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Mines Physique 2 PC 2011 — Énoncé 1/6
´
ECOLE DES PONTS PARISTECH
SUPAERO(ISAE),ENSTAPARISTECH,
TELECOMPARISTECH,MINES PARISTECH,
MINESDESAINT–´ ETIENNE,MINESDENANCY,
T´ EL ´ ECOMBRETAGNE,ENSAEPARISTECH (FILI` ERE MP)
´
ECOLE POLYTECHNIQUE(FILI` ERE TSI)
CONCOURS D’ADMISSION 2011
SECONDE´ EPREUVEDEPHYSIQUE
Fili` ere PC
(Dur´ ee del’´ epreuve:4heures)
L’usagedelacalculatrice estautoris´ e
Sujetmis ` adisposition desconcours:Cycle international, ENSTIM,TELECOMINT,TPE–EIVP
Lescandidats sontpri´ esdementionnerdefac¸on apparentesurla premi` erepagedelacopie:
PHYSIQUEII —PC.
L’´ enonc´ ede cette´ epreuve comporte6 pages.
–Si, aucoursdel’´ epreuve,un candidatrep` ere ce quiluisemble ˆ etreune erreurd’´ enonc´ e,il estinvit´ e` ale
signalersursa copie et` apoursuivresa compositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesqu’il aura´ et´ e
amen´ e` aprendre.
–Ilnefaudrapash´ esiter` aformulerlescommentaires(incluantdesconsid´ erationsnum´ eriques)quivous
semblerontpertinents,mˆ eme lorsquel’´ enonc´ enele demandepasexplicitement. Lebar` eme tiendra compte
de cesinitiativesainsiquedesqualit´ esder´ edaction dela copie.
FIBREOPTIQUE` ASAUTD’INDICE
L’´ epreuve estconstitu´ ee detroispartiesind´ ependantes.Lapremi` erepartie concernel’´ etudedela
propagation delalumi` eredansunefibreoptiquedansle cadredel’optiqueg´ eom´ etrique.Ladeuxi` eme
partie compl` etelapremi` ere en´ etudiant lastructuretransversed’uneonde´ electromagn´ etiquedansla
fibre,et lesconditionsd’obtention d’unefibremonomode.Enfin,laderni` erepartietraitedeseffets
non lin´ eairesdanslafibre,notammentdel’effetKerr optique.Apr` esunemod´ elisation microscopique
de ce dernier,on s’int´ eresse au ph´ enom` ened’auto-modulation dephase et` al’existence possiblede
solitonsoptiques.Lesapplicationsnum´ eriques serontdonn´ eesavec 3chiffres significatifs.
Unefibreoptique` asautd’indice,repr´ esent´ ee surlafigure1estform´ ee d’un cœurcylindrique en
verred’axe(Ox),dediam` etre2aetd’indice nentour´ ed’unegaineoptiqued’indice n1l´ eg` erement
inf´ erieur` an.Lesdeux milieux sontsuppos´ eshomog` enes,isotropes,transparentsetnon charg´ es.Un
rayon situ´ edansleplan(Oxy)entredanslafibre au pointOavec un angled’incidence
θ .Afin dene
pasconfondrel’angleid’incidence surlagaine avec lenombre complexeimaginairepurdemodule
1,on notera ce dernierjtelquej2=−1.Quelquesconstantes sontdonn´ eesenfin d’´ epreuve.Les
vecteurs sontsurmont´ esd’un chapeau,b ux,s’ils sontunitairesou d’unefl` eche,~ E,dansle casg´ en´ eral.
I.—Approcheg´ eom´ etriquedelapropagation
Danscettepartie,lesrayonslumineux sontsuppos´ esissusd’uneradiation monochromatiquede
fr´ equence f,depulsation
ω etdelongueurd’onde λ danslemilieuconstituant le cœur.
