MP / 1 8

X Physique MP 2010 — Énoncé 1/8
ÉCOLEPOLYTECHNIQUEFILIÈREMP
CONCOURSD’ADMISSION2010
COMPOSITIONDEPHYSIQUE
(Durée :4heures)
L’utilisation descalculatricesestinterditepourcette épreuve.
Pourlesapplicationsnumériques,onse contenterad’un seulchiffresignificatif.
⋆ ⋆ ⋆
Caractérisation departiculesetdeporesàl’échellenanométrique
Ons’intéressedansce problèmeàlacaractérisation departiculesetdeporesdetaillenano-
métrique(1nm=10−9m)pardeuxtechniquesdifférentes: ladiffusion desrayonsXauxpetits
anglesetl’adsorptiongazeuse.
Lestroisparties sontindépendantes.
Donnéesnumériques
Vitessedelalumièredanslevide:c=3,0×108m·s−1
Permittivitédu vide:ε0=8,9×10−12 F·m−1
Perméabilitédu vide:µ0=1,3×10−6H·m−1
Charge élémentaire:e=1,6×10−19 C
ConstantedeRydberg:R∞=1,1×107m−1
Massedel’électron:me=9,1×10−31 kg
Nombred’Avogadro:NA=6,0×1023 mol−1
Massemolairedu diazoteN2:M=28,0g
Massevolumiquedel’azoteliquide:ρ=0,81 g·cm−3
Aire équivalentedelamoléculedeN2:sm=0,16 nm2
TensionsuperficielledeN2à 77 K:γ=8,9×10−3N·m−1
Constantedesgazparfaits:RGP=8,3J·K−1·mol−1
Volumemolaired’un gazparfaitdanslesconditions standard
detempérature etdepression(T=298 Ketp=1bar) :VM=25 L
Formulaire:
∞
X
n=0
nxn=x
(1−x)2pour|x|<1
cosx=1−x2
2+x4 24 +o(x5)sinx=x−x3 6+x5 120 +o(x6).
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X Physique MP 2010 — Énoncé 2/8
I.Diffusion desrayonsXauxpetitsangles
I.1.Interaction d’uneonde électromagnétiqueavecun électronlibre
Onconsidèreun électronlibrequi, enl’absence detouteforce,estsituéàl’originedu re-
pèreorthonormédevecteursunitaires(~ex,~ey,~ez)d’un référentield’étude,supposégaliléen.Cet
électron,de charge−e,estsoumisàuneonde électromagnétiquemonochromatiqueplanede
pulsationωetdevecteurd’onde~ k=k~ey;enreprésentationcomplexe, le champélectriquede
cetteondes’écrit~ E=E0expi(ωt−~
k·~r)~ez, l’originedestempsétantchoisiedetellemanièreque
E0soit réeletpositif.On négligel’effetdu champmagnétiquesurlemouvementde cetélectron
etonconsidèrequelapropagationsefaitdanslevide.
I.1.1.On note~ δ(t)levecteurposition del’électronàl’instantt.Onfaitl’approximationque,
pour toutt, le champélectriquedel’onde estlemêmequ’àl’origine.Montrerquel’équation du
mouvementdel’électronadmetunesolution delaforme~ δ(t)=δ0exp(iωt)~ez,enreprésentation
complexe,avec δ0=eE0/meω2.
I.1.2.Onrappellequel’intensité énergétiquedel’onde estdonnée parI0=1
2ε0cE2
0.
L’onde estun faisceau derayonsXdelongueurd’ondeλ=0,1nm=10−10 m,etd’intensité
I0=200 W·mm−2.Calculernumériquementδ0puisδ0/λ,etvérifierlavaliditédel’approxima-
tionfaiteàlaquestionI.1.1.
