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X Physique et Sciences de l’ingénieur MP 2008 — Énoncé 1/14
ÉCOLEPOLYTECHNIQUEFILIÈREMP
OptionPhysique etSciencesdel’Ingénieur
CONCOURSD’ADMISSION2008
COMPOSITIONDEPHYSIQUE ETSCIENCESDEL’INGÉNIEUR
(Durée :4heures)
L’utilisation descalculatricesestautorisée pourcette épreuve.
⋆ ⋆ ⋆
Étudedequelquesaspectsdel’hélicoptère
C’esten novembre1907 quelepremiervéritabledécollageaumonded’un hélicoptèreàplusde
1,50 mètredu solestréussi, àCoquainvilliers,prèsdeLisieux(Normandie), il yadoncun peu plus
de100 ans.Cetenginàdoublerotorde203 kilos(figure1)estpilotéparsonjeuneinventeuret
constructeur,PaulCornu,alorsâgéde26 ans.Lemoteurentraînantlesrotorsestun Antoinettede
24 CV(1CV=736 W).D’autresessais significatifsd’hélicoptèresemportantun hommesontréalisésla
mêmeannée parLouisBreguetetCharlesRichetàDouai.
Figure1-LamachinedePaulCornu (1907).
Un hélicoptère estun aéronefàvoiluretournantedontlasustentationetlapropulsionsontassurées
simultanémentparleoulesrotorspendant touteslesphasesdu vol. L’hélicoptèrepeuteffectuerun vol
stationnaire etpermetainsidesmissionsinaccessiblesàlaplupartdesautresaéronefs.Un hélicoptère
modernedetypeRobinsonR44 estprésentépagesuivantesurlafigure2.
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X Physique et Sciences de l’ingénieur MP 2008 — Énoncé 2/14
Figure2-Photographied’un hélicoptèremoderneRobinsonR44 RavenII.
Lesujetproposé estcomposédetroispartiesquiabordentplusieursaspectsdu fonctionnementd’un
hélicoptère:
–lamécaniquedu vol : leprincipedelavoiluretournante etlefonctionnementdu rotoranti-couple
sontétudiésdanslapremièrepartie;
–laconstitutionetl’analyse cinématiquedelatêtederotorsontétudiéesdanslasecondepartie;
–le contrôledepositionverticaleparaccéléromètre estl’objetdelatroisièmepartiequiconclutle
sujet.
I.Principed’unevoiluretournante
Forcesaérodynamiques
Unobjetplacé dansun écoulementd’airsubituneforce aérodynamique.On décompose cetteforce en
une composantedanslesensdu ventrelatif: latraînée,etune composanteperpendiculaire: laportance.
Laportance d’un aéronefestcréée parl’écoulementdel’airautourdesavoilure.Si leprofilconduità
desvitessesrelativesdifférentesentrelapartieinférieure etlapartiesupérieure, ladifférence depression
ainsigénérée induituneforce résultantesurlavoilure(voirprofilsurlafigure3).Dansun écoulement
horizontal, l’équilibreverticaldel’aéronefpeutêtreatteintsi laportance compenseson poids.Lemaintien
envolhorizontalestassuréparuneforce detractionquis’opposeàlatraînée.
Traînée
Portance
Déplacement
Ecoulement
α
Traction
cordel
Poids
Figure3-Définition desforcesquis’exercentsurunevoiluredansun écoulementfluide.
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X Physique et Sciences de l’ingénieur MP 2008 — Énoncé 3/14
Latraînée s’appliquedansladirection del’écoulement (danslesensdu mouvementrelatifdu fluide)
etlaportance perpendiculairementàl’écoulement,verslehaut (directionopposée au poids).Laportance
etlatraînée sontdonnéesen premièreapproximation pardesexpressions similairesenfonction dela
vitesseVdel’écoulement:
fz=1
2ρSCz(α)V2pourlaportance,
fx=1
2ρSCx(α)V2pourlatraînée.
