République Algérienne Démocratique et Populaire

République Algérienne Démocratique et Populaire
Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique
Université des Sciences et de la Technologie d’Oran
Mohamed BOUDIAF
Faculté de Génie Electrique
Département d’Electrotechnique
Mémoire en vue de l’obtention de diplôme de Magister
Spécialité : Electrotechnique
Option : Compatibilité électromagnétique
Présenté par :
Melle LAKHDAR ASMAA
Sujet du Mémoire
Calcul du champ électromagnétique
rayonné par un coup de foudre à l’aide
de la méthode TLM 2D
Soutenu le 03/07/2011 devant le jury composé de :
Mr.
Z.AZZOUZ
Professeur, U.S.T.O
PRÉSIDENT
Mr.
A.MIMOUNI
Maître de Conférences, TIARET
RAPPORTEUR
Mr.
B.GHEMRI
Maître assistant, U.S.T.O
IINVITÉ
Mr.
T.BOUTIBA
Professeur, U.S.T.O
EXAMINATEUR
Maître de Conférences, U.S.T.O
EXAMINATEUR
Mr. L. KOTNI
REMERCIEMENTS J’exprime mon profond respect et ma gratitude à Mr Zin eddine Azzouz,
professeur, responsable de l’école doctorale et chef de l’option « compatibilité
électromagnétique CEM » à l’université des sciences et de la technologie
« USTO », Oran. Je tiens à le remercier de m’avoir donné la possibilité de
continuer mes études en post- graduation, ainsi, pour tous les efforts qu’il fournit
pour permettre aux étudiants d’étudier dans les meilleures conditions que
possible.
J'adresse mes sincères remerciements à mon encadreur Mr. MIMOUNI Abdenbi,
maitre de conférence à l’université Ibn Khaldoun- Tiaret, qui m’a aidé et guidé
dans mon travail, pour ses conseils très utiles ainsi que sa très grande
disponibilité et gentillesse.
Je remercie mon Co-encadreur Mr Ghemri, maitre assistant à l’université des
sciences et de la technologie « USTO », Oran, pour son amabilité et son savoir
et surtout pour ses bonnes qualités.
Mes sincères remerciements s’adressent aux membres du jury qui se sont
intéressés à mon travail et qui m’ont fait l’honneur d’être présent en ce jour
important pour moi : Mr kotni et Mr Boutiba. Je leur suis extrêmement
reconnaissante et je leur témoigne toute mon estime.
Je remercie aussi Mr. Meslem de l’université de Tiaret et Amina pour leur
sympathie.
Je remercie de façon générale tous mes professeurs de l’université de des
sciences et de la technologie « USTO », Oran.
Un grand merci pour mes parents, mes frères, ainsi que ma sœur et ses deux
adorables enfants, qui ont toujours su m'entourer de toute leur affection, me
protéger et me soutenir. Sans eux, je n'en serais pas là aujourd’hui.
i Résumé En raison des perturbations induites par le phénomène de foudre dans les réseaux
d’énergie électriques et dans les réseaux de télécommunication qui sont de nos jours l’une des
causes principales des problèmes de qualité d’énergie fournie aux consommateurs et de
compatibilité électromagnétique, la protection contre ces perturbations est devenue d’une
importance primordiale.
Par conséquent, l’évaluation précise des perturbations induites par la foudre nécessite
une bonne connaissance des caractérisations du champ électromagnétique rayonné.
L’objectif de ce travail de mémoire
est de mettre en œuvre la
méthode de
modélisation numérique TLM (Transmission Line Matrix) en deux dimensions pour permettre
le calcul du champ électromagnétique proche engendré par un coup de foudre tombant
directement sur le sol, les résultats de simulation seront comparés avec ceux obtenues grâce à
la méthode FDTD.
La méthode TLM est exprimée en termes de concepts de circuit électrique qui sont
bien connus pour l'ingénieur ce qui la rendent très avantageuse.
Cette méthode est basée sur le modèle de Huygens de la propagation des ondes
électromagnétiques,
Son
principe
consiste
à
remplacer
le
problème
du
champ
électromagnétique par un réseau électrique équivalent et faire une analogie entre le champ
électrique et magnétique avec les paramètres du réseau (tension et courant). Puis résoudre les
équations du réseau électrique équivalent par les méthodes itératives. ii SOMMAIRE Introduction générale
Chapitre I
Phénoménologie de la foudre entre les observations expérimentales
et les modèles mathématiques
I.1 Introduction
I.2 Phénomène de la foudre
I.2.1 La foudre
I.2.2 Formation de la foudre
I.2.3 Différents types de décharges
I.2.4 Différentes phases d’une décharge négative nuage-sol
I.3 Courant de l’arc en retour
I.3.1Caractérisation du courant de l’arc en retour
I.3.1.1 Les techniques utilisées de nos jours pour l’obtention des données expérimentales des
courants de foudre sont :
1•déclenchement artificiel de la foudre
Données obtenues en utilisant le déclenchement artificiel de la foudre
2• L’utilisation des tours instrumentées
• Données obtenues en utilisant de petites tours (moins de 100 m)
• Données obtenues en utilisant des tours élevées (plus de 100 m)
I.3.1.2 Estimation indirecte des courants à partir des systèmes de détection de la foudre
I.3.2 Vitesse de l'arc en retour
I.3.3 Modélisation du courant de l’arc en retour
I.3.3.1 Classification des modèles de l’arc en retour
1. Les modèles physiques
2. Modèles électromagnétiques :
3. Modèles RLC ou « modèles des lignes de transmission » :
4. Modèles d’ingénieur :
4.1 Modèle de Bruce et Golde- BG
4.2 Modèle de la ligne de transmission -TL
4.3 Modèle de la ligne de transmission modifié-MTL
1. Modèle de la ligne de transmission modifié avec décroissance exponentielle-MTLE
2. Modèle de la ligne de transmission modifié avec décroissance linéaire-MTLL
4.4 Modèle de la source de courant mobile -TCS
4.5 Modèle de Diendorfer et Uman -DU
I.3.3.2 Généralisation des modèles d’ingénieur
I.3.4 Représentation analytique du courant d’arc en retour à la base du canal
I.3.5 présentation des distributions spatiales et temporelles du courant d’arc en retour subséquent
pour cinq modèles d’Ingénieur
I.4 Champ électromagnétique rayonné par la foudre
I.4.1Caractérisation du champ électromagnétique à différentes distances du point d’impact
I.4.1.1 Distances supérieures à 1km
I.4.1.2 Distances inférieures à 1 Km
I .4.2 Formulation du champ électromagnétique rayonné par la foudre
I.4.2.1 Champ électromagnétique au dessus du sol
Equations générales
Cas d’un sol parfaitement conducteur
Approximation de Cooray-Rubinstein
I.4.2.2 Champ électromagnétique en dessous du sol
Equations générales
1. Les équations du champ développées par Baños
2. Les équations du champ développées par Cooray
3. Algorithme de Delfino et Al
I.4.2.3 Calcul du champ électromagnétique par la méthode FDTD
I.4.2.4 Validation expérimentale des modèles d’ingénieur
1. Approche de l’arc en retour typique
2. L’approche de l’arc en retour spécifique
01
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37
iv
SOMMAIRE I.5 Conclusion
Chapitre II
Concepts de base de la méthode TLM
II.1 Introduction
II.2 L’idée générale de la méthode
II.3 Développement de la méthode
II.3.1 Représentation du milieu de modélisation
II.3.1.1 Cas d’un milieu homogène
II.3.1.2 Cas d’un milieu non homogène
II.3.1.3 Lignes de transmission comme milieu de modélisation
II.3.1.3.1 Modèle du circuit équivalent d’une ligne de transmission
II.3.1.3.2 Equations des télégraphistes de la ligne de transmission (TL)
II.3.2 La théorie des ondes mobiles
II.3.2.1 Conditions aux limites
II.3.2.2 Coefficient de réflexion des ondes
II.3.2.2.1 Coefficient de réflexion à l’entrée de la ligne
II.3.2.2.2 Coefficient de réflexion à l’extrémité de la ligne
II.3.3 Discrétisation temporelle d’un modèle de composant mis en bloc
II.3.3.1 Modèle à un port « une ligne mise en bloc »
• modèle de la capacité
• modèle d’une inductance
II.3.3.2 Modèle a deux ports « une ligne de lien »
II.3.4 Equations de Maxwell
II.3.4.1 Développement des équations de Maxwell avec les coordonnées cartésiennes
II.3.4.2 Développement des équations de Maxwell avec les coordonnées cylindriques
II.3.5 Modèle TLM 1D
II.3.5.1 Equivalence entre les paramètres du réseau et ceux du champ électromagnétique d’une
onde plane suivant l’axe X
II.3.5.2 Comment actionner l'algorithme de TLM
I.3.5.3 Conditions aux limites
II.3.6 Modèle TLM 2D
II.3.6.1 L’analogie
II.3.6.1.1 Structure du Nœud
II.3.6.1.1.1 Nœud série
II.3.6.1.1.2 Nœud shunt ou parallèle
II.3.6.1.1.3 L’analogie nœud shunt avec les composantes du champ (mode TM)
•Résoudre les équations du circuit électrique
• Développer les équations de Maxwell dans les coordonnées cartésiennes
II.3.6.1.1.4 L’analogie nœud série avec les composantes du champ (mode TE)
• Résoudre les équations du circuit électrique
• Développer les équations de Maxwell dans les coordonnées cartésiennes
II.3.6.2 Matrice de dispersion la base du modèle TLM
II.3.6.2.1 Rappel sur le principe de Huygens
II.3.6.2.2 Discrétisation du principe de Huygens
II.3.6.3 Application de la théorie du réseau sur les deux structures du Nœud
• Nœud série
¾ Processus de dispersion
¾ Processus de connexion
• Nœud parallèle
¾ Matrice de dispersion
¾ Matrice de connexion
II.3.6.4 Impulsions d’excitations
II.3.6.4.1 Nœud série : mode TE (transverse électrique)
II.3.6.4.2 Nœud shunt : mode TM (transverse magnétique)
II.3.6.5 Modèle de TLM dans l’espace libre et dans un milieu magnétique
II.3.6.5.1 Nœud série
37
39
39
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41
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v
SOMMAIRE II.3.6.5.1.1 Cas de l’espace libre
II.3.6.5.1.2 Cas du milieu magnétique
II.3.6.5.2 Nœud shunt
II.3.6.5.2.1 Cas de l’espace libre
II.3.7 Conditions aux limites
II.3.7.1 Le PEC
II.3.7.2 plan symétrique
II.3.7.3 ABC en TLM
II.4 Conclusion
Chapitre III
Calcul du champ électromagnétique rayonné par la foudre par la
méthode TLM 2D
III.1 Introduction
III.2 Algorithme de la méthode TLM
III.2.1 Géométrie du problème
III.2.2 Discrétisation du domaine
Erreur de vitesse
Erreur de résolution
Paramètres du milieu de modélisation
III.2.3 Mode de propagation de la foudre
III.2.4 Analogie entre les composantes du champ électromagnétique et ceux du réseau électrique
équivalent
• Résoudre les équations du circuit électrique
• Développement des équations de Maxwell
III.2.5 Matrice de dispersion et de connexion
III.2.5.1 Matrice de dispersion
III.2.5.2 Processus de connexion
III.2.6 Les impulsions d’excitations
III.2.7 Conditions aux limites
1. PEC
2. Limite avec une impédance Z
III.3 Calcul numérique
III.3.1 Cas d’un courant gaussien
Résultats de simulation
III.3.2 Cas du courant de foudre typique
III.3.2.1 Résultats de simulation
III.3.2.2 Comparaison des résultats avec ceux obtenus par la méthode FDTD
III.4 Validation du code TLM
III.5 Conclusion
Conclusion générale
Références Bibliographiques
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vi
Introduction Générale Introduction Générale La compatibilité électromagnétique est une discipline scientifique et technique qui
trouve des solutions aux problèmes de cohabitation entre les systèmes industriels et leur
environnement, afin d’assurer à un système donné un degré d’immunité vis-à-vis de son
environnement de façon à ce qu’il puisse fonctionner de manière satisfaisante sans que ses
performances ne soient diminuées. Elle se distingue comme étant un art multidisciplinaire
allant de l’identification et la caractérisation des sources de perturbations, à la conception de
moyens de protection et à l’établissement de normes et de procédures d’essais industriels.
Le rayonnement électromagnétique peut être généré soit par la foudre ou l’impulsion
magnétique d’origine nucléaire (IEMN) ou encore les décharges électrostatiques…
Pour la résolution des problèmes électromagnétique, il existe des méthodes
analytiques (solutions exactes) qui fournissent des solutions de manière rapide et précise,
Cependant, elles ne sont applicables que pour un choix limité des cas simples. Pour remédier
à ça et ainsi arriver à formuler des solutions pour des situations pratiques pour une large
variété de problèmes, les méthodes numériques (solutions approximatives) se sont apparues.
Et grâce au développement des performances des ordinateurs, cela a permit d’étudier et
d’observer directement le comportement du champ électromagnétique. On peut citer comme
méthodes numériques [1]
•
méthode de différence finie
•
méthode du résiduels pesés
•
méthode des moments
•
méthode des éléments finis
•
méthode de matrice de lignes de transmission (transmission-line modeling or matrix)
•
méthode de Monte Carlo
Ces méthodes sont classées soit dans le domaine temporel soit dans le domaine
fréquentiel.
Les méthodes dans le domaine temporel donnent la réponse impulsionnelle (elles
contiennent les informations sur toutes les fréquences) et les méthodes dans le domaine
fréquentiel donnent la fonction de transfert à une fréquence spécifique.
Cependant, n’oublions pas que ces méthodes sont des méthodes approchées, et
lorsqu’on fait des approximations on introduit forcément des imprécisions, et des erreurs, ce
qui limite leur efficacité.
Parmi ces méthodes, nous avons choisis la méthode TLM (Transmission Line Matrix)
qui s'est avérée être une méthode très puissante pour le calcul du champ électromagnétique.
1 Introduction Générale La théorie de la technique TLM a été développée en 1971 par P.B. Johns et al. [2]
pour résoudre les problèmes de propagation des ondes. C’est une technique numérique
originale, utilisée pour modéliser la propagation des ondes électromagnétique, les ondes
acoustiques, ainsi une série de différents phénomènes qui suivent le principe de Huygens pour
la propagation des ondes, elle est classée comme une méthode différentielle dans le domaine
temporel bien qu’une formulation dans le domaine fréquentiel a été récemment proposée [1].
La technique TLM utilise un maillage spatial (bidimensionnel 2D ou tridimensionnel
3D) constitué de nœuds résultant de l’interconnexion de lignes de transmission. Il est possible
de montrer que la propagation d’impulsions de tension et de courant sur ces lignes est
analogue à la propagation du champ électromagnétique, lui-même régi par les équations de
Maxwell. C’est-à-dire qu’elle souligne l'analogie des ondes et des concepts du réseau
électrique qui sont bien connus pour l'ingénieur.
Cette méthode (TLM) présente les intérêts majeurs suivants :
• La méthode est exprimée en termes de concepts de circuit électrique qui sont
bien connus pour l'ingénieur,
• la possibilité d’analyser des structures complexes ayant des géométries
arbitraires. [68] et d’obtenir leurs caractéristiques fréquentielles sur un spectre
très large à l’aide d’une seule simulation dans le domaine temporel suivi d’une
transformée de Fourier [1],
• En l'absence de composants actifs les problèmes de stabilité ne surgissent pas,
• La résolution accrue peut être appliquée seulement dans les secteurs là où on
l'exige,
• Un simple calcul fournira l'information sur une large gamme de fréquences,
Il y a des points qui rendent la TLM moins approprié pour certains cas, comme par
exemple les problèmes de représentation des dispositifs qui sont plus petits qu’un nœud [67].
Cependant les travaux de recherches actuels ont pour but d’améliorer ces points négatifs.
L’objectif de ce travail de mémoire est de calculer le champ électromagnétique proche
engendré par un coup de foudre tombant directement sur le sol, ce calcul sera basé sur le
développement d’un programme élaboré en Fortran, utilisant la méthode TLM 2D et par
conséquent, ce mémoire est organisé de la manière suivante :
– Le chapitre I décrit brièvement la phénoménologie de la foudre en représentant les
observations expérimentales et les modèles généralement utilisés dans la littérature pour
simuler le courant de foudre et le champ électromagnétique associé.
2 Introduction Générale – Le chapitre II est consacré entièrement à la méthode TLM, avec un petit rappel sur les
équations de Maxwell et le principe de propagation des ondes électromagnétiques, afin de
permettre une bonne compréhension de tous les concepts de base de cette méthode et les
points cruciaux et nécessaires pour actionner l’algorithme TLM en deux dimensions.
– Le chapitre III présente l’application de la méthode TLM dans le calcul du champ
électromagnétique généré par un coup de
foudre, la première partie de ce chapitre est
consacrée à l’algorithme de la méthode TLM 2D avec un développement de ses principaux
points, en prenant comme situation géométrique un maillage carré dans le plan cylindrique
(r,z), utilisant la structure du nœud série, puis faire l’analogie entre les paramètres du circuit
électrique et le champ électromagnétique régie des équations de Maxwell pour ainsi tirer la
valeur du champ électrique et magnétique du rayonnement de la foudre. La deuxième partie
contient les résultats obtenus par le code TLM 2D que nous avons développé. ces résultats
seront comparés avec ceux obtenues grâce à la méthode FDTD [59].
– Et nous terminerons par une conclusion générale. Où nous allons récapituler tout ce qui a été
présenté dans les chapitres pour mieux comprendre ce travail.
3 Chapitre I Phénoménologie de la foudre entre les observations expérimentales et les modèles mathématiques Chapitrre I
Ph
hénoménoloogie de la fooudre entree les obserrvations exp
périmentales et les
moodèles math
hématiquess I.1 Intrroduction
L foudre est
La
e un phénoomène naturrel fascinan
nt mais égaleement inquiiétant et dan
ngereux!
Dans cee chapitre nous
n
allons décrire d’uune manièrre brève la phénoménoologie de laa foudre
commennçant par dééfinir la fouudre et citer les principaaux facteurss responsabbles de sa formation,
ensuite présenter les
l observattions expérrimentales et
e les modèèles utiliséss dans la liittérature
muler le couurant de fouudre et le champ électro
omagnétiquee associé.
pour sim
I.2 Phén
nomène dee la foudre
I.2.1 Laa foudre
E est dééfinie par Uman
Elle
U
[3] comme
c
unee décharge électrique d'une long
gueur de
plusieurrs kilomètrees associée à une impuulsion de co
ourant transsitoire de trrès forte am
mplitude.
La sourrce la plus commune
c
dee la foudre est la séparration des chharges danss les nuagess d'orage
appelés les cumuloo-nimbus.
I.2.2 Foormation de
d la foudrre
1. La foudre se forme
f
lors de l’orage, ce dernier commencee par la forrmation d’u
un ou de
plusieuurs nuages fortement électrisés, la formatiion du nuaage orageuxx de type cumulonimbuus est un phénomène
p
thermodynnamique trèès complexxe qui dépeend de la chaleur,
l’humiidité et les turbulences
t
s électromaggnétiques. La
L distributiion des chaarges dans un
u nuage
d’oragge est présenntée dans laa figure I.1.
• La parrtie supérieuure chargée positivemeent constituéée de glace.
• La parrtie inférieuure chargée négativeme
n
nt constituéée de goutteelettes d'eauu.
• Un îloot de chargges positivess enserré dans
d
la massse de chargges négativves. Cette trroisième
concenntration de charges peut être à l’oorigine du déclenchem
ment d’une décharge de foudre
[4].
2. L’exxistence duu champ éleectrique quii est d'envirron 100 v/m
m en direction de la Terre
T
par
beauu temps com
mmence parr s'inverser, puis croît dans
d
de fortees proportioons.
3. Lorssque le cham
mp électriqque atteint 10 à 20 kV/m
m et a l'appproche d'un nuage orag
geux, il y
a am
morçage, unne décharge électrique se
s produit.
Figu
ure I.1 Séparation dess charges dans
d
un nuaage orageuxx [5]
4
Chapitrre I
Ph
hénoménoloogie de la fooudre entree les obserrvations exp
périmentales et les
moodèles math
hématiquess I.2.3 Diifférents typ
pes de déch
harges
L déchargges de fouddre nuage-sool ont été su
Les
ubdivisées en
e quatre caatégories paar Berger
en 19788 selon la direction
d
duu traceur (ppré-décharge faiblemennt lumineusse) qui déclenche la
déchargge (ascendannt ou descenndant) et duu signe de la charge poortée par le traceur (possitive ou
négativee). La figuree I.2 montree les catégoories de la décharge
d
nuuage-sol.
La figurre I.2 Classsification dees coups dee foudre sellon Berger et al. [6] Les déccharges nuuage-sol à gauche dee la figure I.2 sont déclenchées
d
s par des traceurs
descenddants charggés négativeement où chargés po
ositivement (décharge dite positiive). La
premièrre catégoriee se produiit le plus souvent
s
dan
ns les régions tempérrées, et la seconde
catégoriie regroupe moins de 10% des déccharges nuage-sol.
Les déccharges à drroite de la figure I.2 sont
s
relativeement raress et apparaiissent générralement
aux som
mmets des montagnes
m
o des structtures longues. Elles sonnt déclenchhées par des traceurs
ou
ascendaants,
I.2.4 Diifférentes phases
p
d’un
ne déchargee négative nuage-sol
n
U décharrge négativee (nuage-soll) typique apporte
Une
a
une quantité dee charge nég
gative de
quelquees dizaines de
d Coulombb à la terre. La décharg
ge totale estt appelée écclair et posssède une
durée de
d l'ordre de
d 0.5 seconnde. Chaquue éclair esst constitué de plusieuurs composaantes de
déchargge dont typiqquement troois ou quatrre impulsion
ns de courannt de forte aamplitude dites
d
arcs
en retouur. Chaque arc en retouur a une duurée d’envirron 1 ms, laa séparationn entre deux
x arcs en
retour suuccessifs éttant typiqueement plusieeurs dizainees de milliseecondes.
O peut distinguer plussieurs phasees dans le processus d'uun éclair néégatif :
On
5
Chapitre I
Phénoménologie de la foudre entre les observations expérimentales et les
modèles mathématiques 1. La décharge préliminaire (preliminary breakdown) intervient à l'intérieur du nuage,
très probablement entre les régions Négatives et Positives. « temps 0ms » [6].
2. Cette décharge déclenche le développement d'un canal chargé négativement dirigé
vers le sol appelé traceur par pas (stepped leader). « temps 20ms » [6].
3. La progression de ce canal s'effectue par une série de bonds (ou pas) lumineux
successifs, chaque bond ayant une longueur de quelques dizaine de mètres et une
durée d'environ 1 microseconde; deux bonds successifs sont séparés par une pause de
l'ordre de 500 microsecondes. Le traceur apporte une quantité de charges négatives de
l'ordre de 10 Coulomb vers le sol avec une vitesse moyenne de 2.105 m/s. A chaque
pas du traceur correspond une impulsion de courant d'amplitude supérieure à 1 kA.
Ces dernières sont associées à des impulsions de champs électriques et magnétiques
d'une durée d'environ 1 microseconde et des temps de montée inférieurs à 0.1
microseconde [3].
4. A l'approche du sol le traceur, dont le potentiel par rapport à la terre est environ -10
MV, provoque une intensification du champ électrique et initie une ou plusieurs
décharges ascendantes (upward connecting leader): cette phase est appelée le
processus d'attachement (attachment process) où le processus d’interception
(interception process). « temps 21ms » [6].
