Electrostatique FONTANET 1 année Plan

Electrostatique
FONTANET 1ière année
Plan
1. Electrostatique
2. Magnétostatique
3. Induction magnétique et ferromagnétisme
4. Equations de Maxwell et propagation
N.BENJELLOUN
1
1. Electrostatique
•
•
•
•
•
Concepts
Principe de superposition
Potentiel électrique
Distributions de charge
Propriétés du champ
électrique
• Conducteur - Isolant
• Charges en mouvement
N.BENJELLOUN
2
Charge électrique
Concepts
Masse (m)
Charge électrique (q)
Attraction gravitationnelle (Newton) :
Interaction électrique (Coulomb) :*
F =k
r
m1
rm2
F
mm
F = G 12 2
r
G = 6.67 × 10
−11
q1q2
r2
r
F
r
q2
2
Nm 2
kg 2
Masse ≠ conservée, quantifiée
Masse = toujours positive
k = 8.99 × 10 9 Nm2
C
1
=
,
4πε o
où ε o = 8.85 × 10 −12
q1
r
( )
C2 F
Nm 2 m
q2
q3= - q1
conservée


Charge = 
quantifiée
positive OU négative

On peut parler de charge nette (q>0 -q<0)
Matière neutre ↔ charge nette nulle
(* charges supposées au repos)
N.BENJELLOUN
3
Constitution de la matière
Matière ordinaire
molécules
atomes
noyau + électrons
protons et neutrons
quarks, anti-quarks
mélectron= 9.11x10-31 kg ; mproton = 1836 x mélectron = mneutron
qélectron = qproton = 1.6x10-19 C
N.BENJELLOUN
4
Exemple : Atome d ’hydrogène = 1 proton + 1 électron à une distance égale « en
moyenne » à 0.5x10-10m
→ Fgrav= 4x10-47 N << Fél = 8x10-8 N
Gravitation est négligeable sur le plan atomique
La matière ordinaire tend à rester neutre
Forces électriques dominent la chimie
Les interactions électriques n’expliquent pas pourquoi les atomes et molécules sont
stables ↔ relève de la Mécanique QUANTIQUE
N.BENJELLOUN
5
Champ électrique
Soit Q = charge source et qo = charge test
!
r
A chaque point de l’espace qo subit une force F (due à l’interaction
électrique avec Q)
Cette force est proportionnelle à qo.
r
r
r
Chaque point peut être caractérisé par un vecteur E tel que F = qo ⋅ E
Charge
Source
produit
Champ
électrique
interagit
Charge
test
r
E ( x, y, z ) est un champ vectoriel
N.BENJELLOUN
6
La charge qo interagit avec Q et risque de la déplacer et modifier le champ
r
r
F
On définit le champ électrique par : E = lim
qo →0 q
o
Unité du champ électrique : (N/C ) on utilise (V/m )
Champ électrique d’une charge ponctuelle
Lignes de champ
r
r
Q r
Q .r
E = k 2 ur = k 3
r
r
r
Tangente à la ligne en un point = direction de E en ce pt.
La densité (surfacique) des lignes est proportionnelle à
l ’intensité du champ
Les lignes de champs ne se croisent jamais puisqu’en
chaque point la direction du champ est unique.
