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X Physique A PC 2011 — Énoncé 1/7
ÉCOLEPOLYTECHNIQUE
ÉCOLESUPÉRIEUREDEPHYSIQUE ETDECHIMIEINDUSTRIELLES
CONCOURSD’ADMISSION2011 FILIÈREPC
COMPOSITIONDEPHYSIQUE–A–(XE)
(Durée :4heures)
L’utilisation descalculatricesn’estpasautorisée pourcette épreuve.
⋆ ⋆ ⋆
Interactionsdipolairesentreparticulescolloïdales
Ons’intéressedansce problèmeauxinteractionsentredes sphèrescolloïdalesdiélectriques
(resp.magnétiques)plongéesdansun champélectrique(resp.magnétique).Lapartie1 a pour
butdedéterminerquelles sontlesforcesd’interactionentredeuxsphèrescolloïdalesplongées
dansun champexterne.Danslapartie2,nouscherchonsàdéterminerlescaractéristiquesde
l’agrégation d’unesuspension detellesparticules souschampmagnétique.Danslapartie3,nous
montronscommentcesobjetspeuventêtreutiliséspourdéterminerlespropriétésmécaniquesde
gelsàl’échellemicroscopique.Enfin, lapartie4traitedu mouvementdedimèresdansun champ
magnétiquetournant.Lesparties2,3et4sontlargementindépendantes.
Remarqueimportante:Àplusieursreprisesaucoursde ce problème,on demandeau
candidatderaisonnerparanalysedimensionnelleou d’évaluerun ordredegrandeur.Dansce
cas, le candidatn’essaierapasd’évaluerlescoefficientsmultiplicatifs sansdimension,quiseront
omis.Del’ordredel’unité, ilsn’influencentpasl’ordredegrandeurdu résultat.
Données:
ConstantedeBoltzmann :k=1,38 ×10−23J·K−1
Températureambiante:T=300 K
Viscositédel’eau:η=10−3Pa·s
Perméabilitémagnétiquedu vide:µ0=4π×10−7H·m−1
Permittivitédiélectriquedu vide:ε0=8,9×10−12 F·m−1
I.Interaction dipôle-dipôle
I.1Rappelerlesexpressionsdu potentieletdu champélectriquescréésparune chargeponc-
tuelleqsituée àl’origined’un repère0xyz.On préciserasoigneusementlesnotationsutilisées.
Représentersurun schémal’alluredeséquipotentiellesetdeslignesdu champélectrique.
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X Physique A PC 2011 — Énoncé 2/7
I.2Oncherchemaintenantàdéterminerle champcréé parun dipôle électrique.Onconsidère
deuxcharges−qet+qsituéesrespectivementàl’origine etau pointde coordonnées(x=0,y=
0,z=δ),eton notelemomentdipolaire~p=qδ~ez.Déterminerlepotentieletle champélectriques
créésparce dipôleau pointMrepéréparsescoordonnées sphériques(r,θ,φ)(voirfigure1).
On donneraleursexpressionsdansle cadredel’approximation dipolaire,c’est-à-diredansle cas
oùδ≪r.Nous supposeronsdanstoutelasuitede ce problèmeque cette condition de champ
lointainestvérifiée.Représenterleslignesdu champ dipolairesurun schéma.
I.3Quelle estl’énergie électrostatiqued’un dipôle~pplacé dansun champélectrique~ E?Expliquer
qualitativementpourquoidesdipôleslibresdesedéplaceront tendance às’aggréger.
I.4Onconsidèremaintenantdeuxdipôlesélectriques(demêmemomentdipolaire)alignés selon
l’axeOz(~p=p~ez=qδ~ez), l’un étantsituéàl’originedu repère, l’autreàlaposition~r,comme
indiquésurlafigure1.Chaquedipôle estsoumisauchampcréé parl’autredipôle.Dansun
systèmede coordonnées sphériques,~r=(r,θ,φ),donnerl’expression del’énergie électrostatique
d’interactionentre cesdeuxdipôles.En déduirelescomposantesdelaforce subieparledipôle
situé en~r:
Fr=3p2
4πε0r4Ä1−3cos2θä(1)
Fθ=−3p2
2πε0r4cosθsinθ(2)
z
θr
y
φ
O
x
Figure1.Deuxdipôles situésàl’origine eten~r=(r,θ,φ).