6
Chapitre I
Phénoménologie de la foudre entre les observations expérimentales et les
modèles mathématiques 5. La jonction entre une des décharges ascendantes et le traceur par pas s'effectue à
quelques dizaines de mètres au-dessus du sol. Le canal du traceur est alors déchargé
lorsqu'une onde de potentiel atteint le sol, le premier arc en retour (first return stroke),
se propage vers le nuage et neutralise le canal chargé par le traceur avec une vitesse
décroissante en fonction de la hauteur de l'ordre de 1/3 de la vitesse de la lumière.
« temps 21ms » [6].
6. Le premier arc en retour produit un courant au niveau du sol d'une valeur de pic
typique de 30 kA et d'un temps de montée de l'ordre de quelques microsecondes.
Durant cette phase, la température du canal s'élève rapidement pour atteindre des
valeurs jusqu'à 30000 °K qui génère un canal de haute pression provoquant une onde
de choc appelée tonnerre [3].
7
Chapitre I
Phénoménologie de la foudre entre les observations expérimentales et les
modèles mathématiques 7. A 21.3 ms « low continuing current ». Une activité électrique à 50ms, désignée par
« internal processes » appelé les processus J et K [3] [6] se manifeste; il existe
cependant un doute quant à l'influence de cette activité et le déclenchement du traceur
obscur [4]
8. Après la phase de l'arc en retour, l'éclair peut disparaître. Néanmoins, si une quantité
résiduelle de charges est encore présente au sommet du canal, il se développe dans le
canal précédemment tracé un traceur obscur (dart leader) à une vitesse de l'ordre de
3.106 m/s apportant une charge d'environ 1 Coulomb associée à un courant de 1 kA.
9. Le traceur obscur déclenche enfin l'arc en retour subséquent (subsequent return
stroke). « temps 80,1ms ».
Les courants des arcs en retour subséquents mesurés à la base du canal ont généralement un
temps de montée plus rapide que le courant du premier arc en retour. De nouvelles séquences
traceur-arc peuvent ensuite se produire, donnant parfois jusqu'à 15 arcs en retour.
8
Chapitre I
Phénoménologie de la foudre entre les observations expérimentales et les
modèles mathématiques Le dernier arc en retour est souvent à l'origine d'un fort courant de l'ordre de 100 A
(continuing current) qui draine la charge résiduelle de la cellule orageuse. [4].
Figure I.3 : Séquence traceur descendant – arc en retour dans un éclair [3]
Figure I.4 : Photographie (technique strie) d'un éclair comportant 12 arcs en retour
(séquence temporelle : de gauche à droite). Le premier arc en retour est à gauche et
comporte des branches [3]
9
Chapitre I
Phénoménologie de la foudre entre les observations expérimentales et les
modèles mathématiques I.3 Courant de l’arc en retour I.3.1Caractérisation du courant de l’arc en retour La connaissance du point d’impact de la foudre est nécessaire pour mesurer
directement le courant de l’arc en retour à la base du canal.
I.3.1.1 Techniques d’obtention des données expérimentales des courants de foudre
1. Déclenchement artificiel de la foudre.
La technique du déclenchement artificiel de la foudre (figure I.5 (a)) constitue un outil
très fiable pour bien comprendre la phénoménologie d’une foudre naturelle [6]. Elle permet
de provoquer celle-ci lors du passage des nuages orageux et de l’attirer en un lieu déterminé.
Figure I.5 (a) Exemple d’un déclenchement artificiel de la foudre en Floride [7]
A l’approche d’un nuage orageux, on lance en direction du nuage une petite fusée (figure 1.5
(b)) qui déroule derrière elle un fil mince métallique s’échappant d’une bobine. Lorsque la
fusée atteint une certaine hauteur, typiquement 200 à 300 m, un traceur ascendant est
déclenché du sommet de la fusée. Le courant de foudre s’écoule alors le long du fil
métallique, tout en le volatilisant.
Figure I.5 (b) fusées [8]
Données obtenues en utilisant le déclenchement artificiel de la foudre
Tableau I.1 Caractérisation du courant de l’arc en retour [6]
L’endroit
L’année
Floride
1985-1991
1986,
1990-1991
France
Nombre
d’évènement
Valeur moyenne du
pic du courant (kA)
305/134
12.1
Valeur moyenne du pic
de la dérivée du courant
(kA/µs)
91.4
54/47
9.8
36.8
10
Chapitre I
Phénoménologie de la foudre entre les observations expérimentales et les
modèles mathématiques Cette technique donne en plus des informations sur le courant à la base du canal de
foudre, le champ électromagnétique associé. Rakov [5] a résumé les caractéristiques du
courant de l’arc en retour à savoir le pic du courant et le pic de sa dérivée à partir de deux
campagnes expérimentales l’une en France et l’autre en Floride comme il est indiqué au
tableau I.1.
En effet, les résultats obtenus par cette technique seront virtuellement impossibles à obtenir à
partir des recherches faites sur une foudre naturelle à cause de l’aspect aléatoire de la foudre
aussi bien sur le plan spatial que sur le plan temporel.
2. L’utilisation des tours instrumentées
Figure I.6 la tour CN à toronto au Canada
•
Données obtenues en utilisant de petites tours (moins de 100 m)
La figure I.7 illustre les formes moyennes des courants typiques correspondant aux arcs en
retour premier et subséquent d’une décharge négative. Figure I.7 : Forme moyenne normalisée du courant des arcs en retour premier et
subséquent respectivement [6]
11
Chapitre I
Phénoménologie de la foudre entre les observations expérimentales et les
modèles mathématiques Dans cette figure, il est possible de voir un temps de montée rapide du courant correspondant
à l’arc en retour subséquent. La distribution statistique des principaux paramètres du courant est présentée dans le tableau
I.2.
Tableau I.2 : Paramètres du courant d’un coup de foudre descendant négatif [6].
Paramètre
Unité
Nombre
Pourcentage de cas dépassant
d’évènement
la valeur indiquée
95%
50%
5%
Premier arc en retour négatif
kA
101
14
30
80
Arc en retour subséquent négatif
kA
135
4.6
12
30
Premier arc en retour négatif
C
93
1.1
5.2
24
Arc en retour subséquent négatif
C
122
0.2
1.4
11
Temps de montée
Premier arc en retour négatif
µs
89
1.8
5.5
18
(2kA- crête)
Arc en retour subséquent négatif
µs
118
0.22
1.1
4.5
di/dt maximal
Premier arc en retour négatif
kA/µs
92
5.5
12
32
Arc en retour subséquent négatif
kA/µs
122
12
40
120
Durée de l’impulsion
Premier arc en retour négatif
µs
90
30
75
200
(2kA-mi amplitude)
Arc en retour subséquent négatif
µs
115
6.5
32
140
Intervalle de temps
entre deux décharges négatives
µs
133
7
33
150
Courant de crête
Charge totale
A partir de ce tableau, on peut extraire les remarques suivantes concernant les décharges de
foudre descendantes négatives:
•
Les amplitudes du courant du premier arc en retour sont supérieures à celles des arcs
en retour subséquents.
•
La valeur maximale de la variation du courant dans le cas d’un arc subséquent est
supérieure à celle du premier arc en retour.
•
Le temps de montée du courant de l’arc en retour subséquent est plus rapide que celui
d’un courant du premier arc en retour.
•
La durée de l’impulsion du courant de l’arc en retour subséquent est inférieure à celle
du premier arc en retour.
On note une similitude entre la valeur moyenne du pic du courant mesurée en Floride
(Tableau I.1) et celle rapportée par le Professeur Berger (Tableau I.2).
•
Données obtenues en utilisant des tours élevées (plus de 100 m)
La tour d’Ostankino à Moscow [9]
Cette tour est de 540 m de hauteur, le courant est mesuré dans trois endroits de la
tour : 47 m, 272 m et 533 m (Figure I.8).
12
Chapitre I
Phénoménologie de la foudre entre les observations expérimentales et les
modèles mathématiques On remarque que la forme du courant mesuré change d’un endroit à un autre, la valeur du pic
de ce courant augmente en allant du sommet de la tour vers le sol, Bermudez [7] rapporte que
ceci est dû aux réflexions multiples de l’onde de courant au sommet avec un coefficient
négatif et les réflexions multiples à la base de la tour avec un coefficient positif.
Figure I.8 : Formes du courant mesuré à 47m, 272m et 533m, sur la tour d’Ostankino,
Moscow [9]
La tour CN à Toronto au Canada
La tour CN est de hauteur de 553 m, le courant de l’arc en retour est mesuré à 474 m et
à 509 m. Les mesures effectuées en 1999 sont présentées sur la figure I.9 (a) et (b).
Figure I.9 la tour CN, (a): Courant de l’arc en retour à 474 m et
(b) : Courant de l’arc en retour à 509 m [7]
13
Chapitre I
Phénoménologie de la foudre entre les observations expérimentales et les
modèles mathématiques On a les mêmes remarques que pour le cas précédent, sauf que dans ce cas, la forme du
courant est plus complexe, Shostak [10] rapporte que ceci est dû à la structure complexe de la
tour CN.
I.3.1.2 Estimation indirecte des courants à partir des systèmes de détection de la foudre
Les systèmes de détection de la foudre (Lightning Location systems : LLS) constituent
une référence pour le développement des normes liées à la protection dés réseaux électriques
et des systèmes de télécommunication contre la foudre [11].
La méthode la plus utilisée dans les LLS, consiste en la diduction du courant d’arc en
retour à partir du champ électrique ou magnétique mesuré à grande distance du point d’impact
de la foudre.
Les estimations des paramètres de ce courant à partir des mesures du champ
électromagnétique lointain, sont obtenues de manière empirique (par exemple [12]) ou
théorique ([13]). En général, l’obtention de la forme précise du courant d’arc en retour, à
partir du champ électromagnétique rayonné, est difficile. En revanche le pic du courant peut
être estimé avec une erreur d’environ 20% en fonction du pic du champ, en supposant que la
vitesse de l’arc en retour est connue [9].
Les études empiriques [12] développées dans le cas d’un déclenchement artificiel de la
foudre, montrent une relation linéaire entre le pic du courant et le pic du champ électrique
pour une vitesse constante. Cependant, la vitesse change d’un arc à un autre, ce qui donne une
dispersion statistique significative [14].
Rachidi et al. [13] ont suggéré qu’une estimation statistique (en terme de valeurs
moyennes) est nécessaire, vu qu’avec la grande variation des principaux paramètres tels que
la vitesse de l’arc en retour, il est impossible de déduire un courant exact à partir des mesures
du champ électromagnétique rayonné effectuées sur un seul événement. Ces auteurs ont
proposé une équation qui relie la valeur moyenne du pic du courant de l’arc en retour avec
celle du champ électrique, tout en considérant une valeur moyenne de la vitesse de l’arc en
retour.
I.3.2 Vitesse de l'arc en retour
Les données expérimentales publiées par Idone et Orville [14] illustrent que :
•
La vitesse de l’arc en retour décroît en fonction de la hauteur, cette décroissance est plus
marquée pour les premiers arcs en retour. •
La vitesse des arcs en retour subséquents est en général plus grande que celle des arcs en
retour premiers, les valeurs moyennes pour 17 premiers arcs en retour et 46 arcs en retour
subséquents sont, respectivement, 96 m/µs et 120 m/µs.
14
Chapitre I
Phénoménologie de la foudre entre les observations expérimentales et les
modèles mathématiques Rakov [15] rapporte que la vitesse de l’arc en retour est inférieure à la vitesse de la
lumière pour les raisons suivantes:
Le canal de foudre est considéré comme une ligne de transmission avec pertes, nonlinéaire et non-uniforme (l’approximation faite pour les lignes de transmission n’est plus
valable). En plus, son impédance caractéristique augmente en fonction de la hauteur, ce qui
engendre une dispersion de l’onde de l’arc en retour même en l’absence de pertes. La charge
électrique ne peut pas être confinée à l’intérieur de la colonne qui se trouve à l’intérieure du
canal et qui véhicule le courant de l’arc en retour, mais elle est repoussée à l’extérieur par une
décharge électrique radiale formant une couronne. La résistance par unité de longueur en
avant du front de l’arc en retour est relativement grande (ce qui cause une atténuation et une
dispersion additionnelle). Par contre, elle est deux fois moins ou plus en arrière du front.
I.3.3 Modélisation de la distribution du courant de foudre dans le canal
I.3.3.1 Classification des modèles de l’arc en retour
Les modèles de l’arc en retour sont classés en quatre catégories :
1. Modèles physiques :
Se basent sur les études faites dans les laboratoires de recherche sur les décharges
électriques depuis une cinquantaine d’années, leurs applications sur le mécanisme de la foudre
se distinguent d’être, du point de vue conceptuel, comme les modèles les plus complets et les
plus performants. Ils sont basés sur une approche physico-chimique décrivant l’évolution
d’une décharge électrique dans un plasma contenu dans un volume cylindrique. En faisant
intervenir ainsi, les équations de conservation de masse et d’énergie, les équations d’état et les
équations de Maxwell.
Cependant, en dépit de leur rigueur théorique, ces modèles n’ont jamais donné une entière
satisfaction de point de vue prédiction des champs électromagnétiques rayonnés. De plus ils
sont connus pour être des modèles lourds ([3], [16]), car ils nécessitent une connaissance des
différents phénomènes physiques difficiles à déterminer avec précision tels que les
coefficients d’ionisation et de recombinaison de l’air, les propriétés thermodynamiques du
canal, les conductivités thermiques et électriques du canal,…etc.
2. Modèles électromagnétiques :
La théorie des Antennes est adoptée pour simuler le canal de foudre. La distribution
spatio-temporelle du courant le long du canal est obtenue par le biais de la résolution
numérique des équations de Maxwell.
Le calcul du champ électromagnétique s’effectue, en général, par l’utilisation de la
méthode des moments ([17], [18]).
15
Chapitre I
Phénoménologie de la foudre entre les observations expérimentales et les
modèles mathématiques 3. Modèles RLC ou « modèles des lignes de transmission » :
La décharge de foudre est représentée comme un processus transitoire sur une ligne de
transmission caractérisée par une résistance, une inductance et une capacité, tous par unité de
longueur. Ce type de modèles est utilisé pour déterminer le courant de foudre en fonction du
temps et de la hauteur et par la suite le calcul du champ électromagnétique rayonné [19], [20].
4. Modèles d’ingénieur :
Ce sont les modèles les plus utilisés par la communauté scientifique. La distribution
spatio-temporelle du courant de foudre est basée sur les observations expérimentales des
caractéristiques de l’arc en retour comme le courant à la base du canal, la vitesse de l’arc en
retour et la luminosité [3]. L’aspect physique de l’arc en retour n’est pas pris en compte, ce
qui rend ces modèles simples.
L’objectif de l’utilisation de ces modèles est de reproduire le plus fidèlement possible
les courbes expérimentales du champ électromagnétique pour des distances allant de quelques
dizaines de mètres à quelques centaines de kilomètres [8].
4.1 Modèle de Bruce et Golde- BG
Il s’agit là d’un des premiers modèles dans le genre et probablement le plus simple [3],
[4]. Il a été développé en 1941 par Bruce et Golde [21]. Le canal de foudre est modélisé par
une antenne verticale de très faible section, parcourue par une impulsion de courant qui se
propage à une vitesse inférieure à la vitesse de la lumière, cette propagation ne subit ni
déformation ni atténuation, le courant i ( z ', t ) à des hauteurs inférieures au front de l’arc en
retour est égal au courant à la base du canal ; à des hauteurs supérieures au front de l’arc en
retour, comme dans tous les autres modèles, le courant est nul :
⎪⎧i ( z ', t ) = i (0, t ) z ' ≤ v f t
⎨
z ' ; vf t
⎪⎩i ( z ', t ) = 0
(I.1)
Où v f est la vitesse du front de l’arc en retour.
Figure I.10 : Représentation schématique du modèle BG
16
Chapitre I
Phénoménologie de la foudre entre les observations expérimentales et les
modèles mathématiques Cette distribution du courant présente une discontinuité au front de l’arc en retour, ce
qui correspond à un transfert de charge instantané du canal à l’arc en retour, ce qui est
physiquement impossible.
Outre que la discontinuité, une autre limitation de ce modèle réside dans la supposition
que le courant en chaque point le long du canal s'ajuste instantanément à la grandeur du
courant à la base à cet instant.
Cette hypothèse n’est valable que dans le cas où la vitesse de propagation du courant
est infinie. Le phénomène devient instantané, aussi physiquement impossible [22].
4.2 Modèle de la ligne de transmission -TL
Ce modèle fut présenté en 1969 par Uman et McLain [23], il assimile le canal de
foudre à une ligne de transmission sans pertes où une impulsion de courant se propage à partir
du sol à la vitesse de l’arc en retour v f .
La distribution du courant est définie par :
z'
⎧
⎪i ( z ', t ) = i (0, t − v ) z ' ≤ v f t
f
⎨
⎪i ( z ', t ) = 0
z ' ; vf t
⎩
(I.2)
Figure I.11 : Représentation schématique du modèle TL
Etant donné que l’intensité du courant le long du canal de foudre reste constante cela
empêche tout transfert de charge entre le traceur et l’arc en retour. Or, des résultats obtenus à
partir d’observations optiques ont montré que l’amplitude et la forme du courant changent en
fonction de la hauteur [8] et les mesures des variations du champ électrique associé au traceur
ont mis en évidence que le traceur est bel et bien porteur d’une certaine densité de charge [4],
[24].
17
Chapitre I
Phénoménologie de la foudre entre les observations expérimentales et les
modèles mathématiques 4.3 Modèle de la ligne de transmission modifié-MTL
1. Modèle de la ligne de transmission modifié avec décroissance exponentielle-MTLE
Une modification du modèle TL a été proposée dans les travaux de Nucci et al. [25]
(1988), Nucci et Rachidi [26] (1989) et Rachidi et Nucci [27] (1990), afin de pallier ses
défauts tout en gardant sa simplicité. Ainsi, la nouvelle distribution spatio-temporelle du
courant le long du canal de foudre s’écrit selon ces auteurs comme suit :
⎧
z ' − λz '
⎪i ( z ', t ) = i (0, t − )e
vf
⎨
⎪i ( z ', t ) = 0
⎩
z ' ≤ vf t
(I.3)
z ' ; vf t Où λ représente le taux de décroissance de l’intensité du courant le long du canal ; sa valeur a
été déterminée par Nucci et Rachidi [26]. Selon les travaux publiés en 1979 par Lin et al. [21]
et en 1980 [28]. Cette valeur est comprise dans l’intervalle [1.5, 2] km. A noter que le
paramètre a été introduit dans la formulation du courant le long du canal afin de prendre en
compte le transfert de charges entre le traceur et l’arc en retour.
2. Modèle de la ligne de transmission modifié avec décroissance linéaire-MTLL
Une autre modification du modèle TL a été proposée en 1987 par Rakov et Dulzon
[29]. Dans leur modèle appelé MTLL, la décroissance de l’amplitude du courant le long du
canal de foudre est linéaire. La distribution spatio-temporelle du courant est définie par
l’expression
⎧
z' ⎛
z'⎞
⎪i ( z ', t ) = i (0, t − v ) ⎜1 − H ⎟ z ' ≤ v f t
⎠
f ⎝
⎨
⎪i ( z ', t ) = 0
z ' ; vf t
⎩
(I.4)
Où H est la hauteur du canal de foudre.
4.4 Modèle de la source de courant mobile -TCS
Selon ce modèle, proposé en 1985 par Heidler [30], les charges du traceur sont
instantanément neutralisées à l’arrivée du front de l’arc en retour. Une source de courant
associée au front de l’arc en retour parcourt le canal du sol au nuage à la vitesse v f .
Le courant injecté par cette source à la hauteur z’ est supposé se propager dans le sens inverse
à la vitesse de la lumière c, il atteint la base du canal avec un retard égal à
z'
. La formulation
c
spatio-temporelle du courant de foudre, selon ce modèle, s’écrit :
z'
⎧
⎪i ( z ', t ) = i (0, t + ) z ' ≤ v f t
c
⎨
⎪i ( z ', t ) = 0
z ' ; vf t
⎩
(I.5)
18
Chapitre I
Phénoménologie de la foudre entre les observations expérimentales et les
modèles mathématiques 4.5 Modèle de Diendorfer et Uman -DU
Dans ce modèle, proposé en 1990 par Diendorfer et Uman [31], le courant de l’arc en
retour se compose de deux termes, le premier terme est identique à celui du modèle TCS et le
deuxième terme représente un courant de polarité inverse avec une décroissance
exponentielle. La distribution du courant de foudre, d’après ce modèle, s’écrit :
⎛
z' ⎞
⎧
−⎜ t − ⎟τ D −1
⎜
⎪⎪i ( z ', t ) = i (0, t + z ' ) − e ⎝ v f ⎟⎠ i (0, z ' ) z ' ≤ v t
f ⎨
c
v*
⎪
z ' ; vf t
⎪⎩i ( z ', t ) = 0
τ
D
(I.6)
Est une constante de temps, supposée égale à 0.1μ s selon Thottappillil et al. [32], [33].
v* = v f
⎛ vf ⎞
⎜1 + c ⎟ ⎝
⎠
Si on suppose que τ D
= 0 alors
le modèle « DU » devient « TCS ». I.3.3.2 Généralisation des modèles d’ingénieur
Les modèles d’ingénieur les plus utilisés dans la littérature sont les modèles TL,
MTLE, MTLL, BG et TCS. Dans les références [29] [34] et [35] Rakov propose la
représentation de ces modèles à l’aide d’une seule expression. Cette dernière s’écrit comme
suit :
i( z ', t ) = P( z ')i (0, t −
z'
z'
)u (t − )
v
vf
Où u est la fonction d’Heaviside égale à 1 pour t ≥
(I.7)
z'
et à zéro autrement.
v
P ( z ') Désigne un facteur d’atténuation du courant.
v f Est la vitesse de l’arc en retour (ou bien : vitesse de propagation du front ascendant).
v La vitesse de propagation de l’onde du courant de foudre.
Le tableau I.3 montre les paramètres v et P ( z ') pour les cinq modèles d’ingénieur.
Tableau I.3 Les paramètres v et P ( z ') pour les cinq modèles d’ingénieur.
v
Le Modèle
P ( z ')
TL
1
vf
MTLE
e− z ' λ
vf
MTLL
1− z ' H
vf
BG
1
∞
TCS
1
-c
19
Chapitre I
Phénoménologie de la foudre entre les observations expérimentales et les
modèles mathématiques I.3.4 Représentation analytique du courant d’arc en retour à la base du canal
Différentes expressions analytiques peuvent être utilisées afin de simuler l’allure du
courant de foudre a la base du canal a savoir « la bi-exponentielle est le modèle d’heidler ».
•
La bi-exponentielle est souvent utilisée en raison de sa simplicité, elle se prête bien à
l’analyse fréquentielle du champ électromagnétique rayonné par la foudre puisque sa
transformée de Fourier s’exprime analytiquement. Ainsi, le courant du premier arc en
retour a été modélisé par l’expression suivante [25]:
i (0, t ) = I 01 (e −α t − e − β t ) + I 02 (e −γ t − e −δ t )
(I.8)
Le tableau I.3 présente les paramètres de ces deux fonctions.
Ces paramètres, liés au temps de montée, à la valeur de crête et à la durée de
l’impulsion du courant, ont été déterminés de manière à reproduire le plus fidèlement possible
les courbes expérimentales moyennes, obtenues par Berger et al. Publiées dans [6].