Les lignes vont des charges positives aux charges
négatives.
N.BENJELLOUN
7
EXERCICE D’APPLICATION
Calculer le champ E(0) produit par une charge de 64.4nc placée au point A(-4,3,2)
d’un repère cartésien
r
Q r
E = k 2 ur
r
k=
1
4πε0
= 9.109
z
A(Q)
X
0
y
x
N.BENJELLOUN
8
Principe de superposition :
Le champ crée par un ensemble de charges est identique à la somme des champs
individuels crée par chacune des charges.
N
r N r
1 qi r
E = ∑ Ei = ∑
u
2 i
i =1
i =1 4πε ri
q3
q2
q1
r
E2
P
r
E3
u1
r
E1
r
E
N.BENJELLOUN
9
EXERCICE D’APPLICATION
Calculer le champ E(0) produit par une charge de 64.4nc placée au point A(-4,3,2)
et une charge 32.2 nc placée au point A(4,3,2) d’un repère cartésien
r
Q1 r
Q2 r
E = k 2 ur1 + k 2 ur 2
r1
r2
k=
1
4πε0
= 9.109
r
r AO
r1 = r
AO
et
r
r BO
r2 = r
BO
z
B(Q2)
X
A(Q1)
X
0
y
x
N.BENJELLOUN
10
Exemples
Loin des sources:
~ Charge ponctuelle unique +Q
Proches des sources :
~ Charges ponctuelles isolées
N.BENJELLOUN
11
Potentiel électrique
Pour déplacer une charge en présence d’un champ électrique il faut effectuer un
travail contre la force électrique
A
.
q
r
r
Fél . = qE
.B
r
F
Travail effectué pour déplacer la
charge de A vers B
Br r
r r
WAB =∫F⋅dl =−q∫E⋅dl =q(VB −VA)
B
A
r
dl
A
(
intégrale curviligne)
Propriété
WAB ne dépend pas du chemin emprunté par la charge
WAB ne dépend que des points de départ (A) et d’arrivée (B)
Définition
Le travail effectué sur une charge unité en la déplaçant sous un champ
électrique de A vers B = différence de potentiel électrique aux
points A et B
r r Br r
VBA =VB −VA = ∫ Edl = −∫ Edl
A
B
A
12
En choisissant un point particulier comme ‘origine’ du potentiel (ex: VA= 0) on a :
VBA = VB = potentiel électrique au point B
V(x, y, z) = champ scalaire
unité de V =
Exemple
J
= Volt (V )
C
Potentiel d’une charge ponctuelle
V (r ) =
N.BENJELLOUN
kQ
r
13
Notion de gradient
Pour déplacer une charge en présence d’un champ électrique il faut effectuer un
travail contre la force électrique
r r
dV=−E⋅dl
Propriété
E est dirigé vers le potentiel
r
r
r décroissant
r
Si V est constant alors: E ⋅ d l = 0 soit E ⊥ d l idem en mécanique
la force est perpendiculaire au déplacement
Notion de gradient :
r r
dV = − E ⋅ d l
soit
r
r
E = -gra d (V )
14
Exercice d’application
• Calculer le champ électrique dérivant du potentiel suivant:
V=2x+3y
N.BENJELLOUN
15
Théorème de superposition
V(x, y, z) = champ scalaire
Cas de distribution ponctuelle de N charges:
1 Qi
Qi
V(r) = ∑ =k∑
4πε N ri
N ri
Cas de distribution continue de charges:
ρ.dτ
k.dQ