Ensuivantun raisonnementstrictementidentique, il estpossibledemontrerque ce résultat
décritégalementlesinteractionsentredesdipôlesmagnétiques~m=m~ezplongésdansun milieu
nonmagnétique(c’est-à-diredontlaperméabilitémagnétique estégaleàµ0).Dansce casle
résultatprécédentdevient:
Fr=3µ0m2
4πr4Ä1−3cos2θä(3)
Fθ=−3µ0m2
2πr4cosθsinθ(4)
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X Physique A PC 2011 — Énoncé 3/7
Danstoutelasuitede ce problème,nousconsidéreronsle casdedipôlesmagnétiquesetnous
utiliseronscette expression delaforce magnétique entreparticules.
I.5Onconsidèremaintenantdes sphèresmagnétisablesderayona.Soumisesàun champma-
gnétique externe~ B,celles-ciacquièrentuneaimantationquirésulte en un momentdipolaire
induit~m=1
µ0
αm~
Boùαmestlapolarisabilitémagnétiquedelaparticule.Montrez queαmest
homogèneàun volume.
PouruneparticulesphériquedevolumeV=4
3πa3constituée d’un matériautrèsmagnéti-
sable,on peutmontrerqueαm=3V=4πa3.Expliquez ladépendance de cette expressionavec
latailleadesparticules.
Onconsidèreiciquelemomentdipolairedes sphèresmagnétiquesestdû uniquementau
champ uniformeappliqué~ B=B0~ezetn’estpasmodifiéparlesinteractionsentresphères.Donner
alorsl’expression du momentmagnétiquedes sphèresplongéesdansce champ.En déduirelaforce
d’interactionentre cesparticules.
II.Cinétiqued’agrégationentredeuxparticules
Danscettepartie,onchercheàcomprendrelacinétiqued’agrégation departiculesmagné-
tiques suspenduesdansdel’eauetsoumisesàun champmagnétique externeuniforme.On
supposeraiciquelesmassesvolumiquesdesparticulesetdu fluide environnantsontégales.
II.1Ons’intéresseaucasdedeuxparticules.Quellesforcesagissentsurles sphères?Écrire
l’équation du mouvement.
II.2Parun raisonnementdimensionnel, donnerl’expression delaforce defrictionvisqueusesur
unesphèrederayonaentranslationàlavitesse~vdansun liquidedeviscositéη.Onadmettra
quedanscetteloi, lepréfacteurvaut6π.Dansquellelimite cette expressionest-ellevalable?
II.3Onsupposemaintenantquele champmagnétique estdirigéselonl’axeOz:~ B=B0~ez.
Onadmetégalementquelesdeuxparticules sontsituées surcetaxe.Dansle casoùl’inertie
estnégligeable,àquoiseréduitl’équation du mouvementd’unedesparticules?On préciserale
domainedevaliditéde cettedernièreapproximation,enexprimantletempscaractéristiqueliéà
lafrictionvisqueuse.
II.4Àl’instantinitial, lesparticules sontséparéesd’unedistance r0qu’onsupposera grande
devantleur rayon:r0≫a.Montrerquel’équation du mouvementestàvariables séparables.
L’intégreretmontrerquelemouvementsuituneloidelaformesuivante:
1−r5
r5
0
=t
τb
(5)
oùτbestun tempscaractéristiquedu mouvementdonton donneral’expressionenfonction de
r0,a,η,B0etµ0.Évaluerl’ordredegrandeurdeτbpoura=1µm,r0=10 µm,B0=10 mT.
II.5Dansle casd’uneassemblée denombreusesparticulesidentiques,onobservequeletemps
τissu du modèleàdeuxparticulesdécritbienlacinétiqued’agrégation desuspensionsdontla
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distance interparticulairemoyenne estr0.On notenlenombremoyen departiculesparunité
devolumedelasuspension.Quelestlelienentrenetr0?Donnerenfonction denletempsτ
d’agrégation d’unesuspension desphères.
II.6Dansdes suspensionsdiluéesdepetitesparticules, lesinteractionsdipolaires sont trèsfaibles.
Expliquez pourquoi.
Lesdéplacementsdespetitesparticules sontalorsdominésparl’agitationthermique.Elles
sontaniméesd’un mouvementincessantetaléatoire, leurstrajectoires sont trèsirrégulières:c’est
lemouvementbrownien,décritpourlapremièrefoisparlebotanisteRobert Brownen1827.À
l’échellemacroscopique, laconcentrationen particulesévoluealorsensuivantun processusde
diffusion,comme celled’un soluté.
II.7RappelerlaloideFick(on noteraDle coefficientdediffusion).Enfaisantun bilan de
quantitédeparticulesadapté,établirl’équation dediffusionrégissantl’évolutiontemporellede
laconcentrationen particules.
