R M U

République Algérienne Démocratique et Populaire
Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique
Université des Sciences et de la Technologie d’Oran
Mohamed BOUDIAF
FACULTE DE GENIE ELECTRIQUE
DEPARTEMENT D’ELECTROTECHNIQUE
MEMOIRE EN VUE DE L’OBTENTION DU DIPLÔME DE MAGISTER
Spécialité : Ecole Doctorale de Génie électrique
Option
: Compatibilité Electromagnétique (CEM)
Présenter par :
Mr. ZIANE AHMED
Sujet du mémoire
Calcul du champ électromagnétique de foudre
en présence d’un sol stratifié verticalement
et d’une tour élevée
SOUTENUE LE :
DEVANT LE JURY COMPOSE DE :
Président
: Mr BOUTHIBA Tahar
Rapporteur
: Mr AZZOUZ Zin-Eddine
CO- Rapporteur : Mr Mimouni Abdenbi
Examinateur
: Mr Flazi Samir
Examinateur
: Mr Kotni Lahouari
Professeur (USTOMB)
Professeur (USTOMB)
Maitre de conférences .A (Univ-Tiaret)
Professeur (USTOMB)
Maitre de Conférences .A (USTOMB)
2014
Remerciements
Ce travail a été effectué au sein de l’équipe de compatibilité électromagnétique au
Laboratoire de développement et d’entraînement électrique (LDEE), de l’Université des
Sciences et de la Technologie d’Oran Mohamed BOUDIAF. Sous la direction du Professeur
Zin Eddine Azzouz.
Tout d’abord, je tiens à remercier le Professeur. Zin eddine Azzouz qui m’a offert la
possibilité de réaliser une thèse sous sa direction. Je lui suis reconnaissant surtout pour sa
confiance en moi et pour m’avoir toujours guidé dans la bonne direction. Son encadrement
souple mais opportun me couvrit de son aile tutélaire depuis le choix du sujet pour lequel
la plus grande liberté me fut laissée jusqu’à la relecture critique de la présente thèse. Que
cette thèse soit un témoignage de ma respectueuse reconnaissance pour l’intérêt constant
qu’il a porté à mon travail en me faisant bénéficier de son expérience.
Mes sincères remerciements s’adressent et reconnaissances à mon Co-encadreur
Monsieur A.MIMOUNI pour son amitié, ses aides et ses conseils qui ont m’éclairé le droit
chemin de cette étude.
J’adresse mes sincères remerciements Dr : T.Bouthiba pour avoir accepté la présidence du
jury, pour sa suggestions et remarques constructives.
Que tous les membres de jury qui ont bien voulu évaluer et examiner mon travail, trouvent
ici l’expression de mon profond respect.et aussi d'avoir accepté de participer à ce Jury.
Je remercie :
Mr S.Flazi
Mr. L.Kotni
(USTO-MB)
(USTO-MB)
Je remercie également monsieur B.Ghemri (USTO-MB) pour son aide si précieuse et pour
les connaissances nécessaires pour mener à bien le projet que je me suis vue confié.
Mes remerciements s’adressent également à tout le corps enseignant qui a contribué à ma
formation.
Je n’oublierais pas d’adresser mes remerciements à mes collègues et amis avec lesquels
ce fut toujours agréable de travailler.
Je ne terminerais pas sans associer à mes remerciements tous les membres de ma famille
pour leur soutien tacite, amical et moral.
Je dédié ce modeste travail à :
Mes parents,
Mes frères et sœurs,
Ma femme et mes trois enfants,
Tous mes amis.
Résumé
L’objectif de ce travail réside dans l’étude et la détermination
du champ
électromagnétique rayonné par foudre pour un sol stratifié verticalement et en présence
d’un tour. Le calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre est
effectué au niveau du sol. Cette caractérisation nécessite au préalable la connaissance de la
distribution spatio-temporelle du courant d’arc en retour, ce dernier est lié au courant à la
base de la tour et du canal de foudre à travers les modèles d’ingénieur. Nous avons, dans
un premier temps, abordé la modélisation du courant associé à la phase d’arc en retour
ainsi que celle du courant au sol. Des simulations de ces deux courants ont été ensuite
effectuées, sur la base de modèles appartenant à la famille des modèles d’ingénieur.
La suite du travail a été consacrée à la simulation du rayonnement électromagnétique par
foudre en présence d’un sol stratifié verticalement en présence d’une tour à l’aide d’une
méthode numérique intéressante à savoir la méthode FDTD. Le premier objectif fixé a été
de valider les résultats de simulation en les comparants avec ceux de la littérature
spécialisée basés sur d’autres approches. Nous nous sommes intéressés ensuite à l’étude de
l’influence de la stratification verticale du sol sur les formes d’ondes du champ
électromagnétique associé au coup de foudre.
SOMMAIRE
Introduction générale
Chapitre I: Phénoménologie de la foudre
I.1 Introduction……………………………………………………………………………………………………….. 3
I.2 Description phénoménologique……………………………..……………………………………………..3
I.2.1 Mécanismes de formation des nuages orageux……………………………………………..3
I.2.2 Répartition des charges à l’intérieur d’un nuage…………………………………………..3
I.2.3 Types de coup de foudre……………………………………………………………………………..5
I.2.3.1 Classifications des coups de foudre………………………………………………...…..5
I.2.3.2 Décharges négatives nuage-sol………………………………………………………….6
I.3 Observations expérimentales………………………………………………………………...……….……..8
I.3.1 Caractérisation du courant de l’arc en retour……………………………………………….8
I.3.1.1 Foudre naturelle…………………………………………………………………………….…8
I.3.1.1.1 Mesure du courant d’arc en retour en utilisant des tours
Instrumentées....................................................................................9
I.3.1.1 Foudre déclenchée artificiellement……………………………………………………13
I.3.2 Vitesse de l’arc en retour…………………………………………………………………….……..14
I.4 Caractérisation du champ électromagnétique..……………………..……………………………….15
I.5 Conclusion………………………………………………………………………….………………….…………….18
Chapitre II: Modélisation du rayonnement électromagnétique de la foudre
II.1 Introduction………………………………………………………………………………………………………..19
II.2 Détermination du courant de foudre à la base du canal…………………………………………19
II.2.1 Forme analytique du courant de foudre……………………………………………………....19
II.2.1.1 Modèle bi-exponentiel…………………………………………………………...………....19
II.2.1.2 Modèle d’Heidler……………………………………………………………...……………..21
II.2.1.3 Modèle Hybride……………………………………………………….……………..…….…23
II.2.2 Modélisation de la distribution de courant le long le canal de foudre…………..24
II.2.2.1Modèles d’ingénieurs………………………………………………………………….…….25
II.2.2.1.1 Modèle de Bruce et Golde (BG)………………………………………….…25
II.2.2.1.2 Modèle de la ligne de transmission TL................................................26
II.2.2.1.3 Modèle de la ligne de transmission modifié
MTL (Modified Transmission-Ligne)……………………………….......27
II.2.2.1.4 Modèle de la source de courant mobile TCS
(Travelling Curent Source)……………………………………………...….29
II.2.2.1.5 Modèle de Diendorfer et Uman-DU……………………………………...30
II.2.3 Généralisation des modèles ingénieur………………………………………………...…….....30
II.3 Distribution du courant le long d’une tour et dans le canal de foudre…………..………...31
II.3.1 Modèle Rachidi et al……………………………………………………...………………..…………....31
II.3.2 Modèle de Y. Baba et V.A. Rakov………………………………………………..……..…………......32
II.4 Formulation du champ électromagnétique rayonné par la foudre……………..…………….34
II.4.1 Champ Electromagnétique au Dessus du Sol……………………………………..…………34
II.4.1.1 Formules générales……………………………………………………………..…………..34
II.4.1.2 Approximation d’un sol parfaitement conducteur ……………………………36
II.4.1.3 Validation de l’hypothèse d’un sol parfaitement conducteur……..………38
II.4.1.4 Approximation de Cooray-Rubinstein………………………………………..……..38
II.4.2 Champ électromagnétique en dessous du sol……………………………………………..……..40
II.4.2.1 Approximation de Cooray……………………………………………………………….40
II.4.2.2 Algorithme de Delfino et al …………………………………………………….....40
II.4.2.3 Approximation par la méthode numérique (FDTD)…………………………..42
II.5 Conclusion………………………………………………………………………………………………..…….….42
Chapitre III: Formulations du champ électromagnétique rayonné par un coup
de foudre en présence d’un sol stratifie et d’une tour
III.1 Introduction……………………………………………………………………………………………………….43
III.2 Formulation du champ électromagnétique rayonnée par foudre pour un sol
monocouche et en présence d’une structure élevée (une tour) ……………………………43
III.3 Formulation du champ pour un sol stratifié et en l’absence d la ........................................46
III.3.1Présentation et discussion des résultat par Shoory et al ……………..……………….49
III 3.2 Présentation et analyse de nos résultats……………………………………………………..51
III .4 Formulation du champ en présence d’un sol stratifie verticalement
et d’ une tour……………………………………………………………………………………………………...56
III.5 Conclusion…………………………………………………………………………………………………………58
Chapitre IV : Simulation du rayonnement électromagnétique de la foudre
par la méthode FDTD
IV.1 Introduction…………………………………………………………………………………….……………..…..59
IV.2 Géométrie du problème………………………………………………………………….……………….…..60
IV.3 Formulation du champ électromagnétique…………………………………….…………….…......61
IV.3.1 Formulation de base…………………………………………………………….…………….…….61
IV.4 Principe de base de la méthode FDTD………………………………………………………….…..…..62
IV.4.1 Discrétisation spatio-temporelle………………………………………………….……………...62
IV.4.2 Condition aux limites absorbantes(ABC)..............................................................................66
IV.4.2.1 Les conditions aux limites de Mur…………………………………………………..66
IV.5 Validation de l’approche FDTD dans le calcul du courant et du champ
électromagnétique associé en d’une ………………………….............................................................68
IV. 6 Résultats obtenus dans le cas d’un sol stratifié verticalement en présence d’une tour…...74
IV.7 Conclusion..........................................................................................................................80
Conclusion générale…………………………………………………………………………………………………….…….…81
Références bibliographiques………………………………………………………………………………..….…….…….82
Introduction générale
Introduction générale
Introduction générale
Les perturbations électromagnétiques en milieu industriel notamment celui de
l’industrie électrique (réseaux d'énergie électrique) constituent de nos jours l'une des
principales causes des problèmes liés à la qualité de l'énergie fournie aux
consommateurs.
En effet, pour les réseaux électriques le problème devient de plus en plus difficile à
gérer car ces derniers connaissent un développement et un niveau de complexité de
plus en plus croissant faisant intervenir des dispositifs de contrôle commande à base
d’électronique. Ces dispositifs sensibles qui servent au pilotage à distance du réseau
électrique sont très vulnérables et donc souvent perturbés par les champs
électromagnétiques présents dans l’environnement du réseau électrique et ses
composants. Ceci se traduit par une modification néfaste des ordres de décision
engendrant souvent des dysfonctionnements du réseau électrique. Il devient alors
impératif de faire des investigations théoriques et expérimentales afin d’identifier les
champs électromagnétiques agresseurs et de quantifier leurs effets sur les différents
éléments du réseau électrique. Ceci permettra d’adopter des stratégies de protection
plus efficaces.
Le phénomène de foudre, qui est un phénomène naturel, constitue une source majeure
de perturbations électromagnétiques pour le réseau électrique ainsi que pour tous les
dispositifs et systèmes électriques et ou électroniques. En effet ce phénomène par ses
effets directs et indirects, peut entrainer de nombreux dérangements et destructions
d’équipements au sein même du réseau.
Aussi, afin de protéger ces dispositifs il devient plus que nécessaire d’évaluer
correctement les champs électromagnétiques (effets indirects surtout) causés par ce
phénomène.
L’objectif de notre travail est donc la caractérisation du champ électromagnétique
rayonné par la foudre pour un sol stratifié verticalement et en présence d’une tour
élevée. Cette caractérisation est basée sur le développement de codes de calcul
élaborés en Fortran au sein de notre équipe, utilisant une méthode aux différences
finies, appelée la FDTD (Finite-Difference Time-Domain). Le champ électromagnétique
sera calculé au niveau du sol stratifié verticalement à deux couches.
Le mémoire est subdivisé en quatre chapitres :
Ainsi dans le Chapitre I, après un bref rappel de la phénoménologie de la foudre, nous
présentons les observations expérimentales utiles à l’élaboration des modèles du
courant de l’arc en retour et du champ électromagnétique associé.
1
Introduction générale
Le Chapitre II, est consacré à la modélisation du rayonnement électromagnétique de la
foudre. Dans un premier temps, nous présentons brièvement les différents modèles de
l’arc en retour. Une attention particulière est réservée aux modèles dits d’ingénieur.
Ces modèles permettent une description de la distribution du courant le long du canal
en fonction du courant à la base du canal. La prise en compte de la présence d’une tour
élevée est aussi abordée dans ce chapitre à travers la présentation des modèles de
courant le long de la tour. Nous présentons ensuite les formulations mathématiques
utilisées pour le calcul du champ électromagnétique au dessus et en dessous d’un sol
supposé parfaitement conducteur en première approximation et ensuite la mise en
œuvre d’une approximation permettant la prise en compte de la conductivité finie du
sol.
Le Chapitre III, présente les différentes formulations du champ électromagnétique
rayonné par la foudre tout en considérant le cas d’un sol homogène et non homogène
et aussi celui de la présence ou non d’une tour élevée. L’étude commence par la mise
en œuvre de la formulation d’un sol stratifié à une seule couche (sol mono couche)
supposé parfaitement conducteur et en présence d’une tour élevée. Nous abordons
ensuite le cas d’un sol stratifié verticalement multicouches en l’absence de la tour dans
un premier temps ensuite avec la présence de la tour. Une formulation simplifiée à
savoir la formulation de Wait est utilisée pour la calcul du champ électrique vertical au
niveau du sol stratifié. Le modèle de Baba et Rakov est utilisé pour représenter la
distribution du courant dans le canal et le long de la tour.
Dans le Chapitre IV, nous présentons et discutons les résultats obtenus par simulation à
l’aide du programme développé au sein de l’équipe CEM, basé sur la technique FDTD.
Une analyse comparative des résultats que nous avons obtenus avec ceux issus de la
littérature, est présentée à la fin du chapitre.
Enfin, nous terminons notre travail par une conclusion générale.
2
Chapitre I
Phénoménologie de la foudre
Chapitre I
Phénoménologie de la foudre
I.1 Introduction
La foudre est l’un des phénomènes naturels les plus étudiées à cause de son pouvoir
destructeur et son caractère spectaculaire. Ce phénomène qui est étudié depuis le dix
septième siècle reste encore inexpliqué quant à sa phénoménologie et suscite un certain
nombre d’études de la part des physiciens.
Par ailleurs, la foudre engendre des effets directs et indirects sur les structures et ouvrages
électriques. La protection efficace de ces derniers nécessite une bonne connaissance du
phénomène de foudre et une évaluation précise des effets engendrés. Actuellement au sein
de la communauté scientifique de nombreux chercheurs travaillent sur les mécanismes de
génération de la décharge de la foudre et contribuent ainsi à une meilleure compréhension
de cette décharge et de ses effets néfastes sur les systèmes [Rakov et Uman, 2003].
Dans ce chapitre, après une brève introduction sur le phénomène de la foudre, nous allons
présenter une description générale de la phénoménologie de la foudre. Nous présentons
ensuite les observations expérimentales liées aux éclairs naturels et aux éclairs déclenchés
artificiellement. Nous abordons enfin les caractéristiques des champs électromagnétiques
rayonnés par la foudre.
I.2 Description du phénomène de foudre
I.2.1 Mécanismes de formation des nuages orageux
La formation des nuages orageux résulte de la rencontre entre un flux d’air anormalement
froid issu de l’électrosphère et un flux d’air anormalement chaud venant du sol. A l’origine
les nuages orageux sont des cumulus. A ce stade, un courant ascendant, d’air chaud
prédomine au sein du nuage. Ce courant vertical atteint habituellement sa vitesse maximale
dans la partie supérieure (de l’ordre de 25m/s). Durant son ascension, l’eau contenue dans
le courant d’air chaud, se condense au contact de l’air ambiant plus froid et provoque la
création de gouttes d’eau et de glace dans la partie haute du nuage ainsi qu’un courant
descendant constitué d’air froid. On parle alors de cumulonimbus. Ce type de nuage est
facilement reconnaissable grâce à sa forme en enclume provoquée par la rencontre entre le
courant ascendant et les couches hautes de l’atmosphère, (la stratosphère) [1] [2].
I.2.2 Répartition des charges à l’intérieur d’un nuage
Le processus par lequel les nuages d’orage acquièrent une charge n'est pas complètement
bien compris. A l’heure actuelle, Il existe deux théories fondamentales qui expliquent la
répartition des charges électriques au sein d’un nuage :
3
Chapitre I
Phénoménologie de la foudre
D’une part, la théorie de la convection qui considère que les ions libres dans l'atmosphère
sont captés par les gouttelettes contenues dans le nuage. Les gouttelettes ainsi chargées
sont ensuite transportées par les courants convectifs dans le nuage, produisant ainsi des
zones de charges.
D’autre part, la théorie de gravitation, qui repose sur l’hypothèse que les particules
chargées négativement sont plus lourdes que les particules chargées positivement. Dans ce
cas, la séparation entre les charges négatives est positives se fait par gravité.
Néanmoins, aucune de ces deux théories ne permet d’obtenir une bonne corrélation avec
les observations effectuées sur le terrain ou en laboratoire. Cependant, la majorité du
monde scientifique s'accorde aujourd'hui sur le fait que le haut du nuage est chargé
positivement et que le bas du nuage se compose de particules négatives mais peut aussi
contenir des poches de particules positives, comme le montre la Figure I-1
Figure I-1 : Distribution des charges électriques dans la masse d’un cumulo-nimbus et
répartition du champ électrique au sol, au moment ou va se produire la foudre [3]
Que le nuage soit chargé positivement ou négativement, l’accumulation des charges à sa
base est assez importante pour créer une différence de potentiel pouvant atteindre
plusieurs kilovolts. Cette différence de potentiel engendre de manière locale un champ
électrique pouvant aller de 10 à 50 kV/cm. Pour pouvoir observer une décharge électrique,
le champ électrique doit dépasser la valeur critique du champ de rupture de l’air estimée à
30 kV/cm.
Il faut noter, cependant, que le champ électrique peut devenir beaucoup plus intense à
cause des aspérités du terrain, arbres, sommets montagneux, constructions, qui sont le
siège d’effets de pointe ou de couronne.
4
Chapitre I
Phénoménologie de la foudre
I.2.3 Types de coups de foudre
I.2.3.1 Classifications des coups de foudre
Bien que les décharges inter-nuages et intra-nuages constituent plus de la moitié des
décharges de foudre, ce sont surtout les décharges nuage-sol qui ont fait l'objet d'études
très poussées; ceci est dû essentiellement à des raisons d'ordre pratique à savoir :
blessures et morts d’hommes, incendies de forêts, perturbations engendrées dans les
réseaux de transport d’énergie électrique et de télécommunication et aussi du fait qu'il est
plus facile de mesurer les caractéristiques optiques et électriques des décharges nuage-sol.
Les décharges de foudre nuage-sol se subdivisent en quatre catégories. Ces catégories
sont définies d'une part selon la direction du traceur (ascendante ou descendante) qui
déclenche la décharge, et d'autre part selon le signe de la charge portée par le traceur
(positive ou négative). La figure ci-dessous illustre ces quatre catégories des décharges
nuage-sol.
Figure I.2 : Classification des coups de foudre selon Berger et al. [5]
Dans les régions tempérées, plus de 90% des coups de foudre nuage-sol sont de la
catégorie 1. Ce type de décharges, appelées décharges négatives, peut par conséquent être
considéré comme la forme la plus commune des décharges nuage-sol. Cette forme de
décharge est déclenchée par un traceur descendant charger négativement. Les coups de
foudre appartenant à la 3ème catégorie sont aussi déclenchés par un traceur descendant,
mais chargé positivement (décharge dite positive). Cette catégorie regroupe moins de 10%
des décharges nuage-sol. Enfin, les décharges des catégories 2 et 4 qui sont déclenchées par
des traceurs ascendants, sont relativement rares et apparaissent généralement aux
sommets des montagnes ou des structures longues.