1—Lesdiff´ erentsanglesutiles sontrepr´ esent´ es surlafigure1.` Aquelle condition suri,angle
d’incidence ` al’interface cœur/gaine,lerayon reste-t-il confin´ e` al’int´ erieurdu cœur?On noteiℓ
l’angled’incidence limite.
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Mines Physique 2 PC 2011 — Énoncé 2/6
x
gaine d’indice (milieu 1)n1
gaine d’indice (milieu 3)n1
Cœur d’indice (milieu 2)n
y
+a
-a
O
air
indice 1,000
i
r
µ
FIG.1 – Fibreoptique encoupe
2—Montrerquela condition pr´ ec´ edente estv´ erifi´ ee si l’angled’incidence θ est inf´ erieur` aun
anglelimite
θ
ℓdonton exprimeralesinusenfonction denetiℓ.En d´
eduirel’expression del’ouverture
num´ eriqueON=sin
θ
ℓdelafibre enfonction denetn1uniquement.
3—Donnerlavaleurnum´ eriquedeONpourn=1,50 etn1=1,47.
Onconsid` ereunefibreoptiquedelongueurL.Lerayon entredanslafibre avec un angled’incidence
θ variable comprisentre0et θ
ℓ.On noteclavitessedelalumi`
eredanslevide.
4—Pourquellevaleurdel’angle θ ,letempsdeparcoursdelalumi` eredanslafibre est-il minimal?
maximal?Exprimeralorsl’intervalledetemps
δ tentreletempsdeparcoursminimaletmaximalen
fonction deL,c,netn1.
5—On pose2∆=1−(n1/n)2.Onadmetquepourlesfibresoptiques∆≪1.Donnerdansce cas
l’expression approch´ ee de
δ tenfonction deL,c,net∆.Onconservera cette expression de δ tpourla
suitedu probl` eme.
Oninjecte` al’entr´ ee delafibreuneimpulsion lumineuse
d’unedur´ ee caract´ eristiquet0=t2−t1form´ ee parun fais-
ceau derayonsayantun angled’incidence comprisentre0
et
θ
ℓ.Lafigure2ci-contrerepr´
esentel’alluredel’amplitude
Adu signal lumineux enfonction du tempst.
6—Reproduirelafigure2enajoutant` alasuitel’al-
luredu signal lumineux ` alasortiedelafibre.Quelle est la
dur´ ee caract´ eristiquet′
0del’impulsion lumineuse ensortie
defibre ?
Le codagebinairedel’information consiste` a envoyerdes
impulsionslumineuses(appel´ ees«bits»)p´ eriodiquement
avec unefr´ equence d’´ emission F.
t
A
t0
t1t2
FIG.2 – Impulsion lumineuse
7—Ensupposantt0n´ egligeabledevant δ t,quelle condition portantsurlafr´ equence d’´ emission
Fexprimelenon-recouvrementdesimpulsions` alasortiedelafibreoptique ?
Pourunefr´ equence Fdonn´ ee,on d´ efinit lalongueurmaximaleLmaxdelafibreoptiquepermettant
d’´ eviterleph´ enom` enederecouvrementdesimpulsions.Onappellebandepassantedelafibrele
produit B=Lmax·F.
8—ExprimerlabandepassanteBenfonction dec,net∆.
9—Calculerlavaleurnum´ eriquede∆etdelabandepassanteB(exprim´ ee enMHz·km)avec les
valeursdenetn1donn´ eesdanslaquestion 3.Pourun d´ ebit d’information deF=100 Mbits.s−1=
100 MHz,quellelongueurmaximaledefibreoptiquepeut-on utiliserpourtransmettrelesignal?
CommenterlavaleurdeLmaxobtenue.
FIN DELA PARTIEI
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Mines Physique 2 PC 2011 — Énoncé 3/6
II.—Approcheondulatoire delapropagation
10 —` Aquelle condition sur λ etal’´ etudeg´ eom´ etriquedelafibremen´ ee danslapartiepr´ ec´ edente
cesse-t-elled’ˆ etrevalable ? Dansce cas,une approcheondulatoiredelapropagation estn´ ecessaire.
