Conjugaison topologique des sous

Caractérisation combinatoire de la conjugaison
topologique entre décalages de type fini
Ramón Eduardo Ronzón Lavié
19 janvier 2015
1
Objectif principal
Dans ce texte on présente un résumé d’une partie de la théorie des décalages de type
fini : on présentera une caractérisation, en termes de graphes de division, de la conjugaison
topologique entre décalages de type fini, à renouvellement de nomination d’arêtes près.
Table des matières
1 Objectif principal
1
Table des matières
1
2 Introduction
2
3 Graphes
3
4 Décalages
6
Bibliographie
12
1
2
Introduction
Dans ce texte on exposera des outils pour énoncer le théorème de classification des
décalages de type fini, une classe des systèmes dynamiques bien importante. Un des premiers motivations pour étudier ce type de dynamique émerge quand Jacques Hadamard
appliqua l’idée de faire une partition d’une surface (dans laquelle en une quantité finie des
régions, associer un symbole à chaque région, et après étudier la dynamique du décalage,
laquelle est donnée par la dynamique du . [1]
La dynamique symbolique s’est constitue comme une branche des mathématiques très
importante et influent dans les systèmes dynamiques, mais aussi dans l’algèbre linéaire
et dans l’informatique, voir [2]. La majeure partie de ce texte est basée sur la dernière
référence. Ce texte est rentré autour des décalages de type fini.
Ces systèmes se décrivant par des graphes, on commence en présentant une petite
partie de la théorie des graphes. Après, on donne des définitions, et leur lemmes de
la dynamique symbolique : décalage, codage, décalage par blocs, graphe et graphe de
division. On associe à chaque graphe une dynamique de type fini ; plus tard, on verra
une réciproque. Ultérieurement, on va montrer qu’on peut changer l’« alphabet » d’un
graphe pour réduire la fenêtre de tout codage, et en plus, ce changement peut être décrit
en termes des graphes de division. Finalement on va montrer qu’on peut faire le même
pour l’inverse sans affecter la fenêtre du codage original, pour le décrire à renouvellement
de nomination ( d’arêtes ) près.
2
3
Graphes
Définition (Graphe).- Soient V, E deux ensembles finis, et i, t : E →
− V deux fonctions.
On appelle le quadruplet G := (V, E, i, t) un graphe. On dit que les éléments de V et E
sont les sommets et arêtes de G, respectivement. Si e ∈ E on dit que i(e) est la source de
e, et t(e) est le but de e.
Notation: On note Ep := {e ∈ E : i(e) = p} et E p := {e ∈ E : t(e) = p}. Les éléments de
ces ensembles seront appelés arêtes sortantes de p et arrivantes à p respectivement. On
note V(G) et E(G) comme les ensembles des sommets et arêtes de G, respectivement.
Définition (Graphe transposé).- Soit G := (V, E, i, t) un graphe. On définit le graphe
transposé de G comme > G := (V, E, > i, > t), où > i := t, et > t := i.
Remarque 3.1.- Soit G = (V, E, i, t) un graphe et p, q ∈ G. Notons que Ep = E( > G)p
et E q = E( > G)q , donc E( > G)pq = Epq . D’où on obtient A > G = > A.
Définition (Sommet coincé).- Soient G un graphe, un sommet p ∈ V(G) est dit coincé
s’il n’existe aucune arête qui parte de ou arrive à p.
Remarque 3.2.- Un sommet est coincé si et seulement si la colonne ou la ligne associé
à p dans la matrice d’adjacence est composée uniquement de zéros.
Définition (Graphe essentiel).- Un graphe est dit essentiel si aucun sommet n’est coincé.
Le théorème principal de ce texte est énoncé en termes des graphes de division sortante :
Définition (Graphe de division sortante).- Soit G un graphe. On note V := V(G) et
m(p)
E := E(G). Pour chaque sommet p ∈ V on considère une partition Pp := {Epk }k=1 de Ep
telle que tous les Epk sont non-vides. Soit P := {Epk : p ∈ V, k ∈ {1, . . . , m(p)}} la partition
de E induite par les Epk . Le graphe de division (sortante) de sommets G[P] induit par P
est G0 := (V 0 , E 0 , i0 , t0 ), où
V 0 := {v k := (v, k) ∈ V × N : k ∈ {1, . . . m(p)}},
E 0 := {ej := (e, j) ∈ E × N : j ∈ {1, . . . m(t(e))}}.
k , ce
On sait que pour tout e ∈ E il existe un unique k ∈ {1, . . . , m(i(e))} tel que e ∈ Ei(e)
qui nous permet définir i0 , t0 : E 0 →
− V 0 par i0 (ej ) := i(e)k et t0 (ej ) := t(e)j .