Danscesexpressions,Sdésignelasurface projetée du profildelavoilureselonlanormaleàsacorde
(figure3)etρlamassevolumiquedel’air(ρ=1,3kg·m−3danslesconditionsnormales).Cx(α)et
Cz(α)sontrespectivementlescoefficientsdetraînée etdeportance ; ilsdépendentdel’angled’incidence
α(aussiappeléangled’attaque)quefaitlacordedu profilavec ladirection del’écoulement.
Voiluretournante
Dansle casd’un hélicoptère, l’écoulementdel’airestprovoquéparlemouvementcirculairedespales
par rapportaucorpsdel’appareil, ce quicrée un mouvementrelatifpar rapportàl’air.
~y
~xrθ~x
~z
~yr
axe
du
rotor
~z
l
Sensde
R
drr
pale
O
~yp=~yr
α
~xp
~xr
O
(a)(b)
dac
rotation
Figure4-Description du modèledel’hélicoptère:(a)vuededessusetrepèretournantliéaurotor;
(b)géométriesimplifiée delapale etrepèredelapale.
Onconsidère,danslasuite,quel’hélicoptère estenvolstationnaire(pasdemouvementpar rapport
ausol)enaircalme,danslesconditionsnormales.Lerotorentraînantlespalestourneautourdu cockpit
suivantl’axevertical(O,~z).Cetterotationrelative estrepérée parl’angleθ(figure4.a).
I.1Exprimerlavitessedel’écoulementVair(r)del’airenfonction deladistanceraumoyeu
du rotoretdelavitesseangulaireωderotation del’axe.
Onconsidèrele casd’unevoiluretournante constituée dedeuxpalesidentiques(casdel’hélicoptère
RobinsonR44).On négligelesinteractionsaérodynamiquesentrelespales.
Afin d’allégerlescalculsquisuivent, la géométriedespalesdu rotorprincipalestsimplifiée : lespales
sontsupposéescylindriques(non derévolution)delongueurR,delargeurl(lacorde) (figure4.b).On
négligetousleseffetsliésàlalongueurfinie etàlaturbulence.L’incidence αcorrespond àl’angleque
faitl’axe−→ xpdelapaleavec l’axe−→ xrdu rotor.
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I.2En utilisantlesexpressionsgénéralesdonnéesdansl’introduction,exprimerlaportance
dFzetlatraînée dFxd’un élémentdepaledelongueurdr,desurfaceprojetée dS=l.dret
situéàunedistancerdel’axedu rotor.Leslignesd’action decesforcesélémentaires se
coupentsurl’axe(O,−→ yr).
I.3Exprimerlesélémentsderéductionau pointOdestorseursrésultantsdelaportance
etdelatraînée surunepale enfonction desalongueurRetdesvariablespertinentes.
I.4Montrerquecestorseurs sontdesglisseursdontlepointd’applicationestsituéàune
mêmedistanceRgdel’axedu rotor.Déterminercettedistance.
I.5Donnerl’expression du coupletotalCs’appliquantsurlerotorautourdesonaxede
rotation par rapportaucockpit.L’incidence estidentiquesurlesdeuxpales.
I.6ExprimerlapuissanceminimaleP0nécessairepourobteniruneportancetotaleFsuf-
fisantepourassurerledécollagedel’appareil demasseMenfonction deCx,Czetdes
variablespertinentes.
Ladépendance du coefficientdeportance Czavec l’angled’incidence αdelapalesurl’air
(figure3)estmodélisée parlaloiCz=κ0αjusqu’àun angled’incidence limiteαmax=15◦avec
κ0=0,1etαexprimé en degrés.Le coefficientdetraînée Cxdépend en premièreapproximation du
carrédu coefficientdeportance,selonlarelationapprochée Cx=κ1+κ2C2
zavec κ1=1,5×10−2et
κ2=7×10−2,cetterelation n’étantvalablequedansl’intervalle0≤α≤15◦.Lesvaleursnumériques
proposéespourlesκiprennentencompteleseffetscomplexesdu fluxengendréparlerotor;elles sont
obtenuesexpérimentalement.Ladépendance deCzenfonction deαestprésentée surlafigure5.
