Rapport de stage : Algèbres de Hopf et doubles de groupes finis

Rapport de stage : Algèbres de
Hopf et doubles de groupes finis
Sébastien Cartier
Table des matières
1 Algèbres de Hopf
1.1 Définitions préalables . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Notion d’algèbre de Hopf et premières propriétés
1.3 Exemples fondamentaux . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Représentations d’algèbres de Hopf . . . . . . . .
1.5 Algèbres de Hopf et dualité . . . . . . . . . . . .
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2
2
4
6
6
9
2 Algèbres de Hopf quasi-triangulaires
11
2.1 Algèbres de Hopf presque cocommutatives . . . . . . . . . . . 11
2.2 Algèbres de Hopf quasi-triangulaires . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Double quantique
16
3.1 Construction générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2 Cas d’un groupe fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4 Représentations irréductibles de D(G)
1
18
Ce stage a été effectué au Laboratoire de Physique Théorique de l’Université Montpellier II, sous le tutorat de M. Eric Buffenoir.
Son but était de comprendre diverses notions liées aux algèbres de Hopf et
à leurs représentations pour être en mesure de construire les représentations
irréductibles du double de Drinfeld d’un groupe fini.
1
1.1
Algèbres de Hopf
Définitions préalables
Dans toute la suite et sauf indication contraire, K désigne un anneau
unitaire commutatif. On commence par définir les différentes structures qui
permettent d’aboutir à la notion d’algèbre de Hopf.
Définition 1.1.1. Une K-algèbre est un K-module A muni d’homomorphismes de K-modules, une multiplication µA : A ⊗ A → A et une unité
ıA : K → A, tels que les diagrammes suivants commutent :
A⊗A⊗A
µ⊗id
- A⊗A
µ
id⊗µ
?
A⊗K
id⊗ı
- A⊗A
∼
=
A
id
ı⊗id
- A⊗A
K ⊗A
∼
=
µ
?
?
- A
µ
A⊗A
?
µ
?
- A
id
A
?
- A
Le premier diagramme traduit l’associativité de la multiplication, les
deux suivants expriment les propriétés de l’unité.
Une condition nécessaire et suffisante pour qu’une algèbre soit commutative est la commutativité du diagramme suivant :
A⊗A
σ-
µ
A⊗A
µ
?
A
id
?
- A
où σ : A ⊗ A → A ⊗ A est l’application K-linéaire, dite flip des facteurs,
telle que σ(a1 ⊗ a2 ) = a2 ⊗ a1 pour tous a1 , a2 ∈ A.
Plus généralement, si l’on pose µop = µ ◦ σ, alors le triplet (A, ı, µop ) est
également une K-algèbre, dite opposée de A et notée Aop .
2
Si A et B sont des K-algèbres, leur produit tensoriel sur K, noté A ⊗ B,
est également une K-algèbre avec :
µA⊗B = (µA ⊗ µB ) ◦ σ23
ıA⊗B = (ıA ⊗ ıB ) ◦ ϕK
où σ23 est σ appliquée aux deuxième et troisième facteurs et où ϕK est
l’isomorphisme canonique de K sur K ⊗ K.
Enfin, si A et B sont des algèbres, un homomorphisme d’algèbres entre A
et B est un homomorphisme de K-modules ϕ : A → B tel que les diagrammes
suivants commutent :
ϕ⊗ϕ
- B⊗B
A⊗A
µA
µB
?
?
- B
A
ϕ
ıB
?
ϕ
A
ıA-
K
id -
B
?
B
La définition diagrammatique d’une algèbre permet d’aboutir à une notion duale, celle de cogèbre, en "reversant le sens des flèches".
Définition 1.1.2. Une K-cogèbre est un K-module A muni d’homomorphismes de K-modules, une comultiplication ∆A : A → A ⊗ A ainsi qu’une
coünité εA : A → K, tels que les diagrammes suivants soient commutatifs :
∆
A
- A⊗A
id⊗∆
∆
?
