ﺔﻴﺒﻌﺸﻟا ﺔﻴﻃاﺮﻘﳝ ا ﺔﻳﺮ اﺰﳉا ﺔﻳرﻮﻬﶺا

‫اﶺﻬﻮرﻳﺔ اﳉﺰا ﺮﻳﺔ ا ﳝﻘﺮاﻃﻴﺔ اﻟﺸﻌﺒﻴﺔ‬
‫وزارة اﻟﺘﻌﻠﲓ اﻟﻌﺎﱄ و اﻟﺒﺤﺚ اﻟﻌﻠﻤﻲ‬
‫ﻠﻌﻠﻮم و اﻟﺘﻜ)ﻮﻟﻮﺟ'ﺎ ﶊﺪ ﺑﻮﺿﻴﺎف‬, ‫ﺎﻣﻌﺔ وﻫﺮان‬0
Présentée par : ARZAG Kaddour
Intitulé
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre à l’aide
de la méthode FDTD en trois dimensions
Faculté
:Génie
Electrique
Département
:Electrotechnique
Spécialité
:Electrotechnique
Option
:Compatibilité Electromagnétique
Devant le Jury Composé de :
Membres de Jury
Grade
Qualité
Domiciliation
BOUTIBA Tahar
Professeur
Président
USTO-MB
AZZOUZ Zin-eddine
Professeur
Encadreur
USTO-MB
FLAZI Samir
Professeur
Examinateur
USTO-MB
MIMOUNI Abdenbi
Professeur
Examinateur
Univ. Tiaret
MAHI Djillali
Professeur
Examinateur
Univ. Laghouat
BENDAOUD Abdelber
Professeur
Examinateur
Univ. Sidi Bel Abbes
Année Universitaire : 2016/2017
Remerciements
Ce travail a été effectué au sein de l’équipe de compatibilité électromagnétique au
laboratoire de développement et d’entraînement électrique (LDEE) de l’Université des
Sciences et de Technologie « Mohamed Boudhiaf » d’Oran (USTO « MB »), sous la direction
du Professeur Zin-Eddine AZZOUZ. Je tiens à exprimer toutes mes sincères remerciements
et mes reconnaissances à son égard pour sa confiance en m’accueillant dans son équipe, et
de m’a donné la possibilité de mener ce travail dans des excellentes conditions. Comme je le
remercie vivement pour sa patience, ces conseils, ces grandes qualités scientifiques et
humaines et son professionnalisme qui m’ont aidé et guidé tout le long de ce travail.
J’adresse mes sincères remerciements et reconnaissances au Professeur Yoshihiro
BABA de l’Université Doshisha de Kyoto-Japon, pour son étroite collaboration durant mes
séjours au laboratoire d’analyse des réseaux électriques « PSAL » et pour l’occasion qu’il
m’a donné pour profiter de ces vastes compétences scientifiques, et aussi pour ces conseils et
commentaires utiles.
Mes sincères remerciements s’adressent au Professeur Akihiro AMETANI, Responsable
du laboratoire d’analyse des réseaux électriques « PSAL » à l’Université Doshisha, qui a eu
la gentillesse de m’envoyer une lettre d’accueil, ce qui m’a facilité l’obtention des stages en
Japon afin de finaliser ma thèse de Doctorat. Je profite cette occasion pour remercier aussi le
Prof. Naoto Nagaoka et le Dr. T. H. Thang pour leurs collaborations.
J’exprime ma reconnaissance au Professeur S. FLAZI de l’Université des Sciences et de
la Technologie d’Oran pour l’honneur qu’il m’a fait en présidant le jury de soutenance, qu’il
trouve ici l’expression de mes remerciements les plus vifs.
Ces remerciements et reconnaissances s’adressent également au Professeur T. BOUTIBA
de l’Université des Sciences et de la Technologie d’Oran qui a bien voulu juger mon ce
travail, que je lui présente ma profonde gratitude.
Je remercie très sincèrement le Professeur A. MIMOUNI de l’Université de Tiaret, pour
avoir accepté d’être membre de jury et d’examiner mon travail de la présente thèse. Qu’il
veuille bien être assuré de ma profonde gratitude et ma grande reconnaissance.
i
J’adresse mes remerciements au Professeur D. MAHI de l’Université de l’Aghouat,
pour l’intérêt qu’il manifesté en honorant le jury de sa présence et en acceptant d’être l’un
des examinateurs. Je lui suis très reconnaissant et je lui présente ma profonde gratitude.
Mes remerciements s’adressent également au Professeur A. BENDAOUD de
l’Université de Sidi Bel Abbes, pour avoir accepté de participer au jury de ma thèse et
d’examiner mon travail. Je lui prie de trouver ici ma grande reconnaissance et ma grande
gratitude.
Je n’oublierais pas d’adresser mes remerciements à mes collègues et amis de Saida, de
l’USTO d’Oran et de l’Université Doshisha avec lesquels ce fut toujours agréable de
travailler.
Je ne terminerais pas sans associer à mes remerciements toute ma famille pour leur
soutien tacite, amicale et morale.
ii
Résumé
L’objectif de cette thèse est le développement d’un code de calcul du champ EM rayonné par
un coup de foudre, basé sur la méthode des différences finies dans le domaine temporel en
trois dimensions 3D-FDTD. Ainsi, pour atteindre cet objectif, nous avons commencé par le
traitement des aspects théoriques liés au phénomène de foudre pour aborder ensuite la
modélisation du courant de foudre à travers une description détaillée des modèles du courant
de foudre notamment les modèles EM et les modèles de type Ingénieurs ; modèles qui ont été
mis en œuvre dans la suite du travail. Nous avons par la suite dressé un état de l’art sur les
différentes méthodes de calcul du champ EM rayonné par la foudre notamment la méthode
FDTD-3D, mise en œuvre dans le cadre de ce travail. La dernière partie de ce travail a été
consacrée à l’étude de la faisabilité d’une nouvelle approche de calcul du champ EM basée
sur la méthode FDTD-3D reposant sur la formulation de Taflove et l’utilisation des conditions
aux limites de type UPML. Un code de calcul tridimensionnel, sous environnement Matlab, a
été développé à cet effet et validé par comparaison des résultats de simulation avec des
résultats expérimentaux issus de la littérature. Nous nous sommes intéressés, ensuite, à l’étude
de l’influence de la nature du sol (sol monocouche de conductivité finie et infinie et sol
stratifié de conductivité finie) sur les formes d’ondes et les amplitudes du champ EM rayonné.
L’efficacité des modèles EM et d’ingénieurs a été aussi testée lors de cette étude. Des
conclusions intéressantes ont été tirées à la fin de ce travail relatives au calcul du champ EM
rayonné à l’aide de l’approche proposée.
iii
Table des matières
1
Introduction générale
Chapitre I : Phénoménologie et caractéristiques de la Foudre
I.1 Introduction
4
I.2 Phénoménologie
I.2.1 Formation des nuages-activité orageuse
I.3 Répartition des charges à l’intérieur d’un nuage-électrisation du nuage
I.4 L’effet de pointe
I.5 Coups de foudre
I.5.1 Les différents types de coups de foudre
I.5.2 Décharge nuage-sol
4
5
7
8
8
9
I.5.3 Déclenchement artificiel de la foudre
13
I.5.4 Allures expérimentales des courants de foudres et des champs
électromagnétiques associés
16
I.5.5 Ondes de foudre normalisées pour les tests d’équipements
I.5.6 Effets de la foudre sur les lignes aériennes
I.5.6.1 Taux de surtensions dues aux coups de foudre
a Surtensions due à un coup de foudre direct
b Surtensions dues à un coup de foudre indirect (surtensions
induites)
c Nombre de coups de foudre directs
d Nombre de surtensions induites par la foudre
I.5.6.2 Amplitudes et formes des surtensions dues à un coup de foudre
direct
a Ligne MT
b Ligne BT
I.5.6.3 Amplitudes et formes des surtensions induites par un coup de
foudre indirect
a Ligne MT
b Ligne BT
I.6 Conclusion
28
29
29
30
30
30
31
32
32
33
33
33
35
36
Chapitre II : Modélisation du courant de foudre
II.1 Introduction
II.2 Modélisation du courant à la base du canal de foudre
II.2.1 Modèle bi-exponentiel
II.2.2 Modèle d’Heidler
II.2.3 Modèle hybride (Heidler- bi-exponentiel)
II.3 Modèles du courant de l’arc en retour
II.3.1 Modèles d’ingénieurs
II.3.1.1 Modèle de Bruce et Golde (BG) (1941)
II.3.1.2 Modèle de la ligne de transmission (TL)
II.3.1.3 Modèle de la ligne de transmission modifié (MTL)
iv
37
37
37
39
42
43
44
44
46
48
a Modèle de la ligne de transmission modifiée avec
décroissance linéaire (MTLL)
b Modèle de la ligne de transmission modifiée avec
décroissance exponentielle (MTLE)
II.3.1.4 Modèle de la source de courant mobile (TCS : « Traveling
Curent Source »)
II.3.1.5 Modèle de Diendorfer et Uman (DU) (1990)
II.3.1.6 Généralisation des modèles d’ingénieur
II.3.2 Les modèles électromagnétiques
II.3.2.1 Première représentation : Fil parfaitement conducteur ou résistif placé
dans l’air au dessus du sol
II.3.2.2 Deuxième représentation: Fil chargé par des inductances additionnelles
montées en série dans l’air au dessus du sol
II.3.2.3 Troisième représentation: Fil entouré par un milieu diélectrique (autre
que l’air) occupant le demi-espace de travail au dessus du sol
II.3.2.4 Quatrième représentation: Fil enveloppé par un matériau diélectrique
(sous la forme d’un cylindre ou d’un parallélépipède) et placé dans l’air au dessus
du sol
II.3.2.5 Cinquième représentation : Fil enveloppé par un matériau de
permittivité et perméabilité relatives égales et supérieures à celles de l’air.
II.3.2.6 Sixième représentation: Deux fils parallèles shuntés entre eux par des
capacités additionnelles et distribués le long du canal de foudre
II.4 Conclusion
48
48
50
51
52
52
54
55
56
57
57
58
59
Chapitre III : Etat de l’art sur les différentes méthodes de calcul du champ
électromagnétique rayonné par un coup de foudre
III.1 Introduction
III.2 Géométrie du problème
III.3 Equation général d’un champ électromagnétique rayonné par la foudre
III.3.1 Champ électromagnétique au dessus du sol
III.3.1.1 Cas d’un sol parfaitement conducteur
III.3.1.2 Prise en compte de la conductivité finie du sol
III.3.2 Champ électromagnétique en dessous du sol
III.3.2.1 Formules de Cooray
III.3.2.2 Algorithme de Dalfino et al.
III.3.3 Cas d’un sol stratifié
III.3.3.1 Algorithme de Dalfino et al.
III.3.3.2 L’approche simplifiée de Shoory et al.
III.4 La méthode des différences finies dans le domaine temporel (FDTD)
III.4.1 Les équations de Maxwell en trois dimensions
III.4.2 3D-FDTD en coordonnés cartésiennes
III.4.3 2D-FDTD en coordonnés cylindriques
III.4.4 Critère de stabilité de la méthode FDTD
III.4.5 Conditions aux limites
III.4.5.1 Conditions aux limites parfaitement conductrices (PEC)
III.4.5.2 Conditions aux limites absorbantes
a) Les conditions aux limites de Liao
b) Conditions aux limites PML (″ Percfectly Matched Layer″)
v
60
60
61
61
62
63
64
65
66
67
68
70
71
72
74
79
82
83
83
84
84
de Brenger
c) Conditions aux limites UPML (″Uniaxial Percfectly
Matched Layer″) de Taflove
III.4.6 Représentation des sources localisées et des éléments de circuit
localisés
III.4.6.1 Les sources de tension localisées
III.4.6.2 Les sources de courant localisées
III.4.6.3 La résistance localisée (″ Lumped resistance″)
III.4.6.4 L’inductance localisée (″ Lumped inductance″)
III.4.6.5 La capacité localisée (″ Lumped capacitance″)
III.4.7 Représentation du fil mince dans la technique FDTD
III.5 Conclusion
86
88
90
90
91
93
94
95
96
99
Chapitre IV : Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de
foudre par la méthode FDTD
IV.1 Introduction
IV.2 Calcul du champ EM rayonné par un coup de foudre par la méthode FDTD-3D
basé sur les modèles de courant de type électromagnétique
IV.2.1 Validation de l’approche de calcul proposée et du code de calcul
développé
IV.2.2 Synthèse sur l’utilisation des milieux artificiels dans les modèles EM
IV.2.3 Calcul de la distribution spatiotemporelle du courant de foudre et du
champ EM associé à l’aide de la FDTD-3D et des modèles EM pour
différentes configurations du sol
IV.2.3.1 Sol monocouche supposé parfaitement conducteur
IV.2.3.2 Cas d’un sol monocouche de conductivité finie-Comparaison
des résultats avec ceux du sol monocouche parfaitement
conducteur
IV.2.3.3 Cas d’un sol stratifié (multi- couches) de conductivité finie
IV.3 Méthodologie de Calcul du champ EM rayonné à l’aide de la méthode FDTD3D, basée sur les modèles de courant de type Ingénieurs
IV.3.1 Cas d’un sol monocouche parfaitement conducteur
IV.3.1.1 Calcul 3D basé sur le modèle TL-validation avec l’approche
analytique
IV.3.1.2 Calcul 3D basé sur les modèles d’Ingénieurs de type MTLL et
MTLE
IV.3.2 Cas d’un sol monocouche de conductivité finie
IV.3.3 Cas d’un sol stratifié à plusieurs couches de conductivités finies
IV.4 Analyse des résultats obtenus avec les deux types de modèles de courant
d’arc en retour (Modèles d’Ingénieurs et modèles électromagnétiques)Discussion
IV.5 Comparaison entre les résultats obtenus à l’aide de formulations FDTD-3D
basées sur l’emploi de conditions aux limites de type PEC et de type UMPL
IV-6 Conclusion
100
101
101
112
117
117
120
127
133
133
133
136
138
144
149
151
154
156
Conclusion générale
158
Références Bibliographiques
vi
Introduction Générale
Introduction générale
Introduction générale
Depuis de nombreuses années, la prise en compte des critères de compatibilité
électromagnétique (CEM) constitue une étape essentielle dans la conception des systèmes
électriques et/ou électroniques. Ceci est dû principalement à l'utilisation croissante des
dispositifs électroniques fonctionnant à des niveaux de puissance et de courant de plus en plus
faibles, ce qui les rend de plus en plus susceptibles aux perturbations d’origine
électromagnétique (EM).
La foudre qui est un phénomène naturel et imprévisible constitue une source de perturbations
EM importante. Ses actions indirectes, impliquant la création d’un champ EM perturbateur
rayonné dans l’atmosphère, constituent un danger réel pour les ouvrages et les lignes
constituant le réseau électrique et le réseau de télécommunication. Ainsi, devant la complexité
croissante des réseaux électriques, il a été indispensable pour les exploitants de ces réseaux
d’installer un grand nombre de dispositifs de contrôle-commande à base d’électronique. Ces
dispositifs sensibles, ayant pour rôle le télé-pilotage des réseaux électriques, sont très
vulnérables et souvent affectés par les champs EM perturbateurs présents dans
l’environnement du réseau électrique. Ces perturbations qui apparaissent au niveau de
dispositifs de contrôle-commande des réseaux électriques provoquent des modifications
néfastes des ordres de décision conduisant à un dysfonctionnement ou arrêt total du réseau
électrique (incident généralisé). Devant cette situation critique, il est alors impératif de
réaliser des investigations basées sur les mesures expérimentales et des calculs afin de
déterminer avec une précision acceptable ces champs EM perturbateurs et de quantifier leurs
effets sur les différents systèmes. Ceci permettra de définir une protection correcte et efficace
contre les effets de ces perturbations EM et en particulier celles générées par la foudre.
Aussi, la stratégie souvent adoptée dans les étudiés liées au rayonnement de la foudre repose
sur le volet expérimental et sur la mise en œuvre de méthodes puissantes de calcul du champ
EM rayonné. En effet, le recours à des outils numériques pour l’analyse de tels problèmes a
pris une grande place dans les travaux des laboratoires de recherche au niveau international.
Ainsi, le laboratoire de développement des entrainements électriques (LDEE) de l’USTO, à
travers son équipe ″CEM″ travaille sur cette thématique depuis plus de vingt années.
Différentes méthodes de calcul, en deux dimensions, du champ EM rayonné par la foudre ont
été testées au sein de cette équipe avec des modèles du courant de foudre appartenant à la
famille des modèles d’Ingénieurs; modèles faciles dans leur mise en œuvre mais ne
-1-
Introduction générale
représentant pas la réalité physique du phénomène de foudre. Aussi ; dans le cadre de ce
travail nous sommes fixés comme objectif principal de calculer le champ EM rayonné par un
coup de foudre, à une distance très proche du canal de foudre, à l’aide de la méthode
numérique des différences finies en trois dimensions (FDTD-3D). Ce calcul repose sur la
mise en œuvre d’une nouvelle approche basée sur la formulation de Taflove et l’utilisation
des conditions aux limites de type UPML. La nouveauté dans ce calcul réside aussi dans la
mise en œuvre de modèles de courant de foudre de type EM, plus proches de la physique du
phénomène de foudre. Un code de calcul basé sur cette approche sera développé sous
environnement Matlab et complétera le code général développé au sein de l’équipe CEM.
Les résultats obtenus par simulation seront validés par des résultats expérimentaux tirés de la
littérature. L’efficacité des modèles EM, par rapport aux modèles d’Ingénieurs, ainsi que
l’effet de la stratification du sol seront également examinés dans ce travail.
Le mémoire est subdivisé en quatre chapitres. Le premier chapitre présente une description
succincte de la phénoménologie de la foudre, avec une attention particulière sur la phase d’arc
en retour, des informations concernant le déclenchement artificiel de la foudre et les allures
des courants de foudre et des champs électromagnétiques associés mesurés ainsi qu’une
présentation des effets directs et indirects de la foudre.
Dans le chapitre II, nous abordons la représentation analytique du courant à la base du canal
de foudre ainsi que les différentes classes des modèles désignés pour l’étude de la distribution
spatiotemporelle du courant d’arc en retour. Une attention spéciale sera réservée aux modèles
dits « d’ingénieurs » ainsi qu’aux modèles électromagnétiques.
Un état de l’art sur les différentes méthodes de calcul du champ EM rayonné par un coup de
foudre fait l’objet du troisième chapitre. Nus présentons en premier lieu dans ce chapitre les
méthodes utilisées pour calculer les composantes du champ EM au dessus s’un sol
parfaitement conducteur, puis les méthodes consacrés au calcul du champ EM au dessus et en
dessous d’un sol monocouche avec conductivité finie. On examinera ensuite la méthodologie
de calcul de ce champ dans le cas d’un sol stratifié horizontalement. Une description du
principe de la méthode FDTD-3D sera présentée à la fin de ce même chapitre.
-2-
Introduction générale
Dans le chapitre IV, nous abordons la mise en œuvre des modèles EM et des modèles
d’Ingénieurs représentant le courant d’arc en retour. L’effet de la conductivité du sol sur les
composantes du champ EM sera également examiné dans ce chapitre.
Le mémoire de thèse s’achève par une conclusion générale où nous indiquons quelques
perspectives relatives à ce travail.
-3-
Chapitre I
Phénoménologie et Caractéristiques
de la Foudre
Chapitre I
Phénoménologie et caractéristiques de la Foudre
I.1 Introduction
La foudre est, depuis Benjamin Franklin (1749) un phénomène largement étudié. Ce
phénomène naturel possède des effets spectaculaires et destructeurs. La foudre est définie
comme une décharge électrique, provenant d’un nuage orageux, associée à une impulsion de
courant transitoire de très forte amplitude.
D’après des statistiques françaises, deux millions de coups de foudre causent chaque année la
mort de quarante (40) personnes, de vingt mille (20 000) animaux, quinze mille (15 000
incendies), cinquante mille (50000) coupures sur les réseaux électriques et téléphoniques ainsi
que la destruction de nombreux transformateurs et de milliers d'appareils électroménagers. Le
coût total par an des effets de la foudre est estimé à près de cent cinquante millions (150)
d’euros.
Dans ce qui suit, nous allons aborder la phénoménologie de la foudre notamment sa naissance
puis présenter le principe de déclenchement artificiel de la foudre qui permet l’obtention de
données de mesures expérimentales nécessaires à la caractérisation de ce phénomène. Nous
présentons ensuite quelques résultats expérimentaux obtenus à l’issue d’enregistrements de la
foudre naturelle notamment les allures des courants de foudre et des composantes des champs
électromagnétiques associées. Nous terminons ensuite ce chapitre par une présentation des
effets directs et indirects de la foudre sur les lignes aériennes d’énergie électrique afin de
mettre en évidence le danger d’un tel phénomène sur le fonctionnement et l’exploitation du
réseau d’alimentation en énergie électrique.
I.2 Phénoménologie
I.2.1 Formation des nuages-activité orageuse
De la rencontre entre un flux d’air froid descendant et un flux d’air chaud ascendant venant
du sol, résulte la formation des nuages orageux (figure I-1).
-4-
Chapitre I
Phénoménologie et caractéristiques de la Foudre
Fig. I-1: Représentation des flux d'air entrainant un épisode orageux [8]
A l’origine les nuages orageux sont des cumulus. A ce stade, un courant ascendant, d’air
chaud prédomine au sein du nuage. Ce courant vertical atteint habituellement sa vitesse
maximale dans la partie supérieure (de l’ordre de 25m/s). Durant son ascension, l’eau
contenue dans le courant d’air chaud se condense au contact de l’air ambiant plus froid et
provoque la création de gouttes d’eau et de glace, dans la partie haute du nuage, ainsi qu’un
courant descendant constitué d’air froid. On parle alors de cumulonimbus. Ce type de nuage
est facilement reconnaissable grâce à sa forme en enclume provoquée par la rencontre entre le
courant ascendant et les couches hautes de l’atmosphère [1].
I.3 Répartition des charges à l’intérieur d’un nuage-électrisation du nuage
Le processus par lequel les nuages d’orage acquièrent une charge n'est pas complètement bien
compris. A l’heure actuelle, Il existe deux théories fondamentales qui expliquent la répartition
des charges électriques au sein d’un nuage :
D’une part, la théorie de la convection qui considère que les ions libres dans l'atmosphère sont
captés par les gouttelettes contenues dans le nuage. Les gouttelettes ainsi chargées sont
ensuite transportées par les courants convectifs dans le nuage, produisant ainsi des zones de
charges.
-5-
Chapitre I
Phénoménologie et caractéristiques de la Foudre
D’autre part, la théorie de gravitation, qui repose sur l’hypothèse que les particules
par
chargées
négativement sont plus lourdes que les particules chargées positivement. Dans ce cas, la
séparation entre les charges négatives est
e positives se fait par gravité.
Fig. I-2 : Séparation
éparation de charges
charge à l’intérieur d’un nuage orageux
ux [1,2
[1 ,3,4,5].
Néanmoins, aucune de ces deux théories ne permet d’obtenir une bonne corrélation avec les
observations effectuées sur le terrain ou en laboratoire. Cependant, la majorité du monde
scientifique s'accorde aujourd'hui sur le fait que le haut du nuage est chargé positivement et
que le bas du nuage se compose de particules négatives mais peut aussi contenir des poches
de particules positives, comme le montre la Figure I-2.
I
Que le nuagee soit charge positivement ou négativement,
né
l’accumulation
cumulation des charges à sa base
est assez importante pour créer une différence
différence de potentiel pouvant atteindre plusieurs
kilovolts. Cette différencee de potentiel engendre de manière
manière locale un champ électrique
pouvant aller de 10 à 50 kV/cm. Or pour pouvoir observer une décharge électrique, le champ
électrique doit dépasser
passer la valeur critique du champ de rupture de l’air estimé
stimée à 30 kV/cm.
-6-
Chapitre I
Phénoménologie et caractéristiques de la Foudre
Il faut noter, cependant, que le champ électrique peut devenir beaucoup plus intense à cause
des aspérités du terrain, arbres, sommets montagneux, constructions, qui sont le siège d’effets
de pointe ou de couronne.
I.4 L’effet de pointe
L’effet de pointe peut être mis en évidence de manière simple comme indiqué sur les figures
I-3 et I-4. La Figure I-3, présente un claquage dans l’air entre deux sphères de même
diamètre, on peut alors noter que le claquage s’effectue sur la plus courte distance séparant les
deux boules. Dans le cas de la Figure I-4, représentant un phénomène de claquage entre deux
pointes, on constate que le claquage se produit entre les deux pointes et ce malgré que la
distance est plus grande [1].
Fig. I-3:Claquage dans l'air entre deux sphères [1]
Fig. I-4:Claquage dans l'air entre deux pointes [1]
De manière générale, le potentiel électrique V, et le champ électrique en son voisinage E, d’un
conducteur de charge Q et de rayon de courbure R sont donnés selon le théorème de Gauss par
les équations I-1 et I-2 :
=
1
4
I-1
-7-
Chapitre I
=
Phénoménologie et caractéristiques de la Foudre
1
4
I-2
Si on considère l’exemple de deux conducteurs soumis au même potentiel électrique V mais
possédant un rayon de courbure R1 et R2 différent. On obtient les valeurs de champs E1 et E2
suivantes:
=
1
4
et
=
1
4
I-3
I-4
=
Ainsi, entre un objet possédant un rayon de courbure R1= 10 cm et un autre de rayon
R2 = 1
mm soumis au même potentiel, il existera un rapport 100 (E2=100 E1) entre les champs
électriques développés en leurs voisinages. Cela explique pourquoi la foudre tombe
préférentiellement sur les objets pointus (à faible rayon de courbure), puisqu’en leur voisinage
le champ électrique dépasse le champ de rupture diélectrique de l’air.
De plus, si les pointes sont portées à un potentiel important, le champ électrique peut entrainer
l’ionisation de l’air environnant, accompagné de crépitements et d’effluves lumineux bleutés :
c’est l’effet de couronne.
Lorsque la valeur du champ électrique dépasse la valeur critique de rupture diélectrique, la
décharge se produit selon un mécanisme complexe, c’est le coup de foudre.
I.5 Coups de foudre
I.5.1 Les différents types de coups de foudre
La foudre est la manifestation lumineuse de la décharge électrique entre le sol et le nuage. Au
niveau du sol l’accumulation des charges dans le nuage orageux produit une concentration du
champ électrostatique au dessous du nuage (figure I-2) [1,2,3,4,5,6].
Lorsque le niveau du champ électrique nécessaire pour commencer le processus de foudre est
atteint, plusieurs scénarios sont possibles [1, 2, 3, 4, 5, 6] :
-
la décharge de foudre peut être produite est reste limitée à l’intérieur du même nuage
on parle alors de décharge intra-nuage. Ce type de décharge est très fréquent mais
reste peu étudié. Les décharges intra-nuage sont constituées d’arcs électriques ramifiés
d’une durée de 1ms. Leurs effets sont localisés sur les engins aéronautiques.
-8-
Chapitre I
-
Phénoménologie et caractéristiques de la Foudre
la décharge peut prendre place entre deux nuages proches (décharges inter-nuages).
Leurs effets se limitent aux engins aéronautiques et aux systèmes de transmission par
satellite.
-
la décharge peut être produite entre le nuage et le sol. Ce sont les décharges les plus
étudiées à cause de leurs effets directs et indirects sur les systèmes au sol. Elles
engendrent des blessures d’hommes, des incendies de forêts, des perturbations des
systèmes électriques de télécommunication et de transport. Elles sont elles sont plus
facilement observées et photographiées (facilité de mesure de leurs caractéristiques
optiques et électriques).
Pour toutes ces raisons, une attention particulière sera réservée, dans ce mémoire, à ce type de
décharge.
1.5.2 Décharge nuage-sol
En 1975, Berger [7] a classé la décharge nuage-sol en quatre catégories selon la direction du
mouvement du traceur initial (ascendant ou descendant cf Fig.I.5) et le signe de la charge
déposée le long du canal de foudre par le même traceur (positive ou négative).
Cette classification est illustrée dans la figure I-6 comme suit :
- Décharge nuage-sol avec polarité négative, c’est la décharge la plus courante représentant
90% des décharges nuage-sol (descendante).
- Décharge nuage sol avec polarité positive (descendante).
- Décharge sol-nuage avec polarité négative (ascendante).
- Décharge sol-nuage avec polarité positive (ascendante)
Fig. I-5 Photo de traceur ascendant et descendant [8]
-9-
Chapitre I
Phénoménologie et caractéristiques de la Foudre
Les éclairs sol-nuage (ascendants) sont relativement rares et peuvent avoir lieu soit à partir
des sommets de montagnes ou de structures artificielles élevés telles que des tours par
exemple. Ils peuvent aussi être déclenchés artificiellement à partir de fusées lancées vers les
nuages orageux [1,3,4,5,9].
(b)
ascendant
positif
(a)
descendant
négatif
(c)
descendant
positif
(d)
ascendant
négatif
Fig. I-6: Classification des différents traceurs de foudre selon Berger [2,3,4]
Par ailleurs, une décharge négative (nuage-sol) typique draine vers la terre une quantité de
charge négative de quelques dizaines de Coulombs. La décharge totale est appelée éclair et
possède une durée de l'ordre de 0.5 secondes. Chaque éclair est constitué de plusieurs
composantes dont typiquement trois ou quatre impulsions de courant de forte amplitude dites
arcs en retour. Chaque arc en retour dure environ 1 ms, la séparation entre deux arcs en retour
successifs étant typiquement de plusieurs dizaines de millisecondes. La figure I-7 illustre le
processus d'un éclair négatif; plusieurs phases peuvent y être distinguées [1,3,4,5,9] à savoir :
Une décharge préliminaire survenant à l'intérieur du nuage, probablement entre les
poches de charges négatives et les charges positives situées en bas du nuage. Cette
décharge déclenche le développement d'un canal chargé négativement vers le sol
appelé traceur par pas. La progression de ce canal s'effectue par une série de
« bonds » (ou « pas ») lumineux successifs, chaque bond ayant une longueur de
quelques dizaines de mètres et une durée d'environ 1µs; deux bonds successifs sont
séparés par une pause de l'ordre de 50 µs. Le traceur apporte une quantité de charges
négatives de l'ordre de 10 Coulomb vers le sol avec une vitesse moyenne de 2.105 m/s.
A chaque pas du traceur correspond une impulsion de courant d'amplitude supérieure à
- 10 -
Chapitre I
Phénoménologie et caractéristiques de la Foudre
1 kA. Ces dernières sont associées à des impulsions de champs électrique et
magnétique d'une durée d'environ 1 microseconde et des temps de montée inférieurs à
0.1µs [1, 3, 4, 5, 9].
A l'approche du sol, le traceur dont le potentiel par rapport à la terre est environ -10
MV provoque une intensification du champ électrique et initie une ou plusieurs
décharges ascendantes : cette phase est appelée le processus d'attachement. La
jonction entre une des décharges ascendantes et le traceur par pas s'effectue à quelques
dizaines de mètres au-dessus du sol. Le premier arc en retour, se propage vers le
nuage et neutralise le canal chargé par le traceur avec une vitesse décroissante en
fonction de la hauteur de l'ordre de 1/3 de la vitesse de la lumière. Cet arc en retour
produit un courant au niveau du sol d'une valeur de pic typique de 30 kA et d'un temps
de montée de l'ordre de quelques microsecondes. La durée de l'impulsion du courant (à
la mi-hauteur) est de l'ordre de 50 microsecondes. Durant cette phase, la température
du canal s'élève rapidement pour atteindre des valeurs jusqu'à 30'000 °K qui génère un
canal de haute pression provoquant une onde de choc appelée « tonnerre » [1,3,4,5,9].
Après la phase de l'arc en retour, l'éclair peut disparaître. Néanmoins, si une quantité
résiduelle de charges est encore présente au sommet du canal, il se développe dans le
canal précédemment tracé un traceur obscur à une vitesse de l'ordre de 3.106 m/s
apportant une charge d'environ 1 Coulomb associée à un courant de 1 kA. Le traceur
obscur déclenche enfin l'arc en retour subséquent. Les courants d’arcs en retour
subséquents mesurés à la base du canal ont généralement un temps de montée plus
rapide que le courant du premier arc en retour, et peuvent atteindre des amplitudes de
l’ordre de 200 kA [1,3,4,5,9]. Ces courants sont accompagnés d’un champ
électromagnétique (se propageant dans l’atmosphère par rayonnement) qui peut se
coupler avec toute structure conductrice qui se trouve dans son chemin. .
Enfin, de nouvelles séquences traceur-arc peuvent ensuite se produire, donnant parfois
jusqu'à 15 arcs en retour. Le dernier arc en retour est souvent à l'origine d'un fort
courant de l'ordre de 100 A qui draine la charge résiduelle de la cellule orageuse
[1,3,4,5,9].