dV (r ) =
avec dQ = σ .ds
r
λ.dl

Distribution volumique de charges.
Distribution surfacique de charges
Distribution linéique de charges
Le potentiel s’écrit dans les différents cas:
dτ
r
xM
r
r
ds
dl
N.BENJELLOUN
 1
ρ.dτ

∫∫∫V r
4
πε

σ .ds
 1
V =
∫∫s r
πε
4

 1 λ.dl
 4πε ∫ r

L
16
Surfaces équipotentielles
Les points de l’espace qui sont au même potentiel électrique forment une surface
équipotentielle
↔déplacer une charge sur cette surface ne nécessite aucun travail:
B r
B r
r
r
WAB = ∫ F ⋅ dl = −q ∫ E ⋅ dl = q(VB − VA) = 0
A
A
↔ en tout point de la surface le champ électrique est nécessairement perpendiculaire
à la surface.
r
E
V=cste.
r
E
N.BENJELLOUN
17
Distributions de charge et champ électrostatique
ensemble de charges ponctuelles
une distribution continue de charges
r
r
q1
q2
r
ri
qi
r
N
r
r
r ri
kqi r
F (P ) = ∑ Fi = ∑ 2 ui , où ui =
ri
i ri
. M(q)
V
.M
P(dq)
r
r'
r
dq = ρ (r ') ⋅ dV
.O
élément de volume
infinitésimal
densité volumique de charge
Avec k =q/4Πε
r
N kq r
r
r
r
E ( P ) = ∑ 2i ui , où ui = i
ri
i ri
r
r
r
r
r r
k ⋅ dq r
k ⋅ ρ (r ') r
E ( P ) = ∫ dE = ∫ 2 u r = ∫
u r ⋅ dV ', où u =
2
V
r
r
r
V
V
selon distribution: ∫ L dV ' = intégrale de
V
volume, de surface ou curviligne
18
Exemples 2
a) Champ électrique créé par un Fil uniformément chargé :
Commencer par analyser la géométrie de la
distribution (symétries, description mathématique
appropriée,...)
Décomposer la distribution en élément infinitésimal
(tenir compte des éventuelles symétries)
→ dq = λ dx, où λ est la densité de charge par unité
de longueur
r
Calculer la contribution dE au champ électrique
produit par dq
N.BENJELLOUN
19
Tenir compte des symétries de la distribution
y
Ecrire l ’intégrale
N.BENJELLOUN
20
Changer de variable pour faciliter l’intégration
Trouver le résultat.
N.BENJELLOUN
21
Distributions avec plan de symétrie
Π
Π = plan de symétrie pour ρ (x, y, z )
O’P’//
OP//
O et O’ symétriques par rapport à Π ↔ dq ' = dq
P’
Si P et P' symétrique / Π, on a
OP = O ' P ' et O ' P = OP' ;
O’
dq’
OP // = O' P' // et OP' // = O ' P // ;
et
.
.P
ρ(x,y,z)
O
dq
OP' ⊥ = −O ' P ⊥ et O' P ⊥ = −OP'⊥
La contribution de dq &dq’en P donne:
r
 dq ⋅ OP dq '⋅O ' P 
 OP
O' P 
d' où dE ( P ) = k 
+
=
k
⋅
dq
+
et

3
3 
3
3
O' P 
 OP
 O ' P' OP' 
r
 OP // O ' P // 
 O' P' // OP' //  ! v
dE // (P ) = k ⋅ dq 
+
= k ⋅ dq 
+
= dE // ( P ' )
3
3 
3
3
O
'
P
'
OP
'
O
'
P
'
OP
'