5
Chapitre I
Phénoménologie de la foudre
I.2.3.2 Décharges négatives nuage-sol
Une décharge négative (nuage-sol) typique apporte une quantité de charge négative de
quelques dizaines de Coulomb à la terre. La décharge totale est appelée éclair et possède
une durée de l'ordre de 0.5 seconde. Chaque éclair est constitué de plusieurs composantes
de décharge dont typiquement trois ou quatre impulsions de courant de forte amplitude
dites arcs en retour. Chaque arc en retour a une durée d’environ 1 ms, la séparation entre
deux arcs en retour successifs étant typiquement de plusieurs dizaines de millisecondes.
La figure I.3 illustre le processus d'un éclair négatif; plusieurs phases peuvent y être
distinguées à savoir : la décharge préliminaire (‘’preliminary breakdown’’, en anglais)
intervient à l'intérieur du nuage. Cette décharge déclenche le développement d'un canal
chargé négativement dirigé vers le sol appelé ‘’traceur par pas’’ (‘’stepped leader’’).
La progression de ce canal s'effectue par une série de bonds (ou pas) lumineux successifs,
chaque bond ayant une longueur de quelques dizaine de mètres et une durée d'environ
1 microseconde; deux bonds successifs sont séparés par une pause de l'ordre de 500
microsecondes. Le traceur apporte une quantité de charges négatives de l'ordre de 10
Coulomb vers le sol avec une vitesse moyenne de
. A chaque pas du traceur
correspond une impulsion de courant d'amplitude supérieure à 1 kA.
Ces dernières sont associées à des impulsions de champs électriques et magnétiques d'une
durée d'environ 1 microseconde et des temps de montée inférieurs à 0.1 microseconde. A
l'approche du sol le traceur, dont le potentiel par rapport à la terre est environ -10 MV,
provoque une intensification du champ électrique et initie une ou plusieurs décharges
ascendantes (‘’upward connecting leader’’): cette phase est appelée le processus
d'attachement (‘’attachement process’’). La jonction entre une des décharges ascendantes
et le traceur par pas s'effectue à quelques dizaines de mètres au-dessus du sol.
Le canal du traceur est alors déchargé lorsqu'une onde de potentiel de sol, le premier arc en
retour (first return stroke), se propage vers le nuage et neutralise le canal chargé par le
traceur avec une vitesse décroissante en fonction de la hauteur de l'ordre de 1/3 de la
vitesse de la lumière. Le premier arc en retour produit un courant au niveau du sol d'une
valeur de pic typique de 30 kA et d'un temps de montée de l'ordre de quelques
microsecondes.
La durée de l'impulsion du courant (à la mi-hauteur) est de l'ordre de 50 microsecondes.
Durant cette phase, la température du canal s'élève rapidement pour atteindre des valeurs
jusqu'à
qui génère un canal de haute pression provoquant une onde de choc
appelée ‘’tonnerre’’.
6
Chapitre I
Phénoménologie de la foudre
Figure I.3 Illustration des différentes phases d’ une décharge négative nuage-sol [1]
Après la phase de l'arc en retour, l'éclair peut disparaître. Néanmoins, si une quantité
résiduelle de charges est encore présente au sommet du canal, il se développe dans le canal
précédemment tracé un traceur obscur (‘dart leader’) à une vitesse de l'ordre de
apportant une charge d'environ 1 Coulomb associée à un courant de 1 kA.
Entre la fin du premier arc en retour et le début du traceur obscur, une activité électrique,
désignée par les processus ‘’ J’’et ‘’K ‘’ [1], se manifeste. Il existe cependant un doute quant à
l'influence de cette activité et le déclenchement du traceur obscur [1], [2]. Le traceur
obscur déclenche enfin l'arc en retour subséquent (‘subséquent return stroke’) (Figure I.4).
Les courants des arcs en retour subséquents mesurés à la base du canal ont généralement
un temps de montée plus rapide que le courant du premier arc en retour. De nouvelles
séquences traceur-arc peuvent ensuite se produire, donnant parfois jusqu'à 15 arcs en
retour. Le dernier arc en retour est souvent à l'origine d'un fort courant de l'ordre de 100 A
(‘continuing current’) qui draine la charge résiduelle de la cellule orageuse.
Figure I.4 : Séquence traceur descendant-arc en retour dans un éclair [1].
7
Chapitre I
Phénoménologie de la foudre
Figure I.5 : Photographie d’un éclair comportant 12 arcs en retour
(séquence temporelle : de gauche à droite). Le premier arc en retour est à
gauche et comporte des ramifications [1]
I.3 Observations expérimentales
Les différentes caractéristiques et données expérimentales présentées sont relatives :
• Au courant à la base du canal,
• A la vitesse de l’arc en retour,
• Au champ électromagnétique rayonné.
Ces mesures concernent les coups de foudres naturels, et ceux déclenchés artificiellement.
I.3.1 Caractérisation du courant de l’arc en retour
I.3.1.1 Foudre naturelle
Figure 1.6 : Exemple de mesure de courant de foudre en utilisant une tour instrumentée.
Tour CN à Toronto au Canada [4].
8
Chapitre I
Phénoménologie de la foudre
I.3.1.1.1 Mesure du courant d’arc en retour en utilisant des tours instrumentées
a. Tours de petite taille
La description la plus complète du courant de l'arc en retour à la base du canal de foudre
est donnée par l'équipe du Professeur Berger [5] (rapporté par Uman [1]), qui durant les
années 1950-1980 a exploité une station expérimentale au sommet de Monte San
Salvatore, Lugano, en Suisse. La mesure du courant a été effectuée au sommet de deux
tours de 55 m de haut. Environ 15 % des mesures rapportées par l’équipe du Prof. Berger
sont dues à des traceurs descendants (Figure I.2.a).
La plupart des décharges sont initiées par des traceurs ascendants positifs et négatifs
(Figure I.2.b et I.2.d).
La figure I.7 illustre les formes moyennes des courants typiques correspondant aux arcs en
retour premier et subséquent d’une décharge négative. Dans cette figure, il est possible de
voir un temps de montée rapide du courant correspondant à l’arc en retour subséquent.
La distribution statistique des principaux paramètres du courant est présentée dans le
tableau.1.
Figure I.7 : Forme moyenne normalisée des courants d’arcs en retour premier et subséquent
(A) premier arc en retour, (B) arc en retour subséquent [5].
9
Chapitre I
Phénoménologie de la foudre
Tableau I.1 : Paramètres du courant d’un coup de foudre descendant négatif [5].
A partir du tableau I.1, on peut établir les remarques suivantes concernant les décharges de
foudre descendantes négatives:
•
Les amplitudes du courant du premier arc en retour sont supérieures à celles des arcs
en retour subséquents.
•
La valeur maximale de la variation du courant dans le cas d’un arc subséquent est
supérieure à celle du premier arc en retour.
•
Le temps de montée du courant de l’arc en retour subséquent est plus rapide que celui
d’un courant du premier arc en retour.
•
La durée de l’impulsion du courant de l’arc en retour subséquent est inférieure à celle
du premier arc en retour.
D’autres campagnes expérimentales de mesure du courant d’arc en retour ont eu lieu. On
peut citer, par exemple, les campagnes qui se sont déroulées durant les années 70 à savoir :
•
Les mesures faites par l’équipe du Professeur Garbagnati au sommet de deux tours de
40 m, situées au sommet de deux montagnes une au nord et l’autre au centre de l’Italie
[1]. Le courant mesuré correspond aux deux types de décharges de foudre : ascendante
et descendante.
10
Chapitre I
•
Phénoménologie de la foudre
Les mesures de l’équipe du Professeur Eriksson effectuées sur une tour de hauteur
60 m installées sur une terre plate en Afrique du sud. La tour a été isolée du sol et le
courant de foudre a été mesuré à la base à travers un transformateur de courant et une
sonde Rogowski. Plus de 50% des décharges observées étaient initiées par des traceurs
descendants négatifs et aucun enregistrement des traceurs positifs n’a été fait. Le temps
de montée du courant très rapide n’a jamais été observé dans d’autres études [4].
On peut trouver dans la littérature d’autres mesures du courant de foudre obtenues en
utilisant de petites tours (par exemple : les résultats de Narita et al. [6] en 2000 au Japon,
les résultats de Diendorfer et al. [7], [8] en 2000 et 2002 en Autriche et les résultats de
Torres et al. [9], [10] en 1999 en Colombie.
b. Tours élevées
Dans cette section, on présente trois exemples de mesure du courant de l’arc en retour en
utilisant une tour élevée et instrumentée :
La tour d’Ostankino à Moscow [11]
Cette tour est de 540 m de hauteur, le courant est mesuré dans trois endroits de la tour à
savoir : à 47 m, à 272 m et à 533 m (Figure I.8).
On remarque que la forme du courant mesuré change d’un endroit à un autre, la valeur du
pic de ce courant augmente en allant du sommet de la tour vers le sol, Bermudez [4]
rapporte que ceci est dû aux réflexions multiples de l’onde de courant au sommet avec un
coefficient négatif et les réflexions multiples à la base de la tour avec un coefficient positif.
Figure I.8 : Formes du courant mesuré à 533m, 272m et 47m sur la tour d’Ostankino, Moscow [11].
11
Chapitre I
Phénoménologie de la foudre
La tour CN à Toronto au Canada
La tour CN est la tour la plus élevée dans le monde, en tout les cas jusqu’à présent, elle est
de 553 m de hauteur, le courant de l’arc en retour est mesuré à 474 m et à 509 m. Les
mesures effectuées en 1999 sont présentées sur la figure I.9.
(a)
(b)
Figure I.9 : Représentation temporelle du Courant d’’arc en retour :
(a) Tour de 509 m et (b) Tour de 474 m [4]
On obtient les mêmes remarques que pour le cas précédent (tour d’Ostankino), sauf que
dans ce cas, la forme du courant est plus complexe, Shostak [12] rapporte que ceci est dû à
la structure complexe de la tour CN.
La tour Peissenberg en Allemagne
Cette tour est de 168 m de hauteur, les mesures du courant de l’arc en retour sont
effectuées à 167 m et 13 m. La figure I.10.a montre une photographie de la tour
Peissenberg et la figure I.10.b décrit les variations temporelles du courant d’arc en retour
mesuré simultanément, au sommet et à la base de la tour.
La contamination du courant par les réflexions multiples est bien mise en évidence.
(a)
(b)
Figure I.10 : (a) La tour Peissenberg, (b) Courant mesuré au sommet et à la base de la tour [4]
12
Chapitre I
Phénoménologie de la foudre
I.3.1.2 Foudre déclenchée artificiellement
La technique du déclenchement artificiel de la foudre constitue un outil très fiable pour
bien comprendre la phénoménologie d’une foudre naturelle [7]. En effet elle donne des
informations sur le courant à la base du canal de foudre et sur le champ électromagnétique
associé.
La figure I.11 illustre une séquence d’évènements lors d’un déclenchement artificiel de la
foudre. Le procédé de déclenchement consiste à propulser vers la base du nuage orageux
une fusée tirant un fil métallique mis en contact avec le sol.
Le fil conducteur remplace « le processus d’attachement », il établit un court circuit à
travers le quel s’effectue l’écoulement de l'arc en retour.
La localisation précise du point d'impact permet de réaliser des mesures de courant et de
champ rayonné.
Figure I.11: Séquence d’évènements d’un déclenchement artificiel classique de la foudre [13].
13
Chapitre I
Phénoménologie de la foudre
Figure I.12 : Exemple d’un déclenchement artificiel de la foudre en Floride [4].
Les caractéristiques du courant de l’arc en retour (pic du courant et de sa dérivée) ont été
résumées par Rakov [13] (tableau I.2) à partir de deux campagnes expérimentales
effectuées en France et aux Etats Unis (Floride).
Tableau I.2 : Caractérisation du courant de l’arc en retour [13].
D’après les donnés consignés sur le tableau ci-dessus on peut noter une similitude entre la
valeur moyenne du pic du courant mesurée en Floride(USA) et celle rapportée par Berger
et al. (Tableau I.1), lors de la compagne de mesures de Lugano en suisse.
I.3.2 Vitesse de l’arc en retour
Les données expérimentales les plus récentes sont publiées par Idone et Orville
1982[14]. En effet, dans cette publication on trouve les valeurs de la vitesse de l’arc
retour correspondant à 17 premiers arcs en retour et 46 arcs en retour subséquents.
vitesse moyenne mesurée est de
pour les premiers arcs en retour et
en
en
La
de
pour les arcs en retours subséquents.
D’autre part, il a été mis en évidence que la vitesse de l’arc en retour, tant pour les
premiers que les subséquents, décroit en fonction de la hauteur, cette décroissance est plus
marquée pour les premiers arcs en retour.
14
Chapitre I
Phénoménologie de la foudre
La valeur de la vitesse de l’arc en retour pourrait être liée à celle de l’intensité du courant.
En effet ces deux grandeurs dépendent l’une et autre de la distribution de la charge par
unité de longueur du canal et du potentiel électrique qui en résulte [1].Il existe plusieurs
relations qui se proposent d’exprimer la dépendance entre ces grandeurs, en particulier
celle de Rusk[16] basée sur la relation empirique de Toepler et celle présentée par
Wagner[17] qui repose sur des considérations énergétiques. Cependant, les valeurs de
vitesse obtenues par ces relations s’accordent relativement avec les mesures que pour le
premier arc en retour.
En 2007, Rakov [28] rapporte que la vitesse de l’arc en retour est inférieure à la vitesse de
la lumière pour les raisons suivantes: le canal de foudre est considéré comme une ligne de
transmission avec pertes, non-linéaire et non-uniforme (l’approximation faite pour les
lignes de transmission n’est plus valable). De plus, son impédance caractéristique
augmente en fonction de la hauteur, ce qui engendre une dispersion de l’onde de l’arc en
retour même en l’absence de pertes. La charge électrique ne peut pas être confinée à
l’intérieur de la colonne qui se trouve à l’intérieure du canal et qui véhicule le courant de
l’arc en retour, mais elle est repoussée à l’extérieur par une décharge électrique radiale
formant une couronne. La résistance par unité de longueur en avant du front de l’arc en
retour est relativement grande (ce qui cause une atténuation et une dispersion
additionnelle). Par contre, elle est deux fois moins ou plus en arrière du front.
I.4 Caractérisation du champ électromagnétique
Les caractéristiques du champ électrique et du champ magnétique en fonction de la
distance du point d’impact sont présentées respectivement aux figures I.13 et I.14 cidessous. Les courbes en trait continu correspondent aux premiers arcs en retour et celles
en traits discontinus aux arcs en retour subséquents [18].
15
Chapitre I
Phénoménologie de la foudre
Figure I.13: Champ électrique vertical mesuré correspondant à un premier arc en retour (trait continu) et à
un arc en retour subséquent (pointillés) à des distances variant de 1 Km à 200 Km [18]
Figure I.14 : Densité du flux magnétique correspondant à un premier arc en retour (trait continu) et à un arc
en retour subséquent (pointillés) à des distances variant de 1 Km à 200 Km [18]
16
Chapitre I
Phénoménologie de la foudre
D’après ces deux figures (I.13 et I.14) on peut noter les remarques suivantes:
• Le champ électromagnétique présente, pour toute distance comprise entre 1 km et 200
km, un premier pic, dont l'intensité est approximativement inversement proportionnelle
à la distance.
• A des distances relativement proches, le champ magnétique présente une bosse à
environ 30 μs, alors que le champ électrique a une croissance en rampe après son pic
initial.
• Les champs électriques et magnétiques lointains (distance supérieure à environ 50 km)
ont essentiellement la même forme d'onde, et présentent une inversion de polarité.
A cause de la raideur des fortes impulsions du champ électromagnétique rayonné par l’arc
en retour, la foudre est une contrainte majeure pour tout élément électrique ou
électronique exposé à ce champ. Le calcul de ce champ électromagnétique fera l’objet du
prochain chapitre.n
Les mesures des champs électriques à 30 m et 500 m du canal de foudre sont présentées
dans la référence [19]. Dans cette dernière Rubinstein et al ont analysé 40 formes d’ondes
du champ électrique à 500 m et 8 formes d’ondes à une distance de 30 m du canal de
foudre. La figure I.16 donne l’allure du champ électrique vertical mesuré à 500 m,
correspondant à la phase traceur-arc en retour. La durée de l’onde est de 800 μs. Cette
durée s’explique par le fait que l’ionisation du canal de foudre par le traceur modifie
sensiblement le champ électrique vertical, avec une augmentation lente de la pente
négative de la courbe du champ électrique [4]. Cette caractéristique n’est pas perceptible
pour les longues distances, dans lesquelles la progression du traceur reste pratiquement
invisible. Le commencement de la neutralisation des charges dans le canal par l’arc en
retour est probablement associé avec le commencement de la progression positive et
rapide du champ électrique vertical [4] (Figures I.16 et I.17).
Figure I.15 : Campagne expérimentale de mesure du champ électrique vertical à 500 m et 30 m
respectivement du canai de foudre [19]
17
Chapitre I
Phénoménologie de la foudre
Figure I.16 : Variations temporelles du champ électrique vertical mesuré à 500 m du point d’impact
de la foudre. Les flèches indiquent le commencement de la phase de l’arc en retour [19].
Figure I.17: Variations temporelles du champ électrique vertical mesuré à 30 m du point d’impact de la
foudre. Les flèches indiquent le commencement de la phase de l’arc en retour [19]
I.5 Conclusion
Dans ce chapitre, l’examen de la phénoménologie de la foudre a montré que cette dernière
se manifestait par des coups appelés ‘’coups de foudre ‘’ consistant en des décharges
électriques accompagnées d’un champ électromagnétique. Nous avons également dans ce
chapitre présenté des résultats de compagnes expérimentales mettant en évidence la forme
d’onde du courant de foudre ainsi celle du champ électromagnétique rayonné dont la
modélisation fera l’objet du prochain chapitre.
18
Chapitre II
Modélisation du rayonnement
électromagnétique de la foudre
Chapitre II
Modélisation du rayonnement électromagnétique de la foudre
II.1 Introduction
Les variations les plus brutales et de grandes amplitudes du champ électromagnétique
engendré par la foudre ont lieu lors de la phase de l’arc en retour. Plusieurs modèles de ce
dernier, avec différents degrés de complexité, ont été développés par plusieurs chercheurs
afin de permettre l’évaluation de son rayonnement électromagnétique. L’une des difficultés
majeures liée à la modélisation réside dans le fait que le courant ne peut être mesuré qu’à
la base du canal de foudre ; or, pour déterminer le champ électromagnétique rayonné, il est
nécessaire de connaître la distribution du courant le long du canal. Les modèles de l’arc en
retour proposés diffèrent l’un de l’autre par cette description des distributions spatiotemporelles du courant le long du canal de foudre.
Ce chapitre est consacré à la modélisation du rayonnement électromagnétique par la
foudre, basée sur le courant d’arc en retour. On s’intéressera en particulier aux modèles
dans lesquels il existe une relation relativement simple entre la distribution du courant le
long du canal et le courant à la base du canal. On abordera ensuite à présentation de la
formulation du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre dans le cas d’un
sol de conductivité finie.
II.2 Détermination du courant de foudre à la base du canal
Afin de pouvoir calculer le champ rayonné par l'arc en retour d'une décharge orageuse, il
importe de connaitre en premier lieu le courant situé à la base du canal, ainsi que sa vitesse
de propagation [20]. Afin de pouvoir le modéliser facilement et en négligeant la tortuosité
du canal, l’arc en retour est assimilé à une antenne verticale, excitée à sa base par un
générateur de courant symbolisant le rattachement de l’arc au sol.
II.2.1 Forme analytique du courant de foudre
Les formes analytiques du courant de foudre, généralement rencontrées au sein de la
littérature, se composent de sommes de fonctions exponentielles. Ce type de fonction
présente l’intérêt d’avoir une transformée de Fourier pouvant être calculée de manière
analytique, ce qui facilite l’analyse dans le domaine fréquentiel.