- 11 -
Chapitre I
Phénoménologie et caractéristiques de la Foudre
t=0
t = 1ms
Décharge
descendante
t = 19ms
t = 1.2ms
Premier
Arc en retour
Processus
d’attachement
t = 20ms
temps
t = 20.1ms
temps
Arc en retour
subséquent
Traceur
de dard
t = 60ms
t = 62ms
temps
Fig. I-7: Traceur obscur et arc en retour subséquent [1,3,4,5,99,10,11]
La représentation schématique dans le temps de la séquence traceur descendant–
descendant arc en retour
dans un éclair est présentée dans la figure I-8-a, et la figure I-8-bb montre une photographie
photograph de
12 flashs d’un arc en retour réel.
réel
a)
b)
Fig. I-8 : a) Séquence
équence traceur descendant – arc en retour dans un éclair
b) Photographie
hotographie d’un éclair comportant 12 arcs. [1 ,3, 4, 5, 9, 10, 11]
- 12 -
Chapitre I
Phénoménologie et caractéristiques de la Foudre
I.5.3 Déclenchement artificiel de la foudre
La foudre est un phénomène dont l’instant et le point d’impact sont aléatoires. Pour
s’affranchir à ce problème, le chercheur doit trouver un moyen de le déclencher en un point
où les systèmes de mesure sont situés et à l’instant où l’appareillage d’enregistrement et en
attente.
Le déclenchement artificiel de la foudre permet d’effectuer des mesures simultanées du
courant à la base du canal, du champ électrique et magnétique, de la vitesse de l’arc en retour,
des tensions induites sur une ligne expérimentale. Le principe de ce déclenchement consiste à
lancer en direction du nuage orageux une fusée qui déroule derrière elle un fil métallique dont
l’autre extrémité est fixée au point de mesure offrant ainsi un chemin privilégié à la décharge
de foudre pour atteindre la terre. Aussi, le potentiel de la terre est amené au sommet de la
fusée se comportant comme une pointe initiant en son sommet une décharge ascendante [5].
A l’origine c’est Newman qui a mis en point la technique de tir utilisée en mer à partir d’un
bateau avec des équipements spéciaux. Après les échecs des tentatives de tir dans l’Oural et
en Arizona, des essais réalisées en 1972, à partir du matériel disponible en France, par le
Centre d’Etudes Nucléaires de Grenoble du Commissariat à l’Energie Atomique
(CEA/CENG), ont permis de perfectionner les éléments du système de déclenchement. La
station expérimentale de Saint Privat D’Allier (Haute Loire) a été la première au monde à
réussir le déclenchement de la foudre au-dessus du sol [5]. La fusée est du type paragrêle
constituée de matière plastique (diamètre 70 mm, longueur 847 mm, poids au départ 2.7 Kg).
Le fil métallique qui est constitué de cuivre (diamètre 0.2 mm) est enroulé à l’arrière de la
fusée et relié au pas de tir et de mesure (fig. I-9). L’instant de tir d’une fusée est déterminé par
la valeur du champ électrique au sol. Un champ électrique de l’ordre de 6 à 10 kV/m donne un
bon critère de réussite du tir [5].
Fig. I-9 : Système de déclenchement artificiel de la foudre [5]
- 13 -
Chapitre I
Phénoménologie et caractéristiques de la Foudre
La figure I.10 illustre une séquence d’évènements lors d’un déclenchement artificiel
« classique » de la foudre.
Fig. I-10: Séquence d’événements d’un déclenchement artificiel de la foudre [12,13,14]
La figure I-11 illustre deux sites expérimentaux pour le déclenchement artificiel de la foudre
réalisés en Floride - USA, le premier en 1986 et le deuxième en 1991.
a) expérience menée en 1986
- 14 -
Chapitre I
Phénoménologie et caractéristiques de la Foudre
b) expérience menée en 1991
Fig. I-11: Sites expérimentaux du centre spatial de Kennedy, Floride - USA. Structure de
lancement et arrangement des capteurs en a) 1986 et b) 1991. [2,14,15]
La figure I-12 présente le site de lancement des fusées pour réaliser des déclenchements
artificiels de la foudre en Chine.
Fig. I-12: Site de lancement de fusées (Shandong Artificially Triggered Lightning
Experiment “SHATLE”), Chine. [12]
- 15 -
Chapitre I
Phénoménologie et caractéristiques de la Foudre
La figure I-13 montre une photographie de deux flashs d’un déclenchement artificiel de la
foudre. Le premier est réalisé au site expérimental de Floride – USA et le second est adopté
d’une expérience réalisée à Shandong – Chine.
Fig. I-13 : Photographies d’éclairs de foudre déclenchés artificiellement.
(a) Floride - USA , (b) Shandong Chine [12].
I.5.4 Allures expérimentales des courants de foudre et des champs électromagnétiques
associés
Les différentes caractéristiques et données expérimentales présentées dans cette section se
rapportent au courant de foudre, à la vitesse de l’arc en retour et au champ électromagnétique
rayonné. Ces mesures concernent les coups de foudres naturels et les coups de foudre
déclenchés artificiellement.
Caractérisation du courant de foudre (phase de l’arc en retour)
- Foudre naturelle : pour l’accomplissement de mesures de foudre naturelle, on utilise des
tours instrumentées (Fig.I.14)
Fig. I-14 : Exemple de mesure de courant de foudre en utilisant une tour instrumentée [11].
- 16 -
Chapitre I
Phénoménologie et caractéristiques de la Foudre
Tour CN à Toronto au Canada [11].
Tours de petite taille (ℎ
< 100 )
Durant les années 1950-1980, le Professeur Berger a exploité une station expérimentale au
sommet de Monte San Salvatore à Lugano en Suisse. La mesure du courant a été effectuée au
sommet de deux tours de 55 m de haut. Ainsi, on observe selon ces mesures que 15 % environ
des mesures rapportées par l’équipe du Prof. Berger sont dues à des traceurs descendants le
reste étant dû aux traceurs ascendants positifs et négatifs initiés à partir du sommet des tours
instrumentées.
Dans la figure ci-dessous (Fig.I-15), nous présentons les formes moyennes des courants
typiques correspondant aux arcs en retour premier et subséquent d’une décharge négative.
Nous pouvons constater, d’après cette figure, le temps de montée rapide du courant
correspondant à l’arc en retour subséquent.
Fig. I-15 : Formes moyennes des courants d’arcs en retour premier et subséquent
(A) Arc en retour premier, (B) Arc en retour subséquent [7].
La distribution statistique des principaux paramètres du courant foudre est présentée dans le
tableau.1 suivant.
- 17 -
Chapitre I
Phénoménologie et caractéristiques de la Foudre
Tableau I.1 : Paramètres d’un courant de foudre (coup de foudre descendant négatif) [7].
L’analyse des données expérimentales consignées dans le tableau ci-dessus, relatives aux
décharges de foudre descendantes négatives, nous permet de tirer les conclusions suivantes:
•
Les amplitudes du courant du premier arc en retour sont supérieures à celles des arcs en
retour subséquents.
•
La valeur maximale de la variation temporelle (di/dt) du courant dans le cas d’un arc
subséquent est supérieure à celle du premier arc en retour.
•
Le temps de montée du courant d’arc en retour subséquent est plus rapide que celui du
courant du premier arc en retour.
•
La durée de l’impulsion du courant d’arc en retour subséquent est inférieure à celle du
premier arc en retour.
D’autres campagnes de mesure du courant d’arc en retour ont eu lieu. On peut citer, par
exemple, les campagnes qui se sont déroulées durant les années 70 à savoir :
•
Les mesures effectuées par l’équipe du Professeur Garbagnati au sommet de deux tours
de 40 m, situées au sommet de deux montagnes une au nord et l’autre au centre de l’Italie
[16]. Le courant mesuré correspond aux deux types de décharges de foudre : ascendante et
descendante.
- 18 -
Chapitre I
•
Phénoménologie et caractéristiques de la Foudre
Les mesures de l’équipe du Professeur Eriksson effectuées sur une tour de hauteur
60 m installée sur une terre plate en Afrique du sud. La tour a été isolée du sol et le
courant de foudre a été mesuré à la base à travers un transformateur de courant et une
sonde Rogowski. Ces mesures ont montré que plus de 50% des décharges observées
étaient initiées par des traceurs descendants négatifs. Ces mesures ont aussi permis de
relever le temps de montée du courant de foudre très rapide ce qui n’a jamais été observé
dans d’autres compagnes expérimentales [11].
Enfin, d’autres mesures impliquant des tours instrumentées de petite taille peuvent être
signalées. Il s’agit notamment des mesures effectuées par Narita et al. [17] en 2000 au Japon,
Diendorfer et al. [18,19] en 2000 et 2002 en Autriche et enfin des mesures relevées par
Torres et al. [20, 21] en 1999 en Colombie.
Tours de grande taille (ℎ
> 100 )
Tour d’Ostankino à Moscou (Russie) [22] : la hauteur de cette tour est de 540 m, le courant
est mesuré successivement à 47 m, 272 m et à 533 m (Fig.I-16).
On remarque, d’après les formes d’ondes mesurées du courant de foudre durant cette
campagne de mesure, que la forme de ce courant change en fonction de l’endroit de mesure.
La valeur maximale (pic) de ce courant augmente au fur et à mesure que l’on s’approche du
sol à partir du sommet de la tour. Cette constatation est expliquée par Bermudez [11] par la
présence de réflexions multiples de l’onde de courant au sommet avec un coefficient de
réflexion négatif et la présence de réflexions multiples à la base de la tour avec un coefficient
de réflexion positif.
- 19 -
Chapitre I
Phénoménologie et caractéristiques de la Foudre
Fig. I-16 : Formes d’ondes du courant mesuré à 533m, 272m et 47m sur la tour
d’Ostankino, Moscow [22].
Tour CN à Toronto (Canada) : Cette tour mesure 553 m de hauteur. Le courant d’arc en
retour est mesuré à 474 m et à 509 m. Dans la figure I-17, nous présentons les résultats de
mesures effectuées, en utilisant cette tour, en 1999.
(a)
(b)
Fig. I-17 : Variations temporelles du Courant d’arc en retour mesurées :
(a) 509 m et (b) 474 m [11]
Durant cette campagne de mesure, on a abouti aux mêmes conclusions que celles obtenues en
utilisant la tour d’Ostankino avec cependant une forme du courant de foudre plus complexe.
L’auteur de la référence [23] explique ce fait expérimental par la complexité de la tour CN par
rapport à la tour d’Ostankino.
Tour Peissenberg (Allemagne) : La hauteur de cette tour est de 168 m. Les prises de
mesures sont effectuées à 167 m et à 13 m. Dans la figure I.18 nous présentons une
photographie de la de cette tour ainsi que les variations temporelles du courant d’arc en retour
mesuré simultanément, au sommet et à la base de la tour. Nous pouvons remarquer, d’après
cette figure, la contamination du courant de foudre par les réflexions multiples au niveau de la
tour.
- 20 -
Chapitre I
Phénoménologie et caractéristiques de la Foudre
(a)
(b)
Fig. I-18 : Photographie de la tour Peissenberg (a) et variations temporelles du courant
mesuré au sommet et à la base de la tour (b) [11]
- Foudre artificielle : Pour mieux comprendre la phénoménologie de la foudre on fait appel
au déclenchement artificiel dont le principe a été décrit auparavant. En effet, on peut
mesurer le courant à la base du canal de foudre ainsi que le champ électromagnétique
rayonné par le coup de foudre déclenché.
Les variations temporelles du courant de foudre ainsi que de sa dérivée temporelle, obtenues
lors de la campagne de déclenchement artificiel de la foudre à Saint Privat D’Allier durant
l’été 1986, sont présentés dans la figure I-19.
Fig. I-19 : Enregistrement réalisé lors de la compagne de déclenchement artificiel de la foudre
à Saint Privat D’Allier durant l’été 1986 : (a) courant de foudre (b) sa dérivée [5].
Par ailleurs, les caractéristiques du courant d’arc en retour (valeur maximale du courant et de
sa dérivée) résumées par Rakov [24] sont consignées sur le tableau I.2 suivant. Elles
- 21 -
Chapitre I
Phénoménologie et caractéristiques de la Foudre
correspondent à des mesures effectuées à partir de deux campagnes expérimentales effectuées
en France et aux Etats Unis (Floride).
Tableau I.2 : Caractérisation du courant d’arc en retour selon Rakov [24].
Si on compare la valeur moyenne du pic du courant mesurée en Floride (USA), présentée
dans le tableau ci-dessus, à celle mesurée à Lugano (Suisse) rapportée par Berger et al.
(Tableau I.1), on remarque une similitude entre ces deux valeurs expérimentales.
Vitesse de l’arc en retour
Dans la référence [25], on trouve des données expérimentales relatives à la vitesse de l’arc en
retour correspondant à 17 premiers arcs en retour et à 46 arcs en retour subséquents. La
vitesse moyenne mesurée est de 0.96 ∙ 10 m/s pour les premiers arcs en retour et de
1.2 ∙ 10 m/s pour les arcs en retours subséquents. D’autre part, il a été mis en évidence dans
ces travaux expérimentaux que la vitesse de l’arc en retour, tant pour les premiers arcs que
les arcs subséquents, décroit en fonction de la hauteur, cette décroissance est plus marquée
pour les premiers arcs en retour.
La vitesse de l’arc en retour pourrait être liée à celle de l’intensité du courant traversant le
canal de foudre. En effet ces deux grandeurs dépendent l’une et autre de la distribution de la
charge par unité de longueur du canal et du potentiel électrique qui en résulte [16]. Ainsi,
dans la littérature plusieurs expressions exprimant la dépendance entre ces deux grandeurs
existent. Nous pouvons, citer à titre d’exemple, l’expression donnée par Rusk [26] basée sur
les relations empiriques de type énergétique de Toepler et de Wagner [27]. Cependant, ces
expressions n’ont permis d’obtenir des valeurs de vitesses en accord avec les valeurs
mesurées que pour premier arc en retour.
- 22 -
Chapitre I
Phénoménologie et caractéristiques de la Foudre
Des études plus récentes, notamment celles de Rakov [28] en 2007, évoquent une vitesse de
l’arc en retour inférieure à la vitesse de la lumière. Ceci peut être expliqué par les faits
suivants :
-
le canal de foudre est considéré comme une ligne de transmission avec pertes et nonlinéaire.
-
L’impédance caractéristique de cette dernière augmente en fonction de la hauteur, ce
qui engendre une dispersion de l’onde de l’arc en retour même en l’absence de pertes.
-
La charge électrique ne peut pas être confinée à l’intérieur de la colonne se trouvant
dans le canal et qui véhicule le courant d’arc en retour, mais elle est repoussée à
l’extérieur par une décharge électrique radiale formant une couronne.
-
La résistance par unité de longueur en avant du front de l’arc en retour est relativement
grande (ce qui cause une atténuation et une dispersion additionnelle). Par contre, elle
est deux fois moins ou plus en arrière du front.
Champ électromagnétique rayonné
Dans ce paragraphe nous allons présenter des résultats expérimentaux, tirés de a littérature,
relatifs aux champs électriques et magnétiques rayonnés par des coups de foudre. Ainsi, dans
les figures I-20 et I-21 nous présentons les variations du champ électrique et de la densité de
champ magnétique mesurées en fonction de la distance du point d’impact par les auteurs de la
référence [29]. Les variations tracées en en trait continu correspondent aux premiers arcs en
retour alors que celles tracées en traits discontinus correspondent aux arcs en retour
subséquents.
- 23 -
Chapitre I
Phénoménologie et caractéristiques de la Foudre
Fig. I-20: Variations en fonction de la distance du point d’impact (distances variant de 1 Km
à 200 Km) du champ électrique vertical mesuré correspondant à un premier arc en retour (trait
continu) et à un arc en retour subséquent (pointillés) [29]
Fig. I-21 : Variations en fonction de la distance du point d’impact (distances variant de 1 Km
à 200 Km) de la densité du flux magnétique correspondant à un premier arc en retour (trait
continu) et à un arc en retour subséquent (pointillés) [29]
- 24 -
Chapitre I
Phénoménologie et caractéristiques de la Foudre
L’analyse de ces grandeurs mesurées montre que :
• Le champ électromagnétique présente, pour toute distance comprise entre 1 km et 200 km,
un premier pic, dont l'intensité est approximativement inversement proportionnelle à la
distance.
• A des distances relativement proches, le champ magnétique présente une bosse à environ
30 µs, alors que le champ électrique possède une croissance en rampe après son pic initial.
• Les champs électriques et magnétiques lointains (distance supérieure à environ 50 km) ont
essentiellement la même forme d'onde, et présentent une inversion de polarité.
A cause de la raideur des fortes impulsions du champ électromagnétique rayonné par l’arc en
retour (impulsion HF), la foudre constitue une contrainte majeure pour le matériel élément
électrique et/ou électronique fonctionnant dans l’environnement proche de ce champ
électromagnétique. Il est donc plus que nécessaire de calculer ce dernier avec une bonne
précision.
D’autres auteurs ont mesuré le champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre. On
peut citer les auteurs de la référence [15]. En effet, ces auteurs présentent les résultats de
mesures obtenus lors d’une campagne expérimentale menée en 1986 et 1991. Ces résultats
concernent les mesures du champ électrique à 30 m et 500 m du canal de foudre. Ainsi, ces
auteurs ont analysé quarante formes d’ondes du champ électrique, mesurées à 500 m, et huit
de ces formes d’ondes mesurées à une distance de 30 m du canal de foudre. Dans la
figure I-23, nous présentons l’allure du champ électrique vertical mesuré à 500 m,
correspondant à la phase d’arc en retour. On peut constater sur le graphe tracé dans cette
figure que la durée de l’onde est de 800 µs. Cette durée s’explique par le fait que l’ionisation
du canal de foudre par le traceur modifie sensiblement le champ électrique vertical, avec une
augmentation lente de la pente négative de la courbe du champ électrique [11]. Cependant,
cette caractéristique n’est pas perceptible pour les longues distances, dans lesquelles la
progression du traceur reste pratiquement invisible. Le commencement de la neutralisation
des charges dans le canal par l’arc en retour est probablement associé avec le début de la
progression positive et rapide du champ électrique vertical [11].
- 25 -
Chapitre I
Phénoménologie et caractéristiques de la Foudre
Fig. I-22 : Campagne expérimentale de mesure du champ électrique vertical à 500 m et 30 m
du canal de foudre [15]
Fig. I-23 Variations temporelles du champ électrique vertical mesuré à 500 m du point
d’impact de la foudre. Les flèches indiquent le commencement de la phase de l’arc en retour
[15].
Fig. I-24: Variations temporelles du champ électrique vertical mesuré à 30 m du point
d’impact de la foudre. Les flèches indiquent le commencement de la phase de l’arc en retour
[15].
Par ailleurs, des enregistrements de champs magnétiques rayonnés, suite à un coup de foudre
naturel tirés des références [3,5], sont présentés dans la figure I-25. On remarque que le
rayonnement issu des décharges intra-nuages est plus faible que celui issu des décharges
nuage-sol.
- 26 -
Chapitre I
Phénoménologie et caractéristiques de la Foudre
Fig. I-25 : Exemples d’impulsions magnétiques enregistrées au cours d’un éclair naturel
comprenant des décharges dans le nuage et entre le nuage et le sol. (1)Impulsions de type
bipolaire et (2) Impulsions de type unipolaire : caractéristiques des décharges
intra-nuages (3) Impulsions typiques de l’arc-en-retour [3,5]
D’autres formes d’ondes mesurées du champ électrique et magnétique existent dans la
littérature spécialisée. A titre d’exemple, nous présentons dans la figure I-26 les formes
d’ondes typiques de signaux de champ électrique rayonnés lors des décharges nuagesol successivement : pour un premier arc en retour, un
arc en retour précédé par un
précurseur par bonds, et un arc en retour précédé par un précurseur continu [3,5]. Les
amplitudes sont normalisées à 100 km. Les petites impulsions « L », caractéristiques des
bonds des précurseurs, sont suivies d’un front lent « F » et d’une transition rapide « R » [3,5].
Fig. I-26 Formes d’ondes typiques de signaux de champ électrique rayonnés lors des
décharges nuage-sol : (a) premier arc en retour (b) arc en retour précé par un précurseur par
bonds (c) arc en retour précédé par un précurseur continu [3,5].
Les variations temporelles du courant de foudre et du champ électromagnétique associé,
enregistrées par le laboratoire du CEA/CENG lors de la compagne de foudre déclenchée en
Floride en 1993 sont présentées dans la figure I-27.
- 27 -
Chapitre I
Phénoménologie et caractéristiques de la Foudre
Fig. I-27 : Variations temporelles du courant de foudre et du champ électromagnétique
associé enregistrées par le laboratoire du CEA/CENG lors de la compagne de
foudre déclenchée en Floride en 1993 [5].
I .5.5 Ondes de foudre normalisées pour les tests d’équipements
Deux types d’ondes de foudre normalisées existent à savoir l’onde en tension et l’onde en
courant (Fig.I.28).
Onde de tension 1.2/50 µs
Onde de courant 8/20 µs
Fig. I-28 : Variations temporelles de l’onde de tension et de courant normalisées [30, 31]
- 28 -
Chapitre I
Phénoménologie et caractéristiques de la Foudre
I.5.6 Effets de la foudre sur les lignes aériennes
Les surtensions dues à des coups de foudre directs ou indirects constituent une grande menace
pour les lignes électriques ainsi que pour les isolations des équipements associés à ces
dernières. La protection contre les effets engendrés par ces surtensions se base sur deux
procédures :
-
La réduction de l’amplitude des surtensions de foudre (par blindage des conducteurs et
réduction de la résistance de terre par exemple).
-
La limitation de la surtension au niveau de l’équipement lui même (exemple :
parafoudre).
Il faut noter que pour les réseaux HT et THT ces deux procédures sont connues et employées
couramment. En revanche, pour les réseaux MT et BT les approches de protection sont
différentes pour des raisons essentiellement économiques. Ainsi, la présence dans ces réseaux
de systèmes numériques de contrôle-commande a poussé les industriels à manifester plus
d’intérêt à la protection dans ces derniers. En effet, dans les publications [32,33], de la section
WG05 de la CIGRE, on trouve les principales recommandations en matière de protection de
ces réseaux. Dans ce qui suit nous allons résumer ces recommandations afin d’avoir une idée
sur la prise en compte des problèmes de surtensions suites à un coup de foudre dans les
réseaux MT et BT.
I.5.6.1 Taux de surtensions dues aux coups de foudre
Le tableau I-1 ci-dessous résume quelques aspects statistiques fondamentaux des paramètres
de courant de foudre [32,33].
Tableau I-3 : Statistiques relatives aux paramètres du courant de foudre
pour le premier arc et pour l’arc en retour subséquent négatif [32,33]
Probabilité
Arc
I de pic(kA)
90%
premier subséquent
14
4.6
50%
premier
subséquent
30
12
5%
premier
Subséquent
80
30
Les surtensions de foudre dans les réseaux électriques peuvent être classées en deux
catégories :
-
surtensions dues à un coup de foudre direct.
-
surtensions dues à un coup de foudre indirect.
- 29 -
Chapitre I
Phénoménologie et caractéristiques de la Foudre
a) Surtensions dues à un coup de foudre direct
A cause du niveau inférieur de l’isolation dans les réseaux moyenne tension (MT) et basse
tension (BT), un coup de foudre tombant sur une phase, sur le neutre ou sur la structure du
support de la ligne électrique génère des étincelles qui provoquent la rupture de l'isolation de
la ligne.
b) Surtensions dues à un coup de foudre indirect (surtensions induites)
Le coup de foudre indirect, est un arc qui tombe sur la terre ou sur une structure au voisinage
d’une ligne dont l’amplitude peut être supérieure au niveau de la tension de tenue de
l’isolation. Par rapport à un coup direct, la présence du conducteur neutre ou du câble de
garde peut avoir une grande influence sur les surtensions induites résultantes.
Une coordination d’isolement efficace se base sur une bonne connaissance des paramètres des
surtensions produites (amplitude – énergie, …). A cet effet, Les surtensions produites par des
coups foudre directs et indirects se manifestent de manières différentes et elles sont variables.
Pour cela il est indispensable d’avoir une base de données solide sur les événements de la
foudre et ses surtensions produites, dans le but d’avoir une bonne protection contre les effets
de ce phénomène.
c) Nombre de coups de foudre directs
Le nombre Nd de coups de foudre directs sur les lignes électriques par an et par 100 km, peut
être évalué par la formule suivante [6,33] :
N d = K 0 N g . ( b + 10.5.H l0.75 ) .
1
10
I-5
D’où :
2
N g : Densité d’éclairs au sol (Nombre d’éclairs par km par an)
Hl : Hauteur moyenne de la ligne (m).
b : Distance horizontale entre les conducteurs extérieurs.
K 0 : Coefficient orographique.
La figure I-30 donne le coefficient K 0 en fonction des paramètres de l’orographie définis dans
la figure I-29.
- 30 -
Chapitre I
Phénoménologie et caractéristiques de la Foudre
(Note : L’orographie décrit l’ensemble des caractéristiques du relief, comme les montagnes,
les collines, les vallées et les plaines)
D
C
V
Fig. I-29 : Cœfficient de correction de l’orographie. [33]
Dessus
Dessus(D)
(D)
Cote (C)
Pente
Vallée (V)
Fig. I-30: Paramètres utilisés pour évaluer l’influence de l’orographie
sur le nombre de coups de foudre directs [33]
d) Nombre de surtensions induites par la foudre
La formule ci-dessous donne le nombre des surtensions induites dont des amplitudes
supérieures à une valeur d’amplitude de tension donnée « U » (en kV), durant une année et
par 100 km [6,33] :
- 31 -
Chapitre I

30 (1 − c ) 
Ni = 0.19 3,5 + 2,5.log

U


Phénoménologie et caractéristiques de la Foudre
3.75
.N g .H l
I-6
Ng et Hl sont les mêmes que ceux de la formule I-5
I et c est le facteur de couplage entre le
câble de terre et le conducteur.
Si aucun câble de terre n’existe le paramètre c prend la valeur zéro,, si la ligne possède un
câble de terre relié par une résistance inférieure à 50Ω , le paramètre c varie entre 0.3 et 0.4 (le
câble de terre minimise de 30% à 40% la surtension). Pour une ligne basse tension, les
conducteurs
eurs neutres reliés à la terre conduisent comme un câble de terre, le facteur c varie
entre 0.7 et 0.9, dépendant de la résistance R de la connexion à la terre.
Fig. I-31: Nombre de surtensions induites par an (Hl =10m, c = 0) [33]
La figure I-31 présente le nombre des surtensions induites par un coup de foudre sur une ligne
aérienne (hauteur moyenne=10
10 m,
m non reliée à la terre)
I.5.6.2 Amplitudes et formes
ormes des surtensions dues à un coup de foudre
oudre direct
a) Ligne MT
Lorsqu’un
’un coup de foudre tombe sur une phase, il injecte des ondes de courant dans les deux
directions par rapport au point d’impact.
d’impact La tension est obtenue en multipliant
multipli
la demi-valeur
d’amplitude du courant par l’impédance caractéristique de la ligne. Plus que 90% de coups de
foudre donnent un pic de courant dont la plus petite valeur est de l’ordre de la dizaine de kA
[38], donnant lieu à des surtension
tensions dépassant les 2 MV [6,32,33].
La figure I-32 présente un exemple d’une surtension générée
génér par un arc de foudre se trouve à
une distance de 600m sur la ligne. Cet exemple illustre les caractéristiques générales des
- 32 -
Chapitre I
Phénoménologie et caractéristiques de la Foudre
surtensions issues d’un coup de foudre direct, la forme d’onde présente plusieurs pics suivis
d’une
une impulsion de tension avec une forme régulière.
Fig. I-32 : Exemple surtension typique due à un arc de foudre direct sur une ligne MT [33]
b) Ligne BT
Le processus de génération des surtensions pour les lignes aériennes basses tensions est un
peu différent de celui des lignes MT. En effet, les conducteurs neutres sont souvent présents,
présent
et connectés à la terre tous les 50 à 500 m. De plus,, la tension de tenue de l’impulsion de
foudre entre phases ou entre phase et neutre est très nettement inférieure à celle des lignes
MT.
La surtension est approximativement égale au courant de foudre multiplié par l’impédance de
mise à la terre. Ceci implique que l’amplitude des surtensions dues à un coup de foudre
direct dans le cas des lignes BT est inférieure à celle produite dans les lignes MT [6, 33].
La probabilité d’apparition des coups de foudre directs sur les lignes BT est généralement
faible. En outre,, les amplitudes des surtensions produites sur les lignes BT sont relativement
réduites. Ceci s’explique par l’extension limitée des lignes BT, et leur protection par les
édifices, les maisons et arbres…etc. Ces surtensions sont nettement supérieures au niveau
d’isolation des appareilss connectés à la ligne (quelques kV pour les appareils domestiques) [6,
33].
I.5.6.3 Amplitudes et formes
ormes des surtensions induites par un coup de foudre
oudre indirect
a) Ligne MT
Les surtensions induites sont presque identiques sur chaque conducteur de la ligne, et elles
possèdent une polarité inverse à celle des courants
courant de foudre. Etant donné que le courant de
- 33 -
Chapitre I
Phénoménologie et caractéristiques de la Foudre
foudre est négatif dans presque 90% des cas, les surtensions induites ont une polarité positive
dans leur grande majorité [33].
En général, les surtensions induites ont une amplitude plus faible que celles obtenues suite à
des coups de foudres directs. Cependant, ces surtensions peuvent causer des interruptions
dans les systèmes de distribution affectant ainsi de manière significative la qualité de service
fourni. Pour cette raison, de nombreuses études théoriques et expérimentales ont été menées
durant ces dernières années, afin de cerner ce phénomène des surtensions induites.
Selon le rapport du groupe d’action WG 33.01.01 de la CIGRE [6,33]) la comparaison entre
les surtensions mesurées et calculées montre une concordance raisonnable, notamment de
point de vue des formes d’ondes.
De plus, il est utile de mentionner que Sun Rusck présente dans sa théorie générale [26], une
formule analytique qui permet d’avoir une estimation du premier pic Umax des surtensions
induites, au point le plus proche de la ligne. Cette estimation est obtenue à l’aide de la formule
suivante :
U max = Z 0 .
I 0 .h
y
(I-7)
Avec :
Imax : Valeur maximale du courant de foudre (kA).
h : Hauteur de la ligne (m).
y : La plus petite distance entre le canal de foudre et la ligne (m).
Z 0 = 30Ω .
Il faut noter que cette formule ne donne aucune information sur la forme d’onde de la
surtension. En outre elle est basée sur les hypothèses d’un sol parfait et d’un canal de foudre
vertical sans ramifications. En revanche elle a l’avantage de permettre l’examen de l’influence
de certains paramètres caractéristiques importants de la surtension sur la valeur maximale de
celle-ci.
Dans la figure I-33 nous présentons les formes d’onde du courant de foudre mesurées à la
base du canal ainsi que des surtensions induites [33].
- 34 -
Chapitre I
Phénoménologie et caractéristiques de la Foudre
Fig. I-33: Exemple de : a) Variations temporelles du courant de foudre mesuré
mes
à la base du
canal
canal.
b) Variations
ariations temporelles des surtensions induitess sur la ligne [33]
b) Ligne BT
Le mécanisme de l’induction dans la ligne BT est identique à celui produit dans les lignes
MT. Mais vu la présence du conducteur neutre relié à la terre à des intervalles donnés, les
surtensions induites sur les lignes BT sont généralement inférieures à celles
celles obtenues dans les
l
lignes MT [33].
Les tensions induites sur les conducteurs reliés à la terre sont
sont limitées par le réseau de terre.
La valeur maximale de la tension induite est localisée dans le milieu de la boucle (intervalle
entre deux liaisons de terre) et elle diminue le long de la boucle (la longueur de la boucle est
généralement comprise entre 50 et 500 m) ce qui se traduit par effet presque nul de ces
surtensions sur l’isolation de la ligne BT et un effet significatif sur appareils domestiques,
branchés sur le réseau BT.
D’autre part, le fait que ces surtensions soient caractérisées par des oscillations haute
fréquence dont la période est le double du temps de passage
passage dans la boucle (Fig. I-34) dans
certains points de la ligne BT pose un autre problème celui de la résonance électrique avec les
systèmes raccordés à ces lignes.
- 35 -
Chapitre I
Phénoménologie et caractéristiques de la Foudre
roche d’une ligne BT [33,34]
Fig. I-34: Surtensions typiques induites par un coup de foudre proche
I.6 Conclusion
Nous avons présenté dans ce chapitre, dédié à la phénoménologie de la foudre ainsi qu’à ces
caractéristiques,, les mécanismes de génération d’une décharge de foudre notamment ceux de
la phase de l’arc en retour (très contraignante pour les structures et matériel électriques) et le
principe de déclenchement artificiel de cette dernière Dans ce chapitre, nous avons
avon également
présenté les formes d’ondes expérimentales
expérimentales des courants de foudre et des composantes des
champs électromagnétiques associés afin de caractériser au mieux ce phénomène.
phénomène La
modélisation du courant de l’arc en retour d’un coup de foudre descendant (nuage-sol) fera
l’objet du prochain chapitre.