et
r
 OP ⊥ O ' P ⊥ 
 − O ' P '⊥ − OP '⊥  ! v
dE⊥ (P ) = k ⋅ dq 
+
= k ⋅ dq 
+
= − dE⊥ ( P' )
3
3 
3
3 
OP ' 
OP' 
 O' P'
 O' P'
N.BENJELLOUN
(*)
22
(*) vrai pour tout (O,O ’) → en intégrant sur tout le volume de la distribution on obtient :
r
r
r
r
E // ( P ) = E // ( P ') et E ⊥ ( P ) = − E ⊥ ( P ')
r
r
⇔ " E (P ) = symE (P ') "
N.BENJELLOUN
23
Propriétés du champ électrique :
Rappel mathématique : Flux d’un champ vectoriel à travers une surface S :
φvS
déf .
r r
r r
S
⋅
v
=
S
⋅
v
⋅
d
n
=
v
=
∫∫
∫∫ ⋅ ds
⊥
S
S
S
r
v⊥
Valeur moyenne sur S
r
v
r
exemple: v = champ de vitesse d’un fluide (gaz, liquide, ...)
φ vS = volume du fluide traversant la surface S par unité de temps
r
v
Animation 1
r
v
Animation 2
N.BENJELLOUN
24
Pour une surface fermée Sf :
.
φvS = 0
φvS ≠ 0 ↔ ∃ source du fluide à l ’intérieur du
volume
Si la surface ne contient aucune
source
N.BENJELLOUN
25
Théorème de Gauss
Le théorème de Gauss permet de prouver un important théorème à propos des conducteurs
isolés:
Si un conducteur isolé reçoit une charge excédentaire, cette charge
se distribuera sur toute la surface du conducteur. Aucune charge ne
se trouvera à l’intérieur du corps du conducteur.
Ce théorème semble raisonnable, tandis que les charges
du même signe se repoussent, et que des charges sont
capables à se déplacer dans un conducteur.
Des charges qui se situent à l’intérieur d’un conducteur
vont se repousser et s’éloigner, jusqu’à ce qu’elles
atteignent leur éloignement maximale.
Un excellent exemple de ce phénomène est la réaction
des cheveux d’une personne en touchant un générateur
van der Graaf. Le corps devient un conducteur isolé.
Les charges négatives, transférés au corps du
générateur, se repoussent et se déplacent jusqu’à leur
éloignement maximale.
-
-
-
-
Loi de Gauss
(Loi naturelle = énoncé qui est en accord avec les résultats
expérimentaux et qui permet de faire des prédictions.)
r
Flux du champ E à travers
une surface S fermée
φ ES
Charge totale à l’intérieur
∝
=
du volume V engendré par S
QVs
εo
charge électrique = source du champ
Vérification dans le cas d’une charge ponctuelle:
symétrie sphérique
r
r
E ( M ) = E (r )
φ = champ à travers surface = 4πr E⊥ = 4πr E =
S
E
2
φ ES =
r r
E
∫∫ .dS =
Sphère
2
∫∫ E⊥ .dS =4πr E =
Sphère
2
q
εo
r
E
q
ε
surface de Gauss
N.BENJELLOUN
27
Un conducteur chargé et isolé
La figure montre la coupe transversale d’un
morceau de cuivre isolé, suspendu à un fil
isolant. Le conducteur reçoit une charge
excédentaire q.
Le champ électrique à l’intérieur de ce conducteur doit
être nul.
Surface de
cuivre
Surface de
Gauss
Charges en équilibre électrostatique.
• Pas de courant, donc F=qE=0.
r r qint
• Théorème de Gauss:
∫S E⋅ dS = ε 0 = 0
•
En conclusion, aucune charge se situe à l’intérieur du
conducteur. Le champ électrique à l’intérieur est nul. Toute
la charge est distribuée sur la surface.
Un conducteur isolé doté d’une cavité
La figure montre le même conducteur, sauf
qu’une cavité s’y trouve. Quel est l’effet de la
cavité sur le champ électrique et la distribution