A⊗A
A
id
?
- A⊗A⊗A
∆⊗id
- A
∼
=
∆
?
A⊗A
id
A
∼
=
∆
?
- A⊗K
?
id⊗ε
- A
?
- K ⊗A
ε⊗id
A⊗A
La commutativité du premier diagramme exprime la coassociativité de la
comultiplication.
Il existe également une propriété duale de la commutativité des algèbres.
Une cogèbre A est dite cocommutative si et seulement si le diagramme suivant
commute :
id A
A
∆
∆
?
A⊗A
σ-
3
?
A⊗A
ce qui se traduit par le fait que ∆(A) est contenu dans la partie symétrique
de A ⊗ A.
De manière plus générale, si l’on pose ∆op = σ ◦ ∆, alors (A, ∆op , ε) est
une cogèbre, dite opposée de A et notée Aop . Il est intéressant de remarquer
que K lui-même est une K-cogèbre avec ∆K = ϕK et εK = idK .
Si A et B sont des cogèbres, leur produit tensoriel sur K A ⊗ B possède
une structure naturelle de cogèbre avec :
∆A⊗B = σ23 ◦ (∆A ⊗ ∆B )
A
B
εA⊗B = ϕ−1
K ◦ (ε ⊗ ε ).
Enfin, si A et B sont des cogèbres, un homomorphisme de cogèbres entre A
et B est un homomorphisme de K-modules ϕ : A → B vérifiant les relations
suivantes :
(ϕ ⊗ ϕ) ◦ ∆A = ∆B ◦ ϕ
εA = εB ◦ ϕ.
La superposition des structures d’algèbre et de cogèbre conduit à la notion
suivante.
Définition 1.1.3. Une K-bigèbre est un K-module A tel que :
1. A est muni à la fois d’une structure d’algèbre et de cogèbre ;
2. la multiplication µ et l’unité ı sont des homomorphismes de cogèbres ;
3. la comultiplication ∆ et la coünité ε sont quant à eux des homomorphismes d’algèbres.
Les conditions 2 et 3 sont équivalentes. On peut également noter que la
donnée d’une bigèbre A fournit en fait trois autres bigèbres, à savoir Aop ,
Aop et Aop
op .
On en arrive maintenant à la définition d’une algèbre de Hopf.
1.2
Notion d’algèbre de Hopf et premières propriétés
Définition 1.2.1. Une algèbre de Hopf sur K est une K-bigèbre A munie
d’un isomorphisme de K-modules S A : A → A, dit antipode, tel que les
diagrammes suivant soient commutatifs :
A
ı◦ε
- A
6
A
µ
∆
?
A⊗A
ı◦ε
µ
∆
?
S⊗id
- A⊗A
A⊗A
4
- A
6
id⊗S
- A⊗A
De même que pour les bigèbres, la donnée d’une algèbre de Hopf A
permet de définir trois autres algèbres de Hopf, notées également Aop , Aop
A −1
A −1 et S A .
et Aop
op , avec pour antipodes respectifs (S ) , (S )
Un homomorphisme d’algèbres de Hopf est un homomorphisme d’algèbres et de cogèbres à la fois.
Un idéal de Hopf d’une algèbre de Hopf A est un idéal bilatère I de
l’algèbre A tel que :
∆(I) ⊆ I ⊗ A + A ⊗ I,
ε(I) = 0 et S(I) ⊆ I.
De fait, le quotient A/I hérite de A une structure naturelle d’algèbre de
Hopf. Le noyau d’un homomorphisme d’algèbres de Hopf est un idéal de
Hopf.
Enfin, si A et B sont des algèbres de Hopf, leur produit tensoriel A ⊗ B
est également une algèbre de Hopf pour les structures d’algèbre et de cogèbre
définies précédemment et avec :
S A⊗B = S A ⊗ S B .
Remarques 1.2.2.