- 36 -
Chapitre II
Modélisation du courant de foudre
Chapitre II
Modélisation du courant de foudre
II.1 Introduction
Dans les études consacrées au couplage des perturbations électromagnétiques rayonnées par la
foudre avec les différents systèmes électriques et/ou électroniques la connaissance de la
source de ces perturbations est très importante. Les signaux perturbateurs sont générés par la
propagation du courant d’arc en retour le long du canal de foudre. Aussi, nous abordons dans
ce chapitre la modélisation de ce dernier. Cette modélisation s’appuie sur la connaissance du
courant à la base du canal de foudre. Aussi, nous aborderons, dans ce chapitre, en premier lieu
les différents modèles de courant à la base du canal de foudre avant de présenter les modèles
du courant de foudre traversant le canal de foudre notamment ceux de la phase d’arc en
retour ; phase la plus redoutable du processus de foudre.
II.2 Modélisation du courant à la base du canal de foudre
Différentes expressions analytiques sont utilisées dans la littérature afin de simuler l’allure du
courant à la base du canal de foudre. Ce dernier faisant partie des expressions du champ
électromagnétique rayonné, il est plus que nécessaire de le modéliser d’une façon réaliste afin
d’obtenir des résultats proches des mesures expérimentales.
II.2.1 Modèle bi-exponentiel
C’est le premier modèle adopté et sans doute le plus utilisé dans la littérature [6]. Le premier
arc en retour et l’arc en retour subséquent respectivement sont représentés par les équations
suivantes :
Premier arc en retour
i(0,t) = I0 ( exp(-αt) – exp(-β1t) )
II-1
Arc en retour subséquent
is(0,t) = I0/2 ( exp(-αt) – exp(-β1t) )
II-2
Où:
:
désigne l’amplitude du courant de foudre.
:
est l’inverse du temps de montée de l’impulsion du courant de foudre.
1:
l’inverse de la durée de l’impulsion du courant de foudre.
Ces paramètres sont estimés à partir des mesures. Ainsi, Dennis et Pierce ont proposé les
valeurs suivantes [6] :
1er arc en retour: I0 = 30kA, α = 2.104 S-1, β1 = 2.105 S-1
37
Chapitre II
Modélisation du courant de foudre
Arc en retour subséquent : I0 = 10kA, α = 1,4.104 S-1, β1 = 6 106 S-1
Leteinturier quant à lui a proposé les valeurs suivantes [6], pour ces paramètres :
I0 = 20kA
α = 3.104 S-1
β1 = 107 S-1
D’autre part, le modèle d’arc en retour subséquent a été modifié par Cianos et Pierce qui ont
proposé d’adjoindre une 2eme exponentielle à la première exponentielle (modèle biexponentiel) aboutissant à l’expression suivante du courant à la base du canal [6] :
0,
=
0,
+
0,
II.3
Avec :
0,
0,
=
=
∗
∗
–
–
II.4
II.5
Et :
: Amplitude de courant
: Inverse du temps de montée de l’impulsion du courant
: Inverse de la durée de l’impulsion du courant
Par une simple analogie, on obtient les mêmes définitions pour les variables associées au
courant
.
Les paramètres de ces deux fonctions liés au temps de montée, à la valeur de crête et à la
durée de l’impulsion du courant, ont été déterminés de manière à reproduire le plus fidèlement
possible les courbes expérimentales moyennes, obtenues par Berger et al. et publiées dans la
référence [7]. Dans le tableau ci-dessous sont consignés les paramètres des fonctions
représentent le courant à la basse du canal.
38
Chapitre II
Modélisation du courant de foudre
Type d’arc
(kA)
(
Premier arc en
retour
33.7
9.210
Arc en retour
subséquent
14.3
1810"
)
(
)
410!
3 10#
( kA)
(
)
(
)
-
-
-
10
10"
9.4 10"
Tableau II.1 : Paramètres des fonctions exponentielles simulant le courant de foudre à la base
du canal [3-35]
Dans La figure II.1 nous présentons les formes d’ondes normalisées
/ %&' du courant du
premier arc en retour et celui de l’arc en retour subséquent. Ces formes sont obtenues en
utilisant le modèle bi-exponentiel du courant à la base du canal de foudre et en adoptant les
✐✎
✙
✐✎
✙
✐✎
✘
✐✎
✘
✐✎
✗
✐✎
✗
✐✎
✖
✐✎
✖
✐✎
✕
✐✎
✕
✩
✏
✩
❍❁❘
✩
✏
✩
❍❁❘
paramètres du tableau II.1.
✐✎
✔
✐✎
✔
✐✎
✓
✐✎
✓
✐✎
✒
✐✎
✒
✐✎
✑
✐✎
✑
✐
✐
✑✐
✒✐
▼
❅❍❐▲✈◆▲✉
✓✐
✐
✐
✔✐
(a)
✑✐
✒✐
▼
❅❍❐▲✈◆▲✉
✓✐
✔✐
(b)
Fig. II-1 : Courants à la base du canal de foudre calculés à l’aide du modèle bi-exponentiel
correspondant :
(a) Au premier arc en retour, (b) : A l’arc en retour subséquent
II.2.2 Modèle d’Heidler
En 1985, Heidler a présenté une nouvelle expression analytique du courant à la base du canal
de foudre. En effet, ce modèle a permis l’obtention résultats plus proches de ceux obtenus
expérimentalement. Selon ce modèle, le courant à la base du canal de foudre s’écrit sous la
forme suivante [2, 10 ] :
=
()*
+
- 0
.*
- 0
1, /
.*
, /
23 ,− 5 /
II-6
6
I1 : Amplitude maximale du courant i1
τ1 : Temps de montée du courant i1
τ2 : Durée de l’impulsion de i1
39
Chapitre II
Modélisation du courant de foudre
η : Paramètre défini de telle sorte que le maximum de i1 soit I1 :
:
: >
7 = 23 8− 9 ; 9<. ; ?
:
:
Cependant, dans plusieurs travaux, une somme de deux fonctions de type (II-4) à été utilisée,
l’objectif étant d’obtenir une meilleure représentation du courant de foudre à la base du canal.
En effet, cette modélisation permet de bien représenter le premier pic du courant d’arc
en retour subséquent observé dans les formes d’ondes mesurées.
Ainsi, ce courant se présente sous la forme :
0,
Où :
=
=
()*
=
()6
+*
+6
+
II.7
- 0*
/
.**
- 0*
1, /
.**
,
- 06
/
.6*
- 06
1, /
.6*
,
7 = 23 @− ,
23 ,− 5 /
II.8
23 ,− 5 /
II.9
*6
66
*
/ ,<
5
0
. *6 / * A
5**
II.10
7 = 23 @− ,5 / ,<
5
0
. 566 / 6 A
6*
II.11
5**
5*6
56*
66
*
L’expression du courant à la base du canal de foudre, selon ce modèle, s’écrit alors :
0,
Avec :
:
:
= + ()*
*
- 0*
/
.**
- 0*
1, /
.**
,
- 06
/
.6*
- 06
1, /
.6*
,
23 ,− 5 / + + *6
()6
6
23 ,− 5 /
66
: Amplitude du courant
: Temps de montée de l’impulsion du courant ,
: Durée de l’impulsion de courant
,
7
: Facteur de correction de l’amplitude du courant
<
: Nombre entier compris dans l’intervalle [2…………10].
7
,
: Facteur de correction de l’amplitude du courant i2 ,
Mêmes définitions pour le courant .
40
II.12
Chapitre II
Modélisation du courant de foudre
Dans le tableau II.2 sont consignées les valeurs des paramètres de la fonction d’Heidler
permettant de simuler des arcs en retour typiques (premiers arcs en retour et arcs en retour
subséquents).
Type d’arc
Premier arc
en retour
Arc en retour
subséquent
(kA)
28
10.7
:
μ
1.8
:
0.25
μ
95
<
2
2.5
2
CA)
6.5
:
-
μ
2.1
:
μ
<
2
230
2
-
Tableau II.2 : Paramètres du courant à la base du canal de foudre pour le modèle des deux
fonctions d’Heidler [3]
Dans la figure II-2, nous présentons les variations temporelles du courant à la base du canal de
foudre obtenues en mettant en œuvre le modèle des deux fonctions d’Heidler (dont les
paramètres sont consignés dans le tableau II.2) Nous présentons également dans cette même
figure, dans un but de comparaison, la superposition du graphe de ces variations temporelles
avec celui obtenu avec le modèle bi-exponentiel. L’analyse de ces variations temporelles
montre que le modèle des deux fonctions d’Heidler ainsi que le modèle des deux fonctions
exponentielles permettent d’obtenir la forme d’onde typique du courant d’arc en retour
notamment pour le pic avec une décroissance lente. Cependant, le modèle des deux fonctions
d’Heidler reproduit un peu mieux la forme du courant de foudre typique mesurée à la base du
canal de foudre par Berger et al. [7]. Par ailleurs, l’expression d’Heidler permet un ajustement
de l’amplitude du courant, de sa dérivée maximale et de la quantité de charge transférée en
variant presque indépendamment les paramètres , : et : .
✑✒
✑✐
✩✈❋✡ ✉
✘
✖
✔
✒
✐
✐
✑✐
✒✐
▼❅❍❐▲✈◆▲✉
✓✐
✔✐
(a)
(b)
Fig. II-2 : Courant à la base du canal du canal de foudre
(a): Calculé a l’aide de modèle des deux fonctions Heidler (b): Comparaison entre le modèle
des deux fonctions Heidler et le modèle des deux fonctions exponentielles selon [14]
41
Chapitre II
Modélisation du courant de foudre
II.2.3 Modèle hybride (Heidler- bi-exponentiel)
En 1990, Nucci et al . [36] ont proposé un modèle hybride composé d’une sommation de
deux termes : le premier représentant la fonction d’Heidler et le deuxième la fonction biexponentielle. L’expression mathématique du courant à la base du canal de foudre selon ce
modèle s’écrit comme suit :
D,
=
()*
+
.
,
.*
, /
1 /
.*
.
,
E/
.6
+
9
E.F
−
E.G
;
II.13
Les valeurs des paramètres intervenant dans l’expression mathématique du courant à la base
du canal de foudre (II.13) sont consignées dans le tableau II.3. Ces valeurs ont été obtenues
expérimentalement par Leteinturier et al. [37]. Ainsi, la mise en œuvre de ce modèle avec les
paramètres du tableau II.3, permet d’obtenir un courant à la base du canal ayant un pic initial
de 11 kA et une valeur maximale de sa dérivée d’environ 105 kA/µs.
HI
9.9
: (μ
0.072
: (μ
5
<
2
: (μ
HI
7.5
:" (μ
100
6
Tableau II.3 Paramètres du courant à la base du canal de foudre correspondant au modèle
Hybride [38].
✑✒
✑✐
✩✈❋✡ ✉
✘
✖
✔
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✐
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▼❅❍❐▲✈◆▲✉
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Fig. II-3 : Courant à la base du canal de foudre calculé à l’aide du modèle hybride
La figure II-3 présente le courant à la base du canal de foudre calculé en utilisant l’équation
II-13 et les paramètres illustrés sur le tableau II.3. Il est à noter que les auteurs de la référence
[36] ont développé ce modèle hybride pour améliorer la forme d’onde du courant à la base du
canal de foudre.
42
Chapitre II
Modélisation du courant de foudre
II.3 Modèles du courant d’arc en retour
Depuis 1941, toute une série de modèles relatifs à la distribution spatio-temporelle du courant
de foudre a été proposée par la communauté scientifique. Il s’agit de modèles macroscopiques
qui ont été développés dans le but d’évaluer le rayonnement électromagnétique d’un canal de
foudre [3].
Les modèles d’arc en retour proposés dans la littérature différent l’un de l’autre. La diversité
de ces modèles peut s’expliquer par la complexité du phénomène de propagation du courant
dans le canal de foudre.
En général ces modèles sont classés en quatre grandes classes [39, 40, 41] :
a/ Les modèles « physiques » : les modèles appartenant à cette classe sont basés sur une
approche physico-chimique décrivant l’évolution radiale d’une décharge électrique dans un
plasma contenu dans un volume cylindrique. Les sorties principales du modèle incluent la
température, la pression, et la masse volumique en fonction du temps.
b/ Les modèles « électromagnétiques ». Dans ces modèles le courant de l’arc en retour est
représenté en s’appuyant sur la théorie des antennes .Ces modèles impliquent une solution
numérique des équations de Maxwell pour trouver la distribution du courant le long du canal
pour lequel le champ électrique et le champ magnétique, à distance donnée, peuvent être
calculés.
c/ Modèles dits « modèles RLC ». Ils peuvent être considérés comme une approximation des
modèles électromagnétiques et ils représentent la décharge de foudre comme un processus
transitoire sur une ligne de transmission caractérisée par des résistances, des inductances et
des capacités toutes par unité de longueur. Ces modèles sont utilisés pour déterminer le
courant dans le canal et peuvent donc également utilisés pour calculer le champ magnétique et
le champ électrique à une distance donnée par rapport au canal de foudre.
d/ Modèles dits « d’ingénieurs », dans lesquels la distribution spatiale et temporelle du
courant du canal de foudre est basée sur les caractéristiques observées de l’arc en retour, à
savoir : le courant à la base du canal et la vitesse de propagation de l’arc en retour le long du
canal de foudre.
43
Chapitre II
Modélisation du courant de foudre
Dans la suite de ce document, nous allons nous intéresser à deux familles de ces modèles à
savoir : les modèles d’ingénieurs et les modèles électromagnétiques. Ce choix est motivé par
les raisons suivantes :
Les modèles d’Ingénieurs ont pour avantages la manipulation d’un faible nombre de
paramètres ajustables ; la distribution spatio-temporelle du courant le long du canal de
foudre est reliée au courant à la base du canal par une expression simple dont les
paramètres sont mesurables.
Les modèles électromagnétiques qui sont relativement nouveaux et rigoureux
s’adaptent bien à la spécification de la source de perturbations dans les études de
couplage entre le champ électromagnétique rayonné par la foudre et les différents
systèmes. Ils sont cependant caractérisés par une mise en œuvre plus difficile que celle
des modèles d’Ingénieurs.
II.3.1 Modèles d’Ingénieurs [11, 14, 40, 41]
II.3.1.1 Modèle de Bruce et Golde (BG) (1941)
Il s’agit d’un des premiers modèles dans le genre et probablement le plus simple. Selon ce
modèle, le canal de foudre est modélisé par une antenne verticale de très faible section,
parcourue par une impulsion de courant qui se propage à une vitesse inférieure à la vitesse de
la lumière. Cette propagation ne subit ni déformation ni atténuation. Le courant i(z’,t), à des
hauteurs inférieures au front de l’arc en retour, est égal au courant à la base du canal, et à des
hauteurs supérieures au front de l’arc en retour, le courant est nul :
i ( z ' , t ) = i ( 0, t )
i ( z' , t ) = 0
si
si
z ' ≤ v.t
II-14
z ' > v.t
II-15
Où v est la vitesse de propagation de l’onde de l’arc en retour.
44
Chapitre II
Modélisation du courant de foudre
Forme d’onde
observée
Forme d’onde
observée
Point
d’impact
Fig. II-4 : Distribution spatio-temporelle du courant d’arc en retour selon le modèle BG.
Nous présentons à la figure II.5 une représentation tridimensionnelle du courant dans le canal,
en fonction du temps et de la hauteur dans le canal, selon le modèle BG. Les paramètres du
courant à la base du canal considérés pour l’obtention de cette représentation sont ceux
consignés dans le tableau II.2. La vitesse de propagation du courant le long du canal ( v ) a été
fixée à 150m/µs.
Dans ce modèle la distribution du courant da foudre présente une discontinuité qui apparait au
front d’onde impliquant une neutralisation instantanée des charges avant l’arrivée du courant.
Une autre limitation de ce modèle réside dans l’hypothèse du le courant en chaque point le
long du canal qui s'ajuste instantanément à la grandeur du courant à la base à cet instant. Cette
hypothèse n’est valable que dans le cas où la vitesse de propagation du courant est infinie
[42].
45
Chapitre II
Modélisation du courant de foudre
60
50
15
40
i(kA)
10
30
5
40
0
8
30
7
20
20
6
5
4
3
z'(km)
10
2
1
0
t(us)
10
0
Fig. II-5 : Distribution spatio-temporelle du courant d’arc en retour subséquent le long du
canal selon le modèle BG [42]
II.3.1.2 Modèle de la ligne de transmission (TL)
Ce modèle a été développé par Uman et McLain en 1969. En effet, ces derniers ont représenté
le canal de foudre par une ligne de transmission sans pertes traversée par une impulsion de
courant (courant d’arc en retour) se propage le long du canal à partir du sol avec une vitesse
constante (généralement très inférieure à la vitesse de la lumière c) et sans aucune
déformation (figure II-6).
Forme d’onde
observée
Forme d’onde
observée
Point
d’impact
Fig. II-6 : Distribution spatio-temporelle du courant d’arc en retour selon le modèle TL
46
Chapitre II
Modélisation du courant de foudre
Les équations décrivant la répartition du courant le long du canal de foudre sont :
(
i ( z ' , t ) = i 0, t − z
i ( z' , t ) = 0
'
v
)
si
z ' ≤ v.t
II-16
si
z ' > v.t
II-17
La figure II.7 donne une représentation tridimensionnelle du courant dans le canal, en
fonction du temps et de la hauteur dans le canal, obtenue en mettant en œuvre le modèle TL.
Les paramètres du courant à la base du canal adoptés sont ceux du modèle d’Heidler (cf
tableau II.2). La vitesse de propagation du courant le long du canal a été fixée, là aussi à
150m/ms [42].
Par ailleurs, l’inconvénient de ce modèle réside dans le fait que l’intensité du courant le long
du canal reste constante car le modèle TL ne permet aucun transfert de charges entre le
traceur et l’arc en retour. Or, des résultats obtenus à partir d’observations optiques ont montré
que l’amplitude et la forme du courant varient en fonction de la hauteur [43]. D’autre part, les
mesures des variations du champ électrique associé au traceur ont mis en évidence que le
traceur est bel et bien porteur d’une certaine densité de charges [40].
60
50
15
40
i(kA)
10
30
5
20
40
30
0
8
20
6
10
4
z'(km)
2
0
10
t(us)
0
Fig. II-7: Distribution spatio-temporelle du courant de l’arc retour subséquent le long du
canal selon le modèle TL[42]
47
Chapitre II
Modélisation du courant de foudre
II.3.1.3 Modèle de la ligne de transmission modifié (MTL)
Ce modèle à l’avantage de pallier les défauts du modèle TL tout en gardant sa simplicité. Il
permet donc une utilisation facile notamment dans le calcul du champ électromagnétique
associé à l’arc en retour.
Ainsi deux versions complémentaires, basées sur le modèle TL, ont été proposés par les
chercheurs permettant de prendre en compte la distribution spatio-temporelle du courant le
long du canal de foudre et le transfert de charges le long du canal de foudre. Il s’agit du :
a) Modèle de la ligne de transmission modifiée avec décroissance linéaire (MTLL)
(«Modified Transmission Line with linear decay »)
Ce modèle a été mis en point par Rakov et Dulzon en 1987 [43]. L’amplitude du courant de
foudre diminue linéairement lorsque ce dernier se propage vers le haut du canal. Selon ce
modèle la distribution du canal de foudre s’écrit comme suit :
(
i ( z ' , t ) = i 0, t − z
'
i ( z' , t ) = 0
)(1 − z H )
'
v
si
z ' ≤ v.t
II-18
si
z ' > v.t
II-19
Avec H : Hauteur totale du canal de foudre.
b) Modèle de la ligne de transmission modifiée avec décroissance exponentielle (MTLE)
(«Modified Transmission-Line with Exponential decay»)
Une deuxième modification du modèle MTL, effectuée en 1988 par Nucci et al. [35] et reprise
plus tard (en 1989 et 1990) par Rachidi et Nucci [44, 45]), suppose que la décroissance de
l’amplitude du courant le long du canal de foudre est de forme exponentielle. Ainsi la
nouvelle distribution spatio-temporelle du courant s’écrit sous la forme :
(
i ( z ' , t ) = i 0, t − z
i ( z' , t ) = 0
'
v
)e
− z' λ
si
z ' ≤ v.t
II-20
si
z ' > v.t
II-21
Le paramètre "K" représente le taux de décroissance de l’intensité du courant le long du canal ;
sa valeur a été déterminée par Nucci et Rachidi [46] en se basant sur les travaux publiés par
48
Chapitre II
Modélisation du courant de foudre
Lin et al. en 1979 [29] et en 1980 [47]. Cette valeur est comprise dans l’intervalle [1.5
2]
km.
L’introduction de ce paramètre dans l’expression du courant de foudre avait pour objectif la
prise en compte du transfert de charges entre le traceur et l’arc en retour.
Dans les figures II.8 et II.9, nous présentons des représentations tridimensionnelles du courant
dans le canal, en fonction du temps et de la hauteur dans le canal, obtenues en utilisant les
modèles MTLL et MTLE.
60
50
15
40
10
i(kA)
30
5
40
20
30
0
8
20
10
6
10
4
2
0
z'(km)
0
t(us)
Fig. II-8 : Distribution spatio- temporelle du courant d’arc en retour subséquent le long du
canal selon le modèle MTLL[42]
49
Chapitre II
Modélisation du courant de foudre
60
50
15
40
10
i(kA)
30
40
5
30
0
8
20
t(us)
6
20
10
10
4
z'(km)
2
0
0
Fig. II-9 : Distribution spatio-temporelle du courant de l’arc en retour subséquent le long du
canal selon le modèle MTLE[42]
Nous pouvons aisément voir, à travers ces représentations tridimensionnelles, la décroissance
du courant de foudre dans le canal mettant en évidence la prise en compte du transfert de
charges entre le traceur et l’arc en retour.
II.3.1.4 Modèle de la source de courant mobile (TCS : « Traveling Curent Source »)
Selon ce modèle, proposé par Heidler en 1985[48], les charges localisées dans le canal de
foudre sont neutralisées instantanément à l’arrivée du front de l’arc en retour. Une source de
courant est associée au front de l’arc en retour et parcoure le canal à la vitesse v de celui-ci.
Le courant résultant se propage jusqu’au sol à la vitesse de la lumière. Le courant injecté par
'
la source mobile à une hauteur z ' atteint la base du canal avec un retard égal à : z
v0
, comme
on peut le constater à travers l’écriture de l’expression mathématique suivante:
LM,
= ,0, + L ON / si
i ( z' , t ) = 0
M
si
z ' ≤ v.t
II-22
z ' > v.t
II-23
Une représentation tridimensionnelle des variations du courant dans le canal de foudre, en
fonction du temps et de la hauteur dans le canal, obtenue en mettant en œuvre le modèle TCS
est présentée à la figure II.10. Ces variations ont été obtenues en considérant pour le courant à
la base du canal les paramètres présentés dans le tableau II.2 avec une vitesse de propagation
du courant le long du canal égale à 150m/µs.
50
Chapitre II
Modélisation du courant de foudre
60
50
15
40
10
i(kA)
30
40
5
20
30
0
8
20
6
10
4
z'(km)
2
0
10
t(us)
0
Fig. II-10 : Distribution spatio-temporelle du courant de l’arc en retour subséquent le long du
canal selon le modèle TCS [42]
II.3.1.5 Modèle de Diendorfer et Uman (DU) (1990)
Ce modèle a été proposé par Diendorfer et Uman en 1990 [49]. Selon ce modèle, le courant
d’arc en retour se compose de deux termes, le premier terme est identique à celui du modèle
TCS, et le deuxième terme représente un courant de polarité inverse qui monte instantanément
à une valeur égale à l’amplitude du courant de front et décroît exponentiellement en fonction
du temps (avec une constante de temps : τ D ).
La distribution du courant de foudre, d’après ce modèle, s’écrit :
L′,
′
E*
L′
L′
, T OUV /.5W
Q0, + S − Q0, ∗ S .
∀L ′ ≤ NZ . II − 24`
R
N
= P
′
0∀L > NZ . II − 25
Avec :
v f = c ste
τ D = c ste
Où :a est une constante de temps, supposée égale à 0.1 µs selon Thottappillil et al. [28].
Avec :
N ∗ = NZ ⁄ 1 +
UV
b
Cas particulier : Le modèle DU devient le modèle TCS pour :a = 0.
51
Chapitre II
Modélisation du courant de foudre
II.3.1.6 Généralisation des modèles d’Ingénieurs
Dans les références [4,40], Rakov a présenté les modèles d’Ingénieurs à savoir les modèles :
TL, MTLE, MTLL, BG et TCS, à l’aide d’une seule expression. Cette dernière s’écrit comme
suit :
LM,
= d L′ 0, − L M /N f
− L M /NZ
II-26
Où:
u: Fonction échelon unité ayant pour valeurs:
f
=g
1 ≥ L′⁄N `
0 ≤ L′⁄N
d L′ . : Facteur d’atténuation de l’onde de courant d’arc en retour
II-27
vf: Vitesse de propagation du front ascendant (appelée aussi par la vitesse de l’arc en retour).
v: Vitesse de propagation de l’onde de courant.
Le tableau II.4 résume les paramètres : v et d L′ .
Modèle
P (z’)
BG
1
TL
1
TCS
1
MTLL
MTLE
N
∞
NZ
1 − L′⁄j
exp − L′⁄K
−R
NZ
NZ
Tableau II.4 : Valeurs des paramètres d L′ et v pour les cinq modèles d’Ingénieur [ 4, 40]
II.3.2 Modèles électromagnétiques
Les modèles électromagnétiques du courant d’arc en retour bien que relativement nouveaux
sont rigoureux et s’adaptent bien aux études de couplage champ électromagnétique rayonné
par la foudre/structures (câbles enterrés par exemple). Cette classe des modèles est basée sur
la résolution des équations de Maxwell permettant d’obtenir la distribution spatio-temporelle
du courant d’arc en retour le long du canal. Cette dernière est obtenue en utilisant des
52
Chapitre II
Modélisation du courant de foudre
techniques numériques telles que la méthode des moments (MOM) [50,51] et la méthode des
différences finies dans le domaine temporel (FDTD) [52]. Les modèles électromagnétiques
permettent aussi l’obtention une solution directe de la distribution spatiotemporelle du courant
d’arc en retour ainsi que des composantes du champ électromagnétique rayonné par la foudre
qui n’est pas le cas des modèles d’Ingénieurs et des modèles RLC.
Par ailleurs, le problème majeur lié aux modèles électromagnétiques réside dans l’injection de
la vitesse de propagation. A cet effet différentes géométries, représentant le canal de foudre,
ont été employées par les chercheurs.
Ainsi, Baba et Rakov ont classé dans les références [53,54,55,56,57,58] les différentes
géométries de représentation du canal de foudre permettant le calcul du courant d’arc en
retour et du champ électromagnétique qui lui est associé. Cette classification a abouti à sept
types de représentations à savoir :
1/ un fil parfaitement conducteur ou résistif placé dans l’air et dessus du sol.
2/ un fil chargé par des inductances additionnelles en séries placé dans l’air et dessus du sol.
3/ un fil entouré par un milieu diélectrique (différent de l’air) qui occupe le demi espace de
travail au dessus du sol.
4/ un fil enveloppé par un matériau diélectrique (sous la forme d’une cylindre ou d’un
parallélépipède) et placé dans l’air au dessus du sol.
5/ un fil enveloppé par un matériau ayant la permittivité relative et perméabilité relative dont
les valeurs sont égaux et supérieures que ceux de l’air. Ce matériau est de son tour placé
dans l’air et dessus du sol.
6/ deux fils en parallèles shunté entre eux par des additionnelles capacités distribuées le long
du canal du foudre.
7/ des sources de courant placées sous la forme d’un vecteur vertical (un sur un) dans l’air et
au dessus du sol.
La représentation schématique de ces sept représentations est présentée dans la figure II-11.
Il est à noter que dans de nombreux travaux de recherche relatifs au calcul du champ
électromagnétique rayonné par un coup de foudre, les six premières représentations du canal
de foudre ont été adoptées. Quant au septième type il a été utilisé par Baba est Rakov [59,50]
dans le but d’implémenter les modèles d’ingénieur dans leurs codes de calcul, basés sur la
méthode des différences finies dans le domaine temporel (FDTD).
53
Chapitre II
Modélisation du courant de foudre
Source
Sol
Sol
Sol
Sol
Type 1
Type 2
Type 3
Type 4
Sol
Type 5
Sol
Type 6
Type 7
Fig. II-11 : Représentation schématique des sept représentations du canal de foudre (modèles
électromagnétiques)
II.3.2.1 Première représentation : Fil parfaitement conducteur ou résistif placé dans
l’air au dessus du sol
Dans ce type de modèle le conducteur représentant le canal de foudre est excité à sa base au
niveau du sol par une source de courant. La vitesse de propagation du courant d’arc en retour,
spécifique à ce modèle, est égale à celle de la lumière (3.108 m/s). Cette valeur est plus grande
que celle de la vitesse réelle de l’arc en retour qui est dans les limites de un à deux tiers de la
vitesse de la lumière (entre c/3 et 2c/3). La forme d’onde de courant de foudre, obtenue à
l’aide de ce type représentation, est caractérisée par une atténuation lorsqu’elle se propage le
long du canal de foudre.
A noter que plusieurs travaux utilisant ce modèle de représentation du canal de foudre ont été
publiés dans la littérature. Parmi ces travaux on peut citer ceux de Podorski et Land [61], et
Baba et Rakov [53,54,55,56,58,59,62].
54
Chapitre II
Modélisation du courant de foudre
Le principal inconvénient de ce modèle réside dans la vitesse de propagation du courant de
l’arc en retour qui est considérée comme étant égale à la vitesse de la lumière. Cette
supposition relative à l’égalité des vitesses de propagation conduit à une surestimation des
champs électriques et magnétiques puisque les amplitudes de ces derniers sont
proportionnelles à la vitesse de propagation du courant.
Enfin, il faut noter que pour implémenter numériquement ce modèle, on doit forcer la
composante verticale du champ électrique le long du canal de foudre à être nulle dans le cas
d’un fil parfaitement conducteur.
II.3.2.2 Deuxième représentation: Fil chargé par des inductances additionnelles montées
en série dans l’air au dessus du sol
La vitesse de la propagation de l’onde du courant de l’arc en retour d’un coup de foudre peut
être réglée par la variation des valeurs des inductions additionnelles montées en série le long
du fil représentant le canal de foudre. Ainsi, Baba et Rakov ont présenté dans les références
[53,54,55,56,58,59,62] une approximation mathématique mettant en relation l’inductance
additionnelle et la vitesse de propagation de l’onde du courant d’arc en retour. Cette relation
s’exprime comme suit :
N=n
o
.R
o +o
II-28
c : Vitesse de la lumière égale à 3.108 m/s,
L0 : Inductance naturelle du fil vertical supposée égale à 2.1 µH/m (cette valeur a été évaluée
par Rakov [63] pour un fil horizontal ayant un rayon de 30 mm se trouvant à une hauteur de
500 m).
Ce type de modèle a été utilisé par Noda et al. [64], Kato et al. [65], Baba et Rakov [53,54,
55,56,58,59,62], Baba et Ishii [65] and Mejia et Murcia [66] dans le but d’obtenir la
distribution spatiotemporelle du courant d’arc en retour le long du canal de foudre ainsi que
les composantes du champ électromagnétique associé. Il faut noter que dans ces travaux la
vitesse de l’arc en retour a été considérée comme étant invariante le long du canal de foudre.
Cependant, Bonyadi et al [68] ont affirmé que cette vitesse n’est pas constante le long du
canal de foudre et ont proposé une approximation mathématique mettant en relation la
55
Chapitre II
Modélisation du courant de foudre
variation spatiale de cette vitesse avec les paramètres non-linéaires (inductances et capacités)
le long du canal de foudre. Cette relation a pour expression mathématique:
o L =
1
−o L N L p L
II-29
Avec:
p L =
o L =
2qr
2L
ln , /
u
II-30
v
2L
ln 9 ;
2q
u
N L = Nw − Nw − N
II-31
x
y
II-32
L : est l’inductance additionnelle, L0 et C0 désignent respectivement l’inductance et la capacité
naturelle du fil représentant le canal de foudre, v est la vitesse de propagation de l’onde de
courant d’arc en retour, v0 est la vitesse de propagation à la base du canal (vitesse initiale au
niveau du sol), vh est la vitesse finale au niveau de la limite supérieure du canal de foudre
(lorsque z devient égale à la hauteur du canal) et λ est la constante d’atténuation de l’onde du
courant le long du canal du foudre.
Il est à noter aussi que l’utilisation de l’induction additionnelle fait apparaitre des oscillations
au niveau de la forme d’onde du courant de foudre ce qui nécessite l’utilisation de résistances
placées en série avec ces inductances le long du fil.
