enonc´ e,il estinvit´ e` ale
signalersursa copie et` apoursuivresa compositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesqu’il aura´ et´ e
amen´ e` aprendre.
–Ilnefaudrapash´ esiter` aformulerlescommentaires(incluantdesconsid´ erationsnum´ eriques)quivous
semblerontpertinents,mˆ eme lorsquel’´ enonc´ enele demandepasexplicitement. Lebar` eme tiendra compte
de cesinitiativesainsiquedesqualit´ esder´ edaction dela copie.
LE RAYONNEMENTFOSSILE
Lesujetestcompos´ edequatrepartiesind´ ependantes.Lesdeux premi` eresparties´ etudient l’expansion
del’Univers.Latroisi` emepartie´ etudielepositionnementd’unesonded’observation du rayonnement
cosmologique.Laquatri` emepartie approfondit l’´ etudedu rayonnement.Lesdonn´ eesnum´ eriques
n´ ecessaires sontenfin d’´ enonc´ e.Lesvecteurs sontg´ en´ eralementnot´ esavec unefl` eche,−→ v,saufs’ils
sontunitairesetsontalors surmont´ esd’un chapeaukb exk=1.Lesnombrescomplexes sontsoulign´
es:
z∈C.On noteraj2=−1.
I.—Expansion del’Univers
1—Expliquerbri` evement laphrasesuivante,souventutilis´ ee danslesrevuesdevulgarisation
scientifique:pluson regardeloin dansl’Univers,pluson regardedanslepass´ e.
Onraisonnedansle cadredela cin´ ematique classique(non-relativiste).LepointOrepr´ esenteun ob-
servateursurlaTerre et lepointMrepr´ esenteun objetc´ eleste(´ etoile,galaxie,etc.).Onconsid` erele
r´ ef´ erentielRo` uOestfixe etMestenmouvement.Lemilieuinterstellaire estassimil´ e au videpour
lesondes´ electromagn´ etiqueseton notecla c´ el´ erit´ ede cesondesdansR.
Onconvientdenepastenircomptedel’att´ enuation del’amplitudedesondesaucoursdeleurpropa-
gation.
Soit sM(t)lesignal´ electromagn´ etique´ emisparlepointM` al’instantt.Ce signalestrec¸u` al’instant
t′parlepointO.On notesO(t)lesignalrec¸u parO` al’instantt.On noteOM=r(t).D’apr` esles
hypoth` eses,sO(t′)=sM(t).
2—Exprimert′enfonction det,cetdeladistance r(t).
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Mines Physique 1 PSI 2009 — Énoncé 2/7
3—L’´ emetteurMaunevitessenot´ ee −→ v(t),denormev(t)et
faisantavec −−→ OMun angle
α (t)(voirfigure1).L’´ emetteur´ emetdes
signaux p´ eriodiquesdep´ eriodeT.Onsupposequelafr´ equence des
signaux estsuffisammentgrandepourpouvoirn´ egligerlesvariations
de−→ vetde
α surunep´ eriode.Onsuppose´ egalementqu’` a chaque
instantt,v(t)T/r(t)≪1.Exprimer,au premierordre,ladiff´ erence
r(t+T)−r(t).
4—En d´ eduire,toujoursau premierordre,lap´ eriodeT′des
signaux rec¸usparl’observateurenO.OnexprimeraT′enfonction
deT,v,cet
α .
r
v
O
M
FIG.1 – G´ eom´ etrie
5—OnappellevitesseradialedeMlaquantit´ evr=vcos α .On note λ lalongueurd’ondedu
signal´ emisparMet
λ
′lalongueurd’ondedu signalrec¸uenO.Donnerlarelation quiexiste entre
λ ,
λ
′,vretc.Onmettra cetterelation souslaforme
λ
′/
λ =1+Z.Laquantit´ eZainsid´ efinies’appelle
leredshift.
6—OnsupposequeMserapprochedeO.SiM´ emetunelongueurd’onde λ situ´ ee danslejaune
(
λ =585 nm),lalongueurd’onde λ
′rec¸ue enOest-elled´
ecal´ ee vers lerougeou biend´ ecal´ ee vers
lebleupar rapport` a
λ ?Onjustifieralar´ eponse.
FIG.2 – LoideHubble
En 1929,lephysicienEdwinHubble a relev´ e
lespectredelalumi` ereissuedesgalaxiesdont
ladistance ` alaTerre´ etait connue.Encompa-
rantces spectres` a ceux d’´ el´ ementschimiques
connus,il enad´ eduit leredshift Zde ces
galaxies.Lespointsexp´ erimentaux pourplu-
sieursgalaxies sontrepr´ esent´ es surlafigure2.