1. Si une bigèbre possède un endomorphisme vérifiant les caractéristiques
d’un antipode, alors cet endomorphisme est unique. Autrement dit, il
n’existe au plus qu’une seule structure faisant d’une bigèbre une algèbre
de Hopf.
2. Un homomorphisme d’algèbres de Hopf ϕ : A → B vérifie automatiquement la relation : ϕ ◦ S A = S B ◦ ϕ.
3. L’antipode S est un anti-automorphisme, autrement dit S : A → Aop
op
est un isomorphisme d’algèbres de Hopf. De fait, S 2 est un isomorphisme d’algèbres de Hopf, et l’on peut montrer que dans le cas d’une
algèbre de Hopf commutative ou cocommutative, S est involutif.
4. Une définition équivalente de l’antipode fait intervenir la convolution.
Pour f, g ∈ EndK (A), on définit le produit de convolution par :
f ∗ g = µ ◦ (f ⊗ g) ◦ ∆.
La commutativité des diagrammes définissant S montre que S est l’inverse de l’identité de A pour la convolution. La première de ces remarques est une conséquence de cette observation.
Il existe plusieurs variantes de la définition d’une algèbre de Hopf. L’une
d’elle s’applique lorsque A et A ⊗ A (ainsi que K) sont munis de topologies
pour lesquelles les applications faisant de A un K-module sont continues.
On substitue alors le produit tensoriel usuel A ⊗ A par une complétion
convenable, et l’on requiert des applicaitons de la structure d’algèbre de
Hopf qu’elles soient continues.
5
1.3
Exemples fondamentaux
On donne ici deux exemples fondamentaux qui possèdent naturellement
une structure d’algèbre de Hopf et qui seront utiles pour la suite.
On considère un groupe fini (G, .) non forcément commutatif dont l’élément neutre est noté e.
Exemple 1.3.1. Le cas le plus simple est celui de l’ algèbre de groupe K[G]
de G sur K. C’est le K-module libre dont une base est formée par les éléments
de G et dont la structure algébrique s’obtient par extension linéaire du produit
sur G. On définit une structure d’algèbre de Hopf sur K[G] par extension
linéaire des formules suivantes :
ı(1) = e,
ε(g) = 1,
∆(g) = g ⊗ g
S(g) = g −1
et
pour tout g ∈ G et où 1 est l’élément neutre de K. Il est à noter que K[G]
est toujours cocommutative, mais n’est commutative que lorsque G est commutatif.
Exemple 1.3.2. Le second exemple est celui de l’ensemble F(G) des applications de G à valeurs dans K. Les structures de K-module et le produit sur
F(G) sont définis classiquement. Pour l’unité, on pose :
ı(α) = (ϕα : g ∈ G 7→ α ∈ K) ∈ F(G)
pour tout α ∈ K. La coünité et l’antipode sont respectivement tels que
ε(f ) = f (e)
S(f )(g) = f (g −1 )
et
pour tous f ∈ F(G) et g ∈ G. Pour définir la comultiplication, il suffit
de remarquer qu’en tant que K-algèbres F(G × G) ∼
= F(G) ⊗ F (G) par
l’isomorphisme de F(G) ⊗ F(G) sur F(G × G) :
(f1 ⊗ f2 ) 7→ ((g1 , g2 ) ∈ G × G 7→ f1 (g1 )f2 (g2 )).
On pose alors ∆(f )(g1 , g2 ) = f (g1 g2 ) pour tous f ∈ F(G) et g1 , g2 ∈ G.
Notons également que F(G) est toujours commutative, mais n’est cocommutative que lorsque G est commutatif.
1.4
Représentations d’algèbres de Hopf
Si A est une K-algèbre, un K-module V est un A-module à gauche,
s’il existe un homomorphisme de K-modules λV : A ⊗ V → V tel que les
diagrammes suivants commutent :
A⊗A⊗V
µ⊗idV
- A⊗V
idA ⊗λ
λ
?
A⊗V
λ
?