II.2.1.1 Modèle bi-exponentiel [20]
C’est la première expression adoptée, et sans doute la plus utilisée dans la littérature [21],
le premier arc en retour et l’arc en retour subséquent respectivement sont représentés par
les équations (II.1) et (II.2) :
* Premier arc en retour :
II.1
19
Chapitre II
Modélisation du rayonnement électromagnétique de la foudre
Où:
: désigne l’amplitude de courant de foudre.
: est l’inverse du temps de montée de l’impulsion du courant de foudre.
: l’inverse de la durée de l’impulsion du courant de foudre.
* Arc en retour subséquent:
II.2
Avec :
II.3
II.4
Et :
Amplitude de courant
: Inverse du temps de montée de l’impulsion du courant
: Inverse de la durée de l’impulsion du courant
Par une simple analogie, on obtient les mêmes définitions pour les variables associées au
courant .
Les paramètres de ces deux fonctions. liés au temps de montée, à la valeur de crête et à la
durée de l’impulsion du courant, ont été déterminés de manière à reproduire le plus
fidèlement possible les courbes expérimentales moyennes, obtenues par Berger et al.
publiées dans [5]. Dans le tableau ci-dessous sont consignés les paramètres des fonctions
représentent le courant à la basse du canal.
Premier arc en
retour
Arc en retour
subséquent
(kA)
(
33.7
9.2
4
-
14.3
18
3
10
)
(
)
( KA)
(
)
(
-
)
-
9.4
Tableau II.1 Paramètres des fonctions exponentielles simulant le courant de foudre à la base du canal [20].
Dans La figure II.1 nous présentons les formes d’ondes normalisées
du courant
du premier arc en retour et celui de l’arc en retour subséquent sur une durée de 40 μs. Ces
formes sont obtenues en utilisant le modèle bi-exponentiel du courant à la base du canal de
foudre et en adoptant les paramètres du tableau II.1.
20
Modélisation du rayonnement électromagnétique de la foudre
✐✎
✙
✐✎
✙
✐✎
✘
✐✎
✘
✐✎
✗
✐✎
✗
✐✎
✖
✐✎
✖
✐✎
✕
✐✎
✕
✩
✏
✩
❍❁❘
✩
✏
✩
❍❁❘
Chapitre II
✐✎
✔
✐✎
✔
✐✎
✓
✐✎
✓
✐✎
✒
✐✎
✒
✐✎
✑
✐✎
✑
✐
✐
✑✐
✒✐
▼
❅❍❐▲✈◆▲✉
✓✐
✐
✐
✔✐
✑✐
✒✐
▼
❅❍❐▲✈◆▲✉
✓✐
✔✐
(a)
(b)
Figure II.1 : Courant à la base du canal de foudre (normalisé), correspondant au (a) premier arc
en retour et (b) à l’arc en retour subséquent, calculés à l’aide du modèle bi-exponentiel.
II.2.1.2 Modèle d’Heidler
En 1985, Heidler [22] a présenté une nouvelle expression analytique du courant à la base
du canal de foudre. L’utilisation de cette dernière a donné des résultats correspondant
mieux à ceux mesurés lors de compagnes expérimentales. L’expression est donnée par
l’équation suivante :
II.5
Avec :
: Amplitude maximale du courant i (0, t) à la base du canal de foudre.
: Temps de montée de l’impulsion du courant i (0, t) à la base du canal de foudre.
: Durée de l’impulsion du courant i (0, t) à la base du canal de foudre.
: Exposant variant de 2 à 10,
: Facteur de correction de l’amplitude du courant donné par :
II.6
Cependant, la somme de deux fonctions de Heidler représente mieux le premier pic typique
du courant d’arc en retour subséquent. Ainsi, le courant à la base du canal de foudre se
présente sous la forme :
II.7
Ou :
II.8
21
Chapitre II
Modélisation du rayonnement électromagnétique de la foudre
II.9
II.10
Et
II.11
II.12
Avec :
: Amplitudes du courant
: Temps de montée de l’impulsion du courant
: Durée de l’impulsion de courant
,
,
: Facteur de correction de l’amplitude du courant
donnée par l’expression [II.10],
: Facteur de correction de l’amplitude du courant i2 donnée par l’expression [II.11],
: Nombre entier compris dans l’intervalle [2,10],
Même définition pour le courant
.
Le tableau II.2 présente les paramètres de la fonction d’Heidler pour simuler des arcs en retour
typiques (premiers arcs en retour et arcs en retour subséquents).
(KA)
Premier arc
en retour
Arc en
retour
subséquent
KA)
28
1.8
95
2
-
-
-
2
10.7
0.25
2.5
2
6.5
2.1
230
2
Tableau II.2 Paramètres du courant à la base du canal de foudre en adoptant la fonction d’Heidler [2]
La Figure II-2 montre que la fonction d’ Heidler permet la représentation de la forme
d’onde typique d’arc en retour. En effet, cette représentation permet d’obtenir un pic de
courant suivi d’une décroissance lente.
22
Chapitre II
Modélisation du rayonnement électromagnétique de la foudre
✑✒
✑✐
✩✈❋✡ ✉
✘
✖
✔
✒
✐
✐
✑✐
✒✐
▼❅❍❐▲✈◆▲✉
✓✐
✔✐
(a)
(b)
Figure II.2 : Courant à la base du canal d’un arc subséquent typique correspondant
(a)calculé a l’aide de modèle d’Heidler (b) issue da la référence [15]
Les paramètres de la fonction d’Heidler[22]sont consignés dans le tableau II.2. Le modèle
reproduit bien la forme d’un courant de foudre typique mesuré à la base du canal de foudre
par Berger et al. [5]. Par ailleurs, l’expression d’Heidler permet un ajustement de
l’amplitude du courant, de sa dérivée maximale et de la quantité de charge transférée en
variant presque indépendamment les paramètres , et .
II.2.1.3 Modéle hybride (Heidler- bi-exponentiel) [23]
En 1990,Nucci et al . [23] ont proposé un modèle hybride comprenant d’une sommation
entre deux termes, l’un sous forme de la fonction d’Heidler et l’autre sous la forme de la
fonction Bi-exponentielle .Ce modèle se traduit par l’expression mathématique suivante :
II.13
Le tableau II.3 donne Les paramètres de l’expression (II.13) correspondant à un courant
ont été obtenus expérimentalement par Leteinturier et al. [24]. Le courant à la base du
canal obtenu à l’aide de ce modèle est caractérisé par un pic initial de 11 et une valeur
maximale de la dérivée d’environ de 105
(
9.9
0.072
/
.
(
5
2
7.5
(
(
100
6
Tableau II.3 Paramètres du courant à la base du canal de foudre (modèle Hybride) [23].
23
Chapitre II
Modélisation du rayonnement électromagnétique de la foudre
✑✒
✑✐
✩✈❋✡ ✉
✘
✖
✔
✒
✐
✐
✑✐
✒✐
▼❅❍❐▲✈◆▲✉
✓✐
✔✐
(a)
Figure II.3 Courant à la base du canal de la foudre (a) calculé a l’aide du modèle hybride
(b) issu de la référence [15]
II.2.2 Modélisation de la distribution de courant le long le canal de foudre
Le calcul du champ électromagnétique généré par la foudre exige la connaissance de la
distribution de courant le long du canal. Ces dernières années, une multitude de modèles a
été développée afin de reproduire au mieux les phénomènes physiques. La diversité de ces
modèles peut s’expliquer par la complexité du phénomène de propagation du courant dans
le canal de foudre. Ces modèles ont fait l’objet de plusieurs publications ces dernières
années (voir par exemple : [25];[26];[27];[23];[29];[30] et [31].
Les modèles de l’arc en retour sont classés en quatre catégories :
a)
b)
c)
d)
Les Modèle physique
Les Modèle électromagnétique
Les Modèle RLC
Les Modèle d’ingénieur [85]
Dans ce travail, nous utilisons les modèles d’ingénieur pour deux raisons essentielles :
•
•
La première liée au faible nombre de paramètres ajustables caractérisant ces modèles.
La deuxième raison est liée au fait que la distribution spatio-temporelle du courant le
long du canal de foudre est reliée au courant à la base du canal par une expression
simple.
L’avantage de l’utilisation de ces modèles est le fait de disposer de données expérimentales
notamment celle du courant mesuré à la base du canal de foudre.
24
Chapitre II
Modélisation du rayonnement électromagnétique de la foudre
II.2.2.1 Modèles d’Ingénieurs
II.2.2.1.1 Modèle de Bruce et Golde (BG)
Dans ce modèle présenté par Bruce et Golde en 1941 [32] , le canal de foudre est modélisé
par une antenne verticale de très faible section, parcourue par une impulsion de courant
qui se propage à une vitesse inférieure à la vitesse de la lumière. Cette propagation ne
subit ni déformation ni atténuation. Le courant
, à des hauteurs inférieures au front de
l’arc en retour, est égal au courant à la base du canal ; à des hauteurs supérieures au front
de l’arc en retour, comme dans tous les autres modèles, le courant est nul :
II.14
Avec :
z' : altitude le long du canal
: vitesse du front de l'arc en retour.
La figure II.4 donne une représentation tridimensionnelle (courant dans le canal en
fonction du temps et de la hauteur dans le canal) selon le modèle BG, les paramètres du
courant à la base du canal utilisés comme données initiales pour cette représentation sont
ceux représentés dans le tableau II.2, avec une vitesse de propagation du courant le long du
canal
.
Dans ce modèle la distribution du courant de foudre présente une discontinuité qui
apparait au front d’onde impliquant une neutralisation instantanée des charges avant
l’arrivée du courant. Une autre limitation de ce modèle réside dans la supposition que le
courant en chaque point le long du canal s'ajuste instantanément à la grandeur du courant
à la base à cet instant. Cette hypothèse n’est valable que dans le cas où la vitesse de
propagation du courant est infinie. Le phénomène devient instantané, aussi physiquement
impossible.
25
Chapitre II
Modélisation du rayonnement électromagnétique de la foudre
60
50
15
40
i(kA )
10
30
5
40
0
8
30
7
20
20
6
5
z'(km)
4
3
10
2
1
0
t(us)
10
0
Figure II.4 Distribution spatio-temporelle du courant de l’arc en retour subséquent le long du canal selon le
modèle BG.
II.2.2.1.2 Modèle de la ligne de transmission TL (Transmission-Ligne)
Ce modèle à été présenté par Uman et Mclain en 1969 [33]. Ces derniers ont assimilé le
canal de foudre à une ligne de transmission, sans pertes, dans laquelle une impulsion de
courant se propage à partir du sol à la vitesse de l’arc en retour, généralement très
inférieure à la vitesse de la lumière . La distribution du courant le long du canal est définie
par les équations suivantes :
II.15
La figure II.5 donne une représentation tridimensionnelle (courant dans le canal en
fonction du temps et de la hauteur dans le canal) selon le modèle TL. Nous adoptons les
mêmes paramètres du courant à la base du canal décrits dans le tableau II.2, avec la même
vitesse de propagation du courant le long du canal
.
L’inconvénient de ce modèle réside dans le fait que l’intensité du courant le long du canal
reste constante car le modèle TL ne permet aucun transfert de charge entre le traceur et
l’arc en retour. Or, des résultats obtenus à partir d’observations optiques ont montré que
l’amplitude et la forme du courant varient en fonction de la hauteur [35] et les mesures des
variations du champ électrique associé au traceur ont mis en évidence que le traceur est
bel et bien porteur d’une certaine densité de charges [30].
26
Chapitre II
Modélisation du rayonnement électromagnétique de la foudre
60
50
15
40
i(kA)
10
30
5
40
20
30
0
8
20
6
10
4
z'(km)
2
0
10
t(us)
0
Figure II.5 : Distribution spatio-temporelle du courant de l’arc retour subséquent le long du canal selon le
modèle TL.
II.2.2.1.3 Modèle de la ligne de transmission modifié MTL
(‘’Modified Transmission-Ligne’’)
Ce modèle à l’avantage de pallier les défauts du modèle TL tout en gardant sa simplicité qui
permet une utilisation aisée dans les calculs du champ électromagnétique associé à l’arc en
retour. Plusieurs chercheurs ont proposé deux modèles complémentaires basés sur le
modèle TL, permettant de prendre en compte :
- la distribution spatio-temporelle du courant le long du canal de foudre.
- le transfert de charges le long du canal de foudre.
a) Modèle de la ligne de transmission modifié avec décroissance linéaire MTLL
(‘’The Modified Transmission Line with Exponential decay’’)
La première modification du modèle TL, proposé par [Rakov and Dulzon, 1987] [35],
supposé une décroissance de l’amplitude du courant le long du canal de foudre de forme
linéaire. La distribution spatio-temporelle du courant est exprimée comme suit :
II.16
Avec
H : la hauteur totale du canal de foudre.
27
Chapitre II
Modélisation du rayonnement électromagnétique de la foudre
b) Modèle de la ligne de transmission modifié avec décroissance exponentielle MTLE
(‘’Modified Transmission-Ligne with Exponential decay‘’)
La seconde modification proposée par Nucci, et al. en 1988 [20], reprise ensuite en 1989
et 1990 par Rachidi et Nucci [36], [37]), suppose que la décroissance de l’amplitude du
courant le long du canal de foudre est de forme exponentielle. Ainsi la nouvelle distribution
spatio-temporelle du courant est :
II.17
Le paramètre
représente le taux de décroissance de l’intensité du courant le long du
canal ; sa valeur a été déterminée par Nucci et Rachidi [36] selon les travaux publiés par Lin
et al. en 1979 [18] et en 1980 [38]. Cette valeur est comprise dans l’intervalle [1.5, 2] km.
A noter que le paramètre
a été introduit dans la formulation du courant le long du canal
afin de prendre en compte le transfert de charges entre le traceur et l’arc en retour.
Les figures II.6 et II.7 donnent une représentation tridimensionnelle du courant dans le
canal en fonction du temps et de la hauteur dans le canal selon les modèles MTLL et MTLE.
60
50
15
40
10
i(kA)
30
5
40
20
30
0
8
20
6
10
10
4
2
0
z'(km)
0
t(us)
Figure II.6 : Distribution spatio- temporelle du courant de l’arc en retour subséquent le long du canal selon le
modèle MTLL
28
Chapitre II
Modélisation du rayonnement électromagnétique de la foudre
60
50
15
40
10
i(kA)
30
40
5
30
0
8
20
t(us)
6
10
10
4
z'(km)
20
2
0
0
Figure II.7 : Distribution spatio-temporelle du courant de l’arcretour subséquent le long du canal selon le
modèle MTLE
II.2.2.1.4 Modèle de la source de courant mobile (appelé Modèle TCS)
(Travelling Curent Source)
Le modèle TCS à été proposé par Heilder en 1985 [39], ce modèle considère que les
charges du traceur sont neutralisées à l’arrivée de l’arc en retour. Un courant de source,
associé a l'arc en retour se propage à la vitesse
de la terre vers le sommet. Le courant
injecté par cette source à la hauteur z' est supposé se propager dans le sens inverse de la
vitesse de la lumière “c”. Il atteint le sol après un temps égal à z'/c. L'expression
mathématique d'un tel courant de foudre est donnée comme suit :
II.18
La figure II.8 donne une représentation tridimensionnelle (courant dans le canal en
fonction du temps et de la hauteur dans le canal) selon le modèle TCS, en adoptant les
mêmes paramètres cités dans le modèle BG, du courant à la base du canal, avec une vitesse
de propagation du courant le long du canal
sont ceux représentés dans le
tableau II.2.
29
Chapitre II
Modélisation du rayonnement électromagnétique de la foudre
60
50
15
40
10
i(kA)
30
40
5
20
30
0
8
20
6
10
4
z'(km)
2
0
10
t(us)
0
Figure II.8 : Distribution spatio-temporelle du courant de l’arc en retour subséquent le long du canal selon le
modèle TCS
II.2.2.1.5 Modèle de Diendorfer et Uman( appelé Modèle ‘’DU’’)
Ce modèle a été proposé par Diendorfer et Uman en 1990 [40]. Dans ce modèle le courant
de l’arc en retour se compose de deux termes, le premier terme est identique à celui du
modèle TCS, et le deuxième terme représente un courant de polarité inverse avec une
décroissance exponentielle. La distribution du courant de foudre, d’après ce modèle,
s’écrit :
II.19
Où
est une constante de temps, supposée égale à 0.1 μs selon Thottappillil et al. [28].
Avec :
•
Cas particulier : Le modèle DU devient le modèle TCS pour
II.2.3 Généralisation des modèles ingénieur
Les modèles d’ingénieur les plus utilisés dans la littérature sont les modèles TL, MTLE,
MTLL, BG et TCS [29], [41], Rakov et al ont proposé la représentation de ces modèles à
l’aide d’une seule expression. Cette dernière s’écrit comme suit :
II.20
30
Chapitre II
Modélisation du rayonnement électromagnétique de la foudre
Avec :
: est une fonction d’atténuation du courant le long du canal,
: La fonction échelon d’unité donné par :
II.21
: vitesse de propagation de l’arc en retour,
: vitesse de propagation de l’onde du courant de foudre.
Le tableau II.4, on donne les paramètres
et
Modèle
P (z’)
BG
1
TL
1
TCS
1
pour les cinq modèles d’ingénieur.
MTLL
MTLE
Tableau II.4, les paramètres
et
dans equation (II20) pour les cinq modèles d’ingénieur selon [Rakov],
[30].
II.3 Distribution du courant le long de la tour et dans le canal de foudre
II.3.1 Modèle F.Rachidi et al
Proposé par [Rachidi et al 2002][42], les modèles d’ ingénieurs initialement proposés dans
le cas d’un arc en retour initie du sol ont été récemment modifies par Rachidi et al , pour
prendre en compte le cas d’un arc en retour initié à partir du sommet d’une tour, Rachidi et
al , ont représenté le canal par une source de courant.
Il faut noter ici que pour des hauteurs composes entre ‘’0’’ et ‘’h’’
, on
s’intéressera à la distribution spatio-temporelle du courant le long de la tour, et que pour
des hauteurs supérieurs à la ‘’h’’
. On s’intéressera à la distribution spatiotemporelle du courant le long du canal de foudre ces distribution s’écrivent comme suit
(fig. II .9).
31
Chapitre II
Modélisation du rayonnement électromagnétique de la foudre
Pour :
II.22
Pour :
II.23
Les équations (II.22) et (II.23) sont basées sur le concept du courant ‘non contaminé’
,
qui représente le courant idéal qui serait mesuré au sommet de la tour si les coefficients de
réflexion à ses deux extrémités sont nuls.
II.3.2 Modèle de Y. Baba et V.A. Rakov en 2005 [43].
En 2005, Baba et Rakov [43] ont proposé une autre approche basée sur l’utilisation d’une
série de sources de tension dans la jonction tour-canal. Ils ont montré qu’une telle
représentation est équivalente à celle de Rachidi et al. Dans leur représentation, Baba et
Rakov ont exprimé la distribution du courant le long de la tour et le long du canal de foudre
en termes de courant de court-circuit
, qui est relié au courant ‘non contaminé’ par la
relation suivante :
II.24
Les équations du courant de l’arc en retour
du canal de foudre
le long de la tour
et le long
développées par Baba et Rakov [44] s’écrivent comme suit :
Pour
II.25
Pour
II.26
II.27
32
Chapitre II
Modélisation du rayonnement électromagnétique de la foudre
II.28
Figure II.9 Propagation du courant le long du canal de foudre et le long de la tour [43]
Ou,
et
: sont respectivement les coefficients de réflexion du courant au sommet et à
la base de la tour, la hauteur de tour,
: La vitesse du front de l’arc en retour,
: La vitesse de propagation de l’onde du courant,
: Une fonction unité,
Facteur d’atténuation du courant,
n : Le nombre de réflexions aux deux extrémités de la tour.
Les expressions de :
et
sont données dans le tableau (II.4).
Les équations(II.25), (II.26) montrent que des ondes de courant d’une même amplitude,
, sont initialement injectées, simultanément, dans la tour et dans
le canal de foudre.