On appellera graphe de division totale, le graphe de division que satisfait que pour
tout p ∈ G, m(p) = |Ep |.
Pour mieux comprendre cette construction on donne quelques exemples :
3
4
Remarque 3.3.- On peut se demander pourquoi on exclut le cas ou il existe un k tel que
Epk = ∅, le motif principal est que le graphe construit en utilisant le processus précédent
n’est pas essentiel.
De manière similaire on définit le graphe induit par division entrante :
Définition (Graphe de division entrante).- Soit G un graphe, on note V := V(G) et
m(p)
E := E(G). Pour chaque sommet p ∈ V on considère une partition P p := {Ekp }k=1 de Ep
p
p
telle que tous les Ek sont non-vides. Soit P := {Ek : p ∈ V, k ∈ {1, . . . , m(p)}} la partition
de E induite par les Ekp . Le graphe de division (entrante) de sommets G[P] induit par P
est G0 := (V 0 , E 0 , i0 , t0 ), où
V 0 := {vk := (v, k) ∈ V × N : k ∈ {1, . . . m(p)}},
E 0 := {ej := (e, j) ∈ E × N : j ∈ {1, . . . m(i(e))}}.
t(e)
On sait que pour tout e ∈ E il existe un unique k ∈ {1, . . . , E t(e) } e ∈ Ek , ce qui nous
permet de définir i0 , t0 : E 0 →
− V 0 par i0 (ej ) := pj et t0 (ej ) := qk .
Proposition 3.1.- Soient G = (V, E, i, t) un graphe, P une partition d’arêtes entrantes,
et H1 := > G = (V, E, i1 , t1 ). Par construction du graphe transposé on a que P définit
[P]
une unique partition d’arêtes sortantes de H1 . On définit H2 := H1 = (V 0 , E 0 , i2 , t2 ).
Alors, G[P] = > H2 .
Démonstration. Comme les m(p) des partitions sont égaux tout ce qu’il reste à trouver est
la correspondance bijective entre les arêtes. Soient in et tn les applications correspondants
aux Hn . Soit ej ∈ H2 , on sait qu’il existe un unique k tel que ej ∈ Eik2 (ej ) . Rappelons que
E(H2 ) = E( > H2 ), et notons que
>
>
i2 (ej ) = t2 (ej ) = t1 (e)j = i(e)j ,
t2 (ej ) = i2 (ej ) = i1 (e)k = t(e)k .
Définition (Amalgame).- Soient G et H deux graphes. Si H est un graphe de division
entrante de G on dit que G est un graphe d’amalgame aux entrants de H. D’une façon analogue on définit les graphes d’amalgame aux sortants. S’il n’y pas du risque de
confusion on dit que H est un graphe de division de G.
5
4
Décalages
Définition (Décalage complet).- Soit A un alphabet, c’est-à-dire, un ensemble fini. Le
décalage complet sur A est la paire (AZ , σ), où AZ est l’ensemble des fonctions sur Z à
valeurs dans A et σ : AZ →
− AZ est donnée par σ(x)(k) := x(k + 1), pour tout k entier.
On simplifie xk := x(k). Si nécessaire, on notera σA := σ.
Définition (Blocs).- Pour n ∈ N on appelle les éléments de An des blocs de longueur
n. Si v ∈ An on notera la longueur de v par |v|. Si v ∈ An , x ∈ AZ et il existe un
k ∈ Z tel que pour tout i ∈ {1, . . . , n} vi = xi+k alors on dit que v est un n-sous-bloc
de x. De façon similaire, si w ∈ AN et s’il existe un k ∈ N tel que n + k ≤ N et pour
tout i ∈ {1, . . . , n} vi = wi+k alors on dit que v est un n-sous-bloc de w. Dorénavant on
notera v1 v2 . . . vn := (v1 , . . . , vn ). Soit x ∈ AZ , pour toute paire d’entiers a, b telle que
a ≤ b on définit x[a,b] := (xk )bk=a ∈ Ab−a+1 .
