2012 Physique MP 4 heures

Centrale Physique MP 2012 — Énoncé 1/6
2012
Physique
MP
4heuresCalculatricesautorisées
Lancé le20 juin2008 deVandenberg(Californie), lesatelliteocéanographiqueJason 2permet,entreautre,de
mesurerlahauteurdesocéans.
Dansunepremièrepartie, leproblème étudielatrajectoirede ce satelliteau-dessusdel’ionosphère,d’abord
enconsidérantlaTerre commesphérique,puisen prenantencomptesanon-sphéricité.La secondepartiedu
problèmeabordeladiffusion desondesradar surl’océan etlatroisièmepartie étudiel’influence del’ionosphère
surlapropagation detellesondes.
Les troisparties sontindépendantes.
Notations
Danstoutleproblème,+f(M,t),désignelavaleurmoyennedansletempsdelagrandeurf(M,t).
La pulsation ωseratoujoursréelle,positive,non nulle.
Àtoutegrandeur réellef(M,t)=A(M)cos !ωt−ϕ(M)",on pourraassocierlagrandeurcomplexe
f(M,t)=A(M)expi!ωt−ϕ(M)".
Le nombreimaginaireiest telquei2=−1.
La polarisation d’uneonde électromagnétiqueferaréférence au champélectrique.
Donnéesutiles
Massed’un proton mp=1,67 ×10−27 kg
Massed’un électron me=9,11 ×10−31 kg
Charge élémentairee=1,60 ×10−19 C
Permittivitédiélectriquedu videε0=8,85 ×10−12 F·m−1
Perméabilitémagnétiquedu videµ0=4π10−7H·m−1
Céléritédelalumièredanslevidec=3,00 ×108m·s−1
Constantedegravitation G=6,67 ×10−11 N·m2·kg−2
MassedelaTerreMT=5,97 ×1024 kg
Rayon delaTerreRT=6378 km
Vitesseangulairederotation delaTerresur
elle-mêmedansleréférentielgéocentrique
ωT=7,29 ×10−5rad ·s−1
Formulaire
−→
rot 1−→ rot(þ A)2=−−→ grad 1div(þ A)2−∆þ A
Gradientd’un champscalaireVencoordonnées sphériques(r,θ,ϕ)
−−→
grad V=∂V
∂rþur+1 r
∂V
∂θþuθ+1 rsinθ
∂V
∂ϕþuϕ
Les résultatsnumériques serontdonnés avecun nombredechiffres significatifscompatibleavec celuiutilisépour
les données del’énoncé.
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Centrale Physique MP 2012 — Énoncé 2/6
ILesatelliteJason 2
I.A–Étudedel’orbite
I.A.1) Rappelerl’expression delaforce degravitation þ Fqu’exerce laTerre(centreT,masseMT)surun
satellite(pointmatérielS,massem),enfonction delaconstantedegravitation G,desmassesMTetm,dela
distance r=TSetdu vecteurunitaireþuTS=−→ TS/T S.
x
y
þuTS
þuα
T
S
α
Figure1
I.A.2) Onseplacedansleréférentielgéocentrique(T,xg,yg,zg)noté(Rg),debasefixe(þexg,þeyg,þezg)
(figure2b).
Plan équatorial
Sud
Nord
zg
þ
Z
iyg
zg
xg
N
N′
ψ
(xgTyg):plan équatorial
T
S
yg
zg
xg
θ
ϕ
r=TS
(a) (b) (c)
Figure2
a)Définirleréférentielgéocentrique.Pourquoi ce référentieln’est-il pas rigoureusementgaliléen?Justifier.
Danstoutelasuite, leréférentielgéocentrique(Rg)estconsidéré commegaliléenet,saufmention contraire,
seulel’action delaTerre estprise encompte.
b) Dansce référentiel, quelles sontlesdeuxgrandeursmécaniquesdu satellitequise conservent (on justifiera
laréponse)?Quellescaractéristiquesdu mouvementpeut-on en déduire?
I.A.3) Onseproposed’établirl’expression delatrajectoiredu satelliteautourdelaTerreàpartirdel’inva-
riantdynamiquedeRunge-Lenz.On définitlevecteurdeRunge-Lenzpar þ R=þv∧þσT−GMTmþuTSoù þvest
lavitessedu satellitedans(Rg)etþσTlemomentcinétiquedu satellitedans(Rg),calculé enT.
a)Calculerdþ
R
dtdans(Rg).Conclure.
b) Dansquelplan setrouveþ R?Justifier.
c) On noteRlanormedeþ Retβl’angle entreþ Ret−→ TS.Montrerqueþ R·þuTS=σ2
T
mr −GMTmoù σTestla
normedu momentcinétiqueþσTdu satellite.En déduirel’expression delatrajectoiredu satellitesouslaforme
r(β)=p
1+ecos β;donnerlesexpressionsdepeteenfonction deσT,G,MT,metR.