Tableau I.4 Paramètres des fonctions exponentielles simulant le courant de foudre à
la base du canal
Premier arc en retour
Arc en retour subséquent
I 01 ( KA)
α ( S −1 )
β ( S −1 )
I 02 ( KA)
γ ( S −1 )
δ ( S −1 )
33.7
9.2 103
4 105
-
-
-
14.3
4
6
18 10
3 10
10
10
4
9.4 104
La figure I.12 présente les formes normalisées du courant du premier arc en retour et
celui de l’arc en retour subséquent sur une durée de 48 μs. Ces formes sont obtenues en
utilisant le modèle bi-exponentiel du courant à la base du canal de foudre et en adoptant les
paramètres du tableau I.4.
Figure I.12 : Courant à la base du canal de foudre (normalisé), correspondant au
premier arc en retour et à l’arc en retour subséquent, calculés à l’aide du modèle biexponentiel
20
Chapitre I
•
Phénoménologie de la foudre entre les observations expérimentales et les
modèles mathématiques Heidler [36], a proposé une autre expression analytique pour obtenir une forme du
courant à la base du canal de foudre proche de celle mesurée lors des campagnes
expérimentales. Cette expression est donnée par l’équation suivante:
⎛ I ⎞ ( t τ1 )
( −t τ 2 )
i (0, t ) = ⎜ 0 ⎟
n e
⎝ η ⎠ 1 + ( t τ1 )
n
(I.9)
I 0 : Amplitude du courant
τ 1 : Temps de montée de l'impulsion du courant,
τ 2 :Durée de l'impulsion du courant,
n :Exposant variant de 2 à 1
η : Facteur de correction de l'amplitude du courant donné par:
1n
η =e
⎛ τ ⎞⎛ τ ⎞
1 ⎟⎜ n 2 ⎟
⎜ τ 2 ⎟⎜ τ1 ⎟
⎝
⎠⎝
⎠
−⎜
(I.10)
La somme de deux fonctions d’Heidler de type (I.9) représente mieux le premier pic typique
du courant d’arc en retour subséquent. Le tableau I.5 présente les paramètres de la fonction
d’Heidler pour simuler des arcs en retour typiques (premiers arcs en retour et arcs en retour
subséquents).
Tableau I.5 Paramètres du courant à la base du canal de foudre en adoptant la fonction
d’Heidler
Premier arc en
retour
Arc en retour
subséquent
I 01 ( KA)
τ 11 ( μ s)
τ 21 ( μ s )
n1
I 02 ( KA)
τ 12 ( μ s )
τ 22 ( μ s)
n2
28
1.8
95
2
-
-
-
-
10.7
0.25
2.5
2
6.5
2.1
230
2
La figure I.13 donne à titre d’exemple la courbe du courant à la base du canal de foudre d’un
arc subséquent typique correspondant aux deux modèles (Heidler et la bi exponentielle)
Figure I.13 : Courant à la base du canal d’un arc subséquent typique correspondant aux
deux modèles (modèle d’Heidler et modèle bi-exponentiel)
21
Chapitrre I
Ph
hénoménoloogie de la fooudre entree les obserrvations exp
périmentales et les
moodèles math
hématiquess L paramèètres de laa bi-exponeentielle son
Les
nt consignéés dans le tableau I.4
4 et les
paramèttres de la foonction d’H
Heidler sont ceux du taableau I.5. Les
L deux modèles reproduisent
bien la forme d’unn courant dee foudre typpique mesurré à la base du canal dee foudre paar Berger
et al. [66]. Par ailleeurs, l’expression (I.9)) par rapporrt à des fonnctions expponentielles, permet
d’obtennir une déérivé nullee pour t = 0 , ce quii corresponnd mieux aux obseervations
expérim
mentales, coontrairementt à la foncttion bi-expo
onentielle, habituellem
h
ment utiliséee (Figure
I.14).
Figurre I.14 Dérrivée de l’ap
pproximatiion analytiq
que du cou
urant pour les deux modèles
E
Enfin,
l’exppression d’H
Heidler perrmet un ajustement de l’amplitudee du couran
nt, de sa
dérivée maximale et de la quaantité de chharge transfférée en varriant presquue indépend
damment
les paraamètres I 0 ,τ 1 et τ 2 .
En 19900, Nucci et al.
a [22] ont proposé unn modèle hy
ybride compprenant la ffonction d’H
Heidler
et la fonnction exponnentielle. Ce
C modèle s’’exprime à l’aide
l
de l’eexpression ssuivante :
⎛ I ⎞ (t τ1 )
−t τ
−t τ
( −t τ 2 )
i (0, t ) = ⎜ 01 ⎟
+ I 02 e( 3 ) − e( 4 )
n e
⎝ η ⎠ 1 + (t τ1 )
n
S
Selon
cess
(
auteurs
cette
exppression
)
(I.11)
est
e
particuulièrement
appropriéée
pour
l’approxximation duu front du coourant à la base
b
du canal.
Le tableeau I.6 donnne les param
mètres de l’expression (I.11) correespondant à un courantt mesuré
lors d’uune campagnne de décleenchement artificiel
a
de la foudre [37].
[
Ce couurant est caaractérisé
par un pic
p de 11 kA
A et un pic de
d la dérivéée du couran
nt d’environn 105 kA/μss.
Tableeau I.6 Paraamètres du courant
c
à laa base du ca
anal corresppondant à l’expression
n (I.11)
[22]
I 01 ( KA)
τ1 (μ s)
τ 2 (μ s)
n
I 02 ( KA)
τ 3 ( μ s)
τ 4 ( μ s)
9.9
0.0722
5
2
7.5
100
6
22
Chapitre I
Phénoménologie de la foudre entre les observations expérimentales et les
modèles mathématiques I.3.5 Présentation des distributions spatiales et temporelles du courant d’arc en retour
subséquent pour cinq modèles d’Ingénieur
Le tableau I.7 regroupe les figures des distributions spatiales et temporelles du courant
d’arc en retour subséquent pour cinq modèles d’Ingénieur. Les calculs ont été effectués en
partant d’un même courant à la base du canal de foudre (voir tableau I.5), la vitesse de l’arc
en retour est supposée égale à150m / μ s , le facteur d’atténuation du courant λ est fixé à 2000
m.
Tableau I.7 figures des distributions spatiales et temporelles du courant d’arc en retour
subséquent pour cinq modèles d’Ingénieur.
Distribution temporelle du courant de l’arc en
retour subséquent pour le modèle BG
Distribution spatiale du courant de l’arc en retour
subséquent pour le modèle BG
Distribution temporelle du courant de l’arc en
retour subséquent pour le modèle TCS
Distribution spatiale du courant de l’arc en retour
subséquent pour le modèle TCS
Distribution temporelle du courant de l’arc en
retour subséquent pour le modèle TL
Distribution spatiale du courant de l’arc en retour
subséquent pour le modèle TL
23
Chapitre I
Phénoménologie de la foudre entre les observations expérimentales et les
modèles mathématiques Distribution temporelle du courant de l’arc en
retour subséquent pour le modèle MTLL
Distribution spatiale du courant de l’arc en retour
subséquent pour le modèle MTLL
Distribution temporelle du courant de l’arc en
retour subséquent pour le modèle MTLE
Distribution spatiale du courant de l’arc en retour
subséquent pour le modèle MTLE
I.4 Champ électromagnétique rayonné par la foudre
La caractérisation, la formulation et la modélisation du champ électromagnétique ont
été l’objet
de beaucoup d’études et de recherches expérimentales et
théoriques. Pour
déterminer le champ électromagnétique rayonné, il été nécessaire de connaître la distribution
spatio-temporelle du courant de foudre dans le canal. (voir section I.3).
I.4.1 Caractérisation expérimentale du champ électromagnétique
I.4.1.1 Distances supérieures à 1km du point d’impact
Les figures I.15 et I.16 présentent les caractéristiques des champs électriques et
magnétiques en fonction de la distance du point d’impact selon Lin et al. [38].
A des distances relativement proches (1Km<D<50km)
• Le champ électrique vertical croit en rampe après son pic initial, il est dominé par la
composante électrostatique. C’est la seule composante du champ électrique vertical total qui
n’est pas nulle après que le courant de l’arc en retour cesse de se propager le long du canal de
foudre. (Figure 1.15).
• Le champ magnétique azimutal présente une bosse (hump), cette
bosse représente la
composante magnétostatique du champ magnétique total. (Figure I.16).
24
Chapitre I
Phénoménologie de la foudre entre les observations expérimentales et les
modèles mathématiques A des distances lointaines (D>50km)
• Les champs électriques et magnétiques lointains ont essentiellement la même forme d’onde,
et présentent une inversion de polarité. Ils sont essentiellement composés de la composante
rayonnée des champs totaux, caractérisés par un pic initial suivi par une inversion de polarité
à quelques dizaines de microsecondes.
Figure I.15 : Champ électrique vertical correspondant à un premier arc en retour (trait
continu) et à un arc en retour subséquent (pointillés) à des distances variant de 1 Km à
200 Km [38]
Figure I.18 : Densité du flux magnétique correspondant à un premier arc en retour (trait
continu) et à un arc en retour subséquent (pointillés) à des distances variant de 1 Km à 200 Km
[49]
25
Chapitre I
Phénoménologie de la foudre entre les observations expérimentales et les
modèles mathématiques L’instant de changement de polarité du champ électrique et magnétique (Figures I.17
et I.18) change significativement en fonction des conditions météorologiques, environ 50 µs
pour le premier arc en retour observé dans les mesures faites en Floride et en Suède alors que
ce temps vaut 90 µs dans les mesures faites en Sri Lanka. Néanmoins, l’arc en retour
subséquent présente une valeur moyenne de 40 µs dans ces trois régions (Floride, Suède et Sri
Lanka) [3].
I.4.1.2 Distances inférieures à 1 Km Les mesures du champ électromagnétique rayonné par la foudre à des distances
proches (inférieures à 1 Km) sont faites en utilisant la technique du déclenchement artificiel
de la foudre. Les mesures des champs électriques à 30 m et 500 m du canal de foudre sont
présentées dans la référence [39].
Dans la figure I.17, on montre une représentation schématique de la campagne
expérimentale qui s’est déroulée durant l’été de l’année 1991 à la NASA au Centre Spatial
Kennedy (Kennedy Space Center).
Figure I.17 Campagne expérimentale de mesure du champ électrique vertical à 500 m et
30 m [39]
Rubinstein et al. [39] ont analysé 40 formes d’ondes du champ électrique à 500 m et 8
formes à 30 m. La figure I.18 donne l’allure du champ électrique vertical mesuré à 500 m,
correspondant à la phase traceur-arc en retour. La durée de l’onde est de 800 µs.
26
Chapitrre I
Ph
hénoménoloogie de la fooudre entree les obserrvations exp
périmentales et les
moodèles math
hématiquess C
Cette
duréee s’expliquee par le fait que l’ioniisation du canal
c
de fooudre par lee traceur
modifiee sensiblemeent le cham
mp électriquue vertical, avec une augmentatio
a
on lente de la pente
négativee de la courrbe du cham
mp électriquue [7]. Cettee caractéristique n’est ppas perceptiible pour
les longgues distances, dans lessquelles la progression
p
du traceur reste
r
pratiquuement inviisible.
L commenncement de la neutralisation des ch
Le
harges danss le canal paar l’arc en reetour est
probablement assoocié avec le commenceement de laa progressioon positive eet rapide du
u champ
électriquue vertical [7]
[ (Figuress I.18 et I.199).
Figuree I.18: Champ électriq
que verticaal mesuré à 500 m du point
p
d’imp
pact de la foudre.
f
Les flèchess indiquentt le commen
ncement dee la phase de
d l’arc en retour [39]]
Figuree I.19 : Chaamp électriique vertical mesuré à 30 m du point
p
d’imp
pact de la foudre.
f
Les flèchess indiquentt le commen
ncement dee la phase de
d l’arc en retour [39]]
27
Chapitre I
Phénoménologie de la foudre entre les observations expérimentales et les
modèles mathématiques Nous retenons les points suivants sur le rayonnement électromagnétique de la foudre :
1. L’estimation de la valeur moyenne du pic du courant d’arc en retour peut être obtenue à
partir de celle du pic du champ électrique associé.
2. Le courant mesuré sur des tours instrumentées est contaminé par les réflexions multiples
au sommet et à la base de ces tours. Ce problème est devenu ces dernières années un axe de
recherche principal pour les chercheurs dans le domaine de la foudre, leur but est d’extraire
le courant réel (injecté d’une part dans le canal de foudre et d’autre part au sommet de la
tour) à partir du courant mesuré [9].
3. La vitesse des arcs en retour subséquents est en général plus grande que celle des arcs en
retour premiers [14].
4. La valeur maximale de la variation du courant dans le cas d’un arc subséquent est
supérieure à celle du premier arc en retour.
5. Le temps de montée du courant de l’arc en retour subséquent est plus rapide que celui d’un
courant du premier arc en retour [6].
6. La durée de l’impulsion du courant de l’arc en retour subséquent est inférieure à celle du
premier arc en retour [6].
Ces paramètres, ainsi que le pic du courant, sont de grande importance dans la réalisation de
la coordination de l’isolement dans les installations contre la foudre.
7. Le champ électrique vertical, à des distances proches du canal de foudre, est dominé par la
composante électrostatique, la composante azimutale du champ magnétique est dominée par
la composante magnétostatique. Par contre, le champ électromagnétique lointain est
composé essentiellement de la composante rayonnée [39].
I .4.2 Formulation du champ électromagnétique rayonné par la foudre
I.4.2.1 Champ électromagnétique au dessus du sol
Equations générales
En coordonnées cylindriques, les équations du champ, créé par un dipôle électrique
placé à une hauteur z’, sont données par les expressions suivantes dans le domaine
fréquentiel. [3]
dEr ( r , z, jω ) =
⎤
jω I ( z ') μ0 dz ' ⎡ ∂ 2
2
G
G
k
V
−
+
(
)
1
22
21
22
⎢
⎥
4π k22
⎣ ∂r ∂z
⎦
(I.12)
dEZ ( r , z , jω ) =
⎤
jω I ( z ') μ0 dz ' ⎡⎛ ∂ 2
2⎞
2
⎢⎜ 2 + k2 ⎟ ( G22 − G21 + k1 V22 ) ⎥
2
4π k2
⎠
⎣⎝ ∂z
⎦
(I.13)
dHϕ ( r , z , jω ) =
− I ( z ')dz ' ⎡ ∂
⎤
G22 − G21 + k12V22 ) ⎥
(
⎢
4π
⎣ ∂r
⎦
(I.14)
28
Chapitre I
Phénoménologie de la foudre entre les observations expérimentales et les
modèles mathématiques Avec
G21 =
G22 =
e
jk2 r 2 +( z '+ z )2
r 2 + ( z '+ z ) 2
e
jk2 r 2 +( z '− z )2
r 2 + ( z '− z ) 2
∞
V22 = ∫
0
k22
(
2e
∞
=∫
e
⎛
⎞
⎝
⎠
−⎜ λ 2 − k22 ⎟( z '+ z )
0
λ 2 − k22
∞
−⎜ λ 2 − k22 ⎟( z '− z )
=∫
e
0
⎛
⎞
⎝
⎠
λ 2 − k22
j0 (λr )λ d λ
(I.15)
j0 (λr )λ d λ
(I.16)
−⎛⎜ λ 2 − k22 ⎞⎟( z '+ z )
⎝
⎠
) (
λ 2 − k12 + k12
λ 2 − k22
(I.17)
)
k1 = ω 2 μ g ε g + ωμ0ε gσ g
k 2 = ω μ 0ε 0
Les paramètres ε g , μ g et σ g étant respectivement la permittivité diélectrique, la perméabilité
magnétique et la conductivité électrique du sol.
j0 : Est la fonction de Bessel d’ordre 0.
I ( z ') : Désigne la transformée de Fourier de la distribution du courant le long du canal.
Figure I.20 Grandeurs géométriques intervenant dans les équations du champ
électromagnétique.
Les expressions (I.15) à (I.16) sont connues sous le nom d’intégrales de Sommerfeld,
exprimant ainsi, l’interaction de la source électromagnétique avec le sol.
Du point de vue numérique, ces intégrales se distinguent comme une tache délicate du
fait de la lenteur de leur convergence. De plus, le passage du domaine fréquentiel au domaine
temporel du champ électromagnétique nécessite une transformée de Fourier inverse qui peut
poser parfois certains problèmes d’ordre numérique.
29
Chapitre I
Phénoménologie de la foudre entre les observations expérimentales et les
modèles mathématiques Cas d’un sol parfaitement conducteur
Le calcul du champ électromagnétique devient plus simple en utilisant l’hypothèse
d’un sol parfaitement conducteur. Dans ce cas, les composantes des champs électrique et
magnétique en un point P ( r , ϕ , z ) (Figure I.20) générées par un petit segment infinitésimal
dz ' à la hauteur z ' portant un courant I ( z ', t ) peuvent être calculées dans le domaine
temporel par:
dEr ( r, z, t ) =
⎡
⎛
R ⎞⎤
2
⎢2 z − z ' 2 t
2
2 ∂ i ⎜ z ', t − c ⎟ ⎥
2
z
−
z
'
−
r
(
)
(
)
⎛
⎛
dz ' ⎢
R⎞
R⎞ r
⎠⎥
i z ',τ − ⎟ dτ +
i ⎜ z ', t − ⎟ − 2 3 ⎝
⎥
4πε 0 ⎢ R5 0 ⎜⎝
c⎠
c⎠ c R
∂t
cR4
⎝
⎢
⎥
⎣⎢
⎦⎥
(I.18)
∫
dE Z ( r , z , t ) =
dz '
4πε 0
⎡
⎛
R ⎞⎤
2 t
2
∂ i ⎜ z ', t − ⎟ ⎥
⎢
2
3 ( z − z ') − r ⎛
c ⎠⎥
⎛
R⎞
R ⎞ r ( z − z ') ⎝
⎢ 3 ( z − z ')
i ⎜ z ', τ − ⎟ d τ +
i ⎜ z ', t − ⎟ −
4
2 3
5
⎢
⎥
∂
c
c
t
cR
c
R
R
⎠
⎝
⎠
0 ⎝
⎢
⎥
⎥⎦
⎣⎢
(I.19)
∫
dHϕ ( r , z, t ) =
R ⎞⎤
⎡
⎛
∂ i ⎜ z ', t − ⎟ ⎥
⎢
R⎞
r
dz ' r ⎛
c⎠
⎝
⎢ 3 i ⎜ z ', t − ⎟ + 2
⎥
c ⎠ cR
∂t
4π ⎢ R ⎝
⎥
⎣⎢
⎦⎥
R = r 2 + ( z − z ')
(I.20)
2
ε 0 : est la permittivité diélectrique du vide.
c : La vitesse de la lumière
R : La distance du dipôle au point d’observation
r : La distance horizontale entre le canal de foudre et le point d’observation P.
Les champs, électrique et magnétique totaux s’obtiennent par l’intégration des équations
(I.18)-(I.20) le long du canal et de son image.
• Le champ électrique est composé de trois termes, le premier terme contenant l’intégrale du
courant, appelé « champ électrostatique », le deuxième contenant le courant, appelé
« champ d’induction » et le troisième contenant la dérivée du courant, appelé « champ
rayonné ».
• Le champ magnétique est composé d’un terme d’induction, appelé aussi «champ
magnétostatique » et un terme de rayonnement.
30
Chapitre I
Phénoménologie de la foudre entre les observations expérimentales et les
modèles mathématiques • A des distances proches du canal de foudre, le champ électrique est dominé par la
composante électrostatique et le champ magnétique est dominé par la composante
magnétostatique,
• A des distances lointaines du canal de foudre, le champ électromagnétique lointain est
dominé par la composante rayonnée.
Remarque
Bien que cette hypothèse permette une simplification des équations du champ, elle
n’est pas toujours valable. Pour des distances ne dépassant pas quelques kilomètres, elle est
une approximation raisonnable dans le calcul du champ électrique vertical et le champ
magnétique azimutal. Comme il a été montré par plusieurs auteurs (Rachidi et al [40],
Rubinstein [41], Zeddam et Degauque [42]). Quant à la composante horizontale du champ
électrique, elle est beaucoup plus affectée par la conductivité finie du sol ([43], [44] et [45]).
Pour les distances supérieures à plusieurs kilomètres, la propagation au dessus d’un sol de
conductivité finie n’est plus négligeable et a pour conséquence majeure une atténuation des
composantes hautes fréquences, qui se traduit par une diminution de la valeur de pic et de la
raideur du front du champ.
Approximation de Cooray-Rubinstein
La prise en compte rigoureuse de la conductivité finie du sol implique des équations
de champ électromagnétique complexes contenant des intégrales lentement convergentes
(Intégrales de Sommerfeld).
Plusieurs formules simplificatrices ont été développées dans la littérature pour palier à ce
problème, l’approximation la plus simple, pour des temps de calcul raisonnables avec une
bonne précision est connue sous le nom de « l’approximation de Cooray- Rubinstein ».
Le champ électrique horizontal rayonné par la foudre, calculé en un point situé au
dessus d’un sol de conductivité finie s’exprimant par l’expression suivante (Rubinstein [41],
Cooray [46]) :
Er ( r , z , jω ) = Erp ( r , z, jω ) − Hφ p ( r , 0, jω )
μ0
ε g + σ g jω
(I.21)
L’indice « P » indique que le sol est parfaitement conducteur ;
Erp ( r , z, jω ) et Hφ p ( r , 0, jω ) Désignent respectivement, les transformées de Fourier du
champ électrique horizontal à une hauteur z au dessus du sol et du champ magnétique au sol
(le calcul de ces deux champs se fait en supposant que le sol est parfait).
Si la conductivité du sol est élevée, l’expression (I.21) peut être simplifiée comme suit :
31
Chapitre I
Phénoménologie de la foudre entre les observations expérimentales et les
modèles mathématiques Er ( r , z , jω ) = Erp ( r , z , jω ) − Hφ p ( r , 0, jω )
1+ j
(I.22)
σ gδ
δ : Est l’épaisseur de peau.
La formule de Cooray-Rubinstein permet d’obtenir des approximations satisfaisantes
du champ pour toutes les distances considérées [41]. En plus, parmi toutes les formules
simplificatrices, elle est la seule à reproduire l’inversion de polarité du champ à moyenne
distance [41].
Récemment, Cooray [47] a proposé une petite modification dans le terme du champ
électrique horizontal au dessus d’un sol parfait de l’expression (I.21). Cette modification a
pour but l’amélioration de l’approximation :
(
)s (
)i
(
Erp ( r , z, jω ) = Erp ( r , z, jω ) + Erp ( r , z, jω ) + 0.4 Erp ( r , z, jω )
)r
(I.23)
Les indices (s, i et r) désignent, respectivement, les composantes : (électrostatique,
d’induction et de rayonnement).
Dans la référence [45], Cooray rapporte qu’une erreur de plus de 25% est observée sur
le pic initial du champ horizontal calculé à une hauteur de quelques dizaines de mètres par
l’expression (I.20). La petite correction sur l’approximation, minimise l’erreur à moins de 5%.
I.4.2.2 Champ électromagnétique en dessous du sol
Equations générales
Les expressions générales du champ électrique en un point situé en dessous d’un sol
de conductivité finie généré par un dipôle au dessus du sol ont été développées dans les
années soixante par Baños [48]. La figure I.21 présente la géométrie du problème.