En notantdladistance Terre-galaxie etvrla
vitesseradialedelagalaxiepar rapport` ala
Terre,lesmesures sugg` erentuneloi lin´ eaire
du typevr=H×d.Cetteloiportelenomde
loideHubbleetHs’appellelaconstantede
Hubble(lemotconstantesignifiequ’il s’agit
d’une constantepar rapport` al’espace etnon
dansletemps).
d0,87 1,05 1,56 1,76 2,11 2,26 2,48 2,77 3,92 4,59 4,30 5,32 6,92 7,21 11,22 14,47
Z×1020,71 0,83 1,06 1,23 1,67 1,72 1,92 1,92 2,68 2,93 3,23 3,69 4,55 4,95 7,42 10,00
Donn´ eesexp´ erimentalesayantpermis la construction dela figure2,destexprim´ ee en unit´ ede1024m.
7—Donnerune estimation num´ eriquedeHen unit´ esdu syst` emeinternational,puisen km.s−1par
million d’ann´ ees-lumi` ere.Quesignifie cetteunit´ e.On nes’offusquerapasdu fait quelaloideHubble
puissedonnerdesvitessesradialesd´ epassantcpourdesgalaxiestr` es´ eloign´ ees.Cetteimpossibilit´ e
n’apparaˆ ıt paslorsquelesph´ enom` enesrelativistes sontprisencompte.
8—LaloideHubblesugg` erequel’Univers soit enexpansion.Lemod` eledu big-bang permet
depostulerque cette expansion a commenc´ edepuisun tempsfinietdoncquel’Universpeutsevoir
attribuerun ˆ age.Avec desargumentsqualitatifs simples,expliquerpourquoi l’inversedela constante
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deHubble estun bon ordredegrandeurdel’ˆ agedel’Univers.Estimernum´ eriquement l’ˆ agede
l’Universenmilliardsd’ann´ ees.
9—Danscettequestion,on veutsavoirsi l’expansion del’Universvaun jours’arrˆ eterou non.
Pourcela,on mod´ elisel’Universparuneboulehomog` enedemassevolumique
ρ constante etdont
lerayon R(t)suit laloid’expansion deHubble.Onconsid` ereunegalaxie(suppos´ ee ponctuelle)de
massemsitu´ ee ` alasurface delaboule ets’´ eloignantradialement` alavitesse˙ R=dR/dtdu centrede
laboule.Exprimerl’´ energiem´ ecaniquede cettegalaxie.En d´ eduirequ’` apartird’une certainemasse
volumiquedel’Univers,not´ ee
ρ
c,lagalaxienepourrapas s’´
eloignerind´ efiniment.Exprimer
ρ
cen
fonction dela constantedegravitation Getdela constantedeHubbleH=˙ R/R.
10 —Donnerlavaleurnum´ eriquede ρ
c.Lesobservationsdelamati`
erevisibledel’Univers
donnentunemassevolumiquemoyenne
ρ ≃3×10−28 kg.m−3.D’apr` escettedonn´ ee,l’expansion
durera-t-elleind´ efiniment?
FIN DELA PARTIEI
II.—Le rayonnement fossile
II.A.—Propri´ et´ esg´ en´ erales
D` es1948,lephysicienGamowapr´ evu quelebig-bang a
dˆ ulaisserunetrace dansl’Univers sousformederayon-
nement´ electromagn´ etique,appel´ erayonnement fossile.Ce
rayonnementa´ et´ ed´ ecouverten 1962 parPenziasetWil-
son (prixNobel1978).Ladensit´ evolumiquew
λ
d’´ energie
´
electromagn´ etiquede ce rayonnementparunit´ edelongueur
d’onde
λ estrepr´ esent´ ee surlafigure3.
11 —Quel typed’ondes´ electromagn´ etiquesestassoci´ e
aurayonnementfossile ? Onjustifieralar´ eponse en don-
nantdesordresdegrandeurconnus.FIG.3 – Spectredu rayonnementfossile
La courbedelafigure3a exactement lamˆ emeformeque celle correspondant` al’´ emission d’un
corpschauff´ e(braise chaude,int´ erieurd’un fouretc.).Pource typederayonnement,lalongueur
d’onde
λ
maumaximumd’´
emission est li´ ee ` alatemp´ eratureTdu corpschauff´ eparlaloideWien:
λ
m×T=constante≃2,9mm.K.Parabusdelangage,Testappel´
ee temp´ eraturedu rayonnement.