Suivantlesvaleursdee,rappelerlesdifférentestrajectoirespossibles.
I.A.4) OnadmetquelatrajectoiredeJason 2estcirculaire(enréalité,e=9,5×10−5),de centreT,derayon
r0=7714 km,soitunealtitudeh=1336 km(justeau dessusdel’ionosphère).La massedu satelliteJason 2
estm=525 kg.
Établirenfonction deG,MT,metr0, lesexpressionsde:
−lanormedelavitesseorbitaledu satellitev0;
−lapériodederévolution T0;
−son énergiemécaniqueEm.
CalculernumériquementcesgrandeurspourlesatelliteJason 2.
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Centrale Physique MP 2012 — Énoncé 3/6
I.B–Écartàlatrajectoire circulaire
Onappelleinclinaison du satellitel’anglei=66◦entreleplan équatorial etleplan del’orbite(ici0◦<i<90◦:
on parled’orbiteprograde) (cf.figure2a).On noteþ
Zlevecteurunitaireorthogonal au plan del’orbite etorienté
àpartirdu sensdeparcoursdelatrajectoire(lesensdeparcoursestindiquésurles schémas).Onappellenœuds
NetN′lesdeuxintersectionsdelatrajectoire circulairedu satelliteavec leplan équatorial (figure2b).
Àcausedesirrégularitésdelarépartition delamasseterrestre(en particulierl’aplatissementauxpôles)etdes
forcesd’attraction delaLune etdu Soleil, en utilisantlescoordonnées sphériques(figure2c.), lepotentielde
gravitation Vs’écrit (àl’ordreleplusbas enlaperturbation):
V(r,θ)=−GMT
rA1−3RT r42J2 2!3cos2θ−1"B
où J2=1083 ×10−6estun nombresansdimension.
I.B.1) Déterminerlescomposantesgr,gθ,gϕdu champ degravitation danslabasesphérique(þur,þuθ,þuϕ)
(cf.figure2c).Donnerl’ordredegrandeurdelavaleurmaximaledu rapport--gθ/gr--dansle cas du satellite
Jason 2. Conclure.
La composantegrconfèreàlatrajectoirelespropriétésessentielles(mouvementplan,circulaire);on sepropose
d’étudierl’influence degθ.
I.B.2) Soitþ ΓTlemomentenTdelaforce degravitation,appliquée enS.Déterminersescoordonnéesdans
labasesphérique(þur,þuθ,þuϕ).
Cemomentpeutégalementêtreprojetédanslabasefixe(þexg,þeyg,þezg)de(Rg)(cf.figures2betc);on peut
montrer(ladémonstration n’estpas demandée au candidat)qu’enmoyennantsurunepériodeT0on obtient,
pourlemouvementcirculairedu satellite:
+Γx,=−σT
2π
T03RT r0423 2J2sinicos icos ψ
+Γy,=−σT
2π
T03RT r0423 2J2sinicos isinψ
+Γz,=0
I.B.3) ExprimerþσTenfonction desanormeσT,i,ψetdesvecteursunitairesþexg,þeygetþezg.
DéterminerensuitedþσT
dtdans(Rg)(àce stade,on considèreraqueσT,ietψdépendentdu temps).
EnadmettantquedþσT
dt=+þ
ΓT,etquelanormeσTresteàpeu prèsconstante,déterminerdenouvelles
expressionsde+Γx,,+Γy,et+Γz,.
I.B.4) Montrerqueinedépend pas du tempsetque
dψ
dt=−3 2J2óGMT r3
03RT
r042
cos i
Danslasuite,on noteΩ=dψ
dt.Quereprésentelevecteurþ
Ωcorrespondantàcettevariation ?Comparerles
vecteursþ ΩetþωT(vecteur rotation delaTerresurelle-même)en direction etsens.Ens’aidantdelafigure2b
etdu théorèmedu momentcinétique enT,montrerqu’on pouvaitprévoirlesensdevariation deψ.
I.B.5) On définitalorsunenouvellepériode, lapériodenodale,quiestletempsentredeuxpassagesàl’équa-
teurdanslemêmesens.PourJason 2, ellevautTn=112 min26 s,elle est trèsvoisinedeT0.