Figure I.21 Géométrie du problème lié au calcul du champ électromagnétique en
dessous du sol
32
Chapitre I
Phénoménologie de la foudre entre les observations expérimentales et les
modèles mathématiques 1. Equations du champ développées par Baños sont écrites dans le domaine fréquentiel et
contiennent des intégrales de Sommerfeld. L’évaluation numérique directe de ces équations
n’est pas recommandée surtout dans le cas d’un couplage du champ avec un câble souterrain.
2. Equations du champ développées par Cooray [49] En 2001 sont des expressions
simples :
Ez ( jω , r , d ) = Ez ( jω , r , 0 )
ε 0e
σ g + jωε g
Er ( jω , r , d ) = Er ( jω , r , 0 ) e
− kg d
Hϕ ( jω , r , d ) = Hϕ ( jω , r , 0 ) e
Avec k g =
− kg d
− kg d
(I.24)
(I.25)
(I.26)
jωσ g μ0 − ε g ω 2 μ0
Au sol, le champ électrique vertical et le champ magnétique azimutal, peuvent être
calculés en utilisant l’hypothèse d’un sol parfait, le champ électrique radial se calcule par
l’approximation de Cooray- Rubinstein. Les expressions (I.24)-(I.25) sont données dans le
domaine fréquentiel, le passage au domaine temporel s’effectue en utilisant une Transformée
de Fourier Inverse.
3. Algorithme de Delfino et Al en 2006, Delfino et al. [50] Ont développé un algorithme
efficace pour tester la validité de la formule de Cooray, pour une évaluation exacte du champ
électromagnétique en dessous d’un sol imparfait.
La formule de Cooray utilisée pour la prédiction du champ électromagnétique permet
l’obtention d’un bon accord avec la solution exacte pour les grandes valeurs de la conductivité
du sol (≈ 0.01 S/m). Cependant, pour les petites valeurs de la conductivité (≈ 0.001 S/m), la
formule de Cooray donne des résultats moins satisfaisants par rapport à la formulation exacte.
I.4.2.3 Calcul du champ électromagnétique par la méthode FDTD
Le premier algorithme FDTD a été introduit dans le domaine de l’électromagnétisme
par Yee [51] en 1966. Il a été ensuite raffiné et employé par beaucoup de chercheurs dans
différents secteurs comportant les phénomènes de dispersion des ondes électromagnétiques,
de couplage onde-structure, d'interaction électromagnétique avec les tissus biologiques [52],
et ainsi de suite. Cette technique est devenue à l’heure actuelle un outil de calcul très puissant
en électromagnétisme [53].
Comparée aux approches traditionnelles pour l'évaluation du champ électromagnétique à
proximité du canal de foudre, l’approche FDTD se distingue par sa robustesse et sa flexibilité
[54]. De plus, la conductivité finie du sol est prise en considération d'une manière directe
dans cette approche.
33
Chapitre I
Phénoménologie de la foudre entre les observations expérimentales et les
modèles mathématiques À notre connaissance, les travaux liés à l’utilisation de la méthode FDTD pour le
calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre ne sont pas nombreux.
Nous pouvons citer à titre d’exemple ceux de :
- Baba et Rakov [55], [56] où la méthode FDTD a été employée afin d’étudier les
mécanismes de la propagation de l’onde de courant le long des conducteurs verticaux [55] et
aussi pour reproduire des expériences à échelle réduite [56].
- Sartori et al [57] relatifs au développement d’une approche hybride basée sur l’utilisation
de deux méthodes à savoir la méthode des images pour le calcul du champ magnétique et la
méthode FDTD pour le calcul du champ électrique à partir des valeurs du champ magnétique
précédemment calculé. Le courant dans le canal est supposé constant et de forme
rectangulaire.
- Yang et al [58] concernant le calcul du champ électromagnétique au dessus du sol et à
proximité d'une décharge de foudre utilisant la FDTD. Ces travaux ont constitué une référence
dans la validation de la méthode dite « quasi-image » et de l’approche de Cooray-Rubinstein.
L’analyse la plus complète de l’environnement électromagnétique au voisinage d’un
canal de foudre par la méthode FDTD a été faite par Mimouni[59] et Mimouni et al. [60, 61,
62, 63]. Les composantes du champ électromagnétique sont évaluées au-dessus et en dessous
d’un sol, caractérisé par une conductivité finie.
Les conclusions principales tirées de l’analyse sont comme suit :
1. Les résultats obtenus confirment que le champ électrique vertical et le champ
magnétique azimutal à des distances proches du canal de foudre et au dessus du sol ne
sont pas affectés par la conductivité finie du sol. L’hypothèse du sol parfait est une
bonne approximation pour ces deux composantes.
2. Le champ électrique radial en dessous du sol est fortement affecté par la conductivité
du sol. Il est caractérisé par une polarité négative et une amplitude inversement
proportionnelle à la conductivité.
3. Le champ électrique vertical en dessous du sol est aussi affecté par la conductivité
finie du sol. Il est caractérisé par une polarité bipolaire et une amplitude beaucoup
moins importante que celle d’un champ horizontal ou celle d’un champ vertical au
dessus du sol.
34
Chapitre I
Phénoménologie de la foudre entre les observations expérimentales et les
modèles mathématiques 4. Les composantes du champ électrique en dessous du sol sont caractérisées par un
temps de montée rapide comparées à celui des composantes du champ électrique au
dessus du sol et celui du courant à la base du canal de foudre.
5. Les champs électriques, en dessous du sol, calculés en utilisant les modèles des lignes
de transmission (TL) et ceux des lignes de transmission modifiées (MTLE/MTLL)
sont identiques. Par contre, les modèles BG et TCS conduisent à des pics initiaux plus
pointus que ceux des modèles TL, MTLE et MTLL. Cela est en contradiction avec les
formes d’onde des champs obtenus au dessus du sol pour lesquels, des pics pointus
sont obtenus par les modèles BG et TCS à des plus grandes distances (quelques
Kilomètres et plus).
6. Le champ magnétique en dessous du sol n’est affecté par la conductivité électrique
que dans les premières microsecondes.
7. L’approximation de Cooray pour le calcul du champ électromagnétique en dessous du
sol n’est valable que pour des distances proches du canal de foudre et pour une
conductivité du sol supérieur à 0.001 S/m.
L’avantage de la méthode FDTD réside dans le fait que, tous les résultats sont obtenus sans
utiliser les approximations largement utilisées dans la littérature : l’approximation de CoorayRubinstein (calcul du champ électrique radial au dessus du sol) et la formule de Cooray
(calcul du champ électromagnétique en dessous du sol).
I.4.2.4 Validation expérimentale des modèles d’ingénieur
Dans la référence [3], Rakov et Uman ont présenté deux approches pour valider
expérimentalement les modèles de l’arc en retour à savoir : l’approche basée sur l’arc en
retour typique et l’approche issue de l’arc en retour spécifique.
1. Approche de l’arc en retour typique
Cette technique consiste à utiliser un courant typique à la base du canal de foudre et
une vitesse typique d’arc en retour comme données dans le modèle d’arc en retour ensuite
comparer le champ électromagnétique calculé à partir de ce modèle avec le champ
électromagnétique mesuré. Cette approche a été adoptée par Nucci et al. [22], Rakov et
Dulzon [64].Tottappillil et al. [65].
Ainsi afin de disposer de paramètres de référence servant à la validation expérimentale
des quatre modèles d’Ingénieur (BG, TCS, TL et MTLE), Nucci et al [22] ont exploité quatre
caractéristiques du champ électromagnétique mesuré par Lin et al. [38] :
35
Chapitre I
Phénoménologie de la foudre entre les observations expérimentales et les
modèles mathématiques 1. La première caractéristique est liée au fait que le champ électromagnétique présente pour
toute distance (entre 1 km et 200 km) un premier pic dont l’intensité est approximativement
inversement proportionnelle à la distance ;
2. La seconde caractéristique concerne la croissance en rampe, du champ électrique après
son pic initial et cela pour des distances proches;
3. La troisième caractéristique est relative à la bosse que présente l’allure du champ
magnétique à des distances proches. Cette bosse apparait après un pic initial dans l’intervalle
[10μs, 40μs] ;
4. La dernière caractéristique exploitée par Nucci et al. [22] concerne les allures du champ
électrique et magnétique lointains qui présentent une inversion de polarité.
A l’issue de leur étude présentée dans la référence [22], Nucci et al sont arrivés à
déterminer le modèle qui reproduit les caractéristiques expérimentales décrites ci-dessus.
Cette détermination consiste à valider expérimentalement les quatre modèles de l’arc en
retour. Les résultats obtenus de cette validation sont consignés dans le tableau I.8.
On note que le champ électromagnétique calculé à l’aide de ces modèles est en bon accord
avec le champ mesuré dans les premières microsecondes (le choix du modèle n’influe pas sur
le résultat voulu).
Tableau I.8 Validation expérimentale de quatre modèles de l’arc en retour selon Nucci et al.
[22]
BG
TCS
TL
MTLE
1ère caractéristique
modèle validé
modèle validé
modèle validé
modèle validé
2ème caractéristique
modèle validé
modèle validé
modèle non-
modèle validé
validé
3ème caractéristique
modèle validé
modèle validé
modèle validé
modèle nonvalidé
4ème caractéristique
•
modèle non-
modèle non-
modèle non-
validé
validé
validé
modèle validé
Diendorfer et Uman ont montré que le modèle DU reproduit bien les caractéristiques
1, 2 et 3 citées précédemment [47],
•
Thottappillil et al, [65].ont suggéré qu’un petit changement dans la forme du courant
à la base du canal de foudre (sans sortir du cadre de la forme typique) permet
l’obtention de la quatrième caractéristique avec les modèles TCS et DU.
36
Chapitre I
•
Phénoménologie de la foudre entre les observations expérimentales et les
modèles mathématiques Rakov et Dulzon [64] ont validé expérimentalement le modèle MTLL. Ce dernier
donne toutes les caractéristiques citées précédemment à part la troisième
caractéristique.
•
Thottappillil et al. [65] ont examiné la validité des modèles d’ingénieur dans la
simulation du rayonnement électromagnétique au voisinage d’un canal de foudre
déclenché artificiellement. Ces auteurs ont montré que le champ électrique est mieux
reproduit par les modèles : BG, TCS, MTLL et DU (caractéristique plate du champ
électrique, voir par exemple la figure I.20).
2.L’approche de l’arc en retour spécifique
Cette approche a été adoptée par Thottappillil et Uman [65]. Elle n’est faisable que
dans le cas d’un déclenchement artificiel ou dans le cas d’un coup de foudre tombant sur une
tour instrumentée. Elle consiste à mesurer simultanément le courant à la base du canal, la
vitesse de l’arc en retour et le champ électromagnétique rayonné pour chaque événement et
effectuer par la suite la validation des modèles de l’arc en retour. Autrement dit, la validation
se fait pour chaque cas spécifique.
Thottappillil et Uman [65] ont examiné dix-huit évènements, le champ électromagnétique est
mesuré à 5 km.
Ils ont trouvé que les modèles TL, MTLE et DU reproduisent les premiers pics du
champ mesuré avec une erreur absolue moyenne d’environ 20%, par contre le modèle TCS
donne une erreur absolue moyenne d’environ 40%.
Dans la référence [3], Rakov et Uman ont classé les modèles d’ingénieur par ordre
décroissant à savoir : le modèle MTLL, le modèle DU, le modèle MTLE, le modèle TCS, le
modèle BG et le modèle TL. Cependant, le modèle TL est recommandé pour l’estimation du
premier pic du champ à partir du pic du courant et vis versa.
I.5 Conclusion
Il est connu que le rayonnement électromagnétique généré par la foudre peut affecter
les systèmes électriques et électroniques. Pour mieux protéger ces systèmes, il est nécessaire
de caractériser le champ électromagnétique en vu d’estimer ses effets indirects et ainsi
déterminer une coordination correcte de protections.
Pour déterminer le champ électromagnétique rayonné, il est faut connaître la
distribution du courant le long du canal,
Dans ce chapitre nous avons présenté en premier lieu, une description de la
phénoménologie de la foudre, ensuite la caractérisation expérimentale, la modélisation de la
distribution du courant le long du canal et la représentation analytique du courant de foudre à
37
Chapitre I
Phénoménologie de la foudre entre les observations expérimentales et les
modèles mathématiques la base du canal, enfin
la caractérisation expérimentale et la
modélisation du champ
électromagnétique rayonné par la foudre.
Dans le deuxième chapitre, on va étudier et analyser la méthode TLM afin de pouvoir
développer un code de calcul qui nous permettra de calculer le champ électromagnétique
rayonné par un coup de foudre.
38
Chapitre II Concepts de base de la méthode TLM Chapitre II Concepts de base de la méthode TLM II.1 Introduction
La méthode de modélisation TLM (transmission line Matrix) est une méthode
numérique basée sur le modèle de Huygens de la propagation des ondes électromagnétiques
[66], et inspirée par les techniques de simulation du réseau électrique. Dans ce chapitre nous
allons présenter les concepts de base de cette méthode
II.2 L’idée générale de la méthode
L’idée de la méthode TLM développée par Johns [2] est d’employer des composants
mis en bloc tel que R, L et C pour modéliser les problèmes du champ électromagnétique.
La méthode de TLM :
•
Associe trois théories [67]:
1. La théorie des ondes,
2. La théorie des champs (Les équations de Maxwell),
3. La théorie des lignes de transmission
•
Et consiste à [1]
1. Remplacer le problème du champ électromagnétique par un réseau électrique
équivalent (matrice de lignes de transmission et de Nœuds) et faire une analogie
entre le champ électrique et magnétique avec les paramètres du réseau.
2. Résoudre les équations du réseau électrique équivalent par les méthodes
itératives.
II.3 Développement de la méthode
Le terme MATRIX dans le nom de la méthode TLM est censé se rapporter à
l'utilisation d'une matrice de lignes de transmission comme un milieu de modélisation.
Les ingénieurs sentent parfois qu'ils comprennent la théorie du circuit électrique mieux que la
théorie des champs. [67]
Le modèle du réseau électrique est simple et efficace dans son utilisation ce qui le rend
un modèle adéquat pour les chercheurs qui veulent et qui exigent un outil de travail pour
tester et développer leurs idées créatives de conception.
Au début de la science électrique, les modèles explicatifs des phénomènes électriques été
basé sur les modèles mécaniques. Ceci a mené au développement conceptuel des composants
mis en bloc tel que L et C pour décrire le stockage de l'énergie concentrée dans les champs
magnétiques et électriques, quelque chose proche au stockage de l'énergie cinétique et
potentielle dans les systèmes mécaniques. Il était donc naturel d’employer des composants
mis en bloc pour modéliser d'autres situations physiques (systèmes mécaniques y compris) à
condition de prendre des soins appropriés [67].
39 Chapitre II Concepts de base de la méthode TLM 1. En basses fréquences, les circuits sont pris en termes comme des composants mis en bloc
(capacités, inductances et résistances) et des quantités telles que la tension et le courant.
Ce qui importe c’est la taille électrique du circuit, c.-à-d. ses dimensions par rapport à la
longueur d'onde λ à la plus haute fréquence d'intérêt.
ƒ
Si les dimensions physiques du circuit dans toutes les directions sont beaucoup plus
petites que la longueur d'onde A λ alors le circuit fonctionne dans le régime de
basse fréquence. Dans ce régime, le paradigme approprié est celui du « réseau » où le
facteur important dans l'opération de circuit est sa topologie [67]. (Lois de Kirchhoff
pour les circuits électriques). système optique géométrique (indépendant de fréquence).
ƒ
Si le circuit est électriquement grand A λ seulement dans une dimension, alors on
peut parler d'un circuit « distribué » et employer un développement du paradigme de
réseau connu sous le nom de « la théorie des lignes de transmission». Les techniques
spéciales d'analyse sont connues comme théorie de circuit ;
ƒ
Quand les combinaisons de la fréquence et de la taille physique (telles que les
dimensions du circuit) sont comparables à la longueur d'onde dans chacune des trois
dimensions A ≈ λ Alors dans ce régime le paradigme du réseau échouera et le modèle
du réseau utilisé donnera des erreurs incontournables et des idées fausses. Ce qui rend
le paradigme du champ nécessaire. En utilisant le concept du champ nous assignons
des quantités de l'espace de sorte que les transferts de champ soient entre la matière
électriquement chargée. Techniques spéciales d'analyse sont connues comme théorie
des micro-ondes ;
2. En hautes fréquences, le fonctionnement d'un circuit avec des concepts du champ qui
dépendent de la topologie du circuit (c.-à-d., connectivité et également sa géométrie) rend
les problèmes de champ considérablement plus difficiles à résoudre que des problèmes de
réseau [67] .
Les lois du réseau telles que la loi de Kirchhoff sont dérivées des équations de
Maxwell sous certaines simplifications. Toutes fois, c’est possible d’utiliser ces concepts
puisqu'ils sont beaucoup plus simples pour les mettre en application dans les modèles,
cependant pour les structures électriquement grandes il est primordial d’identifier le besoin de
nouveaux modèles où les exigences particulières du comportement du champ doivent être
entièrement expliquées.
Le modèle TLM est plus générale et exécute mieux en hautes fréquences là où les
propriétés de transmission et de réflexion dans les géométries discontinues ne peuvent pas être
considérées comme mises en bloc. [69]
40 Chapitre II Concepts de base de la méthode TLM II.3.1 Représentation du milieu de modélisation
Le milieu de modélisation est représenté par une matrice de lignes de transmission.
Naturellement, il faut établir les détails exacts de la topologie de la ligne de transmission (TL)
du réseau qui compose le modèle de TLM, les paramètres de TL correspondant à de différents
milieux à savoir ( Z TL , Δt ).
Ils sont choisis selon des contraintes [67]:
1. La capacité et l’inductance totales représentées par le modèle doivent s'accorder avec les
propriétés électriques et magnétiques du bloc de l'espace (la cellule) représenté par le
Nœud.
2. Δt est choisi assez petit pour rendre l'erreur de modélisation négligeable.
•
Il doit être beaucoup plus petit que la période de la plus haute fréquence d'intérêt, pour
éviter les erreurs.
•
Et dans le cas des coupures il doit être beaucoup plus petit que le temps de transition le
plus court.
•
Il est important que le synchronisme soit maintenu dans tout le maillage de TLM (le
même pas de temps).
Ceci devient une issue en modélisant les matériaux non homogènes.
•
Dans le cas des circuits dans l'espace étendus, le choix du Δt implique un choix de la
longueur de discrétisation spatiale ΔA par le rapport ΔA = u Δt , Où u : est la vitesse de
propagation
•
Dans ces cas là, la longueur de la discrétisation spatiale ΔA doit être beaucoup plus
petite que la longueur d'onde de la plus haute fréquence d'intérêt (un dixième de la
plus courte longueur d'onde). Cependant, une résolution plus fine peut être nécessaire
pour quelques problèmes.
II.3.1.1 Cas d’un milieu homogène
Le milieu est dit homogène si toutes les sections de ce milieu ont les mêmes
propriétés. C'est-à-dire que les propriétés du milieu n’ont pas besoin d’être pris en
considération pour modéliser les milieux homogènes et par conséquent il est possible
d'employer un maillage simple. [66]
Dans ce cas, on peut supposer que les nœuds voisins transmettront la pression entre eux de la
même manière.
II.3.1.2 Cas d’un milieu non homogène
En modélisant un milieu non homogène, on devrait considérer les propriétés du milieu
dans le modèle.
41 Chapitre II Concepts de base de la méthode TLM La plupart des problèmes de technologie sont non homogènes, il y a l'espace libre ε 0 , μ0 et également la présence de d’autres matériaux (magnétiques ε 0 , μ ).
II.3.1.3 Lignes de transmission comme milieu de modélisation
Une ligne de transmission est un dispositif pour transmettre l'énergie d'un point à un
autre. Cette énergie peut être pour
l'éclairage, le chauffage ou sous forme de signal
d'information (la parole, images, données, musique). Fondamentalement, une ligne de
transmission a deux bornes d’entrées d’où la puissance (ou l'information) est introduite, et
deux bornes de sorties d’ou la puissance (ou l'information) est reçue. [66] Ainsi une d’elle
peut être considérée comme un dispositif de quatre-borne.
•
Une ligne de transmission peut être modélisée comme une série de systèmes mis en bloc
comme c’est montré en dessous:
•
Il n'y a aucun système réel mis en bloc dans le monde, mais quand la taille du système est
très petite par rapport à la longueur d'onde, alors on peut supposer que ces systèmes sont
mis en bloc.
•
Pour une ligne de transmission linéaire, chacun de ces systèmes mis en bloc peut être
modélisé en tant que des combinaisons d'inductances, condensateurs et résistances. Et si la
ligne de transmission est sans perte, alors il n'y a aucune résistance dans le modèle.
•
Le segment d’une ligne de transmission TL d’une longueur A à besoin de deux quantités
pour sa pleine caractérisation, [66] le plus fondamentalement : son inductance Ld et de sa
capacité Cd par unité de longueur. Alternativement, cette paire fondamentale peut être
substituée par la vitesse de propagation u et l’impédance caractéristique de la ligne ZTL .
C’est paramètres ne sont pas indépendant.
42 Chapittre II Con
ncepts de base de laa méthod
de TLM II.3.1.3.1 Modèle du
d circuit équivalent
é
d’une lignee de transm
mission
L modèle du circuitt équivalennt d'une lon
Le
ngueur diffférentielle ΔA d'une ligne
l
de
transmisssion de deuux conducteeurs est monntré dans laa figure II.1.. [1]
F
Figure
II.1 circuit
c
équ
uivalent d'u
une longueu
ur différenttielle Δx d''une ligne de
d
traansmission [1]
L’onde va se propaager de a souurce vers laa charge dan
ns la directioon de x.
R : résisstance par unnité de longueeur (Ω/m))
L : induuctance par unité
un de longuueur (H/m)
C : capaacité par unitéé de longueurr
(F/m)
G : condductance par unité de longgueur (Ω-1/m
m)
II.3.1.3.2 Equation
ns des téléggraphistes de
d la ligne de transmiission (TL) [1]
Δx ∂I
Δx
Δx
I ( x, t ) + L
( x, t ) + V ( x +
, t)
2
2 ∂t
2
Δx
Δx
Δx ∂I
( x, t )
V ( x, t ) − V ( x +
I ( x, t ) + L
, t) = R
2 ∂t
2
2
diviser par
p Δx et prendre
p
la lim
mite Δx → 0 on trouve
2
V ( x, t ) = R
−
∂V
∂I
( x, t ) = R I ( x, t ) + L ( x, t ) Equatioon de la tension ∂x
∂t
(II.1) (II.2) faire dee même pouur le courantt
Δx
Δx
∂V
Δx
I ( x, t ) = I ( x +
, t ) + GV ( x +
, t) + C
(x +
, t) 2
2
∂t
2
Δx → 0 on trouve
−
∂I
∂V
( x, t ) = GV ( x, t ) + C
( x, t ) Equatiion du courant ∂x
∂t
Combinnant ces deuux équationss pour tirer la formule de
d la tensionn et du courrant on trou
uve
∂ 2V
∂ 2V
∂V
=
+ RGV + ( RC
L
LC
R + GL )
2
2
∂t
∂t
∂x
(II.3) ∂I
∂2 I
∂2 I
+ ( RC
= LC
L
R + GL ) + RGI
2
2
∂t
∂t
∂x
(II.4)
(II.5)
Les deuux équationss (II.3) et (III.4) sont de la forme su
uivante :
∂ 2Φ
∂ 2Φ
∂Φ
=
(LC)
+ (RC+GL
L)
+(RG)) Φ 2
2
∂x
∂t
∂t
43 Chapittre II Con
ncepts de base de laa méthod
de TLM Tableaau II.1 Les trois
t
différeents types dee modèle du
u circuit équuivalent repprésentant lees trois
types d’équations
d
s partielles différentiellles [1].