G
An , on définit
Définition (Décalage de type fini).- Soit F ⊂
n≥1
XF := {x ∈ AZ : ∀w ∈ F, w n’est pas un sous-bloc de x}.
Soit Σ ⊂ AZ , on dit que Σ est un décalage s’il existe un ensemble F tel que Σ = XF ,
on dit que F est l’ensemble d’interdictions en Σ. Si en plus F peut être choisi fini alors
on dit que (Σ, σ|Σ ) est un décalage de type fini. Dans ce cas, si F 6= ∅, on considère N
le maximum des longueurs des blocs w ∈ F, et on dit que Σ est un décalage de mémoire
N − 1.
Remarque 4.1.- Quand F = ∅ alors XF AZ , lequel on dira que possède mémoire −1.
Par ses applications à l’informatique, un des exemples les plus importants est le
décalage binaire :
Exemple 4.1.- Soit A := {0, 1}, donc AZ . On peut considérer deux sous-décalages :
— Considérons F := {00}. Donc, XF est un décalage de type fini.
— Considérons F := {w ∈ tn≥2 An : ∃k1 , k2 tels que k1 6= k2 et wk1 = wk2 = 0}. On
peut montrer que
XF = {x ∈ AZ : il existe un unique k ∈ Z tel que xk = 1} ∪ {. . . 000 . . .},
n’est pas un décalage de type fini.
Définition (Décalage induit par un graphe).- Soit G un graphe, on peut construire un
décalage XG := XF en définissant A := E(G) et F := {ef ∈ A2 : t(e) 6= i(f )}, XG est
un décalage de type fini. Les décalage de cette forme sont appelés décalages d’arêtes.
6
Définition (Espace transposé).- Soit Σ un décalage, on définit l’espace transposé de Σ
comme
>
Σ := {f ∈ AZ : R(f ) ∈ Σ},
où R(f )(k) := f (−k). Soit w ∈ An , on définit
>w
:= wn wn−1 . . . w1 . Soit W ⊂
[
Ak ,
k≥1
on définit
>W
:= { > w : w ∈ W }.
Remarque 4.2.- Notons que si w ∈ An est un bloc de x ∈ AZ alors il existe un k ∈ Z tel
que pour tout j ∈ {1, . . . n} wj = xk+j . Donc pour tout j ∈ {1, . . . n} > wj = R(x)−n−k+j .
En notant que la transposée de > w est w et que R(R(x)) = x on peut conclure que w
est un bloc de x si et seulement si > w est un bloc de R(x). Alors, > Σ est un décalage,
en plus, il est de type fini si et seulement si Σ l’en est.
Proposition 4.1.- Pour tout graphe G on a que X > G =
>X .
G
Démonstration. Soient x ∈ X > G et j ∈ Z. On sait que > i(x−j ) = > t(x−j−1 ), c’està-dire t(x−j ) = i(x−j−1 ), alors t(R(xj )) = i(R(xj+1 )). Comme toutes les implications
précédents sont des équivalences on obtient ce qu’on voulait montrer.
Lemma 4.2.- Soit F un ensemble fini, donc il existe un ensemble fini F 0 tel que XF =
XF 0 et ∀x, y ∈ F 0 , x et y ont la même longueur.
Démonstration. Soient n = max |x| et w ∈ F. Si |w| < n alors on considère l’ensemble
x∈F
[
Fw := {v ∈ An : w est un sous-bloc de v}. Définissons F 0 :=
Fw ⊂ An . Soient
w∈F
x ∈ AF , et w ∈ F, notons que w est un sous-bloc de x si et seulement s’il existe un
w0 ∈ F 0 tel que w0 est un sous-bloc de x. Donc XF = XF 0 .
Proposition 4.3 (Distance dans les décalages).- Soit (Σ, σ) un décalage. On définit
d:Σ×Σ→
− R
d(x, y) := inf {2−k : k ∈ N, x[−k,k] = y[−k,k] } ∪ {2} .