II.3.2.3 Troisième représentation: Fil entouré par un milieu diélectrique (autre que
l’air) occupant le demi-espace de travail au dessus du sol
Pour ce type de modèle électromagnétique, la vitesse de propagation du courant d’arc en
retour le long du canal de foudre est inferieure à la vitesse de la lumière. Elle est aussi ajustée
par la variation de la permittivité relative du milieu artificiel (milieu diélectrique). La valeur
de cette dernière doit être supérieure à celle de l’air qui est égale à 1.
56
Chapitre II
Modélisation du courant de foudre
Dans le cas d’un sol parfaitement conducteur, et à titre d’exemple lorsque la permittivité
relative du milieu diélectrique prend les valeurs 9 et 4, la vitesse de propagation de l’onde de
courant d’arc en retour est égale à c/3 et c/2 respectivement [54,55,56].
L’approximation mathématique reliant la vitesse de propagation de l’onde de courant d’arc en
retour et la permittivité relative du milieu diélectrique est :
N=
R
√r{
II-33
Ce modèle convient parfaitement si on étudier et analyser la distribution spatiotemporelle du
courant d’arc en retour le long du canal de la foudre. En revanche, il est déconseillé si on
s’intéresse au calcul du champ électromagnétique rayonné associé à ce courant. Ceci est du au
fait que la vitesse de propagation de ce courant ainsi que son amplitude sont affectées par la
présence du milieu artificiel (ie: le milieu diélectrique). Cette vitesse est égale à la vitesse de
la lumière dans l’air. Ainsi, les chercheurs Moini et al. [69], Shoory et al. [70], et Grcev et al.
[71] ont adopté ce modèle dans leurs études de la distribution spatiotemporelle du courant
d’arc en retour le long du canal de foudre. L’implémentation numérique de ce modèle peut
être effectuée de la même manière que celle du premier modèle de représentation.
II.3.2.4 Quatrième représentation: Fil enveloppé par un matériau diélectrique (sous la
forme d’un cylindre ou d’un parallélépipède) et placé dans l’air au dessus du sol
Cette représentation est utilisée principalement pour permettre l’étude de la propagation du
champ électromagnétique dans l’air avec un milieu artificiel (milieu diélectrique) plus réduit
que celui du troisième modèle. Dans ce type de modèle, le champ électrique et le champ
magnétique se propagent dans l’air à la vitesse de la lumière. La vitesse de propagation de
l’onde de courant d’arc en retour est ajustée par la variation de la valeur de la permittivité
relative du milieu diélectrique. En effet, celle-ci doit être plus grande que celle utilisée dans la
mise en œuvre du troisième modèle de représentation. Ainsi, Kato et al. [65] par exemple ont
représenté le canal du foudre par un fil vertical enveloppé par un matériau diélectrique de
forme cylindrique (rayon = 4 mm). La permittivité relative a été fixée à 200 afin d’obtenir une
vitesse ayant pour valeur 0.7c environ [54, 55, 56].
57
Chapitre II
Modélisation du courant de foudre
II.3.2.5 Cinquième représentation : Fil enveloppé par un matériau de permittivité et
perméabilité relatives égales et supérieures à celles de l’air.
Les chercheurs Miyasaki et Ishii [72] sont les premiers à avoir utilisé ce type de modèle dans
leurs calculs du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre. Malheureusement,
ils n’ont pas indiqué, dans leur publication, les valeurs considérées de la conductivité et de la
permittivité. La vitesse de propagation de l’onde de courant d’arc en retour a été supposée,
dans ce travail, égale à 0.5c.
Dans leurs travaux Baba et Rakov [53,54,55,56,58,59,62] ont eux aussi adopté ce type de
représentation. Les valeurs de permittivité et de perméabilité relatives ont été respectivement
fixées à : εr = 5 et µ r = 5 afin d’obtenir une vitesse de propagation de l’onde de courant d’arc
en retour égale à 0.5c. Par ailleurs le contrôle de l’atténuation de l’onde de courant, pendant sa
propagation le long du canal de foudre, est effectué par l’utilisation de résistances
additionnelles montées en série et distribuées le long du fil représentant ce canal.
Enfin, l’implémentation numérique de ce type de modèle ainsi que celle du modèle précédent
(quatrième modèle) est un peu délicate car elle est dépendante de la géométrie complexe
constituée de trois milieux de calcul (air, sol et milieu artificiel) et dont les paramètres sont
différents. Le cylindre (ou le parallélépipède) est placé dans l’air au dessus du sol.
II.3.2.6 Sixième représentation: Deux fils parallèles shuntés entre eux par des capacités
additionnelles et distribués le long du canal de foudre
Ce type de modèles a été exploité par Bonyadi et al, dans leurs travaux basés sur l’utilisation
de la méthode des moments (MoM) [68]. Dans ces travaux, la vitesse de propagation de l’arc
en retour était de l’ordre de 0.43c alors que la capacité shunt valait 50 pF/m. La distance entre
les deux fils parallèles, de rayon égal à 2 cm chacun, était de 30. Il est à noter que ce type de
modèle est utilisé uniquement pour calculer le courant d’arc en retour le long du canal de
foudre.
Aussi, Baba et Rakov [54] dans une analyse globale des modèles électromagnétiques ont
présenté une formule mathématique mettant en relation la vitesse de propagation de l’onde
d’arc en retour le long du canal de foudre et la capacité shunt, cette relation s’exprime comme
suit :
58
Chapitre II
Modélisation du courant de foudre
p
N=n
. R
p + p&|
II-34
Avec C0 : la capacité naturelle du canal du coup de foudre.
II-4 Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons présenté succinctement les principales facettes de la phase d’arc
en retour relative à une décharge de foudre nuage-sol. En premier temps les formules
analytiques du courant de l’arc en retour à la base du canal de foudre ont été données. Par la
suite les différentes classes de modèles décrivant la distribution spatiotemporelle de l’onde de
courant d’arc en retour on été présentées. Une attention particulière a été réservée aux
modèles dits «d’Ingénieurs» ainsi qu’aux modèles électromagnétiques cause de leur
popularité au sein de la communauté scientifique. L’état de l’art des différentes méthodes
utilisées pour le calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre fera
l’objet du prochain chapitre.
59
Chapitre III
Etat de l’art sur les différentes
méthodes de calcul du champ
électromagnétique rayonné
par un coup de foudre
Chapitre III
Etat de l’art sur les différentes méthodes de calcul
du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
III.1 Introduction
La protection efficace des systèmes électriques et électroniques contre les perturbations
induites par les coups de foudre indirects nécessite la connaissance et la caractérisation des
champs électromagnétiques rayonnés par ces coups de foudre. Dans la littérature des grands
efforts ont été effectués pour développer des modèles ayant pour but le calcul des
composantes du champ électromagnétique associé au coup de foudre. Dans ce chapitre nous
présentons un état de l’art sur les différentes méthodes de calcul du champ électromagnétique
rayonné par un coup de foudre. Nous traitons également, dans ce même chapitre, différentes
configurations géométriques du sol ainsi que les théories relatives chaque configuration. Une
attention particulière sera réservée à la méthode des différences finies dans le domaine
temporel ; méthode adoptée dans ce travail pour l’analyse du rayonnement électromagnétique
de la foudre.
III.2 Géométrie du problème
Pour le calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre descendant, le
canal de foudre est considéré comme une antenne verticale unidimensionnelle de hauteur H
placé au-dessus d’un plan conducteur comme l’indique la figure III-1. L’arc en retour de la
foudre se propage verticalement le long du canal de foudre avec une vitesse v et il est
parcouru par un courant connu sous la dénomination du courant d’arc en retour dont la
distribution spatio-temporelle i(z’,t) est la source d’un champ électromagnétique rayonné à
partir du canal de la foudre. La détermination donc, en un point quelconque de l’espace, de ce
champ électromagnétique nécessite la connaissance préalable de la distribution spatiotemporelle du courant de l’arc en retour.
v
H
i (z’,t)
P : Point d’observation
z'
Plan conducteur
r
Fig. III-1: Géométrie adoptée pour le calcul du champ électromagnétique rayonné par un
coup de foudre (canal de foudre supposé vertical).
- 60 -
Chapitre III
Etat de l’art sur les différentes méthodes de calcul
du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
III.3 Equation général d’un champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
III.3.1 Champ électromagnétique au dessus du sol
Sommerfeld en 1909 [73] est le premier qui a publié une étude sur l’effet d’un plan de
conductivité finie sur le rayonnement électromagnétique d’un dipôle oscillant. Le traitement
complet du problème de rayonnement d’un dipôle a été entamé par Banos en 1966 [74], en
déterminant la solution des équations de Maxwell pour chaque milieu en accord avec les
conditions aux limites à l’interface air-sol [3,14].
En coordonnées cylindriques, les équations du champ crée par un dipôle vertical placé à une
hauteur z’ dans le domaine fréquentiel sont données par les expressions suivantes [3] :
, ,
=
, ,
=
&∅ , ,
=
(
−
+"
%
−
%
+" #
−
+" #
$
+" #
III-1
$
III-2
$
III-3
Avec
#
=
)*+
=
)*+
,,7
6 )*+/(0
,-
= .4
0
,7
= .4
0
6 )*+ (0 8 ( 8
6 )*+/(0
= .4
1 2
1
09 1 9 0 2
34 5 5 5
III-4
34 5 5 5
III-5
34 5 5 5
III-6
Et
: =;
+
< = ;5 − "
%
+
: =;
;
+
< = ;5 − "
;
- 61 -
%
−
Chapitre III
" =;
=> ?@ −
Etat de l’art sur les différentes méthodes de calcul
du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
=0 B@
" =
;
;=0 ?@
Avec :
=> , ?@ , B@ : désignant respectivement la perméabilité, la permittivité et la conductivité du sol.
J0 : est la fonction de Bessel d’ordre 0.
I(z’) : est la transformée de Fourier de la distribution du courant le long du canal i(z’,t).
H
i (z’,t)
Rd
dz'
P (r,∅,z)
θd
z'
Plan conducteur
θr
z'
Rr
Ez
Image
Er
&∅
Fig. III-2: Grandeurs Géométriques intervenant dans les équations du champ
électromagnétique.
III.3.1.1 Cas d’un sol parfaitement conducteur
Uman et al. [75] ont développé des formules déduites des équations de Maxwell en utilisant la
théorie des images pour un sol parfaitement conducteur (Fig.III.2). Leteinturier [76] a obtenu
les mêmes équations, mais en faisant tendre la conductivité du sol vers l’infini dans les
intégrales générales de Sommerfeld. Ces expressions s’écrivent dans le domaine temporel
comme suit :
K
1
3
, ,C =
GH
4F?4
(K
−
:J
%
O
HL
4
%
, C − : ⁄M
- 62 -
P
%Q
+
Chapitre III
K
QH
(K
3
−
M:
%
Etat de l’art sur les différentes méthodes de calcul
du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
L
%
, C − : ⁄M
K
K
QH
(K
2
&∅
1
2
, ,C =
GH
4F?4
− % −
M:
(K
L
%
−
K
: =;
Où :
%
(K
+
− % SL
M : R
(K
O
−
%
:J
K
+ H
, C − : ⁄M
1
G H RL
, ,C =
:
4F
Avec :
%
HL
%
4
%
K
+ H
(K
, C − : ⁄M %Q
%
, C − : ⁄M
SC
, C − : ⁄M P
M :
K
+Q H
(K
R
SL
M:
%
%Q
%
III-7
+
, C − : ⁄M
SC
SL
%
T
, C − : ⁄M
SC
%
T
III-8
%
T
III-9
+ ′
ε0 : est la permittivité diélectrique du vide,
c : la vitesse de la lumière,
R : la distance du dipôle au point d’observation et
r : la distance horizontale entre le canal de foudre et le point d’observation P.
Le champ électrique est la somme de trois termes, le premier terme contenant l’intégrale du
courant, appelé « champ électrostatique », le deuxième contenant le courant, appelé « champ
d’induction » et le troisième contenant la dérivée du courant, appelé « champ rayonné ». Le
champ
magnétique,
est
composé
d’un
terme
d’induction,
appelé
aussi
« champ magnétostatique » et un terme de rayonnement.
III.3.1.2 Prise en compte de la conductivité finie du sol
Pour des distances supérieures à plusieurs km, la propagation au-dessus d’un sol de
conductivité finie n’est plus négligeable et a pour conséquence majeur une atténuation des
composantes des composantes hautes fréquences, qui se traduit par une diminution de la
valeur de pic et de raideur de front du champ [3].
- 63 -
Chapitre III
Etat de l’art sur les différentes méthodes de calcul
du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
En effet, la composante horizontale du champ électrique est la plus affectée par la
conductivité finie du sol, pour cet effet plusieurs formules simplificatrices ont été développées
dans la littérature pour palier à ce problème tel que la fonction «Wavetilt » qui donne le
rapport des transformées de Fourier des composantes horizontale et vertical du champ
électrique [3], l’approximation de Norton [77] développée en 1937 et l’approximation de
«Cooray – Rubinstein » [78,79] qui est jugée la plus simple parmi toutes les autres
approximations. Ainsi, dans cette dernière le champ électrique horizontal rayonné par la
foudre, calculé en un point situé au dessus d’un sol de conductivité finie, s’exprime par
l’expression suivante :
, ,
W
, ,
=
W
, ,
, &∅W , 0,
− &∅W , 0,
;
XYZ 1[Z ⁄
III-10
: désignent respectivement, les transformées de Fourier du champ
électrique horizontal à une hauteur z au dessus du sol et du champ magnétique au niveau du
sol, ces deux champs sont calculés en supposant un sol parfaitement conducteur.
III.3.2 Champ électromagnétique en dessous du sol
Dans les années soixante Banos [74] a développé
les expressions générales du champ
électrique en un point situé en dessous d’un sol avec conductivité finie généré par un dipôle
en dessus du sol.
v
i (z’,t)
H
dz'
R
z'
Sol avec conductivité finie
d
r
P : point d’observation
Fig. III-3 Géométrie du problème adoptée pour le calcul du champ électromagnétique au
dessous du sol.
- 64 -
Chapitre III
Etat de l’art sur les différentes méthodes de calcul
du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
La figure II.3 présente la géométrie du problème liée au calcul du champ électromagnétique
au dessous d’un sol avec conductivité finie.
Il est intéressant de noter que les expressions du champ développées par Banos [74] sont
écrites dans le domaine fréquentiel et contiennent les intégrales de Sommerfeld.
III.3.2.1 Formules de Cooray
En fonction des composantes du champ électromagnétique, calculées au niveau du sol,
Cooray en 2001 [80] a proposé des expressions plus simples pour le calcul du champ au
dessous du sol, ces dernières s’expriment mathématiquement de la manière suivante :
&∅
Avec
, ,
=
, , 0 \(
, ,
=
, ,0
, ,
= &∅
"@ = X
=4 B@ −
Z
III-11
Y ] ^_Z 7
;[Z 1
, , 0 \(
YZ
III-12
Z
III-13
=4 ?@
On peut clairement remarquer que les équations (III-11) – (III-13) sont données dans le
domaine fréquentiel nécessitant l’utilisation de la transformée de Fourier inverse (TFI) pour
passer au domaine temporel.
Le calcul du champ électrique vertical et le champ magnétique azimutal, au niveau du sol,
peut s’effectuer en utilisant l’hypothèse d’un sol parfaitement conducteur. Quant au champ
électrique horizontal il peut se faire en utilisant une des méthodes adoptées pour le cas d’un
sol avec conductivité finie tel que l’approximation du Cooray-Rubenstain.
En 2004, Petrache [39] a fait une comparaison entre les expressions simplifiées de Cooray et
les solutions numériques exactes publiées par Zeddam [81]. Le point d’observation est situé à
une distance de 100 m du canal de foudre à deux profondeurs en dessous du sol (1 m et 10 m)
- 65 -
Chapitre III
Etat de l’art sur les différentes méthodes de calcul
du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
et pour deux valeurs de conductivités finies du sol : 0.01 S/m et 0.001 S/m. Il a conclu que
l’approximation de Cooray permet d’aboutir à des résultats satisfaisants [14].
III.3.2.2 Algorithme de Delfino et al. [57]
Cet algorithme a été développé en 2006 par Delfino et al. [82] pour évaluer le champ
électromagnétique au dessous d’un sol homogène caractérisé par une conductivité finie. Ces
auteurs ont démontré que les trois composantes du champ électromagnétique (champ
électrique horizontal et vertical ainsi que le champ magnétique azimutal) peuvent être écrites
sous la forme :
c
a
a
a
=
=
2F ?4
2F ?4
6
H 3 5 exp – =
4
6
H 34 5 exp – =
b
4
a
6
a
i
H 3 5 exp – =
à &∅ =
2F
4
%
%
%
5 =h
5
i = + =h
exp =h
exp =h
exp =h
5 5
i = + =h
Avec
= = 5 − " ;
=h = 5 − "h ;
k : nombre d’onde dans l’air,
kE : nombre d’onde dans le sol,
n : indice de réfraction complexe,
J0 : fonction de Bessel d’ordre zéro,
J1 : fonction de Bessel du premier ordre.
" =
"h =
?4 =4
?=4 +
i = "h /"
5R 5Q
i = + =h
=4 B
- 66 -
III-13
Chapitre III
Etat de l’art sur les différentes méthodes de calcul
du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
III.3.3 Cas d’un sol stratifié
L’influence de la stratification du sol sur les composantes du champ électromagnétique
rayonné par la foudre a attiré l’attention de nombreux chercheurs spécialistes dans le domaine
d’analyse et d’évaluation de l’impulsion électromagnétique de la foudre (LEMP). Wait [8384-85] est parmi les premiers chercheurs qui ont présenté une investigation analytique pour la
propagation du champ électromagnétique sur un sol stratifié.
La théorie de Wait a été adoptée par Cooray et Cummins [86] pour l’évaluation du champ
électromagnétique rayonné par la foudre sur un sol stratifié. Cependant, des études récentes
[87] ont affirmé que la formulation de Wait peut être utilisée uniquement pour calculer le
champ électrique vertical à des distances très lointaines par rapport au canal de foudre.
Récemment, un algorithme efficace pour l’évaluation des expressions exactes du champ
électromagnétique rayonné par un coup de foudre sur un sol stratifié a été présenté par Delfino
et al. [88]. En se basant sur cet algorithme Shoory et al. [89] ont développé une approche
simplifiée pour analyser l’effet d’un sol stratifié horizontalement sur le champ
électromagnétique rayonné.
Par ailleurs, la méthode des différences finies, dans le domaine temporel en deux dimensions
exprimée en coordonnés cylindriques et associée au modèle de courant d’arc en retour de type
MTLE, a été exploitée par Mimouni et al. [90] pour calculer les composantes du champ
électromagnétique au dessus et en dessous d’un sol stratifié horizontalement à une distance
proche du canal de foudre.
L’effet de la stratification du sol sur le calcul du champ électromagnétique rayonné par la
foudre a été aussi examiné par Barbosa et al. [91].
Très récemment Packnahard et al. [92] ont utilisé le logiciel COMSOL basé sur la méthode
des éléments finis (FM: «Finite Elements ») pour examiner l’effet de la stratification du sol sur
le champ électromagnétique et sur les courants induits sur les câbles sous-terrains. Cette
dernière méthode a été exploitée par Sheshyekani et al. [93] dans leurs calculs des
composantes du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre et de surtensions
induites par ce champ sur les lignes aériennes en présence d’un sol stratifié horizontalement.
- 67 -
Chapitre III
Etat de l’art sur les différentes méthodes de calcul
du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
La figure III.4 présente la géométrie du problème adoptée pour l’étude de l’effet de la
stratification du sol sur les composantes du champ électromagnétique rayonné par coup de
foudre.
Cas d’un sol stratifié
v
i (z’,t)
H
dz'
R1
z'
P : Point d’observation au
dessus du sol
h
R2
d
Ps :P d’observation au dessous
du sol
r
h1
Sol : couche supérieure
Sol : couche inferieure
Fig. III-4: Géométrie du problème lié à l’évaluation du champ électromagnétique
rayonné par la foudre en présence d’un sol stratifié.
III.3.3.1 Algorithme de Delfino et al. [88]
En 2011 Delfino et al. [88] ont développé un algorithme pour analyser les composantes
verticale et horizontale du champ électrique ainsi que la composante azimutale du champ
magnétique. Selon ces auteurs, les trois expressions du champ peuvent être écrites sous la
forme suivante :
- 68 -
Chapitre III
c
a
a
k
b
a
à&
rk
k
Etat de l’art sur les différentes méthodes de calcul
du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
16
m 0,
1−: 5
5R
= lk −
H n
o . 34 5 . exp −= . q 5 5
2F ?4 4
2
=
16
m 0,
1−: 5
= lk −
H 5 3 5 . n
o . exp −= . q 5 5 Q
2F ?4 4
2
16
m 0,
1−: 5
5
= &rlk −
H n
o . 3 5 . exp −= . q 5 5
2F
2
=
4
III-14
Avec :
EziL, EriL, &rlk : désignant respectivement le champ électrique vertical, le champ électrique
horizontal et le champ magnétique azimutal calculés pour un sol idéal (sol parfaitement
conducteur).
: 5 =
s4 5 −
s4 5 +
s4 5 =
=
"
" =
?4 =4
5
5
= = 5 −"
5 = s4 5
u = =hl ℎ ;
sl 5 =
=hl
"hl
s 5 \ t9 + \ (t9 + s 5 \ t9 − \ (t9
s 5 \ t9 + \ (t9 + s 5 \ t9 − \ (t9
=hl = 5 − "hl ;
"hl =
?4 ? l =4 +
i = 1 : désigne la première couche du sol.
i = 2 : désigne la deuxième couche du sol
- 69 -
=4 Bl
Chapitre III
Etat de l’art sur les différentes méthodes de calcul
du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
III.3.3.2 Approche simplifiée de Shoory et al. [90,94]
Selon, Shoory [90,94] les expressions du champ électrique vertical et du champ magnétique
azimutal rayonné par un canal de foudre, au dessus de deux couches d’un sol stratifié
horizontalement, en un point P peuvent être écrites comme suit:
w
= lk , xyO Q
= &rlk , xyO
,
,
k
&rk
III-14
Où :
Fstr est la fonction d’atténuation du sol stratifié dérivée par Wait [85] s’exprimant comme
suit :
xyO zyO
= 1 − ;FzyO \ (W{|- \ }M ;zyO
III-15
pstr : est appelée distance numérique et le terme erfc indique le complément de la fonction
d’erreur de l’argument complexe.
Avec :
z
yO
= −0.5<4 ΔyO : Distance numérique.
<4 =
;=4 ?4 : Nombre d’ondes dans l’espace.
ΔyO = X €yO : est l’impédance de surface normalisée des deux couches du sol.
Y
€yO = •
• =
• + • tanh † ℎ
• + • tanh † ℎ
B +
†
?4 ?
- 70 -
Chapitre III
• =
B +
†
Etat de l’art sur les différentes méthodes de calcul
du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
?4 ?
† = ;< − <4 ;
< =;
† = ;< − <4
=4 B +
< =;
?4 ?
=4 B +
;
?4 ?
Le champ électrique horizontal est donné par la formule suivante [90] :
,
k
=
lk
,
− &rk , 0 €yO
III-16
Shoory et al ont aussi donné les expressions mathématiques des trois composantes du champ
électromagnétique rayonné par un canal de foudre, dans le domaine temporel, en utilisant
l’intégrale de convolution :
c
a
a
b
a
à
\
\
k
k
O
, ,C = H\
4
O
lk
ℎrk , , C = H ℎrlk
, ,C = \
lk
4
, , P }yO C − P
, , P }yO C − P
P
P
, , C − ℎrk , 0, C €yO C − P
P
Q
III-17
III.4 Méthode des différences finies dans le domaine temporel (FDTD)
La méthode des différences finies dans le domaine temporel (FDTD : Finite Difference Time
Domain) a été introduite pour la première fois par Yee et al. [52] en 1966. Dans cette
méthode, l’approximation des différences centrées est appliquée aux équations de Maxwell,
formées de la loi de Faraday et la loi d’Ampère dans le domaine temporel. A l’aide de cette
dernière la résolution des équations du champ électrique et du champ magnétique peut être
effectuée à chaque pas temporel et en chaque point de l’espace du volume étudié en utilisant
la méthode dite « Leapfrog ».
- 71 -
Chapitre III
Etat de l’art sur les différentes méthodes de calcul
du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
Pour plus de détails sur la méthode FDTD, le lecteur peut consulter les travaux de Taflove
[95], Taflove et Hagness [96] et Sullivan [97].
D’autre part, pour analyser la propagation des ondes de champs électromagnétiques dans des
structures non bornées, les conditions aux limites telles que celles de Liao et al. [98](en
1984), les PML (″Perfectly Matched Layers″) développées par Brenger [99] en 1994 et les
UPML (″Uniaxial Perfectly Matched Layers″) proposées par Taflove et Hagness [96] en
2000, sont utilisées.
En 2001, Tanabe [100] a publié des travaux liés à l’utilisation de la méthode FDTD dans
l’étude de la propagation des surtensions. Plus tard (en 2003), Baba et Rakov ont publié le
premier article [60] qui a passé en revue l’application de la méthode FDTD dans le calcul du
champ électromagnétique associé à un coup foudre.
Apres avoir passé en revue l’état de l’art sur les différentes méthodes de calcul du champ
électromagnétique associé à un coup foudre, nous allons dans cette section présenter les
équations de Maxwell en trois dimensions ainsi que les équations des composantes du champ
électrique et du champ magnétique en trois dimensions (3D) exprimées en coordonnés
cartésiennes et en deux dimensions exprimées en coordonnés cylindriques. Nous abordons
aussi, dans cette section, les conditions aux limites de type : Liao, PML et UPML. Une
description succincte des différentes sources d’excitation sera présentée à la fin de ce chapitre.
III.4.1 Equations de Maxwell en trois dimensions
Selon Yee [52] les équations de Maxwell dans un milieu isotrope peuvent être écrites sous la
forme:
ˆ‰ × ˆ‰ = −
∇
ˆ‰ × &
ˆ‰ =
∇
ˆ‰
Ž̂‰ = =. &
ˆ‰
Œ̂
O
ˆ‰
‹
O
III-18
+ •‰
III-19
III-20
ˆ‰ = ?. ˆ‰
•
III-21
3‰ = B. ˆ‰
III-22
- 72 -
Chapitre III
Etat de l’art sur les différentes méthodes de calcul
du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
Avec:
E: le champ électrique ;
H: le champ magnétique ;
D: la densité du champ électrique ;
B: la densité du flux magnétique ;
J: la densité de courant ;
=: perméabilité du milieu ;
?: permittivité du milieu.
Dans un système des coordonnées cartésiennes en trois dimensions les équations (III-18) et
(III-19) s’expriment sous la forme suivante:
S&‘ 1 S ’ S
= n
−
o
SC
= S
S“
III-23
S&’ 1 S
S ‘
= ”
−
–
SC
= S•
S
S&
1 S ‘ S ’
= n
−
o
SC
= S“
S•
S ‘ 1 S&’ S&
= n
−
−B
SC
? S
S“
S ’ 1 S&
S&‘
= ”
−
−B
SC
? S•
S
S
1 S&‘ S&’
= n
−
−B
SC
? S“
S•
III-24
III-25
‘o
III-26
’–
III-27
o
III-28
- 73 -
Chapitre III
Etat de l’art sur les différentes méthodes de calcul
du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
III.4.2 FDTD-3D en coordonnées cartésiennes
Fig. III-5: Emplacement des composantes de champ électrique et magnétique sur ou dans la
cellule de discrétisation [14]
La méthode FDTD en 3D nécessite l’utilisation de tout l’espace relatif au volume concerné
par l’analyse contenant tous les éléments intervenant dans la propagation du champ
électromagnétique. Cet espace de travail est divisé en cellules cubiques ou sous la forme de
parallélépipèdes rectangulaires dont les longueurs des cotés sont ∆x, ∆y, ∆z. Comme il est
indiqué sur la figure III.5, les composantes du champ électrique sont placées aux milieux des
cotés de la cellule: les composantes Ex sont placées dans les milieux des cotés orientés dans la
direction de l’axe x, les composantes Ey sont placées au milieu des cotés orientés dans la
direction de l’axe y et les composantes Ez sont placées au milieu des cotés orientés dans la
direction de l’axe z. Les composantes du champ magnétique sont placées aux centres des
faces de la cellule cubique ou parallélépipédique et sont verticales à ces faces : les
composantes Hx sont verticales aux centres du plans yz, les composantes Hy sont verticales
aux centres du plans zx et les composantes Hz sont verticales aux centres du plans xy.
Les composantes du champ électrique sont calculées aux pas temporels n∆t, tel que n est un
nombre entier et ∆t est le pas de discrétisation temporelle, tandis que les composantes du
champ magnétique sont calculées au demi du pas temporel (n+1/2) ∆t.
- 74 -
Chapitre III
Etat de l’art sur les différentes méthodes de calcul
du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
Les équations des composantes du champ électrique Ex, Ey et Ez, suivant les trois directions x
y et z, sont dérivées de la loi d’Ampère et celles du champ magnétique sont obtenues à l’aide
de la loi de Faraday.
La loi d’Ampère peut être donnée par la formule suivante:
∇ × & —( = ?
S
—(
SC
+ 3—( = ?
S
—(
+B
SC
—(
III-29
Si on applique l’approximation des différences finies centrées à l’équation (III-29) est
exprimée comme suit :
?
S
—(
SC
+B
—(
≈?
—
−
∆C
—(
+B
—
−
2
—(
≈ ∇ × & —( III-30
Si l’équation (III-30) est réarrangée, l’équation du champ électrique au pas temporel n, En
écrite en fonction de sa valeur précédente En-1 et en fonction du produit vectoriel du champ
magnétique avec l’opérateur ∇ (on obtient une boucle carrée formée de quatre composantes
du champ magnétique), on obtient la forme suivante:
—
B∆C
1 − 2?
=š
›
B∆C
1 + 2?
—(
∆C
2?
+š
› ∇ × & —(
B∆C
1 + 2?
III-31
A partir de l’équation (III-31), on peut exprimer la formule du champ électrique Ex situé au
point (i+1/2, j, k) (voir la figure III-6) par la formule suivante [101,102,103,104]:
- 75 -
Chapitre III
Etat de l’art sur les différentes méthodes de calcul
du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
1
1
&’ L + , , " +
2
2
‘
1
1
& L + , − ,"
2
2
1
L + , ,"
2
1
1
& L + , + ,"
2
2
∆z
1
1
&’ L + , , " −
2
2
∆y
Fig. III-6: Position du champ électrique Ex et de la boucle des champs magnétiques [101]
1
B /L + 2 , , "2 ∆C
1−
1
2? /L + 2 , , "2
1
—
‘ ”L + , , "– =
1
2
B /L + 2 , , "2 ∆C
1+
1
2? /L + 2 , , "2
—(
‘
1
”L + , , "–
2
∆C
1
? /L + 2 , , "2
+
.
1
B /L + 2 , , "2 ∆C
1+
1
2? /L + 2 , , "2
G
& —(
⁄
&’—(
⁄
Q−
1
1
/L + 2 , + 2 , "2 − & —(
∆“
1
1
/L + 2 , , " + 22 − &’—(
∆
⁄
⁄
1
1
/L + 2 , − 2 , "2
Q
1
1
/L + 2 , , " − 22
T
III-32
Les équations des composantes Ey et Ez du champ électrique peuvent être déduites de la même
manière et s’écrivent comme suit :
- 76 -
Chapitre III
Etat de l’art sur les différentes méthodes de calcul
du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
1
B /L, + , "2 ∆C
2
1−
1
2? /L, + , "2
1
1
2
—
’—( ”L, + , "–
’ ”L, + , "– =
1
2
2
B /L, + , "2 ∆C
2
1+
1
2? /L, + , "2
2
∆C
1
? /L, + , "2
2
+
.
1
B /L, + , "2 ∆C
2
1+
1
2? /L, + 2 , "2
Q−
G
&‘—(
& —(
⁄
⁄
1
1
/L, + 2 , " + 22 − &‘—(
∆
1
1
/L + 2 , + 2 , "2 − & —(
ƥ
1
B /L, , " + 2 ∆C
2
1−
1
2? /L, , " + 22
1
—
”L, , " + – =
1
2
B /L, , " + 22 ∆C
1+
1
2? /L, , " + 2
2
+
G
Q−
&’—(
&‘—(
∆C
—(
1
1
/L − 2 , + 2 , ", 2
T
1
”L, , " + –
2
1
B /L, , " + 22 ∆C
1+
1
2? /L, , " + 22
⁄
⁄
1
1
/L, + 2 , " − 22
Q
III-33
1
? /L, , " + 22
⁄
⁄
.