Einsteinamontré en1905 quele coefficientdediffusion departiculesderayonasuspendues
dansun liquidedeviscositéηàlatempératureTestD=kT
6πηaoùkestlaconstantede
Boltzmann.Quelle estladimension deD?ÉvaluerDpourdes sphèresderayona=1µm
suspenduesdansdel’eauàtempératureambiante.
II.8Enécrivantl’équation dediffusionsousformedimensionnelle,construireletempsτdde
diffusionsurunedistance typiquer0.Ilestaussipossiblededonneruneinterprétationmicrosco-
piquedeτd: il s’agitdu tempspourqu’enmoyenne,uneparticules’éloigned’unedistance r0de
saposition d’origine.
II.9En déduireque,pourdes solutionsdiluéesdepetitesparticules, lemouvementestséparé
en deuxphases:un mouvementinitialàcaractèrediffusifsuivid’unetrajectoirebalistique
lorsquelesinteractionsdipolairesdominentl’agitationthermique.Représenterschématiquement
latrajectoired’uneparticule entrel’instantinitialetsarencontreavec uneparticulevoisine.
Quelles sont typiquementlesduréesrespectivesτdetτbde cesdeuxphases?
II.10 L’agrégation desuspensionsdiluées sefaitdonc essentiellementparun processusbrownien,
tandisqueles suspensionsconcentrées s’agrègentdemanièrebalistique.Quelle estlaconcen-
trationcritiquen∗quisépare cesdeuxrégimes?Onexprimeran∗fonction dek,T,a,B0
etµ0.
Évaluern∗pourdes suspensionsdeparticulesderayona=1µm,B0=10 mT,T=300 K.
Quelestl’ordredegrandeurdeladistance interparticulairer∗àlaconcentrationcritique
n∗?Comparerr∗au diamètredesparticules.
III.Mesuredepropriétésélastiquesàl’échellesubmicronique
Nouscherchonsdanscettepartieàcomprendre commentlamanipulation de cesparticules
magnétiquespeutêtreutilisée poursonderlespropriétésélastiquesd’échantillonsdetaillein-
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férieureaumicromètre.Parsimplicité,nousconsidéronsdeuxparticulescylindriquesderayon
R=aetdehauteurh=βaoùβestun coefficientnumériqued’ordreunité(voirfigure2).
Lesaxesdescylindrescoïncidentavec l’axeOz.Nousconsidéronsquel’application d’un champ
magnétiqueinduitpourchaque cylindreun momentdipolaireidentiqueàceluiqu’auraitune
sphèrederayona.Lematériauàtester (nonmagnétique),coincé entrelesdeuxcylindres,forme
un disquederayonR.Enl’absence de champappliqué, l’épaisseurde cettelamellevautδ0≪a.
R
δ
h
~
B
Figure2.Deuxparticulesmagnétiquescylindriques séparéesparune couchedematériautestd’épais-
seurδ.Le champmagnétique estalignéavec l’axedescylindres.
III.1Onappliquedansl’axedescylindresun champmagnétique~ B=B0~ez.Danscette configu-
ration,àquoiseréduitlaforce d’attractionentrelesdeuxcylindres?On donnerasonexpression
en particulierenfonction dehetdel’épaisseurδdu matériautest.
III.2Lematériautestélastiquerésisteàlacompressionavec uneforce Fcquidépend du taux
de compressionǫ=(δ0−δ)/δ0:
Fc=πR2Yǫ(6)
oùYestlemoduled’Youngdu matériau.Donnerlasignification physique etl’unitédeY.
III.3Montreralorsqu’enmesurantladistance entrelescentresdescylindresenfonction du
champmagnétique, il estpossibledemesurerlemoduled’YoungYdu matériauétudié.
III.4Application:ons’intéresseauxpropriétésmécaniquesd’un geld’actine,quiestunepro-
téine essentielledansl’architecture(le cytosquelette)etlesmouvementsdescellulesvivantes.
Ilestpossiblede coincerentredesparticulesmagnétiquesune couchede ce gel. L’épaisseurde
l’échantillon horschargevautδ0=100 nm.En présence d’un champ de10 mT,onmesure
δ=80 nm.En déduireune estimation du moduled’Youngdu geld’actine.
III.5En pratique, lesvariationsd’épaisseurdelacouchedegeltestésont trèsfaiblesaucours
del’expérience.Ladistance entrelesdeuxparticules(quisontdes sphèresdansl’expérience
réelle)est réalisée delafaçonsuivante:suruneimagedemicroscopieàfort grandissementdes
deuxparticules,on détectelescontoursde ces sphères,etonajuste cesdonnéespardescercles.
Cetteméthodepermetunedétection delaposition du centredesparticulesavec unetrèsgrande
précision.Expliquez qualitativementpourquoice protocole consistantàdétecter toutun profil
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