de charge?
Selon le théorème de Gauss:
r r qint
Φ = ∫ E ⋅ dS =
S
Φ=0
Mais E=0 à
l’intérieur
ε0
qint = 0
Donc la surface intérieure ne peut contenir aucune charge nette. Toute la
charge excédentaire reste sur la surface extérieure du conducteur.
On parle seulement
d’une charge
excédentaire
Surface
de Gauss
Surface de
cuivre
Le champ à la surface
En général, la distribution surfacique de la
charge excédentaire sera non uniforme. Une
tel distribution peut compliquer le
détermination du champ électrique.
Le théorème de Gauss nous permet de déterminer le
champ qui existe immédiatement à l’extérieur du
conducteur.
r r qint
Φ = ∫ E ⋅ dS =
= σ .S
ε0
S
Quelle est la configuration du champ électrique?
r r
∫ E ⋅ dS
S
Région assez petite de
la surface, σ=constante
Le champ à la surface
Le champ qui existe immédiatement à
l’extérieur du conducteur doit être
perpendiculaire à la surface.
Charges en équilibre électrostatique.
• Pas de courants.
• Si E avait une composante || à
la surface, il y aurait des courants
selon F=qE.
• Donc E est perpendiculaire à
la surface.
r r
∫ E⋅ dS = ∫ E⋅ dS . cos( 0) = ∫ E⋅ dS
S
S
S
Région assez petite
de la surface,
σ=constante
Le champ à la surface
Supposons que l’aire S est suffisamment
petite pour que la grandeur de E y soit
constante.
r r
∫ E⋅ dS = ∫ E⋅ dS
S
S
= E.∫ dS
S
= E .S
σS
ES =
ε0
r σ
E = nˆ
ε0
Le champ à un endroit
immédiatement à l’extérieur
d’un conducteur est
proportionnelle à la densité
surfacique de charge.
Région assez petite
de la surface,
σ=constante
la loi de Gauss facilite le calcul du champ électrique en présence de symétries
Exemple :
Champ électrique en tout point de l ’espace produit par une ligne infinie
uniformément chargée
N.BENJELLOUN
33
Rappel mathématique: Divergence d’un champ vectoriel
r
j ( x + ∆x, y, z )
Flux à travers un cube infinitésimal:
∫∫
r r
r r
j ⋅ ds = L = (∇ ⋅ j )⋅ ∆V ,
∆y
r
j ( x, y , z )
cube
(∆V
r
n
= ∆x ⋅ ∆y ⋅ ∆z )
(1)
.P(x,y,z)
(2)
r
n'
∆z
∆x
r
r
Divergence d’un vecteur j = flux sortant de j par unité de volume
en P
à proximité de P
N.BENJELLOUN
34
Théorème d’Ostogradski
Sa
Sb
r
n1
V1
r
n2
S1 = Sa+(S-ab); S2 = Sb+(S+ab)
∆Vi V
Sab
V = V1+V2 engendré par S
⇒ φS = φS1 + φS 2
2
⇒
interface
On recommence plusieurs fois le découpage:
∑
Q
ε0
=
Q1
ε0
+
⇒ dφ =
Q2
ε0
dQ
ε0
∆Vi , où ∆Vi = volume infinitésimal
Par extrapolation: V =
En divisant par dV et en i prenant la limite lorsque V tend vers zéro :
En conclusion :
r
r r
1
dQ ρ
⇒ div( E ) = lim
= = E.dS
ε0
dV ε 0 ∫∫
s
N.BENJELLOUN
lim
r
dΦ
= div( E )
dV
35
Forme locale de la loi de Gauss :
φ ES
=
∫∫
S
∫∫∫
Vs
r r QVs
1
E ⋅ ds =
=
εo
r r
1
∇ ⋅ E ⋅ dv =
εo
εo
∫∫∫ ρ ⋅ dv
Vs
∫∫∫ ρ ⋅ dv
Vs
(Vs quelconque)
()
r r
r
ρ
∇ ⋅ E = Div E =
εo
Cette propriété du champ électrique est
vraie quelque soit ρ !
Exercice :
- Calculer la divergence du champ électrique d’une charge ponctuelle
- Calculer la divergence du champ électrique crée par une sphère pleine uniformément chargée
36
Equation de Poisson
r r
r
ρ 
∇ ⋅ E = Div( E ) =
ρ

