Angles inscrits, angles au centre Version

SCENARIO PEDAGOGIQUE
: ANGLES INSCRITS – ANGLES AU CENTRE
Titre : Angles inscrits, angles au centre
Version : V 1.0
Matière : Mathématiques
Niveau : 2ème au collège
Point du programme : Propriétés des angles dans un cercle.
Objectifs : Connaître les notions de l’angle inscrit et de l’angle au centre et leurs propriétés.
Durée d’apprentissage : Deux séances d’une 1 h
Proposition d’utilisation : Classe entière ( si possible en salle multimédia, 2 élèves par poste)
avec un ordinateur et un vidéoprojecteur, fiche de travail distribuée aux élèves.
Pré-requis : Connaître les propriétés des angles, des triangles, de cercle.
Ressources utilisées : GeoGebra téléchargeable sur www.geogebra.org
Mots clés : angle inscrit, angle au centre, cercle
Niveau de langue : A2
Droits d’auteur : Libre pour tout usage pédagogique et non commercial
Apports des TICE : L’usage de Geogebra permet de découvrir rapidement les relations entre
les angles dans le cercle. L’usage des sites sur Internet permet de présenter les définitions, les
propriétés des angles dans un cercle et de faire les exercices en ligne.
Déroulement de la séance :
1. Présentation de la définition d’un angle inscrit et d’un angle au centre.
http://mathenpoche.sesamath.net/3eme/pages/geometrie/chap4/serie1/exo4/G4s1ex4_an.swf
2. Une fiche de travail est distibuée aux élèves (si GeoGebra n’est pas connu par les
élèves, une démonstration peut étre effectuée au début des cours).
3. Les élèves travaillent sur le programme GeoGebra suivant les instructions données et
ils découvrent le théorème concernant les angles dans le cercle
4. Les élèves prennent des notes suivant les informations trouvées dans les pages
suivantes :
http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/debart/college/angle_inscrit.html#ch1
http://matoumatheux.ac-rennes.fr/dictionnaire/angleinscrit.php
http://matoumatheux.ac-rennes.fr/geom/trigonometrie/3/inscrit4.htm
5. Les élèves démontrent le théorème concernant les angles dans le cercle en faisant les
exercices interactifs sur le site.
1e cas http://matoumatheux.ac-rennes.fr/geom/trigonometrie/3/inscrit1.htm
2e cas http://matoumatheux.ac-rennes.fr/geom/trigonometrie/3/inscrit2.htm
3e cas http://matoumatheux.ac-rennes.fr/geom/trigonometrie/3/inscrit3.htm
6. Les élèves font les exercices sur les fiches de travaile
http://wwwedu.ge.ch/co/docarchimath/anciens_manuels/9e/chap12.doc
7. Les exercices en ligne
a. Calcul d'
un angle
http://matoumatheux.ac-rennes.fr/geom/trigonometrie/3/calcul1.htm#3
b. Exprimer un angle
http://matoumatheux.ac-rennes.fr/geom/trigonometrie/3/calcul2.htm#3
c. Prouver qu'
un triangle est isocèle
http://matoumatheux.ac-rennes.fr/geom/trigonometrie/3/calcul3.htm#3
d. Remplir les phrases – les exercices oraux
http://clg-dorgeles.scola.acparis.fr/maths/troisieme/animation/angle_inscrit_1/inscrit_principale.swf
8. Le professeur distribue aux élèves les fiches contenant le travail à réaliser en classe et
à finir à la maison.
Fiche de professeur + images
• Présentation de la définition d’un angle inscrit et d’un angle au centre.
http://mathenpoche.sesamath.net/3eme/pages/geometrie/chap4/serie1/exo4/G4s1ex4_an.swf
•
•
Une fiche de travail est distribuée aux élèves (si GeoGebra n’est pas connu par les
élèves, une démonstration peut être effectuée au début des cours).
Les élèves travaillent sur GeoGebra suivant les instructions données et ils
découvrent le théorème concernant les angles dans le cercle
•
Les élèves prennent des notes suivant les informations trouvées dans les pages
suivantes : http://matoumatheux.ac-rennes.fr/dictionnaire/angleinscrit.php
La propriété : sur http://matoumatheux.ac-rennes.fr/geom/trigonometrie/3/inscrit4.htm
http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/debart/college/angle_inscrit.html#ch1
Soit (c) un cercle de centre O et de rayon r, A et B deux points de ce cercle et M un point
variable sur le cercle.
Deux angles inscrits qui
L'
angle inscrit AMB
interceptent le même arc ont la
intercepte l'
arc AB. AOB est
même mesure.
l'
angle au centre
correspondant.
AMB = ANB.