II.A.—´ Etudedelastructure transversedel’onde
Enlumi` eremonochromatique,seulescertainesformesd’ondes,appel´ ees«modes»,peuventsepro-
pagerdanslafibre.Chaquemodesepropage` aunevitessediff´ erente,ce quiengendrel’´ etalementdes
impulsionslumineusesetdoncr´ eduit labandepassante.Pouram´ eliorerlesperformances,lesfabri-
cantsdefibresoptiquesont´ et´ e amen´ es` a´ elaborerdesfibres` asautd’indice dites«monomodes»:un
seulmodepeuts’y propager,ce quiapoureffetdediminuerconsid´ erablement l’´ etalementdesim-
pulsions.Labandepassantedesfibresmonomodesestainsibeaucoup plus´ elev´ ee que celle calcul´ ee
`
alaquestion 9.Cettepartieseproposed’´ etudierlesconditionsd’obtention d’unefibreoptique` asaut
d’indice monomode.
On´ etudiedonclapropagation d’un champ´ electromagn´ etiquedepulsation
ω dansladirection des
xpositifs.Poursimplifier,on selimite aux solutionspourlesquelles~ Eestpolaris´ esuivantb uz,avec
(b ux,b uy,b uz)tri` edredirect.On note
~
E1le champ´ electriquedanslemilieu 1 y<−ad’indice n1
~
E2le champ´ electriquedanslemilieu 2 −a<y<ad’indice n
~
E3le champ´ electriquedanslemilieu 3 y>ad’indice n1
En notation complexe,etensimplifiant lag´ eom´ etriedu syst` eme,leschamps sontrecherch´ es sousla
forme:
~
Es=es(y)ej(
ω t−kx,sx)b
uzavec kx,sr´ eelets=1,2 ou 3
11 —En utilisant lesrelationsdepassage` alatravers´ ee d’un dioptre entredeux milieux di´ electriques
non charg´ es,montrerquekx,1=kx,2=kx,3=kx.
12 —En utilisant l’´ equation depropagation du champ~ Edansun milieu di´ electriqued’indice n,
montrerquelesfonctionses(y)sontsolutionsdel’´ equation diff´ erentielle
d2es
dy2−
µ
ses=0 pours=1,2et3
On donneral’expression de
µ
spourchacunedestroisr´
egionsenfonction dekx,
ω ,cetnou n1.
Afin quelafibreoptiquesoit effectivementun guided’onde,on doit fixerlesparam` etres
µ
sde cette
´
equation detellemani` erequeses solutions soientdesondes stationnaires suivant(Oy)dansle cœur,
et´ evanescentes suivant(Oy)danslagaine.Danslestroisr´ egionsconsid´ er´ ees,lesfonctionses(y)
s’´ ecrirontdoncsouslaforme
e1(y)=Ae
α y
e2(y)=Bej
β y+
ε e−j
β y
e3(y)=
ε Ae−
α y
o` u
α et β sontdeux r´ eelspositifs.LescoefficientsAetBsontfix´ esgrˆ ace aux conditionsaux limitesdu
probl` eme et leparam` etre
ε =±1 permetd’obtenirlesdeux famillesdesolutions.On poserak=n ω /c
etkx=kcosro` ul’angler∈[0,
π /2]correspond ` al’angleder´ eflexion repr´ esent´ esurlafigure1.
13 —Exprimer β enfonction deketr,puis α enfonction dek,r,netn1.
14 —Pournetn1donn´ es,quelle est lavaleurmaximalerℓder?En d´ eduirelavaleurminimaleiℓ
deietcommenterler´ esultatobtenu.
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Mines Physique 2 PC 2011 — Énoncé 4/6
15 —` Apartirdes´ equationsdeMaxwell,d´ eterminerl’expression delarepr´ esentation complexe
du champmagn´ etiquedanschacun destroismilieux.