12 —D´ eterminerlatemp´ erature actuelledu rayonnementfossile.
On d´ ecidequ’` a chaqueinstantdepuis son ´ emission,on peut identifierlatemp´ eraturedel’Univers` a
celledu rayonnementfossile.
13 —Lerayonnementfossile est ler´ esultatd’un processusphysiquequis’estd´ eroul´ ependant
unephasetr` esbr` evedel’histoiredel’Universdurant laquellesatemp´ eratureTvalait environ 3000 K.
Enadmettantqueleslongueursd’onde aientsubi lamˆ emedilatation quel’Univers,dequelfacteur
l’Univers s’est-il dilat´ e entrelemomentdel’´ emission du rayonnementfossile etaujourd’hui?
II.B.—Propri´ et´ esthermodynamiques
Onmontrequeladensit´ evolumiqued’´ energie´ electromagn´ etiqueparunit´ edefr´ equence
ν associ´ ee
aurayonnementcontenu dansune enceintedont lesparois sont` alatemp´ eratureTetr´ efl´ echissent
parfaitementce rayonnements’´ ecrit id´ ealement
w
ν
( ν ,T)=8
π h ν
3
c3
1
exph
ν
kBT−1
o` uhest la constantedePlanck,cla c´ el´ erit´ edelalumi` ere etkBla constantedeBoltzmann.
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14 —Quelle est l’unit´ edew
ν
?Montrerqueladensit´ evolumiquetotaled’´ energie´ electromagn´ etique
udu rayonnementsemetsouslaformeu=aT
δ
,o` u δ estun nombre entierquel’on pr´ ecisera eta
une constantequel’on exprimera enfonction dekB,hetcetdonton pr´ eciseralavaleurnum´ erique.
OnrappellequeZ∞
0
x3
ex−1dx=
π
4
15
L’Universestassimil´ e` aune enceintesph´ eriquederayon RetdevolumeV.Onadmetquelerayon-
nementfossile estmod´ elisableparun gaz ` alatemp´ eratureTetdont lapression pv´ erifiel’´ equation
d’´ etatp=u/3,o` uud´ esignetoujoursladensit´ evolumiquetotaled’´ energie´ electromagn´ etiqueintro-
duite` alaquestion 14.Cettehypoth` eseserajustifi´ ee danslapartieIV.` Acausedel’expansion de
l’Univers,ce gaz subit uned´ etente adiabatiquesuppos´ ee quasistatique.
15 —D´ emontrerque,dansce mod` ele,lerayon Rdel’Universetsatemp´ eratureTob´ eissent` aune
relation du typeR×T=constante.On nedemandepasd’exprimerla constante.
FIN DELA PARTIEII
III.—LasondePlanck
Afin d’´ etudiercertainespropri´ et´ esdu
rayonnementfossile,l’Agence Spatiale
Europ´ eennevaplaceren orbitelasonde
Planck dansle courantdu moisd’avril
2009 !Demani` ere` a ce qu’ellenesoit
pas´ eblouieparlesoleil lorsdesme-
sures,cettesonde a ´ et´ eplac´ ee dansle
cˆ oned’ombredelaTerresitu´ e` al’oppos´ e
du Soleil,commeindiqu´ esurlafigure4
(cettefigurenerespectepasles´ echelles).
FIG.4 – Position delasonde
16 —Donnerlaposition du centredemassedu syst` emeTerre-Soleil.Estimerl’erreur relativeque
l’on commetsion assimilele centredu Soleil aucentredemasseTerre-Soleil.
D´ esormais,on consid` erequele centredemassedu syst` emeTerre-Soleil etconfondu avec le centre
du Soleil.Ler´ ef´ erentielh´ eliocentriquesera consid´ er´ e commegalil´ een.OnassimilelaTerre` aun
pointdemasseMTsed´ eplac¸antsurunetrajectoire circulairederayon rautourdu Soleil.On n´ eglige
l’influence desastresautresqueleSoleil.
17 —MontrerquelaTerretourne` avitesse constante autourdu Soleil.Exprimerlap´ eriodeTde
rotation delaTerre autourdu Soleil ainsiquelavitesse angulaire
ω de cetterotation enfonction dela
constantedelagravitation universelleG,retdelamasseMSdu Soleil.Calculerlavaleurnum´ erique
deT.