R=C
C=0 ou G=L
L=0 ⇒ R=G=
=0 (ligne san
ns pertes) ⇒ ∂ 2Φ
∂Φ
∂
= k2
2
∂t
∂x
∂ 2Φ
∂ 2Φ
= k3 2 ∂x 2
∂t
k2 = GL ouu RC
k3 = LC
L
une PDE
P
elliptiqque à une
DE parabolique à une
une PD
PDE hyperb
bolique à unne
Une P
dimenssion appeléee l’équationn
dimenssion appeléee l’équationn
dimenssion appeléee l’équationn de
de Poissoon
de diffusion
Helmhholtz ou l’éq
quation d’onnde
L=C
C=0 ⇒
∂ 2Φ
= k1Φ ∂x 2
k1 = RG
G
Le modèèle du circuuit équivalennt d'une lonngueur différentielle ΔAA d'une lignne de transm
mission de deux
d
conduucteurs monntré dans la
a figure II.1 se réduit à :
Modèlee du circuit équivalentt
Modèlee du circuit équivalent
Modèèle du circu
uit équivalennt
d’une ligne de traansmission
d’une ligne de traansmission
d’une liigne de tran
nsmission pour
p
pour l’équation
l
d Poisson
de
pour l’équation dee Diffusion
l’équation d’onde
II.3.2 La
L théorie des
d ondes mobiles
m
[1]
On prennd le modèlee du circuit équivalent d’une lignee de transmiission pour l’équation d’onde.
d
R=G=00 ∂I ( x , t )
∂V ( x , t )
=L
∂t ∂x
∂V ( x , t )
∂I ( x , t )
=C
−
∂t
∂x
−
On dérivve les deux équations, on trouve
∂ 2V ( x, t )
∂ 2V ( x, t )
=
LC
∂t 2
∂x 2
∂ 2 I ( x, t )
∂ 2 I ( x, t )
=
LC
∂t 2
∂x 2
Figure II.2(a)
I
: seggment d’un
ne ligne de transmissio
t
on (sans peerte) [67]
44 Chapitre II Concepts de base de la méthode TLM •
La différence de potentiel appliqué à l’extrémité V se propagera disant à une distance
Δ x pendant Δt , par conséquent la charge transférée pour charger cette section du TL
est :
ΔQ = ( Cd Δx ) V (II.6)
ΔQ
Δx
= CdV
= Cd V u Δt
Δt
(II.7)
•
I=
Le courant sera donc
De même,
•
le flux magnétique lié avec cette fraction de l'inductance de TL, qui est chargée, est
ΔΦ = ( Ld Δx ) I = Ld Δx Cd V u
Là où l’équation (II.7) est employée pour remplacer le courant. A partir de la loi de Faraday
on obtient :
V =
ΔΦ
= Ld Cd V u 2 Δt
(II.8)
Et on éliminant V nous obtenons une expression pour la vitesse de la propagation
1
Ld Cd
u=
(II.9)
On substituant (II.9) en (II.7) ça donne le rapport entre la tension et les impulsions de courant
sur la ligne
V
Ld
I =
=
V Z TL
(II.10)
Cd
Le temps de propagation que fait l’onde pour parcourir la longueur totale de la ligne est :
τ=
A
= A Ld Cd = LC u
(II.11)
(II.12)
Où L : Est l’inductance totale et C la capacité totale du segment TL.
L’impédance caractéristique est
Z TL =
L A
C A
=
L
C
(II.13)
Multiplier et diviser (II.11) et (II.12) nous obtenons :
τ Z TL = L
,
τ
Z TL
=C L’établissement du temps de passage et l'impédance caractéristique d'un segment de TL défini
une capacité et une inductance données par l’équation (II.13).
45 Chapittre II Con
ncepts de base de laa méthod
de TLM II.3.2.1 Condition
ns aux limites [67]
Ce sont les coonditions dee source ett de chargee (en mathématique, iils veulent dire les
conditioons aux limiites).
1) Si nous suupposons quue la fin loointaine du segment est
e un circuuit ouvert alors
a
les
c
conditions
aux limitess ici précepptes que lee courant doit
d
être appporté à zérro. C'est
l
l'origine
de la réflexionn au circuitt ouvert qui prend la foorme d’une onde de teension et
d courant voyageant vers
de
v l'extrém
mité de la source
s
tel que
q le couraant total surr la ligne
t
tend
vers zééro.
2) Par
P conséquuent, si la ligne
l
est asssumée sans perte, l'éneergie stockéée dans l'ind
ductance
p
peut
ne pluus rester là ( I = 0 ) et doonc la tension double pour
p
adapterr dans la caapacité la
m
moitié
de tooute l'énergiie stockée qui
q a été associée à l'indductance.
II.3.2.2 Coefficien
nt de réflexiion des ond
des
N
Nous
assum
mons que l’impédance caractéristiique de la ligne
l
de traansmission (TL) est
ZTL , l’iimpédance d’entrée dee la ligne (ll’impédancee de la sourrce) est Z in et l’impéddance de
charge connectée
c
à l’extrémitéé de la lignee est Z1 . Figure II.22 (b) représsentation scchématiquee de la théoorie des ond
des mobiless
L’onde de tension V va être en
e premier lieu
l
inciden
nte jusqu'à un
u certain teemps elle reeviendra
et devieendra une onde
o
réfléchhie. De mêm
me pour le co
ourant,
V ( x, t ) = V i ( x − ut ) + V r ( x + utt )
I ( x, t ) =
V ( x, t )
Z1
ZTL =
L
C
Si la ligne est sujjet d’excitaation harmoonique et nous
n
sommees intéresséé par une réponse
équilibrrée alors less phases de la tension et
e des couraants au débuut et à la finn du segmen
nt de TL
sont rappportées parr l'expressioon :
⎡ cos β A
⎡V (0) ⎤ ⎢
⎢
⎥ = ⎢ sin β A
⎣ I (0) ⎦ ⎢ j Z
TL
⎣
jZTL sinnβ A ⎤
⎥ ⎡V (A) ⎤ = ⎡ A B ⎤ ⎡V (A) ⎤
⎥ ⎢ I (A) ⎥ ⎢⎣C D ⎦⎥ ⎢ I (A) ⎥
cos β A
⎦
⎣
⎦
⎥⎦ ⎣
(II.14) Où
46 Chapittre II Con
ncepts de base de laa méthod
de TLM β : C’eest la constaante de phasse de la lignne β = ω Ld Cd , et donnc β A = ωτ .La matricce qui lie
les paraamètres d'enntrée et de sortie
s
est connue sous le
l nom de laa matrice A
ABCD. L'im
mpédance
d'entréee Z in du TL
L dans ces conditions
c
e une foncttion compliiquée donnéée par la forrmule
est
Z1
+ j tan(β A)
Zin
ZTL
=
ZTL 1 + j Z1 tan(( β A)
ZTL
(II.15) Où Z1 est
e l’impédaance de charrge connectéée à l’extrém
mité de la liigne.
II.3.2.2.1 Coefficieent de réfleexion à l’en
ntrée de la ligne
l
Z in − ZTL
T
Z in + ZTL
T II.3.2.2.2 Coefficieent de réfleexion à l’exxtrémité de la ligne
Γe =
Z1 − ZTLL
Z1 + ZTLL On supppose qu'uune impulsioon de tension peut être injectée ddans la lignne au port AA
A à un
Γ=
intervalle régulier τ .
Z1 → ∞ .
• Si la fin
f BB est un
u circuit ouvert
o
Γ =1
L
L'implicatio
on de ceci est
e que penddant chaque intervalle τ l'impulsioon voyage sur
s la TL
ne channge pas et donc
d
il est léégitime pouur affirmer que si on reegarde la T
TL à BB, laa tension
double de
d taille (éggale à 2V i ) .C'est un réésultat utile car il nous permet de construire le
l circuit
équivaleent de Thevvenin avec un
u segment de TL qui est
e valide poour un interrvalle de tem
mps égal
àτ .
L situationn illustrée dans
La
d
la figuure II.3 mon
ntre le circuuit équivaleent de Thev
venin de
l’impulssion de tenssion V i inciddente sur le port BB. [6
64]
F
Figure
II.3 Circuit de Thevenin équivalent
é
vu à BB [667]
47 Chapitre II Concepts de base de la méthode TLM De même, pendant l'intervalle de temps τ la tension V injectée dans la ligne au port BB
dessinera un courant égal à V
ZTL puisqu'au point d'injection il ne peut y avoir aucune
connaissance de l'arrêt réel de TL à AA.
• Si le segment de ligne est court-circuité au BB Z1 = 0
Γ = −1 V (A ) = V i (A ) + V r (A )
= V i (A) + (−1)V i (A)
=0
I ( A ) = I i (A ) + I r ( A )
= 2 I i (A )
II.3.3 Discrétisation temporelle d’un modèle de composant mis en bloc [67]
D’une manière générale, un segment de ligne de transmission se compose d’un
ensemble d’inductances et de capacités et donc il est possible de souligner ses aspects
capacitifs et inductifs.
Afin de modéliser un condensateur C, il faut réduire au minimum sa nature inductive.
Il est clair que pendant que nous accomplissions ceci, il reste toujours une certaine
contribution inductive qui doit être interprétée comme erreur de modélisation. Le même
traitement nous permettra de modéliser l’inductance L.
Tout arrangement numérique basé sur une discrétisation temporelle finie Δt représente des
erreurs.
Le temps de propagation τ que fait l’onde pour parcourir la longueur totale de la ligne
est associé au pas temporel Δt et les erreurs associées sont interprétées en termes d’inductance
parasite si on modélise une capacité. De la
même manière, les erreurs associées sont
interprétées en termes de capacité parasite si nous modélisons l’inductance L.
Il est facile de voir comment un segment court d'une TL peut être employé pour modéliser
une capacité ou une inductance.
Considérant le segment de ligne montré dans la figure II.2 (a),
• Si la fin de BB est un circuit ouvert Z1 → ∞ .
L’impédance Z in au port AA est calculée a partir de l’équation (II.15) on trouve qu’elle est
égale a :
Z in = Z j tan( β A)
48 Chapittre II Con
ncepts de base de laa méthod
de TLM Si la loongueur duu segment de
d ligne esst très petite par rapp
port à la loongueur d’onde λ c’est-à-ddire que A λ alors tan( β A) ≈ β A . Et donc l’impédan
nce internee est donnéée par la
formulee suivante :
Z in ≈
Ld A
Cd A
(
)
j ω Ld Cd A = 1 jω (Cd A)
Si le seegment de ligne
l
de traansmission est
e électriqu
uement couurt il peut êêtre regardéé comme
une petiite capacité..
• Si le segment de ligne est co
ourt-circuitté au BB, ill est considééré comme une inductaance.
Il y a deux
d
modèles possibles pour une capacité ett pour une inductance (modèle à un port « une lig
gne mise enn bloc » et un
u modèle à deux ports « une lignee de lien ».
II.3.3.1 Modèle à un
u port « une
u ligne mise en bloc » [67]
•
mod
dèle de la capacité
Le modèle
m
de base
b
est un circuit ouveert de segm
ment de TL à une extrém
mité avec un
n Round
Trip Tim
me (temps de va et vieent) égal à Δt (dans cee cas le tem
mps τ = Δt 2 ) et de lon
ngueur A
comme c’est montrré dans la fiigure II.3(a))
Figuree II.3(a) moodèle d’un circuit ouvvert (o/c) mis
m en bloc représentan
r
nt une capa
acité et
son circuit de Thevenin
T
équivalant
é
[54].
τ
Δt
A partir de l’équaation (II.13) l’impédan
nce caractééristique ZC est égale à Z C = =
et
C 2C
( Δt )
Δt
l’inducttance parasiite est égale à Lerr = ZC =
.
2
4C
2
L’erreurr peut être réduite
r
en rééduisant Δt .
L signal au
Le
a port du stub est mis
m à jour à l’intervalle de tempps Δt , et à l’instant
mpulsion de tension réffléchie V r du
d port du stub atteinddra la fin du
u circuit
k Δt (k : entier ) l’im
ouvert après
a
un teemps égale à Δt 2 Et elle
e sera réffléchie avecc le même signe et deeviendra
incidentte au port auu prochain pas
p temporeel ( k + 1) Δ t .
L nature caapacitive du
La
u stub (moiggnon) est in
ncorporée daans ce procéédé.
C'est-à-dire
l'imppulsion de tension inccidente
au
u port au moment
m
( k + 1) Δ t est égale à
l'impulssion réfléchiie du mêmee port au pass précédent k Δt
49 Chapittre II Con
ncepts de base de laa méthod
de TLM Vi =k Vr .
k+1
Le moddèle discret d'une
d
capaccité mise en bloc se présente comm
me suit :
1) Obtenir
O
V i à partir des conditions initiales.
VC par la résollution du ciircuit dont la
2) Obtenir
O
l capacité est
e connectéée.
3) Obtenir
O
la tension réflléchie vers le
l stub V
r
= VC −V i
4) Obtenir
O
la tension inccidente au port
p du stub
b au prochaain pas tempporel ( k + 1) Δ t qui
e dans ce cas la tensioon réfléchiee du précédeent pas tempporel.
est
•
Mod
dèle d’une inductancee
Le proccédé de moddélisation d’une
d
inductance mise en bloc estt pareil quee pour le mo
odèle de
capacitéé.
Ce moddèle consistee à court-ciircuiter un segment
s
de ligne de traansmission ou Z L =
L
τ
=
2L
et
Δt
( Δt )
Δt
= ZL =
.
2
4L
2
la capaccité parasitee est égale à Cerr
L’impullsion de teension inciddente
au port au mo
oment
mpulsion
( k + 1) Δ t est éégale à l'im
réfléchie du même port au pas précéddent k Δt maais avec unn signe néggatif pour dire
d
que
l'extrém
mité lointainne d'un stub inductif estt un court-ciircuit k +1V i = − k V r . II.3.3.2 Modèle a deux
d
ports « une lignee de lien » [67]
L modèlees de lien dees condensaateurs et dess inductancees sont des segments de
Les
d lignes
ouverts aux deuxx extrémitéés avec unn seul tem
mps de paassage Δ t eet des imp
pédances
e des induuctives Z C , Z L associéées respectivvement aux
x erreurs
caractérristiques caapacitives et
Le , Ce .
Figu
ure II.3 (b) le modèle d’une
d
lignee de lien d’u
une capacitté et d’une inductancee [67]
( Δt )
Δt
Z C = , Le =
C
C
2
( Δt )
L
Z L = , Ce =
Δt
L
2
50 Chapitre II Concepts de base de la méthode TLM Le modeleur est libre de choisir le modèle des composants mis en bloc ou le modèle
des liens ça dépend de la nature du problème et de la convenance.
Les erreurs cependant se combinent différemment et quelques choix peuvent être
légèrement meilleurs que d'autres.
Si on modélise une capacité on sait qu’il existe une certaine inductance parasite Le associée
avec le modèle.
Fournir Le petite, elle peut être regardée comme une inductance inévitable liée aux fils d'un
condensateur réel petit et donc une représentation parfaite d'un vrai condensateur.
Dans les cas où nous avons des inductances et des capacités dans le même circuit,
l’erreur de la capacité modélisée Ce associée à L peut être soustraite de C et ainsi réduire au
minimum les erreurs lointaines.
Une considération consciencieuse pour modéliser les erreurs, c’est faire une réduction
de Δt et un ajustement le long des lignes mentionnée ci-dessus peut maintenir une grande
précision dans les calculs.
On peut considérer les modèles des composants mis en bloc L et C de TLM comme
une classe de transformée discrète de TLM qui peut être appliquée comme la transformée de
Laplace pour résoudre les circuits ou les équations intégrales-différentielles.
Au lieu de passer à la transformée de Laplace pour résoudre les équations des lignes
de transmission, on peut utiliser la transformée discrète de TLM qui transforme directement
dans le domaine temporel discrétisé et ainsi elle offre de bons résultats.
II.3.4 Equations de Maxwell
Les lois fondamentales de la théorie du circuit peuvent être obtenues à partir des
équations de Maxwell en appliquant une approximation valide quand A λ . [1]
Cependant, il convient de noter que la théorie du circuit n'a pas été développée par une
approximation des équations de Maxwell, mais plutôt développée indépendamment à partir
des lois obtenues expérimentalement.
Le raccordement entre la théorie de circuit et les équations de Maxwell (récapitulant la
théorie des champs) est important ; il rajoute une meilleure compréhension pour les principes
fondamentaux de l'électromagnétique.
Les équations de Maxwell rapportent la période et la variation spatiale des champs
électromagnétiques.
Ces équations avec les limites, la continuité et autres relations auxiliaires, forment les
outils de base pour l'analyse de la plupart des problèmes électromagnétiques. [69]
51 Chapitre II Concepts de base de la méthode TLM G
∂H
rot E = −μ
∂t
G
∂E rot H = j + ε
∂t
II.3.4.1 Développement des équations de Maxwell avec les coordonnées cartésiennes [59]
⎧ ∂Ez ∂E y
⎧ ∂H z ∂H y
∂H x
−
= Jx + ε
−
= −μ
⎪
⎪
∂
∂
∂
y
∂
z
∂
t
y
z
⎪
⎪
⎪⎪ ∂H x ∂H z
⎪⎪ ∂Ex ∂Ez
∂H y
−
= Jy +ε
−
= −μ
⎨
⎨
z
x
t
∂
z
∂
x
∂
∂
∂
⎪
⎪
⎪ ∂H y ∂H x
⎪ ∂E y ∂Ex
∂H z
−
= Jz + ε
−
= −μ
⎪
⎪
∂y
∂y
∂t
⎪⎩ ∂x
⎪⎩ ∂x
∂Ex
∂t
∂E y
∂t
∂Ez
∂t
II.3.4.2Développement des équations de Maxwell avec les coordonnées cylindriques [59]
∂H ϕ
1 ⎛ ∂Ez ∂Er ⎞
−
⎟
μ ⎜⎝ ∂r
∂t
∂z ⎠
∂H
∂E
σ Er + ε r = − ϕ
∂t
∂z
∂
∂E
1 ( rH ϕ )
σ Ez + ε z =
r ∂r
∂t
=
II.3.5 Modèle TLM 1D [67]
On utilise une seule ligne de transmission comme milieu de modélisation.
II.3.5.1 Equivalence entre les paramètres du réseau et ceux du champ électromagnétique
d’une onde plane suivant l’axe X
La propagation d'une onde plane se produit le long de la direction X (x-direction)
dans un milieu avec pertes :
E=(0,E ,0)
y
H=(0,0,H ) z
On utilisant les équations de Maxwell, pour ce cas, La loi de Faraday se réduit à :
∂E ( x, t )
∂H ( x, t )
y
z
= −μ
∂x
∂t
(II.16)
(II.17)
La loi d’Ampère se réduit à :
∂E ( x, t )
∂H ( x, t )
y
z
−
= jy + ε
∂x
∂t
Remplacer le champ électrique par la relation:
E = j y σ y
Nous trouverons l’équation pour la densité du courant:
52 Chapitre II Concepts de base de la méthode TLM ∂j ( x, t )
∂H ( x, t )
y
z
= −σμ
∂x
∂t
∂j ( x, t )
∂H ( x, t )
ε y
− z
= jy +
∂x
∂t
σ
Différenciant respectivement les deux équations par rapport à « x » et « t » on trouve
∂ 2 j ( x, t )
∂H ( x, t )
y
z
=
−
σμ
2
∂x
∂x∂t
2
∂H ( x, t ) ∂j y ε ∂ j y ( x, t )
− z
=
+
∂x∂t
∂t σ
∂t 2
On réarrangeant les deux équations et éliminer l’intensité du champ magnétique, nous
obtenons l’équation d’onde
∂ 2 j y ( x, t )
∂x 2
= με
∂ 2 j y ( x, t )
∂t 2
+ μσ
∂j y ( x, t )
∂t
(II.18)
Où μ , ε et σ sont respectivement la perméabilité magnétique, la permittivité diélectrique et la
conductivité électrique du matériel dans lequel l’onde va se propager. On considère un long circuit distribué (une ligne de transmission, TL) comme c’est montré
dans la figure II.4. Après la pratique normale, on modélise le circuit distribué comme une
cascade de segments chacun constitué de composants mis en bloc R, L et C représentant la
dissipation de l’énergie stockée dans le champ magnétique et électrique.
Figure II.4 Cascade de segments d'une ligne de transmission. [67]
On appliquant la loi de tension et de courant de Kirchhoff, On obtient :
−V ( x, t ) + V ( x − Δx, t ) = LΔx
∂I ( x − Δx, t )
∂t
on dévise par Δx
−V ( x, t ) + V ( x − Δx, t )
=
Δx
supposer que Δx → 0
LΔx
∂I ( x − Δx, t ) ∂t
Δx
53 Chapitre II Concepts de base de la méthode TLM −
∂V ( x , t )
∂I ( x , t )
=L
∂x
∂t
− I ( x, t ) + I ( x − Δx, t ) = C Δx
(II.19) (II.20) ∂V ( x − Δx, t ) 1
+ ΔxV ( x − Δx, t )
∂t
R
on dévise par Δx
− I ( x , t ) + I ( x − Δx , t )
=
Δx
supposer que Δx → 0
−
C Δx
∂V ( x − Δx, t ) 1
+ ΔxV ( x − Δx, t )
∂t
R
Δx
∂I ( x , t )
∂V ( x , t ) V ( x , t )
=C
+
∂x
∂t
R
on combinant ces deux équations pour éliminer la tension, on obtient ∂ 2 I ( x, t )
∂ 2 I ( x, t )
1 ∂I ( x , t )
=
+L
LC
2
2
∂x
∂t
R ∂t
(II.21) Nous contrasterons l’équation (II.21) Pour le modèle de la ligne de transmission avec (II.18)
pour la propagation d’onde unidimensionnelle dans un milieu avec pertes. L’observation clé
∂ 2 I ( x, t )
∂ 2 I ( x, t )
1 ∂I ( x, t )
=
+L
LC
2
2
∂x
∂t
R ∂t
∂ 2 j y ( x, t )
= με
∂x 2
∂ 2 j y ( x, t )
∂t 2
+ μσ
∂j y ( x, t )
∂t
On peut remarquer que ces deux équations ont exactement la même forme
La vitesse de propagation est u u=
u=
1
με
1
LC
(II.22)
(II.23)
Cet isomorphisme nous montre que le réseau peut être la base d'un modèle pour le problème
de champ décrit par les équations de Maxwell menant à l’équation (II.18)
Si on trouve le moyen de résoudre l’équation (II.21) du courant pour la cascade de segment
de ligne du réseau, Alors par analogie, on peut résoudre l’équation (II.18) de la propagation
d’onde unidimensionnelle dans un milieu avec pertes.