Alors, (Σ, d) est un espace métrique compact.
Démonstration. On sait que ∀k ∈ N, 2−k ≥ 0 donc d(Σ, Σ) ⊂ R≥0 . Par la symétrie de la
relation d’égalité dans R on obtient que ∀x, y ∈ Σ, d(x, y) = d(y, x).
Soient x, y, z ∈ Σ, et supposons que x, y et z sont tous les trois différents entre eux. Si
x0 6= y0 ou y0 6= z0 alors d(x, y) + d(y, z) ≥ 2 ≥ d(x, z). Donc, on peut supposer que y0 =
7
z0 . Soient n, m ∈ Z les plus grands entiers (en valeur absolue) tels que x[−n,n] = y[−n,n]
et y[−m,m] = z[−m,m] . Définissons l := max{n, m} et k := min{n, m}, notons que
d(x, z) ≤ 2−k ≤ 2−k + 2−l = 2−n + 2−m = d(x, y) + d(y, z),
car x[−k,k] = y[−k,k] et y[−k,k] = z[−k,k] . L’inégalité triangulaire est triviale dans les cas
x = y, y = z et x = z.
Soit (xn )n∈N ⊂ Σ une suite. Si A est un alphabet associé à Σ alors il existe un sousensemble infini N0 de N tel que ∀n, m ∈ N0 on a que xn0 = xm
0 , car |A| < ∞. Soit K ∈ N
tel qu’il existe un ensemble infini NK ⊂ N où ∀n, m ∈ NK , xn[−K,K] = xm
[−K,K] . Comme
n
2K+3
(x[−(K+1),K+1] )n∈NK ⊂ A
on a qu’il existe une partie infinie NK+1 de NK tel que
∀n, m ∈ NK+1 , xn[−(K+1),K+1] = xm
[−(K+1),K+1] . Les ensembles précédents permettent
Z
construire un élément X ∈ A , satisfaisant que pour tout a ∈ N il existe m ∈ Na tel
que X[−a,a] = xm
[−a,a] . Notons que un bloc w est un sous-bloc de X si et seulement s’il
existe un M ∈ N tel que w est un sous-bloc de X[−M,M ] . Comme X[−M,M ] est toujours
un élément du langage de Σ on peut conclure que X ∈ Σ.
Remarque 4.3.- Soient x, y ∈ Σ où x 6= y et ε > 0. Définissons
N := min{k ∈ N ∪ {−1} : 2−k < ε} et M := min{k ∈ N ∪ {−1} : x[−k,k] = y[−k,k] }.
Notons que M < N si et seulement si M ≤ N − 1, où de façon équivalent 2−M ≥ ε.
D’après les observations précédents on obtient que
Bε (x) = {y ∈ Σ : x[−N,N ] = y[−N,N ] }.
Remarque 4.4.- Soit x ∈ Σ, il est évident que w est un sous-bloc de x si et seulement
si w est un sous-bloc de σ(x). Par conséquent σ|Σ est une action sur Σ.
Proposition 4.4 (Continuité des décalages).- Soit (Σ, σ) un décalage, alors σ est une
homéomorphisme pour la métrique d : (Σ, σ) est un système dynamique topologique.
Démonstration. Soient x ∈ Σ et ε > 0, et définissons N := min{k ∈ N ∪ {−1} : 2−k < ε}
et δ := 2−N −1 . Soit y ∈ Bδ (x), par le remarque précédent on a que
x[−(N +1),(N +1)] = y[−(N +1),(N +1)] .
Donc,
σ(x)[−(N +2),N ] = σ(y)[−(N +2),N ] et σ −1 (x)[−N,N +2] = σ −1 (y)[−N,N +2] ,
en particulier
σ(x)[−N,N ] = σ(y)[−N,N ] et σ −1 (x)[−N,N ] = σ −1 (y)[−N,N ] .
8
Remarque 4.5.- Notons que l’application R : Σ →
− > Σ satisfait que pour tout x ∈ Σ
et pour tout k ∈ Z, (σ ◦ R ◦ σ)(x)k = R(x)k . Étant σ une conjugaison topologique on
obtient que (Σ, σ −1 ) est une conjugaison topologique de ( > Σ, σ).