⇒
∆
V
=
−
ε

r o
r
r
εo
E = −∇V = − grad (V )
(équation de Poisson)
r
V (r0 ) = ∫∫∫
Solution générale
lorsque ρ est connue:
ρ (r )
r
d
r
r r
4πε o r − ro
r
(cf. principe de superposition et potentiel d ’une charge ponctuelle)
Exemple à 1 dimension:
Calculer le potentiel et le champ électrique produits
par la distribution de charge suivante: (cf jonction pn)
ρ (x)
+
x
N.BENJELLOUN
37
Application de Gauss à une charge ponctuelle
r
M
La surface de Gauss est
un disque
Q
Pour le potentiel :
N.BENJELLOUN
38
Application de Gauss: sphère uniformémént chargée en surface
r
M
+
Q ++ + +
+
Cas 1: r > a
La surface de Gauss est une
sphère
La sphère contenant la
distribution de charges est de
rayon « a »
Pour le potentiel :
N.BENJELLOUN
39
Application de Gauss: sphère uniformémént chargée en surface
+
Q
Cas 2: r < a
+
+
+
+
a
+
+
+ +
M
+ +r +
+
La surface de Gauss est une
sphère
La sphère contenant la
distribution de charges est de
rayon « a »
Pour le potentiel :
Continuité de E pour r=a :
N.BENJELLOUN
40
Pouvoir de pointe
Soit une charge ponctuelle Q1 de rayon R1 le champ et le potentiel de cette charge Q
au voisinage de la surface de la charge sont données par:
E1 =
Q1
4πε 0 R 21
V1 =
Q1
4πε 0 R1
=
E1
R1
Soit une charge ponctuelle Q2 de rayon R2 conducteur le champ et le potentiel de
cette charge Q2 au voisinage de la surface de la charge sont données par les mêmes
expressions, il suffit de changer l’indice 1 par 2.
Si on relie les deux charges Q1 et Q2 par un fil conducteur, le potentiel est le même :
Pour le potentiel :
E
E
E1 R2
V1 = V2 ou 1 = 2 soit
=
R 1 R2
E 2 R1
si on prend R1 >> R2
alors: E1 << E2
Le champ est plus intense au voisinage de la sphère du plus petit rayon. Ce résultat se
généralise à un conducteur de forme quelconque et explique le pouvoir de pointe ionisant
des pointes comme les arbres,…(DES en CEM avec des pistolets de 15KV en max)
N.BENJELLOUN
41
Conducteurs et Isolants
Les conducteurs et les isolants se distinguent par la mobilité des électrons qu’ils contiennent.
Conducteur: Certains électrons (de la couche externe des atomes qui composent le
matériau, ou électrons de conduction) peuvent se déplacer quasi-librement dans tout
le matériau,
- soit par agitation thermique(direction aléatoire)
- soit sous l’effet d’un champ électrique (mouvement d’ensemble orienté en sens
inverse du champ)
Isolant ou diélectrique: tous les électrons sont liés. Il n ’y a pas de déplacement net de
charge sur des distances « macroscopiques » même en présence d’un champ électrique.
Par contre, la distribution de charge, ou nuage électronique, autour de chaque atome peut se
déformer et induire la formation de dipôles électriques. On dit que le matériau de polarise en
présence du champ.
Les semiconducteurs ont un comportement intermédiaire qui dépend de la température, le
nombre d ’électrons libres augmente fortement avec T, et du dopage (présence d ’impuretés
spécifiques) du matériau.
N.BENJELLOUN
42
Conducteur parfait
Dans un conducteur parfait les électrons de conduction sont considérés comme des
électrons totalement libres, mais confinés à l’intérieur du conducteur. Le moindre champ
électrique les met en mouvement
→ en régime statique le champ électrique est nul à l’intérieur du conducteur parfait
→ si le conducteur est chargé électriquementr (Qrtot≠0), les charges se distribuent en
surface du conducteur de manière à ce que E = 0 partout à l’intérieur du conducteur
charge en surface: σ [C/cm2], et ∫ σ ⋅ ds = Qtot
surface
r r
E≠0
r r
E=0
V=cst
r
n
r
r
→ Le potentiel électrique est constant dans le conducteur : ∇V = 0 ⇔ V = constante / x, y, z
r
r
r
→ La surface du conducteur = équipotentielle ↔ E ⊥ surface ↔ E = E ⋅ n
N.BENJELLOUN
43
Champ en surface
+
+
+
+
r + Er
+ r
ext
+ Eint = 0 +
r
σ r
Gauss: L ⇒ Eext =
