le rayonnement fossile

´
ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSS´ EES.
´
ECOLES NATIONALES SUP´ ERIEURES DE L’A´ ERONAUTIQUE ET DE L’ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANC´ EES, DES T´ EL´ ECOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT–´ ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES T´ EL´ ECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
´
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILI` ERE TSI)
CONCOURS D’ADMISSION 2009
PREMI` ERE ´ EPREUVE DE PHYSIQUE
Fili` ere PC
(Dur´ ee de l’´ epreuve: 3 heures)
L’usage de la calculatrice est autoris´ e
Sujet mis ` a disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE–EIVP, Cycle
international
Les candidats sont pri´ es de mentionner de fac¸on apparente sur la premi` ere page de la copie :
PHYSIQUE I — PC.
L’´ enonc´ e de cette ´ epreuve comporte 7 pages.
– Si, au cours de l’´ epreuve, un candidat rep` ere ce qui lui semble ˆ etre une erreur d’´ enonc´ e, il est invit´ e` a le
signaler sur sa copie et ` a poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il aura ´ et´ e
amen´ e` a prendre.
– Il ne faudra pas h´ esiter ` a formuler les commentaires (incluant des consid´ erations num´ eriques) qui vous
sembleront pertinents, mˆ eme lorsque l’´ enonc´ e ne le demande pas explicitement. Le bar` eme tiendra compte
de ces initiatives ainsi que des qualit´ es de r´ edaction de la copie.
LE RAYONNEMENT FOSSILE
Le sujet est compos´ e de quatre parties ind´ ependantes. Les deux premi` eres parties ´ etudient l’expansion
de l’Univers. La troisi` eme partie ´ etudie le positionnement d’une sonde d’observation du rayonnement
cosmologique. La quatri` eme partie approfondit l’´ etude du rayonnement. Les donn´ ees num´ eriques
n´ ecessaires sont en fin d’´ enonc´ e. Les vecteurs sont g´ en´ eralement not´ es avec une fl` eche, −→ v, sauf s’ils
sont unitaires et sont alors surmont´ es d’un chapeau kb exk=1. Les nombres complexes sont soulign´
es :
z∈C. On notera j2=−1.
I. — Expansion de l’Univers
1 — Expliquer bri` evement la phrase suivante, souvent utilis´ ee dans les revues de vulgarisation
scientifique : plus on regarde loin dans l’Univers, plus on regarde dans le pass´ e.
On raisonne dans le cadre de la cin´ ematique classique (non-relativiste). Le point Orepr´ esente un ob-
servateur sur la Terre et le point Mrepr´ esente un objet c´ eleste (´ etoile, galaxie, etc.). On consid` ere le
r´ ef´ erentiel Ro` uOest fixe et Mest en mouvement. Le milieu interstellaire est assimil´ e au vide pour
les ondes ´ electromagn´ etiques et on note cla c´ el´ erit´ e de ces ondes dans R.
On convient de ne pas tenir compte de l’att´ enuation de l’amplitude des ondes au cours de leur propa-
gation.
Soit sM(t)le signal ´ electromagn´ etique ´ emis par le point M` a l’instant t. Ce signal est rec¸u ` a l’instant
t′par le point O. On note sO(t)le signal rec¸u par O` a l’instant t. On note OM =r(t). D’apr` es les
hypoth` eses, sO(t′) = sM(t).
2 — Exprimer t′en fonction de t,cet de la distance r(t).

LE RAYONNEMENT FOSSILE
3 — L’´ emetteur Ma une vitesse not´ ee −→ v(t), de norme v(t)et
faisant avec −−→ OM un angle
α (t)(voir figure 1). L’´ emetteur ´ emet des
signaux p´ eriodiques de p´ eriode T. On suppose que la fr´ equence des
signaux est suffisamment grande pour pouvoir n´ egliger les variations
de −→ vet de
α sur une p´ eriode. On suppose ´ egalement qu’` a chaque
instant t,v(t)T/r(t)≪1. Exprimer, au premier ordre, la diff´ erence
r(t+T)−r(t).
4 — En d´ eduire, toujours au premier ordre, la p´ eriode T′des
signaux rec¸us par l’observateur en O. On exprimera T′en fonction
de T,v,cet
α .
r
v
O
M
FIG. 1 – G´ eom´ etrie
5 — On appelle vitesse radiale de Mla quantit´ evr=vcos α . On note λ la longueur d’onde du
signal ´ emis par Met
λ
′la longueur d’onde du signal rec¸u en O. Donner la relation qui existe entre
λ ,
λ
′,vret c. On mettra cette relation sous la forme
λ
′/
λ =1+Z. La quantit´ eZainsi d´ efinie s’appelle
le redshift.