On peut déduire que la vitesse de la propagation sur une TL dépend entièrement des
propriétés matérielles du milieu, c.-à-d.
u=
1
με
(II.24)
54 Chapitre II Concepts de base de la méthode TLM Cependant, l'impédance caractéristique du TL n'est pas égale à l'impédance intrinsèque du
milieu, c.-à-d.,
Z TL ≠ η =
μ
ε
(II.25)
L’analogie entre le réseau et les quantités du champ
jy ≡ I x
μ ≡ L
ε ≡C
σ ≡1 R
L'analogie est physiquement transparente
1. L’inductance par unité de longueur représente la perméabilité magnétique,
2. La capacité représente la permittivité diélectrique,
3. La résistance représente la conductivité électrique du matériel dans lequel l’onde va se
propager.
Il reste à établir l’analogie entre la tension et le courant dans le réseau et les deux champs
électrique et magnétique. A partir des équations (II.16) (II.17) (II.19) et (II.20) on trouve
E y ≡ Vx
Hz ≡ Ix
Il peut être montré pendant que la TL se charge, la moitié de l'énergie assurée par la source est
stockée dans le champ électrique (capacité) et l’autre moitié est stockée dans le champ
magnétique (inductance).
II.3.5.2 Comment actionner l'algorithme de TLM [67]
Un problème 1D est modélisé par une cascade de segments de TL. Trois segments
sont montrés dans la figure II.5 pour faciliter le calcul. La jonction entre les segments
adjacents est décris comme des nœuds et ils sont marqués n-1, n, n+1.
•
Les paramètres de chaque segment sont choisis pour représenter le système physique
modélisé,
•
maintenir le « synchronisme », l'échange des impulsions à la limite entre les segments
adjacents devrait avoir lieu en même temps.
•
Le temps de passage à travers chaque segment est le même dans tout le modèle (le
synchronisme),
•
cependant,
l'impédance caractéristique est différente pour chaque segment
Z n −1 , Z n , Z n +1 .
55 Chapittre II Con
ncepts de base de laa méthod
de TLM Figuree II.5 cascade de segm
ments, une partie
p
d’un
ne ligne de transmissio
t
on, représen
ntation
de la nootation pourr les impullsions de ten
nsion réflécchies et inccidentes.
Se positionner
p
comme étaant un obseervateur surr n’importe quel nœudd et des im
mpulsions
venant vers l’obseervateur de gauche et de droite (incidentess) et égalem
ment s'éloig
gnant de
l’observvateur vers la
l gauche ett vers la drooite (réfléch
hies).
Et ill faudrait doonc un marqquage efficaace pour cees impulsionns parce quee dans tout le calcul
on devrait garder un
u compte éttroit des im
mpulsions à chaque
c
nœuud.
¾ Le
L marquagge :
o (i) : inciidente, (r) : réfléchie
o (n) : le nœud
n
o (L) à gaauche, (R) à droite
¾ Toutes
T
les autres
a
impuulsions sont marquées de
d la même manière.
Au pas de temps k : un observateur au nœud
n
(n) po
ourra voire à gauche ett remplacerr ce qu’il
voit parr un circuitt équivalentt de Thevennin et aussii regarder à droite et faire exacteement la
même chose.
c
Les conditions au nœud (nn) à l'étapee k sont doonc comme représentéé dans la
figure III.6.
F
Figure
II.6 : Le circuitt de Theven
nin équivallant au nœu
ud (n) à l’in
nstant k . [67]
La tensiion au nœudd (n) est donnc donnée (le théorèm
me de Millman).
2 kVLin 2 kVR
Rni
+
Z n −1
Zn
kVn =
1
1
+
Z n −1 Z n
(II.25)
56 Chapitre II Concepts de base de la méthode TLM Les impulsions de tension réfléchies vers la droite et vers la gauche peuvent
maintenant être directement calculées puisque la tension totale sur n'importe quel point de la
TL est la somme de tensions incidentes et réfléchies.
VLrn = kVn − kVLin kVRnr = kVn − kVRni k
(II.26)
Par conséquent, si on donne les tensions incidentes pour un instant particulier nous pouvons
calculer les tensions réfléchies à gauche et à droite (II.26), ce processus de TLM est décrit par
la dispersion.
La question est maintenant comment nous pouvons obtenir les tensions incidentes, par quoi
commencer ?
En premier lieu, on fera ce calcul ( k = 1 ) commençant par les conditions initiales qui
fournissent la valeur de toutes les impulsions de tensions incidentes.
Mais que va-t-il se produire ensuite pour le prochain pas de temps ( k = 2 ) ?
Nous avons déjà employé les conditions initiales et nous devons produire la tension incidente
pour la prochaine étape de notre procédé de solution.
C'est particulièrement simple et c’est décrit comme un procédé de raccordement ou de
connexion dans TLM.
Examinons la topologie montrée dans la figure II.5, nous voyons que l'impulsion réfléchie au
temps k du nœud (n) se déplace vers la gauche deviendra incidente sur la droite du nœud
(n− 1) au temps k + 1 , c.-à-d.,
VRni −1 = kVLrn k +1
(II.27)
Par la même logique l'impulsion incidente à la gauche du nœud (n) au temps ( k + 1 ) est :
VLin = kVRnr−1 k +1
(II.28)
Les mêmes expressions s'appliquent pour toutes les nouvelles tensions incidentes sur tous les
nœuds.
En résumé, le procédé de solution est comme suit :
•
On utilisant les conditions initiales nous obtenons les tensions incidentes sur tous les
nœuds au début du calcul.
•
Nous effectuons la dispersion sur tous les nœuds pour calculer les tensions reflétées
(équation (II.26))
•
Nous effectuons le processus de connexion pour calculer les tensions incidentes et les
directions d'incidence pour la prochaine étape on utilisant les équations (II.27) et
(II.28) et leurs équivalents pour tous les nœuds.
•
On répète le processus dispersion- connexion.
57 Chapittre II Con
ncepts de base de laa méthod
de TLM I.3.5.3 Conditions
C
aux limitees [67]
O supposee les condiitions de soource mon
On
ntrées dans la figure II.7 (a). Laa source
possèdee une résistaance internee et une induuctance inteerne.
Les connditions au Nœud
N
1 sonnt montrées dans la figu
ure II.7 (b).
Le circuuit de Thevvenin équivaalent semblle exact com
mme au parravent. Si oon regarde à gauche
nous vooyons la souurce en sériie avec la résistance
r
et
e un modèlle de l'inducctance mis en bloc.
L’utilisaation du moodèle des blocs revientt du fait qu’il soit plus commode.
i
Les imppulsions vennant du blocc sont marquuées kVL .
Le blocc (stub) peeut être reemplacé par son circu
uit de Theevenin équiivalent suiv
vant les
indicatioons de la figgure II.7 (c)).
Figgure II.7 : (a)
( connexiion à l'extréémité de la source d'u
une ligne dee transmisssion
(b) L’équivalent de
d TLM
Figurre II.7 (c) : conversion
n au circuit de Theven
nin équivaleent [67]
58 Chapitre II Concepts de base de la méthode TLM La tension totale à l’instant k au nœud 1 est donc
V + 2 kV iL 2 kVR1i
+
R + ZL
Z1
kV1 =
1
1
+
R + Z L Z1
k S
(II.29)
(II.30)
L'impulsion réfléchie du segment de la ligne est
VR1r = kV1 − kVR1i k
L’impulsion réfléchie du bloc (moignon)
V = kVL − kVLi r
k L
(II.31)
La tension totale à travers l'inductance kVL peut être calculée on utilisant le résultat dans
l’équation (II.29).
La nouvelle tension incidente au bloc est :
V r = − kVL r k +1 L
(II.32)
Et la connexion des impulsions au nœud 1 et 2 est faite comme c’est indiquer par les deux
équations (II.27) et (II.28).
La condition aux limites à la charge est traitée exactement de la même manière avec des
ajustements mineurs, c.-à-d., enlever la source. Quelques points à noter comme suit :
•
Dans l’équation (II.29) il n’y a aucun facteur de 2 avant la tension de source kVS . Ce
n'est pas une erreur ! Le doublement de la tension se produit seulement quand une
impulsion voyage sur la TL et qui rencontre un circuit ouvert. Ce n'est pas le cas pour
la tension de source. N'importe quelle tension de source spécifique variant dans le
temps peut être employée pour exciter la ligne. Toutes ces exigences c’est pour
employer la valeur appropriée pour discrétiser la tension de source au temps k
•
Pour chaque nœud et étape temporelle on a le processus de dispersion et le processus
de connexion. Ce ci représente un calcul local faisant impliquer immédiatement les
nœuds adjacents. C'est un dispositif très attrayant car il signifie qu'il est facile de
paralléliser l'algorithme de TLM. On peut envisager une parallélisassions très fine où
nous avons un processeur par nœud. Chaque processeur à besoin de communiquer
seulement avec les deux nœuds voisins immédiatement à sa gauche et à sa droite
faisant une opération très efficace.
•
La justification physique pour la nature locale du calcul à chaque nœud vient du fait
que dans la durée du temps Δt nous pouvons seulement « voir » une distance uΔt
autour de nous ( u est la vitesse du signal de propagation).
59 Chapittre II Con
ncepts de base de laa méthod
de TLM N
Nous
pouvvons dire que
q la méthhode TLM 1D est trèès efficace pour modéliser et
résoudree facilemennt et rapiddement beaaucoup de problème, par exem
mple les prroblèmes
d'intercoonnexion pour
p
évalueer l'impact de discon
ntinuités. Lees problèm
mes autres que des
problèm
mes électriquues peuventt être aussi résolus,
r
parr exemple, des
d problèm
mes thermiqu
ues [67].
II.3.6 Modèle
M
TLM
M 2D
L plupart des problèèmes pratiqques exigen
La
nt une form
mulation auu moins daans deux
dimensiions et il y a beaucooup d’autrees qui peuv
vent être trraités correectement daans trois
dimensiions. Le prrincipe de la
l modélisaation et les concepts de
d base dem
meurent less mêmes
seulemeent la compllexité est ajoutée.
1. Faire
F
l’anallogie entre les
l paramètrres du réseaau et du chaamp
2. Au
A lieu d’aavoir quatree impulsionss (2 inciden
ntes, 2 réflééchies) on aaura huit im
mpulsions
( incidentees, 4 réfléchhies)
(4
3. Résoudre
R
l’’algorithme en 2D
II.3.6.1 L’analogiee
L sens phyysique de laa modélisaation consistte à ce que les champps électriquees soient
Le
associéss aux tensioons et les chhamps magnnétiques aux
x courants. Avant d’enntamer l’anaalogie, il
faudraitt tout d’aborrd parler dee la structuree des nœudss.
II.3.6.1.1 Structurre du Nœud
d
II.3.6.1.1.1 Nœud série [67]
Les lignnes de transm
mission sonnt connectéees en série à chaque nœ
œud.
Figure II..8 nœud en
n série [67]
•
les tensions du port V1
V et V3 sonnt associéess à la compoosante du chhamp électrrique Ex
(puisque cees tensions sont polarissées dans la direction de
d x) ;
•
ainsi que les
l tensionss du port V2
V et V4 so
ont associéees à la com
mposante du
u champ
électrique E y .
•
De même, le courant I z est assoccié à la com
mposante du champ maggnétique H z .
60 Chapittre II Con
ncepts de base de laa méthod
de TLM •
Ainsi le nœ
œud série s’’appel le moodèle pour les
l composaantes des chhamps E x , E y , H z
•
c.-à-d., moode TE.
II.3.6.1.1.2 Nœud shunt ou parallèle
p
[667]
Figure II.99 nœud parrallèle [67]
•
les tensions V1 et V4 sont associéées à la com
mposante duu champ éleectrique Ez .
•
les tensionns V1 et V3
V sont associées à laa composannte du cham
mp magnétiique H x .
Puisqu’ellees génèrent un courant dans le plan
n (y-z).
•
de même, les
l tensionss V2 et V4 sont
s
associéées à la com
mposante duu champ mag
gnétique
Hy.
•
p
les com
mposantes des
d champs E z , H x , H y .
Le nœud parallèle est le modèle pour
•
c.-à-d., moode TM.
Employyer ces deuux structurees permet donc
d
la modélisation de
d toutes lees composaantes du
champ. Pour modééliser les modes
m
TE ouu TM, le plus normal c’est d'empployer un des
d deux
mployées comme équivalent des cchamps.
structurres du nœudd. Les tensioons seront em
L'avantaage de ceci est que seulement
s
u structurre doit êtree mise en aapplication dans le
une
logiciel et les affairres avec les deux modees [67].
II.3.6.1.1.3 l’analoogie du nœu
ud shunt avvec les com
mposantes du
d champ (m
mode TM)
•
r
résoudre
lees équation
ns du circuiit électriquee [1]
F
Figure
II.100 Structuree du Nœud shunt [1]
61 Chapitre II Concepts de base de la méthode TLM appliquer la loi de Kirchhoff dans la maille dans le plan x − z
−Vz ( x − Δ
2
(
)−L Δ
2)
∂I x ( x − Δ
∂t
)
2 −L Δ
(
2)
∂I x ( x + Δ
∂t
)
2 + V (x + Δ
z
2
∂I x ( x + Δ
2
)=0
diviser par Δ
−Vz ( x − Δ
2
) + Vz ( x + Δ
Δ
prendre Δ → 0
)
2 =
( 2)
L Δ
∂I x ( x − Δ
∂t
)
2 +L Δ
( 2)
∂t
Δ
)
∂I
∂Vz
=L x
∂x
∂t
appliquer la loi de Kirchhoff dans la maille dans le plan x − y
Ix (x − Δ
2
) − Ix (x + Δ
2
) + Iy(y − Δ
2
) − Iy(y + Δ
2
) = 2C Δ
∂Vz
∂t
diviser par Δ
Ix (x − Δ
2
) − Ix (x + Δ
Δ
prendre Δ → 0
−
∂I y
∂y
−
) I (y − Δ ) − Iy (y + Δ )
2 + y
2
2 = 2C Δ ∂Vz
Δ
∂t
∂I x
∂V
= 2C z
∂x
∂t
appliquer la loi de Kirchhoff dans la maille dans le plan y − z
∂I
∂Vz
=L y
∂y
∂t
ces équations vont être combinées pour former l ' équation d ' onde
différenciant les trois équations respectivement par rapport à t , x, y
on trouve
∂2 I y
∂2 I x
∂ 2Vz
−
−
= 2C 2
∂y∂t ∂x∂t
∂t
∂2 I x
∂ 2Vz
=
L
∂x 2
∂t ∂x
∂2 I y
∂ 2Vz
=
L
∂y 2
∂t ∂y
combiner ces trois équations et faire sortir la tension VZ
∂ 2Vz ∂ 2Vz
∂ 2Vz
2
+
=
−
LC
∂x 2
∂y 2
∂t 2
(II.33)
62 Chapittre II Con
ncepts de base de laa méthod
de TLM •
d
développer
r les équatiions de Maaxwell danss les coordoonnées carttésiennes
∂H x
⎧ ∂E z
⎧ ∂H
= −μ
∂H x
∂E
∂E
⎪
rot H = J + ε
⇒⎨ y −
= Jz + ε z
∂t
∂H
⎪ ∂y
∂t
rot E = − μ
⇒⎨
∂t
∂y
⎩ ∂x
∂t
⎪− ∂Ez = − μ ∂H y
Jz = 0
⎪⎩ ∂x
∂t
∂H x
∂ 2 Ez
= −μ
2
∂y
∂y∂t
∂H y
∂ 2 Ez
=μ
2
∂x
∂x∂t
∂H y ∂H x
∂ 2 Ez
=ε
−
∂t 2
∂x∂t ∂y∂t
∂ 2 Ez ∂ 2 Ez
∂ 2 Ez
+
=
με
∂x 2
∂y 2
∂t 2
(II.34)
A partirr des deux équations
é
(III.33) (II.34)) on peut tirrer l’analogiie E z ≡ −V z
μ ≡L
ε ≡ 2C
Et ainsi on trouve
H x ≡ −I y
H y ≡ I x
II.3.6.1.1.4 l’analoogie du nœ
œud série avvec les composantes du champ (m
mode TE)
•
r
résoudre
lees équation
ns du circuiit électriquee [1]
F
Figure
II.111 Structuree du Nœud série [1]
∂Vy ⎞
⎛
⎞
∂V
Δ ∂I z
Δ ∂I x ⎛
Δ ∂I z
Δ ∂I z
+L
Vx + ⎜ Vy +
Δ ⎟+ L
− Vy + L
=0
− ⎜ Vx + x Δ ⎟ + L
2 ∂t ⎝
2 ∂t
2 ∂t
2 ∂t
∂x
∂y
⎠
⎝
⎠
∂Vy
∂V
Δ ∂I z
Δ − x Δ + 4L
=0
∂x
2 ∂t
∂y
diviser par Δ
63 Chapittre II Con
ncepts de base de laa méthod
de TLM ∂Vy
∂x
−
•
∂Vx
∂I
= 2 L z ∂y
∂t
(II.35)
D
Développer
r les équattions de Maaxwell danss les coordoonnées carttésiennes
∂E
⎧ ∂H z
=ε x
⎪
∂t
⎧ ∂E y ∂E x
⎪ ∂y
∂H z
r H =⎨
rot
−
rot E = ⎨
= −μ
∂t
∂y
⎩ ∂x
⎪− ∂H z = ε ∂E y
⎪⎩ ∂y
∂t
−
∂E y
∂x
+
∂Ex
∂H z
=μ
∂y
∂t
(II.36)
A partirr des deux équations
é
(III.35) (II.36)) on peut tirrer l’analogiie E x ≡ −V x
E y ≡ −V y
H Z ≡ IZ μ ≡ 2L
ε ≡C
II.3.6.2 Matrice dee dispersion la base du
d modèle TLM
T
L techniquue de TLM
La
M a été à l'origine basée
b
sur le
l modèle de Huygen
ns de la
propagaation des onndes électrom
magnétiquees.
II.3.6.2.1 Rappel sur
s le princcipe de Huyygens
Il y a ennviron 300 ans,
a en 16900 [66], Chriistian Huygens a déclarré :
« Qu’unn front des ondes
o
se proopage par un
u mécanism
me par lequeel chaque point sur le front
f
des
ondes agisse en tannt que radiatteur sphériqque isotropee et que la suuperposition de tous cees points
o
et ainnsi de suite » [66]
radiateuurs élémentaaires forme un nouveauu front des ondes
« Tous les
l points suur un front d'onde servvent de sourcces ponctueelles des onddelettes secondaires
sphériquues. Après le temps T la nouveelle position
n du front d'onde serra la surfacce de la
tangencce à ces ondelettes secoondaires » [770]
Figure II.12
I
Le prrincipe de Huygens
H
[66]
64 Chapittre II Con
ncepts de base de laa méthod
de TLM II.3.6.2.2 Discrétissation du principe
p
de Huygens
Figuree II.13 Disccrétisation du
d principee de Huygeens pour la modélisatiion des ond
des [66]
Afin dee discrétiserr le principee de Huygeens dans un
n espace à 2-D, l'espacce et le tem
mps sont
représenntés en term
mes d'unités élémentairees finis Δ et
e Δt .
Une griille rectanguulaire de nœ
œuds est insstallée, elle représente
r
l
l’espace
disscrétisé.
L’espacce entre les nœuds est Δ , Δt estt le temps que
q prend l'impulsion
l
pour voyag
ger d’un
nœud à un autre.
Le rappport entre l'inntervalle dee temps Δt et l’espace discrétisé Δ est :
Δ = Δt * u
(II.37)
Où u esst la vitesse de propagaation d’ondee du milieu..
Selon lee principe de
d Huygens, l'énergie sera
s
disperssée d’une manière
m
isotrrope dans to
outes les
directions, chaque direction devrait
d
porteer un quartt de l'énergiie, ou en teermes de ch
hamp les
quantitéés devraientt chacune êttre 1/2 dans la grandeurr.
Pour asssurer la conntinuité de champ,
c
l'imppulsion refléétée au portt devrait avooir :
•
U coefficient de réflexion correspondant Γ égal à -1/2 et
Un
•
U coefficient de transsmission τ égal à 1/2
Un
Considéérons deux lignes de transmissioons (TL) in
ntersectées comme c’eest montré dans la
figure II.14
I
Chacuune de cess deux lignnes ont la même longgueur et laa même im
mpédance
caractérristique ZTL . [67]
Figgure II.14 deux
d
ligness de transm
missions (TL
L) intersecttées
65 Chapittre II Con
ncepts de base de laa méthod
de TLM Supposeer qu’à t = 0 , quatre impulsions
i
sont incideentes au milieu
m
du nœ
œud sur less 4 ports
toutes égales
é
à 1V, voir figuree (II.15.a).
L’onde dispersée atteint
a
les nœ
œuds voisinns à t = Δt , voir
v figure (II.15.b).
(
Puis cess 4 nœuds dispersent
d
l’onde vers leurs nœud
ds voisins, voir
v figure (III.15.c).
A t = 2Δt , le frontt d'onde peuut être trouvvé en repéraant les ondees disperséees des pointss dans la
figure (III.15.b) com
mme c’est montré
m
dans la figure (II.15.d).
A chaqque pas de temps, chaaque nœud reçoit une onde inciddente de sees voisins et
e il fait
disperseer cette ondde vers ses voisins. Et
E ainsi de suite, le prrocédé se rrépète pourr chaque
nœud, laa distributioon de l’ondee sur le miliieu peut êtree calculée.
(a) : Excitation
n symétriqu
ue initiale à t=0 dans un maillagge à 2D
( point central disp
(Le
perse une on
nde)
(b) : Le front d’onde
d
à t = Δt (c) : A t = Δt lee point qui se trouve sur
s le frontt d’onde dissperse les ondes
o
(d) : A t = 2Δt le front d'oonde peut être
ê trouvé en calculan
nt les ondees disperséees des
points
Figurre II.15 Prropagation des ondes dans
d
un ma
aillage TLM
M en deux dimensionss. [66]
66 Chapittre II Con
ncepts de base de laa méthod
de TLM Figurre II.16 unee représenttation schém
matique montrant la dispersion de
l
l'impulsion
n incidente de 1 V surr le port 1 du
d nœud sh
hunt [67]
L’impullsion incideente de 1 v sera partieellement reflétée et paartiellementt transmise selon la
théorie de la ligne de
d transmission (TL).
II.3.6.3 Applicatioon de la thééorie du résseau sur less deux structures du N
Nœud
Hypoth
hèse
Δx = Δy = Δ Toutes les lignes ont
o la mêmee impédancce caractérisstique ZTL . Elle
E dépendd des param
mètres du
milieu où
o se produiit la propaggation. Δ Dépeend de la valeur
v
de laa résolution spatiale déésirée et la longueur d’onde la plu
us petite
d’intérêêt ( Δ ≺
•
λ
10
p
pour
l'exacttitude).
L Nœud série
Le
Est présenté par unne matrice liant
l
les tenssions des signaux inciddents et réfléchis.
Une maatrice globalle regroupe les matricees de tous les nœuds
Figurre II.17 Le circuit de Thevenin
T
équivalent de
d la structture du nœu
ud série [67
7] [69]
67 Chapitre II Concepts de base de la méthode TLM ¾ Processus de dispersion
A chaque pas de temps k et pour chaque nœud il y aura quatre impulsions incidentes qui
seront dispersées après aux nœuds adjacents pour le prochain pas temporel k + 1 et le
processus se répète. On ajoute les maths pour le processus de dispersion et de connexion
On prend un Nœud (x, y, z) on le remplace par son circuit équivalent de Thevenin comme
c’est montré dans la figure II.17.