1
1
/L + 2 , , " + 22 − &’—(
ƥ
1
1
/L, + 2 , " + 22 − &‘—(
∆“
⁄
⁄
1
1
/L − 2 , , " + 22
Q
1
1
/L, − 2 , " + 2 , 2
T
III-34
- 77 -
Chapitre III
Etat de l’art sur les différentes méthodes de calcul
du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
La loi de Faraday est donnée par la relation :
∇×
—
= −=
S& —
SC
III-35
L’application de l’approximation des différences finies centrés à l’équation (III-35) permet
d’aboutir à l’expression suivante:
S& —
& —1 − & —(
=
≈=
≈ −∇ ×
SC
∆C
—
III-36
Si l’équation (III-36) et réarrangée, l’expression du champ magnétique calculé au pas
temporel n+1/2 est obtenue en fonction de la valeur précédente du champ magnétique et des
valeurs du champ électrique qui forme une boucle autour de la composante du champ
magnétique considéré (voir la figure III-7), cette expression est donnée par :
& —1 = & —( −
∆C
∇ ×
=
—
III-37
’
L, , " +
1
2
1
L, + , " + 1
2
1
1
&‘ L, + , " +
2
2
’
L, + 1, " +
1
2
∆z
1
L, + , "
2
∆y
Fig. III-7: Position du champ magnétique Hx et de la boucle des champs électriques [101].
A partir de l’équation (III-37), la composante
—1
&‘
9
du champ magnétique positionnée au
point (i, j+1/2, k+1/2) s’écrit comme suit [101,102,103,104] :
- 78 -
Chapitre III
Etat de l’art sur les différentes méthodes de calcul
du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
1
1
∆C
”L, + , " + – −
.
1
1
2
2
= /L, + 2 , " + 2
2
1
1
1
1
—
—
/L, + 1, " + 2 − — /L, , " + 2
/L, + , " + 12 − ’— /L, + , "2
’
2
2 −
2
2
G
T
∆“
∆
&‘—1
⁄
1
1
”L, + , " + – = &‘—(
2
2
⁄
—1
Les équations des composantes &’
et &
—1
9
peuvent être obtenues de la même manière :
1
1
∆C
”L + , , " + – −
.
1
1
2
2
= /L + 2 , , " + 22
1
1
1
1
—
—
—
/L + 1, , " + 22 − — /L, , " + 22
‘ /L + 2 , , " + 12 − ‘ /L + 2 , , "2
G
−
T
∆
ƥ
&’—1
& —1
G
—
’
⁄
⁄
1
1
”L + , , " + – = &’—(
2
2
9
1
1
”L + , + , "– = & —(
2
2
1
/L + 1, + 2 , "2 −
ƥ
—
’
⁄
⁄
1
1
∆C
”L + , + , "– −
.
1
1
2
2
= /L + 2 , + 2 , "2
1
/L, + 2 , "2
−
Le calcul des composantes
—
‘
III-38
1
/L + 2 , + 1, "2 −
⁄
— —
—
,&‘—1
‘ , ’ ,
, &’—1
⁄
∆“
—
‘
et & —1
1
/L + 2 , , "2
⁄
T
III-39
III-40
permet d’obtenir les
champs électriques et magnétiques en tous points du volume de travail et à tout instant
appartenant à la durée de simulation fixée.
III.4.3 FDTD-2D en coordonnées cylindriques
La méthode FDTD, en deux dimensions et dans un système des coordonnées cylindriques, est
parmi les formulations les plus utilisées pour analyser le rayonnement électromagnétique
associé à un coup de foudre. Cette dernière a été exploitée par Yang et Zhou [105] en 2004,
Ren et al. [106] en 2008, Tanaguchi et al. [107] en 2008, Baba et Rakov [54,108,109] en
2008, 2009 et 2011, Yang et al. [110] en 2011 et Mimouni et al. [90] en 2014.
Pour un système de coordonnées cylindriques en deux dimensions (2D) il n’existe que les
composantes radiale et verticale du champ électrique Er et Ez, et la composante azimutale du
champ magnétique&∅ .
- 79 -
Chapitre III
Etat de l’art sur les différentes méthodes de calcul
du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
La méthode FDTD dans ce système de coordonnées cylindriques implique la division de
l’espace de travail (volume concerné par le calcul du champ EM) en cellules carrés ou
rectangulaires. Les équations du champ électrique radial et vertical, en fonction du temps,
sont issues de la loi d’Ampère (équation III-29) alors que l’équation du champ magnétique
azimutal est issue de la loi de Faraday (III-35) de la même manière que celles du système des
coordonnées cartésiennes en trois dimensions (3D).
Le produit vectoriel du champ magnétique avec l’opérateur ∇, aboutissant à une boucle carrée
formée par quatre composantes du champ magnétique, s’écrit en cordonnées cylindriques de
la manière suivante :
∆×& =œ
1 S&
S&∅ S&
S& 1 S &∅
S&
S&∅
S &∅
−
,
−
, n
−
o• = œ−
, 0,
•
S∅
S
S
S
S
S∅
S
S
III-41
A partir des équations (III-31) et (III-41), on écrit la composante radiale Er située au point
(i+1/2, j) et la composante vertical Ez située au point (i, j+1/2) du champ électrique (voir la
figure III-8), sous la forme suivante:
1
B /L + 2 , 2 ∆C
1−
1
2? /L + 2 , 2
1
—
”L + , – =
1
2
B /L + 2 , 2 ∆C
1+
1
2? /L + 2 , 2
∆C
1
? /L + 2 , 2
&∅—(
+
. G
1
B /L + 2 , 2 ∆C
1+
1
2? /L + 2 , 2
—
1
”L, + – =
2
1
B /L, + 22 ∆C
1−
1
2? /L, + 22
1
B /L, + 22 ∆C
1+
1
2? /L, + 22
—(
⁄
1
”L + , –
2
1
1
/L + 2 , − 22 − &∅—(
∆
⁄
1
1
/L + 2 , + 2 , "2
T
III-42
—(
1
”L, + –
2
- 80 -
Chapitre III
Etat de l’art sur les différentes méthodes de calcul
du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
∆C
1
? /L, + 2
1
2
+
.ž
1
B /L, + 2 ∆C l
2
1+
1
2? /L, + 2
2
l1
—( ⁄
&∅
1
1
/L + , + 2 −
2
2
∆
l(
—( ⁄
&∅
1
1
/L − , + , "2
2
2
Ÿ
III-43
Avec:
ri :
distance radiale entre l’axe z (axe vertical) et le point de situation de la composante
Ez (i, j+1/2),
ri-1/2 : distance radiale entre l’axe z (axe vertical) et le point de situation de la composante
&∅ (i-1/2, j+1/2)
ri+1/2 : distance radiale entre l’axe z (axe vertical) et le point de situation de la composante
&∅ (i+1/2, j+1/2).
L, +
1
2
1
L+ , +1
2
1
1
&∅ L + , +
2
2
L + 1, +
1
2
∆z
1
L+ ,
2
∆r
Fig. III-8: Positions des composantes radiale et verticale du champ électrique Er et Ez, ainsi
que celle du champ magnétique azimutal &∅ et de la boucle des champs électriques [101].
Le produit vectoriel du champ électrique avec l’opérateur ∇, permettant l’obtention d’une
boucle carrée formée par quatre composantes du champ électrique, s’écrit en cordonnées
cylindriques de la manière suivante :
- 81 -
Chapitre III
Etat de l’art sur les différentes méthodes de calcul
du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
1S
S ∅ S
S
1 S
=œ
−
,
−
, n
S∅
S S
S
S
∆×
∅
−
S
S
S
o• = 0,
−
, 0¡
S∅
S
S
III-44
A partir des équations (III-37) et (III-44), on obtient l’expression de la composante azimutale
—1
du champ magnétique &∅
&∅
—1 /
9
se trouvant aux positions (i+1/2, j+1/2) (voir la figue III-8) :
1
1
—(
”L + , + – = &∅
2
2
/
1
1
”L + , + –
2
2
∆C
+
. G
1
1
= /L + 2 , + 22
∆C
+
. G
1
1
= /L + 2 , + 22
En calculant les composantes
—
,
—
—
1
/L + 2 , + 12 −
—
∆
1
/L + 1, + 22 −
∆
, et &∅—1
—
—
1
/L − 2 , 2
T
1
/L, + 22
T
III-45
⁄
nous obtenons les champs électrique et le
champ magnétique en tous points du volume de travail et en tout instant compris dans la durée
de simulation.
III.4.4 Critère de stabilité de la méthode FDTD
Pour assurer la stabilité de calcul à laide de la méthode des différences finies, dans le domaine
temporel (FDTD), il est nécessaire de satisfaire la condition de COURANT (Courant et al.
[111]) exprimant la relation entre le pas de calcul temporel ∆t et les pas de discrétisation
spatiale: ∆x, ∆y et ∆z. Cette condition s’exprime mathématiquement par la formule suivante :
∆C ≤
MX
1
ƥ
+
1
1
∆“
+
1
∆
III-46
c : étant la vitesse de la lumière.
Si les pas de discrétisation spatiale sont égaux : ∆x = ∆y = ∆z = ∆s l’inégalité (III-46) se
réduit à :
- 82 -
Chapitre III
Etat de l’art sur les différentes méthodes de calcul
du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
∆C
∆¤
≤
√=? √3
III-47
Dans ce même contexte de stabilité de calcul, Noda et Yokoyama [112] ont proposé la relation
mathématique suivante pour déterminer le pas temporel ∆t :
∆C = ∆¤X
Y
R
1−u
III-48
Avec :
α : une petite valeur positive donnée par l’utilisateur afin d’assurer la stabilité de calcul.
Pour la méthode FDTD-2D, en coordonnées cylindriques, la condition de stabilité de Courant
s’écrit comme suit :
∆C ≤
MX
1
∆
1
+
1
∆
III-49
III.4.5 Conditions aux limites
Afin de calculer le champ électromagnétique dans le domaine temporel en exploitant la
méthode des différences finies dans un domaine non borné, il est indispensable d’avoir une
méthode limitant le volume de l’espace de travail autrement dit de borner le domaine de
travail. Cette limitation est réalisée d’une manière à éviter la réflexion au niveau des bornes
frontières) du domaine de calcul. Dans la littérature différentes conditions aux limites sont
proposées pour atteindre ce but (limitation du domaine de calcul du champ
électromagnétique). Parmi ces conditions on peut citer les conditions aux limites parfaitement
conductrices et les conditions aux limites absorbantes.
III.4.5.1 Conditions aux limites parfaitement conductrices (PEC)
Pour ces conditions, on suppose que les limites du domaine de calcul sont parfaitement
conductrices et possèdent une épaisseur nulle [95,113]. Cette hypothèse permet de définir les
composantes du champ électrique d’une manière similaire à celle du cas d’un conducteur
- 83 -
Chapitre III
Etat de l’art sur les différentes méthodes de calcul
du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
parfait (le champ électrique à l’intérieur du conducteur parfait étant nul), on force donc ces
composantes à être nulles pour respecter cette condition.
Ces conditions aux limites sont appelées aussi conditions «PEC» (Perfect Electric conductor).
III.4.5.2 Conditions aux limites absorbantes
Ces conditions sont très utiles pour éviter la réflexion au niveau des frontières du domaine de
calcul et aussi afin de simuler le champ électromagnétique dans un domaine non borné. Il y a
deux types de conditions aux limites absorbantes :
Le premier type correspond aux conditions aux limites absorbantes sur une base
différentielle (″Differential-Based Absorbing Boundary Conditions″) tel que les
conditions de Liao’s [98] (1984),
Le second type est celui des conditions aux limites dites à base matérielle (″MaterialBased Absorbing Aoundary Contions) tel que les conditions PML (″PerfectlyMatched Layers″), développées par Brenger [99] en 1994 et les conditions UPML
(″Uniaxial Perfectly-Matched Layers″) formulées par Taflove [96] en 2000.
a) Conditions aux limites de Liao [98]
Nous présentons dans la figure (III.9-(a)) une configuration illustrative du principe de ces
conditions aux limites. Ainsi, la composante Ez du champ électrique se propage dans la
direction négative de l’axe des x, avec une vitesse égale à celle de la lumière (3.108 m/s), et
pénètre dans la zone délimitée par la limite absorbante située au point x = x1. Ce champ
électrique qui est orienté dans la direction z et qui se trouve au point x1 et à l’instant désigné
par le pas temporel n,
—
• , est estimé en fonction de
—(
• + 2M∆C et
—(
• + M∆C
en utilisant une approximation linéaire donnée par les auteurs des références [101,114]:
—
•
=2
—(
• + M∆C −
—(
• + 2M∆C
III-50
Aussi, tant que les positions de • + 2M∆C et • + M∆C ne coïncident pas avec les points de
calcul du champ électrique, comme le montre la figure III-9-b,
—(
—(
• + 2M∆C
et
• + M∆C sont estimés en utilisant l’interpolation quadratique de la manière suivante :
- 84 -
Chapitre III
Etat de l’art sur les différentes méthodes de calcul
du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
Limite absorbante
z
• + M∆C
—(
—
—(
•
• + 2M∆C
Approximation linéaire : Ez(x) = a x + b
Direction de propagation
•
M∆C
x
M∆C
(a)
y
Limite absorbante
c ∆t
c ∆t
c ∆t
c ∆t
c ∆t
z
x
∆x
x1
2 ∆x
(b)
Fig. III.9: (a) Diagramme illustratif de la propagation de la composantes Ez du champ
électrique et de sa pénétration dans la limite absorbante en x = x1 ,
(b) Points de calcul du champ électrique proche de la limite absorbante [101,114].
—
•
= 2¥
−2¥
—(
—(
•
•
+ 2¥
− 2¥ ¥ R + ¥
−¥ R
—(
—(
− 2¥ ¥
• + ∆•
—(
• + ∆• + 2¥ R
—(
• + ∆•
• + 2∆• − 2¥ ¥ R
- 85 -
—(
—(
• + 2∆•
• + 3∆•
(III-51)
Chapitre III
Avec :
Etat de l’art sur les différentes méthodes de calcul
du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
2−¤ 1−¤
,
2
¥
=
¥
= 2 2−¤ ,
¤=
M∆C
ƥ
¥R=
¤ 1−¤
,
2
L’équation (III-51) exprime les conditions aux limites de Liao, de deuxième ordre, appliquées
dans la méthode FDTD. Il est à noter que ce genre de conditions aux limites a été utilisé par
Baba et Rakov [52,53,56], dans le but d’évaluer le champ électromagnétique à l’aide de la
méthode FDTD-2D en coordonnées cylindriques, et par Thang et al. [114,115,116,117].
b) Conditions aux limites PML (″Percfectly Matched Layer″) de Brenger [99-119]
Les conditions aux limites absorbantes PML (″Pefectly Matched Layer″) ont été développées
pour la première fois par Brenger [99,119] en 1994. Ce dernier a proposé que dans la région
PML (région se trouvant aux six bornes de l’espace de travail et formée de plusieurs couches
dont le nombre peut varier selon le problème étudié) chaque composante du champ
électromagnétique est divisée en deux. Dans un système de coordonnées cartésiennes, les six
composantes principales du champ électromagnétique sont remplacées par douze (12)
composantes secondaires qui sont : Exy, Exz, Eyz, Eyx, Ezx, Ezy, Hxy, Hxz, Hyz, Hyx, Hzx, Hzy. Dans
la région PML, les six équations de Maxwell sont remplacées par douze équations
représentées mathématiquement par les formules suivantes:
?
?
S ‘’
+ B’
SC
S ‘
+B
SC
‘’
‘
=
=
S &
+&
S“
‘
’
III-52
S &’ + &’‘
S
III-53
- 86 -
Chapitre III
?
?
?
?
=
=
=
=
=
=
S ’
+B
SC
S ’‘
+ B‘
SC
S ‘
+ B‘
SC
’
=
’‘
=
‘
=
’
=
S ’
+ B’
SC
S &‘’ + &‘
S
S &
’
S &‘’ + &‘
S“
S
S&‘
+ B ∗ &‘ =
SC
S&’
S
+ B ∗ &’ =
SC
S&’‘
S
+ B‘∗ &’‘ =
SC
S& ’
+ B’∗ &
SC
III-54
III-55
S &’ + &’‘
S•
S&‘’
S
+ B’∗ &‘’ =
SC
S& ‘
+ B‘∗ &
SC
+&
S•
‘
Etat de l’art sur les différentes méthodes de calcul
du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
‘
=
’
=
+
S“
‘
’
+
S
+
S
‘’
+
S•
‘
S
’
+
S•
S
‘’
+
S“
III-56
III-57
’
III-58
’‘
III-59
‘
III-60
’
III-61
’‘
III-62
‘
III-63
Les paramètres:
(B‘ , B’ , B ): désignent les conductivités électriques
(B‘∗ , B’∗ , B ∗ ) : désignent les conductivités magnétiques.
La discrétisation de l’espace de travail proposée par Yee [52] est inchangeable pour la région
PML, sauf que les composantes secondaires sont calculées aux mêmes points que les
composantes originales. Par exemple Exy et Exz sont calculés au même point que Ex, et Hzx et
Hzy sont calculés au même point que Hz.
- 87 -
Chapitre III
Etat de l’art sur les différentes méthodes de calcul
du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
Après application de la technique FDTD sur les équations de Maxwell, la composante
secondaire Exy du champ électrique sera calculée par l’équation suivante :
—1
‘’
1
L + , , " = \ ([§
2
l1 ⁄ , ,
∆O/Y
—
‘’
1
L + , ,"
2
1 − \ ([§ l1 ⁄ , , ∆O/Y
1
1
1
1
—1
—1
+
. œ& ‘ ”L + , + , "– +Q & ’ ”L + , + , "–
B’ L + 1⁄2, , " ∆“
2
2
2
2
Q−& —1 ”L + 1 , − 1 , "– − & —1 ”L + 1 , − 1 , "–•
‘
’
2
2
2
2
III-64
Les autres composantes secondaires du champ électrique et du champ magnétique seront
calculées de la même manière que la composante secondaire Exy dont l’expression
mathématique est décrite par l’équation (III-64).
c) Conditions aux limites UPML (″Uniaxial Percfectly Matched Layer″) de Taflove
Dans la référence [96] Taflove propose des modifications appliquées aux conditions aux
limites développées par Brenger [99,119]. Ces modifications consistent principalement en
l’exploitation des densités de champs électrique et magnétique afin d’obtenir douze équations
au total au lieu de dix huit équations dans le cas des conditions PML. En effet, pour les
conditions aux limites PML de Brenger nous avions douze équations pour la région PML plus
six équations pour l’espace de travail se ce qui donne un total de dix-huit équations. Ce type
de conditions permet donc de réduire le nombre d’équations à résoudre car elles évitent la
division par deux des composantes du champ électromagnétique dans la région PML, comme
leur nom l’indique (″Uniaxial″) à cause du fait que ces composantes s’orientent suivant un
seul axe et non pas selon deux axes comme c’est le cas pour la formulation proposée par
Brenger. Cette diminution du nombre d’équations permet d’avoir un gain en temps calcul et
d’espace mémoire du calculateur utilisé considérables.
Les équations relatives aux composantes principales du champ électrique et du champ
magnétique ainsi que leurs densités sont exprimées mathématiquement par les formules
suivantes [96,120,121] :
- 88 -
Chapitre III
Etat de l’art sur les différentes méthodes de calcul
du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
2?"’ − B’ ∆C
1
1
2?∆C
•‘—1 ”L + , , "– = n
o . •‘— ”L + , , "– + n
o.
2
2?"’ + B’ ∆C
2
2?"’ + B’ ∆C
G
&—1
⁄
1
1
/L + , + , "2 − &—1
2
2
∆“
⁄
1
2?" − B ∆C
”L + , , "– = ”
–.
2?" + B ∆C
2
—1
‘
1
1
/L + , − , "2 &’—1
2
2
Q Q−
—
‘
1
”L + , , "– +
2
⁄
1
1
/L + , , " + 2 − &’—1
2
2
∆
⁄
1
1
/L + , , " − 2
2
2 T
1
¡.
2?" + B ∆C ?
2?"‘ + B‘ ∆C . •‘—1 /L + , , "2 − 2?"‘ − B‘ ∆C . •‘— /L + , , "2$
Ž‘—1R
⁄
2?"’ − B’ ∆C
1
1
”L, + , " + – = n
o . Ž‘—1
2
2
2?"’ + B’ ∆C
G
&‘—1R
⁄
—1
1
/L, + 1, " + 2 −
2
∆“
—1
⁄
⁄
III-66
1
1
2?∆C
”L, + , " + – + n
o.
2
2
2?"’ + B’ ∆C
1
/L, , " + 2
2 −
1
1
2?" − B ∆C
”L, + , " + – = ”
– . &‘—1
2?" + B ∆C
2
2
2?"‘ + B‘ ∆C . Ž‘—1R
⁄
III-65
—1
’
1
/L, + , " + 12 −
2
∆
1
1
”L, + , " + – +
2
2
—1
’
1
/L, + , "2
2
T
1
¡.
2?" + B ∆C =
1
1
”L, + , " + –Q Q− 2?"‘ − B‘ ∆C . Ž‘—1
2
2
⁄
1
1
”L, + , " + –¡
2
2
III-67
III-68
Les composantes principales Dy, Dz, Ey, Ez, By, Bz, Hy, Hz peuvent être obtenues de la même
manière que les composantes décrites travers les équations (III-65 à 68).
Dans le but de simplification de la mise en œuvre numérique de ces équations les coefficients
2?"’ − B’ ∆C
2?"’ + B’ ∆C
suivants sont définis [96] :
¨
¨
=
=
¨R " =
¨ " =
III-69
2?∆C
2?"’ + B’ ∆C
III-70
2?" − B ∆C
2?" + B ∆C
III-71
1
2?" + B ∆C ?
III-72
- 89 -
Chapitre III
Etat de l’art sur les différentes méthodes de calcul
du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
¨J L = 2?"‘ + B‘ ∆C
III-73
¨© L = 2?"‘ − B‘ ∆C
III-74
Avec :
• ª
B‘ • = / 2 . Bª«‘
III-75
• ª
"‘ • = 1 + "‘,ª«‘ − 1 . / 2
Bª«‘ = −
: ¯ = \(
µ
η=X ε
¬ + 1 -i : 0
2®
7
°±²y³ . [ ‘ ‘
III-76
III-77
(Erreur de réflexion)
III-78
III-79
x: un entier positif correspondant au numéro de la couche UPML (0 < • <
d: épaisseur de la région MPL.
.
Le calcul de ces coefficients (équations III-69 à 74) permet un traitement unifié du champ
électromagnétique dans tout le volume borné par l’espace de travail et celui de la région PML
ensemble. Les valeurs des paramètres B et k dans l’espace de travail dépendent de la nature du
milieu considéré. Par exemple dans le vide (air) ils valent B = 0 et" = 1. Cependant, dans la
région PML B et k sont considérés comme des polynômes dont les expressions mathématiques
sont données par les équations (III-75) et (III-76). De la même manière on obtient les
coefficients des autres composantes de champs électrique et magnétique ainsi que ceux des
densités associées (Dy, Dz, Ey, Ez, By, Bz, Hy, Hz) [96,120,121].
III.4.6 Représentation des sources localisées et des éléments de circuit localisés
III-4.6.1 Les sources de tension localisées
La source de tension localisée#y— , suivant la direction de l’axe z et localisée au point (i, j,
k+1/2), est représentée par la spécification du champ électrique vertical au point désigné pour
la source de tension par la formule suivante [56,101,102] :
- 90 -
Chapitre III
—
1
#y— /L, , " + 2
1
2
”L, , " + – =
Δ
2
Etat de l’art sur les différentes méthodes de calcul
du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
III-80
La source de tension localisée #y— , suivant les directions des axes x et y, se présente d’une
manière similaire à celle de l’axe . Ainsi, pour le système des coordonnées 2D cylindriques, la
source de tension localisée est donnée par :
1
#y— /0, + 2
1
2
—
”0, + – =
2
Δ
III-81
III-4.6.2 Les sources de courant localisées
La source de courant localisée my
—( /
, suivant la direction de l’axe z et localisée au point (i, j,
k+1/2), est représentée par la spécification de la composante 3
de conduction J
3
—(
n-1/2
—( /
de la densité du courant
dont l’expression mathématique est [56,101,102]:
1
1
1
—(
”L, , , " + – =
m
”L, , , " + –
2
Δ•Δ“
2
III-82
A cet effet, l’équation de Ez spécifiée au point (i, j, k+1/2) est donnée par :
1
B /L, , " + 22 ∆C
1−
1
2? /L, , " + 22
1
—
”L, , " + – =
1
2
B /L, , " + 22 ∆C
1+
1
2? /L, , " + 22
G
Q−
&’—(
&‘—(
+
⁄
⁄
—(
1
”L, , " + – +
2
1
1
/L + 2 , , " + 22 − &’—(
ƥ
1
1
/L, + 2 , " + 22 − &‘—(
∆“
∆C
1
? /L, , " + 22
⁄
⁄
∆C
1
? /L, , " + 22
1
B /L, , " + 22 ∆C
1+
1
2? /L, , " + 22
1
1
/L − 2 , , " + 22
.
Q
1
1
/L, − 2 , " + 2 , 2
T
1 —(
1
my ”L, , " + –
1
2
B /L, , " + 22 ∆C ∆•∆“
1+
1
2? /L, , " + 22
.
- 91 -
III-83
Chapitre III
Etat de l’art sur les différentes méthodes de calcul
du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
Il est à noter que les sources de courant localisées my
—( /
, suivant la direction de l’axe des z,
peuvent être représentées d’une manière simple par la spécification des champs magnétiques
circulant autour de la source, si ∆x = ∆y par les équations suivante [101,102]:
&‘—(
⁄
&‘—(
⁄
&’—(
⁄
&’—(
⁄
1
1
1 —(
1
”L, + , " + – = −
my ”L, , " + –
2
2
4ƥ
2
/L, − , " + 2 =
∆‘
—(
my
9
III-84
/L, , " + 2
III-85
1
1
1 —(
1
”L + , , " + – =
my ”L, , " + –
2
2
4∆“
2
III-86
1
1
1 —(
1
”L, + , " + – = −
my ”L, , " + –
2
2
4∆“
2
III-87
Les sources de courant suivant les directions des axes x et y peuvent être représentées de la
même manière que les sources selon la direction z en utilisant les équations (III-83) et (III-84
à 87).
Pour un système 2D en coordonnées cylindriques, la source de courant est donnée par [101]:
—
1
”0, + – =
2
1
B /0, + 22 ∆C
1−
1
2? /0, + 22
1
B /0, + 22 ∆C
1+
1
2? /0, + 22
∆C
—(
1
”0, + –
2
1
? /0, + 22
1
+
. &∅—(
1
∆
B /0, + 22 ∆C 2
1+
1
2? /0, + 22
∆C
⁄
1
1
” , + –
2
2
1
? /0, + 22
1
1
—(
+
.
my ”0, + –
1
2
B /0, + 22 ∆C F /∆ 2
2
1+
1
2? /0, + 22
- 92 -
III-86
Chapitre III
Etat de l’art sur les différentes méthodes de calcul
du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
Une représentation simple pour cette source en coordonnés 2D-cylindrique est [101] :
&∅—(
1
1
1
1
—(
” , + –=−
my ”0, + –
∆
2
2
2
2F / 2
2
⁄
III-87
III-4.6.3 Résistance localisée (″″Lumped resistance″″)
La résistance localisée R, suivant la direction de l’axe z et se trouvant au point (i, j, k+1/2)
dans un milieu sans pertes (B = 0), est représentée par la spécification de la composante
verticale ( 3
3
—(
—( /
) de la densité du courant de conduction J n-1/2 comme suit [101,102,112]:
1
1
1
—(
”L, , , " + – =
m
”L, , , " + –
2
Δ•Δ“
2
1
=
Δ•Δ“
—(
∆ 1
=
Δ•Δ“ :
I
—
1
/L, , , " + 22∆
:
1
/L, , , " + 22 +
2
—(
1
/L, , , " + 22
III-88
A cet effet, l’équation de Ez au point (i, j, k+1/2) s’ecrit :
∆C∆
1−
1
2:? /L, , " + 22 ∆•∆“
1
1
—
”L, , " + – =
—( ”L, , " + –
∆C∆
2
2
1+
1
2:? /L, , " + 22 ∆•∆“
∆C
1
1
1
⁄
? /L, , " + 22
&’—( /L + 2 , , " + 22 − &’—(
+
. G
∆C∆
ƥ
1+
1
2:? /L, , " + 22 ∆•∆“
Q−
&‘—(
⁄
1
1
/L, + 2 , " + 22 − &‘—(
∆“
- 93 -
⁄
⁄
1
1
/L − 2 , , " + 22
1
1
/L, − 2 , " + 2 , 2
T
Q
III-89
Chapitre III
Etat de l’art sur les différentes méthodes de calcul
du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
Pour les directions x et y, les équations des composantes du champ électrique peuvent être
écrites de la même façon.
En coordonnées cylindriques on peut écrire [101,102] :
∆C∆
1
∆
2:? /0, + 2 F / 2
1
2
2 —( ”0, + 1–
—
”0, + – =
∆C∆
2
2
1+
1
∆
2:? /0, + 2 F / 2
2
2
∆C
1
? /0, + 22
1 —( ⁄ 1
1
+
.
&∅
” , + –
∆C∆
∆
2
2
1+
2
1
∆
2:? /0, + 22 F / 2 2
1−
III-90
III-4.6.4 L’inductance localisée (Lumped inductance)
un milieu sans pertes (B = 0), est représentée de la même façon que la résistance localisée par
L’inductance localisée L, suivant la direction de l’axe z se trouvant au point(i, j, k+1/2) dans
la spécification de la composante verticale (3
—( /
) de la densité du courant de conduction
J n-1/2 en utilisant le développement suivant [101,102,112]:
3
—(
=
1
1
1
—(
”L, , , " + – =
m
”L, , , " + –
2
Δ•Δ“
2
/—( 2
1 1
H
Δ•Δ“ µ
4
—(
—(
1 ∆ ∆C
=
¶
Δ•Δ“ µ
ª·
1
”L, , , " + –∆ C
2
—(
1
”L, , , " + –
2
III-91
Ce qui permet d’écrire la composante verticale du champ électrique sous la forme
[101,102,112] :
- 94 -
Chapitre III
—
Etat de l’art sur les différentes méthodes de calcul
du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
1
∆C
”L, , " + – +
.
1
2
? /L, , " + 22
1
1
1
1
⁄
⁄
&’—( /L + , , " + 2 − &’—( /L − , , " + 2
2
2
2
2 Q
G
ƥ
1
”L, , " + – = 2
Q−
—(
&‘—(
⁄
1
1
/L, + 2 , " + 22 − &‘—(
∆“
—(
∆ ∆C
1
−
.
¶ 1 ∆•∆“
µ? /L, , " + 22
ª·
ª
⁄
1
1
/L, − 2 , " + 2 , 2
T
1
”L, , " + –
2
III-92
De la même façon que pour la composante verticale, les deux composantes horizontales
suivant les directions de x et y peuvent être obtenues.
En coordonnées 2D-cylindriques on peut écrire :
—
1
”0, + – = 2
−
—(
1
∆C
1 —(
”0, + – +
.
&
1 ∆ ∅
2
? /0, + 22 2
∆ ∆C
.
1
1
µ? /0, + 22 F /∆ 2
2
—(
¶ ª·
ª
⁄
1
”0, + –
2
1
1
” , + –
2
2
III-92
III-4.6.5 Capacité localisée (″″Lumped capacitance″″)
dans un milieu sans pertes (B = 0), est représentée de la même façon que la résistance et
La capacité localisée C, suivant la direction de l’axe des z et qui se trouve au point (i, j, k+1/2)
l’inductance localisées en s’appuyant sur la spécification de la composante verticale( 3
de la densité du courant de conduction J
suivant[101,102,112]:
3
—(
1
1
1
—(
”L, , , " + – =
m
”L, , , " + –
2
Δ•Δ“
2
1
=
¨
Δ•Δ“
—(
1
/L, , , " + 22∆
C
- 95 -
n-1/2
—( /
)
en utilisant le développement
Chapitre III
=
1 ¨∆
Δ•Δ“ ∆C
Etat de l’art sur les différentes méthodes de calcul
du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
—
1
”L, , , " + – +
2
—(
1
”L, , , " + –¡
2
III-93
L’équation de la composante Ez au point (i, j, k+1/2) s’écrit donc :
—
1
1
”L, , " + – = —( ”L, , " + –
2
2
∆C
1
1
1
1
1
⁄
⁄
? /L, , " + 2
&’—( /L + , , " + 2 − &’—( /L − , , " + 2
2
2
2
2
2 Q
+
. G
¨∆
ƥ
1+
1
? /L, , " + 22 ∆•∆“
1
1
1
1
⁄
⁄
&‘—( /L, + 2 , " + 22 − &‘—( /L, − 2 , " + 2 , 2
Q−
T
∆“
III-94
Les deux composantes horizontales du champ électrique, suivant les directions x et y, peuvent
être obtenues en suivant le même développement utilisé pour l’obtention de la composante
verticale du champ électrique. Cette dernière s’écrit en coordonnées 2D-cylindriques par
l’équation ci-dessous :
—
1
”0, + – = 2
—(
1
”0, + – +
2
1+
∆C
1
? /0, + 22
1
. &’—(
¨∆
∆
2
1
∆
? /0, + 2 F / 2 2
2
⁄
1
1
” , + –
2
2
(III-94)
III-4.7 Représentation du fil mince dans la technique FDTD
La représentation du fil mince dans la méthode FDTD en trois dimensions (FDTD-3D) est
très utilisée dans les travaux de recherche. Aussi, nous allons dans la section suivante passer
en revue cette représentation.