6 — On suppose que Mse rapproche de O. Si M´ emet une longueur d’onde λ situ´ ee dans le jaune
(
λ =585 nm), la longueur d’onde λ
′rec¸ue en Oest-elle d´
ecal´ ee vers le rouge ou bien d´ ecal´ ee vers
le bleu par rapport ` a
λ ? On justifiera la r´ eponse.
FIG. 2 – Loi de Hubble
En 1929, le physicien Edwin Hubble a relev´ e
le spectre de la lumi` ere issue des galaxies dont
la distance ` a la Terre ´ etait connue. En compa-
rant ces spectres ` a ceux d’´ el´ ements chimiques
connus, il en a d´ eduit le redshift Z de ces
galaxies. Les points exp´ erimentaux pour plu-
sieurs galaxies sont repr´ esent´ es sur la figure 2.
En notant dla distance Terre-galaxie et vrla
vitesse radiale de la galaxie par rapport ` a la
Terre, les mesures sugg` erent une loi lin´ eaire
du type vr=H×d. Cette loi porte le nom de
loi de Hubble et Hs’appelle la constante de
Hubble (le mot constante signifie qu’il s’agit
d’une constante par rapport ` a l’espace et non
dans le temps).
d0,87 1,05 1,56 1,76 2,11 2,26 2,48 2,77 3,92 4,59 4,30 5,32 6,92 7,21 11,22 14,47
Z×1020,71 0,83 1,06 1,23 1,67 1,72 1,92 1,92 2,68 2,93 3,23 3,69 4,55 4,95 7,42 10,00
Donn´ ees exp´ erimentales ayant permis la construction de la figure 2, dest exprim´ ee en unit´ e de 1024m.
7 — Donner une estimation num´ erique de Hen unit´ es du syst` eme international, puis en km.s−1par
million d’ann´ ees-lumi` ere. Que signifie cette unit´ e. On ne s’offusquera pas du fait que la loi de Hubble
puisse donner des vitesses radiales d´ epassant cpour des galaxies tr` es ´ eloign´ ees. Cette impossibilit´ e
n’apparaˆ ıt pas lorsque les ph´ enom` enes relativistes sont pris en compte.
8 — La loi de Hubble sugg` ere que l’Univers soit en expansion. Le mod` ele du big-bang permet
de postuler que cette expansion a commenc´ e depuis un temps fini et donc que l’Univers peut se voir
attribuer un ˆ age. Avec des arguments qualitatifs simples, expliquer pourquoi l’inverse de la constante
Page 2/7

Physique I, ann´ ee 2009 — fili` ere PC
de Hubble est un bon ordre de grandeur de l’ˆ age de l’Univers. Estimer num´ eriquement l’ˆ age de
l’Univers en milliards d’ann´ ees.
9 — Dans cette question, on veut savoir si l’expansion de l’Univers va un jour s’arrˆ eter ou non.
Pour cela, on mod´ elise l’Univers par une boule homog` ene de masse volumique
ρ constante et dont
le rayon R(t)suit la loi d’expansion de Hubble. On consid` ere une galaxie (suppos´ ee ponctuelle) de
masse msitu´ ee ` a la surface de la boule et s’´ eloignant radialement ` a la vitesse ˙ R=dR/dt du centre de
la boule. Exprimer l’´ energie m´ ecanique de cette galaxie. En d´ eduire qu’` a partir d’une certaine masse
volumique de l’Univers, not´ ee ρ
c, la galaxie ne pourra pas s’´
eloigner ind´ efiniment. Exprimer
ρ
cen
fonction de la constante de gravitation Get de la constante de Hubble H=˙ R/R.
10 — Donner la valeur num´ erique de ρ
c. Les observations de la mati`
ere visible de l’Univers
donnent une masse volumique moyenne
ρ ≃3×10−28 kg.m−3. D’apr` es cette donn´ ee, l’expansion
durera-t-elle ind´ efiniment?
FIN DE LA PARTIE I
II. — Le rayonnement fossile
II.A. — Propri´ et´ es g´ en´ erales
D` es 1948, le physicien Gamow a pr´ evu que le big-bang a
dˆ u laisser une trace dans l’Univers sous forme de rayon-
nement ´ electromagn´ etique, appel´ erayonnement fossile. Ce
rayonnement a ´ et´ e d´ ecouvert en 1962 par Penzias et Wil-
son (prix Nobel 1978). La densit´ e volumique w
λ
d’´ energie
´
electromagn´ etique de ce rayonnement par unit´ e de longueur
d’onde
λ est repr´ esent´ ee sur la figure 3.