n
εo
+
+
+
+
+
Conducteur neutre placé dans un champ électrique
σ+
σr
Eo
r r
E=0
r
Eo
→ une charge apparaît en surface de
manière à ce que: le champ résultant
soit nul à l’intérieur et perpendiculaire
au conducteur en surface
N.BENJELLOUN
44
Capacité d’un condensateur
Un condensateur est formé de deux conducteurs électriquement isolés, dont on peut
transférer (via un circuit électrique) une charge Q d’un conducteur à l’autre.
→ le condensateur est « chargé à une charge Q »
→ le condensateur est globalement neutre
→ chaque conducteur représente une surface équipotentielle
→ l ’électrode chargée positivement est au potentiel le plus élevé
→ la différence de potentielle électrique entre les deux conducteurs
est notée V=V+-V→ V= travail à fournir pour passer une charge unité d’une électrode à l’autre
→ La capacité d’un condensateur est donnée par : C=Q/V (en Farad)
Principe de superposition
en doublant Q on double le travail à fournir
Q = C ⋅V
V ∝Q
C = capacité électrique
N.BENJELLOUN
45
Capacité d’un condensateur plan
Supposons deux armatures métalliques chargées en surface avec un densité σ, la
charge nette totale est donnée par :
Q = ∫∫σ.dS ⇒V =
Q
4πε0.r
=
1
σ.dS
4πε0 ∫∫ .r
La capacité d’un condensateur est donnée par
∫∫σ.dS
C=
Q
=
σ.dS
1
V
4πε0 ∫∫ r
N.BENJELLOUN
46
Exemple : Condensateur à plaques parrallèles.
a) Calculer le champ électrique entre les plaques
(du moins le long d’un chemin qui relie les deux
plaques)
b) Calculer la différence de potentiel entre les plaques à partir de la relation qui lie le
champ au potentiel
c) En déduire l ’expression de la capacité électrique
N.BENJELLOUN
47
Energie stockée dans un condensateur
Le condensateur est chargé en transférant la charge d’une électrode à l’autre.
L’énergie stocké dans le condensateur correspond au travail fourni pour transférer la
charge.
Pour une charge Q donnée, la différence de potentiel est: V =
Q
C
-Q
+Q
Augmenter la charge de dQ nécessite un travail de:
dQ
QdQ
dW = VdQ =
C
Pour charger le condensateur à partir d ’un état non-chargé (Q=0)
on a fourni l’énergie:
Q
Q
Q
dQ
C
0
⇒ W = ∫ dW = ∫
0
1 Q2 1
⇒W =
= CV 2
2 C 2
V+
VV= V+-V-=Q/C
Ce résultat ne dépend pas de la géométrie du condensateur
N.BENJELLOUN
48
Isolant
En présence d’un champ électrique, les atomes constituant le matériau isolant se
polarisent:
Diélectrique non polarisé :
Diélectrique polarisé :
−σpol
σpol
r
Eext
r
r
r
Ediél = Eext + E pol
Sous champ électrique le diélectrique voit apparaître une densité de charge
surfacique σpol dite de polarisation
r
rCette charge induit un champ
r électrique E pol qui s’ajoute au champ extérieur
E pol est de sens inverse à Eext
r
Le champ éléctrique à l’intérieur du matériau est inférieur à Eext , mais non nul.
En première
r approximation, σpol est proportionnelle à la composante normale à la
surface de E diel
σ pol = ε o χ E diel ⊥ où χ = susceptibilité électrique de l’isolant et χ>0.
N.BENJELLOUN
49
Constante diélectrique : Calcul de la capacité d’un condensateur plan dont l ’espace entre
les électrodes est rempli par un isolant
V
-Q
Q
Br
B r
r
r
r
V = − ∫ Ediel dx = − ∫ (Eext + E pol )dx
A
A
S
x
A
d
B
r
r
σ pol r
Q r
avec Eext = −
u et E pol =
u
εo S x
εo x
or
σ pol
σ pol 

= χ Ediel = χ Eext − E pol = χ  Eext −

εo
εo 

(
)
σ pol
χ
→
=
Eext
1+ χ
εo
B r
Br
E
Q
r
r
→ V = − ∫ Ediel ⋅ dx = − ∫ ext ⋅ dx =
1+ χ
Sεo (1 + χ )
A
A
⇒C =
ε o (1 + χ )S
=
εS
d
d
avec ε=ε ο(1+χ) = constante diélectrique ou « permittivité électrique » de
l’isolant
N.BENJELLOUN
50
ε augmente la capacité du condensateur
χ ou ε représentent la faculté du materiau de se polariser: ces constantes sont
d ’autant plus élevées que les constituants du milieu (atomes ou molécules) sont
déformables et que la densité volumique des dipôles induits est élevée.
N.BENJELLOUN
51