Le fil mince a connu plusieurs représentations dans divers travaux de recherche. Ainsi, nous
pouvons citer, à titre d’exemple, les travaux de Noda et al [64], Umashankar et al. [118],
Baba et al.[122] et Tanaguchi et al. [123]. Cependant, la représentation proposée par Noda et
al [37] est fréquemment utilisée dans les études de simulation du rayonnement des coups de
foudre nuage-sol, ainsi que dans les études sur les surtensions induites par ce rayonnement
- 96 -
Chapitre III
Etat de l’art sur les différentes méthodes de calcul
du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
dans différentes structures. Aussi, nous allons nous intéresser à cette représentation et
présenter ses fondements.
Noda et Yokoyama [64] ont démontré que dans l’étude du champ électromagnétique en
utilisant la méthode 3D-FDTD, le rayon équivalent d’un
fil rectiligne et parfaitement
conducteur posé dans un milieu sans pertes et représenté en forçant
les composantes
tangentielles du champ électrique à être nulles le long de l’axe de ce fil, vaut :
a0 = 0.23∆s (exemple : dans la simulation du champ électromagnétique rayonné par un coup
de foudre en utilisant la méthode 3D-FDTD le rayon équivalent du fil vertical qui représente
le canal de foudre est a0 = 0.23∆s ), avec ∆s : la longueur du coté latéral de la cellule de
discrétisation employée dans le calcul. De plus, ces auteurs ont représenté un fil ayant un
rayon a autre que le rayon équivalent a0, en mettant ce dernier (le fil qui a un rayon de a0 =
0.23∆s) dans un milieu artificiel parallélépipédique.
Aussi, dans le but d’avoir un fil ayant un rayon inferieur à a0, la valeur de la perméabilité du
milieu (utilisée pour calculer les composantes du champ magnétique bouclant le fil mince)
doit être augmentée, alors que celle de la permittivité (utilisée pour calculer les composantes
radiales du champ électrique) doit être diminuée. Dans un milieu avec pertes, la conductivité
doit avoir la même modification que la permittivité [122]. Ainsi, la perméabilité = % , la
permittivité ? % et la conductivité B % , du milieu artificiel peuvent être écrites en fonction des
paramètres (perméabilité, permittivité et conductivité) du milieu original (le milieu où champ
électromagnétique se propage, pour la foudre c’est l’air) par les formules suivantes :
= % = ¬=
III-95
? % = ¬?
III-96
B % = ¬B
¬=
III-97
∆¤
-i / ¸ 2
4
∆¤
-i / ¸ 2
III-98
- 97 -
Chapitre III
Etat de l’art sur les différentes méthodes de calcul
du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
Avec :
= , B, et ? : désignent respectivement la perméabilité relative, la permittivité relative et la
conductivité du milieu original, et m : le coefficient utilisé pour calculer la perméabilité, la
permittivité et la conductivité du milieu artificiel à partir de celles du milieu original.
Notons que dans la représentation d’un fil ayant un rayon a inferieur au rayon équivalent a0,
la perméabilité modifiée = % est aussi utilisée pour calculer les composantes du axiales du
champ magnétique se trouvant en parallèle avec le fil mince afin d’éviter l’instabilité
numérique [101,123] (cf figure III-10-a). Aussi, dans la représentation d’un fil ayant un rayon
supérieur au rayon équivalent a0, la permittivité relative modifiée ? % est employée pour
calculer les composantes axiales du champ électrique qui s’orientent dans la même direction
que le fil mince, comme il est indiqué dans la figure (III-10-b) [101,123].
∆s
=
Hx
∆s
B, ?
Ey
Ex
Hy
Hz
∆s
(a)
∆s
=
Hx
∆s
Ey
∆s
Ex
Hy
y
Ez
∆s
(b)
∆s
x
z
Fig. III-10 Représentation du fil mince dans la technique FDTD : Fil placé dans la
direction de l’axe des z et ayant un rayon a ainsi que la configuration des composantes du
champ électrique et magnétique bouclant le fil :(a) ¸ < ¸4 ¬ < 1
[101,123]
- 98 -
et (b) ¸ > ¸4 ¬ > 1
Chapitre III
Etat de l’art sur les différentes méthodes de calcul
du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
III.5 Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons présenté un état de l’art sur les différentes méthodes utilisées
pour le calcul, l’analyse et l’évaluation du champ électromagnétique rayonné par un coup de
foudre descendant (nuage-sol). Nous avons aussi exposé les formules et les algorithmes
nécessaires pour atteindre ce but en prenant en considération trois configurations
géométriques du sol à savoir : un sol parfaitement conducteur, un sol homogène avec une
conductivité finie et enfin un sol stratifié. Une attention particulière a été réservée à la
méthode des différences finies dans le domaine temporel (FDTD) en deux et trois dimensions;
méthode que nous avons adoptée dans notre analyse du champ électromagnétique rayonné par
coup de foudre (développée au chapitre IV). La mise en œuvre de la technique FDTD
nécessitant l’adoption de conditions aux limites au niveau des frontières du domaine de
calcul, nous avons présenté dans ce chapitre une revue globale des conditions aux limites
utilisées par les chercheurs dans ce domaine. Nous avons également présenté, dans ce
chapitre, un aperçu sur les sources localisées et les éléments de circuits localisés qui
interviennent dans la représentation des sources d’excitation et dans la modélisation du canal
de foudre. Enfin, la représentation du fil mince dans la technique FDTD-3D a été présentée.
Dans le prochain chapitre, nous présentons la mise en œuvre numérique de la méthode 3DFDTD basée sur la formulation de Taflove afin d’effectuer une analyse du rayonnement
électromagnétique d’un coup de foudre.
- 99 -
Chapitre IV
Calcul du champ électromagnétique
rayonné par un coup de foudre
par la méthode FDTD
Chapitre IV
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
par la méthode FDTD
IV.1 Introduction
Dans ce chapitre nous allons présenter une analyse ainsi qu’une évaluation des composantes
du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre descendant (nuage-sol) en
utilisant la méthode FDTD en trois dimensions. Cette dernière, basée sur la formulation de
Taflove [96], est associée à deux classes de modèles du courant d’arc en retour à savoir : les
modèles électromagnétiques et les modèles d’Ingénieurs. Les modèles mis en œuvre sont
implémentés sur environnement Matlab dans le but de développer un code de calcul
tridimensionnel.
Il faut noter que la méthode FDTD, basée sur l’algorithme de Yee [52], a été surtout utilisée
en coordonnées cylindriques en deux dimensions. A cet effet, nous pouvons citer les travaux
de Baba et Rakov [53,55,56,59,62], Mimouni et al. [90] et Sartori et al. [124]. En revanche,
les travaux basés sur ce même algorithme et impliquant la méthode FDTD en trois dimensions
en coordonnées cartésiennes ne sont pas nombreux. Nous pouvons citer dans ce cas les
travaux de :
- Baba et Rakov [60] en 2003, dans lesquels la méthode FDTD-3D a été utilisée pour étudier
la propagation du courant d’arc en retour (en l’occurrence le modèle de la ligne de
transmission TL) d’un coup de foudre le long d’un canal vertical.
- Tatematsu et al. [125], en 2014, où les auteurs ont employé cette technique pour calculer les
surtensions induites sur une ligne de distribution multifilaire équipée d’un parafoudre et
d’un câble de garde.
- Zhang et al. [126], en 2015, concernant la simulation de l’onde de tension induite par un
coup de foudre sur des lignes aériennes en présence d’un sol stratifié verticalement.
Aussi, nous nous proposons dans le cadre de ce travail, d’explorer la faisabilité d’une
nouvelle approche de calcul de la distribution du courant de foudre ainsi que du champ
électromagnétique qui lui est associé. Cette approche repose sur l’utilisation de modèles de
courant de foudre de type électromagnétiques (plus proches de la réalité physique du
phénomène de foudre) et la mise en œuvre d’un calcul tridimensionnel, par le biais de la
méthode FDTD-3D basée sur la formulation de Taflove (voir section III.4.5.2-(c), chap III),
impliquant des conditions aux limites de type UPML très avantageuses en termes de réduction
du temps de calcul et d’espace mémoire nécessaire au déroulement calcul tridimensionnel. La
faisabilité de cette nouvelle approche sera jugée en confrontant nos résultats de simulation à
- 100 -
Chapitre IV
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
par la méthode FDTD
des résultats expérimentaux tirés de la littérature. A noter enfin que cette nouvelle approche
de calcul a donné suite à des communications et publications internationales [120,121,127] et
au développement d’un code de calcul tridimensionnel.
IV.2 Calcul du champ EM rayonné par un coup de foudre par la méthode FDTD-3D
basé sur les modèles de courant de type électromagnétique
IV.2.1 Validation de l’approche de calcul proposée et du code de calcul développé
Dans cette partie nous allons valider d’une part, l’approche de calcul de la distribution
spatiotemporelle du courant de foudre ainsi que des composantes du champ EM associées à ce
courant proposée dans le cadre de ce travail, et d’autre part le code de calcul développé pour
mettre en œuvre cette approche.
Le code développé, sous environnement Matlab, est structuré de la manière suivante:
Organigramme du Programme
Introduction des constantes des milieux (air, sol,…)
Spécification de la taille de l’espace de travail et des coordonnées de l’espace
de travail
Introduction des pas de discrétisation (spatial et temporel)
Introduction des paramètres du courant à la base du canal de foudre
Initialisation des matrices des composantes du champ EM et celle des coefficients de multiplication
Formation des matrices des paramètres des milieux (air, sol, milieu artificiel….)
Calcul des coefficients de multiplication pour l’espace de travail
Calcul des coefficients de multiplication pour la région UMPL
Boucle principale de calcul
Pour t = 0 : ∆t : t_final
Calculer les six composantes du champ EM
Spécifier la source d’excitation
Réserver les résultats
Tracer les résultats
- 101 -
Chapitre IV
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
par la méthode FDTD
Problématique
La validation du programme que nous avons développé s’appuie sur un calcul du courant
de foudre ainsi que les composantes du champ EM associées à l’aide de la méthode FDTD
en trois dimensions intégrant la formulation de Taflove et des conditions aux limites de
type UPML
Géométrie adoptée : La géométrie du problème comprend un nuage, distant du sol d’une
hauteur H. Le point d’observation est situé à une distance r du canal de foudre et à une
hauteur h du sol (Fig.IV-1-a).
z
z
y
H
7.5 km
x
r50
m
x
15 m H=10 m
P
H=1
h
0m
d=1
m
50 m
d=1 m
90 m
200 m
Sol
y
Sol parfaitement conducteur
90 m
(a)
(b)
Fig. IV-1 Géométrie du problème
(a) : Configuration générale
(b) : Application à un sol parfaitement conducteur
Paramètres géométriques : Le canal de foudre, supposé vertical, est placé au centre de la
surface horizontale au dessus du sol. Il possède une hauteur de 7.5 km. Le point d’observation
(P) se trouve à une distance r = 15 m par rapport à la base du canal de foudre est à une hauteur
h nulle (c-à-d que le calcul est réalisé directement sur la surface du sol) (Fig.IV-1-b). Le
volume de l’espace de travail est de : 90 m × 90 m × 7700 m. Ce dernier est discrétisé en
cellules parallélépipédiques de 1.5m × 1.5m × 25m . A noter que le choix des paramètres
géométriques est motivé par des soucis de comparaison de nos résultats de simulation avec
des résultats tirés de la littérature.
Paramètres et conditions de simulation : Le pas temporel de calcul est fixé à 2 ns. Le
canal de foudre est excité à sa base par une source de courant localisée, ce dernier produit
- 102 -
Chapitre IV
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
par la méthode FDTD
une forme d’onde de courant ayant une amplitude maximale de 16 kA et un temps de
montée de 0.7 µs.
Modèle du courant à la base du canal de foudre : Le modèle du courant à la base du canal
de foudre, retenu dans cette étude, est le modèle d’Heidler [38]. Ainsi, l’onde présentée
dans la figure IV-2 ci-dessous (à 0 m), est obtenue en adoptant la fonction d’Heidler
(équation IV-1) pour un arc en retour subséquent et en utilisant les paramètres consignés
dans le tableau IV-1. En effet, les valeurs de ces paramètres correspondent aux valeurs des
paramètres utilisés par les auteurs de la référence [128] pour des besoins de comparaison
des résultats.
0,
=
!+
!
(IV-1)
Tableau IV-1 Paramètres du courant à la base du canal de foudre
i01 (kA)
14.8
# (µs)
0.244
# $ (µs)
2.77
i02 (kA)
6.86
#$ (µs)
4.18
#$$ (µs)
40.66
n1
2
n1
2
Modèle du courant de foudre
La vitesse de propagation du courant d’arc en retour a été fixée à 1.4752.108 m/s, la même
(pour être dans les mêmes conditions) que celle indiquée dans les travaux expérimentaux
d’Izadi et al [128] avec lesquels nous comparons et validons nos résultats de simulation.
Par ailleurs, pour valider le code informatique développé dans ce travail, nous considérons
deux modèles de courant d’arc en retour (courant de foudre).
Rappelons que les modèles électromagnétiques du courant d’arc en retour sont classés selon la
représentation du canal de foudre de la manière suivante [53,54,55,56,57,58,101]:
Modèle 1 : un fil parfaitement conducteur ou résistif, placé dans l’air et dessus du sol.
Modèle 2 : un fil chargé par des inductances additionnelles en série, placé dans l’air et
dessus du sol.
Modèle 3 : un fil entouré par un milieu diélectrique (différent de l’air) occupant le
demi-espace de travail au dessus du sol.
Modèle 4 : un fil enveloppé par un matériau diélectrique (sous la forme d’un cylindre
ou d’un parallélépipède) et placé dans l’air au dessus du sol.
- 103 -
Chapitre IV
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
par la méthode FDTD
Modèle 5 : un fil enveloppé par un matériau ayant une permittivité et une perméabilité
relatives dont les valeurs sont égales et supérieures que celles de l’air. Ce matériau est
à son tour placé dans l’air et dessus du sol.
Modèle 6 : deux fils en parallèles shuntés entre eux par des capacités additionnelles
distribuées le long du canal du foudre.
Modèle 7 : des sources de courant placées sous forme d’un vecteur vertical
(superposées les unes sur les autres) dans l’air et au dessus du sol.
La représentation schématique des différents types de modèles, représentant le canal de foudre
(modèles électromagnétiques), implémentés dans les codes informatiques développés dans ce
travail, est donnée à la figure IV-2. Dans cette dernière on peut aussi voir l’emplacement des
conditions aux limites utilisées qui sont de type UPML (″Uniaxial Perfecly Matched layer″).
Ainsi, les modèles retenus dans le cadre de ce travail sont: le modèle 2, le modèle 3, le
modèle 4 et le modèle 5. Quant aux conditions aux limites mises en œuvre de type UPML,
nous les avons imposées au niveau de la partie supérieure de l’espace de travail ainsi que sur
les quatre faces du domaine de calcul ; la partie inferieure est celle du sol.
Model 2
Model 3
%, ==6,57μ)/+
4.12
PML
UPML
UPML
Sol parfaitement conducteur
Sol parfaitement conducteur
Perfectly conducting ground
(a)
(b)
Model 4
Model 5
,- = 4.1,- = 4.12
2
UPML
PML
,- = 4.1,- = 4.12
2
UPML
PML
Sol parfaitement conducteur
Sol parfaitement conducteur
Perfectly conducting grounds
Perfectly conducting grounds
(c)
(d)
Fig. IV-2 Représentation schématique du canal de foudre au dessus d’un sol parfaitement
conducteur et excité à sa base par une source de courant :
(a) Modèle 2, (b) Modèle 3, (c) Modèle 4, (d) Modèle 5
- 104 -
Chapitre IV
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
par la méthode FDTD
Calcul de la distribution spatiotemporelle du courant de foudre et du champ EM associé
en mettant en œuvre le modèle EM N° 2- Validation de l’approche proposée et du code
de calcul développé
Paramètres relatifs au modèle :
Il est caractérisé par les paramètres additionnels inductifs et résistifs suivants :
L= 6.57 µH/m et R=0,13Ω/m.
Résultats de simulation obtenus
Dans la figure IV-3, nous présentons les formes d’ondes du courant d’arc en retour calculées
à différentes hauteurs du canal de foudre à savoir : 0 m, 250 m, 500 m, et 750 m. Ainsi dans
cette figure, les formes d’ondes notées par (b) et (c) correspondent à nos résultats de
simulation obtenus en mettant en œuvre la méthode FDTD-3D, basée sur la formulation de
Taflove, et le modèle de courant d’arc en retour de type EM N°2 [96]. Dans cette même
figure, on retrouve les formes d’ondes, notées par (a), correspondant aux résultats
expérimentaux (mesures du champ électromagnétique à des distances proches du canal de
foudre) obtenus par Izadi et al et tirés de la référence [128].
(a)
Fig. IV-3 Variations temporelles du courant d’arc en retour calculées à différentes hauteurs
dans le canal de foudre
(a) Résultats expérimentaux de Izadi et al [128]
- 105 -
Chapitre IV
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
par la méthode FDTD
(c)
(b)
Fig. IV-3 Variations temporelles du courant d’arc en retour calculées à différentes hauteurs
dans le canal de foudre
(b) Nos résultats correspondant au modèle EM N°2 avec présence des inductances (L) et
absence des résistances(R)
(c) Nos résultats correspondant au modèle EM N°2 avec présence des inductances (L) et des
résistances(R)
L’analyse des formes d’ondes du courant d’arc en retour obtenues par simulation (mise en
œuvre du modèle EM N°2) montre que ces dernières se caractérisent par une atténuation au
niveau de l’amplitude et un retard temporel durant la phase de propagation le long du canal de
foudre. L’analyse la figure IV-3-b correspondant au modèle N°2, en l’absence de résistances
additionnelles, montre l’apparition d’oscillations amorties, présentant un pic initial
relativement important (16 kA), causées par les inductances additionnelles.
Quant aux formes d’onde de courant obtenues en utilisant ce même modèle, en présence de
résistances additionnelles, on remarque qu’elles sont influencées par la présence de ces
résistances qui les amortissent de manière rapide.
Enfin, notons que nos résultats de simulation, relatifs au courant d’arc en retour, sont en bon
accord avec les résultats expérimentaux d’Izadi et al. [128]. On peut aussi conclure que la
mise en œuvre du modèle EM (modèle N°2) pour la représentation du courant d’arc en retour
ainsi que celle de la méthode FDTD-3D, combinée avec la formulation de Taflove [96], nous
a permis d’obtenir une vitesse de courant d’arc en retour inférieure (1.5x108 m/s) à celle de la
lumière et aussi une atténuation dans l’amplitude de ce courant durant sa propagation le long
- 106 -
Chapitre IV
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
par la méthode FDTD
du canal. Ce résultat, sur lequel s’accordent un bon nombre de chercheurs, nous permet d’une
certaine manière de valider l’approche de calcul que nous avons proposé et qui comporte
certains avantages par rapport aux approches existantes.
Par ailleurs, nous présentons dans la figure IV-4 les formes d’ondes du champ EM obtenues à
l’aide de l’approche proposée ainsi que celles obtenues expérimentalement par les auteurs de
la référence [128].
Il faut savoir que les champs mesurés par ces derniers et présentés dans la figure IV-4-a ont
été collectés lors d’une campagne de déclenchement artificiel de la foudre effectuée en
Floride (USA) [128]. Le champ électrique vertical est mesuré à la surface du sol à une
distance de 15 m de la base du canal de foudre.
Ainsi, les champs électriques verticaux tracés sur les figures IV-4-b et IV-4-c, correspondent
respectivement aux champs calculés en mettant en œuvre le modèle EM N°2 en présence et
en l’absence des résistances additionnelles.
(a)
Fig. VI-4 Variations temporelles du champ électrique vertical
(a) Champ mesuré [128]
- 107 -
Chapitre IV
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
par la méthode FDTD
(b)
(c)
Fig. VI-4 Variations temporelles du champ électrique vertical
(b) Champ électrique vertical calculé correspondant au modèle EM N°2 (présence des
inductances (L) et absence des résistances (R))
(c) Champ électrique vertical calculé correspondant au modèle EM N° 2 (présence des
inductances (L) et des résistances (R))
La comparaison entre les résultats simulés et ceux mesurés (fig. IV-4-a et IV.-4-b) montre que
pour le modèle EM 2, une concordance satisfaisante, notamment du point de vue des formes
d’ondes, à été obtenue. Cependant, l’apparition d’oscillations au niveau de l’onde calculée
causées par les inductances additionnelles est visible. De plus, l’amplitude de l’onde calculée
est inférieure à celle mesurée ; cette différence entre les amplitudes obtenues par calcul et par
la mesure peut s’expliquer par les erreurs dues aux hypothèses de calcul à savoir la
considération d’un canal de foudre vertical et d’une vitesse du courant de foudre constante.
L’analyse des variations temporelles du champ électrique vertical, correspondant au modèle
EM N°2 en présence de résistances additionnelles, présentées dans la figure IV-4-c, montre
que ces variations sont fortement amorties par rapport à celles obtenues en l’absence de ces
résistances d’où l’intérêt d’utiliser ces dernières dans le modèle du courant d’arc en retour.
La comparaison des variations temporelles du champ électrique calculé (fig. IV-4-c) en
mettant en œuvre le modèle EM N°2, en présence des inductances et des résistances
additionnelles, avec celles du champ mesuré (fig. IV-4-a) montre là aussi une concordance
satisfaisante du point de vue forme d’ondes. Cependant, l’amplitude de l’onde calculée reste
toujours inférieure par rapport de celle de l’onde mesurée à cause des erreurs dues aux
hypothèses de calcul citées ci dessus.
- 108 -
Chapitre IV
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
par la méthode FDTD
Quant aux variations du champ magnétiques, nous les représentons par celles de la densité du
flux magnétique. Ainsi, dans la figure IV-5, nous présentons les variations temporelles de
cette densité de flux magnétique calculées et mesurées (tirées de la référence [128]).
Aussi, dans la figure IV-5-a nous avons reporté les variations temporelles de la densité de flux
magnétique mesurée à une distance de 15 m par rapport au canal de foudre alors que dans la
figure IV-5-b nous présentons les variations temporelles de cette même grandeur que nous
avons calculés à la même distance du canal de foudre en mettant en œuvre le modèle EM 2
(en l’absence de résistances additionnelles). Ces variations sont caractérisées par l’apparition
de petites oscillations. Dans la figure IV-5-c, nous présentons les variations temporelles de
cette même grandeur, obtenues par la mise en œuvre du même modèle EM, mais en présence
des résistances additionnelles. On peut constater que ces variations, à cause de la présence de
ces résistances qui ont fortement amorti les oscillations, possèdent un graphe plus lissé que
celui obtenu sans l’introduction des résistances additionnelles.
(a)
(c)
(b)
Fig. VI-5 Variations temporelles de la densité du flux magnétique
(a) Onde mesurée [128]
(b) Onde calculée correspondant au modèle EM 2 en présence des inductances et en
l’absence des résistances
(c) Onde calculée correspondant au modèle EM 2 en présence des inductances et des
résistances
- 109 -
Chapitre IV
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
par la méthode FDTD
La comparaison entre les densités de flux magnétique, que nous avons calculées avec les
formes d’ondes correspondant à la même grandeur mesurées par Izadi et al. [128], montre une
bonne concordance entre les résultats de simulation et les résultats expérimentaux tant du
point de vue des formes d’ondes que du point de vue de leurs amplitudes (l’amplitude de
l’onde calculée est légèrement inferieure à celle de l’onde mesurée). Nous pouvons donc, à
travers cet autre résultat, affirmer que notre approche de calcul, basée sur la mise en œuvre de
modèles électromagnétiques (plus proches de la réalité physique du phénomène de foudre que les modèles
d’Ingénieurs)
de la méthode de calcul FDTD tridimensionnelle (qui tient compte de la géométrie
réelle du problème)
combinée à la formulation de Taflove [96] et impliquant les conditions aux
limites de type UMPL (permettant la réduction du nombre d’équations à résoudre ce qui se traduit par un
gain considérable en temps calcul et d’espace mémoire),
est validée par les résultats expérimentaux
des auteurs de la référence [128]. Il en est de même pour le code de calcul développé, basé sur
cette nouvelle approche.
Calcul de la distribution spatiotemporelle du courant de foudre et du champ EM associé
en mettant en œuvre le modèle EM N° 5-Validation de l’approche proposée et du code de
calcul développé
Dans ce modèle le canal de foudre est représenté par un fil vertical enveloppé par un matériau
de forme parallélépipédique ayant une surface de section 5 m × 5 m, et caractérisé par sa
permittivité et perméabilité relatives : ,- =5.3 et µ r=5.3. Ce fil est chargé par des résistances
additionnelles de valeur R=0.35 Ω/m.
La géométrie du problème reste la même que celle considérée auparavant dans le cas du
modèle EM N°2 (Fig. IV.1). De plus, notons que les résistances additionnelles sont injectées
afin de contrôler les amplitudes des ondes de courant (courant d’arc en retour). L’allure du
courant à la base du canal de foudre est obtenue en exploitant la fonction d’Heidler [38] (eq.
IV-1) dont les paramètres sont consignés dans le tableau (IV.1).
Dans la figure IV-6, nous présentons les distributions spatiotemporelles du courant d’arc en
retour calculées à différentes hauteurs du canal de foudre à savoir : 0 m, 250 m, 500 m, 750
m. Ces distributions ont été obtenues en mettant en œuvre la méthode FDTD-3D ainsi que le
modèle EM du courant d’arc en retour N°5. D’après cette figure nous pouvons voir que les
formes d’ondes de ces distributions sont caractérisées par une atténuation et un retard
- 110 -
Chapitre IV
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
par la méthode FDTD
temporel lors de leur propagation le long du canal. La vitesse de propagation du courant d’arc
en retour (1.47x 108 m/s) est inférieure à celle de la lumière ce qui correspond aux
observations expérimentales.
Fig. IV-6 Variations temporelles du courant d’arc en retour calculées à différentes hauteurs le
long du canal de foudre
Par ailleurs, la comparaison entre les variations temporelles du champ électrique vertical
mesuré issu de la référence [128] (figure IV-7-a), avec celles obtenues par simulation (FDTD3D, modèle 5, figure IV-7-b) montre une bonne concordance entre les deux résultats.
(b)
(a)
Fig. VI-7 Variations temporelles du champ électrique vertical
(a) Champ mesuré [128],
(b) Champ électrique vertical calculé par la méthode FDTD-3D et le modèle EM N°5.
- 111 -
Chapitre IV
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
par la méthode FDTD
Dans la figure IV-8-a nous présentons les variations temporelles de la densité du flux
magnétique mesurées par Izadi et al. [128]. Nos résultats de simulation obtenus, en mettant en
œuvre la méthode FDTD-3D ainsi que le modèle EM N°5, sont tracées dans la figure IV-8-b.
La comparaison entre ces deux résultats monte là aussi une bonne concordance ce qui valide
encore une fois l’approche de calcul proposée pour un autre modèle EM ainsi que le code de
calcul développé à cet effet..
(b)
(a)
Fig. VI-8 Variations temporelles de la densité du flux magnétique
(a) Onde mesurée [128],
(b) Onde calculée par la méthode FDTD-3D et le modèle EM N°5.
A l’issue de cette étude, dans laquelle deux modèles de courant d’arc en retour ont été mis en
œuvre, nous pouvons conclure que l’approche de calcul de la distribution spatiotemporelle du
courant d’arc en retour ainsi que du champ électromagnétique associé à cette distribution est
validée. Le code de calcul développé à cet effet est aussi validé.
Dans la section suivante, nous allons présenter une synthèse sur l’utilisation de milieux
artificiels dans les modèles EM, l’objectif de cette synthèse étant de mettre en évidence l’effet
de ces milieux artificiels sur la vitesse et la forme d’onde du courant d’arc en retour lors de sa
propagation le long du canal de foudre ainsi que sur les composantes du champ
électromagnétique.
IV.2.2 Synthèse sur l’utilisation des milieux artificiels dans les modèles EM
Parmi les sept représentations du canal de foudre, utilisées dans les modèles EM représentant
le courant d’arc en retour, trois sont basées sur l’utilisation des milieux artificiels. Il s’agit du
- 112 -
Chapitre IV
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
par la méthode FDTD
modèle N°3, modèle N°4 et du modèle N°5. Ces milieux ont l’avantage de permettre
l’obtention d’une vitesse de propagation de l’onde d’arc en retour inférieure à celle de la
lumière ce qui correspond à la réalité physique du phénomène observée lors des campagnes
de mesures. Aussi, nous proposons de présenter dans cette section une synthèse sur
l’utilisation de ces milieux dans les modèles EM notamment dans les modèles cités ci-dessus.
Ces derniers ont les caractéristiques suivantes :
Modèle 3: un fil entouré par un milieu diélectrique, de permittivité relative
,- = 4.12, occupant le demi-espace de travail au dessus du sol.
Modèle 4: un fil enveloppé par un matériau diélectrique, de forme parallélépipédique
ayant une permittivité relative,- = 4.12, placé dans l’air au dessus du sol.
Modèle 5 : un fil enveloppé par un matériau, de forme parallélépipédique ayant une
permittivité relative ,- = 4.12et une perméabilité relative µ r = 4.12. Ce matériau est
à son tour placé dans l’air et dessus du sol.
Géométrie adoptée
La géométrie retenue pour effectuer cette étude est celle présentée à la section IV.2.1 (figure
IV-1). Dans cette géométrie, le fil vertical représentant le canal de foudre possède une hauteur
de H = 4 km et il est placé au centre de la surface horizontale du sol. Le volume de l’espace
de travail est de 90 m × 90 m × 4200 m ; cet espace est discrétisé en cellules
parallélépipédiques de volume 1.5m × 1.5m × 10m.
Paramètres de simulation
Dans un but de comparaison des résultats, nous avons gardé la même valeur de la permittivité
relative du milieu artificiel pour les trois modèles.
Le pas temporel de calcul est réglé à 2 ns.
L’onde du courant à la base du canal de foudre est la même que celle injectée dans les
simulations précédentes. En effet, afin de comparer nos résultats avec ceux de la référence
[128] nous avons utilisé la même valeur de la vitesse que celle utilisée par les auteurs de cette
référence (1.4752.108 m/s). A noter que cette vitesse à été utilisé pour calculer la permittivité
(,- = 4.12) en exploitant la formule II-33 du Chap. II.
- 113 -
Chapitre IV
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
par la méthode FDTD
Les formes d’ondes de la distribution spatiotemporelle du courant d’arc en retour le long du
canal de foudre, déterminées par calcul en mettant en œuvre la méthode FDTD et les trois
modèles du courant d’arc en retour (modèles 3,4 et 5), sont présentées dans la figure IV-9.
Ces formes d’ondes ont été calculées à différentes hauteurs le long du canal de foudre à
savoir : à 0 m, 250 m, 500 m et 750 m.
(a)
(b)
(c)
Fig. IV-9 Variations temporelles du courant d’arc en retour calculées à différentes hauteurs
du canal de foudre
(a) Résultats correspondant au modèle EM N°3
(b) Résultats correspondant au modèle EM N°4
(c) Résultats correspondant au modèle EM N°5
- 114 -
Chapitre IV
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
par la méthode FDTD
L’analyse des résultats présentés dans la figure IV-9, montre que la vitesse du courant d’arc
en retour obtenue lors de la mise en œuvre du modèle EM N°3 est égale à 1.4752.108 m/s (v =
z / t), à 2.38. 108 m/s pour le modèle N°4 et à 1.7857.108 m/s pour le modèle N°5. On peut
donc constater que les trois modèles EM (modèle N°3, N°4, N°5) mis en œuvre permettent
l’obtention d’une vitesse du courant d’arc en retour inférieure à celle de la lumière (3.108
m/s). En outre, on peut remarquer sur cette même figure, qu’il existe une différence au niveau
du taux d’atténuation pour chaque forme d’onde du courant d’arc en retour calculée. En effet,
cette dernière est affectée par la taille du milieu artificiel et par les valeurs de permittivité et
perméabilité relatives considérées.
(a)
(b)
Fig- IV-10 Variations temporelles du champ électrique vertical
(a) Champ mesuré [128],
(b) Champ électrique vertical calculé par la méthode FDTD-3D pour trois modèles EM
Les variations temporelles du champ électrique vertical obtenues en mettant en œuvre les trois
modèles EM (modèle N°3, N°4, N°5) sont tracées dans la figure IV-10-b. On remarque,
d’après cette figure, que l’onde obtenue lors de la mise en œuvre du modèle N°3 est la plus
affectée du point de vue amplitude pour un milieu artificiel occupant le demi espace de travail
ou même plus. Aussi, pour cette raison les chercheurs évitent d’utiliser ce modèle dans
l’analyse du champ EM rayonné associé au courant de foudre.