Définition (Langage).- Soit Σ un décalage, l’ensemble




G
B(Σ) := w ∈
An : ∃x ∈ Σw tel que est un sous-bloc de x


n≥1
est le langage de Σ. En plus, on définit
Bm (Σ) := {w ∈ Am : ∃x ∈ Σ tel que w est un sous-bloc de x} .
Définition (Codage).- Soient n, m ∈ N, A et U deux alphabets, Σ un décalage sur A
et φ : Bn+m+1 (Σ) →
− U une fonction quelconque. On dit que l’application Φ : Σ →
− UZ
définie par Φ(x)(k) := φ(x[−n+k,m+k] ) est un codage d’attente m et retard n. On dit que
φ est le code associé à Φ et on note Φ = φ∞ . Si Σ0 ⊂ U Z satisfait Φ(Σ) ⊂ Σ0 alors on
n (Σ, Σ0 ) l’ensemble des codages d’attente n et retard m
note Φ : Σ →
− Σ0 , on note par Cm
0
sur Σ à valeurs dans Σ .
Si Φ : Σ →
− Σ0 est un codage bijectif tel que Φ−1 est un codage alors on dit que Φ est
une conjugaison symbolique. Si n et m sont l’attente et le retard de Φ alors on dit que Φ
est un n + m + 1-codage.
Remarque 4.6.- Si (Σ, σX ), U et Φ : Σ →
− U Z sont un décalage, alphabet et codage
respectivement, alors Φ ◦ σX = σU ◦ Φ.
Proposition 4.5.- Pour que une fonction Φ : Σ1 →
− Σ2 soit un codage il faut et il suffit
que Φ soit une fonction continue et que Σ2 ◦ Φ = Φ ◦ Σ1 . En particulier les notions
de conjugaison symbolique et conjugaison topologique sont équivalents, c’est-à-dire les
conjugaisons topologiques entre décalages sont les codages bijectifs.
Démonstration. Pour démontrer la nécessité il reste montrer que tout codage est continu.
Soient φ une fonction base associée à Φ, n, m ∈ N l’attente et le retard de φ, respectivement, x ∈ Σ1 et ε > 0 ; on définit N := min{k ∈ N∪{−1} : 2−k < ε} et δ := N +m+n+1.
Supposons que d(x, y) < δ. Notons que pour tout l ∈ N on a que Φ(x)l = φ(x[l−n,l+m] ),
donc Φ(x)[−N,N ] = Φ(y)[−N,N ] , c’est-à-dire Φ est une fonction continue.
Pour démontrer la suffisance, on prend ε = 1 donc il existe un δ > 0 tel que si
d(x, y) < δ alors d(Φ(x), Φ(y)) < 1, et on définit N := min{k ∈ N ∪ {−1} : 2−k < δ} et
n = m = N . Notons que si w est un élément du langage de Σ1 alors il existe un x ∈ Σ1
tel que w est un 2N + 1-sous-bloc de x, donc on peut définir φ : B2N +1 (Σ1 ) →
− A(Σ2 ) par
la formule φ(w) := Φ(x)[−N,N ] . Grâce à la commutativité de Φ avec les fonctions σ1 , σ2
on a que pour tout k entier, Φ(x)k = φ(x[−n+k,m+k] ).
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Proposition 4.6.- Pour tout codage Φ : Σ →
− U Z , Im(Φ) est un décalage.
Démonstration. Soit W :=
G
U n . On définit
n≥1
F := {W {w ∈ W : il existe un x ∈ Σ tel que w est un bloc de Φ(x)} .
Évidemment aucun élément de Φ(Σ) n’admet un bloc de F, donc Φ(Σ) ⊂ XF . Soit
y ∈ XF , notons que pour tout n ∈ N il existe un xn ∈ Σ tel que Φ(xn )[−n,n] = y[−n,n] .
Par la compacité de Σ il existe une sous-suite de (xn ) convergeant, soit x la limite de
cette sous-suite. Soit ε > 0, on sait qu’il existe un k ∈ N tel que 2−k < ε et k est un
entier tel que xk appartient à la sous-suite précédant. Comme Φ(xk )[−k,k] = y[−k,k] alors
d(Φ(xk ), y) < 2−k < ε, par la continuité de Φ on obtient que Φ(x) = y.
