Rapport de stage : Algèbres de Hopf et doubles de groupes finis

Rapport de stage : Algèbres de
Hopf et doubles de groupes finis
Sébastien Cartier
Table des matières
1 Algèbres de Hopf 2
1.1 Définitions préalables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Notion d’algèbre de Hopf et premières propriétés . . . . . . . 4
1.3 Exemples fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Représentations d’algèbres de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Algèbres de Hopf et dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Algèbres de Hopf quasi-triangulaires 11
2.1 Algèbres de Hopf presque cocommutatives . . . . . . . . . . . 11
2.2 Algèbres de Hopf quasi-triangulaires . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Double quantique 16
3.1 Construction générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2 Casd’ungroupefini ....................... 17
4 Représentations irréductibles de D(G)18
1

Ce stage a été effectué au Laboratoire de Physique Théorique de l’Uni-
versité Montpellier II, sous le tutorat de M. Eric Buffenoir.
Son but était de comprendre diverses notions liées aux algèbres de Hopf et
à leurs représentations pour être en mesure de construire les représentations
irréductibles du double de Drinfeld d’un groupe fini.
1 Algèbres de Hopf
1.1 Définitions préalables
Dans toute la suite et sauf indication contraire, Kdésigne un anneau
unitaire commutatif. On commence par définir les différentes structures qui
permettent d’aboutir à la notion d’algèbre de Hopf.
Définition 1.1.1. Une K-algèbre est un K-module Amuni d’homomor-
phismes de K-modules, une multiplication µA:A ⊗ A → A et une unité
ıA:K→ A, tels que les diagrammes suivants commutent :
A ⊗ A ⊗ A A ⊗ A
A⊗A A
-
µ⊗id
?
id⊗µ
?
µ
-
µ
A ⊗ KA⊗A
A A
-
id⊗ı
?
∼
=?
µ
-
id
K⊗A A⊗A
A A
-
ı⊗id
?
∼
=?
µ
-
id
Le premier diagramme traduit l’associativité de la multiplication, les
deux suivants expriment les propriétés de l’unité.
Une condition nécessaire et suffisante pour qu’une algèbre soit commu-
tative est la commutativité du diagramme suivant :
A⊗A A⊗A
A A
-
σ
?
µ
?
µ
-
id
où σ:A ⊗ A → A ⊗ A est l’application K-linéaire, dite flip des facteurs,
telle que σ(a1⊗a2) = a2⊗a1pour tous a1, a2∈ A.
Plus généralement, si l’on pose µop =µ◦σ, alors le triplet (A, ı, µop)est
également une K-algèbre, dite opposée de Aet notée Aop.
2

Si Aet Bsont des K-algèbres, leur produit tensoriel sur K, noté A⊗B,
est également une K-algèbre avec :
µA⊗B = (µA⊗µB)◦σ23
ıA⊗B = (ıA⊗ıB)◦ϕK
où σ23 est σappliquée aux deuxième et troisième facteurs et où ϕKest
l’isomorphisme canonique de Ksur K⊗K.
Enfin, si Aet Bsont des algèbres, un homomorphisme d’algèbres entre A
et Best un homomorphisme de K-modules ϕ:A → B tel que les diagrammes
suivants commutent :
A ⊗ A B ⊗ B
A B
-
ϕ⊗ϕ
?
µA
?
µB
-
ϕ
KA
B B
-
ıA
?
ıB
?
ϕ
-
id
La définition diagrammatique d’une algèbre permet d’aboutir à une no-
tion duale, celle de cogèbre, en "reversant le sens des flèches".
Définition 1.1.2. Une K-cogèbre est un K-module Amuni d’homomor-
phismes de K-modules, une comultiplication ∆A:A → A ⊗ A ainsi qu’une
coünité εA:A → K, tels que les diagrammes suivants soient commutatifs :
AA ⊗ A
A⊗A A⊗A⊗A
-
∆
?
∆
?
id⊗∆
-
∆⊗id
A A
A ⊗ A A ⊗ K
-
id
?
∆?
∼
=
-
id⊗ε
A A
A⊗A K⊗ A
-
id
?
∆?
∼
=
-
ε⊗id
La commutativité du premier diagramme exprime la coassociativité de la
comultiplication.
Il existe également une propriété duale de la commutativité des algèbres.
Une cogèbre Aest dite cocommutative si et seulement si le diagramme suivant
commute :
A A
A⊗A A⊗A
-
id
?
∆? ∆
-
σ
3