On note que Les équations (II.25) et (II.26) sont identique aux équations (II.22)et (II.23)
écrites en terme de courant ‘ non contaminé ’:
.
Exemple d’illustration :
La figure II.10 présente le courant ‘non contaminé’
33
.
Chapitre II
Modélisation du rayonnement électromagnétique de la foudre
Ce courant est modélisé par Nucci et al. [23] par la somme d’une fonction d’Heidler et d’une
fonction exponentielle (équation II.13), est caractérisée par un pic d’environ 11 kA et un
pic de la dérivée d’environ 105 kA/μs..
Les paramètres de ce dernier sont ceux du Tableau II.3.
✑✒
✑✐
❉✐✈❋✡ ✉
✘
✖
✔
✒
✐
✐
✑✐
✒✐
▼✈◆▲✉
✓✐
✔✐
Figure II.10. : Variations temporelle du Courant ‘non contaminé’
II.4 Formulation du champ électromagnétique rayonné par la foudre
II.4.1 Champ électromagnétique au dessus du Sol
II.4.1.1 Formules générales
L’étude du champ électromagnétique rayonné par un dipôle placé au dessus d’un sol de
conductivité finie, à été publié pour la première fois en 1909 par Sommerfeld [46]. Le
problème complet du rayonnement électromagnétique d’un dipôle au dessus d’un plan
conducteur a été traité par Baños en 1966 [47] en déterminant la solution des équations de
Maxwell pour chaque milieu en accord avec les conditions aux limites sur l’interface air-sol.
En coordonnées cylindriques, les équations du champ, créé par un dipôle électrique placé à
une hauteur z’, sont données par les expressions suivantes dans le domaine fréquentiel [2]
(figure II.11) :
II.29
II.30
II.31
34
Chapitre II
Modélisation du rayonnement électromagnétique de la foudre
Avec :
II.32
II.33
II.34
et
II.35
II.36
II.37
II.38
II.39
II.40
Où :
: désigne la composante radiale du champ électrique.
: désigne la composante vertical du champ électrique.
: désigne le champ magnétique azimutal.
Les paramètres
,
et
désigne respectivement la permittivité diélectrique,
perméabilité magnétique et la conductivité électrique du sol.
: la fonction de Bessel d’ordre 0.
: désigne la transformée de Fourier du courant de foudre.
35
la
Chapitre II
Modélisation du rayonnement électromagnétique de la foudre
Point d’observation
P(r, φ, z)
Plan conducteur
Figure. II.11 Modèle géométrique intervenant dans les équations du champ électromagnétique [34].
Les expressions (II.32) , (II.33)et (II.34) sont connues sous le nom d’intégrales de
Sommerfeld, exprimant ainsi, l’interaction de la source électromagnétique avec le sol [2].
Du point de vue numérique, ces intégrales se distinguent comme une tache délicate du fait
de la lenteur de leur convergence [2].
De plus, le passage du champ électromagnétique du domaine fréquentiel au domaine
temporel nécessite une transformée de Fourier inverse qui peut poser parfois certains
problèmes d’ordre numérique.
II.4.1.2 Approximation d’un sol parfaitement conducteur (conductivité du sol infinie)
En utilisant l’hypothèse un sol parfaitement conducteur dans la méthode temporelle [2].
Cette dernière se trouve simplifiée et permet ainsi d’effectuer les calculs rapidement avec
une bonne précision. Uman et al en 1975[49], ont développé des formules temporelles
déduites des équations de Maxwell en utilisant la théorie des images pour un sol
parfaitement conducteur (fig. II.11). Leteinturier en 1980 [50] a obtenu les même équations
mais en faisant tendre la conductivité du sol vers l’infini dans les intégrales générales de
Sommerfeld.
36
Chapitre II
Modélisation du rayonnement électromagnétique de la foudre
Les composantes des champs électrique et magnétique en un point
générées par un segment infinitésimal
à la hauteur
(Figure II.11)
portant un courant
peuvent être exprimées dans le domaine temporel par les expressions suivantes [2] :
II.41
II.42
II.43
Avec :
: La permittivité diélectrique du vide,
: La perméabilité magnétique du vide,
: La vitesse de la lumière,
la distance du dipôle au point d’observation,
: La distance radiale entre le canal de foudre et le point d’observation
’ : La hauteur du point d’observation par rapport au sol.
‘’ ’’ : est un indice indiquant que le sol est parfaitement conducteur.
37
.
Chapitre II
Modélisation du rayonnement électromagnétique de la foudre
On peut noter que les champs électriques vertical (
) et radial (
) représentent la
somme de trois contributions :
* Une contribution électrostatique ayant pour source l’intégrale du courant de l’arc en
retour et représentant la charge du canal
* Une contribution rayonnée ayant pour source la dérivée du courant de l’arc en retour.
* Une contribution induite ayant pour source le courant de l’arc en retour.
Le champ magnétique azimutal
est, quand à lui, composé par une composante rayonnée
(ayant pour source la dérivée du courant de l’arc en retour) et une composante induite
(ayant pour source le courant de l’arc en retour).
II.4.1.3 Validation de l’hypothèse d’un sol parfaitement conducteur
Bien que cette hypothèse permette une simplification des équations du champ
électromagnétique, elle n’est pas toujours valable. Pour des distances ne dépassant pas
quelques kilomètres, elle est une approximation raisonnable dans le calcul du champ
électrique vertical et le champ magnétique azimutal comme il a été montré par plusieurs
auteurs (Rachidi et al. [51], Rubinstein [53], Zeddam et Degauque [52]). Quant à la
composante horizontale du champ électrique, elle est beaucoup plus affectée par la
conductivité finie du sol ([54], [55] et [50]). Pour les distances supérieures à plusieurs
kilomètres, la propagation au dessus d’un sol de conductivité finie n’est plus négligeable et
a pour conséquence majeure une atténuation des composantes hautes fréquences, qui se
traduit par une diminution de la valeur de pic et de la raideur du front du champ [2] [15].
II.4.1.4 Approximation de Cooray-Rubinstein
La prise en compte rigoureuse de la conductivité finie du sol implique des équations de
champ électromagnétique complexes contenant des intégrales lentement convergentes
(Intégrales de Sommerfeld). Plusieurs formules simplificatrices ont été développées dans la
littérature pour palier à ce problème, l’approximation la plus simple, pour des temps de
calcul raisonnables avec une bonne précision est connue sous le nom de « l’approximation
de Cooray- Rubinstein » (Rubinstein [53], Cooray [54]).
Le champ électrique horizontal rayonné par la foudre, calculé en un point situé au dessus
d’un sol de conductivité finie s’exprime par la relation suivante :
II.44
38
Chapitre II
Modélisation du rayonnement électromagnétique de la foudre
‘’ ‘’est un indice indiquant que le sol est parfaitement conducteur .
: désignent respectivement, les transformées de Fourier du champ
électrique horizontal à une hauteur z au dessus du sol et du champ magnétique au sol (le
calcul de ces deux champs se fait en supposant un sol parfait).
Si la conductivité du sol est élevée, l’expression (II.44) peut être simplifiée comme suit :
II.45
Avec :
: Épaisseur de peau,
II.46
La formule de Cooray-Rubinstein permet d’obtenir des approximations satisfaisantes du
champ pour toutes les distances considérées [53]. De plus, parmi toutes les formules
simplificatrices, elle est la seule à reproduire l’inversion de polarité du champ à moyenne
distance [53].
Récemment [58], Cooray a proposé une petite modification dans le terme
, calculé pour
un sol parfait, contenu dans l’expression du champ électrique horizontal (II.44) afin
d’obtenir une meilleure prise en compte de la conductivité finie du sol. Selon cette
modification le terme
s’écrit alors :
II.47
Les indices
et
désignent, respectivement, les composantes : électrostatique,
d’induction et de rayonnement.
Dans la référence [58], Cooray rapporte qu’une erreur de plus de 25% est observée sur le
pic initial du champ horizontal calculé à une hauteur de quelques dizaines de mètres par
l’expression (II.44). La petite correction sur l’approximation, minimise l’erreur à moins de
5%.
39
Chapitre II
Modélisation du rayonnement électromagnétique de la foudre
II.4.2 Champ électromagnétique en dessous du sol
Les perturbations induites par la foudre dans les câbles souterrains posent des problèmes
majeurs au niveau des équipements et des installations électriques et électroniques situées
au dessous du sol. La détermination ces perturbations exige la connaissance du champ
électromagnétique généré par la foudre en dessous du sol. Afin de permettre l’estimation
des courants et des tensions induites par ce champ dans ces câbles enterrés.
Les expressions générales du champ électrique, en un point situé au dessous d’un sol de
conductivité finie, généré par un dipôle situé au dessus du sol ont été développées par
Baños [47]. Ces équations sont exprimés dans le domaine fréquentiel et contiennent des
intégrales de Sommerfeld. L’évaluation numérique directe de ces équations n’est pas
recommandée surtout dans le cas d’un couplage du champ avec un câble souterrain.
II.4.2.1 Approximation de Cooray
En 2001, Cooray[59] propose des expressions simplifiées permettant le calcul des champs
électriques pénétrant dans le sol et générés par une onde de type foudre. Ces expressions
se basent sur la connaissance du champ électrique dans le cas d’un sol de conductivité finie,
au niveau de l’interface sol-air.
Ainsi dans le domaine fréquentiel ces expressions s’écrivent comme suit :
II.48
II.49
II.50
Avec :
En 2004, Petrache [48] a fait une comparaison entre les expressions simplifiées de Cooray
et les solutions numériques exactes publiées par Zeddam [52]. Le point d’observation est
situé à une distance de 100 m du canal de foudre à deux profondeurs au dessous du sol
(1 m et 10 m) et pour deux valeurs de conductivités du sol : 0.01 S/m et 0.001 S/m. Il a
trouvé que l’approximation de Cooray permet l’obtention de résultats très satisfaisants par
rapport aux solutions numériques.
II.4.2.2 Algorithme de Delfino et al
Delfino et al.ont développé en 2006[60] un algorithme efficace pour l’évaluation exacte du
champ électromagnétique en dessous d’un sol imparfait.
Dans cette même référence ces auteurs ont montré que les fonctions de Green exprimées
par les expressions (II.29), (II.30), (II.31) peuvent être exprimées sous la forme suivante
40
Chapitre II
Modélisation du rayonnement électromagnétique de la foudre
II.51
Avec :
,
: désignent respectivement les composantes verticale et radiale du
champ électrique.
: désigne la composante azimutale du champ magnétique,
: est le nombre d’onde dans l’air,
: est le nombre d’onde dans le sol,
l’indice de réfraction complexe
: fonction de Bessel d’ordre zéro.
: fonction de Bessel d’ordre 1.
;
;
Il est bien connu que (les fonctions de Green II.51) sont utilisables pour évaluer le champ
électromagnétique produit par une décharge de foudre. Pour cela, il est nécessaire de
multiplier ces fonctions par la distribution du courant et d'intégrer le résultat le long du
canal de foudre (pour plus de détails, le lecteur pourra consulter la référence [60]).
Par ailleurs, l’algorithme de Delfino et al, développé sur la base des expressions (II.51), a
été utilisé pour tester la validité de la formule de Cooray. Cette dernière utilisée pour la
prédiction du champ électromagnétique permet l’obtention d’un bon accord avec la
solution exacte pour les grandes valeurs de la conductivité du sol (≈ 0.01 S/m). Cependant,
pour les petites valeurs de la conductivité (≈ 0.001 S/m), la formule de Cooray donne des
résultats moins satisfaisants par rapport à la formulation exacte.
41
Chapitre II
Modélisation du rayonnement électromagnétique de la foudre
II.4.2.3 Approximation par la méthode numérique (FDTD) :
Finite Difference Time Domain (FDTD)
La méthode numérique des différences finies dans le domaine temporel (FDTD) a été
introduite pour la première fois dans le domaine l’électromagnétisme par Yee [61] en
1966. Elle à été ensuite raffinée et employé par Tavlove en 1970. Elle est aussi très utilisée
par beaucoup de chercheurs dans différents secteurs comportant des phénomènes
dispersion d’ondes électromagnétiques.
Comparée aux approches traditionnelles pour l'évaluation du champ électromagnétique à
proximité du canal de foudre, l’approche FDTD se distingue par sa robustesse et sa
flexibilité [62]. De plus, la conductivité finie du sol est prise en considération d'une manière
directe dans cette approche, ce qui constitue un grand avantage.
La méthode FDTD à été largement utilisée pour calculer les surtensions et les courants
induits dans les lignes aériennes causés par des coups de foudre indirects (voir [63],[ 64] ,
[65],[66], [ 67 ] ,[ 68] ,[69] et [70], Pour le calcul du champ électromagnétique rayonné par
coup de foudre, plusieurs travaux ont été réalisés à l’aide de cette technique (voir les
références [ 71] ,[72],[73][74]). Plus récemment, la méthode à été introduite dans le calcul
du champ électromagnétique par les auteurs des références ([75] [76],[77]en 2007).
II.5 Conclusion
Dans ce chapitre nous avons abordé une phase difficile dans l’étude du phénomène de
foudre à savoir la modélisation de son rayonnement électromagnétique responsable de
beaucoup de problèmes de compatibilité électromagnétique (action du champ
électromagnétique rayonné sur les structures et ouvrages électrique telles que les lignes
électrique aériennes). L’expression de champ étant fonction du courant à la base du canal
(donnée accessible à la mesure) et du courant dans le canal, nous avons été amenés à nous
intéresser à la modélisation de ces deux courants . Nous avons retenu les modèles
d’ingénieurs à cause de leur simplicité et de la quantité raisonnable de paramètres à
manipuler. La présence d’une tour élevée dans l’environnement étudié a également été
examinée en termes de modélisation des différents courants mis en jeu en présence de cet
objet (la tour).
Nous avons, ensuite, montré les différents aspects liés au calcul du champ
électromagnétique rayonné par un coup de foudre. Différentes approximations ont été
examinées et étudiées afin de les mettre en œuvre dans un tel calcul. Dans le chapitre
suivant nous allons calculer le champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
dans le cas d’un sol stratifié verticalement et en présence d’une tour élevée.
42
Chapitre III
Formulations du champ électromagnétique
rayonné par un coup de foudre en présence
d’un sol stratifie et d’une tour
Chapitre III
Formulations du champ électromagnétique rayonné par un coup
de foudre en présence d’un sol stratifie et d’une tour
III.1 Introduction
Ces dernières années, les chercheurs de la communauté scientifique ont déployé beaucoup
s’efforts afin d’évaluer correctement le champ électromagnétique rayonné par la foudre.
Les expressions mathématiques du champ électromagnétique rayonné sont souvent
données et établies en présence d’un sol homogène et de conductivité finie. Mais en réalité
le sol ne se présente jamais sous cette forme simpliste. Effet les spécifications topologiques
et géologiques du sol interviennent dans les formes d’ondes du champ électromagnétique
rayonné par un coup de foudre. Aussi nous nous proposons dans ce chapitre d’étudier
l’influence de la stratification verticale du sol sur le champ électromagnétique rayonné par
la foudre.
III.2 Formulation du champ électromagnétique rayonné par la foudre pour un sol
monocouche et en présence d’une structure élevée (une tour)
L’étude de la foudre en présence d’objets élevés a attiré l’attention de nombreux
chercheurs ([11,42, 117,120]), principalement parce que les données du courant de foudre
sont souvent rassemblées au moyen d’instruments installés sur des tours élevées.
Ainsi, les données obtenues par Berger et son équipe [5], durant les années soixante
dix, représentent jusqu’à présent la caractérisation statistique la plus complète des
paramètres de courant de la foudre. Des résultats expérimentaux du courant de foudre et
du champ électromagnétique associé ont été obtenus grâce à des tours élevées et
instrumentées (par exemple la tour CN au Canada [118], la tour Peissenberg en Allemagne
[78], la tour Gaisberg en Autriche [119]…).
La géométrie adoptée, dans cette étude, pour calcul du champ électromagnétique
pour un sol monocouche, supposé parfaitement conducteur et en présence d’une tour est
décrite à la figure (III.1) ci-dessous. Les trois composantes du champ électromagnétique
sont calculées en un point d’observation situé au dessus de sol, elles s’expriment comme
suit :
III.1
III.2
III.3
43
Chapitre III
Formulations du champ électromagnétique rayonné par un coup
de foudre en présence d’un sol stratifie et d’une tour
Figure III.1 Géométrie adoptée pour calcul du champ électromagnétique rayonné.
La distribution du courant dans la tour et dans le canal de foudre est introduite par le
modèle de Rachidi et al [42]. Ainsi selon ce modèle la distribution de courant le long de la
tour, c'est-à-dire pour une hauteur comprise entre
, s’écrit sous la
forme suivante :
III.4
Quant à la distribution de courant le long du canal de foudre
elle s’écrit de la
manière suivante :
III.5
Par ailleurs, ces distributions de courant, s’écrivent selon le modèle de Baba et Rakov [43]
comme suit :
Pour
III.6
44
Chapitre III
Formulations du champ électromagnétique rayonné par un coup
de foudre en présence d’un sol stratifie et d’une tour
Pour
III.7
Le courant non contaminé
, décrit auparavant à la figure II.10, permet le calcul de la
distribution spatio-temporelle du courant le long de la tour et le long du canal de foudre en
utilisant les équations III.4 et III.5. Par exemple pour la tour de Peissenberg (h=168m) pour
et
ayant
des paramètres de réflexion du courant au sommet et à la base de la tour
respectivement les valeurs suivantes [78] :
et
, on obtient, la forme
d’onde de la distribution spatio-temporelle du courant le long du canal de foudre
(représentée par le modèle MTLE,
) présentée à la figure III.2 ci-dessous.
Figure III.2: Distribution spatio-temporelle du courant le long de la tour et le long
du canal de foudre
L’analyse de la figure III.2 montre une discontinuité au front du courant de foudre (phase
d’arc en retour). Cette discontinuité est due au fait que le courant injecté au sommet de la
tour se divise en deux : un premier courant qui se propage le long du canal de foudre avec
la vitesse de l’arc en retour v et un deuxième courant qui se propage vers le sol, le long de la
tour, avec la vitesse de la lumière ‘c’. Suite aux multiples réflexions à la base et au sommet
de la tour, une partie du deuxième courant va être transmise au canal de foudre, cette onde
transmise, qui est supposée se propager avec la vitesse de la lumière, trouve sur son
chemin le front de l’arc en retour (premier courant) se propageant à une vitesse inférieure
à la vitesse de la lumière, ce qui est physiquement inconcevable (l’onde transmise n’est pas
autorisée à être au devant du front de l’arc en retour). Cette observation a été soulevée par
Pavanello et al. [48] lors de la comparaison des différentes distributions du courant
prédites par cinq modèles d’Ingénieur. Comme solution à ce problème, ces auteurs ont
suggéré l’ajout d’un terme additionnel, appelé ‘turn-on term’, dans les équations du champ
électromagnétique. Les figures IV.13 nous donnent les formes d’ondes du courant au
sommet (168 m) et à la base de la tour (0 m). Les effets des réflexions multiples aux deux
extrémités de la tour sont clairement visibles dans ces formes d’ondes. On peut aussi voir
45
Chapitre III
Formulations du champ électromagnétique rayonné par un coup
de foudre en présence d’un sol stratifie et d’une tour
que le courant à la base de la tour possède une valeur maximale élevée due à la contribution de
l’onde réfléchie au niveau du sol.
III.3 Formulation du champ pour un sol stratifié et en l’absence de la tour [87][92].
Dans cette partie nous allons présenter l’étude du rayonnement électromagnétique de la foudre
par une formulation simplifiée connue sous le nom de formulation de Wait [84,85]. Cette
formulation a été utilisée en 2009 par shoory et al [85] pour calculer le champ électromagnétique
en présence d’un sol stratifié.