Proposition 4.7.- Le décalage induit par un graphe de division sortante est conjugué au
décalage induit par le graphe original.
Démonstration. Soient G un graphe et H un graphe de division sortante de G. On définit
φ : B1 (XH ) →
− B1 (XG )
ej 7→ e.
Notons que si ei f j ∈ B2 (XH ) alors t(e)i = t(ei ) = i(f j ). Donc, t(e) = i(f ), d’où on
obtient que Im(Φ) ⊂ XG . Soit ef ∈ B2 (XG ), on sait qu’il existe un unique j tel que
j
f ∈ Ei(f
) , on définit
ψ : B2 (XG ) →
− B1 (XH )
ef 7→ ej .
Notons que si ef g ∈ B3 (XG ) alors t(ψ(ef )) = t(e)j = i(f )j = i(ψ(f g)), car tous les i(f k )
sont égaux à i(f )j . Donc, Im(Ψ) ⊂ XH . Évidemment Φ ◦ Ψ = IdXG . Soient i ∈ Z et
j
−1 j0 j1
y = . . . e−1
e0 e1 . . . ∈ XH ,
j
ji
i+1
comme eji i ei+1
∈ B2 (XH ) on a que ei+1 ∈ Ei(ei+1 )ji = Ei(e
. Donc, Φ et Ψ sont inverses
i+1 )
l’un de l’autre.
Dorénavant on notera le codage précédent Ψ et par αGH .
e le graphe de division totale de G. Notons que si y ∈ X e et
Soient G un graphe et G
G
x = α−1e (y) alors y1 . . . yn détermine x1 . . . xn+1 , d’où on peut conclure le suivant :
GG
10
e le graphe de division total de G. Pour
Corollaire 4.8.- Soient G, H deux graphes, et G
e : Xe →
tout codage Φ : XG →
− XH d’attente m et retard n il existe un unique codage Φ
−
G
e
e
XH tel que Φ = Φ ◦ αGGe . L’attente de Φ est m et son retard et n − 1.
Lemma 4.9.- Pour Σ et Σ0 deux décalages quelconques il existe une bijection entre
n (Σ, Σ0 ) et C m ( > Σ, > Σ0 ).
Cm
n
n (Σ, Σ0 ) on définit pour tout z ∈
Démonstration. Pour Φ ∈ Cm
R)(z). Soient x ∈ > Σ et k ∈ Z, notons que
>
> 0
( σ ◦
>
( >Φ ◦
>
> Σ, > Φ(z)
:= (R ◦ Φ ◦
Φ(x)0 = R(Φ(R(x)))0 = φ(R(x)[−m,n] ) = φ(x[−n,m] ),
Φ)(x)(k) = (R ◦ Φ ◦ R)(x)(k + 1) = Φ(R(x))(−k − 1) = φ(x[k+1−n,k+1+m] ),
σ)(x)(k) = Φ(R( > σ(x)))(−k) = φ(R( > σ(x)[−k−m,−k+n] )) = φ( > σ[k−n,k+m] )
= φ(x[k−n+1,k+m+1] ).
Notons que la transposé de > Φ est égal à (R ◦ R ◦ Φ ◦ R ◦ R), ce qui est égal à Φ. Donc,
Φ 7→ > Φ est une application bijective.
Remarque 4.7.- D’après le corollaire et le lemme précédents on peut conclure que pour
toute codage Φ : XG →
− XH il existe deux suites finies des graphes G0 := G, . . . , Gn
et des codages Φ0 := Φ, . . . , Φn telle que pour tout i ∈ {1, . . . , n}, Gi est un graphe de
division de Gi−1 , Φi : XGi →
− XH , Φi−1 = Φi ◦ αGi−1 Gi , et Φn est un 1-codage.