I.1.3.Lapulsationcaractéristiquedu mouvementdel’électronautourd’un noyauatomique
estω0=2πcR∞,oùR∞estlaconstantedeRydberg.Comparerlesvaleursnumériquesdeω
etω0etjustifierquel’on peutconsidérer,pourl’interaction d’un électronatomiqueavec l’onde
électromagnétiquedelaquestionI.1.2,quel’électronestlibre.
z
θ
M
~eθ
~er
y
~eϕ
ϕ
x
O
Figure1.Coordonnées sphériques
I.1.4.L’électronaccélérérayonneun champélectromagnétique équivalentàceluid’un dipôle
électriquedemomentdipolairep(t)~ez=p0exp(iωt)~ez=−e~
δ(t).On note~ E1(M)et~ B1(M)les
champsélectrique etmagnétiquerayonnésau pointMparledipôlesituéàl’origine.Dansle
systèmede coordonnées sphériquesderepèreorthonormé(~er,~eθ,~eϕ), leursexpressionsau point
M(r,θ,ϕ)(voirfigure1)sont
~
E1(M)=1
4πε0c2
¨p(t−r/c)
rsinθ~eθet~
B1(M)=µ0
4πc
¨p(t−r/c)
rsinθ~eϕ,
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où¨pdésigneladérivée secondedeppar rapport autemps.Rappelerledomainedevaliditéde
cesexpressionsetexpliquerladépendance ent−r/cdu champélectromagnétique.
I.1.5.Montrerque~ E1(M)peutsemettresouslaforme
~
E1(M)=b
rE0exp[iω(t−r/c)]sinθ~eθ,
oùbestune constante(appelée longueurdediffusionThomson)donton donneral’expressionet
dontoncalculeralavaleur.
I.1.6.On place un atomedansle champ del’ondeincidente.Montrerquele champrayonné
parlenoyauestnégligeabledevantceluirayonnéparun électron.
I.2.Diffusion parun ensembled’électrons
Onconsidèreàprésentun ensembledeNélectronsdontlespositionsmoyennes sont repérées
parlesvecteurs~rj, l’origineOétantchoisieàl’intérieurde cetensemble.Cesélectrons sont
soumisàl’onde électromagnétiquedelapartieI.1.IlrésultedelaquestionI.1.1quesi laposition
moyennedel’électronest~rj, l’expressioncomplexedesapositioninstantanée est~rj+~
δ(t)avec
~
δ(t)=(eE0/mω2)exp(iωt−i~
k·~rj)~ez.
I.2.1.Onsupposequeladistance du pointd’observationMàl’origine est trèsgrandedevant
latailledel’ensembled’électrons.Montreràl’aided’un schémaquele champélectriquerayonné
enMparl’ensembledesélectronsestalorsdonnépar
~
E(M)=~ E1(M)
N
X
j=1
exp(i~q·~rj),
où~ E1(M)estle champobtenu àlaquestionI.1.5et~q=k~er−~ kestnommévecteurdediffusion.
I.2.2.Exprimerq=k~qkenfonction delalongueurd’ondeλetdel’angleβentre~eret~
k.
I.2.3.On disposeau pointMun détecteurderayonnementd’aireδSMperpendiculaireà~er.
SoientδPlapuissance reçueparledétecteuretδΩl’anglesolide,supposépetit,souslequel le
détecteurestvu depuisl’origine(δSM=r2δΩ).Montrerquelasectionefficace différentiellede
diffusion,définieparσ(~q)=(1/I0)(δP/δΩ),peutsemettresouslaforme
σ(~q)=(bsinθ)2
N
X
j=1
exp(i~q·~rj)
2
.
I.2.4.Exprimerσ(~q)enfonction desvecteurs~rjk=~rj−~rk.Onsupposelesélectronsaléatoi-
rement répartisetN≫1.Quelle estlaformeasymptotiquedeσ(~q)lorsquelesdistancesentre
lesélectrons sont toutestrèsgrandesdevantq−1?Qu’enest-il aucontrairelorsquetoutesles
distances sontpetitesdevantq−1?Commentercesrésultats,entermesdel’intensitédiffusée par
l’ensembledesélectrons.
I.2.5.Àl’aidedesrésultatsdelaquestion précédente,évaluerl’ordredegrandeuren degrés
desanglesβutilespourobtenirdesinformations surlastructuredeparticulesd’unedizaine
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denanomètresen utilisantladiffusion desrayonsXdelaquestionI.1.2.Àquelledifficulté
techniquepeut-ons’attendre?
I.3.Diffusion parunesuspension diluée denanoparticules
Cettepartie concerneun ensembledenparticules solidesensuspension dansun volumeV.Le
milieuestglobalementneutre.Lesparticules sontconsidéréescommedesdistributionscontinues
de charge, levolumede chacuned’ellesétantnotéVP.On noterespectivementρ1ladensité
volumiqued’électrons,supposée uniforme,danslasolution,etρ2=ρ1+∆ρladensitévolumique
d’électronsàl’intérieurdesparticules,supposée uniforme elleaussi. Ons’intéresseàdesrayons
Xdiffusésparce milieu dansunedirectionfaisantun petitangleβavec l’axed’incidence Oy.