16 —On pose δ =e
α aet
γ =ej
β a.En utilisant lesrelationsde continuit´
edeschampseny=a,
obtenirdeux ´ equationsliantA,B,
ε , α , β , γ et δ .
17 —En d´ eduire,danschacun descas ε = +1 ou ε =−1,larelation quedoiventv´ erifier α , β
eta.Montrerquelar´ eunion desdeux cas ser´ esume enla condition β a+arctan( β / α )=p π /2avec
p∈Z.Onrappellequesi
ϑ >0,alorsarctan( ϑ )= π /2−arctan( ϑ
−1).
Comme
β et α sontdesfonctionsder,on pose β a+arctan( β / α )=f(r).Pouradonn´ e,on admetque
lafonction r7−→f(r)eststrictementcroissantesur[0,rℓ].Quand elle existe,lasolution del’´ equation
f(r)=p
π /2estdoncunique.
Onsouhaiter´ ealiserunefibremonomode,c’est-` a-direunefibredanslaquellel’anglernepuisse
prendrequ’uneseulevaleurpourlaradiation delongueurd’onde
λ =2 π /kutilis´ ee.Pourlesappli-
cationsnum´ eriques,on prendra
λ =709 nm.
18 —D´ eterminerlavaleurmaximalefmaxdef(r)surl’intervalle[0,rℓ].Montrerquesip=1,
lafibre estmonomodequellesquesoient lesvaleursdeaet
λ .Montrerquesip≥2,l’´ equation
f(r)=p
π /2 n’adesolution quesia>aℓo` uaℓestun rayon minimalquel’on exprimera enfonction
dep,
λ ,netn1.
19 —Danslapratique,afin der´ ealiserunefibremonomode,on prendraun rayon a<aℓetseul le
mode associ´ e` ap=1sepropageradanslafibre.Calculerlavaleurdeaℓpourp=2etcommenterle
r´ esultatobtenu.
II.B.—Dispersion intramodale
Mˆ emedansunefibremonomode,un autreph´ enom` eneprovoquel’´ etalementdesimpulsionslumi-
neuses.Eneffet,le cœurdesilice estun milieu dispersif,c’est-` a-direqueson indice optiqued´ epend
delafr´ equence du rayonnement.Aux fr´ equencesoptiques,lesfibresoptiques sontg´ en´ eralement le
si` eged’unedispersion dite«anomale»,pourlaquellelescomposanteshautefr´ equence sepropagent
plusvitequelescomposantesbassefr´ equence.
Or,ladur´ ee finiedespaquetsd’onde´ emisparles sources
impliquequel’ondequisepropagedanslafibren’est
jamais strictementmonochromatique.Touteslescompo-
santesfr´ equentiellesdu paquetd’ondenesepropageantpas
`
alamˆ emevitessedanslafibre,un ´ elargissement tempo-
reldel’impulsion apparaˆ ıt aucoursdelapropagation.Ce
ph´ enom` ene estappel´ e«dispersion intramodale»ou «dis-
persion chromatique».
20 —Lafigure3repr´ esenteleprofil temporeldu
champ´ electriquescalaireE(0,t)d’un paquetd’onde
«gaussien»inject´ e` al’entr´ ee x=0 delafibre.L’origine
destempsestchoisietellequele centredu paquetd’onde
passe enx=0` at=0.
Repr´ esenterl’alluredu profil temporeldu champ´ electrique
scalaireE(xfix´
e,t)du paquetd’onde apr`
espropagation dans
lafibre.
E(0,t)
t
FIG.3 – Paquetgaussien
FIN DELA PARTIEII
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Mines Physique 2 PC 2011 — Énoncé 5/6
III.—Ph´ enom` eneoptiquenonlin´ eaire :effetKerr
Quand l’amplitudedu champ´ electriquedel’ondesepropageantdansle cœurdelafibren’estplus
n´ egligeable(i.e.≥1%)devant le champ´ electriqueintra-atomique assurant la coh´ esion del’atome,
desph´ enom` enesoptiquesnon lin´ eairespeuventapparaˆ ıtre.