Figure5-Évolution du coefficientCzenfonction del’angled’incidence.
I.7Àpuissanceconstante,quelestqualitativementl’effetd’uneaugmentation del’angle
d’incidencedespales surlavitessederotation delavoilure etsurlecoupledetraînée
produit?Peut-onconcluresurlaportance?
En pratique, lavitessederotation delavoilure estmaintenuequasimentconstanteaucoursdu vol(à
quelquespourcentsprès)etle contrôlede cettevitesseaucoursdesdifférentesphasesdu volesteffectué
parlepilotegrâce àunemodulation delapuissance fournieparlemoteur.Ilesteneffetnécessairede
maintenirlavitessedel’extrémitédespalespar rapportàl’airsignificativementen dessousdelavitesse
du son(c=340 m·s−1au niveau delamerdanslesconditionsnormales).Onlimitedonclavitessede
l’écoulementd’airàVmax=0.6cen boutdepale.
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I.8Exprimerlavitesseangulairemaximaleωmaxutilisable enfonction delalongueurRde
lapale etdec,pour resterdansledomainedesécurité.Lacalculernumériquementpour
R=5m.
Onsupposemaintenantquelerotorestentraînéàvitesse constanteàsavitesseangulairelimiteωmax,
etquel’hélicoptère estinitialementposéausolavec un angled’incidence despalesα=0◦.Lamasse
totaledel’hélicoptère estM=1300 kgetlerotorpossèdedeuxpalesdelongueurR=5m,delargeur
l=26 cm.
I.9Exprimerlapuissancedélivrée parlemoteurdanscetteconfiguration.Lacalculernu-
mériquement.
Lepiloteactionnemaintenantlacommandedite« depascollectif»quiaugmentel’angleαd’incidence
despales,toutenmaintenantlavitessedu rotorconstanteàωmaxgrâce àl’ajustementdelapuissance
fournieparlemoteur.
I.10 Pourquellevaleurdel’angled’incidenceαdec l’hélicoptèreva-t-il quitterlesol?La
calculernumériquement,en prenantpourintensitédu champ depesanteurg=9,8m·s−2.
I.11 CalculerenkWpuisenCV, lapuissancedéveloppée parlemoteuraumomentdu
décollage.
I.12 Lerapportpuissance/massedesmoteursd’aviationrécentsatteintenviron2CV/kg.
Expliquerbrièvementpourquoi lamotorisationaétépendantlongtempslalimitation prin-
cipaledeshélicoptères.
En pratique, lespalesdu rotorprincipalsontlégèrementvrilléesparconstruction; l’angled’incidence
estdelaformeα(r)=α1−φr/R,oùα1estlapartievariablesurlaquelleagitlepilote,etφun vrillage
obtenu parconstruction.
I.13 Donnerun encadrementportantsurα1etφassurantqu’aucun pointdelapalen’offre
uneincidencenégativeouexcédantl’angled’incidencelimiteαmax.
I.14 Exprimerlesélémentsderéductionau pointOdu torseur résultantdelaportance
d’unepalevrillée.
I.15 Donnerl’angled’incidenceαeqd’unepalenonvrillée générantlamêmeportancequela
palevrillée deparamètres(α1,φ).Montrerquecetangledoitrespecterlaconditionαeq≥φ/4.
I.16 ÉvaluerladistanceR∗aucentrederotation du rotoràlaquelles’applique effectivement
laportanceF∗
zdanslecasd’unepalevrillée.ExprimerR∗/Rgenfonction deφ/αeq.Justifier
succinctementl’intérêtdu vrillagedespales.
I.17 Calculermaintenantlecoupledetraînée del’héliceC∗danslecadred’unevoilure
vrillée.SoitC(αeq)lecoupledetraînée d’unehélicenonvrillée pourα=αeq.Montrerque
lerapportC∗/C(αeq)vaut:
1+7κ2
0κ2φ
240CxeqÅφ−24 7αeqã
avecCxeqàidentifier.Peut-on définirun angleφoptpourun vrillageoptimalencequi
concernelatraînée ?
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