- V
6
K ⊗V
ı⊗idV
- A⊗V
∼
=
λ
?
V
idV
?
- V
De manière équivalente, a 7→ λ(a⊗·) doit être un homomorphisme d’algèbres
de A dans EndK (V ). Pour simplifier l’écriture, on note souvent a.v à la place
de λ(a⊗v) lorsqu’il n’y a pas d’ambiguïté. Les A-modules à droite sont définis
de manière similaire.
On a une notion duale pour les cogèbres. Si A est une K-cogèbre, un
K-module V est un A-comodule à droite s’il existe un homomorphisme de
K-modules ρV : V → V ⊗ A faisant commuter les diagrammes suivants :
V
ρ
- V ⊗A
ρ
ρ⊗idA
?
V ⊗A
idV
V
?
- V ⊗A⊗A
idV ⊗∆
- V
∼
=
ρ
?
V ⊗A
?
- V ⊗K
idV ⊗ε
On peut, de la même façon, définir les A-comodules à gauche.
Si V est lui-même une algèbre ou une cogèbre, il est naturel de demander
que les structures de module ou de comodule respectent la structure supplémentaire de V . Soit A une bigèbre. Une algèbre V est un A-module algèbre
à gauche si c’est un A-module tel que :
X
a.(vw) =
(ai .v)(ai .w), a.1 = εA (a)1
i
P
pour tous a ∈ A et v, w ∈ V , et avec ∆A (a) = i ai ⊗ ai . De même, une
cogèbre V est un A-module cogèbre à gauche si c’est un A-module à gauche
vérifiant :
X
∆V (a.v) =
(ai .vj ) ⊗ (ai .v j ), εV (a.v) = εA (a)εV (v)
i,j
P
pour tous a ∈ A et v ∈ V , et où ∆V (v) = j vj ⊗ v j . On peut également
définir les notions de A-comodule algèbre à droite et A-comodule cogèbre à
droite.
Définition 1.4.1. Une représentation d’une algèbre de Hopf A est un Amodule à gauche de l’algèbre A. Les notions de sous-représentation et de
représentation irréductible ont leur sens usuel.
Une coreprésentation de A est un A-comodule à droite de la cogèbre A.
Dans la suite, on utilisera indifféremment les termes (co)représentation
et (co)module.
Si V et W sont des représentations d’une algèbre de Hopf A, un homomorphisme de représentations de A entre V et W est un homomorphisme
de K-modules ϕ : V → W tel que le diagramme suivant commute :
A⊗V
idA ⊗ϕ
- A⊗W
λV
λW
?
V
ϕ
7
?
- W
On caractérise de manière équivalente les homomorphismes de coreprésentations de A.
D’autre part, on peut remarquer qu’il suffit de considérer des A-module
à gauche, puisque si ρ : V ⊗ A → V est un A-module à droite, alors en
posant λ = ρ ◦ (idV ⊗ S) on obtient A-module à gauche. Il en est de même
pour les comodules.
Exemple 1.4.2. La représentation triviale d’une algèbre de Hopf A sur un
module V est donnée par :
λ(a ⊗ v) = ε(a)v
por tous a ∈ A et v ∈ V . Plus généralement, un élément v ∈ V est dit invariant sous l’action de A lorsque l’égalité précédente a lieu pour tout élément
a de A.
Exemple 1.4.3. On peut définir la représentation adjointe, notée ad, d’une
algèbre de Hopf A sur elle-même par :
X
ad(a ⊗ a0 ) =
ai a0 S(ai )
i
P
pour tous a, a0 ∈ A et où ∆(a) = i ai ai . Cette représentation fait de A
un A-module algèbre à gauche. Dans le cas d’une algèbre de groupe, elle
s’identifie à l’action du groupe sur lui-même par conjugaison.
Exemple 1.4.4. La représentation régulière d’une algèbre de Hopf A sur
elle-même est sa multiplication µ. Cela fait de A un A-module cogèbre à
gauche.