21 —Onrappellequelapuissance parunit´ edesurface transport´ ee dansun milieu d’indice npar
uneondeplaneprogressived’amplitudeE0,aussiappel´ ee intensit´ elumineuse,s’´ ecrit I=n
ε
0cE2
0/2.
D´ eterminerl’ordredegrandeurdel’intensit´ elumineuse au del` adelaquellelapropagation peutdon-
nerlieu` adesph´ enom` enesoptiquesnon lin´ eaires?Quelleinvention du XXesi` ecle a-t-ellepermis
d’atteindredetellespuissances surfaciques?
III.A.—Mod´ elisation microscopique
Danscettepartie,on proposeunemod´ elisation microscopiquedesinteractionslumi` ere/mati` ereper-
mettantd’expliquerl’effetKerr optique,c’est-` a-direl’apparition d’unevariation d’indice dansle
milieu proportionnelle` al’intensit´ edu faisceaulumineux quis’y propage.Lemod` elemicroscopique
del’´ electron li´ esuffit ici` arendre comptedespropri´ et´ esessentiellesquel’on cherche` amettre en
´
evidence.On notez(t)l’´ ecart` alaposition d’´ equilibred’un ´ electron demassemetde charge−e.
Sousl’action delaforce exerc´ ee parun champ´ electrique~ E=E0cos(
ω t−kx)b uzdefortepuissance
polaris´ esuivantOz,on supposequel’´ electron est,par r´ eaction,soumis` auneforce derappelcompor-
tantun termeharmonique etun termede correction anharmonique:
~
F=−m
ω
2
0z+
κ
m2 ω
3
0
¯
hz3b
uz
o` u
ω
0est lapulsation der´
esonance del’atome et¯ h=h
2 π
la constantedePlanckr´ eduite.Danstoute
cettepartie,on supposequelapulsation del’ondeincidente estdiff´ erentedelapulsation der´ esonance
du syst` ememais suffisamentprochede celle-cisoit
ω 6= ω
0mais
ω ≃ ω
0.On note´
egalement :
•Nlenombred’atomesparunit´ edevolume
•
χ
L=Ω2
ω
2
0−
ω
2lasusceptibilit´
elin´ eaire,avec Ω2=Ne2
ε
0m
•nL=√1+
χ
Ll’indice du milieu«lin´
eaire»
•
ξ = κω
3
0
( ω
2
0−
ω
2)3
(eE0)2
m¯ h
22 —Quelle est ladimension du coefficient κ traduisant l’importance du ph´ enom` enenon lin´ eaire ?
23 —´ Etablirl’´ equation v´ erifi´ ee parlafonction z(t).
Pour r´ esoudre cette´ equation,on utiliseun d´ eveloppementperturbatifaux diff´ erentespuissancesde
κ .On pose alorsz(t)=z0(t)+ κ z1(t)avec z0(t)solution del’´ equation diff´ erentiellelin´ eaireobtenue
pour
κ =0,etz1(t)perturbation obtenue en ne conservantdansl’´ equation diff´ erentiellequelestermes
du premierordre en
κ .
24 —D´ eterminerl’expression dez0(t).
25 —D´ eterminerl’´ equation diff´ erentiellev´ erifi´ ee parz1(t).Onadmettraquesi ω estsuffisament
prochede
ω
0lasolution de cette´
equation s’´ ecrit
z1(t)≃ −
ξ
4 κ
eE0
m3
ω
2
0−
ω
2cos(
ω t−kx)+1
ω
2
0−9
ω
2cos[3(
ω t−kx)]
Quelle est l’originemath´ ematiquedu terme encos(3( ω t−kx)) contenu danscettesolution ?
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