Lasondedevant toujoursˆ etresitu´ ee dansle cˆ oned’ombredelaTerre,on travaillerad´ esormaisdans
ler´ ef´ erentielR′centr´ esurleSoleil S,enrotation ` alavitesse angulaire
ω par rapportaur´ ef´ erentiel
h´ eliocentriquegalil´ een.LaTerre estdoncfixedansR′.Dansler´ ef´ erentielR′,on choisit un rep` ere
cart´ esien orthonorm´ edirect(S,b ex,b ey,b ez).Levecteur rotation −→
ω = ω
b
ezest telque
ω >0.Leplan
(S,b ex,b ey)est leplan der´ evolution delaTerre autourdu Soleil.
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On nes’int´ eressequ’aux caso` ulasonde est
dansce plan.LavitessedelasondedansR′est
suppos´ ee toujoursassez faiblepourquelaforce
d’inertiedeCoriolis soit n´ eglig´ ee.On notem
lamassedelasonde,rladistance Terre-Soleil,
rT=TMladistance sonde-Terre,rS=SMla
distance sonde-Soleil,etb erlevecteurunitaire
quipointedu Soleil verslasondeFIG.5 – R´
ef´ erentiel li´ e` alaTerre
18 —Montrerquel’´ equation du mouvementdelasondedansR′s’´ ecrit
md2−→
SM
dt2=−−−−−−→
grad(Ep)
o` uEpestune´ energiepotentielledonton donneral’expression enfonction de
ω ,m,MS,MT,rSetrT.
Lespositionsd’´ equilibredelasondedansR′correspondentaux extremadeEp,on montrequ’il en
existe cinq,toutescontenuesdansleplan(S,b ex,b ey).Cespositions sontappel´ eespointsdeLagrange.
19 —Montrerqu’il existetroispointsdeLagrangesurl’axe(S,b ex).Puis,` al’aided’arguments
´
energ´ etiques,pr´ ecisersicespointsd’´ equilibresontstablesou instablesvis-` a-visdeperturbations
dansladirection b ex.
Ons’int´ eresse au pointdeLagrangeL2,situ´ esurl’axe(S,b ex)dansle cˆ oned’ombre` al’oppos´ edu
Soleil par rapport` alaTerre(voirfigure4).On noteℓladistance entrele centredelaTerre etL2.
20 —Donner,sanslar´ esoudre,l’´ equation alg´ ebriquev´ erifi´ ee parℓ.Enfaisant l’hypoth` eseque
ℓ≪r,trouverune expression litt´ erale approximativedeℓ,eten d´ eduiresavaleurnum´ erique.V´ erifier
a posterioril’hypoth` esesurℓ.
IlestpossibledemontrerqueL2eststablevis-` a-visdeperturbationsdanslesdirectionsb eyetb ez.On
consid` ereradonc,poursimplifier,quetoutsepasse commesi lasonde´ etait astreinte` ased´ eplacer
uniquementsurl’axe(S,b ex),sansfrottement.
21 —Lasonde´ etantplac´ ee enL2,on envisageunepetiteperturbation desaposition delaforme
−→
ε (t)= ε (t)b ex.´ Ecrirel’´ equation diff´ erentiellev´ erifi´ ee par ε (t).Lin´ earisercette´ equation ensupposant
qu’` a chaqueinstantton puisse´ ecrirer≫ℓ≫
ε (t).Onfera apparaˆ ıtredansl’´ equation lin´ earis´ ee un
tempscaract´ eristique
τ donton donneral’expression litt´ erale enfonction der,GetMS.En d´ eduire
un ordredegrandeurnum´ eriquedel’intervalledetemps s´ eparantdeux repositionnementscons´ ecutifs
delasondePlanck.
FIN DELA PARTIEIII
IV.—Pression de radiation
Lebutde cettepartie estdejustifierl’expression del’´ equation d’´ etatdu rayonnementutilis´ ee dans
lapartieII.B. Lerayonnementcosmologiquepeutˆ etre consid´ er´ e commeunesuperposition d’ondes
´
electromagn´ etiquesplanesprogressivesmonochromatiquesdefr´ equencesetdedirectionsdepropa-
gation diff´ erentes.On noteul’´ energiedu rayonnementparunit´ edevolume,moyenn´ ee entemps
etenespace etplapression deradiation,c’est-` a-direlaforce parunit´ edesurface,moyenn´ ee en
temps,qu’exercerait lerayonnementsurlesparoisparfaitementr´ efl´ echissantesd’une enceintequi le
contiendrait.Avec cesnotations,on veut´ etablirl’´ equation d’´ etatdu rayonnement : p=u/3.Pourcela,
on commence par´ etudierlar´ eflexion d’uneonde´ electromagn´ etiquemonochromatique enincidence
obliquesurun miroirm´ etalliqueparfaitementconducteur.
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