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X Physique et Sciences de l’ingénieur MP 2009 — Énoncé 1/12
ÉCOLEPOLYTECHNIQUEFILIÈREMP
OptionPhysique etSciencesdel’Ingénieur
CONCOURSD’ADMISSION2009
COMPOSITIONDEPHYSIQUE ETSCIENCESDEL’INGÉNIEUR
(Durée :4heures)
L’utilisation descalculatricesestautorisée pourcette épreuve.
⋆ ⋆ ⋆
Propulsionetsustentationmagnétiques
Projetsfuturistesdanslesannées1970, lapropulsionetlasustentationmagnétiques sont
aujourd’huiuneréalité(figure1).Letrainàlévitationmagnétique,ouMaglev,utiliseles
forcesmagnétiquespourassurersasustentation,songuidage etsapropulsion.Enrégimede
croisière, il n’yapasderouesencontactavec desrails,ce quipermetderéduirelesfrot-
tementsetd’atteindredesvitessesélevées.Lerecord devitesseactuel, établi en2003,est
de581 km/h.
Figure1:LeTransrapidrejointl’aéroportaucœurdeShanghaïenmoinsde8minutes,
à 250 km/h enmoyenne,avec une vitessemaximalede400 km/h.
Ceproblèmeabordesuccessivementunemodélisation historiquedelasustentationélec-
tromagnétique(partieI)etquelquesaspectsdelacommandedelalévitation d’un Maglev
(partieII).
Dansl’ensembledu problème, l’axeverticalascendantest représentéparlevecteurunitaire~z
etzestsacoordonnée associée.Lesvecteurshorizontaux~xet~ycomplètentlabaseorthonormée
directe(~x,~y,~z).
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X Physique et Sciences de l’ingénieur MP 2009 — Énoncé 2/12
I.L’expérienced’Elihu Thomson
Figure2:Uneréalisationde
l’expérience d’ElihuThomson
Unsolénoïde(S),desectioncirculaire,d’axevertical
ascendantO~z,derayonbetcomprenantnspiresjoin-
tivesparunitédelongueurestparcouru parun cou-
rant,d’intensitéinstantanée iS(t)=IScos(ωt).On
noteRSlarésistance électriquedel’enroulementet
LSsoninductance propre(lerôledu cylindre central,
nomménoyauet représenté engrisédanslafigure2,
serapréciséultérieurement).L’origineOdel’axeO~z
estaucentredelaface supérieuredu solénoïde,quiest
doncsituédanslarégionz<0.Unanneaumétallique
indéformable circulaire(A),demassem,derayona,
d’épaisseurnégligeable etd’axeO~z,estinitialement
maintenu enz=0.Cetanneauestmobilesansfrotte-
mentetsansjeu,parallèlementau plan horizontalet
enrestantcentrésurl’axe.Ilcomprend selonlesexpé-
riencesN=1ou2spirestoujoursidentiques,ensérie
etparcouruesparun courantinstantanénotéiA(t).
L’ensembledu dispositif jouitdoncdelasymétrie cylindriqueautourdel’axeO~z; lesconven-
tionsd’orientation desdeuxcircuits sontlesmêmes.Lamassevolumiquedu matériauconstituant
l’anneauestnotée µM,saconductivité électriqueσM;onadoncm∝NµM,oùlesymbole«∝»
signifie«est,touteschoseségalesparailleurs,proportionnelà... ».Larésistance d’unespire
estnotée rAetsoninductance propreℓA; larésistance del’anneauestdoncRA=NrA∝N
σM
.
L’inductance mutuelle entre(S)et (A),notée M,dépend dezetbiensûrdeN.On disposede
diversanneaux,encuivreouenaluminium,avec µCu≈3µAℓetσCu≈1,7σAℓ.On noteφleflux
magnétique envoyéparlesolénoïdeàtraversun anneau donné.
Donnéesnumériques: l’anneauestconstituéd’unespireuniquede cuivre,demasse
m1=12 ×10−3kg,avec rA=1,0×10−4Ω,ℓA=1,0×10−7H, l’intensitédelapesanteur
estg=10 m·s−2;poursimplifierletraitement,onconviendraquelediamètredu noyauest
D=2a=4×10−2m.
Dansunepremièreséried’expériences, lenoyau n’apasdepropriété électromagnétiquepar-
ticulière, il nesert qu’à guiderlemouvementdel’anneauet toutsepasse commesice dernier
évoluaitdanslevide.Dansunesecondeséried’expériences, lenoyauenferdoux,auraun rôle
supplémentairequiseraprécisélemomentvenu.
Danstoutleproblème,on note,encoordonnéescylindriques,~ B(r,z;t)=~ B(r,z)cos(ωt)le
champcréé en un pointP(r,θ,z)parlesolénoïde.Larelation~ B(0,z)=~ B0(z)=B0(z)~zdéfinit
lafonctionB0(z),champsurl’axeO~z.