Le courant pour le pas temporel k est :
k Iz =
2k V1i + 2k V4i − 2k V3i − 2k V2i
4ZTL
(II.38)
(II.39)
(II.40)
La tension au port 1 est :
k
V1 = 2 k V1i − k I Z TL
La tension reflétée au port 1 est :
k
V1r =k V1 −k V1i
=k V1i −k I z ZTL
= 0.5 ( k V1i + k V2i + k V3i −k V4i )
Les tensions reflétées dans les 4 ports sont données par l’équation (II.40)
r
⎡ k V1r ⎤
⎡1 1
⎢ r⎥
⎢1 1
⎢ k V2 ⎥
⎢
0.5
=
⎢ Vr⎥
⎢ 1 -1
⎢k 3 ⎥
⎢
⎢⎣ k V4r ⎥⎦
⎣-1 1
i
i
-1 ⎤ ⎡ k V1 ⎤
⎢
⎥
1 ⎥⎥ ⎢ k V2i ⎥
1 ⎥ ⎢ k V3i ⎥
⎥⎢ i⎥
1 ⎦⎢ V ⎥
⎣k 4 ⎦
en générale sous la forme dekV r = S kV i
1
-1
1
1
L’équation (II.40) représente le processus de dispersion. [67]
¾ Processus de connexion
On considère le processus de connexion par lequel de nouvelles impulsions incidentes
sont obtenues pour permettre le calcul du processus de dispersion pour le prochain pas
temporel
k + 1. La figure II.18 montre un nœud (x, y, z) et ses nœuds adjacents suivant le
plan (x, y).
Le processus de connexion n'est rien d’autre qu'une identification du fait qu’une impulsion
reflétée du centre du nœud (x, y, z) à l’instant k se déplaçant vers le port 1 deviendra
incidente à l'étape k + 1 au port 3 du nœud (x, y− 1, z).
68 Chapittre II Con
ncepts de base de laa méthod
de TLM Figure II.18 Le processus
p
de
d connexioon [67]
Le proccéder est le même pourr toutes les autres nouv
velles tensioons incidenttes. Sous un
ne forme
mathém
matique nouss pouvons écrire
é
la form
mule suivan
nte [67], [666] :
V ( x, y, z ) = k V3r ( x, y − 1, z )
i
k +1 1
V ( x, y, z ) = k V4r ( x − 1, y, z )
i
k +1 2
V ( x, y, z ) = k V1r ( x, y + 1, z )
i
k +1 3
(II.41)
i
r
k +1V4 ( x, y , z ) = k V2 ( x + 1, y , z )
sous laa forme de
V i = CkV r
k +1
En résu
umé : [67]
¾ Prenndre k=1 poour les condditions initiaales afin de calculer touutes les tensions incideentes sur
touss les nœuds..
¾ Obteenir les tenssions disperrsées à partiir de la matrrice de dispersion (II.400)
¾ Le système
s
d’ittération (II.441)
•
N
Nœud
paraallèle
Nous assumons enncore une impulsion de tension dans un nœud
n
et onn remplacee chaque
segment TL par soon circuit éqquivalent dee Thevenin
n. Les condiitions au ceentre du nœ
œud sont
comme c’est décritt dans la figure II.19
69 Chapittre II Con
ncepts de base de laa méthod
de TLM Figuree II.19 La sttructure du
u nœud shu
unt et son circuit
c
de Thevenin
T
éq
quivalent [6
67] [69]
La tensiion totale Vz est donnée par la form
mule suivan
nte
k
Vz =
1
⎡ k V1i + k V2i + k V3i + k V4i ⎤⎦ 2⎣
(II.42)
Faire dee même com
mme pour l’équation duu courant (III.38) et de tension (II..39) on peut obtenir
la tensioon reflétée du
d port 1
k
V1r = k Vz − k V1i
0 ( − k V1i + k V2i + k V3i + k V4i )
= 0.5
(II.43)
Cette éqquation conntient les élééments de laa première rangée
r
de laa matrice dee dispersion
n pour ce
nœud. Les
L autres rangées sonnt obtenuess de la mêm
me manièree en calcullant les tensions de
dispersiion des autrres trois poorts pour doonner le pro
ocessus de connexion qui est ideentique à
celui duu nœud sériee.
¾ Matrice
M
dee dispersion
n
r
⎡ k V1r ⎤
⎡ -1
⎢ r⎥
⎢1
⎢ k V2 ⎥
⎢
=
0.5
⎢ Vr⎥
⎢1
⎢k 3 ⎥
⎢
⎢⎣ k V4r ⎥⎦
⎣1
i
i
1 1 1 ⎤ ⎡ k V1 ⎤
⎥
⎢
-1 1 1 ⎥⎥ ⎢ k V2i ⎥
1 -1 1 ⎥ ⎢ k V3i ⎥
⎥
⎥⎢
1 1 -1 ⎦ ⎢ V i ⎥
⎣k 4 ⎦
(II.44)
(II.45)
¾ Matrice
M
dee connexion
n
V ( x, y, z ) = k V3r ( x, y − 1, z )
i
k +1 1
V ( x, y, z ) = k V4r ( x − 1, y, z )
i
k +1 2
V ( x, y, z ) = k V1r ( x, y + 1, z )
i
k +1 3
i
r
k +1V4 ( x, y , z ) = k V2 ( x + 1, y , z )
sous la forme de
V i = CkV r
k +1
70 Chapitre II Concepts de base de la méthode TLM II.3.6.4 Impulsions d’excitations [67]
II.3.6.4.1 Nœud série : mode TE (transverse électrique)
Le champ H z est lié au courant I z de l’équation (II.38)
k Hz =
I z k V1i −k V2i −k V3i + k V4i
=
Δ
2Δ ZTL
k
(II.46)
Toutes les quantités sont évaluées dans le nœud en question
Les deux composantes du champ électrique sont données par
V1i + k V3i
k Ex = −
Δ
(II.47)
V2i + k V4i
k Ey = −
Δ
(II.48)
k
k
De ces expressions il est clair que si par exemple nous souhaitons imposer un champ
électrique de la grandeur E0 dans la direction x, alors nous devons appliquer à ce nœud les
impulsions suivantes :
k
V1i = k V3i = −
E0 Δ
2
Cet arrangement n'excite aucune autre composante de champ.
De même, pour exciter H z = H 0 on doit appliquer les impulsions suivantes :
H 0 Δ ZTL
2
H 0 Δ ZTL
i
i
k V3 = k V2 = −
2
k
V1i = k V4i =
(II.49)
L'excitation peut être une fonction continue dépendante du temps, une impulsion gaussienne,
ou le plus souvent dans TLM une impulsion d’une durée Δt .
La réponse fréquentielle peut être dérivée par une transformée de Fourier de la réponse
impulsionnelle.
Cependant, il faut tenir compte que la réponse à large bande aura une exactitude acceptable
pour des fréquences f ≤ 1
10Δt .
II.3.6.4.2 Nœud shunt : mode TM (transverse magnétique) [67]
Les deux composantes du champ magnétique sont données par
k Hx = −
k Hy =
k
Iy
Δ
=
k
V3i −k V1i
ZTL Δ
I x k V2i −k V4i
=
ZTL Δ
Δ
k
(II.50)
(II.51)
71 Chapittre II Con
ncepts de base de laa méthod
de TLM Ces deux compossantes du champ maagnétique H x et H y soont liées auu courant I y et I x
k
Ez = −
Vz
1
=−
2Δ
Δ
k
(
k
V1i + k V2i + k V3i + k V4i ) (II.52)
Toutes les
l quantités sont évaluuées dans lee nœud en question
q
La proccédure d’exccitation le loong de la même
m
ligne est
e pareille que
q le Nœud série.
II.3.6.5 Modèle dee TLM dan
ns L’espace libre et da
ans un milieeu magnétiique [67]
II.3.6.5.1 Nœud séérie
II.3.6.5.1.1 Cas dee l’espace liibre
Quand la
l propagation a lieu dans
d
l'espace libre et sii un maillagge régulier eest utilisé (lle même
Δ danss toute la maille)
m
la queestion du syynchronism
me ne se posse pas. Le ppas Δ est ch
hoisit de
sorte quu’il soit ≺ λ 10 pour s’’adapter auxx dispositifss géométriqques importaant.
Nous faaisons le chooix suivant :
⎧uTL : la vitesse de prpaggation
⎪
⎨c :la vitessee de la lumièère = 1
⎪⎩
μ 0ε 0
⎧ ZTL : L'imppédance caraactéristiquee de la ligne
1
⎪
η
ZTL =
⎨
μ0
2
⎪η :L'impéddance intrinssèque =
ε0
⎩
μΔ
η Δ
= 0
L = ZTL Δt =
{L :l'induuctance modélisée
2
2 2c
Δ
= 2c
uTL =
Δt
C=
Δt
Δ
2
= ε 0Δ
=
ZTLL
2c η
{C :la capaciité modéliséée
Figure III.20 paramètres du Nœ
œud série représentan
r
nt l’espace libre [67]
72 Chapittre II Con
ncepts de base de laa méthod
de TLM II.3.6.5.1.2 Cas du
u milieu maagnétique [67]
Si le miilieu magnéétique ( ε 0 , μ ) est le seull milieu préésent dans l''espace de pproblème allors pour
le modééliser, un ajuustement mineur
m
aux conditions su
uffirait.
Remplaacer c par c
μ r et η parη
μ r . La pluppart des problèmes d’ingénieur sont
s
non
homogèènes, il y a l’espace
l
librre et d’autrees matériaux
x (magnétiqque dans ce cas).
Ajouterr une impédance Z S pouur désigner une
u impédaance de stubb.
uTL =
ΔA
= 2c Δt
ZTL = η
2
Z S = 2 LS Δt =
2 ( μ r − 1) μ0 ΔA
Δt
p
s du Nœud série repréésentant un
n milieu maagnétique [67]
[
Figgure II.21 paramètres
La figuure II.22 moontre le cirrcuit de Theevenin, la tension
t
k V5i est l’impu
ulsion incid
dente au
nœud duu stub.
Figure II.22 le cirrcuit équivaalent de Th
hevenin du Nœud série dans un m
milieu mag
gnétique
[67]
73 Chapitre II Concepts de base de la méthode TLM Le courant de boucle est
2k V1i + 2k V4i + 2k V5i − 2k V3i − 2k V2i
k Iz =
4ZTL + Z S
(II.53)
(II.54)
La matrice de dispersion est
⎡( Z − 2 )
⎢
⎢ 2
⎢ 2
1⎢
S= ⎢ 2
Z⎢
⎢⎛
ZS ⎞
⎢⎜ −2
⎟
⎢⎝ ZTL ⎠
⎢
⎣
Z = 4+
2
−2
−2
2
−2
( Z − 2)
2
−2
2
( Z − 2)
⎛ ZS ⎞
⎜2
⎟
⎝ ZTL ⎠
⎛ ZS ⎞
⎜2
⎟
⎝ ZTL ⎠
⎛
ZS ⎞
⎜ −2
⎟
⎝ ZTL ⎠
2
( Z − 2)
−2
⎤
⎥
2
⎥
⎥
2
⎥
⎥ 2
⎥
⎛
ZS ⎞⎥
⎜4−
⎟⎥
ZTL ⎠ ⎥
⎝
⎥
⎦
ZS
ZTL
L'approche est juste décrite, l’ajout des stubs c’est pour montrer les irrégularités (non
uniforme), est elle est employée dans beaucoup de situations pour faciliter le calcul. [67].
II.3.6.5.2 Nœud shunt
Pour modéliser un milieu particulier, le choix des paramètres suit les mêmes principes du
nœud série.
II.3.6.5.2.1 Cas de l’espace libre
Dans la plupart des problèmes l'espace libre est présent, il est choisi comme milieu de fond et
dans les secteurs avec des constants diélectriques plus élevée on insère des stubs (moignons)
pour représenter ε ; ε 0 . [67]
uTL = 2
ZTL = 2
1
ε 0 μ0
μ0
ε0
L'inductance modélisée est : L = ZTL Δt = μ0 ΔA
La capacité modélisée est : C = Δt ZTL = 0.5ε 0 ΔA et puisque les composantes expérimentales
du champ électrique montre que cette capacité est deux fois (une fois pour chacun du segment
de ligne de transmission) toute la capacité modélisée est ε 0 ΔA .
Ce serait parfait dans les régions de l’espace libre. Dans notre cas nous avons un déficit dans
la capacité modélisée qui est C s = ( ε r − 1) ε 0 ΔA .
On peut introduire dans le modèle dans la forme de stub l’impédance Z s = Δt 2Cs .
74 Chapittre II Con
ncepts de base de laa méthod
de TLM Figure II.23 le Nœud
N
shun
nt avec stub
b [69]
F
Figure
II.244 le circuit équivalentt de Theven
nin du Nœu
ud shunt avvec stub [67
7]
Le stub est inséré suivant
s
les indications de la figurre II.23, il présente
p
unee « charge » pour le
é
champ électrique.
Le circuuit équivalent de Theveenin pour ceette configu
uration est montré
m
danss la figure III.24 et le
procédéé de dispersiion pour ce nœud proccède en calcculant la tennsion
k
VZ eet puis en prrocédant
de la mêême manièrre que dans l’équation (II.43).
(
II.3.7 Conditions
C
a limitess
aux
II.3.7.1 Le PEC [667]
U état de frontière siimple, un maillage
Un
m
term
miné par unn conducteuur électrique parfait
(PEC), la figure II.25 montre le nœud séérie avec un
n PEC au port
p 4. La cconnexion aux
a deux
ports 1 et 3 est faitte suivant l’’équation (III.45), cepen
ndant, le poort 4 n’a paas un nœud adjacent
mais unne limite PE
EC et donc ill faut faire un
u arrangem
ment dans lee procédé dee connexion
n.
75 Chapittre II Con
ncepts de base de laa méthod
de TLM Figuree II.25 le Nœud
N
série avec
a
un PE
EC [67]
L’impullsion réflécchie du nœ
œud (x, y, z)
z a l’étapee temporelle k se dépllace vers lee port 4
rencontrrera un couurt-circuit (frontière
(
d PEC) et sera réflécchie avec uun signe op
du
pposé et
devienddra incidentee sur le mêm
me nœud ett port à l'étaape temporeelle k + 1 .
i
k +1V4 ( x ,
y , z ) = − k V4r ( x, y , z )
(II.55)
Le PEC
C est un genrre de condittion au limite (BC) il see réfère souuvent comee court-circu
uit.
II.3.7.2 Plan syméétrique [67]]
Considéérant un prroblème où il y a unee symétrie à travers laa frontière O-O’ comm
me c’est
montré dans la figuure II.26 (aa). La syméétrie impliqu
ue qu’a chaaque pas tem
mporel, les tensions
réfléchies au port 4 du nœud (x, y, z) est exactement
e
égale à ceuux réfléchiess au port 2 du
d nœud
(x+1, y,, z)
r
k V4 ( x ,
y , z ) = k V2r ( x + 1, y , z )
(II.56)
Par conséquent, la tension inciidente à k + 1 sur le porrt 4 du nœudd (x, y, z) est
i
k +1V4 ( x ,
y , z ) = k V2r ( x + 1, y , z ) = k V4r ( x, y , z )
(II.57)
Figurre II.26 (a)) plan syméétrique OO
O’ [67]
76 Chapittre II Con
ncepts de base de laa méthod
de TLM Si on reegarde les teermes de gaauche et de droite de l’ééquation (III.57), nous ppouvons dirre que la
fin du nœud
n
(x, y,
y z) concerrne la frontiière O-O’ qui
q se compporte comm
me un circuiit ouvert
(coefficcient de réfleexion égal à 1).
Nous avvons besoinn seulementt de modéliiser la moittié du probblème, disonns le côté à gauche
suivant les indications de la figgure II.26 (bb).
Figure II.26 (b) Représentat
R
tion du plan
n symétriq
que par unee limite un circuit ouv
vert [67]
Cette lim
mite de sym
métrie est soouvent désiggnée sous lee nom d'un conducteurr magnétiqu
ue parfait
(PMC). La raison n’est
n
pas diffficile à voirre.
On calccule la com
mposante duu champ maagnétique à la limite OO’.
O
On reegarde à dro
oite et à
gauche et en rempplace ce quu’on voit paar le circuitt équivalentt de Thevennin montré dans la
figure III.26 (c).
L circuit de
d Thevenin équivalen
nt à la limite [67]
Figurre II.26 (c) Le
Le courrant responssable de la composante
c
du champ magnétique
m
e suivant « z » est :
I=
V2r ( x + 1, y , z ) − V4r ( x , y , z )
Z TLL
(II.56) Cependdant, à partiir de l’équaation (II.56), le numérrateur est tooujours null, et donc sur
s cette
limite ( H z ) est touujours nul (un
( conductteur magnétique parfaiit). La limitte un circuiit ouvert
introduiit donc un plan
p
symétrrique. Si le problème possède
p
pluusieurs planss de symétrrie, alors
plusieurrs conditionns aux lim
mites BCs à circuit ou
uvert peuveent être utilisées pourr réduire
sensibleement la taillle du calcuul.
77 Chapittre II Con
ncepts de base de laa méthod
de TLM •
L problèm
Les
mes de traansmissions de l’émettteur radio sont des pproblèmes à limites
o
ouvertes.
•
L champ remplissant
Le
r
l’espace enntier autour de l’antennee de l’émettteur jusqu'àà la lune.
•
L problèm
Les
mes avec unne limite ouuverte doivent être « terrminés » d’’une façon ou
o d’une
a
autre
dans le
l domaine numérique
n
m
puiisse être faiit.
de sorte qu''un calcul maniable
S’il n’yy a aucune limite phyysique au problème,
p
nous
n
devons imposer des conditiions aux
limites numériquess, Ceci doiit être fait sans produ
uire des obj
bjets façonnnés numériq
ques qui
contamiinent
la solution
s
du problème à l'intérieu
ur du domaaine étant modélisé, c’est un
problèm
me particulier pour touutes les mééthodes d’équations diifférentiellees, sauf la méthode
m
TLM quui exige un maillage voolumétriquee.
Ces connditions auxx limites dooivent permeettre à toutees les ondess sortantes dde passer liibrement
comme si la limite numérique n'est pas prrésente.
Beaucouup de travaaux ont étéé effectué, et ça conttinuent actuuellement ppour concev
voir des
conditioons aux limiites absorbaantes parfaittes (ABC) – et ce n'est pas une tâcche facile. [6
67]
II.3.7.3 ABC en TLM [67]
Il existee une ABC dans
d
TLM avec
a
un peuu d'effort et un coût info
formatique rréduit.
On connsidère le cas
c d’un maaillage série censée modéliser
m
unn problèmee de limite ouverte
terminée numériquuement à A--A’ on introoduisant un
ne impédancce Z à la fiin du port 4 suivant
les indiccations de laa figure II.227.
Figu
ure II.27 Liimite du nœ
œud série avec
a
une im
mpédance Z [67]
Que
d
devrait
êtree la valeur de Z, de sorte à cee que cettee limite nuumérique so
oit aussi
transparrente que poossible (auccune réflexioon).
Tout d’abords on calcul
c
le coeefficient de réflexion vu
v par l’imppulsion qui voyage verrs le port
mite :
4 à la lim
Γ=
Z − ZTL
Z + ZTL
(II.57)
78 Chapitre II Concepts de base de la méthode TLM Si Z = ZTL ⇒ Γ = 0 alors ceci est incorrect dans TLM, donc il faut bien terminer l’espace et
n’on pas la ligne TL.
Si on modélise l’espace libre on a: [67]
η = η0 = μ0 ε 0 ZTL = η0
2
On les remplace dans l’équation (II.57) on trouvera la limite correcte qui donne le coefficient
de réflexion dans ce cas
Γ=
2 −1
2 +1
(II.58)
Ceci est connu sous le nom de « matched boundary condition » c’est bien mais ce n’est pas
parfait comme ABC dans TLM.
Si une onde frappe la limite aux angles droits, l'absorption est bonne mais moins aux angles
d'incidence rasante.
Dans la pratique, bien que de meilleurs ABC sont disponibles, matched boundary condition
sont satisfaisantes et sont placées à certaine distance de la région d’intérêt.
II.4 Conclusion
L’objectif de ce chapitre été de donner une vu générale des notions de base qui
définissent la méthode TLM 2D.
Notons que la TLM est une méthode numérique qui permet d’étudier la propagation
des ondes, en utilisant la théorie des lignes de transmission avec l'incorporation mathématique
des concepts du champ (équations de Maxwell).
Elle emploie un maillage spatial, se servant de lignes de transmission virtuelles
interconnectées, le point d’intersection de ces lignes est appelé Nœud, il est représenté
électriquement par deux structures « série et shunt » suivant la disposition des lignes dans le
plan cartésien, l’avantage de ces deux structures est que seulement une est employée pour
modéliser l’onde TE où TM. Cette discrétisation
doit être assez fine pour réduire au
minimum les erreurs, c’est-à-dire que le pas spatial doit être beaucoup plus petit que la
longueur d'onde en très haute fréquence d'intérêt.
Les tensions et les courants seront analogues au champ électrique et magnétique
respectivement.
Le principe de propagation dans le maillage TLM suit celui de Huygens pour la
propagation des ondes, chaque nœud est représenté par une matrice liant les tensions
incidentes aux tensions réfléchies avec un coefficient de réflexion égale à (-0.5).
79 Chapitre II Concepts de base de la méthode TLM Pour chaque itération temporelle, les signaux transmis et réfléchis atteindront les
quatre nœuds adjacents et seront à leur tour transmis et réfléchies. Le procédé se répète de
façon itérative.
La technique TLM a introduit une approche pour modéliser les milieux magnétiques
(existence de matériaux) par le fait de placer des stubs aux nœuds d’intersection. Les milieux
à pertes peuvent être modélisés en introduisant les pertes dans les équations des lignes de
transmission ou en chargeant les nœuds par des stubs à pertes. De plus, les couches
absorbantes peuvent être facilement implémentées dans le maillage TLM en chargeant chaque
nœud par une impédance Z.
Si on se prête à comparer la méthode TLM avec la méthode FDTD, on peut dire
qu’elles sont similaires dans le fait qu’elles utilisent un maillage spatial fin, cependant leur
principe est différent.
Dans le chapitre qui suivra, nous allons appliquer la méthode TLM pour calculer le
champ électromagnétique rayonné par la foudre. 80 Chapitre III Calcul du champ électromagnétique rayonné par la foudre par la méthode TLM 2D Chapitre III calcul du champ électromagnétique rayonné par la foudre par la méthode TLM 2D III.1 Introduction
Dans le chapitre précédent, nous avons donné les concepts de base de la méthode TLM
dans le domaine temporel, avec une discrétisation dans le plan cartésien.
Il est possible de développer un modèle TLM dans les coordonnées cylindriques et
dans les coordonnées sphériques pour être adapter à des problèmes avec une symétrie
particulière.
Dans ce chapitre, Nous allons essayer d’appliquer le modèle TLM 2D pour calculer le
champ électromagnétique proche engendré par un coup de foudre tombant directement sur le
sol. Pour cela, il faut mettre en évidence quelques questions :
-Quelle est la situation géométrique appropriée ?
-Quelle est la topologie du circuit électrique équivalent qui modélise au mieux le rayonnement
électromagnétique de la foudre ?
-Quelles sont les conditions aux limites absorbantes qui doivent être utilisées ?
III.2 Algorithme de la méthode TLM
L’algorithme fondamental de la méthode TLM est décrit de la manière suivante :
En premier lieu, il faut désigner la géométrie du problème, les conditions aux limites,
dimensions des cellules, le pas temporel, les paramètres du circuit électrique….