En effet, Shoory et al [85] ont utilisé la formulation simplifiée de Wait pour évaluer la
composante verticale du champ électrique engendré par une décharge de foudre en présence d’un
sol stratifié. Ces auteurs ont considéré deux types de stratification du sol (une stratification
verticale et une stratification horizontale). Dans notre travail nous nous intéressons à la
stratification verticale (figure III.3). Pour des besoins de comparaison des résultats nous avons
fixé (comme les auteurs de la référence [85]) les paramètres électriques de la couche proche du
canal (couche 1) à des valeurs plus faibles que ceux de la couche voisine (couche 2).
Dans la figure III.3, nous présentons la géométrie du problème étudié dans ce paragraphe à
savoir le calcul du rayonnement de la foudre la présence d’un sol stratifié à deux couches et
en l’absence de la tour. La stratification du sol consiste en deux couches (stratification
verticale) possédant des propriétés électriques différentes.
H
z’
Figure. III.3 : Modèle géométrique adopté pour le calcul du champ électromagnétique rayonné en
présence d’un sol stratifié verticalement à deux couches.
L’expression mathématique, dans le domaine fréquentiel, du champ électrique vertical
et pour une hauteur (
) d’un sol stratifié verticalement est
donnée par la relation suivante :
III.8
46
Chapitre III
Formulations du champ électromagnétique rayonné par un coup
de foudre en présence d’un sol stratifie et d’une tour
Où :
: désigne le champ électrique vertical au niveau d’un sol parfaitement
conducteur non stratifié.
: désigne la fonction d’atténuation correspondant au dipôle situé à la base du
canal de foudre.
Dans le cas d’un sol stratifié verticalement (voir le chapitre 7 référence [92]), l’expression
(III.8) s’écrit dans le domaine temporel sous la forme d’une intégrale de convolution
donnée par l’expression suivante :
III.9
Où :
: la transformée de fourrier inverse de la fonction atténuation
: la transformée de fourrier inverse du champ électrique vertical au niveau du
sol stratifié verticalement.
: la transformée de fourrier inverse du champ électrique vertical dans le cas
d’un sol parfaitement conducteur non stratifié.
Par ailleurs, les auteurs des référence [94,96] et [95, 88] ont donné respectivement les
expressions suivantes pour la fonction d’atténuation d’un sol stratifié verticalement :
III .10
III.11
Où :
et
désignent les fonctions d’atténuation de chaque section verticale dans
le sol, ces fonctions sont calculées à une distance horizontale (x) variant entre le point zéro
« 0 » et le point observation c-a-dire entre l’intervalle [0, r]. Elles Sont définies par les
relations suivantes :
III.12
III.13
47
Chapitre III
Où
Formulations du champ électromagnétique rayonné par un coup
de foudre en présence d’un sol stratifie et d’une tour
est la fonction d’erreur complémentaire, elle s’écrit comme suit :
III.14
Et
est appelé distance numérique selon la référence [84]. Son l’expression est donnée
pour chaque couche comme suit :
III.15
III.16
Avec
le nombre d’onde dans l’air défini par la relation :
III.17
Dans le cas général (n : nombre de couches du sol stratifié verticalement), les expressions
(III.12 et III.13) deviennent :
III.18
et les expressions III.15 et III.16 s’écrivent :
III.19
Avec :
(n= 1,2) : impédances de surface normalisées pour chaque couche verticale dans
le sol.
III.20
III.21
III.22
A noter que Hill et Wait [97] ont proposé l’utilisation de l’expression (III.10) si :
et l’expression (III.11) si :
.
Ces auteurs ont montré qu’il y’à des singularités dans les fonctions à intégrer dans les
expressions (III.10) et (III.11). Ils ont alors apporté les modifications nécessaires par les
formules suivantes :
48
Chapitre III
Formulations du champ électromagnétique rayonné par un coup
de foudre en présence d’un sol stratifie et d’une tour
III.23
III.24
Où :
désigne la distance minimale permettant de considérer la fonction d’atténuation
comme étant constante.
Dans le domaine temporel, l’expression du champ électrique vertical pour un sol
parfaitement conducteur d’hauteur
est donnée par la relation (II.41) du chapitre II.
III.25
Pour un sol stratifié verticalement et pour une hauteur
, cette expression devient :
III.26
III.3.1 Présentation et discussion des résultats obtenus par Shoory et al [84]
Sur la base des formulations présentées ci dessus, nous présentons dans cette section, les
résultats obtenus par Schoory et al afin de bien voir l’effet de la stratification verticale du
sol sur les allures des champs électromagnétiques rayonnés.
En effet, dans la référence [84], Schoory et al présentent les résultats consistant en les
allures temporelles du champ électrique vertical correspondant à la configuration d’étude
de la figure III.3. Les paramètres du sol à deux couches verticales considérés par ces
auteurs, sont présentés dans le tableau III.1. Les valeurs des paramètres relatifs au courant
de foudre à la base du canal sont consignées dans le tableau III.2.
Ainsi dans la figure III.4 nous présentons les variations temporelles du champ électrique
vertical (obtenues par Schoory et al ) pour une distance radiale dl de 100 km du point
49
Chapitre III
Formulations du champ électromagnétique rayonné par un coup
de foudre en présence d’un sol stratifie et d’une tour
d’impact de la foudre et pour une hauteur z=0 (correspondant au niveau du sol ). Dans
cette même figure sont présentés différentes courbes ( au dessus du sol ) correspondant
aux cas suivants :
1/ sol homogène (monocouche), =0.
2/ sol homogène (monocouche),
.
3/ sol stratifie (deux couches) verticalement ,
.
Pour ce dernier cas, le champ électrique vertical est calculé en utilisant les deux
expressions citées dans la section III.3 (expressions : III.23et III.24).
Conductivité électrique
/ permittivité
Valeurs
correspondantes
0.001
Première couche
10
4
Deuxième couche
30
Tableau .III.1 Paramètres électriques relatif aux deux couches considérées [84].
Paramètre de la première
fonction d’ Heidler
10.7
0.25
Paramètres de la deuxième
fonction d’ Heidler
2.5
6.5
2.1
230
Tableau III.2 Paramètres correspondant aux deux fonctions d’Heidler utilisés pour calculer le champ
électrique vertical [85] avec
.
Figure III.4 Variations temporelles du champ électrique vertical au niveau du sol
à une distance radiale de
pour différentes distances
du point d’impact
de la foudre et en présence d’un sol stratifié verticalement [84].
50
Chapitre III
Formulations du champ électromagnétique rayonné par un coup
de foudre en présence d’un sol stratifie et d’une tour
L’analyse des formes d’ondes du champ électrique vertical, obtenues par Shoory et al et
présentées à la figure III.4, montre que ces formes sont presque identiques, qu’on les
obtienne à partir de l’expression III.23 ou de l’expression III.24. De plus l’effet de la
stratification verticale du sol, se traduit par la diminution de l’amplitude maximale et du
temps de montée du champ électrique vertical par rapport au cas correspondant à un sol
homogène (monocouche)
.
Par ailleurs, par rapport au cas d’un sol homogène
, l’effet de la stratification du
sol se traduit sur l’allure temporelle du champ électrique vertical par l’augmentation de
son amplitude et de son temps de montée.
III.3.2 Présentation et analyse de nos résultats
Dans ce paragraphe nous présentons les résultats de simulation que nous avons obtenus, à
savoir les formes d’ondes du champ électrique (vertical et radial) et du champ magnétique
azimutal, en mettant en œuvre une technique de calcul numérique à savoir FDTD.
Le calcul du champ est effectué au niveau du sol
(figure III.5). Le point
d’observation, où s’effectue le calcul, est situé à une distance radiale (horizontale)
du canal du foudre.
Les paramètres géométriques du problème sont :
*Sol stratifié verticalement à deux couches
*Distance radiale maximale
* Hauteur maximale au dessus du sol
* Profondeur maximale en dessous du sol
Les paramètres de la simulation sont :
* Modèle de représentation du courant dans le canal de foudre retenu : Modèle MTLE.
* Modèle de représentation du courant à la base du canal de foudre retenu : somme des
deux fonctions d’Heidler.
.
* Vitesse de propagation du courant de foudre le long du canal :
* Taux de décroissance de ce courant le long du canal
.
* Les paramètres électriques du sol sont consignés dans le tableau III.1.
* Les paramètres du courant de foudre à la base du canal sont consignés dans le tableau
III.2.
* Pas de discrétisation spatiale :
,
.
.
* Les Pas de discrétisation temporelle :
51
Chapitre III
Formulations du champ électromagnétique rayonné par un coup
de foudre en présence d’un sol stratifie et d’une tour
Figure III.5 Modèle géométrique adopté pour le calcul du champ électromagnétique
en présence d’un sol stratifié verticalement à deux couches.
Dans ce qui suit nous allons présenter les graphes relatifs aux formes d’ondes du champ
électrique vertical et radial et du champ magnétique azimutal
pour différents
configurations du sol à savoir :
1- Première configuration : sol homogène (monocouche) possédant une conductivité
électrique relativement élevée
,
.
En adoptant la géométrie illustrée dans la figure (III .6), les trois composantes du
champ électromagnétique rayonné sont calculées en un point d’observation placé au
niveau du sol
à une distance radiale par rapport au canal
.
Figure III.6 Modèle géométrique adopté pour le calcul du champ électromagnétique
en présence d’un sol homogène (monocouche)
,
.
52
Chapitre III
Formulations du champ électromagnétique rayonné par un coup
de foudre en présence d’un sol stratifie et d’une tour
2- Deuxième configuration : sol homogène (monocouche) possédant une conductivité
électrique relativement faible
,
.
En adoptant la géométrie illustrée dans la figure (III .7), les trois composantes du champ
électromagnétique rayonné sont calculées en un point d’observation placé au niveau du sol
à une distance radiale par rapport au canal
.
Figure III.7 Modèle géométrique adopté pour le calcul du champ électromagnétique
en présence d’un sol homogène (monocouche)
,
.
3- Troisième configuration : sol stratifie verticalement (deux couches), possédant les
conductivités électriques suivantes :
,
,
.
En adoptant la géométrie illustrée dans la figure (III .8), les trois composantes du
champ électromagnétique rayonné sont calculées en un point d’observation placé au
niveau du sol
à une distance radiale par rapport au canal
.
53
Chapitre III
Formulations du champ électromagnétique rayonné par un coup
de foudre en présence d’un sol stratifie et d’une tour
Figure III.8 Modèle géométrique adopté pour le calcul du champ électromagnétique
en présence d’un sol stratifié verticalement à deux couches.
Ainsi dans les figures III.9 III.10 III.11 nous présentons les variations temporelles du
champ électrique vertical, du champ électrique radial et du champ magnétique azimutal,
pour les trois configurations du sol citées ci-dessus, que nous avons obtenues à l’issue de la
simulation basée sur la méthode FDTD.
✘✐
▲❏●❈❏❍❏❇➨■❅ ✈✑❅❒❃❏◆❃❈❅✉❄●
✝✐
✗✐
▲❏●▲▼
❒❁▼
❉
❆❉
➩❖❅❒▼
❉
❃❁●
❅❍❅■▼
✌❄●
✝ ✒✐✐❍
▲❏●❈❏❍❏❇➨■❅ ✈✒❅❍❅ ❃❏◆❃❈❅✉❄●
✝ ✕❋❍
✖✐
✥❚✈
✶✏
❍✉
✕✐
✔✐
✓✐
✒✐
✑✐
✐
✐
✒
✔
✖
✘
✑✐
✑✒
✑✔
✑✖
✑✘
▼✈◆▲✉
Figure III.9 Variations temporelles du champ électrique vertical au point d’observation
(
,
) pour différentes valeurs de .
54
Chapitre III
Formulations du champ électromagnétique rayonné par un coup
de foudre en présence d’un sol stratifie et d’une tour
✐✎
✐✒
▲❏●❈❏❍❏❇➨■❅ ✈✑❅❒❃❏◆❃❈❅✉❄●
✝✐
▲❏●▲▼
❒❁▼
❉
❆❉
➩❖❅❒▼
❉
❃❁●
❅❍❅■▼✌❄●
✝ ✒✐✐❍
✐✎
✐✑✘
▲❏●❈❏❍❏❇➨■❅ ✈✒❅❍❅ ❃❏◆❃❈❅ ✉❄●
✝ ✕❋❍
✐✎
✐✑✖
✥❒✈
✶✏
❍✉
✐✎
✐✑✔
✐✎
✐✑✒
✐✎
✐✑
✐✎
✐✐✘
✐✎
✐✐✖
✐✎
✐✐✔
✐✎
✐✐✒
✐
✐
✒
✔
✖
✘
✑✐
▼✈
◆▲✉
✑✒
✑✔
✑✖
✑✘
Figure III.10 Variations temporelles du champ électrique radial au point d’observation
,
) pour différentes valeurs de .
(
✐✎
✒
▲❏●❈❏❍❏❇➨■❅ ✈✑❅❒❃❏❃❈❅ ✉❄●
✝✐
✐✎
✑✘
▲❏●▲▼
❒❁▼
❉
❆❉
➩❖❅❒▼
❉
❃❁●
❅❍❅■▼
✌❄●
✝ ✒✐✐❍
▲❏●❈❏❍❏❇➨■❅ ✈✒❅❍❅ ❃❏◆❃❈❅✉❄●
✝ ✕❋❍
✐✎
✑✖
★✱✈
✡✏
❍✉
✐✎
✑✔
✐✎
✑✒
✐✎
✑
✐✎
✐✘
✐✎
✐✖
✐✎
✐✔
✐✎
✐✒
✐
✐
✒
✔
✖
✘
✑✐
✑✒
✑✔
✑✖
✑✘
▼✈◆▲✉
Figure III.11 Variations temporelles du champ magnétique azimutal au point d’observation
(
,
) pour différentes valeurs de .
55
Chapitre III
Formulations du champ électromagnétique rayonné par un coup
de foudre en présence d’un sol stratifie et d’une tour
Analyse des résultats obtenus :
On peut dire, d’après les allures temporelles du champ électrique vertical présentés à la
figure III.9, que l’effet de la stratification verticale du sol, se traduit par la diminution de
l’amplitude maximale et du temps de montée du ce champ par rapport au cas
.
correspondant à un sol homogène (monocouche)
Cependant, par rapport au cas d’un sol homogène (monocouche)
, l’effet de la
stratification du sol se traduit, sur l’allure temporelle du champ électrique vertical, par
l’augmentation de l’amplitude et du temps de montée. A noter que ce comportement du
champ électrique vertical par rapport à la stratification vertical du sol, a été aussi mis en
évidence dans les références [84] et [90].
D’après les formes d’ondes du champ électrique radial présentées à la figure III.10, l’effet
de la stratification verticale du sol, se traduit par la diminution relativement faible en
l’amplitude par rapport au cas correspondant à un sol homogène (monocouche)
.
Par ailleurs, la décroissance temporelle de ce champ est plus lente dans le cas d’un sol
stratifié.
Par rapport au cas d’un sol homogène
, la stratification verticale du sol se
traduit sur l’allure temporelle du champ magnétique azimutal (figure.III.11) par la
diminution de l’amplitude et du temps de montée. Cependant, par rapport au cas d’un sol
homogène (monocouche)
, l’effet de la stratification verticale du sol est presque
négligeable.
D’autre part la comparaison de nos résultats de simulations, obtenus en mettant en œuvre
la technique numérique FDTD, notamment en ce qui concerne le champ électrique vertical,
avec ceux obtenus par Shoory et al (fig.III.4) qui ont utilisé les formulations simplifiées de
Wait montre le même comportement du point de vue forme d’onde du champ électrique
vertical.
III.4 Formulation du champ en présence d’un sol stratifié verticalement et d’une tour
Le champ électromagnétique de la foudre en présence d’un sol stratifié verticalement et
d’une tour (figure III.9) se calcule en utilisant la formulation simplifiée de Wait. Quant aux
distributions du courant le long de la tour et le long du canal de foudre elles sont
modélisées par le modèle de Baba et Rakov (expressions III.6 et III.7).
56
Chapitre III
Formulations du champ électromagnétique rayonné par un coup
de foudre en présence d’un sol stratifie et d’une tour
Canal
Point
D’observation
Tour
sol
Figure III.9 : Modèle géométrique adopté pour le calcul du champ électromagnétique
rayonné en présence d’un sol stratifie verticalement à deux couches et d’une tour.
L’expression mathématique du champ électrique vertical, pour le cas d’un sol stratifié
verticalement et en présence d’une tour, est obtenue en introduisant les expressions de la
distribution spatio-temporelle du courant de foudre (expression III.6 et III.7, modèle de
Baba et Rakov), dans l’expression du champ électrique vertical correspondant à un sol
stratifié en l’absence de la tour (III.26), pour une hauteur
:
). Cette
expression devient :
III.27
Dans le chapitre suivant, nous allons calculer le champ électrique rayonné par la foudre
dans le cas d’un sol stratifié et en présence de la tour à l’aide de la méthode numérique
FDTD.
Les résultats obtenus seront comparés à ceux calculés à l’aide de la formulation présentée
ci dessus pour la même configuration géométrique.
57
Chapitre III
Formulations du champ électromagnétique rayonné par un coup
de foudre en présence d’un sol stratifie et d’une tour
III.5 Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons décrit les formulations mathématiques relatives aux
composantes du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre afin de
comparer les résultats obtenus avec ceux déterminés par une technique numérique
intéressante en l’occurrence la technique FDTD. La géométrie considérée comporte outre
un sol stratifié, une tour élevée afin de se rapprocher le plus possible de la réalité du sol et
des géométries d’études expérimentales de la foudre faisant intervenir des tours
instrumentées.
58
Chapitre IV
Simulation du rayonnement
électromagnétique de la foudre par la
méthode FDTD
Chapitre IV
Simulation du rayonnement électromagnétique
de la foudre par la méthode FDTD
IV.1 Introduction
Les simulations numériques sont apparues dans les années 70 grâce aux premiers
développements de l’informatique. L’accroissement des puissances de calcul des
ordinateurs permet aujourd’hui d’étudier des problèmes que l’on ne pouvait pas aborder
autrefois. Les capacités dont nous disposons maintenant, nous permettent en effet de
considérer des situations de plus en plus proches de la réalité. Les domaines d’application
des simulations numériques sont nombreux, ils concernent, pour n’en citer que quelques
uns, la mécanique des fluides, la mécanique classique, l’élasticité, la résistance des
matériaux, l’électromagnétisme, la physique quantique etc. Les implications sont
importantes aussi bien sur le plan théorique que dans la pratique.
En effet Les simulations permettent de réduire les durées de conception et donc le
coût de fabrication d’un produit, ce qui est très important pour la compétitivité
industrielle.
Ce travail s’inscrit dans le domaine de l’électromagnétisme faisant intervenir
différentes méthodes numériques dont la méthode des moments, la méthode des éléments
finis, la méthode TLM (« Transmission Line Matrix ») et la méthode des différences finies
(FDTD)[15]. Ces méthodes sont utilisables aussi bien dans le domaine temporel que dans le
domaine fréquentiel.
La mise en œuvre de ces techniques numériques dans les études CEM liées au phénomène
de foudre est d’une grande importance car elle permet de caractériser le rayonnement
électromagnétique de la foudre dans le cas de géométries complexes comprenant des
structures élevées telles les tours par exemple. Ces dernières sont aussi utilisées dans les
mesures expérimentales de la foudre (foudre artificielle, foudre naturelle) car elles sont
instrumentées à leurs bases. La nature du sol (stratifié ou mono couche, de conductivité
finie ou parfaitement conducteur) influe beaucoup sur le rayonnement de la foudre
notamment sur le champ électromagnétique rayonné.
Ainsi à cause de la complicité de la géométrie du problème lié à la foudre, les chercheurs
ont souvent simplifié le problème en considérant un sol monocouche de conductivité
infinie et en l’absence de tours élevées. Ceci leur a permis de développer des codes de
calculs spécifiques basés sur des méthodes numériques évoluées telles que la méthode des
différences finies.
59
Chapitre IV
Simulation du rayonnement électromagnétique
de la foudre par la méthode FDTD
Aussi dans le cadre de ce mémoire, nous nous proposons d’examiner l’influence de la
nature du sol ainsi que l’influence de la présence d’une tour élevée sur les formes d’ondes
du champ électromagnétique rayonné par la foudre. Les calculs sont effectués à la l’aide
d’un code de calcul développé au sein de l’équipe CEM du laboratoire de développement
des entrainements électriques (LDEE) de l’USTO.