Lemma 4.10.- Soit Φ : XG →
− XH une 1-conjugaison tel que l’attente et le retard de
e et H
e deux graphes de
son inverse sont m et n respectivement. Si m ≥ 1 alors il existe G
e : Xe →
division de G et H respectivement, et une 1-conjugaison Φ
− XHe d’attente m − 1
G
e
et retard n tel que Φ ◦ αGGe = αH He ◦ Φ.
e comme le graphe de division totale de H. Pour toute paire
Démonstration. On définit H
(p, h) ∈ V(G) × E(H) on définit Eph := {g ∈ Ep (G) : Φ(g) = h}. Notons que si p 6= q
0
alors Eph ∩ Eqh = ∅. Évidemment si Eph ∩ Eph 6= ∅ alors h = h0 . Donc {Eph : P ∈ V(G), h ∈
E(H), Eph 6= ∅} est une partition de E(G).
Par construction, pour tout g ∈ G il y a autant d’éléments dans {1, . . . , m(t(G))}
comme éléments dans φ(Et(g) ), donc on peut indicer les g j avec des éléments h ∈ H. Le
remarque précédant permet définir
e →
e
φe : E(G)
− E(H)
g h 7→ φ(g)h .
11
Soient z ∈ XG et k ∈ Z, notons que
φ(z
)
φ(zk+1 )
e
e jk
e
) = φ(zk k+1 )
Φ(α
e (z))k = φ(αGG
e (z)k ) = φ(zk ) = φ(zk
GG
Φ(z)k+1
αH He (Φ(z))k = Φ(z)k
= φ(zk )φ(zk+1 ) .
e := φe∞ est un 1-codage. Comme β e et α e sont des conjugaisons on a
Évidemment Φ
HH
GG
e := α e ◦ Φ−1 ◦ β e = Φ
e −1 est un codage. Soit ye ∈ X e , on définit x
e y ),
que Ψ
e := Ψ(e
GG
HH
H
−1
y := βHH
y ) et x := Φ (y). Notons que i(x1 ) = t(x0 ) et φ(x1 ) = Φ(x)1 = y1 . Les
e (e
arguments précédents démontrent que x
e0 = xy01 , donc
e e (y))0 .
x
e0 = αGGe (x)0 = αGGe (Ψ(y))0 = Ψ(β
HH
On sait que ye[−m,n−1] détermine y[−m,n] , qui à son tour détermine x0 .
Théorème 4.11.- Toute conjugaison entre décalages d’arêtes est la composé des codages
de division et amalgame, à 1-codage près.
Démonstration. Soit Φ : XG →
− XH une conjugaison des décalages d’arêtes. Si les attente
et retard de Φ sont tous les deux égaux à 0 alors Φ est un 1-codage. Sinon, on peut utiliser
le lemme 3.9 plusieurs fois pour obtenir que tout conjugaison est la composée d’un 1codage dont le retard de son inverse est celui de la conjugaison et son attente est 0.
e l’amalgame de G obtenu par tel processus. On peut appliquer le même lemme
Soit G
e : >X e →
au conjugaison transposé > Φ
− > XHe et transposer la conjugaison obtenu pour
G
montrer qu’il existe deux suites des amalgames, {Gi }ni=1 de G et {Hi }ni=1 de H, et une
suite des conjugaisons Φi : XGi →
− XHi telles que pour tout i Φi+1 ◦αGi Gi+1 = αHi Hi+1 ◦Φi ,
et Φn est une 1-conjugaison.
Corollaire 4.12.- Soient G et H deux graphes essentiels. Les décalages XG et XH sont
conjugués si et seulement si H est obtenu à partir de G par un suite des amalgames et
divisions, à 1-codage près.
Notons qu’on a traduit un propriété topologique (et dynamique) en termes combinatoires. Mais il y a des autres caractérisations, comme celle en termes algébriques : deux
décalages sont conjugués si et seulement si leurs matrices d’adjacence sont fortement
équivalents( shift equivalence ). Mais la preuve de cet théorème est au delà des objectifs
du présent écrit. Une bonne référence est [2][pp. 225-231, théorème de Williams] ).
Bibliographie
[1] Hadamard, Jacques: Les surfaces à courbures opposées et leurs lignes géodésiques.
Journal de Mathématiques Pures et Appliqué, (4), 1898.
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[2] Lind, Douglas et Brian Marcus: An Introduction to symbolic dynamics and coding.
Cambridge University Press, 1999.
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