11 — Quel type d’ondes ´ electromagn´ etiques est associ´ e
au rayonnement fossile ? On justifiera la r´ eponse en don-
nant des ordres de grandeur connus. FIG. 3 – Spectre du rayonnement fossile
La courbe de la figure 3 a exactement la mˆ eme forme que celle correspondant ` a l’´ emission d’un
corps chauff´ e (braise chaude, int´ erieur d’un four etc.). Pour ce type de rayonnement, la longueur
d’onde
λ
mau maximum d’´
emission est li´ ee ` a la temp´ erature Tdu corps chauff´ e par la loi de Wien :
λ
m×T=constante ≃2,9mm.K. Par abus de langage, Test appel´
ee temp´ erature du rayonnement.
12 — D´ eterminer la temp´ erature actuelle du rayonnement fossile.
On d´ ecide qu’` a chaque instant depuis son ´ emission, on peut identifier la temp´ erature de l’Univers ` a
celle du rayonnement fossile.
13 — Le rayonnement fossile est le r´ esultat d’un processus physique qui s’est d´ eroul´ e pendant
une phase tr` es br` eve de l’histoire de l’Univers durant laquelle sa temp´ erature Tvalait environ 3000K.
En admettant que les longueurs d’onde aient subi la mˆ eme dilatation que l’Univers, de quel facteur
l’Univers s’est-il dilat´ e entre le moment de l’´ emission du rayonnement fossile et aujourd’hui?
II.B. — Propri´ et´ es thermodynamiques
On montre que la densit´ e volumique d’´ energie ´ electromagn´ etique par unit´ e de fr´ equence
ν associ´ ee
au rayonnement contenu dans une enceinte dont les parois sont ` a la temp´ erature Tet r´ efl´ echissent
parfaitement ce rayonnement s’´ ecrit id´ ealement
w
ν
( ν ,T) = 8
π h ν
3
c31
exph
ν
kBT−1
o` uhest la constante de Planck, cla c´ el´ erit´ e de la lumi` ere et kBla constante de Boltzmann.
Page 3/7 Tournez la page S.V.P.

LE RAYONNEMENT FOSSILE
14—Quelle est l’unit´ e de w
ν
? Montrer que la densit´ e volumique totale d’´ energie ´ electromagn´ etique
udu rayonnement se met sous la forme u=aT
δ
, o` u δ est un nombre entier que l’on pr´ ecisera et a
une constante que l’on exprimera en fonction de kB,het cet dont on pr´ ecisera la valeur num´ erique.
On rappelle que Z∞
0
x3
ex−1dx=
π
4
15
L’Univers est assimil´ e` a une enceinte sph´ erique de rayon Ret de volume V. On admet que le rayon-
nement fossile est mod´ elisable par un gaz ` a la temp´ erature Tet dont la pression pv´ erifie l’´ equation
d’´ etat p=u/3, o` uud´ esigne toujours la densit´ e volumique totale d’´ energie ´ electromagn´ etique intro-
duite ` a la question 14. Cette hypoth` ese sera justifi´ ee dans la partie IV. ` A cause de l’expansion de
l’Univers, ce gaz subit une d´ etente adiabatique suppos´ ee quasistatique.
15 — D´ emontrer que, dans ce mod` ele, le rayon Rde l’Univers et sa temp´ erature Tob´ eissent ` a une
relation du type R×T=constante. On ne demande pas d’exprimer la constante.
FIN DE LA PARTIE II
III. — La sonde Planck
Afin d’´ etudier certaines propri´ et´ es du
rayonnement fossile, l’Agence Spatiale
Europ´ eenne va placer en orbite la sonde
Planck dans le courant du mois d’avril
2009! De mani` ere ` a ce qu’elle ne soit
pas ´ eblouie par le soleil lors des me-
sures, cette sonde a ´ et´ e plac´ ee dans le
cˆ one d’ombre de la Terre situ´ e` a l’oppos´ e
du Soleil, comme indiqu´ e sur la figure 4
(cette figure ne respecte pas les ´ echelles).
FIG. 4 – Position de la sonde
16 — Donner la position du centre de masse du syst` eme Terre-Soleil. Estimer l’erreur relative que
l’on commet si on assimile le centre du Soleil au centre de masse Terre-Soleil.
D´ esormais, on consid` ere que le centre de masse du syst` eme Terre-Soleil et confondu avec le centre
du Soleil. Le r´ ef´ erentiel h´ eliocentrique sera consid´ er´ e comme galil´ een. On assimile la Terre ` a un
point de masse MTse d´ eplac¸ant sur une trajectoire circulaire de rayon rautour du Soleil. On n´ eglige
l’influence des astres autres que le Soleil.
17 — Montrer que la Terre tourne ` a vitesse constante autour du Soleil. Exprimer la p´ eriode Tde
rotation de la Terre autour du Soleil ainsi que la vitesse angulaire
ω de cette rotation en fonction de la
constante de la gravitation universelle G,ret de la masse MSdu Soleil. Calculer la valeur num´ erique
de T.