Ainsi dans ce chapitre nous présentons l’étude du champ électromagnétique rayonné au
voisinage du canal de foudre et d’une tour élevée. Les composantes du champ
électromagnétique évaluées au niveau d’un sol stratifié verticalement.
IV.2 Géométrie du problème
La géométrie du problème du rayonnement électromagnétique de la foudre adoptée est
présentée à la fig. (IV.1). La tour élevée et le canal de foudre sont considérés comme une
antenne verticale unidimensionnelle de hauteur « H » placée au dessus d’un sol constitué
de deux couches (couche 1 et couche 2)dans le cas de la stratification verticale.
ρt : Coefficient de réflexion au sommet de
la tour.
ρg : Coefficient de réflexion à la base de la
tour
H : Hauteur du canal de foudre
σ0, ε0, µ0 : conductivité, permittivité et
perméabilité de l’air.
σ1, ε1, µ1 : Conductivité, permittivité et
perméabilité de la couche 1.
σ2, ε2, µ2 : Conductivité, permittivité et
perméabilité de la couche 2.
1 1 1
Figure. IV.1: Modèle géométrique du problème du rayonnement électromagnétique
de la foudre en présence d’un sol stratifié verticalement et d’une une tour élevée.
60
Chapitre IV
Simulation du rayonnement électromagnétique
de la foudre par la méthode FDTD
IV.3 Formulation du champ électromagnétique
IV.3.1 Formulation de base
La méthode FDTD est basée sur la formulation standard des équations de
Maxwell suivantes :
IV.1
IV.2
Qui s’écrivent aussi sous la forme :
: est le champ électrique,
le champ magnétique,
et sont respectivement, la
perméabilité magnétique, la conductivité électrique et la permittivité diélectrique du
milieu.
Pour l’analyse du champ électromagnétique rayonné par la foudre, on peut adopter un
domaine de calcul à deux dimensions (2D) (fig. IV.3) avec un système à coordonnées
cylindriques (voir figure IV.4)
Les équations (IV.1) et (IV.2) peuvent être écrites sous la forme suivante:
IV.3
Où
: est champ électrique radial,
magnétique azimutal,
: le champ électrique vertical,
: le champ
: la distance radiale entre le point d’observation et le canal de
foudre , : la hauteur du point d’observation par rapport au sol .
61
Chapitre IV
Simulation du rayonnement électromagnétique
de la foudre par la méthode FDTD
IV.4 Principe de base de la méthode FDTD
IV.4.1 Discrétisation spatio-temporelle
La double discrétisation spatiale et temporelle par les différences finies, appliquée aux
équations de Maxwell, a été décrite de manière originale par Yee [65] en 1966.
La discrétisation des opérateurs de dérivation utilise un schéma centré des différences
finies, avec une formulation dont l’erreur est du second ordre pour chaque pas de
discrétisation.
IV.4
Les composantes du champ électrique
sont calculées aux instants
en fonction
du champ électrique à l’instant “n”, c’est à dire, la valeur obtenue dans le pas temporel
précédent tandis que celles du champ magnétique
elles sont calculées aux instants
(Fig. IV.2).
Discrétisation spatiale
- Direction radiale «
- Direction verticale «
Où
IV.5
»
IV.6
»
et j sont les incréments dans l’espace respectivement suivant l’axe « r » et suivant
l’axe « z ».
Δr et Δz représentent les pas spatiaux, respectivement dans la direction : radiale et
verticale.
Discrétisation temporelle
Le temps est discrétisé en intervalles
échantillonné par
, avec
centrées, le champ électrique
, ce qui implique que tout instant ‘ t ’ peut être
un entier positif. Pour que les dérivées temporelles soient
est calculé à l’instant
et le champ magnétique
à
.
La discrétisation temporelle est effectuée avec un pas Δt, le temps ‘t’ correspond alors à un
nombre entier de fois Δt, soit t = n Δt. Les composantes du champ électrique sont évaluées
aux instants entiers n Δt tandis que les composantes du champ magnétique sont évaluées
62
Chapitre IV
Simulation du rayonnement électromagnétique
de la foudre par la méthode FDTD
aux instants demi-entiers (t - Δt/2) et (t + Δt/2). Ainsi une composante temporelle ne
dépend que des évènements liés à la période temporelle précédente (figure IV.3).
IV.7
: Incrément dans le temps.
(n + 1) ∆t
E
Figure IV.2 : Principe de discrétisation temporelle en différences finies [100]
(a) Coordonnées Cartésiennes [98]
(b) Coordonnées cylindriques [99]
Figure IV.3 : Maillage spatial 3D en différences finies- modèle de Yee.
i-1
i
i+1
Figure IV.4 Domaine de calcul à deux dimensions (2D) pour un système de coordonnées cylindriques.
63
Chapitre IV
Simulation du rayonnement électromagnétique
de la foudre par la méthode FDTD
La résolution du système d’équations (IV.3) est obtenue en mettant en œuvre l’approche
FDTD. On définit chaque fonction spatio-temporelle f évaluée en chaque point de l’espace
et à chaque instant comme :
IV.8
Les approximations du premier ordre des équations aux dérivées partielles s’écrivent
comme suit:
IV.9
A partir des équations aux dérivées partielles du système (IV.3) et en utilisant les équations
(IV.9), on obtient les composantes du champ électromagnétique rayonné par la foudre à
savoir :
Le champ électrique vertical :
IV.10
IV.11
Où
IV.12
Le champ électrique radial :
IV.13
64
Chapitre IV
Simulation du rayonnement électromagnétique
de la foudre par la méthode FDTD
Le champ magnétique azimutal :
IV.14
: désignent respectivement la permittivité diélectrique et la conductivité
électrique qui caractérisent chaque nœud de la grille du maillage.
Sol
-1
Sol
-1
*
Fig. IV.5 Maillage 2D-FDTD avec coordonnées cylindriques.
65
Chapitre IV
Simulation du rayonnement électromagnétique
de la foudre par la méthode FDTD
IV.4.2 Condition aux limites absorbantes(ABC)
Lorsque les équations du champ électromagnétique sont résolues dans le domaine
temporel en utilisant des méthodes aux différences finies dans un espace non borné, il doit
y avoir une méthode limitant le domaine dans lequel le champ est calculé. Ceci est réalisé
en employant des conditions aux limites de type absorbantes (« Absorbing Boundary
Conditions » :ABC) aux frontières artificielles du domaine pour simuler l’espace non borné
(Figure IV.5).
Il existe dans la littérature plusieurs types de conditions aux limites absorbantes. Parmi
celles-ci on peut citer deux conditions très utilisées pour calcul du champ
électromagnétique à savoir :
Les conditions aux limites de Mur [101]
La couche parfaitement absorbante : PML (« Perfectly Matched Layer »)
IV.4.2.1 Les conditions aux limites de Mur [101]
Ces conditions possèdent l’avantage d’être faciles à implémenter numériquement. En effet,
elles consistent en l’extrapolation des valeurs du champ magnétique aux nœuds situés sur
les limites du domaine discrétisé suivant le principe de discrétisation de la méthode FDTD
(figure IV.5), à partir des valeurs du champ magnétique pré-calculées aux nœuds situés au
voisinage intérieur immédiat de ces limites. Si ces dernières sont suffisamment éloignées
de la source du champ électromagnétique, les valeurs du champ magnétique sur les
frontières du domaine sont obtenues par extrapolation du premier ou du deuxième ordre.
Ces conditions ont été développées par Mur [101].
Les conditions de Mur sont caractérisées par leur facilité de mise en œuvre. Par contre elles
ne sont rigoureusement valables que pour les ondes arrivant à incidence normale par
rapport à la limite du domaine, car des réflexions parasites apparaissent en incidence
oblique.
Pour notre part dans le cadre de ce travail, nous avons utilisé les conditions aux limites
absorbantes au premier ordre développées par Mur [100]. Leurs approximations aux
différences finies s’écrivent comme suit:
Dans la direction radiale (r) :
66
Chapitre IV
Simulation du rayonnement électromagnétique
de la foudre par la méthode FDTD
IV.15
Dans la direction verticale (z) :
IV.16
IV.17
est la vitesse de propagation du champ électromagnétique à chaque nœud de la grille
du maillage. La vitesse s’exprimé à l’aide de l’expression suivante [102] :
IV.18
C : étant la vitesse de la lumière
: la permittivité relative correspondant à chaque nœud dans la grille du maillage.
Le champ électrique vertical sur l’axe z (r = 0) doit être traité d’une manière spéciale. Dans
la région dépourvue de charges électriques, il est donné par l’expression [103]:
IV.19
Dans la région comportant le canal de foudre, selon la loi d’Ampère, le champ électrique
vertical peut être écrit sous la forme [103]:
IV.20
67
Chapitre IV
Simulation du rayonnement électromagnétique
de la foudre par la méthode FDTD
: Désigne le courant qui traverse chaque nœud
appartenant à la région qui
comporte le canal de foudre.
Si
est négatif ceci implique que ce courant est toujours nul. Donc ceci modélise bien le
fait que le courant ne peut exister que dans le canal de foudre .
Pour éviter des instabilités numériques, les pas spatiaux (
et le pas temporel (
),
doivent satisfaire la condition de stabilité de calcul suivante :
IV.21
IV.5 Validation de l’approche FDTD dans le calcul du courant et du champ électro magnétique associé en présence d’une tour
Dans ce paragraphe nous comparons les résultats de simulation, obtenus grâce à
l’approche FDTD, aux résultats expérimentaux tirés de la référence [104] et de la référence
[121].Le but de cette comparaison étant de valider l’approche FDTD que nous avons retenu
pour calculer le champ électromagnétique rayonné par la foudre.
La figure IV.6 présenté une forme d’onde typique du courant mesuré au sommet de la tour
Peissendeg tirée de la référence [104]. En raison des réflexions multiples aux deux
extrémités de la tour, cette forme d’onde présente deux pics caractérisés par des temps de
montée rapides. Le premier pic possède une amplitude d’environ 3.5 kA et le deuxième une
amplitude d’environ 5 KA.
Figure IV.6 Courant mesuré au sommet de la tour 168 m [104].
68
Chapitre IV
Simulation du rayonnement électromagnétique
de la foudre par la méthode FDTD
Les champs électriques et magnétiques associés sont représentés, respectivement, sur les
figures IV.7et IV.8 (courbes tirées de la référence [104]). Le champ électrique vertical est
mesuré à la distance 198m de la tour. Il est caractérisé par un premier pic d’une valeur de
1.71 kV/m suivi par une évolution en forme de rampe croissante. Le champ magnétique est
mesuré à la distance de 185m par rapport à la tour, il est caractérisé par un pic d’une
valeur de 4.8 A/m.
Figure IV.7 Champ électrique vertical mesuré à la distance de 198 m de la tour Peissenberg [104].
Figure IV.8 Champ magnétique azimutal mesuré à la distance de 185m de la tour Peisenberg[104].
69
Chapitre IV
Simulation du rayonnement électromagnétique
de la foudre par la méthode FDTD
Notons que dans nos calculs le courant ‘non contaminé ’ injecté au sommet de la tour à
savoir
est une donnée d’entrée à partir de laquelle on peut calculer la distribution du
courant le long de la tour et long du canal de foudre. Ce courant ‘ non contaminé ‘ est
représenté numériquement par la somme de deux fonctions d’Heidler [22] dont les
paramètres sont consignés sur le tableau IV.1.
IV.22
Avec :
Du point de vue expérimental, la seule donnée accessible à la mesure est le courant
‘’contaminé ‘’ enregistré au sommet la tour, le courant ‘’ non contaminé ‘’ est alors extrait à
partir de ce courant mesuré.
Tableau IV.1: Paramètres de deux fonctions d’Heidler modélisant le courant non contaminé [15].
Paramètres de la
fonction
d’ Heidler
942.5
0.44
0.27
Paramètres de la
fonction
d’ Heidler
2
2193.2
0.27
La figure IV.9(a) présente le courant non contaminé
correspondant (courant total calculé au sommet de la tour)
200
2
et la figure IV.9(b) le courant
en utilisant L’équation
(II.22). Les coefficients de réflexion au sommet et à la base de la tour sont respectivement,
et
[105].
70
Simulation du rayonnement électromagnétique
de la foudre par la méthode FDTD
✒✕✐✐
✕✐✐✐
✒✐✐✐
✔✐✐✐
✣ ❏◆❒❁■▼✈✡ ✉
❃❏◆❒❁■▼✈✡ ✉
Chapitre IV
✑✕✐✐
✑✐✐✐
✓✐✐✐
✒✐✐✐
✕✐✐
✑✐✐✐
✐
✐
✑
✒
✓
✔
✕
✖
✗
✘
✙
✐
✐
▼✈◆▲✉
✒
✔
✖
✘
✑✐
▼✈◆▲✉
(a)
(b)
Figure IV.9 (a) :Courant non contaminé et (b) :Courant total calculés au sommet
de la tour Peissenberg.
On représente dans les figures IV.10 et IV.11 le champ électrique vertical et le champ
magnétique azimutal calculés respectivement à 198m et 185m de la tour.
Les deux champs de la figure IV.10 et IV.11 sont obtenus par l’utilisation de modèles
décrits dans la section II.3.2, et en adoptant le modèle MTLE, avec La vitesse de l'arc en
retour
, et pour un taux de décroissance de courant
On peut voir sur la figure IV.10 que la valeur du pic initial et la croissance de la rampe qui
suit ce premier pic est en bonne concordance avec les observations expérimentales
présentés dans la figure IV.7.
✒✐✐✐
✥❚ ✈✶✏
❍✉
✑✕✐✐
✑✐✐✐
✕✐✐
✐
✐
✒
✔
▼✈◆▲✉
✖
✘
✑✐
Figure IV.10 : Champ électrique calculé à 198 m de la tour.
71
Chapitre IV
Simulation du rayonnement électromagnétique
de la foudre par la méthode FDTD
Le champ magnétique calculé, présenté sur la figure IV.11, est en bon accord avec les
mesures présentées sur la figure IV.8 notamment en ce qui concerne la forme d’onde et la
reproduction du premier pic.
✖
★✱ ✈✡ ✏❍ ✉
✕
✔
✓
✒
✑
✐
✐
✒
✔
▼✈◆▲✉
✖
✘
✑✐
Figure IV.11 : Champ magnétique azimutal calculé à 185 m de la tour.
Nous pouvons en guise de conclusion noter que nos résultats de simulation notamment les
formes d’ondes du champ électrique vertical et du champ magnétique, issues du calcul
FDTD, concordent sur le plan des amplitudes des premiers pics et sur le plan des formes
d’ondes avec les courbes expérimentales de la référence [104].
Validations des formes d’ondes du courant
Dans la figure IV.12 nous présentons les formes d’ondes typiques du courant mesuré, au
sommet et à la base de la tour Peissenderg, issus de la référence [121].
Dans la figure IV.13 nous présentons les formes d’ondes du courant calculé, au sommet de
la tour (168 m) et à la base de la tour (0 m), par la technique FDTD. Les effets des réflexions
multiples aux deux extrémités de la tour sont clairement visibles dans ces formes d’ondes.
On peut voir aussi que le courant à la base de la tour possède une amplitude maximale
élevée due à la contribution de l’onde réfléchie au niveau du sol [106, 107].
Paramètres de calcul :
Hauteur de la tour : h=168 m (correspondant à la tour Peissenberg),
Paramètres de réflexion du courant au sommet et à la base de la tour : ρt = -0.53 et
ρg = 0.7. Les paramètres relatifs au courant ‘non contaminé ’ sont consignés sur le tableau
IV.2.
72
Chapitre IV
Simulation du rayonnement électromagnétique
de la foudre par la méthode FDTD
Tableau IV.2: Paramètres de deux fonctions d’Heidler, le courant non contaminé [121].
10.7
0.25
2.5
6.5
2.1
230
Figure IV.12 : Courant mesuré à la base et au sommet de la tour 168 m [121].
✔
❘ ✑✐
✓✎
✕
❃❏◆❒❁■▼➠●
❁ ❂❁▲❅ ❄❅ ●
❁▼
❏◆❒
❃❏◆❒❁■▼❁◆ ▲❏❍❍❅▼❄❅ ●
❁▼
❏◆❒
✓
❃❏◆❒❁■▼✈✡ ✉
✒✎
✕
✒
✑✎
✕
✑
✐✎
✕
✐
✐
✒
✔
✖
✘
✑✐
▼✈◆▲✉
Figure IV.13 : Courant à la base et au sommet de la tour 168 m.
A l’issue de cette comparaison, nous pouvons conclure que les résultats du courant au
sommet et à la base de la tour obtenus à l’aide du calcul FDTD, concordent assez bien
(forme d’onde et amplitude) avec les résultats obtenus expérimentalement.
73
Chapitre IV
Simulation du rayonnement électromagnétique
de la foudre par la méthode FDTD
IV. 6 Résultats obtenus dans le cas d’un sol stratifié verticalement en présence d’une tour
Dans ce paragraphe nous présentons les résultats de simulation que nous avons obtenus,
en mettant en œuvre l’approche FDTD, dans le cas d’un sol stratifié verticalement avec la
présence d’une tour. Nous adoptons la même démarche de présentation des résultats que
celle des paragraphes précédents à savoir la considération de trois configurations du sol :
-
Sol monocouche avec forte valeur de la conductivité électrique
-
Sol monocouche avec faible valeur de la conductivité électrique
-
Sol stratifié verticalement à deux couches de conductivités électriques différentes.
Les résultats de simulation consistent en les formes d’ondes du champ électromagnétique
rayonné par la foudre dans le cas d’une géométrie comprenant un sol stratifié et une tour
élevée.
Le calcul des trois composantes de ce champ est effectué en un point d’observation ‘ ’
(figure IV.14) place au niveau du sol
la tour élevée égale à 5 km.
et situé à une distance ,radiale par rapport à
.
Figure IV.14 Modèle géométrique adopté pour le calcul du champ électromagnétique pour
un sol stratifié verticalement à deux couches et en présence d’une tour élevée.
74
Chapitre IV
Simulation du rayonnement électromagnétique
de la foudre par la méthode FDTD
Les paramètres électriques relatifs à chaque couche du sol stratifié sont consignés dans le
tableau IV.3. La région de calcul est délimitée par une distance radiale maximale par
rapport à la tour
et une hauteur maximale par rapport au sol
et
enfin par une profondeur
(voir la figure IV.14).
Les pas de discrétisation spatiale et temporelle utilisés lors de la simulation sont :
et
.
Tableau IV.3 Paramètres électriques relatifs aux deux couches [84].
Paramètres
Valeurs
Première couche
0.001
10
Deuxième couche
4
30
Le canal de foudre est représenté par le modèle MTLE ; avec une vitesse de propagation du
courant le long du canal
, et un taux de décroissance de ce courant le
long du canal
. Quant au courant à la base de la tour, il est représenté par la
somme de deux fonctions d’Heidler dont les paramètres sont ceux illustrés dans le tableau
IV.4.
Tableau IV.4 Paramètres relatifs aux deux fonctions d’Heidler utilisés pour calculer le
Champ électrique vertical [85]. avec
.
Paramètre de la première
fonction d’ Heidler
10.7
0.25
Paramètre de la deuxième
fonction d’ Heidler
2.5
6.5
2.1
230
Dans ce qui suit nous allons présenter les allures temporelles du champ électrique
vertical, du champ électrique radial et du champ magnétique azimutal pour les trois
configurations du sol citées auparavant à savoir :
1- Première configuration : sol homogène (monocouche) possédant une conductivité
électrique relativement élevée
,
.
75
Chapitre IV
Simulation du rayonnement électromagnétique
de la foudre par la méthode FDTD
En adoptant la géométrie illustrée dans la figure (IV .15), les trois composantes du
champ électromagnétique rayonné sont calculées en un point d’observation placé au
niveau du sol
à une distance radiale par rapport au canal
.
Figure IV.15 Modèle géométrique adopté pour le calcul du champ électromagnétique
pour d’un sol homogène (monocouche) et en présence d’une tour
,
.