Propriété : la mesure de
l'
angle inscrit est la moitié de
Lorsque deux points M et N
sont de part et d'
autre de la
corde [AB], les angles inscrits
AMB et ANB sont
supplémentaires :
celle de l'
angle au centre qui
intercepte le même arc.
Télécharger la figure GéoPlan
angle_inscrit_2.g2w
AMB + ANB = 180°
Télécharger la figure GéoPlan
angle_inscrit.g2w
2. Angle inscrit dans un demi-cercle :
Un angle inscrit dans un demi-cercle est droit.
Démonstration
autre de (MO)
Cas où l'
angle AMB est aigu ; A et B de part et d'
Soit I le deuxième point de rencontre du cercle (c) avec le diamètre issu de M.
L'
angle plat MOI est égal à : MOA + AOI = 180°.
OA = OM = r. Dans le triangle isocèle MOA, OMA = MAO et la somme des angles du
triangle est :
180° = MOA + OMA + MAO = MOA + 2 OMA
De ces deux égalités on en déduit 2 OMA = IOA, soit 2 IMA = IOA.
De même, pour le triangle isocèle MOB, on a 2 IMB = IOB.
Si le point I est entre A et B faire l'
addition des angles :
2 AMB = 2 AMI + 2 IMB = AOI + IOB = AOB.
En collège, on ne fera pas la démonstration dans les deux autres cas (soustraction d'
angles)
•
Les élèves démontrent le théorème concernant les angles dans le cercle en
faisant les exercices interactifs sur le site.
1e cas http://matoumatheux.ac-rennes.fr/geom/trigonometrie/3/inscrit1.htm
2e cas http://matoumatheux.ac-rennes.fr/geom/trigonometrie/3/inscrit2.htm
3e cas http://matoumatheux.ac-rennes.fr/geom/trigonometrie/3/inscrit3.htm
•
Les exercices en ligne
a. Calcul d'
un angle
http://matoumatheux.ac-rennes.fr/geom/trigonometrie/3/calcul1.htm#3
b. Exprimer un angle
http://matoumatheux.ac-rennes.fr/geom/trigonometrie/3/calcul2.htm#3
c. Prouver qu'
un triangle est isocèle
http://matoumatheux.ac-rennes.fr/geom/trigonometrie/3/calcul3.htm#3
d. Remplir les phrases – les exercices oraux
http://clg-dorgeles.scola.acparis.fr/maths/troisieme/animation/angle_inscrit_1/inscrit_principale.swf
•
Le professeur distribue aux élèves les fiches contenant le travail à réaliser en
classe et à finir à la maison.
Fiche pour l’élève
a. Le travail en classe
1. Instructions de travail en utilisant GeoGebra
• Tracer un cercle
• Tracer deux angles inscrits qui interceptent le même arc
• Mesurer ces angles
• Déplacer le sommet
• Qu’est-ce que tu as observé ?
• Compléter la phrase en utilisant les expressions entre parenthèses.
Deux angles ................ qui interceptent ................ ont ................... .
(le même arc), (la même mesure), (inscrits),
2. Instructions de travail en utilisant GeoGebra
• Tracer un cercle
• Tracer l’angle inscrit et l'
angle au centre qui interceptent le même arc.
• Mesurer ces angles
• Deplacer le sommet
• Qu’est-ce que tu as observé ?
• Compléter la phrase en utilisant les expressions entre parenthèses
La mesure de l'
angle ………….. est ………… de celle de …………………….. qui
intercepte le même arc.
(inscrit), (l'angle au centre), (la moitié)
3. Faire les exercices 902, 901, 903, 907, 914 .
b. le devoir : faire les exercices 904 , 905, 906
2e cours
a. le travail en classe
1. Faire les exercices 908 – 913.
2. Observer la figure, puis compléter le texte en utilisant :
MAO,180°, OM, IOA, AOB, IOB
Cas où l'
angle AMB est aigu ; A et B de part et d'
autre de (MO)
Soit I le deuxième point de rencontre du cercle (c) avec le diamètre issu de M.
L'
angle plat MOI est égal à : MOA + AOI = ……….
OA = …… = r.
Dans le triangle isocèle MOA, OMA = …… et la somme des angles du triangle est :
...............= MOA + OMA + MAO = MOA + 2 OMA
De ces deux égalités on en déduit 2 OMA = IOA, soit 2 IMA =…….
De même, pour le triangle isocèle MOB, on a 2 IMB =……...
Si le point I est entre A et B, par addition on obtient :
2 AMB = 2 AMI + 2 IMB = AOI + IOB =………..
b. le devoir : faire les exercices 915-925
http://wwwedu.ge.ch/co/docarchimath/anciens_manuels/9e/chap12.doc
Exercices écrits
901
Calculer la mesure de l’angle ω.