D’autre part, la comparaison des variations temporelles du champ électrique vertical calculées
avec les variations temporelles de la même grandeur obtenues par la mesure [128] et
présentées dans la figure IV-10-a, montre que la forme d’onde calculée en utilisant le modèle
N°4 présente une atténuation relativement importante, du point de vue amplitude, si on la
- 115 -
Chapitre IV
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
par la méthode FDTD
compare au résultat expérimental. En revanche, l’emploi du modèle N°5 a permis d’obtenir
une onde assez proche de l’onde expérimentale du point de vue forme du pic initial et de
l’amplitude de ce dernier.
Les formes d’ondes des densités du flux magnétique calculées, à une distance de 15 m par
rapport à la base du canal de foudre et en employant les trois modèles EM du courant d’arc en
retour, sont présentées dans la figure IV-11-b. L’analyse de ces formes d’ondes montre que
celles-ci sont presque identiques du point de vue forme alors que du point de vue amplitude
elles différent. Le modèle N°5 étant celui qui donne l’amplitude la plus grande. Si nous
comparons ces formes d’ondes à celles obtenues par la mesure (fig. IV-11-a), nous constatons
que du point de vue forme les trois modèles sont en accord avec la mesure alors que du point
de vue amplitude, le modèle N°4 se rapproche le plus de l’amplitude mesurée. On peut donc
conclure que d’une manière générale les trois modèles étudiés permettent d’obtenir des
résultats assez proches de la mesure.
(a)
(b)
Fig. VI-11 Variations temporelles de la densité du flux magnétique
(a) Onde mesurée [128]
(b) Ondes calculées pour les trois modèles EM
- 116 -
Chapitre IV
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
par la méthode FDTD
IV.2.3 Calcul de la distribution spatiotemporelle du courant de foudre et du champ EM
associé à l’aide de la FDTD-3D et des modèles EM pour différentes
configurations du sol
Dans cette étude nous allons calculer la distribution spatiotemporelle du courant de foudre et
du champ EM associé en s’appuyant sur une autre géométrie (Fig.IV-12), impliquant
différentes configurations du sol, et pour d’autres valeurs des paramètres du modèle d’Heidler
représentant le courant à la base du canal de foudre.
IV.2.3.1 Sol monocouche supposé parfaitement conducteur
Géométrie du problème
La géométrie du problème à étudier est présentée dans la figure IV-12 ci-dessous.
z
y
2 km
x
50 m
50m
H=10 m
h=10 m
d=1 m
150 m
122 m
Sol parfaitement conducteur
200 m
Fig. IV-12 Géométrie du problème étudié
Courant à la base du canal de foudre
L’onde de courant à la base du canal de foudre, utilisée ici pour l’excitation, est
caractérisée par une amplitude maximale de 12 kA et un temps de montée de 0.7 µs. Cette
forme d’onde est représentée par la fonction d’Heidler (eq. IV-1) dont les valeurs de ses
paramètres sont consignées dans le tableau IV.2.
- 117 -
Chapitre IV
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
par la méthode FDTD
Tableau IV-2 Paramètres du courant à la base du canal de foudre
i01(kA)
10.5
# (µs)
0.25
# $ (µs)
2.5
i02(kA)
6.5
#$ (µs)
2.1
#$$ (µs)
230
n1
2
n1
2
Courant d’arc en retour (courant dans le canal de foudre)
Le courant dans le canal (courant d’arc en retour) sera représenté par les modèles EM N°2 et 5
ayant les caractéristiques suivantes :
Modèle 2 : fil, chargé par des inductances additionnelles (L = 9.1 µH/m) en série et des
résistances additionnelles (R = 0.1 Ω/m), placé dans l’air et au dessus du sol. La vitesse de
l’arc en retour est de 130 m/µs.
Modèle 5 : fil, enveloppé par un matériau de forme parallélépipédique ayant une permittivité
relative ,- =5.3 et une perméabilité relative µ r=5.3, chargé par des résistances (R=0.35 Ω/m).
Ce matériau est à son tour placé dans l’air et au dessus du sol. La vitesse de l’arc en retour est
de 130 m/µs.
Résultats de simulation
Dans la figure IV-13, nous présentons les formes d’ondes de la distribution spatiotemporelle
du courant d’arc en retour le long du canal de foudre obtenues en mettant en œuvre les
modèles EM N°2 et N°5.
(a)
(b)
Fig. IV-13 Variations temporelles du courant d’arc en retour calculées à différents hauteurs
(a) Modèle EM N°2
(b) Modèle EM N°5
L’analyse de ces formes d’ondes montre que le modèle N°5 permet l’obtention de formes
d’ondes de type oscillatoire (nombreuses oscillations) amorti lent alors que le modèle N°2
fournit des oscillations amorties asse rapidement. Les amplitudes des ces oscillations sont
beaucoup plus importantes pour le EM N°5 que pour le EM N°2. D’autre part, on remarque
- 118 -
Chapitre IV
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
par la méthode FDTD
que le courant dans le canal de foudre s’atténue en fonction de la hauteur avec un retard
temporel équivalent au temps nécessaire pour que chaque onde arrive au point concerné par le
calcul. Cette constatation coïncide parfaitement avec les celle décrite dans la littérature.
Les variations temporelles des composantes verticales du champ électrique, sont tracées dans
la figure IV-14. Ces variations ont été calculées à l’aide des deux modèles EM à savoir le
modèle N°2 et le modèle N°5.
(a)
(b)
Fig. IV-14. Variations temporelles des composantes verticales du champ électrique obtenues
par mise en œuvre du :
(a) Modèle EM 2
(b) Modèle EM 5
La différence entre les deux allures repose sur la différence (atténuation et temps de montée)
observée au niveau des ondes du courant d’arc en retour en employant les modèles EM N°2 et
N°5 (voir la fig. IV-13). Les résultats de simulation obtenus pour la composante azimutale du
champ magnétique sont présentés sur la figure IV-15.
(b)
(b)
Fig. IV-15 Variations temporelles des composantes azimutales du champ magnétique
calculées avec le :
(a) Modèle EM N°2
(b) Modèle EM N°5
- 119 -
Chapitre IV
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
par la méthode FDTD
L’analyse des formes d’onde du champ magnétique azimutal obtenues en mettant en œuvre
les deux modèles EM du courant de foudre montre que ces dernières sont de même forme et
possèdent des amplitudes légèrement différentes ; celle obtenue avec le modèle EM étant plus
un peu plus grande.
IV.2.3.2 Cas d’un sol monocouche de conductivité finie-Comparaison des résultats avec
ceux du sol monocouche parfaitement conducteur
Géométrie du problème
La géométrie adoptée dans ce cas est présentée à la figure IV-16. L’espace de travail est
divisé en deux zones. La première zone représente l’air et l’autre le sol. Cette dernière zone
est homogène avec une conductivité finie de valeur égale à : 0.001 s/m, une permittivité
relative εr égale à : 10, et une perméabilité relative µ r = 1 [92-93].
Le canal du foudre, supposé vertical, possède une hauteur de 2 km et il est localisé au centre
du plan horizontal xy au dessus du sol. Les points d’observation (où les calculs seront
effectués) se trouvent à une distance horizontale r = 50 m par rapport au canal du foudre, et
une à une hauteur de h = 10 m pour le calcul du champ électrique et du champ magnétique au
dessus du sol. Les composantes du champ électromagnétique seront aussi calculées à la même
distance horizontale (50 m) et à une profondeur de 1 m en dessous du sol.
z
y
2 km
x
5050m
m
h=10
H=10
m
D=1
d=1
m
m
m
150 m
122 m
σ , εr,
200 m
Fig. IV.16 Géométrie du problème adoptée pour le cas d’un sol homogène avec
conductivité finie.
- 120 -
Chapitre IV
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
par la méthode FDTD
Ce système est placé dans un volume de travail de 150 m × 200 m × 2122 m. Le volume
représentant
l’air
est
divisé
en
cellules
parallélépipédiques
de
dimensions:
2.5 m×2.5 m×10 m. Le volume occupé par le sol est discrétisé en cellules parallélépipédiques
aussi de dimensions : 2.5 m × 2.5 m × 0.5 m pour les deux premiers mètres et 2.5 m × 2.5 m ×
5 m pour le reste. Le pas de calcul temporel est réglé à 1 ns.
Courant à la base du canal de foudre : Le courant à la base du canal de foudre est le
même que celui considérée dans l’étude précédente.
Courant d’arc en retour (courant dans le canal de foudre) : Dans cette partie, deux
modèles électromagnétiques de représentation du courant d’arc en retour seront employés
(Fig.IV-17) pour évaluer l’effet de la conductivité finie du sol sur les formes d’ondes du
champ électromagnétique. Il s’agit du :
Modèle N° 2 : soit un fil chargé par des inductances L ( L = 9.1 µH/m) et des
résistances R, additionnelles montées en série ( R = 0.1 Ω/m) placées dans l’air et au
dessus du sol. Le rayon équivalent du fil représentant le canal de foudre est égal à
0.575 m (0.23∆x = 0.23× 2.5) [64]. La vitesse de l’arc en retour est de 130 m/µs.
Modèle 5 : soit un fil vertical enveloppé par un matériau de forme parallélépipédique
ayant une section transversale de 10 m × 10 m et dont la permittivité relative ,- =5.3
et la perméabilité relative µ r=5.3. Ce matériau est à son tour placé dans l’air et au
dessus du sol. La vitesse de propagation de l’onde de courant d’arc en retour est de
130 m/µs.
Modèle 2
Modèle 5
UPML
UPML
σ, εr
σ, εr
Fig. IV-17 Représentation schématique des deux types de modèles EM du courant d’arc en
retour adoptés dans le cas d’un sol homogène avec conductivité finie.
- 121 -
Chapitre IV
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
par la méthode FDTD
Les variations spatiotemporelles du courant d’arc en retour sont identiques à celles présentées
dans le cas d’un sol parfait (voir section précédente). En effet, seules la composante verticale
du champ électrique : Ez et la composante azimutale du champ magnétique : Hx sont
concernées par la comparaison avec le cas d’un sol parfaitement conducteur ; la composante
horizontale du champ électrique Ey est aussi présenté dans cette analyse. Il important de noter
que les résultats de simulation présentés dans cette partie sont réalisés au dessus et en dessous
du sol. Les conditions aux limites UPML sont imposées, cette fois ci, aux six plans entourant
le volume de l’espace de travail dans le but d’éviter les réflexions indésirables.
Résultats de simulation-comparaison
Dans cette partie, nous allons présenter les résultats de simulation obtenus dans le cas d’un sol
monocouche à conductivité finie (correspondant au cas 2) à coté de ceux obtenus dans le cas
du sol monocouche de conductivité infinie (correspondant au cas 1).A l’issue de cette
présentation des résultats une comparaison sera effectuée afin de tirer des conclusions utiles.
Champs électromagnétiques calculés au dessus du sol
Les variations temporelles de la composante horizontale du champ électrique, calculées à une
distance horizontale de 50 m par rapport à la base du canal du foudre et à une hauteur de 10 m
au dessus du sol en employant les deux modèles EM N°2 et N°5, sont données dans la figure
IV-17.
(a)
(b)
Fig. IV-17 Variations temporelles de la composante horizontale du champ électrique
calculées pour le modèle :
(a) Modèle EM N°2
(b) Modèle EM N°5
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Chapitre IV
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
par la méthode FDTD
On constate que les formes d’ondes des variations temporelles de la composante horizontale
du champ électrique obtenues en mettant en œuvre les deux modèles EM (N°2 et N°5) sont
similaires; l’amplitude de l’onde obtenue à l’aide du modèle EM N°5 est quant à elle plus
atténuée que celle obtenue avec le modèle EM N°2.
Dans la figure IV-18, nous avons tracé les variations temporelles de la composante verticale
du champ électrique obtenues en exploitant les modèles EM N°2 et N°5 pour deux
configurations différentes du sol à savoir un sol monocouche parfaitement conducteur (cas 1)
et un sol monocouche de conductivité finie (cas 2). Le but de cette superposition de courbes
étant de voir l’influence de la conductivité finie du sol sur les formes d’ondes de la
composante verticale du champ électrique pour les deux types de modèles EM du courant de
foudre.
(a)
(b)
Fig. IV-18 Variations temporelles de la composante verticale du champ électrique calculées
dans le cas du :
(a) Modèle EM N°2
(b) Modèle EM N°5
Ainsi, l’analyse de ces variations temporelles montre que la conductivité finie du sol influe
légèrement (à partir de 3µs surtout) sur la forme d’onde du champ électrique vertical dans le
cas de l’exploitation du modèle EM N°2. Quant aux formes d’ondes du champ électrique
vertical, obtenues par emploi du modèle EM 5, elles coïncident parfaitement ce qui nous
permet d’affirmer que pour ce modèle aucun effet de la conductivité finie du sol n’est à
signaler.
Nous présentons dans la figure IV-19, les allures des variations temporelles de la composante
azimutale du champ magnétique, pour les deux configurations du sol citées ci-dessus ainsi
que pour les deux modèles EM du courant de foudre.
- 123 -
Chapitre IV
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
par la méthode FDTD
(a)
(b)
Fig. IV-19 Variations temporelles de la composante azimutale du champ magnétique
calculées avec le :
(a) Modèle EM N°2
(b) Modèle EM N°5
On peut voir à travers ces résultats de simulation que ces derniers sont affectés par la
conductivité finie du sol.
Champs électromagnétiques calculés en dessous du sol
Nous présentons dans cette partie les résultats obtenus à savoir les variations temporelles de la
composante horizontale et verticale du champ électrique ainsi que de la composante azimutale
du champ magnétique. Les calculs sont réalisés pour la même géométrie que celle de la
simulation des champs au dessus du sol à une distance de 50 m par rapport à la base du canal
de foudre et à une profondeur de 1 m en dessous du sol.
Ainsi, dans la figure IV-20 nous présentons les variations temporelles de la composante
horizontale du champ électrique en dessous du sol, obtenues en utilisant les modèles EM N 2
et N 5 pour la représentation du foudre. L’analyse de ces variations temporelles montre que
les deux modèles du courant de foudre permettent d’obtenir des champs électriques
horizontaux ayant la même forme mais des amplitudes différentes; le modèle EM N°5 étant
celui qui fournit l’amplitude la plus grande.
- 124 -
Chapitre IV
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
par la méthode FDTD
(a)
(b)
Fig. IV-20 Variations temporelles de la composante horizontale du champ électrique
calculées avec le :
(a) Modèle EM N°2
(b) Modèle EM N°5
On peut facilement voir à partir de ces variations temporelles du champ électrique vertical,
présentées dans la figure IV-21 et calculées en mettant en œuvre les modèles EM N°2 et N°5
du courant de foudre, que ces deux modèles donnent des résultats identiques du point de vue
formes d’ondes avec quelques différences au niveau de l’amplitudes de ces dernières qui
s’expliquent par la nature différentes des courants d’arc en retour considérés.
(a)
(b)
Fig. IV-21 Variations temporelles de la composante verticale du champ électrique calculées
avec le:
(a) Modèle EM N°2
(b) Modèle EM N°5
Là aussi on peut voir que du point de vue formes d’ondes, les variations temporelles de la
composante azimutale du champ magnétique, obtenues en exploitant les modèles EM N°2 et
- 125 -
Chapitre IV
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
par la méthode FDTD
N°5 et présentés dans la figure IV-22, sont identiques alors que du point de vue amplitude
elles différent légèrement.
(a)
(b)
Fig. IV- 22 Variations temporelles de la composante azimutale du champ magnétique
calculées avec le :
(a) Modèle EM N°2
(b) Modèle EM N°5
Conclusion de cette étude comparative
Nous retenons de cette étude comparative des résultats de simulation, obtenus en considérant
deux types de sols (sol monocouche supposé parfaitement conducteur et sol monocouche de
conductivité finie) et deux modèles EM de courant de foudre (modèle EM N°2 et modèle EM
N°5) les points suivants :
Concernant les champs calculés au dessus du sol
Les variations temporelles de la composante horizontale du champ électrique ont une
même forme mais des amplitudes différentes pour les deux modèles de courant de foudre.
Les variations temporelles de la composante verticale du champ électrique sont
légèrement affectées par la conductivité finie du sol dans le cas du modèle N°2 et ne sont
pas affectées par cette conductivité finie dans le cas du modèle N°5.
Les variations temporelles de la composante azimutale du champ magnétique sont
affectées par la conductivité finie du sol pour les deux modèles.
Concernant les champs calculés en dessous du sol
Les deux modèles EM du courant de foudre peuvent être utilisés, pour déterminer variations
temporelles des composantes : horizontale et verticale du champ électrique et azimutale du
champ magnétique, car ils permettent d’obtenir les mêmes formes d’ondes avec des
- 126 -
Chapitre IV
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
par la méthode FDTD
différences au niveau des amplitudes. Ces différences s’expliquent par le fait que les modèles
de courants de foudre ne sont pas identiques.
IV.2.3.3 Cas d’un sol stratifié (multi- couches) de conductivité finie
Géométrie du problème
Pour connaître l’effet de la stratification du sol (donc de la conductivité aussi) sur les formes
d’ondes du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre, nous considérons un sol
stratifié horizontalement formé de deux couches. Ainsi, la géométrie du problème est
identique à celle considérée dans l’étude précédente sauf que le sol est constitué de deux
couches horizontales ayant des conductivités finies et de valeurs différentes (figure IV-23). La
couche supérieure a une hauteur de 2 m, et se caractérise par une conductivité électrique
σup∗ = 0.001 s/m [92-93]. La hauteur de la couche inférieure du sol est de 120 m avec une
conductivité électrique égale à σd∗ = 0.01 s/m.
∗ up: couche supérieure, d: down (couche inférieure)
La permittivité relative pour chaque couche a été fixée εrup = εrd =10 alors que la perméabilité
relative a été fixée à µ r = 1 [66-67]. Le premier point d’observation des champs
électromagnétiques est localisé à une distance horizontale de 50 m par rapport au canal de
foudre, et à une hauteur h = 10 m au dessus de la surface du sol. Le deuxième point
d’observation se trouve à la même distance horizontale et à une profondeur de D = 1 m en
dessous du sol (dans la couche supérieure du sol). Le canal de foudre, supposé toujours
vertical, se trouve au centre du plan horizontal xy au sol et possède une hauteur de 2 km. Les
paramètres géométriques sont les mêmes que ceux adoptés pour le cas d’un sol monocouhe
avec conductivitie finie.
Courant à la base du canal de foudre: Le courant à la base du canal de foudre est le même
que celui considérée dans l’étude précédente.
Courant d’arc en retour (courant dans le canal de foudre)
Dans cette partie, les modèles de courant d’arc en retour sont de types électromagnétiques et
identiques à ceux considérés dans le cas d’un sol homogène de conductivité finie (modèles
N°2 et N°5). La vitesse de propagation de l’onde du courant d’arc en retour le long du canal
de foudre est de 130 m/µs.
- 127 -
Chapitre IV
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
par la méthode FDTD
Les conditions aux limites de type UPML sont appliquées aux six plans entourant le volume
de l’espace de travail dans le but d’éviter les réflexions indésirables aux frontières du domaine
de calcul (Fig. IV-24).
z
2 km
y
x
5050m
m
H=10
h=10m m
D=1
d=1
m
m
σup , εrup
σd , εrd
2m
120 m
150 m
200 m
Fig. IV-23 Géométrie du problème adoptée dans le cas d’un sol stratifié horizontalement à
deux couches de conductivités finies
Modèle 2
%, ==6,57μ)/+
4.12,%==4.12
6,57μ)/+
Modèle 5
%, ==6,57μ)/+
4.12,%==4.12
6,57μ)/+
PMLP
UPML
PMLP
UPML
σup, εup,
σup, εup,
σd, εd, σ, εr
σ d, ε d,
Fig. IV-24 Représentation schématique des deux modèles EM du courant d’arc en retour
adoptés dans le cas d’un sol stratifié à deux couches de conductivités finies.
Résultats de simulation-comparaison
Les résultats de simulation obtenus, à savoir les variations temporelles du champ EM au
dessus et en dessous du sol pour différentes valeurs de la conductivité des couches constituant
le sol (Tableau IV-3), seront présentés dans cette section. Une comparaison entre les résultats
obtenus pour ces trois cas sera effectuée ensuite afin de tirer des conclusions.
Tableau IV-3 Valeurs de la conductivité des couches adoptées dans la simulation
Valeurs de la conductivité des couches supérieure et inférieure
σ_up (S/m)
σ_d (S/m)
- 128 -
Cas I
0.001
0.01
Cas II
0.001
0.001
Cas III
∞
∞
Chapitre IV
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
par la méthode FDTD
Champs électromagnétiques calculés au dessus du sol
Les variations temporelles du champ électrique horizontal, calculées au dessus d’un sol
stratifié à deux couches à une distance de 50m du canal de foudre et présentées dans la figure
IV-25, montrent qu’à cette distance proche les formes d’ondes de ce champ ne sont pas
affectées par la stratification du sol puisque ces formes d’ondes restent inchangées pour les
deux modèles du courant d’arc en retour.
(a)
(b)
Fig. IV-25 Variations temporelles de la composante horizontale du champ électrique
calculées avec le :
(a) Modèle EM N°2
(b) Modèle EM N°5
Le même résultat est obtenu concernant la composante verticale du champ électrique (figure
IV-26) pour les deux modèles de courant d’arc en retour. On peut donc se contenter de
calculer les deux composantes du champ électrique (horizontale et verticale) avec
l’approximation d’un sol parfaitement conducteur.
(a)
(b)
Fig. IV-26 Variations temporelles de la composante verticale du champ électrique calculées
avec le modèle :
(a) Modèle EM N°2
(b) Modèle EM N°5
- 129 -
Chapitre IV
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
par la méthode FDTD
Le même résultat est obtenu concernant la composante verticale du champ électrique (figure
IV-26) pour les deux modèles de courant d’arc en retour. On peut donc se contenter de
calculer les deux composantes du champ électrique (horizontale et verticale) avec
l’approximation d’un sol parfaitement conducteur.
Quant aux variations temporelles du champ magnétique azimutal, présentées dans la figure
IV-27, nous remarquons que ce dernier est légèrement affecté par la stratification du sol
notamment du point de vue amplitude des formes d’ondes. Cependant, à cause des faibles
écarts remarqués entre les amplitudes de ces variations, nous pouvons considérer là aussi
l’approximation d’un sol parfaitement conducteur.
(a)
(b)
Fig. IV-27 Variations temporelles de la composante azimutale du champ magnétique
calculées avec le modèle :
(a) Modèle EM N°2
(b) Modèle EM N°5
Champs électromagnétiques calculés en dessous du sol
Dans cette partie, les composantes verticale et horizontale du champ électrique ainsi que la
composante azimutale du champ magnétique sont concernées par le calcul. Dans la figure IV28 nous présentons les variations temporelles de la composante horizontale du champ
électrique calculées en dessous du sol stratifié. Nous constatons que les amplitudes de ces
variations sont affectées par la présence de stratification du sol de manière assez significative
dans le cas de la mise en œuvre du modèle EM N°5 et de manière légère dans le cas du de
l’emploi du modèle EM N°2.
- 130 -
Chapitre IV
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
par la méthode FDTD
(a)
(b)
Fig. IV-28 Variations temporelles de la composante horizontale du champ électrique
calculées avec le :
(a) Modèle EM N°2
(b) Modèle EM N°5
Par ailleurs, nous remarquons d’après la figure IV-29, comprenant les variations temporelles
de la composante verticale du champ électrique calculées en dessous du sol, que l’amplitude
de ce dernier est très affectée par la stratification du sol notamment dans le cas d’utilisation du
modèle EM N°5.
(a)
(b)
Fig. IV-29 Variations temporelles de la composante verticale du champ électrique calculées
avec le :
(a) Modèle EM N°2
(b) Modèle EM N°5
La même constatation est observée dans le cas du champ magnétique azimutal. En effet,
d’après les variations temporelles de ce champ tracées dans la figure IV-30, on peut voir que
le champ magnétique azimutal est affecté dans son amplitude par la stratification horizontale
du sol.
- 131 -
Chapitre IV
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
par la méthode FDTD
(a)
(b)
Fig. IV-30 Variations temporelles de la composante azimutale du champ magnétique
calculées avec le :
(a) Modèle EM N°2
(b) Modèle EM N°5
Conclusion de cette étude comparative
La composante verticale du champ électrique ainsi que la composante et azimutale du champ
magnétique, au dessus du sol à cette distance proche, peuvent être calculées avec l’hypothèse
d’un sol parfaitement conducteur. Le champ électrique horizontal pour le même cas peut être
calculé en adoptant le cas d’un sol homogène avec conductivité finie. Ceci est motivé par le
fait que pour le cas d’un sol parfaitement conducteur ce champ n’est pas concerné par le
calcul. Comme dans le cas du sol avec conductivité finie et celui du sol stratifié le champ
électrique horizontal est le même on peut donc admettre que ce champ peut être calculé avec
l’hypothèse d’un sol homogène avec conductivité finie.
Concernant le champ électromagnétique au dessus du sol
Nous retenons de cette étude qu’en champ proche, la stratification horizontale du sol n’affecte
pas le champ électrique horizontal et vertical ainsi que le champ magnétique azimutal.
L’approximation d’un sol parfaitement conducteur dans la détermination du champ électrique
vertical et du champ magnétique azimutal peut être suffisante alors que pour le champ
électrique horizontal l’utilisation de l’approximation d’un sol homogène avec une
conductivité finie est valable.
Concernant le champ électromagnétique en dessous du sol
Les deux composantes du champ électrique (horizontale et verticale) ainsi que le champ
magnétique azimutal sont affectés par la stratification horizontale du sol. L’approximation
- 132 -
Chapitre IV
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
par la méthode FDTD
d’un sol parfaitement conducteur dans la détermination de ces trois composantes n’est plus
valable.
IV.3
Méthodologie de Calcul du champ EM rayonné à l’aide de la méthode FDTD-3D,
basée sur les modèles de courant de type Ingénieurs
IV.3.1 Cas d’un sol monocouche parfaitement conducteur
IV.3.1.1 Calcul 3D basé sur le modèle TL-validation avec l’approche analytique
Géométrie du problème
Dans la figure IV-31, nous présentons la géométrie adoptée pour calculer le champ EM
rayonné ainsi que la distribution spatiotemporelle du courant d’arc en retour le long du
canal de foudre en employant les modèles dits « d’Ingénieurs» représentés par le modèle 7.
Cette géométrie s’appuie sur la configuration présentée dans la figure IV-1.
z
y
2.5 km
x
20 m
50 m
H=1
50 50 100
0m
m
122 m
d=1
m
150 m
Sol parfaitement conducteur
240 m
Fig. IV-31 Géométrie du problème adopté pour la validation
Courant à la base du canal de foudre
Le courant à la base du canal de foudre est simulé en employant la fonction d’Heidler et
les paramètres consignés dans le tableau IV.2.
Courant dans le canal de foudre (courant d’arc en retour)
Ainsi, dans la figure IV-32 nous donnons une représentation schématique du canal de
foudre simulé par un ensemble de sources de courant. Dans cette représentation, chaque
- 133 -
Chapitre IV
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
par la méthode FDTD
source de courant est activée successivement par l’arrivée de l’onde de courant d’arc en
retour à la source considérée.
Il est à noter que ce modèle de canal de foudre a été employé afin d’implémenter les
modèles de courant d’arc en retour de type ″Ingénieurs″ au sein de la méthode FDTD en
trois dimensions. En effet chaque onde de courant, calculée à l’aide du modèle d’ingénieur,
à chaque pas spatial le long du canal de foudre, est considéré comme une source de courant
permettant ainsi de calculer les quatre composantes du champ magnétique en utilisant les
formules III-84 à III-87 présentées dans la section III.4.6.2 du chapitre III.
Modèle 7
%, ==6,57μ)/+
4.12
PML
UPML
Sol parfaitement conducteur
Fig IV-32 Représentation schématique du canal de foudre au dessus d’un sol supposé
parfaitement conducteur simulé par des sources de courant placées dans l’air et au
dessus du sol.
Par ailleurs, les modèles d’Ingénieur exploités dans cette section sont :
Le modèle de la ligne de transmission avec une atténuation linéaire (MTLL : ″Modified
Transmission-Line Model with Linear current decay with height″) [43]. La vitesse de
l’arc en retour est de 130 m/s, la constante d’atténuation est H= 7000 m.
Le modèle de la ligne de transmission avec une atténuation exponentielle (MTLE:
″Modified Transmission-Line model with Exponential current decay with height″) [36].
La vitesse de l’arc en retour est 130 m/s, la constante d’atténuation est égale à λ=2000 m.
Le modèle de la ligne de transmission (TL : ″Transmission-Line Model″) [75]. L’onde de
courant se propage du sol vers le nuage avec une vitesse égale à celle de la lumière (c =
300 m/µs), sans aucune atténuation.
Résultats de simulation
Dans un premier temps nous nous sommes intéressés à la validation du code de calcul
développé sur la base des modèles de courant d’arc en retour de type Ingénieur et de la
méthode FDTD-3D. Cette validation est effectuée en comparant les formes d’ondes du
champ électrique vertical Ez et du champ magnétique azimutal Hx calculées, à l’aide de la
méthode FDTD-3D et à une distance d = 50, 100 et 200 m par rapport au un canal de
- 134 -
Chapitre IV
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
par la méthode FDTD
foudre supposé vertical et au dessus d’un sol plat et parfait, avec celles des mêmes
grandeurs mais calculées en utilisant la formule analytique établie par Thottappillil et al.
[129].
La géométrie de problème adoptée pour cette partie est celle présentée par la figure IV-31.
Rappelons que la formule exacte de Thottappillil et al s’écrit comme suit :
12 =
Hx=
3 4,
5/6
(IV-3)
$78 65
3 4,
5/6
(IV-4)
$75
Rappelons aussi que cette étude basée sur l’utilisation de la méthode FDTD-3D, le canal de
foudre vertical est représenté par le model 7 afin de simuler le modèle de la ligne de
transmission (TL), car les deux expressions du champ électrique et du magnétique établies
par Thottappillil et al ont été développées en considérant ce type du modèle d’Ingénieurs.
L’onde du courant d’arc en retour se propage le long du canal de foudre avec une vitesse
égale à celle de la lumière et sans atténuation.
La figure IV-33 montre les formes d’ondes du champ électrique vertical Ez et du champ
magnétique horizontal Hx , calculées en employant la méthode FDTD-3D et le formules
analytiques exactes développées par Thottappillil et al [129].
(a)
Fig. IV-33 Variations temporelles du champ:
(b)
(a) électrique vertical calculées par FDTD-3D avec modèle d’Ingénieur de type TL et
analytiquement à d = 50, 100 et 200 m
(b) magnétique azimutal.
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Chapitre IV
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
par la méthode FDTD
L’analyse des ces variations temporelles montre la bonne concordance de nos résultats de
simulation, obtenus en mettant en œuvre la méthode FDTD-3D avec une représentation par
modèle d’Ingénieur du courant de foudre, et les résultats issus du développement analytique
de Thottappillil et al.[129]. Ceci valide d’une part notre approche de calcul tridimensionnel et
d’autre part le code de calcul développé à cet effet [130,131].
IV.3.1.2 Calcul 3D basé sur les modèles d’Ingénieurs de type MTLL et MTLE
Dans cette section nous allons nous intéresser au calcul du champ électromagnétique rayonné
par un coup de foudre en utilisant les modèles d’ingénieurs de type MTLL et MTLE.
Géométrie du problème
La géométrie du problème est la même que celle présentée à la figure IV-12.
Courant à la base du canal de foudre
L’onde de courant à la base du canal de foudre, utilisée ici pour l’excitation, est caractérisée
par une amplitude maximale de 12 kA et un temps de montée de 0.7 µs. Cette forme d’onde
est représentée par la fonction d’Heidler (eq. IV-1) et associée aux paramètres du tableau
IV-2.
Courant dans le canal de foudre (courant d’arc en retour)
Le canal de foudre est représenté par le modèle 7 simulant les modèles d’Ingénieurs suivants :
Le modèle de la ligne de transmission avec une atténuation linéaire (MTLL :″ Modified
transmission-line model with linear current decay with height″) [43]. La vitesse de l’arc
en retour est 130 m/s, la constante d’atténuation est égale à H= 7000 m.
Le modèle de la ligne de transmission avec une atténuation exponentielle (MTLE :
″Modified transmission-line model with exponential current decay with height″) [36]. La
vitesse de l’arc en retour est de 130 m/s, la constante d’atténuation est λ=2000 m.
Résultats de simulation
Dans la figure IV-34, nous présentons la distribution spatiotemporelle du courant d’arc en
retour calculée dans le canal de foudre, aux altitudes : 0m, 250 m, 500 m et 750 m, en mettant
en œuvre la méthode FDTD-3D et les deux modèles d’Ingénieurs (MTLL et MTLE).