La sonde devant toujours ˆ etre situ´ ee dans le cˆ one d’ombre de la Terre, on travaillera d´ esormais dans
le r´ ef´ erentiel R′centr´ e sur le Soleil S, en rotation ` a la vitesse angulaire
ω par rapport au r´ ef´ erentiel
h´ eliocentrique galil´ een. La Terre est donc fixe dans R′. Dans le r´ ef´ erentiel R′, on choisit un rep` ere
cart´ esien orthonorm´ e direct (S,b ex,b ey,b ez). Le vecteur rotation −→
ω = ω
b
ezest tel que
ω >0. Le plan
(S,b ex,b ey)est le plan de r´ evolution de la Terre autour du Soleil.
Page 4/7

Physique I, ann´ ee 2009 — fili` ere PC
On ne s’int´ eresse qu’aux cas o` u la sonde est
dans ce plan. La vitesse de la sonde dans R′est
suppos´ ee toujours assez faible pour que la force
d’inertie de Coriolis soit n´ eglig´ ee. On note m
la masse de la sonde, rla distance Terre-Soleil,
rT=TM la distance sonde-Terre, rS=SM la
distance sonde-Soleil, et b erle vecteur unitaire
qui pointe du Soleil vers la sonde FIG. 5 – R´
ef´ erentiel li´ e` a la Terre
18 — Montrer que l’´ equation du mouvement de la sonde dans R′s’´ ecrit
md2−→
SM
dt2=−−−−−−→
grad(Ep)
o` uEpest une ´ energie potentielle dont on donnera l’expression en fonction de
ω ,m,MS,MT,rSet rT.
Les positions d’´ equilibre de la sonde dans R′correspondent aux extrema de Ep, on montre qu’il en
existe cinq, toutes contenues dans le plan (S,b ex,b ey). Ces positions sont appel´ ees points de Lagrange.
19 — Montrer qu’il existe trois points de Lagrange sur l’axe (S,b ex). Puis, ` a l’aide d’arguments
´
energ´ etiques, pr´ eciser si ces points d’´ equilibre sont stables ou instables vis-` a-vis de perturbations
dans la direction b ex.
On s’int´ eresse au point de Lagrange L2, situ´ e sur l’axe (S,b ex)dans le cˆ one d’ombre ` a l’oppos´ e du
Soleil par rapport ` a la Terre (voir figure 4). On note ℓla distance entre le centre de la Terre et L2.
20 — Donner, sans la r´ esoudre, l’´ equation alg´ ebrique v´ erifi´ ee par ℓ. En faisant l’hypoth` ese que
ℓ≪r, trouver une expression litt´ erale approximative de ℓ, et en d´ eduire sa valeur num´ erique. V´ erifier
a posteriori l’hypoth` ese sur ℓ.
Il est possible de montrer que L2est stable vis-` a-vis de perturbations dans les directions b eyet b ez. On
consid` erera donc, pour simplifier, que tout se passe comme si la sonde ´ etait astreinte ` a se d´ eplacer
uniquement sur l’axe (S,b ex), sans frottement .
21 — La sonde ´ etant plac´ ee en L2, on envisage une petite perturbation de sa position de la forme
−→
ε (t) = ε (t)b ex.´ Ecrire l’´ equation diff´ erentielle v´ erifi´ ee par ε (t). Lin´ eariser cette ´ equation en supposant
qu’` a chaque instant ton puisse ´ ecrire r≫ℓ≫
ε (t). On fera apparaˆ ıtre dans l’´ equation lin´ earis´ ee un
temps caract´ eristique
τ dont on donnera l’expression litt´ erale en fonction de r,Get MS. En d´ eduire
un ordre de grandeur num´ erique de l’intervalle de temps s´ eparant deux repositionnements cons´ ecutifs
de la sonde Planck.
FIN DE LA PARTIE III
IV. — Pression de radiation
Le but de cette partie est de justifier l’expression de l’´ equation d’´ etat du rayonnement utilis´ ee dans
la partie II.B. Le rayonnement cosmologique peut ˆ etre consid´ er´ e comme une superposition d’ondes
´
electromagn´ etiques planes progressives monochromatiques de fr´ equences et de directions de propa-
gation diff´ erentes. On note ul’´ energie du rayonnement par unit´ e de volume, moyenn´ ee en temps
et en espace et pla pression de radiation, c’est-` a-dire la force par unit´ e de surface, moyenn´ ee en
temps, qu’exercerait le rayonnement sur les parois parfaitement r´ efl´ echissantes d’une enceinte qui le
contiendrait. Avec ces notations, on veut ´ etablir l’´ equation d’´ etat du rayonnement : p=u/3. Pour cela,
on commence par ´ etudier la r´ eflexion d’une onde ´ electromagn´ etique monochromatique en incidence
oblique sur un miroir m´ etallique parfaitement conducteur.
Page 5/7 Tournez la page S.V.P.