En second, exciter les nœuds qui vont représenter le canal de foudre, en utilisant pour un essai
une impulsion gaussienne puis injecter le courant à la base du canal de foudre correspondant
au modèle d’heidler.
Après, appliquer le procédé de dispersion vu dans le chapitre II pour obtenir les impulsions de
tension reflétées en chaque nœud à partir des impulsions de tension incidentes.
En suite, le procédé de connexion qui permet l’obtention de nouvelles impulsions de tension
incidentes à partir des impulsions de tension reflétées par les nœuds voisins.
Et le processus se répète d’une manière itérative pour un temps de calcul déterminé.
Le calcul des composantes du champ électromagnétique se fera à partir du calcul des
impulsions de tension incidentes en chaque nœud.
III.2.1 Géométrie du problème
Pour appliquer la méthode TLM dans le cas du phénomène de la foudre, il faut tout
d’abord donner la structure géométrique appropriée qui nous aidera à modéliser le problème.
Comme on l’a vu dans le chapitre précédant, la discrétisation se fait dans le plan
cartésien, le passage des coordonnées cartésiennes aux cordonnées cylindriques se fera selon
la figure III.1. La figure III.2 présente le domaine d’étude ou bien l’espace de solution.
81
Chapittre III calcul du champ électromagnétiquee rayonnéé par la fo
oudre méthode T
TLM 2D par la m
Figure III..1 présentation de la structure
s
gééométriquee
ne d’étude
Figure III.2 Domain
D
ion du dom
maine
III.2.2 Discrétisati
O va proccéder à une discrétisatiion physiqu
On
ue de l’espaace de soluttion, et don
nc il faut
bien chooisir, le pas temporel ett le pas spattial pour un
ne meilleuree résolution.
82
Chapitre III calcul du champ électromagnétique rayonné par la foudre par la méthode TLM 2D Erreur de vitesse
Tant que le rapport
ΔA
λ
est petit, la propagation des ondes dans le réseau TLM représente bien
la propagation des champs dans les milieux réels. Lorsque ce rapport augmente, la
propagation n’est plus isotrope et l’écart entre la constante de propagation dans le réseau
TLM et la vitesse réelle des ondes varie en fonction de la direction et des propriétés du milieu
[68].
Erreur de résolution
D’une manière générale, les erreurs de vitesse deviennent acceptables dès que ΔA
λ
≤
1
10
Cependant, il est souvent nécessaire d’utiliser une résolution spatiale beaucoup plus fine,
Paramètres du milieu de modélisation
ΔA
= 2c
uTL =
Δt
⎧uTL : la vitessede prpagation
⎪
⎨c :la vitesse de la lumière = 1
⎪⎩
μ0ε 0
1
η
ZTL =
2
⎧ZTL : L'impédance caractéristique de la ligne
⎪
⎨
μ0
:L'impédance
intrinsèque
=
η
⎪
ε0
⎩
L = ZTL Δt =
C=
μ ΔA
ΔA
= 0
2
2 2c
η
Δt
ΔA 2
=
= ε 0 ΔA
Z TL
2c η
{L :l'inductance modélisée
{C :la capacité modélisée
III.2.3 Mode de propagation du rayonnement de la foudre
Il existe différents mode de propagation à savoir TE (transverse electric), TM
(transverse magnetic), TEM (transverse electromagnetic).
Le mode de propagation du rayonnement de la foudre est transverse electric. La
structure du nœud choisi selon le plan (r, z) est le nœud série.
III.2.4 Analogie entre les composantes du champ électromagnétique et ceux du réseau
électrique équivalent
On va prendre le circuit équivalent montré dans la figure III.3 : structure du nœud série
avec les coordonnées cylindriques.
83
Chapittre III calcul du champ électromagnétiquee rayonnéé par la fo
oudre méthode T
TLM 2D par la m
Fiigure III.3 structure
s
du
d nœud série
•
R
Résoudre
l équation
les
ns du circu
uit électriqu
ue
∂V
ΔA ∂I r ⎛
∂V
ΔA ∂Iϕ
ΔA ∂Iϕ
ΔA ∂Iϕ
⎞
⎞
⎛
+L
− ⎜ Vr + r ΔA ⎟ + L
− Vz + L
=0
Vr + ⎜ Vz + z ΔA ⎟ + L
∂z
∂r
2 ∂t ⎝
2 ∂t
2 ∂t
2 ∂t
⎠
⎠
⎝
∂V
ΔA ∂Iϕ
∂Vz
ΔA − r ΔA + 4 L
=0
∂z
∂r
2 ∂t
diviser par ΔA
∂I ϕ
∂Vz ∂Vr
−
= 2L
∂r
∂z
∂t
•
(III.1)
D
Développem
ment des éq
quations dee Maxwell
Le cham
mp électrom
magnétique rayonné
r
parr la foudre se
s compose de :
1. Un
U champ électrique
é
raadial Er
Ez
2. Un
U champ électrique
é
v
vertical
3. Un
U champ magnétique
m
e azimutal Hϕ .
∂H ϕ
1 ⎛ ∂Ez ∂Er ⎞
−
⎟
μ ⎝⎜ ∂r
∂z ⎠
∂t
∂H
∂E
σ Er + ε r = − ϕ
∂t
∂z
∂E
1 ∂ (rH ϕ )
σ Ez + ε z =
∂t
r ∂r
=
∂H ϕ
∂E z ∂E r
−
=μ
∂r
∂z
∂t
⇒ (III.2)
84
Chapittre III calcul du champ électromagnétiquee rayonnéé par la fo
oudre méthode T
TLM 2D par la m
L’analoogie
A partirr des deux équations
é
(IIII.1) et (III.22) on peut tirer
t
l’analogie entre les paramètrees du
circuit électrique
é
ett du champ électromaggnétique.
Vz ≡ Ez
Vr ≡ Er
Iϕ ≡ Hϕ
2L ≡ μ
C ≡ε
III.2. 5 Matrice dee dispersion
n et de connexion
III.2.5.11 Matrice de
d dispersioon
O prend lee Nœud ( r , ϕ , z ) et onn le remplacce par son circuit
On
c
équiivalent de Thevenin
T
comme c’est montrré dans la fiigure III.4.
F
Figure
III.44 le nœud série
s
et le ciircuit de Th
hevenin éq
quivalent
Le courrant pour le pas temporrel k est :
k Iϕ =
2 k V1i + 2k V4i − 2k V3i − 2k V2i
4 ZTL
(III.3)
La tensiion au port 1 est :
k
V1 = 2 k V1i − k Iϕ ZTL
La tensiion reflétée au port 1 esst :
k
V1r = k V1 − k V1i
= k V1i − k Iϕ Z TLL
(III.4)
= 0.5
0 ( k V1i + k V2i + k V3i − k V4i )
85
Chapittre III calcul du champ électromagnétiquee rayonnéé par la fo
oudre méthode T
TLM 2D par la m
Les tenssions reflétéées aux 4 poorts
r
i
i
⎡ k V1r ⎤
⎡ 1 1 1 -1 ⎤ ⎡ k V1 ⎤
⎢ r⎥
⎢ 1 1 -1 1 ⎥ ⎢ V i ⎥
⎢ k V2 ⎥
⎢
⎥ ⎢k 2 ⎥
⎢ V r ⎥ = 0.5 ⎢ 1 -1 1 1 ⎥ ⎢ V i ⎥
k 3
⎢k 3 ⎥
⎢
⎥⎢ i⎥
r
⎢⎣ k V4 ⎥⎦
⎣-1 1 1 1 ⎦ ⎢⎣ k V4 ⎥⎦
en généérale sous la forme dekV r = S kV i
(III.5)
L’équatiion (III.5) repprésente le processus de dispersion po
our un nœudd.
Pour chaque
c
itéraation k et pour
p
chaque nœud on aura
a
à calcuuler quatre iimpulsions reflétées
à partir des impulsiions de tenssion incidenntes.
III.2.5.22 Processuss de connexxion
k seront à leeur tour diispersées
L impulsiions de tension reflétéées au pas temporel
Les
t
aux nœuuds adjacennts pour le prochain
p
pass temporel k +1 et le prrocessus se répète.
L processsus de connnexion perm
Le
met d’obteniir les nouveelles impulssions incideentes qui
génèreroont le proceessus de disppersion pouur la prochaine itérationn.
La figuure III.5 monntre le nœudd ( r , ϕ , z ) et
e ses nœudss adjacents suivant le pplan (r, z) .
Figu
ure III.5 Le
L processu
us de connexion
L
L’impulsion
n reflétée du
d port 3 duu nœud (r , ϕ , z − 1) à l’iinstant k deeviendra inccidente à
l'étape (k
( + 1) au poort 1 du cenntre du nœuud ( r , ϕ , z ) .
86
Chapittre III calcul du champ électromagnétiquee rayonnéé par la fo
oudre méthode T
TLM 2D par la m
Le proccéder est le même pourr toutes les autres nouv
velles tensioons incidenttes. Sous un
ne forme
mathém
matique nouss pouvons écrire
é
la form
mule suivan
nte :
V (r , ϕ , z ) = k V3r (r , ϕ , z − 1))
i
k +1 1
V (r , ϕ , z ) = k V4r (r − 1, ϕ , z )
i
k +1 2
V (r , ϕ , z ) = k V1r (r , ϕ , z + 1))
i
k +1 3
(III.6)
i
r
k +1V4 (r , ϕ , z ) = k V2 (r + 1, ϕ , z )
sous laa forme de
V i = CkV r
k +1
III.2.6 Les
L impulsions d’exciitations
k Hϕ =
I
k ϕ
ΔA
k Er = −
k
=
k
V1i − k V2i − k V3i + k V4i
2ΔAZTL
V1i + k V3i
ΔA
V2i + k V4i
k Ez = −
ΔA
k
III.2.7 Condition
C
a limitess
aux
I est indisppensable d’’imposer auu domaine d’étude dees conditionns aux limittes dites
Il
absorbaantes pour reespecter l’aspect non borné du pro
oblème. Voiir figure III..2.
1- PEC
L port 1 n’a
Le
n pas un nœud
n
adjaccent mais un
n conducteuur électriquue parfait ett donc il
faut faaire un arranngement danns le procéddé de conneexion (III.6).
Figure III.6
I
nœud série avec PEC
i
k +1V1 (r ,
ϕ , z) = −k V1r (r ,ϕ , z ) (III.7)
87
Chapittre III calcul du champ électromagnétiquee rayonnéé par la fo
oudre méthode T
TLM 2D par la m
L’impullsion reflétéée du nœudd (r ,ϕ , z ) a l’étape temporelle k se dépllace vers lee port 1,
rencontrrera un couurt-circuit (ffrontière duu PEC) et sera
s
reflétéee et devienddra incidente sur le
même nœud
n
et porrt à l'étape temporelle
t
k
k+1.
2- Lim
mite avec une
u impédaance Z
O introduiira une impéédance Z auu port 4 et au
On
a port 3 danns tous les nnœuds qui se
s trouve
à la limiite fictive, comme
c
ça été
é montré dans
d
la figurre III.2.
Figu
ure III.7 Représentat
R
tion du nœu
ud série
(rr ,ϕ , z ) avecc une limitee
une impéd
dance Z
Z =η0 = μ0 ε0
ZTL =η0
2
(III.8)
i
r
k +1V3 (r ,ϕ , z ) = Γ *k V3 (r ,ϕ , z ) (III.9)
i
r
k +1V4 (r ,ϕ , z ) = Γ *k V4 (r ,ϕ , z ) (III.10)
Avec Г le coefficieent de réflexxion: Γ=
2 −1
2 +1
III.3 Caalcul numéérique
A de moodéliser le rayonnemen
Afin
r
nt de la foud
dre, nous avvons pris enn premier lieu pour
l’excitattion un couurant de forrme gaussieenne puis le courant de foudre typiique.
Le pas spatial
s
utilissé dans la discrétisationn pour les deux
d
cas estt ΔA = Δr = Δz = 1m Le calcuul se fait poour deux disstances 25m
m et 50m.
Le tempps maximal de calcul est T max = 0.6 μ s .
88
Chapitre III calcul du champ électromagnétique rayonné par la foudre par la méthode TLM 2D III.3.1 Cas d’un courant gaussien
On a utilisé un maillage
carré de 200m*200m, le courant injecté est de forme
gaussienne avec un pic =1KA et une largeur temporelle=100nS.
Les paramètres de la simulation sont:
c : vitesse de la lumière; c = 300m / μ s
Δt : pas temporel ; Δt = 2,35ns
1000
Courant (A)
800
600
400
200
0
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
t (μs)
Figure III.8 Courant de forme gaussienne
La distribution spatiotemporelle du courant est montrée dans la figure III.9
1000
Courant (A)
800
Z=0m
Z=50m
Z=100m
600
400
200
0
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
t (μs)
Figure III.9 Distribution spatiotemporelle du courant le long du canal
89
Chapitre III calcul du champ électromagnétique rayonné par la foudre par la méthode TLM 2D Résultats de simulation
Les résultats de simulation du code TLM 2D élaboré en Fortran sont comparés avec
ceux obtenus par la méthode FDTD, ils sont montrés dans les figures (III.10, III.11,
III.12.III.13).
2500
Ez (V/m)
2000
1500
1000
FDTD
TLM
500
0
-500
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
t (μs)
Figure III.10 Champ électrique vertical calculé à la distance de 25m
6
FDTD
TLM
H φ (A/m)
4
2
0
-2
-4
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
t (μs)
Figure III.11 Champ magnétique azimutal calculé à la distance de 25m
90
Chapitre III calcul du champ électromagnétique rayonné par la foudre par la méthode TLM 2D 1800
1600
1400
1200
FDTD
TLM
Ez (V/m)
1000
800
600
400
200
0
-200
-400
-600
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
t (μs)
Figure III.12 Champ électrique vertical calculé à la distance de 50m
H φ (A/m)
4
FDTD
TLM
2
0
-2
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
t (μs)
Figure III.13 Champ magnétique azimutal calculé à la distance de 50m
91
Chapitre III calcul du champ électromagnétique rayonné par la foudre par la méthode TLM 2D Les figures III.10 et III.12 présentent les allures du champ électrique vertical calculé à
25m et 50m.
On remarque que le champ électrique vertical calculé à 25m présente une amplitude
de l’ordre de 2354.7V/m et un temps de monté égale à 0.0754 μ s . Ce champ est presque
identique à celui obtenu par la méthode FDTD, sauf qu’il présente une inversion de polarité.
Cette inversion est probablement due à diverses raisons :
1. Choix des conditions aux limites ;
2. Choix de l’impédance caractéristiques du canal de foudre ;
3. La modélisation du canal de foudre par la méthode TLM ;
A 50 m, le champ électrique est caractérisé par une amplitude l’égerment supérieure à
celle calculée par la méthode FDTD.
Ces mêmes remarques sont observées sur les allures du champ magnétique (figure
III.11, III.13).
III.3.2 Cas du courant de foudre typique
En cette seconde partie, nous avons injecter le courant de foudre typique représenté
par la somme de deux fonctions d’Heidler [36] correspondant à des arcs en retour subséquents
typiques (valeur du pic de courant : 12 kA, dérivée maximale : 40 kA/μs) selon les données
expérimentales de Berger et al [6].
Les paramètres d’un tel courant sont consignés dans le tableau III.1 (présenté dans le tableau
I.5, premier chapitre).
Tableau III.1 : Paramètres du courant d’Heidler
Arc en retour
I 01 ( KA)
τ 11 ( μ s)
τ 21 ( μ s )
n1
10.7
0.25
2.5
2
I 02 ( KA) τ 12 ( μ s )
6.5
τ 22 ( μ s)
n2
230
2
2.1
subséquent
Les paramètres de la simulation sont:
H : hauteur du canal de foudre, H = 8000 m [26],
λ : constante de décroissance dans le modèle MTLE , λ = 2000 m [29],
c : vitesse de la lumière; c = 300 m / μ s
v f : vitesse de l ' arc en retour , vf = 150 m /μ s.
Δ t : pas temporel ; Δ t = 2, 35ns
92
Chapitre III calcul du champ électromagnétique rayonné par la foudre par la méthode TLM 2D 12000
courant (A/m)
10000
8000
6000
4000
2000
0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
t (μs)
Figure III.14 Courant de à la base du canal de foudre
La distribution spatiotemporelle du courant est montrée dans la figure III.15
Figure III.15 Distribution spatiotemporelle du courant de l’arc en retour subséquent
pour le modèle MTLE
93
Chapitre III calcul du champ électromagnétique rayonné par la foudre par la méthode TLM 2D III.3.2.1 Résultats de simulation
Les champs électrique et magnétique sont calculés à50m, l’allure du champ électrique
vertical est présenté sur la figure III.16 et celle du champ magnétique sur la figure III.17.
30000
TLM
25000
Ez (V/m)
20000
15000
10000
5000
0
0
2
4
6
8
10
t (μs)
Figure III .16 Champ électrique vertical calculé à la distance de 50 m du
Canal de foudre par la méthode TLM 2D
40
35
30
H φ (A/m)
25
TLM
20
15
10
5
0
-5
0
2
4
6
8
10
t (μs)
Figure III .17 Champ magnétique azimutal calculé à la distance de 50 m du
Canal de foudre par la méthode TLM 2D
94
Chapitre III calcul du champ électromagnétique rayonné par la foudre par la méthode TLM 2D III.3.2.2 Comparaison des résultats avec ceux obtenus par la FDTD [59]
La figure III.18 montre le champ électrique vertical calculé à la distance de 50 m du
canal de foudre au niveau du sol par la méthode FDTD.
Figure III.18 Champ électrique vertical calculé à la distance de 50 m du
Canal de foudre au niveau du sol [59]
La figure III.19 montre le champ magnétique azimutal calculé à la distance de 50 m
du canal de foudre au niveau du sol par la méthode FDTD.
Figure III.19 Champ magnétique azimutal calculé à la distance de 50 m
Du canal de foudre au niveau du sol. [59]
95
Chapitre III calcul du champ électromagnétique rayonné par la foudre par la méthode TLM 2D En comparant les résultats obtenus par la TLM (figure III.16, III.17) et ceux obtenus
par la FDTD (III.18, III.19), on peut dire que les allures du champ électrique sont presque
identiques, contrairement au champ magnétique où seule l’amplitude est reproduite.
III.4 Validation du code TLM
Il faut savoir qu’à ce jour la méthode TLM 2D n’a jamais été employée dans le calcul
du champ électromagnétique rayonné par la foudre.
Nous avons essayé dans ce travail de développer le code de calcul TLM 2D, mais il
n’est pas encore valide et reste beaucoup à faire pour l’améliorer et le rendre correct.
III.5 Conclusion
Dans ce chapitre nous avons tenté de mettre en œuvre un code de calcul pour que nous
puissions calculer le champ rayonné par la foudre, malheureusement on a rencontré des
difficultés.
Ce que nous pouvons dire sur la TLM est qu’elle est une très bonne approche, elle a
résolu beaucoup de problèmes dans le domaine de la propagation des ondes, c’est une
méthode simple dans son contexte, puissante, et contrairement à la méthode FDTD où les
deux champs électrique et magnétique sont séparés respectivement dans l’espace et dans le
temps par la moitié de la taille du nœud et du pas temporel, la méthode TLM les évalue au
même point dans l’espace et dans le temps.
96
Conclusion Générale Conclusion Générale Il est impossible d'avoir une quelconque influence sur les sources de perturbations
d'origine naturelle tel que la foudre, Le seul recours est donc la protection des systèmes
menacés, C’est pour cette raison
qu’il est nécessaire de connaître précisément les
caractéristiques de la perturbation (mécanismes physiques, grandeurs caractéristiques) pour
pouvoir protéger efficacement les systèmes victimes.
A cet effet, notre travail a eu comme objectif la caractérisation de la perturbation
électromagnétique générée par la foudre, en calculant le champ électromagnétique rayonné à
des distances proches sur un sol parfaitement conducteur à l’aide de la méthode TLM 2D.
Pour cela, il fallait tout d’abord, caractériser le courant de l’arc en retour et le
modéliser pour ensuite caractériser et simuler le champ électromagnétique rayonné.
Ensuite, se consacrer entièrement à l’étude de la méthode numérique TLM afin de
permettre une bonne compréhension de tous les concepts de base, pour enfin développer le
code TLM2D élaboré en Fortran.
L’excitation du maillage TLM s’est effectuée en premier lieu par l’injection d’un
courant de forme gaussienne, en suite, par le courant de foudre typique, nous avons remarqué
qu’il y a une légère différence entre les résultats de la simulation de la méthode TLM et ceux
de la méthode FDTD, probablement due à diverses raisons :
1. Choix des conditions aux limites ;
2. Choix de l’impédance caractéristiques du canal de foudre ;
3. La modélisation du canal de foudre par la méthode TLM ;
A notre connaissance, cette méthode n’a jamais été utilisée dans le calcul du
rayonnement de la foudre, cependant, nous espérons grâce à ce
modeste travail avoir
contribué à l’étude de cette méthode pour ainsi ouvrir de nouveaux horizons pour les
chercheurs.
Comme perspectives, on souhaiterait que se travail se développe encore plus pour
arriver à des résultats justes et fiables.
97 Bibliographie Références Bibliographiques [1] Matthew N. O. Sadiku, Ph.D., Numerical Techniques in Electromagnetics , Second
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103 Résumé
En raison des perturbations induites par le phénomène de foudre dans les réseaux
d’énergie électriques et dans les réseaux de télécommunication qui sont de nos jours l’une des
causes principales des problèmes de qualité d’énergie fournie aux consommateurs et de
compatibilité électromagnétique, la protection contre ces perturbations est devenue d’une
importance primordiale.
Par conséquent, l’évaluation précise des perturbations induites par la foudre nécessite
une bonne connaissance des caractérisations du champ électromagnétique rayonné.
L’objectif de ce travail de mémoire est de mettre en œuvre la méthode de
modélisation numérique TLM (Transmission Line Matrix) en deux dimensions pour permettre
le calcul du champ électromagnétique proche engendré par un coup de foudre tombant
directement sur le sol, les résultats de simulation seront comparés avec ceux obtenues grâce à
la méthode FDTD.
La méthode TLM est exprimée en termes de concepts de circuit électrique qui sont
bien connus pour l'ingénieur ce qui la rendent très avantageuse.
Cette méthode est basée sur le modèle de Huygens de la propagation des ondes
électromagnétiques, Son principe consiste à remplacer le problème du champ
électromagnétique par un réseau électrique équivalent et faire une analogie entre le champ
électrique et magnétique avec les paramètres du réseau (tension et courant). Puis résoudre les
équations du réseau électrique équivalent par les méthodes itératives.
Abstract
In reason of the perturbations induced by lightning in the electric networks of energy
and in the networks of telecommunication whose are nowadays one of the main causes of the
problems of energy quality provided to the consumers and electromagnetic compatibility, the
protection against these disruptions becomes of a primordial importance.
Therefore, the precise evaluation of the perturbations induced by lightning imposes a
good characterization of the lightning electromagnetic field.
The aim of this work is to understand the transmission line-modeling method (TLM
2D) to permit the calculation of the near lightning electromagnetic field on the soil, the results
of simulation will be compared with those gotten thanks to the FDTD method.
The TLM method is expressed in terms of concepts of electric circuit that are well
known for the engineer, what makes it very advantageous.
This method is based on Huygens model of electromagnetic waves propagation; she
consists to replace the field problem by the equivalent network and deriving analogy between
the field and network quantities (voltage, current), after, to solve the equivalent network by
iterative methods.