Pourles satellitesocéanographiques, il estintéressantd’avoirun échantillonnage homogènedelasurfacedu
globependantunepériode,appelée périodederépétitivitéTR: il fautpourcelaquelesatelliterepasseàla
verticaledesmêmespointsdu sol touslesTR=NTnoù Nestlenombre entierderévolutionsdu satellite
durantunepériodederépétitivité.
On noteklenombredefoisoù un mêmepointdu sol croiseleplan del’orbitedu satellitedansun sensdonné
pendantunepériodederépétitivité.
Déterminerl’expression dekenfonction deTn,ωT,ΩetN.CalculerlavaleurdekpourN=127.
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Centrale Physique MP 2012 — Énoncé 4/6
II Diffusion desondesradar par l’océan
Un radar altimétrique embarqué émetuneonde électromagnétique(onderadiodefréquence f=13,6GHz).
L’onde estémise en direction delamer,celle-ciabsorbel’onde etlaréémet:on parledediffusion.Cetteonde
rétrodiffusée,appelée écho, estcaptée enretourpar leradar.
La mesuredeladurée du trajetaller-retourpermetdedéterminerladistance {surfaceocéan –satellite};par
différence avec laposition du satellitepar rapportàun ellipsoïdederéférence,on en déduitlahauteurdela
mer.
Onsupposeraque,durantce trajetaller-retour, lesatellite estimmobileau dessusdelamer.
Danstoute cettepartie, l’atmosphèreseraassimilée au vide(indice optique égal à1).Certainesperturbations
apportéespar lefaitquel’ionosphère estun plasmaserontabordéesdanslapartieIII.
II.A–Diffusionsurune merplate
Ons’intéresseau processusderétrodiffusion del’onderéémisepar unesurfaceSdel’océan,éclairée par le
radar.L’ondearrivantsurl’océan estconsidérée commeplane(bienqu’étantsphérique).Ellesepropage dans
ladirection þu=sinθþey−cos θþez(figure3) (θestsansrapportavec celuidelapartieI).La direction de
propagation n’estdoncpas forcémentcelledelaverticale.
Oy
z
P
þu
þu′
θ
θ′
−−→
OP=xþex+yþey
Figure3
Ons’intéresseàlarétrodiffusion dansladirection θ′,cetterétrodiffusion estàrapprocherdeladiffraction à
l’infini. Onconsidèrequelesanglesθetθ′sontfaibles.
L’amplitudedel’ondediffractée (ou rétrodiffusée)en un pointMàl’infinipar uneouverturedesurfaceSest
donnée par larelation suivante:
Ad(M)=KÚÚS
t(P)exp3i2π
λ(þu′−þu)·−−→
OP4dS
où Kestune constante complexe,t(P)un coefficientrendantcomptedel’efficacitédeladiffusion etλla
longueurd’ondedel’onderadar.
Ons’intéresseàuneportion demercarrée,de côtéa=7kmselon lesaxesxety,centrée enO, lissedetelle
sortequet(P)=t0avec t0∈R+.Onconsidèreraquelesvecteursdirecteursþuetþu′desrayonsincidentset
rétrodiffusés sont toujoursdansleplan (yOz)(cf.figure3).
II.A.1) Déterminerl’éclairementdiffracté(ou rétrodiffusé)EdenM,enfonction deθ,θ′,λ,aetdel’éclairement
maximal E0.
II.A.2) Pourquelangleθ′l’éclairementest-il maximal ?Celapeut-il correspondreàl’échoperçu par lesatel-
lite?
II.B–Diffusionsurune merhouleuse
Onenvisage lamêmeportion demer,maiscettefois-cihouleuse,detellesorteque
t(P)=t0+t1cos 32πy
d4
avec a≫deta≫λ.
II.B.1) L’hypothèsea≫λétait-ellevalableàlaquestion précédente?
II.B.2) Montrerquel’ondediffusée estconstituée detroisondes sepropageantdanstroisdirectionsquel’on
détermineraenfonction deλ,detθ.
II.B.3) Laquellede cestroisondesestsusceptiblede correspondreàl’échoreçu par lesatellite?Quelle
condition doiventvérifierd,λetθpourpouvoireffectivementrécupérercetécho?
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Centrale Physique MP 2012 — Énoncé 5/6
III Propagation d’ondesélectromagnétiques
III.A–Ondesélectromagnétiquesdans le vide
III.A.1) RappelerleséquationsdeMaxwell en présence de chargesetde courants.