ce qui se traduit par le fait que ∆(A)est contenu dans la partie symétrique
de A ⊗ A.
De manière plus générale, si l’on pose ∆op =σ◦∆, alors (A,∆op, ε)est
une cogèbre, dite opposée de Aet notée Aop. Il est intéressant de remarquer
que Klui-même est une K-cogèbre avec ∆K=ϕKet εK= idK.
Si Aet Bsont des cogèbres, leur produit tensoriel sur KA ⊗ B possède
une structure naturelle de cogèbre avec :
∆A⊗B =σ23 ◦(∆A⊗∆B)
εA⊗B =ϕ−1
K◦(εA⊗εB).
Enfin, si Aet Bsont des cogèbres, un homomorphisme de cogèbres entre A
et Best un homomorphisme de K-modules ϕ:A → B vérifiant les relations
suivantes :
(ϕ⊗ϕ)◦∆A= ∆B◦ϕ
εA=εB◦ϕ.
La superposition des structures d’algèbre et de cogèbre conduit à la notion
suivante.
Définition 1.1.3. Une K-bigèbre est un K-module Atel que :
1. Aest muni à la fois d’une structure d’algèbre et de cogèbre ;
2. la multiplication µet l’unité ısont des homomorphismes de cogèbres ;
3. la comultiplication ∆et la coünité εsont quant à eux des homomor-
phismes d’algèbres.
Les conditions 2 et 3 sont équivalentes. On peut également noter que la
donnée d’une bigèbre Afournit en fait trois autres bigèbres, à savoir Aop,
Aop et Aop
op.
On en arrive maintenant à la définition d’une algèbre de Hopf.
1.2 Notion d’algèbre de Hopf et premières propriétés
Définition 1.2.1. Une algèbre de Hopf sur Kest une K-bigèbre Amunie
d’un isomorphisme de K-modules SA:A → A, dit antipode, tel que les
diagrammes suivant soient commutatifs :
A A
A ⊗ A A ⊗ A
-
ı◦ε
?
∆
-
S⊗id
6
µ
A A
A⊗A A⊗A
-
ı◦ε
?
∆
-
id⊗S
6
µ
4

De même que pour les bigèbres, la donnée d’une algèbre de Hopf A
permet de définir trois autres algèbres de Hopf, notées également Aop,Aop
et Aop
op, avec pour antipodes respectifs (SA)−1,(SA)−1et SA.
Un homomorphisme d’algèbres de Hopf est un homomorphisme d’al-
gèbres et de cogèbres à la fois.
Un idéal de Hopf d’une algèbre de Hopf Aest un idéal bilatère Ide
l’algèbre Atel que :
∆(I)⊆I⊗ A +A ⊗ I, ε(I) = 0 et S(I)⊆I.
De fait, le quotient A/I hérite de Aune structure naturelle d’algèbre de
Hopf. Le noyau d’un homomorphisme d’algèbres de Hopf est un idéal de
Hopf.
Enfin, si Aet Bsont des algèbres de Hopf, leur produit tensoriel A⊗B
est également une algèbre de Hopf pour les structures d’algèbre et de cogèbre
définies précédemment et avec :
SA⊗B =SA⊗SB.
Remarques 1.2.2.
1. Si une bigèbre possède un endomorphisme vérifiant les caractéristiques
d’un antipode, alors cet endomorphisme est unique. Autrement dit, il
n’existe au plus qu’une seule structure faisant d’une bigèbre une algèbre
de Hopf.
2. Un homomorphisme d’algèbres de Hopf ϕ:A → B vérifie automati-
quement la relation : ϕ◦SA=SB◦ϕ.
3. L’antipode Sest un anti-automorphisme, autrement dit S:A→Aop
op
est un isomorphisme d’algèbres de Hopf. De fait, S2est un isomor-
phisme d’algèbres de Hopf, et l’on peut montrer que dans le cas d’une
algèbre de Hopf commutative ou cocommutative, Sest involutif.
4. Une définition équivalente de l’antipode fait intervenir la convolution.
Pour f, g ∈EndK(A), on définit le produit de convolution par :
f∗g=µ◦(f⊗g)◦∆.
La commutativité des diagrammes définissant Smontre que Sest l’in-
verse de l’identité de Apour la convolution. La première de ces re-
marques est une conséquence de cette observation.
Il existe plusieurs variantes de la définition d’une algèbre de Hopf. L’une
d’elle s’applique lorsque Aet A ⊗ A (ainsi que K) sont munis de topologies
pour lesquelles les applications faisant de Aun K-module sont continues.
On substitue alors le produit tensoriel usuel A ⊗ A par une complétion
convenable, et l’on requiert des applicaitons de la structure d’algèbre de
Hopf qu’elles soient continues.
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