Àl’instantinitial, l’anneauestlibéré.Onconstatelesfaits suivants:
F1L’anneau(A),projetéverslehaut,sestabiliseàune certainehauteurz0.Laposition
d’équilibre eststable.
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X Physique et Sciences de l’ingénieur MP 2009 — Énoncé 3/12
F2Unanneauconstituédedeuxspiresidentiques(massetotalem=m2=2m1)sestabilise
plushautqu’un anneauconstituéd’uneseulespire, identiqueauxdeuxpremières.
F3Lescotesd’équilibrepourdeuxanneauxgéométriquementidentiques,maisconstituésl’un
enaluminiuml’autre encuivresontdifférentes:z0(Aℓ)>z0(Cu).
I.1Considérationsgénérales
1.Enconsidérantlefluxdu champmagnétique(vecteur~ B)àtraversun cylindre élémentaire
d’axeO~z,derayonretdehauteurdz,montrerquele champradialen un pointP(r,θ,z)
auvoisinageimmédiatdel’axe est~ Br(r,z;t)=−1
2rdB0 dzcos(ωt)~er,où~erest,encoordonnées
cylindriques, levecteurunitaireradial.
2.L’anneauestmaintenu àune cote constante.Onadmetquelacomposanteparallèle
àO~zdelaforce électromagnétiqueàlaquellel’anneauestsoumis s’exprimeparlarelation
F(z,t)=iA(t)iS(t)dM
dz.VérifierqueF(z,t)=iA(t)dφ dz,oùφestlefluxdu champmagnétique
du solénoïde(S)àtraversl’anneau(A).
3.Donnerl’expressiongénéraledelaforce électromotrice (fém)induitepar (S)dans(A),en
fonction deiS(t)etdeM.
4.Expliciterlaréponse,enfonction deω,φ0(z)=πa2B0(z)etsin(ωt)lorsquel’inégalité
a<< bestsatisfaite.
5.NotantiA(t)le courantquicirculedansl’anneau(A),maintenu àlacotez,exprimerla
résultanteinstantanée desforcesdeLaplace quis’exercentsurcetobjet.
6.Montrerquel’inductance proprede(A)estLA=N2ℓAetquel’inductance mutuelle,M,
varielinéairementavec N;on noteraM=NM1,ce quidéfinitM1.
I.2Modélisationsdelapremièreséried’expériences
Lebutde cettepartie estd’interpréterlesobservationsF1-F3.
Onsupposequel’anneau n’estsensiblequ’àlavaleurmoyennedansletempsdelarésultante
desforcesdeLaplace,h~ FLit.Onrelaxel’hypothèsea<< b;on n’explicitepluslaformedu
champ~ B,seulsinterviendrontlesinductancesetlesautresparamètresdescircuits.Onimpose
toujoursiS(t)=IScos(ωt)etl’onsupposequel’anneauestfixe(il n’yapasdevariation deflux,
etdoncdefémassociée àun mouvement).
7.OnsupposeprovisoirementqueℓAestnulle.Montrerqueh~ FLit=~ 0.
8.OnsupposequeℓAn’estpasnulle,maisquerAestnulle.Calculerh~
FLitdansce cas.
9.Lamodélisation delaquestion8est-elle compatibleavec lesfaitsexpérimentauxobservés?
10.AucunedesgrandeursRS,LS,rAetℓAn’estsupposée désormaisnulle.Latensionaux
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X Physique et Sciences de l’ingénieur MP 2009 — Énoncé 4/12
bornesdu solénoïde estnotée uS(t)=U0cos(ωt).Exprimerlaloidesmaillespourlesolénoïde
etpourl’anneau.
11.On note enreprésentationcomplexeIAetISlesamplitudescomplexesdesintensités
iA(t)etiS(t),ZA=RA+jLAω=|ZA|exp(jϕA),ZS=RS+jLSω=|ZS|exp(jϕS),
ZAS=jMωetD2=ZAZS+M2ω2=|D|2exp(2jϕD).ExprimerIAetISenfonction de
ZA,D,U0etZAS.En déduirelesexpressionsdeiS(t)etdeiA(t).
12.Établirlarelationsuivantepourlaforce moyennesubieparun anneauconstituédeN
spires:
hFit∝N2
hrARS+Nω2(M2
1−ℓALS)i2
+ω2(rALS+NℓARS)2
.
13.Application numérique:CalculerF(2)
F(1),rapport desforcesmagnétiquesagissant res-
pectivementsurun anneauconstituédedeuxspiresetsurun anneau d’unespirepourRS=2Ω,
ℓA=1,0×10−7H,LS=0,1H,M1=5,0×10−5Hetω=100 πrad·s−1(50 Hz).
14.InterpréterF2.
15.InterpréterF3.