Quelles sontlestraductionsglobales,ditesaussiformesintégrales,de cesloislocales?
III.A.2) Établirl’équation depropagation du champþ E(M,t)danslevide(enl’absence de chargesetde
courants).
III.A.3) Onconsidèreuneondedontle champélectrique en notation complexes’écrit:
þ
E(M,t)=E0expi(ωt−kx)þey
où E0∈R∗
+etk∈R∗ +.
Caractérisercetteonde(donner5qualificatifs).
III.A.4) Àquelle condition surketωcetteonde est-elleunesolution del’équation depropagation ?Comment
appelle-t-on cetterelation ?Le vide est-il un milieu dispersif(àjustifier)?
III.A.5) Déterminerl’expression réelledu champmagnétiqueþ B(M,t).
III.A.6) Déterminerl’expression du vecteurdePoyntingþ Π(M,t).Quelle estlasignification physiquedu flux
deþ ΠàtraversunesurfaceSouverte,arbitrairementorientée ?
III.B–Ondesélectromagnétiquesdans unmilieuconducteur
III.B.1) Enabsence dedensitévolumiquede charges,maisen présence dedensitévolumiquede courants
þ(M,t),établirl’équation depropagation du champþ E(M,t)enfonction deþ(M,t).
III.B.2) Onconsidèreuneondedu typeþ E(M,t)=E0expi(ωt−kx)þeyoù E0∈R∗
+etk∈C.On pose,en
notation complexe, larelation d’Ohm:þ(M,t)=γþ
E(M,t)où γestlaconductivité électrique complexedu
milieu,on supposequ’ellenedépend nidel’espacenidu temps.
Réécrirel’équation depropagation du champþ E(M,t)enfonction deγ.
Àquelle condition surketωcetteonde est-elleunesolution del’équation depropagation ?On ne cherchera
pas àrésoudre cette équation.
III.B.3) On posek=k1+ik2,avec k1etk2réels.
a)Écrire en notation réellel’expression du champélectriqueþ E(M,t).
b) Par analogieavec levide,dire ce quereprésentek1, lapartieréelledek.Donneruneinterprétation du signe
dek1.Quelphénomènephysiquetraduitk2, lapartieimaginairedek?
Quediresi leproduitk1k2estpositif?Quediresi leproduitk1k2estnégatif?
c) Définirpar unephraselavitessedephasevϕetdonnerl’expression delavitessedephasede cetteonde en
fonction desgrandeursprécédemmentdéfinies.
III.B.4) Démontrerunerelation simple entrelesvecteursþ E(M,t),þ
k(vecteurd’onde complexe)etþ B(M,t).
Déterminerlesexpressionsdelareprésentation complexedu champmagnétiqueþ B(M,t)etdu champréel
þ
B(M,t).Quediredeschampsþ E(M,t)etþ B(M,t)sik2estnon nul?
III.B.5) Déterminerl’expression du vecteurdePoyntingþ Π(M,t)puisl’expression desavaleurmoyenne
+þ
Π(M,t),.Commenter.
III.B.6) Uneondeincidente,þ Ei(M,t)=E0iexpi(ωt−kAx)þeyoù E0i∈R∗
+etkA=kA1+ikA2avec kA1et
kA2deuxréels,sepropageantdanslemilieu(A)arrive enincidence normalesuruneinterfacesituée enx=0
etséparantlemilieu(A)du milieu(B).
Cetteondeincidentedonnenaissance àdeuxondes, l’uneréfléchie,þ Er(M,t)=E0rexpi(ωt+kAx)þey,se
propageantdanslemilieu(A)etl’autretransmise,þ Et(M,t)=E0texpi(ωt−kBx)þeyoù kB=kB1+ikB2avec
kB1etkB2deuxréels,sepropageantdanslemilieu(B).
On définitlescoefficientsderéflexion etdetransmission énergétiquesau niveau del’interfacesituée enx=0
par
R=e.
.
.
þ
Πr(O,t).
.
.f
e.
.
.
þ
Πi(O,t).
.
.fetT=e.
.
.
þ
Πt(O,t).
.
.f
e.
.
.
þ
Πi(O,t).
.
.f
où þ Πi(O,t),þ Πr(O,t)etþ Πt(O,t)représententrespectivementlesvecteursdePoynting, au voisinage d’un pointO
del’interface,desondesincidente,réfléchie et transmise(ëþ Aëdésignelemoduledu vecteurþ A).
a)Justifierl’écrituredu champþ Er(M,t).
b) DonnerlesexpressionsdeRetdeTenfonction desdonnéesprécédentes.
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