2-Deuxième configuration : sol homogène (monocouche) possédant une conductivité
électrique relativement faible
,
.
En adoptant la géométrie illustrée dans la figure (IV.16). Les trois composantes du champ
électromagnétique rayonné sont calculées en un point d’observation placé au niveau du sol
à une distance radiale par rapport au canal
.
Figure IV.16 Modèle géométrique adopté pour le calcul du champ électromagnétique
pour un sol homogène (monocouche) et en présence d’ une tour
,
76
.
Chapitre IV
Simulation du rayonnement électromagnétique
de la foudre par la méthode FDTD
3-Troisième configuration : sol stratifié verticalement (deux couches), possédant des
conductivités électriques
et
,
.
En adoptant la géométrie illustrée dans la figure (IV.17), les trois composantes du
champ électromagnétique rayonné sont calculées en un point d’observation placé au
niveau du sol
à une distance radiale par rapport au canal
.
Figure IV.17 Modèle géométrique adopté pour le calcul du champ électromagnétique
pour un sol stratifié verticalement à deux couches et en présence d’une tour.
Les variations temporelles du champ électrique vertical et du champ électrique radial
ainsi que celles du champ magnétique azimutal sont présentées respectivement dans
les figures (IV.18, IV.19, IV.20) pour différentes valeurs de dl.
77
Chapitre IV
Simulation du rayonnement électromagnétique
de la foudre par la méthode FDTD
✑✘✐
(3
✑✖✐
✑✉▲❏●❍❏■❏❃❏◆❃❈❅✌ ❆❁❉
❂●
❅ ❃❏■❄◆❃▼
❉❖❉▼
➩✌ ❄●
✝✐
✒✉▲❏●▲▼
❒❁▼
❉❆❉➩❖❒▼
❉❃❁●
❅❍❅■▼
✌❄●
✝ ✒✐✐❍
✑✔✐
✥❚✈✶✏
❍✉
✓✉▲❏●❍❏■❏❃❏◆❃❈❅✌ ❆❏❒▼
❅ ❃❏■❄◆❃▼
❉❖❉▼
➩✌ ❄●
✝ ✕❋❍
✑✒✐
(2
✑✐✐
(1
✘✐
✖✐
✔✐
✒✐
✐
✐
✒
✔
✖
✘
✑✐
✑✒
✑✔
✑✖
✑✘
▼✈◆▲✉
Figure IV.18 Variations temporelles du champ électrique vertical
en présence d’une tour au point d’observation
(Tour Peissenberg (168 m).
pour différentes valeur de
✐✎
✐✔✕
(3
✐✎
✐✔
✑✉▲❏●❍❏■❏❃❏❃❈❅✌ ❆❁❉
❂●
❅ ❃❏■❄◆❃▼
❉
❖❉
▼
➩✌ ❄●
✝✐
✐✎
✐✓✕
✒✉▲❏●▲▼
❒❁▼
❉
❆❉
➩❖❅❒▼
❉
❃❁●
❅❍❅■▼
✌ ❄●
✝ ✒✐✐❍
✓✉▲❏●❍❏■❏❃❏❃❈❅✌ ❆❏❒▼
❅ ❃❏■❄◆❃▼
❉
❖❉
▼
➩✌ ❄●
✝ ✕❋❍
✥❒✈✶✏
❍✉
✐✎
✐✓
✐✎
✐✒✕
(2
✐✎
✐✒
(1
✐✎
✐✑✕
✐✎
✐✑
✐✎
✐✐✕
✐
✐
✒
✔
✖
✘
✑✐
✑✒
✑✔
✑✖
✑✘
▼✈◆▲✉
Figure IV.19 Variations temporelles du champ électrique radial
en présence d’une tour au point d’observation
pour déférentes valeur de
(Tour Peissenberg (168 m).
78
Chapitre IV
Simulation du rayonnement électromagnétique
de la foudre par la méthode FDTD
✐✎
✔✕
(3
✐✎
✔
✑✉▲❏●❍❏■❏❃❏◆❃❈❅✌❆❁❉❂●
❅ ❃❏■❄◆❃▼
❉❖❉
▼
➩✌ ❄●
✝✐
✐✎
✓✕
✒✉▲❏●▲▼
❒❁▼
❉
❆❉➩❖❅❒▼
❉❃❁●
❅❍❅■▼
✌ ❄●
✝ ✒✐✐❍
★✱✈✡✏
❍✉
✓✉▲❏●❍❏■❏❃❏◆❃❈❅✌❆❁❉❂●
❅ ❃❏■❄◆❃▼
❉❖❉
▼
➩✌ ❄●
✝ ✕❋❍
✐✎
✓
(2
✐✎
✒✕
(1
✐✎
✒
✐✎
✑✕
✐✎
✑
✐✎
✐✕
✐
✐
✒
✔
✖
✘
✑✐
✑✒
✑✔
✑✖
✑✘
▼✈◆▲✉
Figure IV.20 Variations temporelles du champ magnétique azimutal
en présence d’une tour au point d’observation
pour différentes valeur de
(Tour Peissenberg (168 m).
L’analyse de ces variations temporelles montre que :
La forme d’onde du champ électrique vertical dans le cas d’un sol stratifié possède une
amplitude inférieure à celle correspondant à un sol monocouche de conductivité élevée.
Cependant cette amplitude est supérieure à celle correspondant à un sol monocouche de
faible conductivité. Le champ électrique vertical présente, dans les trois configurations
étudiées, une forme oscillatoire amortie traduisant l’effet des coefficients de réflexion au
sommet et à la base de la tour.
Le champ électrique radial possède lui aussi une forme oscillatoire amortie. L’onde de ce
champ dans le cas d’un sol stratifié possède une amplitude inférieure à celle correspondant
à un sol monocouche de conductivité élevée. Par rapport à celle correspondant à un sol
monocouche de faible conductivité, l’effet de la stratification verticale du sol se traduit par
une légère augmentation de l’amplitude avec une décroissance plus lente (sol stratifié) de
la forme d’onde de ce champ.
Le champ magnétique azimutal possède lui aussi une forme oscillatoire amortie. La forme
d’onde de ce champ (sol stratifié) possède une amplitude inférieure à celle correspondant à
un sol monocouche de conductivité élevée. L’effet de la stratification verticale du sol est
presque négligeable par rapport au cas d’un sol monocouche de faible conductivité.
79
Chapitre IV
Simulation du rayonnement électromagnétique
de la foudre par la méthode FDTD
IV. 7 Conclusion
Dans ce chapitre, on a présenté une analyse des champs électromagnétiques rayonnés par
une décharge de foudre. Les composantes du champ électromagnétique sont calculées au
niveau d’un sol stratifié verticalement en présence d’un tour élevée. Les calculs sont basés
sur l’utilisation de la méthode aux différences finies (FDTD).
La validation de nos résultats de simulation obtenus à l’aide de cette technique a été
réalisée à travers une comparaison entre nos résultats et ceux obtenus expérimentalement
tirées de la littérature(84).
A l’issue de cette comparaison nous pouvons conclure que l’effet de la stratification
verticale du sol, en présence d’une tour élevée, sur les allures des champs
électromagnétiques rayonnés par la foudre ne peut être négligé car son influence est très
importante sur l’augmentation de l’amplitude du champ électrique vertical.
80
Conclusion générale
Conclusion générale
Conclusion générale
Nous sommes intéressés, dans le cadre de ce mémoire, à la mise en place d’une
méthodologie de caractérisation du rayonnement électromagnétique par la foudre dans le
but d’étudier les formes d’ondes du champ électromagnétique rayonné par la foudre pour
un sol stratifié verticalement et en présence d’une tour élevée. Les simulations effectuées
sur la base de méthodes des différences finies nous ont permis de caractériser ce champ
rayonné dans le cas d’un sol stratifié et en présence d’une tour. Les résultats de simulations
ont été validés par des résultats tirés de la littérature spécialisée obtenus à l’aide de
formulations simplifiées(84). Nous avons aussi, à travers ce calcul, mis en évidence l’effet
de la stratification verticale du sol sur les allures des trois composantes du champ
électromagnétiques rayonné par la foudre. Nous pensons donc avoir atteint l’objectif fixé
au départ dans le cadre du cahier de charges de cette thèse.
81
Références bibliographiques
Références bibliographiques
Références bibliographiques
[1] M.A. Uman « The lightning discharge », Dover Publications, INC, Mineola, New York, 2001.
[2] F. Rachidi «effets électromagnétiques de la foudre sur les lignes de transmission aériennes:
modélisation et simulation », thèse N° 974 (1991), Ecole Polytechnique Fédéral de Lausanne.
[3]
C. Gary. La foudre : des mythologies antiques à la recherche moderne. Edition Masson. 1995
[4] J. L. Bermudez “Lightning currents and electromagnetic fields associated with return strocks to
elevated strike objects”. Thèse N°2741(2003), Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne, Suisse.
[5] K. Berger, R.B.Anderson, H. Kroninger,“Parameters of lightning flashes”,Electra,No. 41,1975.
[6] T. Narita, T. Yamada, A. Mochizuki, E. Zaima, and M. Ishii “Observation of current
waveshapes of lightning strokes on transmission towers”, IEEE Transactions on Power Delivery,
15 (1), pp. 429-435, 2000.
[7] G. Diendorfer, M. Mair, W. Schulz, and W. Hadrian “Lightning current measurements in
Austria-experimental setup and first results”, 25th ICLP (International Conference on Lightning
Protection), pp. 44-47, Rhodes, Greece, 2000.
[8] G. Diendorfer, M. Mair, and W. Schulz “Detailed brightness versus lightning current amplitude
correlation of flashes to the Gaisberg tower”, 26th ICLP (International Conference on Lightning
Protection), pp. 8-13, Cracow, Poland, 2002.
[9] H. Torres, O. Trujillo, F. Amortegui, F. Herrera, G. Pinzon, C. Quintana, D. Gonzalez, D.
Rondon, M. Salgado, and D. Avila “Experimental station to measure directly lightning
parameters in tropical zone”, Eleventh International Symposium on High Voltage Engineering,
467 (5), London, UK, 1999.
[10] H. Torres, O. Trujillo, F. Amortegui, G. Pinzon, C. Quintana, D. Gonzalez,D. Rondon, M.
Salgado, and D. Avila “Construction and calibration of three devices to measure directly
lightning parameters”, Eleventh International Symposium on High Voltage Engineering, London,
UK, 1999.
[11] V. A. Rakov “Transient response of a tall object to lightning”, IEEE Transactions on
Electromagnetic Compatibility, 43 (4), pp. 654-661, 2001.
[12] V. Shostak “ Modeling of return stroke current for lightning events at a complex tall structures”,
International Workshop on Electromagnetic radiation from lightning to tall structures, pp. 4,
Toronto, Canada, 2001.
82
Références bibliographiques
[13] V. A. Rakov “Lightning discharges triggered using rocket-and-wire techniques”. InRecent
Research Development on geophysics, edited by R. Signpost, pp. 141-171, India,1999.
[14] V.P.idone ,R.E. orville, “Lighting return stroke velocities in the thunderstorm research
international program (TRIP) “ ,journal of Geophysical Research, vol 87, pp 4905-4915,1982.
[15] A.Mimouni “analyse des problèmes de compatibilité électromagnétique par modélisation et
simulation du rayonnement électromagnétique de la foudre ”, Thèse de doctorat, Université des
science et de la technologie d’Oran Mohamed Boudiaf, 2007.
[16] S.Rusk, ”induced lightning overvoltage’s on power transmission lines with special reference to
the overvoltage protection of low-networks”, Tans. Royal Institute of technology, vol. 120,
Stockholm, 1958.
[17] C.F.Wagner, “ The relation between stroke current and the velocity of the return stroke”,
IEEE Trans. On Power Apparatus and Systems, pp. 609-617, Oct. 1963.
[18] Y. T. Lin, M. A. Uman, J. A. Tiller, R. D. Brantley, W. H. Beasley, E. P. Krider, and C. D.
Weidman “Characterization of lightning return stroke electric and magnetic fieldsfrom
simultaneous two station measurements ”. Journal of Geophysical research, 84 (C10), pp. 63076314, 1979.
[19] M. Rubinstein, F. Rachidi, M. A. Uman, R. Thottappillil, V. A. Rakov, and C. A.Nucci “
Characterization of vertical electric fields 500 m and 30 m from triggered lightning”, Journal Of
Geophysical Research, 100 (D5), pp. 8863- 8872, 1995.
[20] C. A. Nucci, C. Mazzetti, F. Rachidi and M. Ianoz, “Analyse du champ électromagnétique dû à
une décharge de foudre dans le domaine temporel et fréquentiel ”, Annales de
Télécommunication, Vol. 43, N°11-12, pp. 625-637,1988.
[21] F. Heidler, J. M. Cević, « A class of analytical functions to study the lightning effects
associated with the current front », Journal, ETEP Vol. 12, No.2, March/April 2002, pp: 141-150.
[22] F. Heidler, "Analytic Lightning current functions for LEMP calculations", 18th ICLP
(International Conference on Lightning Protection), Munich , 1985.
[23] C.A.Nucci,g.Diendorfer, M.A.Uman,F.Rachidi,M,Ianoz, and Mazzetti “Lighting return stroke
current models with specified channel base current :A review and comparison” Journal Of
Geophysical research, Vol.95,n° .D12, pp .20395- 20408, 1990.
[24] C. Leteinturier, C Weidman, and J. Hamelin “current and electric field derivatives in trigged
lighting return strokes ” ,Journal Of Geophysical research ,Vol .95,pp.811-828,1990.
[25] R. Thottappillil, and M.A. Uman, Comparison of lightning return-stroke models, Journal of
Geophysical Research, 98 (D12), 22903-14, 1993.
83
Références bibliographiques
[26] C.Gomes, and V. Cooray, “Concepts of lightning return stroke models”, IEEE Transactions on
Electromagnetic Compatibility, 42 (1), 82-96, 2000.
[27] C.Nucci “Lightning-induced voltages on overhead power lines”,in Electra, pp.74-102,1995.
[28] V.A.Rakov“Lightning return stroke speed”,Journal Of Lightning Research,Vol.1,pp.80-89,2007.
[29] V.A.Rakov “ Lightning Return Stroke Modeling: Recent Developments”, in International
Conference on Grounding and Earthing - GROUND 2002, Rio de Janeiro, Brazil, 2002.
[30]Rakov, V.A., and M.A. Uman “Review and evaluation of lightning return
stroke
modelsincluding some aspects of their application”,IEEE Transactions on Electromagnetic
Compatibility, 40 (4), 403-26, 1998.
[31] R.Thottappillil, R.V. Rakov, and M. Uman, “Distribution of charge along the lightning
channel: relation to remote electric and magnetic fields and to return-stroke models”, Journal of
Geophysical Research, 102 (D6), 6987-7006, 1997
[32] C. E. R. Bruce, and R. H. Gold, “ The lightning discarge”, The journal of the institution of
electrical engineers, 88(6), pp. 487-520, 1941.
[33] M. A. Uman and D. K. McLain, “Magnetic Field of Lightning Return Stroke”, Journal of
Geophysical Research, 74, 1969.
[34] E. petrache “Lighting electromagnetic field coupling to overhead transmission line networks
and to buried cables “these N°3024(2004).Ecole Polytechnique federal de Lausanne.
[35] V. A. Rakov, and A. A. Dulzon “Calculated electromagnetic fields of lightning return strokes”,
Tekhnicheskaya Elektrodinamika, n°. 1, pp. 87-89, 1987.
[36] C. A. Nucci, and F. Rachidi “Experimental validation of a Modification to the Transmission
Line model for LEMP calculations”, 8th International Symposium and Technical Exhibition on
Electromagnetic Compatibility, pp. 6, Zurich, Switzerland, 1989.
[37] F. Rachidi, and C. A. Nucci “On the Master, Uman, Lin, Standler and the Modified
Transmission Line lightning return stroke current models”, Journal Of Geophysical research, 95
(D12), pp. 20389-20394, 1990.
[38] Y. T. Lin, M. A. Uman, and R. B. Standler “Lightning return stroke models”, Journal Of
Geophysical research, 85 (C3), pp. 1571-1583, 1980.
[39] F Heidler, “Travelling current souce model for LEMP calculation. 6th Symposium and technical
exhibition on electromagnetic Compatibility”. Zurich pp. 157-162. 1985
84
Références bibliographiques
[40] G. Diendorfer, and M. A. Uman “An improved return stroke model with specified channel base
current”, Journal Of Geophysical research, 95(D9), pp. 13621-13644, 1990.
[41] V.A. Rakov “Engeneering models of the ligthning return stroke. Proceding of international
symposium on Lightning protection”. Curitiba. 2003.
[42] Rachidi, F., V. A. Rakov, C. A. Nucci, and J. L. Bermudez ,“The Effect of VerticallyExtended Strike Object on the Distribution of Current Along the Lightning Channel”, Journal of
Geophysical Research, 107, 4699. (2002),
[43] Y. Baba and V.A. Rakov “Influence of the presence of a tall strike object on lightning
electromagnetic fields” J. Geophys. Res., 2005.
[44 ] D. Pavanello “electromagnetic radiation from lightning return strokes to tall structures” école
polytechnique fédérale de Lausanne, 3713 (2007).
[45] F. Rachidi, W. Janischewskyj, A. M. Hussein, C. A. Nucci, S. Guerrieri, B.Kordi, and J. S.
Chang, Current and electromagnetic field associated with lightning return strokes to tall towers,
IEEE Trans. Electromagn. Compat. 43(2001) 356-366.
[46] A.Sommerfeld “Uber die Ausbreitung des wellen in der drahtlosen Telegraphie”Annal Physics,
Vol.28.1909.
[47] A. Banos, “Dipole radiation in the presence of a conducting half-space,” Pergamon Press,1966
[48] D. Pavanello, F. Rachidi, V. A. Rakov, C. A. Nucci, and J. L. Bermudez“Return stroke
current profiles and electromagnetic fields associated with lightning strikes to tall towers:
Comparison of engineering models”, presented at International Conference on Lightning
Protection, ICLP 2004, Avignon, France, 2004.
[49] M. A. Uman, D. K. McLain, and E. P. Krider, “The electromagnetic radiation from a finite
antenna”, Amer. J. Phys., vol. 43, pp. 33-38, 1975.
[50] C. Leteinturier, “Champ électromagnétique émis par une décharge orageuse.Modele théorique
intégrant les variations de la résistivité du sol,” Centre National d’Etude de communications,
Note technique NT/LAA/RLM/66,Nov.1980.
[51] F. Rachidi, C. A. Nucci, M. Ianoz, and C. Mazzetti “Influence of a lossy ground on lightning –
induced voltages on overhead lines”, IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility,
38(3), pp. 250-264, 1996.
[52] A. Zeddam, and P. Degauque “Current and voltage induced on a telecommunication cable by a
lightning stroke”, edited by H.P. Corp., pp. 377-400, 1990.
85
Références bibliographiques
[53]
M. Rubinstein «An approximate Formula for the calculation of the horizontal electric field
from lighting at close, intermediate, and long range””,IEEE Transactions on Electromagnetique
Compatility ,38(3),pp.531-535,1996.
[54] V.Cooray” Horizontal field generated by return strokes” radio science, Vol. 27and n°
.4,pp.529-537,1992.
[55] B. Djebari, J. Hamelin, C. Leteinturier, and J. Fontaine “Comparison between experimental
measurements of the electromagnetic field emitted by lightning and different theoretical models.
Influence of the upward velocity of the return stroke”, 14th International Symposium and
Technical Exhibition on Electromagnetic Compatibility, Zurich, Switzerland, 1981.
[56] W. Janischewskyj, V. Shostak, J. Barratt, A. M. Hussein, I. Rusan, and J. S. Chang,
Collection and use of lightning return stroke parameters taking into account characteristics of
the struck object, presentet at the 23rd ICLP (International Conference on Lightning Protection),
Florence, Italy (1996).
[57] A. Zeddam “Couplage d’une onde électromagnétique rayonnée par une décharge orageuse à un
câble de télécommunication”, Thèse de Doctorat, Université de Lille, France, 1988.