I.3Modélisationsdeladeuxièmeséried’expériences
Cettesérie concerneunespireunique(rA,ℓA,M1).Ongardelemêmedispositifexpérimental,
àceciprèsquelematériau du noyau,dehauteurH=0,5m,estferromagnétique,etprovisoire-
mentsupposéisolant.En plusdesonrôledeguidagedel’anneau, lenoyaucanalise etaugmente
sensiblementle champ produitparlabobine.Danscesconditions, l’inductance ℓAdel’anneau
estinfluencée parlenoyauetdevient˜ ℓAquidépend del’altitude.Poursimplifierlescalculs,
onremplacera˜ ℓAparsavaleurmoyennespatiale˜
ℓ.Numériquement, laspire estchoisiedetelle
manièreque˜ ℓ=1,0×10−7H.Ongardel’hypothèsequel’anneau n’estsensiblequ’àlavaleur
moyennedansletempsdelarésultantedesforcesdeLaplace,h~ FLit.
Le champmagnétiquedanslenoyau diminueaufuretàmesurequel’ons’éloignedela
bobinepours’annulerau-delàdez=H.Lefluxdu champ danslenoyauestalorsmodélisépar
larelation
˜
Φ(z,t)=
Φ(z)cos(ωt)=Φ01−γz
Hcos(ωt),avec γ=0,6pour06z6H
0pourz>H.
Pour06z6H,onétablitquelaforce électromotrice induitedansl’anneau positionnéàla
cotezeste(z,t)=−d˜ Φ/dt=ωΦ(z)sin(ωt),quele courantinduitenrégimepermanentest
iA(t)=ωΦ(z)rA
r2
A+Ę
ℓωä2sin(ωt)−˜
ℓω
r2
A+Ę
ℓωä2cos(ωt)
etquel’expression du champradialàlasurface du noyauestBr=γΦ0
πDHcos(ωt).
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16.Établirl’expressionsuivantedelacomposanteFzselonO~zdelarésultantedesforcesde
Laplace s’exerçantsurl’anneau:
Fz=−ωγΦ0
HΦ(z)rA
r2
A+Ę
ℓωä2sin(ωt)cos(ωt)−˜
ℓω
r2
A+Ę
ℓωä2cos2(ωt).
17.MontrerquelamoyennetemporellehFzitsemetsouslaformehFzit=F01−γz
Het
préciserF0.Donnerl’équation du mouvementde(A),sousl’action dehFzit.
18.Quelleinégalitédoitêtresatisfaite entreF0,metgpourquel’anneau,positionnéinitia-
lementenz=0,décolle?Cette conditionétantsatisfaite,àquelle cotez0l’anneausestabilisera-
t-il ?
19.Application numérique:Calculerz0pourω=100 πrad·s−1etΦ0=5×10−4Wb.
20.Donnerlasolution del’équation du mouvementobtenue en15,avec lesconditions
initialesz(0)=0et˙z(0)=0.
21.L’inégalité établieàlaquestion18 étantsatisfaite,quelestl’effet,négligédansla
modélisation,quiprovoquel’amortissementdu mouvementetpermetd’atteindrelaposition
d’équilibre?
22.Àpartirdemaintenant, l’anneau,avantd’êtrepositionné,est refroididetellesortequesa
résistance soitabaissée d’un facteur10 (onletrempedansdel’azoteliquide,dontlatempérature
d’ébullitionestde77 K).Calculernumériquementz0.Est-ce uneposition d’équilibre?
23.Danslesconditionsexpérimentalesdelaquestion22, l’inégalitédelaquestion18 étant
satisfaite etlesconditionsinitialesétantcellesdelaquestion20,calculernumériquementla
vitessedel’anneaulorsqu’il arriveàl’extrémitédu noyauetladurée τpouryparvenir.
24.Dansquellemesurel’utilisation d’uneforce moyennée temporellementest-elledansce
casjustifiée ?
25.Onsupposeque,unefois séparédu noyau, l’anneau n’estsoumisqu’àlapesanteur.Quelle
estl’altitudemaximalequ’il atteint?
26.Danslaréalité, lenoyauconducteur,estlesiègede courants;pouravoiruneidée grossière
despertesJoule,supposons~ Buniformedanslematériau:~ B(r,z;t)=B0cos(ωt)~zetadmettons
souscettehypothèsequele champélectriqueassociésoit~ E(r,z;t)=1
2B0ωrsin(ωt)~eθ(~eθestle
vecteurunitairepourlacoordonnée θ).Expliqueralorspourquoi il estavantageuxderemplacer
le cylindrederayonaparpcylindresidentiquesderayona
√pavec paussiélevéquepossible,et
séparéspardel’isolant (lescylindres,d’axesparallèlesàO~z,sontdisposésdemanière compacte
àl’intérieurdu cylindrederayona;cettesubstitutionconserveapproximativementlevolumede
matière etnemodifiepasle champ~ B,quiresteuniformeausein du noyau).
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