- 136 -
Chapitre IV
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
par la méthode FDTD
(a)
(b)
Fig. IV-34 Variations temporelles du courant d’arc en retour calculées dans le canal de foudre
en différents hauteurs avec le :
(a) Modèle MTLL
(b) Modèle MTLE
On voit bien, d’après ces variations que les formes d’ondes sont similaires pour les deux
modèles de courant de foudre alors que les amplitudes sont différentes. En effet, le courant
obtenu par la mise en œuvre du modèle MTLE est plus atténué que celui obtenu par le modèle
MTLL.
Dans la figure IV-35, nous avons tracé les variations temporelles de la composante verticale
du champ électrique obtenues dans ce cas là.
(a)
(b)
Fig. IV-35 Variations temporelles de la composante verticale du champ électrique calculées
avec le:
(a) Modèle MTLL
(b) Modèle MTLE
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Chapitre IV
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
par la méthode FDTD
Nous pouvons remarquer que les allures de ce champ obtenues pour les modèles de courant de
foudre sont similaires alors que leurs amplitudes différent.
Les variations temporelles du champ magnétique azimutal, calculées par la méthode FDTD3D et les modèles de type Ingénieurs sont tracées dans la figure IV-36.
(a)
(b)
Fig. IV-36 Variations temporelles de la composante azimutale du champ magnétique
calculées avec le :
(a) Modèle MTLL
(b) Modèle MTLE
Pour cette composante du champ EM, les deux modèles donnent la même forme d’onde
comme on peut le constater sur cette figure.
IV.3.2 Cas d’un sol monocouche de conductivité finie
Géométrie du problème
La géométrie du problème est la même que celle adoptée dans la section (IV.2.3.2) pour les
modèles électromagnétiques et présentée à la figure IV-16.
Le sol est considéré comme homogène de conductivité électrique égale à 0.001 s/m, de
permittivité relative εr = 10, et de perméabilité relative µ r = 1. La taille du volume total
correspondant à l’air et au sol ainsi que celle des différentes cellules de discrétisation est
spécifiée dans la section (IV.2.3.2).
Les conditions aux limites UPML sont imposées au niveau des six plans entourant le volume
de l’espace de travail afin d’éviter les réflexions indésirables.
- 138 -
Chapitre IV
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
par la méthode FDTD
Courant à la base du canal de foudre
L’onde de courant à la base du canal de foudre, utilisée ici pour l’excitation, est caractérisée
par une amplitude maximale de 12 kA et un temps de montée de 0.7 µs. Cette forme d’onde
est représentée par la fonction d’Heidler (eq. IV-1) et associée aux paramètres du tableau
IV-2.
Courant dans le canal de foudre (courant d’arc en retour)
La configuration du canal de foudre, l’emplacement des conditions aux limites de type UPML
et la nature du sol sont donnés à la figure IV-37. De même que pour le cas d’un sol
parfaitement conducteur, le canal de foudre est représenté par un vecteur vertical supportant
une série de sources de courant afin de faciliter l’implémentation numérique du modèle de
courant d’arc en retour appartenant à la famille des modèles de type Ingénieurs.
Ainsi, les modèles d’Ingénieurs employés pour représenter la distribution du courant d’arc en
retour le long du canal sont :
Le modèle de la ligne de transmission avec une atténuation linéaire (MTLL : ″Modified
Transmission-Line Model with Linear current decay with height″) [43]. La vitesse de
l’arc
en
retour
est
130
m/s,
la
constante
d’atténuation
est
égale
à
H= 7000 m.
Le modèle de la ligne de transmission avec une atténuation exponentielle (MTLE :
″Modified Transmission-Line model with Exponential current decay with height″) [36].
La vitesse de l’arc en retour est 130 m/s, la constante d’atténuation est égale à λ=2000 m.
Modèle 7
%, ==6,57μ)/+
4.12
PML
UPML
σ, εr
Fig IV-37 Représentation schématique du canal de foudre au dessus d’un sol monocouche de
conductivité finie.
- 139 -
Chapitre IV
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
par la méthode FDTD
Résultats de simulation
Champs électromagnétiques calculés au dessus du sol
Après présentation des résultats de simulation obtenus dans le cas d’un sol homogène de
conductivité finie (cas 2), nous allons effectuer une étude comparative de ces mêmes résultats
avec ceux obtenus en présence d’un sol parfaitement conducteur (étude précédente cas 1).
Les sources de courant sont excitées en employant des courants identiques à ceux utilisés dans
l’étude précédente relative au cas d’un sol parfaitement conducteur.
Ainsi, dans la figure IV-38 nous présentons les variations temporelles du champ électrique
horizontal obtenues en utilisant la méthode FDTD-3D et les deux modèles de courant de
foudre (MTLL et MTLE).
(a)
(b)
Fig. IV-38 Variations temporelles de la composante horizontale du champ électrique
calculées en présence d’un sol homogène de conductivité finie avec le :
(a) Modèle MTLL
(b) Modèle MTLE
Nous pouvons remarquer que les deux modèles de courant de foudre donnent des variations
temporelles du champ électrique horizontal identiques en forme et en amplitude.
Dans la figure suivante (figure IV-39), nous avons tracé les variations temporelles de la
composante verticale du champ électrique (obtenues en présence d’un sol homogène de
conductivité finie et infinie) pour les deux modèles de courant de foudre (MTLL et MTLE).
- 140 -
Chapitre IV
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
par la méthode FDTD
(a)
(b)
Fig. IV-39 Variations temporelles de la composante verticale du champ électrique calculées
pour deux configurations du sol (cas 1 et 2) avec le :
(a) Modèle MTLL
(b) Modèle MTLE
L’analyse de ces variations temporelles montre que la forme d’onde du champ électrique
vertical obtenue à l’aide du modèle MTLL décroit après un passage par un maximum alors
que celle obtenue par le modèle MTLE croit après son passage par un maximum.
On peut aussi voir clairement, d’après ces variations temporelles, que l’effet de la
conductivité finie du sol est négligeable à cette distance proche du canal de foudre puisque les
formes d’ondes tracées coïncident presque parfaitement dans le cas 1 et 2. Ceci nous amène à
dire que le champ électrique vertical peut être calculé avec une précision acceptable en
utilisant l’hypothèse d’un sol parfaitement conducteur.
Les variations de la composante azimutale du champ magnétique sont tracées dans la figure
IV-40.
A la lumière de ces résultats, nous pouvons noter une légère influence la conductivité finie du
sol sur les amplitudes du champ magnétique azimutal. En effet, les formes d’ondes obtenues
qui sont identiques différent de par leurs amplitudes ; l’amplitude de l’onde obtenue en
présence d’un sol homogène de conductivité finie étant plus faible que celle obtenue avec un
sol parfaitement conducteur. Cependant l’écart n’est pas très grand entre ces deux amplitudes
et peut donc être négligé. Ce qui conforte l’idée de considérer dans ce cas là aussi (celui du
calcul de la composante azimutale du champ magnétique) l’approximation d’un sol
parfaitement conducteur.
- 141 -
Chapitre IV
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
par la méthode FDTD
(a)
(b)
Fig. IV-40 Variations temporelles de la composante azimutale du champ magnétique
calculées pour deux configurations du sol (cas 1 et 2) avec le :
(a) Modèle MTLL
(b) Modèle MTLE
Champs électromagnétiques calculés en dessous du sol
Les variations temporelles tracées sur la figure IV-41, concernant la composante horizontale
du champ électrique, montrent que les deux modèles d’Ingénieurs représentant le courant
d’arc en retour donnent les mêmes résultats pour cette distance de calcul (50 m, distance
proche du canal de foudre) et à cette profondeur (1 m en dessous du sol).
(a)
(b)
Fig. IV-41 Variations temporelles de la composantes horizontale du champ électrique
calculées en dessous du sol avec le :
(a) Modèle MTLL
(b) Modèle MTLE
- 142 -
Chapitre IV
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
par la méthode FDTD
Il en est de même pour le champ électrique vertical dont les variations temporelles sont
tracées dans la figure IV-42.
(a)
(b)
Fig. IV-42 Variations temporelles de la composante verticale du champ électrique calculées
en dessous du sol avec le :
(a) Modèle MTLL
(b) Modèle MTLE
Les variations temporelles du champ magnétique azimutal sont présentées dans la figure
IV-43.
(a)
(b)
Fig. IV-43 Variations temporelles de la composante azimutale du champ magnétique
calculées en dessous du sol avec le :
(a) Modèle MTLL
(b) Modèle MTLE
Là aussi, les variations temporelles obtenues avec les deux modèles de courant de foudre sont
identiques tant du point de vue forme que de celui de l’amplitude des ondes.
- 143 -
Chapitre IV
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
par la méthode FDTD
IV.3.3 Cas d’un sol stratifié à plusieurs couches de conductivités finies
Nous allons examiner dans cette section, le cas d’un sol stratifié à deux couches horizontales
de conductivités finies afin de voir l’influence de la stratification sur les formes d’ondes du
champ EM rayonné par le coup de foudre calculées en se basant sur les modèles du courant de
foudre de type Ingénieurs. Le calcul de ces formes d’ondes se fera au dessus et en dessous du
sol.
Géométrie du problème
La géométrie du problème adoptée dans ce cas là est similaire à celle adoptée dans le calcul
effectué en se basant sur les modèles EM avec un sol stratifié à deux couches horizontales
(figure un sol stratifié à deux couches IV-23, section IV.2.3.3). Nous avons également gardé
les mêmes valeurs des paramètres géométriques et électriques relatifs à ces deux couches du
sol. L’évaluation des composantes du champ EM s’effectue à une distance horizontale de 50
m par rapport au canal de foudre et à une hauteur h = 10 m au dessus de la surface du sol ainsi
qu’à une profondeur D = 1 m en dessous du sol pour la même distance horizontale.
Courant à la base du canal de foudre
L’onde de courant à la base du canal de foudre, utilisée ici pour l’excitation, est caractérisée
par une amplitude maximale de 12 kA et un temps de montée de 0.7 µs. Cette forme d’onde
est représentée par la fonction d’Heidler (eq. IV-1) et associée aux paramètres du tableau
IV-2.
Courant d’arc en retour (courant dans le canal de foudre)
La représentation schématique du canal de foudre et l’emplacement des conditions aux limites
de type UMPL est illustrée dans la figure IV-44.
Modèle 7
%, ==6,57μ)/+
4.12
PML
UPML
σup, εup,
σ d , εd ,
Fig IV-44 Représentation schématique du canal de foudre au dessus d’un sol stratifié
horizontalement à deux couches avec conductivités finies
- 144 -
Chapitre IV
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
par la méthode FDTD
Pour analyser la distribution spatiotemporelle du courant d’arc en retour et pour évaluer les
composantes du champ électrique et du champ magnétique, nous considérons les deux
modèles de type Ingénieurs suivants :
Le modèle de la ligne de transmission avec une atténuation linéaire (MTLL :″ Modified
Transmission-Line Model with Linear current decay with height″) [43]. La vitesse de
l’arc en retour est 130 m/s, la constante d’atténuation est égale à H= 7 km.
Le modèle de la ligne de transmission avec une atténuation exponentielle (MTLE :
″Modified Transmission-Line model with Exponential current decay with height″) [36].
La vitesse de l’arc en retour est 130 m/s, la constante d’atténuation est égale à
λ=2000 m.
Résultats de simulation
Les résultats de simulation seront présentés pour deux configurations du sol à savoir :
Cas 1: sol stratifié à deux couches de conductivités finies
Cas 2: sol monocouche de conductivité finie
Cas 3 : sol monocouche de conductivité infinie (sol parfaitement conducteur)
Ces trois configurations du sol (cas 1, cas 2 et cas 3) possèdent les mêmes paramètres
géométriques (même hauteur du canal H=2km)
Champs électromagnétiques calculés au dessus du sol
Les variations temporelles de la composante horizontale du champ électrique sont tracées
dans la figure VI-45. L’analyse de ces variations montre là aussi que la stratification
horizontale à deux couches n’a eu aucun effet sur le champ électrique horizontal et que les
modèles MTLL et MTLE donnent les mêmes résultats dans ce cas là. Le champ électrique
horizontal peut donc être calculé avec l’approximation d’un sol homogène de avec
conductivité finie.
- 145 -
Chapitre IV
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
par la méthode FDTD
(a)
(b)
Fig. IV-45 Variations temporelles de la composante horizontale du champ électrique au
dessus calculées dans le cas d’un sol stratifié (cas 1) et d’un sol monocouche de conductivité
finie (cas 2) avec le :
(a) Modèle MTLL
(b) Modèle MTLE
Pour les résultats de simulation relatifs à composante verticale du champ électrique, pour un
sol stratifié à deux couches (cas 1), nous les comparons avec ceux obtenus avec un sol
monocouche de conductivité finie (cas 2) et un sol monocouche parfaitement conducteur
(cas 3). Ainsi, les variations temporelles de la composante verticale du champ électrique,
correspondant aux trois configurations de sol citées (cas 1, cas 2 et cas 3), sont présentées
dans la figure IV-46. L’analyse de ces variations met en évidence les mêmes constations faites
pour le champ électrique horizontal c'est-à-dire l’absence de l’influence de la stratification du
sol sur la forme d’onde du champ électrique vertical. On peut donc conclure que le champ
électrique, au dessus du sol calculé à une distance proche du canal de foudre, peut être calculé
avec l’hypothèse d’un sol parfaitement conducteur (cas le plus simple).
(a)
(b)
Fig. IV-46 Variations temporelles de la composante verticale du champ électrique au dessus
du sol calculées pour trois configurations différentes du sol (cas 1, cas 2, cas 3) avec le :
(a) Modèle MTLL
(b) Modèle MTLE
- 146 -
Chapitre IV
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
par la méthode FDTD
Dans la figure IV-47, nous présentons les variations temporelles de la composante azimutale
du champ magnétique.
(a)
(b)
Fig. IV-47 Variations temporelles de la composante azimutale du champ magnétique au
dessus du sol calculées pour trois configurations différentes du sol (cas 1, cas 2, cas 3) avec:
(a) Modèle MTLL
(b) Modèle MTLE
A la lumière de ce résultat, nous pouvons conclure que la présence de la stratification
horizontale du sol a affecté légèrement l’onde du champ magnétique azimutal notamment du
point de vue de son amplitude. D’autre part, nous remarquons aussi qu’avec le modèle MTLL
nous obtenons la même forme d’onde de ce champ dans le cas d’un sol stratifié à deux
couches et d’un sol monocouche de conductivité finie alors qu’avec le modèle MTLE nous
obtenons des formes d’ondes différentes du point de vue de leurs amplitudes dans les trois
configurations du sol considérées (cas 1, cas 2 et cas 3). Cependant, cette différence
d’amplitude n’est pas très grande. (écart maximal entre la plus faible amplitude et la plus
grande ne dépassant pas les 3A/m).
Champs électromagnétiques calculés en dessous du sol
Dans cette partie nous présentons les formes d’ondes du champ électrique et du champ
magnétique obtenues, pour deux configurations distinctes du sol (cas 1 et cas 2), avec les deux
modèles d’Ingénieurs (MTLL et MTLE).
Dans la figure IV-48 ; nous avons tracé les variations temporelles du champ électrique
horizontal dans le cas d’un sol stratifié à deux couches (cas 1) et dans celui d’un sol
monocouche de conductivité finie (cas 2). Le calcul de ce champ est effectué sur la base des
deux modèles d’Ingénieurs (modèle MTLL et MTLE).
- 147 -
Chapitre IV
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
par la méthode FDTD
(a)
(b)
Fig. IV-48 Variations temporelles de la composante horizontale du champ électrique en
dessous du sol calculées pour deux configurations différentes du sol (cas 1 et 2) avec le :
(a) Modèle MTLL
(b) Modèle MTLE
L’analyse de ces variations temporelles montre que pour ces configurations du sol la
stratification horizontale de ce dernier affecte légèrement au niveau de leurs amplitudes les
formes d’ondes obtenues.
En revanche, cet effet de la stratification horizontale du sol est visible sur les variations
temporelles du champ électrique vertical, présentées dans la figure IV-49. Cette composante
du champ électrique est donc plus affectée par la présence d’un sol stratifié horizontalement
que la composante horizontale.
(a)
(b)
Fig. IV-49 Variations temporelles de la composante verticale du champ électrique en dessous
du sol calculées pour deux configurations différentes du sol (cas 1 et 2) avec le :
(a) Modèle MTLL
(b) Modèle MTLE
- 148 -
Chapitre IV
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
par la méthode FDTD
Les variations temporelles du champ magnétique azimutal sont présentées dans la figure
IV. 50.
(a)
(b)
Fig. IV. 50. Variations temporelles de la composante azimutale du champ magnétique en
dessous du sol calculées pour deux configurations différentes du sol (cas 1 et 2) avec le :
(a) Modèle MTLL
(b) Modèle MTLE
L’utilisation de modèles de type Ingénieurs, à savoir le modèle MTLL et le modèle MTLE,
pour calculer en dessous du sol le champ magnétique azimutal à une distance proche du canal
foudre montre les amplitudes de ce champ sont légèrement affectées par la stratification
horizontale comme on peut le constater sur la figure IV-50.
IV.4 Analyse des résultats obtenus avec les deux types de modèles de courant d’arc en
retour (Modèles d’Ingénieurs et modèles électromagnétiques)-Discussion
Dans ce travail, nous nous sommes intéressés au calcul du champ EM rayonné par un coup de
foudre en mettant en œuvre une nouvelle approche basée sur la méthode FDTD
tridimensionnelle, la formulation de Taflove et les conditions aux limites de type UPML ainsi
que la mise en œuvre de deux types de modèles de courant de foudre à savoir les modèles
électromagnétiques et les modèles d’Ingénieurs. L’objectif d’une telle étude étant d’examiner
la faisabilité de cette nouvelle approche, de la valider par des résultats expérimentaux et de
développer un code de calcul tridimensionnel.
Dans cette étude, nous avons aussi jugé utile de tester l’efficacité de chaque famille de
modèles de courant de foudre dans le calcul du champ EM rayonné par un coup de foudre.
Aussi, nous allons résumer dans ce qui suit les points communs et les différences rencontrées
dans l’implémentation de ces familles de modèles à travers les résultats obtenus suite à leur
mise en œuvre.
- 149 -
Chapitre IV
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
par la méthode FDTD
Ainsi, à l’issue des simulations effectuées à une distance proche du canal de foudre, pour
chaque famille de modèles de courant d’arc en retour, et présentées dans les sections
précédentes nous pouvons faire les remarques suivantes:
Concernant les formes d’ondes du champ EM calculées au dessus du sol :
Le champ électrique horizontal calculé, en employant les quatre modèles du courant d’arc
en retour (les deux modèles EM N°2 et N°5 et les deux modèles d’Ingénieurs MTLL et
MTLE), n’est pas affecté par la stratification horizontale du sol et peut être calculé avec
l’approximation d’un sol homogène à conductivité finie.
L’effet de la stratification horizontale sur la composante verticale du champ électrique est
négligeable. Cette composante du champ EM peut être aussi évaluée en considérant le sol
homogène avec conductivité finie ou par l’usage de l’hypothèse du sol parfaitement
conducteur.
Pour le champ magnétique azimutal; la nature du sol (stratifié deux couches ; monocouche
de conductivité finie et monocouche parfait) influe de manière légère sur les amplitudes de
ce champ pour les quatre modèles de courant de foudre considérés. Cet effet étant minime,
nous suggérons l’utilisation d’un sol monocouche parfaitement conducteur pour le calcul
de ce champ magnétique.
Concernant les formes d’ondes du champ EM calculées en dessous du sol
Le champ électrique horizontal est affecté par la présence du sol stratifié. Cette influence
existe au niveau de toutes les formes d’ondes obtenues en employant les quatre modèles du
courant d’arc en retour.
Pour le champ électrique vertical, cette composante du champ EM est la plus affectée par
la stratification horizontale du sol.
Les résultats de simulation de la composante azimutale du champ magnétique montrent
que, pour une faible valeur de la conductivité de la couche supérieure du sol stratifié ainsi
que du sol homogène et au voisinage de la base du canal de la foudre, la stratification du
sol fait réduire l’amplitude de ce champ magnétique.
Enfin, les résultats obtenus à l’aide des modèles EM, qui ont été validés par des résultats
expérimentaux, sont tout aussi compétitifs que les modèles d’Ingénieurs dans le calcul du
- 150 -
Chapitre IV
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
par la méthode FDTD
champ EM rayonné par un coup de foudre avec tout de même un petit avantage pour les
modèles EM lié au fait qu’ils sont plus proches physiquement du phénomène de foudre que
les modèles d’Ingénieurs.
IV.5 Comparaison entre les résultats obtenus à l’aide de formulations FDTD-3D basées
sur l’emploi de conditions aux limites de type PEC et de type UMPL
Le développement des codes de calcul du courant d’arc en retour et du champ EM associé
nécessite un bon choix des conditions aux limites pour éviter le phénomène de la réflexion au
niveau des frontières du domaine d’étude. Dans ce contexte, nous comparons dans cette
section les résultats obtenus en utilisant deux formulations de la méthode FDTD-3D. La
première formulation est basée sur l’algorithme de Yee [52] en utilisant les conditions aux
limites de type PEC (voir la section III.4.5.1 du chapitre III) et la deuxième est celle basée sur
la formulation de Taflove [96] combinée à l’emploi des conditions aux limites UPML (voir la
section III.4.5.2-c) [120].
Il est à noter que les résultats présentés ci-dessous ont été obtenus à l’aide du modèle EM
N°2 ; caractérisé par les paramètres additionnels inductifs et résistifs suivants : L= 6.57 µH/m
et R=0,13Ω/m.
Ainsi, dans la figure IV-51 nous avons reporté les variations temporelles du courant de foudre
obtenues à l’aide des deux formulations citée ci-dessus calculées en différentes hauteurs du
canal du foudre (0 m, 250 m, 500 m, 750 m). Les formes d’ondes tracées en points tillés sont
celles obtenues à l’aide de l’algorithme de Yee et des conditions aux limites PEC alors que les
courbes tracées en traits continus correspondent aux résultats obtenus en utilisant la
formulation de Taflove et les conditions aux limites UPML.
- 151 -
Chapitre IV
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
par la méthode FDTD
Fig.IV-51 Variations temporelles du courant d’arc en retour calculées en différentes hauteurs
du canal de foudre à l’aide des deux formulations de la FDTD-3D
------ : Résultats correspondant à la formulation de Taflove et les conditions aux limites UPML
: Résultats correspondant à la formulation basée sur l’algorithme de Yee et les conditions PEC
A partir de cette comparaison de résultats présentée dans cette figure, on peut noter qu’il
existe une bonne concordance entre les approches basée sur les deux formulations citées
notamment lorsque les points de calcul du courant sont localisés à des distances proches de la
source d’excitation (c'est-à-dire à la base du canal de foudre). Cependant, une atténuation
significative à été observée sur les amplitudes du courant lorsque les points de calcul
s’éloignent de la source du courant. Une différence entre les temps de montée de ce courant,
obtenus par chaque approche, a été également observée affectant ainsi la vitesse de
propagation du courant le long du canal. Ces différences remarquées sur l’amplitude et la
vitesse de l’onde de courant peuvent être expliquées par l’apparition de réflexions des ondes
EM et leurs interactions avec les ondes sources quant on utilise les conditions aux limites PEC
car ces dernières ne permettent pas d’éviter la réflexion apparaissant au niveau des frontières
du domaine de travail ce qui n’est pas le cas des conditions UPML. Ceci démontre l’efficacité
de ces dernières (malgré la complexité de leur implémentation numérique!) dans le calcul du
champ EM.
- 152 -
Chapitre IV
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
par la méthode FDTD
Par ailleurs, les variations temporelles du champ électrique vertical calculées, à une distance
horizontale de 15 m par rapport au canal de la foudre et à l’aide des deux formulations
(mettant en jeux les deus types de conditions aux limites) ainsi que du modèle de foudre de
type EM (modèle N°2), sont présentées dans figure IV-52.
Fig. IV-52 Variations temporelles de la composante verticale du champ électrique calculées
par la méthode 3D-FDTD en utilisant :
: la formulation de Taflove et les conditions aux limites UPML
: la formulation basée sur l’algorithme de Yee et les conditions PEC
D’après cette figure, nous pouvons voir que la forme d’onde du champ électrique vertical
obtenue à l’aide de la formulation de Taflove et des conditions aux limites UMPL ne
comporte pas beaucoup d’oscillations par rapport à celle obtenue en utilisant l’algorithme de
Yee et les conditions PEC. En effet, les oscillations apparaissent sur cette dernière ainsi que
l’atténuation de son amplitude sont dues à la réflexion des ondes EM caractérisant ce type de
formulation.
Enfin, pour le champ magnétique azimutal ; les variations temporelles de ce dernier calculées
à une distance horizontale de 50 m par rapport au canal de la foudre à l’aide des deux
formulations de la méthode FDTD-3D, sont tracées sur un même graphique présenté dans la
figure IV-53.
- 153 -
Chapitre IV
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
par la méthode FDTD
Fig. IV-53 Variations temporelles de la composante azimutale du champ magnétique
calculées par la méthode 3D-FDTD en utilisant :
: la formulation de Taflove et les conditions aux limites UPML
: la formulation basée sur l’algorithme de Yee et les conditions PEC
D’après cette figure, nous constatons là aussi que la forme d’onde du champ magnétique
azimutal obtenue à l’aide de l’approche que nous avons proposé, basée sur la formulation de
Taflove et les conditions UPML, ne comporte pas d’oscillations (dont l’origine até expliquée
auparavant) par rapport à celle obtenue en utilisant l’algorithme de Yee et les conditions PEC.
IV-6 Conclusion
Dans ce chapitre nous avons calculé à l’aide d’une nouvelle approche (basée sur la mise en de
la FDTD-3D impliquant la mise en œuvre de la formulation de Taflove, l’utilisation des
conditions aux limites de type UPML et la mise en œuvre de modèles de courant de foudre de
type EM) les composantes du champ EM rayonnées par un coup de foudre à des distances très
proches du canal de foudre.
Ainsi, à l’issue de ce calcul nous avons effectué une validation des résultats obtenus, et par la
même occasion du code de calcul développé à cet effet, par des résultats expérimentaux tirés
de la littérature. Une fois cette étape de validation terminée, nous avons étudié l’influence de
- 154 -
Chapitre IV
Calcul du champ électromagnétique rayonné par un coup de foudre
par la méthode FDTD
la nature du sol sur les formes d’ondes du champ EM. A cet effet, trois topologies du sol ont
été considérées à savoir : un sol monocouche et parfaitement conducteur, un sol monocouche
de conductivité finie et un sol stratifié à deux couches horizontales de conductivités finies.
Plusieurs conclusions ont été tirées suite à cette étude, la principale d’entre elles stipule que le
champ électrique vertical en dessous du sol est largement affecté par cette stratification
horizontale.
Nous avons ensuite implémenté les modèles de courant de type Ingénieurs afin de tester
l’efficacité des modèles EM mis en œuvre dans les études précédentes. Nous avons conclu, à
la suite des cette étude, que les modèles EM donnent des résultats comparables à ceux obtenus
par les modèles d’Ingénieurs qui possèdent l’avantage d’être plus simples à utiliser mais qui
ne reflètent pas la réalité du phénomène de foudre comme c’est le cas en partie pour les
modèles EM.
Nos travaux se sont terminés par une analyse comparative entre deux formulations de la
méthode 3D-FDTD notamment celle que nous avons proposé dans cette thèse (nouvelle
approche basée sur la formulation de Taflove et l’utilisation des conditions aux limites
UPML) et celle utilisant l’algorithme de Yee et les conditions aux limites PEC. Les résultats
obtenus à l’issue de cette étude ont montré la puissance des conditions aux limites de type
UPML que nous avons implémenté dans notre approche de calcul.
- 155 -
Conclusion générale
Conclusion générale
Conclusion Générale
Dans ce travail nous nous sommes fixés comme principal objectif le calcul des composantes
du champ électromagnétique rayonnées par coup de foudre. Le cahier de charge relatif à ce
travail spécifiait la mise en œuvre de la méthode des différences finies, dans le domaine
temporel en trois dimensions FDTD-3D, associée à deux classes de modèles du courant d’arc
en retour (courant de foudre) à savoir les modèles EM et les modèles dits « d’Ingénieurs »,
pour calculer le champ EM rayonné par un coup de foudre descendant. Un code de calcul,
basée sur cette technique tridimensionnelle, devait donc être développé.
Partant du cahier de charge, nous avons commencé par le développement théorique de la
nouvelle approche de calcul du champ EM, proposée dans le cadre de cette thèse, reposant sur
la mise en œuvre de la FDTD-3D avec implémentation de la formulation de Taflove et des
conditions aux limites de type UPML (dont l’efficacité a été mise en évidence à la fin du
chapitre IV par comparaison avec les conditions PEC). La seconde étape du travail consistait
en la validation de l’approche proposée et du code de calcul développé. Cette validation s’est
effectuée en comparant les résultats de calcul obtenus, sur la base de cette nouvelle approche,
avec des résultats expérimentaux tirés de la littérature et théoriques menés sur la base de
formules analytiques exactes. Une fois cette étape de validation, de l’approche de calcul
proposée et du code informatique développé, franchie nous nous sommes intéressés à l’étude
des différents modèles EM du courant de foudre implémentés au sein de notre code de calcul.
Lors de cette étude nous avons également examiné l’influence de la nature du sol à travers la
considération de trois topologies différentes de ce dernier (sol monocouche parfait, sol
monocouche de conductivité finie et sol stratifié à deux couches de conductivités finies). A
l’issue de cette étude nous avons déterminé le degré d’influence de la stratification horizontale
sur les formes d’ondes du champ EM rayonné. Nous avons aussi identifié les composantes du
champ EM non affectées par la stratification horizontale du sol afin de dégager les hypothèses
simplificatrices, liées à la nature du sol, utiles pour le chercheur travaillant sur ces
thématiques. L’examen des résultats obtenus, sur la base des modèles EM, a aussi révélé leur
efficacité sur la base d’une comparaison des résultats obtenus avec des résultats
expérimentaux. L’étape suivante consistait en la mise en œuvre des modèles de type
″Ingénieurs″ au sein de la FDTD-3D dans le but de comparer les résultats obtenus sur la base
de ces modèles avec ceux obtenus à partir de modèles EM. Les résultats obtenus à partir des
modèles d’Ingénieurs se sont révélés comparables à ceux obtenus par les modèles EM.
- 156 -
Conclusion générale
Cependant nous avons préconisé, à l’issue de cette étude, l’utilisation de modèles EM (car
plus proches de la réalité physique du phénomène de foudre) et le calcul tridimensionnel
(permettant la prise en compte la géométrie réelle du système qui est souvent complexe)
associé à des conditions aux limites intéressantes (UPML) pour un calcul réaliste et
raisonnable du champ EM rayonné par la foudre dans un environnement complexe.
Enfin pour terminer nous espérons, avec ce modeste travail, avoir contribué sous un éclairage
nouveau au calcul du champ EM rayonné par un coup de foudre. Les perspectives de ce
travail peuvent être :
Le développement de modèles EM en introduisant le cas d’un coup de foudre impactant
une tour élevée.
L’examen d’autres conditions aux limites
L’examen de géométries du sol stratifié plus complexes (plusieurs couches) et explorer
l’effet d’une stratification verticale.
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Résumé
L’objectif de cette thèse est le développement d’un code de calcul du champ EM rayonné par
un coup de foudre, basé sur la méthode des différences finies dans le domaine temporel en
trois dimensions 3D-FDTD. Ainsi, pour atteindre cet objectif, nous avons commencé par le
traitement des aspects théoriques liés au phénomène de foudre pour aborder ensuite la
modélisation du courant de foudre à travers une description détaillée des modèles du courant
de foudre notamment les modèles EM et les modèles de type Ingénieurs ; modèles qui ont été
mis en œuvre dans la suite du travail. Nous avons par la suite dressé un état de l’art sur les
différentes méthodes de calcul du champ EM rayonné par la foudre notamment la méthode
FDTD-3D, mise en œuvre dans le cadre de ce travail. La dernière partie de ce travail a été
consacrée à l’étude de la faisabilité d’une nouvelle approche de calcul du champ EM basée
sur la méthode FDTD-3D reposant sur la formulation de Taflove et l’utilisation des conditions
aux limites de type UPML. Un code de calcul tridimensionnel, sous environnement Matlab, a
été développé à cet effet et validé par comparaison des résultats de simulation avec des
résultats expérimentaux issus de la littérature. Nous nous sommes intéressés, ensuite, à l’étude
de l’influence de la nature du sol (sol monocouche de conductivité finie et infinie et sol
stratifié de conductivité finie) sur les formes d’ondes et les amplitudes du champ EM rayonné.
L’efficacité des modèles EM et d’ingénieurs a été aussi testée lors de cette étude. Des
conclusions intéressantes ont été tirées à la fin de ce travail relatives au calcul du champ EM
rayonné à l’aide de l’approche proposée.