[58] V. Cooray “Some considerations on the Cooray-Rubinstein Formulation used in deriving the
horizontal electric field of lightning return strokes over finitely, conducting ground”, IEEE
Transactions on Electromagnetic Compatibility, 4 (4),pp. 560-566, 2002.
[59 ] V. Cooray “U underground electromagnetic field generated by return strokes of lighting
flashes ”IEEE Transactions on Electromagnetic compatibility ,44(1),pp 75-84,2001.
[60] F. Delfino, R. Procopio, M. Rossi, F. Rachidi, and C.A. Nucci, “Evaluation of underground
lightning electromagnetic fields,” International Symposium on Electromagnetic Compatibility
EMC Europe 2006, September 4-8, 2006, Barcelona, Spain.
[61] K.S.Yee “Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell’s equations
in isotropic media “ IEEE Trans .Antennas Propoga., vom,14 , 1966, pp 302-307.
[62] M. S.Sarto “Innovative Absorbing-Boundary Conditions for the Efficient FDTD Analysis of
Lightning-Interaction Problems,” IEEE Transactions on electromagnetic Compatibility, Vol. 43,
N°. 3, 2001, pp. 368-381.
[63] Y. Bourgeois “ Modélisation des perturbations électromagnétiques générées sur un réseau de
télécommunications par une agression de type foudre ”Thèse N° 4- 2009, Université de limoges,
France, février 2009 – Technologie – Santé.
86
Références bibliographiques
[64] D. Orzan “couplage externe et interne entre un champ électromagnétique et un réseau de lignes
multifilaires” Thèse de doctorat N°1768 (1998), Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne,
EPFL 1998.
[65] M. Paolone, C.A.Nucci,F.Rachidi “ Anew finite difference time domain scheme for the
evaluation of lighting induced overvoltage on multiconductor overhead lines ” international
Conference on power System transients IPST,01,Rio de janeiro, June 2001.
[66] C. A. Nucci and F. Rachidi, “Lightning Induced Overvoltages”, IEEE Transmission and
Distribution Conference, Panel Session“Distribution Lightning Protection”, New Orleans, April
14, 1999.
[67]
C.A. Nucci, F. Rachidi, M. Ianoz, and C. Mazzetti “Comparison of two Coupling Models
for Lighting induced overvoltage Calculation”IEEE Trans. On power Delivery, vol.10, N° 1,
Jan 1995, pp330-336.
[68] M. Paolone, C. A. Nucci, E. Petrache and F. Rachidi “Mitigation of lightning Induced
Overvoltage’s in Medium Voltage Distribution Lines by Means of Periodical Grounding of
Shielding Wires and of Surge Arresters: Modeling and Experimental Validation”, IEEE Trans.
On Power Delivery, Vol. 19, N° 1, Jan 2004, pp 423-431.
[69] A. Mimouni, Z. Azzouz and B. Ghemri “Lightning induced overvoltage’s on overhead lines:
Modeling and experimental validation”, Journal of Electrical Engineering, Vol. 58, N°. 3, pp.
152- 157, 2007.
[70] Z.Azzouz, B.Ghemri, A. Mimouni, A.Cherifi “Modélisation et Simulation du Couplage
du Champ Electromagnétique de Foudre avec une Ligne de Transmission-Validation
Expérimentale”, 4th International Conference on Electrical Engineering 07 - 08 November
2006, Batna.
[71] Y. Baba, V.A. Rakov “On the mechanism of attenuation of current waves propagating along a
vertical perfectly conducting wire above ground: application to lightning,” IEEE Transactions
on Electromagnetic Compatibility, Vol. 47, No. 3,2005, pp. 521-532.
[72] Y. Baba, V.A.Rakov “On the interpretation of ground reflections observed in smallscale
experiments simulating lightning strikes to towers,” IEEE Transactions on Electromagnetic
Compatibility, Vol. 47, No. 3, 2005, pp. 533-542.
[73] C. A. F. Sartori, J. R. Cardoso “An analytical-FDTD method for near LEMP calculation,”
IEEE Transactions on Magnetics, vol. 36, No. 4, 2000, pp. 1631-1634.
[74] C. Yang, B. Zhou “Calculation Methods of Electromagnetic Fields Very Close to Lightning,”
IEEE Trans. Electromagnetic Compatibility, Vol. 46, N° 1, 2004, pp 133-141.
87
Références bibliographiques
[75] A. Mimouni, Z. Azzouz, O. Harraz, B. Ghemri and A. Cherifi “Modeling and simulation of
lightning electromagnetic fields using an hybrid method for poorly conducting ground case”,
International Review of Electrical Engineering (IREE),Vol. 1, N°. 5, pp.594-602, 2006.
[77] A.Mimouni, F.Delfino, R.prococio and F.rachidi, “On computation of underground
electromagnetic field generated by lighting: A comparison between different approaches’’,
Presented in the IEEE PES power Yech’07,Lauranne ,Switzeland,1-5 july (2007)
[76] B.Ghemri, Z.Azzouz, A. Mimouni, A.Cherifi “Méthode hybride pour le calcul du champ
électromagnétique associé à un coup de foudre validation expérimentale”, 4th International
Conference on Electrical Engineering 07 - 08 November 2006, Batna.
[78]
F. Heidler, J. Wiesinger, and W. Zischank, Lightning Currents Measured at a
Telecommunication Tower from 1992 to 1998, paper presented at 14th International Zurich
Symposium on Electromagnetic Compatibility, Zurich, Switzerland, February 20 - 22, (2001).
[79] K. A. Norton, “The Propagation of Radio Waves over the Surface of the Earth and in the
Upper Atmosphere, PART I,” Proceedings of the IRE,vol. 24, pp. 1367-1387, 1936.
[80] J.R.wait “propagation effects for électromagnetique pulse transmission
[81] J. L Bermudez, F. Rachidi, W. Janischewskyj, V. Shostak, M. Rubinstein, D. Pavanello, A.
M. Hussein, J. S.Chang, C. A. Nucci, and M. Paolone (2005), Far-field - current relationship
based on the TL model for lightningreturn strokes to elevated strike objects, IEEE Transactions
on Electromagnetic Compatibility, 47, 146-159.
[82] F. Rachidi, and R. Thottappillil “Determination of lightning currents from far electromagnetic
fields”, Journal of Geophysical Research, 98 (D10), pp. 18315-18320, 1993.
[83] V.Cooray, “ Effects of propagation on the return stroke radiation fields”, Radio Science, 22,
757-768.1987.
[84]
A. shoory, F. Rachidi ,V. Cooray, R.Moini and S.H.H. sadeghi “On simplified approaches
for the evaluation of lighting electromagnetic field above a stratified ground” X international
Symposium on lighting protection 13-19 november 2009, Curitiba, brazil.
[85 ] K.Habri “etude du rayonnement électromagnétique de la foudre en présence d’un sol stratifié
Université des sciences et technologie d’Oran Mohamed Boudiaf , ETT, MG, 270.2010.
[86] V. Coory and K.L.Cumminns, “ propagation effects caused by stratified ground on
electrdmagnetique field of return strockes ” in
Intrenational Lighting Detection Conference
and 2nd International lighting Meteorology Conference Tucson,Arisona, USA,2008.
[87] J. R. Wait “The ancient and modern history of EM ground –wave propagation “antenna and
propagation magazine, IEEE,vol .40,pp.7- 24,1998.
88
Références bibliographiques
[88] J. R. Wait, “Radiation from a vertical electric dipole over a stratified ground” IRE Transaction
on Antenna and Propagation, Vol 1, pp.9-11,1953.
[89] V. Cooray “U underground electromagnetic field generated by return strokes of lighting
flashes ”IEEE Transactions on Electromagnetic compatibility ,44(1),pp .75-84,2001.
[90] A. shoory, A.Mimouni,F. Rachidi ,V. Cooray, R.Moini and S.H.H. sadeghi “Validity of
Simplified approaches for the evaluation of electromagnetic field above a horizontally stratified
ground “, accepted in the IEEE Transaction on, November 2009.
[91] Z. Azzouz , A. Mimouni , Z. Azzouz , K. Habri “Calcul du Champ Electromagnétique
Rayonné par La Foudre en Présence d’un Sol Stratifié ” Conférence Nationale sur la
Compatibilité électromagnétique , Tiaret, 22-24 novembre 2009.
[92] V. Cooray, “The Lightning Flash” , IEE, 2003.
[93] J.R. Wait and J. Householder, “Mixed-path ground wave propagation: 2.Larger distances,”
Journal of Research NBS, vol. 59, pp. 19-26, 1957.
[94] J. Wait and L. Walters “Curves for ground wave propagation over mixed land and sea paths”
Antennas and Propagation, IEEE Transactions on, vol. 11, pp. 38-45, 1963.
[95] J. R. Wait “On the theory of mixed-path ground-wave propagation on a spherical earth”
Journal of Research NBS, vol. 65D, pp. 401- 410, July-August 1961.
[96]
J. R. Wait “Recent analytical investigations of electromagnetic ground wave propagation over
inhomogeneous earth models ”Proceedings of the IEEE, vol. 62, pp. 1061-1072, 1974.
[97] D. A. Hill and J. R. Wait “HF Ground Wave Propagation over Mixed Land, Sea, And Sea-Ice
Paths ”Geoscience and Remote Sensing,IEEE Transactions on,vol. GE-19, pp.210-216, 1981.
[98] A. Taflove “ Computational electromagnetic, the finite difference time domain Method”,
Artech House, Norwood, MA, 1995.
[99] Ge Debiao and Yah Yubo “Electromagnetic wave Finite Difference Time Domain Method”,
Xi’an, Xidian University press, pp. 8-101, 2002.
[100] G. Mur, “Absorbing boundary conditions for the finite difference approximation of the time
domain electromagnetic field equations,” IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility,
Vol. 23, N°. 4, 1981, pp. 377-382.
[101] E . F. Vance, “Coupling to shielded cables,” Wiley Interscience, 1978.
89
Références bibliographiques
[102] C. Yang, B. Zhou “Calculation Methods of Electromagnetic Fields Very Close to Lightning,”
IEEE Trans. Electromagnetic Compatibility, Vol. 46, N° 1, 2004, pp 133-141.
[103] J.P.Bérenger, “ A perfect matched layer for the absorption of electromagnetic waves ”
,J.Comput. phys.,vol.133,pp.113-128,1994.
[104] S. Guerrieri, F. Heidler, C. A. Nucci, F. Rachidi, and M. Rubinstein, Extension of two
return stroke Models to consider the influence of elevated strike objects on the lightning return
stroke current and the radiated electromagnetic field: comparison with experimental results,
[105] V. A. Rakov, Lightning return stroke speed: A review of experimental data presented at the
27th ICLP (International Conference on Lightning Protection), Soc.De l’Electr., de l’Electron.,
et des Technol. De l’Inf. Et de la Commun., Avignon, France,
[106] F. Rachidi, “Modeling Lightning Return Strokes to Tall Structures: A Review,” Journal Of
Lightning Research, Vol. 1, pp 16-31, 2007.
[107] Abdelilah MEJDOUBI “ Étude par simulation numérique des propriétés diélectriques
d’hétérostructures multiphasiques contenant des inclusions de forme arbitraire ” Thèse de
Doctorat d’Université de Bretagne Occidentale. juin 2007.
[108] Francis DENANOT “ Techniques de sous-maillage dans la méthode FDTD, apports de
l’approche variationnelle ” Thèse de Doctorat d’Université d limoges école doctorale Science
– Technologie – Santé Thèse n° 2006.
[109] Belkhir Abdrahmane “ Extension de la modélisation par FDTD en nano-optique ” thèse de
Doctorat Université de Franche –Comté.2008.
[110] Laura PEBERNET “ Etude d'un modèle Particle-In-Cell dans une approximation Galerkin
Discontinue pour les équations de Maxwell-Vlasov.Recherche d'une solution hybride non
conforme efficace” Thèse de Doctorat d’Université de Toulouse novembre 2010.
[111] S.Daniel Katz , Eric T.Thiele and Allen taflove “ validation and Extention to three
dimensions of the berenger PML Absorbing boundary condition for FDTD meshes” , IEEE
Microwave and guided wave letters,vol.4,n° II, august 1994.
[112] G. Bauchet “ Etude théorique et validation expérimentale de l'analyse électromagnétique
d'un radar destiné au sondage du sous-sol martien”, Thèse de Doctorat d’Université d limoges
école doctorale Science – Technologie–Santé2004.
[113] E. A. Jacobson and E. P. Krider, “Electrostatic field changes produced by Florida lightning,”
J. Athmos. Sci., 33, pp. 103-107, 1976.
90
Références bibliographiques
[114] Y. Baba, and V. A. Rakov, Lightning electromagnetic environment in the presence of a tall
grounded strike object, J. Geophys. Res. 110 (D09108) (2005).
[115]D. Pavanello, F. Rachidi, M. Rubinstein, N. Theethayi, and R. Thottappillil, Electromagnetic
environment in the immediate vicinity of a tower struck bylightning, paper presented at
EUROEM’2004, Magdeburg, Germany, (2004).
[116] Mosaddeghi A., D. Pavanello, F. Rachidi, M. Rubinstein, On the Inversion of Polarity of the
Electric Field at Very Close Range from a Tower Struck by Lightning, Submitted to the Journal
of Geophysical Research, 2007.
[117] Y. Baba, and V. A. Rakov, On the use of lumped sources in lightning return stroke
models, J. Geophys. Res. 110 (D03101) (2005).
[118] W. Janischewskyj, A. M. Hussein, and V. Shostak, “Propagation of lightning current
within the CN Tower,” paper presented at CIGRE Study Committee 33 Colloquium,
Toronto, Canada (1997).
[119] G. Diendorfer, W. Hadrian, F. Hofbauer, M. Mair, and W. Schulz, Evaluation of lightning
location data employing measurements of direct strikes to a radio tower, Session 2002 CIGRE,
Paris, France (2002).
[120] E. Petrache, F. Rachidi, D. Pavanello, W. Janischewskyj, A. M. Hussein, M.
Rubinstein,V. Shostak, W. A. Chisholm, and J. S. Chang, "Lightning Strikes to Elevated
Structures: Influence of Grounding Conditions on Currents and Electromagnetic Fields,"
presented at IEEE International Symposium on Electromagnetic Compatibility, Chicago, 2005.
[121] F.Fuchs ,”On transient behavior of the telecommunication tower at the mountain Hoher
Peissenberg” , in 24th ICLP(International Conference on Lingtning Protection),pp.3641,Birmingham,UK.,1998
91
‫ص‬
!‫د‬
‫ق أرض ط‬
‫و‬
‫ل‬
‫ا‬
‫ج‬$ ‫ د‬%‫و & و‬
‫ا‬
‫ط‬
‫رو‬
‫ل‬
‫با‬
‫ د‬+‫ و و‬#'‫ "! و أرض ط‬#$ % $ &' ( ‫ا‬
‫عا و ط‬
‫ودرا ا‬
‫ھدف ھذه ا ط و ھ‬
‫ د ﺑ ج‬+‫( د" و و‬$ #'‫ و ق أرض ط‬53 !‫ ﺑ‬#$ 6 ‫ ا‬/' ‫ ﺑ‬01( ‫ا‬
‫و ط‬
‫ ا‬2#3 ‫ ا‬/ .‫ ل‬$ ‫ﺑ ج‬
‫ ھ@ا ا ? ة‬. #$ 69 > ‫! ر ا ﺑ‬9 ; ( ‫ ا < ; و ا‬0"‫ا ! ز‬
#' /9:!"
‫ ا و ط‬2#3 ‫ د ا‬7"‫ إ‬.‫ ل‬$
"Modèle d’ingénieur I$J" ‫ل ;( ذج‬H?
#$ 6 ‫ ة أ‬F 2C ‫ د أ‬+ ( ‫ ه ا‬E ‫ ﺑ‬B' "
‫ ة‬# ‫ ا‬2C ‫ د أ‬+ ( ‫ ا ! ر ا ﺑ > ا‬L @M‫ و‬#$ 6 ‫ ة ا‬F '$ ‫ ;( ذج ا ! ر ا ﺑ > ا ( زع‬K 6‫( ﺑ‬F "‫ا‬J' ‫ا‬
2 1‫ ﺑ‬#'‫ د ْارض ط‬+‫و‬
#$ 69
‫و ط‬
‫عا‬
‫ ا‬2 &(!‫ اھ!(( ﺑ‬L ‫ ذ‬J ‫ﺑ‬. ( HM 2 &( N ‫ ة‬# ‫ا‬
" FDTD"
(F ‫ ا‬#" : ‫ ا‬I9$ J(! " ‫ب‬
R ; ‫اد ﺑ‬J$‫ إ‬/9:! ‫را‬J ‫ھ@ه ا‬.‫ ل‬$ ‫ د ﺑ ج‬+‫ و‬0 L @M‫( دي و‬$
7> !; ;‫ ر‬#(‫( ﺑ‬F ‫( @ا‬S ‫اده‬J$‫ ا @ي إ‬2( ‫" ھ@ا ا‬FDTD " R ; ' ‫ ا‬3% ‫' ت‬NU‫ ﺑ‬9 !" ‫دة‬J3( ‫اف ا‬J‫أول ا ھ‬
. #‫ ﺑ‬0+‫? ذة ا ( ا‬W '" 7 R> !; ‫ل‬H?
!3% JMW! ‫ و ا‬9$ 263!( ‫ا‬
3 ‫ ا‬I9$ "‫ ا رض ا ( د‬#'‫ ط‬NW ‫ درا‬5( L ‫ ذ‬J ‫ ﺑ‬.R> ! ‫ ﺑ ا‬J + ‫ ا‬5!'N‫ ر; أ‬#( ‫ھ@ه ا‬
. "J$ ‫ ا‬#$ 6 ‫ ا‬/' ‫ ﺑ‬01( ‫ا‬
‫ ا و ط‬2#3 ‫ ت ا‬+ ‫ إ ل‬I9$‫ ل و‬$ ‫ د ﺑ ج‬+‫ و‬0
‫و ط‬
‫ا‬
. '" 7 ! F‫ا‬J6
#3! ‫ا‬
! ‫ان وا‬J ( ‫ رة ھ@ا ا‬1 ( ‫ ا‬L9 $J
‫ إ‬9% !( ‫ ا‬R> ! ‫ا‬
ْ
‫( دي‬$ 2 1‫ ﺑ‬#'‫ ارض ط‬NW ‫@اك‬M‫ و‬#$ % $ &' ( ‫ا‬
‫ ا و ط‬2#3 ‫ ر ل درا ا‬3( 2( ‫ھ@ا ا‬
‫ ا و ط‬2#3 ‫ ا‬Z> 6?
2 ‫ة‬J"J+ % $
I ‫ ل إ‬%‫را ھ و‬J ‫ف ھ@ه ا‬J‫ ھ‬.‫ ل‬$ ‫ د ﺑ ج‬+‫و‬
.‫ ل‬$ ‫ ﺑ ج‬% $ R> ! ‫ا‬
Résumé
L’objectif de ce travail réside dans l’étude et la détermination du champ électromagnétique
rayonné par foudre pour un sol stratifié verticalement et en présence d’un tour. Le calcul du
champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre est effectué au niveau du sol. Cette
caractérisation nécessite au préalable la connaissance de la distribution spatio-temporelle du
courant d’arc en retour, ce dernier est lié au courant à la base de la tour et du canal de foudre à
travers les modèles d’ingénieur. Nous avons, dans un premier temps, abordé la modélisation
du courant associé à la phase d’arc en retour ainsi que celle du courant au sol. Des simulations
de ces deux courants ont été ensuite effectuées, sur la base de modèles appartenant à la famille
des modèles d’ingénieur.
La suite du travail a été consacrée à la simulation du rayonnement électromagnétique par
foudre en présence d’un sol stratifié verticalement en présence d’une tour à l’aide d’une
méthode numérique intéressante à savoir la méthode FDTD. Le premier objectif fixé a été de
valider les résultats de simulation en les comparants avec ceux de la littérature spécialisée
basés sur d’autres approches. Nous nous sommes intéressés ensuite à l’étude de l’influence de la
stratification verticale du sol sur les formes d’ondes du champ électromagnétique associé au
coup de foudre.