(0<β≪1).La géométrie estdonclamêmequeprécédemment,avec sinθ≃1.Lescharges
électroniques sontles seulesàdiffuser.Laformuledonnée àlaquestionI.2.3s’adapte en
σ(~q)=b2
ZZZ V
ρ(~r)exp(i~q·~r)d3r
2
,
avec ρ(~r)=ρ1danslasolutionetρ(~r)=ρ2àl’intérieurdesparticules.OnsupposequeV
estsuffisammentgrand pourqueZZZ V
exp(i~q·~r)d3rsoitnégligeable,etquelasuspensionest
suffisammentdiluée pourquelesparticulesdiffusentindépendammentlesunesdesautres.
I.3.1.Ons’intéresseàla grandeurJ(~q)=σ(~q)/V,pour~q6=~ 0,quiestunemesuredel’inten-
sitédiffusée horsdeladirection d’incidence.Onsupposelesparticules sphériquesetidentiques,
etl’on noteg(~q)=ZZZ VP
exp(i~q·~r)d3rpouruneparticule centrée àl’origine.Considérantsuc-
cessivementl’intensitédiffusée paruneparticule centrée àl’origine,puisl’intensitédiffusée par
uneparticule centrée en un point~ R,montrerqueJ(~q)=(n/V)b2(∆ρ)2|g(~q)|2.
108
106
104
102
100
10−2
0,001 0,01 0,11,0
J(cm)−1
Données
Ajustementglobal
k~qk(nm)−1
Figure2.DiffusiondesrayonsXauxpetitsanglespardesnanoparticulesdesilice
[d’aprèsH.K.Kammleretal,2000 ].
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I.3.2.Établirl’expression deg(~q)pourdesparticules sphériquesderayonR.Ilseracommode
d’utiliserpource calculdescoordonnées sphériquesdontl’axedespôlesestladirection de~q.On
donnel’intégraleZx
0
tsintdt=sinx−xcosx.
I.3.3.MontrerquepourqR≪1, lerésultatobtenu estcompatibleausecond ordre enqR
avec laloiditedeGuinier,JG(~q)=(n/V)b2(∆ρ)2V2
Pexp[−1
5(qR)2].
I.3.4.Établirl’expression deJ(~q)pourqR≫1.Montrerqu’àun facteuroscillantprès,J(~q)
estproportionnelàlasurface totaleSdéveloppée parlesparticulesdanslevolumeV.
I.3.5.ToujoursdanslalimiteqR≫1,pourquoipeut-ons’attendreàce quelefacteur
oscillantsemoyennepourunesolution departiculesréelles,dontlestailles sontdifférentes?
Vérifierqu’onobtientalorslaloiditedePorod:JP(~q)∝1/q4.
I.3.6.Lafigure2représente,encoordonnéesdoublementlogarithmiques, lavariation deJ
enfonction deqpourunesolution denanoparticulesdesilice.Commelemontrel’encart,ces
particulesont tendance às’agrégerenamas.Expliquerlaformedelacourbe enidentifiantles
différentsrégimesdediffusion.ÀpartirdelaloideGuinier,évaluerl’ordredegrandeurdela
tailledesparticules.
II.Isothermed’adsorption
Cettetechnique consisteàfairevarier,àtempérature constanteT, lapression d’un gazpentre
unevaleur trèsfaible etsapression devapeursaturanteps.Desmoléculesdegazsontsusceptibles
des’adsorbersurlasurface d’un solide.Lafigure3montrelavariationavec lapression du volume
dediazoteadsorbésurun échantillon d’aluminosilicatenanoporeuxà 77 K.Lebutde cettepartie
estdemontrer,grâce àunemodélisationsimpledu phénomèned’adsorption,quel’analysede
cette courbepermetdemesurerlasurface du solide.
500
400
300
200
100
000,20,40,60,81
Volumeadsorbépar
unitédemasse(cm3·g−1)
p
ps
Figure3.Isothermed’adsorptiondudiazotesurunaluminosilicatenanoporeuxàT=77 K.
La pressionestnotée p,etla pressionde vapeursaturanteps.
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