40
ο
ω
902
O
Calculer la mesure de chacun
des angles α, β et γ.
α
β
O
40ο
γ
903
Calculer la mesure de l’angle α et celle de l’angle β.
35ο
β
O
α
904
Calculer la mesure de chacun des angles α, β et γ.
O
γ
70ο
α
β
δ
905
Calculer la mesure de chacun des angles α, β, γ et δ.
O
γ
906
25ο
80ο
α
β
Calculer la mesure de chacun des angles α, β, γ, δ et ε.
γ
δ
β
ε
95ο
O
α
907
Calculer la mesure de l’angle α et celle de l’angle β.
β
α
O
60
ο
40ο
908
α
β
Calculer la mesure de chacun des angles α, β, γ, δ.
O
δ
65ο
γ
909
Calculer la mesure de chacun des angles α, β, γ , δ.
δ
60ο
O
30ο
910
Calculer la mesure de chacun des angles α, β, γ, δ.
γ
β
α
α
40ο
O
β
γ
110ο
δ
25ο
911
α
O
Calculer la mesure de chacun des angles α, β, γ , δ .
105ο
γ
β
40o
912
δ
55o
α
1) Calculer la mesure de chacun des angles α, β, γ , δ et ε .
2) Placer le centre O du cercle sur la figure.
ε
50o
δ
β
γ
913
γ
Calculer la mesure de chacun des angles α, β, γ, δ.
β
δ
70o
914
γ
30o
40o
Calculer la mesure de chacun des angles α, β, γ, δ.
α
δ
O
α
β
α
915
916
Calculer la mesure de chacun des angles α, β, γ, δ.
β
O
30o
α
Calculer la mesure de chacun des angles α, β, γ, δ et ε.
Calculer la mesure de chacun des angles α et β.
α
O
o
δ
20
40o
β
Calculer la mesure de chacun des angles α et β.
α
80o
919
Calculer la mesure de chacun des angles α et β.
α
β
O
80o
70o
γ
O
110o
β
918
γ
80o
β
917
δ
ε
920
α
Calculer la mesure de l’angle α.
o
25
o
921
O
35
Calculer la mesure de chacun des angles α, β, γ , δ et ε
.
ε
O
100
o
o
γ
922
α
β
30
δ
C
1) Montrer que les triangles ABE et ADC sont
semblables.
2) Montrer que AB ⋅ AC = AD ⋅ AE .
B
A
D
E
B
923
1) Montrer que les triangles ABD et ACE sont semblables.
2) Montrer que AB·AE = AC ·AD.
C
A
E
D
924
925
Unité : le cm
O est le centre du cercle.
(OF) // (AB)
1) Montrer que les triangles ABC et DOC sont
semblables,
de même que les triangles ABE et DFE.
2) Sachant que BC = 60 et AC = 48,
calculer AB, BE, DF et ED.
Unité : le cm
O est le centre du cercle.
(AO) ⊥ (DC)
1) Montrer que le triangle ACD est isocèle.
2) Montrer que les triangles ABC, FDA, FCA et ACE
sont semblables.
3) Sachant que AB = 150 et AC = 180,
calculer CF, AE, OF et DE.
A
E
D
B
C
A
D
E
F
B
O
Bibliographie :
http://mathenpoche.sesamath.net/3eme/pages/geometrie/chap4/serie1/exo4/G4s1ex4_an.swf
GeoGebra chercher sur www.geogebra.org
http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/debart/college/angle_inscrit.html#ch1
http://matoumatheux.ac-rennes.fr/dictionnaire/angleinscrit.php
http://matoumatheux.ac-rennes.fr/geom/trigonometrie/3/inscrit4.htm
Le depreuve
1e cas http://matoumatheux.ac-rennes.fr/geom/trigonometrie/3/inscrit1.htm
2e cas http://matoumatheux.ac-rennes.fr/geom/trigonometrie/3/inscrit2.htm
3e cas http://matoumatheux.ac-rennes.fr/geom/trigonometrie/3/inscrit3.htm
http://wwwedu.ge.ch/co/docarchimath/anciens_manuels/9e/chap12.doc
Les exercices en ligne
d. Calcul d'
un angle
http://matoumatheux.ac-rennes.fr/geom/trigonometrie/3/calcul1.htm#3
e. Exprimer un angle
http://matoumatheux.ac-rennes.fr/geom/trigonometrie/3/calcul2.htm#3
f. Prouver qu'
un triangle est isocèle
http://matoumatheux.ac-rennes.fr/geom/trigonometrie/3/calcul3.htm#3
g. Remplir les phrases – les exercices oraux
http://clg-dorgeles.scola.acparis.fr/maths/troisieme/animation/angle_inscrit_1/inscrit_principale.swf
C