De même, la coreprésentation régulière de A sur elle-même est sa comultiplication ∆. Sous cette action, A devient un A-comodule algèbre à droite.
Bien que la définition d’une représentation d’une lagèbre de Hopf A ne
fait appel qu’à sa structure algébrique, les autres applications structurelles
jouent un rôle important. En effet, on a déjà vu que la coünité permet de
définr la représentation triviale.
De façon plus probante, la comultiplication permet de caractériser le
produit tensoriel de représentations de A. Soient V et W des représentations
de A. Alors, V ⊗ W est naturellement une représentation de A ⊗ A via :
(a1 ⊗ a2 ).(v ⊗ w) = (a1 .v) ⊗ (a2 .w)
pour tous a1 , a2 ∈ A, v ∈ V et w ∈ W . On munit alors V ⊗W d’une structure
de représentation de A en posant :
a.(v ⊗ w) = ∆(a).(v ⊗ w)
avec a ∈ A, v ∈ V et w ∈ W .
8
Enfin, l’antipode S permet de faire du dual V ∗ = HomK (V ) d’une représentation V de A une représentation de A avec :
ha.ξ, vi = hξ, S(a).vi
pour tous a ∈ A, v ∈ V , ξ ∈ V ∗ et où h , i : V ∗ × V → K désigne la dualité
canonique entre V et V ∗ . On vérifie facilement que l’application canonique
V ∗ ⊗V → K commute avec l’action de A. De plus, si K est un corps et si V est
de dimension finie, on a le même
P résultat pour l’application canonique K →
V ⊗ V ∗ , qui envoie 1 ∈ K sur i vi ⊗ v i , où (vi )i est une base de V de base
duale (v i )i sur V ∗ . Cependant, il est faux que ces applications commutent
avec l’action de A en général. Notons finalement que, puisque S est un antiautimorphisme de cogèbre de A, si V et W sont des représentations de A,
l’isomorphisme de K-modules canonique (V ⊗ W )∗ ∼
= V ∗ ⊗ W ∗ commute
également avec A.
Si V et W sont des représentations de A, on peut faire de HomK (V, W )
une représentation de A en posant :
X
a.f (v) =
ai .f (S(ai ).v)
i
P
i
où a ∈ A, f ∈ HomK (V, W ), v ∈ V et avec ∆(a) =
i ai a . On peut
montrer que, si K est un corps, l’isomorphisme d’espaces vectoriels canonique HomK (V, W ) ∼
= W ⊗ V ∗ est en fait un isomorphisme de représentations de A (mais ce n’est pas le cas de l’isomorphisme d’espaces vectoriels
HomK (V, W ) ∼
= V ∗ ⊗ W !).
1.5
Algèbres de Hopf et dualité
Pour simplifier, on suppose dans cette section que K est un corps.
Soit A une cogèbre sur K. Son espace vectoriel dual A∗ est naturellement
muni d’une structure d’algèbre. En effet, la comultiplication ∆ de A induit
une application ∆∗ : (A ⊗ A)∗ → A∗ et la multiplication de A∗ est obtenue
par restriction de ∆∗ au sous-espace A∗ ⊗ A∗ de (A ⊗ A)∗ . L’unité de A∗ est
la duale de la coünité de A. Que ces applications définissent une structure
d’algèbre sur A∗ résulte de la commutativité des diagrammes de la définition
1.1.2 obtenus à partir de ceux de la définition 1.1.1 en "renversant le sens
des flèches".
De plus, si ρ : V → V ⊗ A est un A-comodule à droite, on définit une
structure de A∗ -module à gauche sur V par :
X
λ(α ⊗ v) =
hα, ai ivi
i
pour tous α ∈ A∗ , v ∈ V et où ρ(v) =
9
P
i vi
⊗ ai .
En dimension finie, on passe des algèbres aux cogèbres (et des modules
aux comodules) de la même manière. Ainsi, on peut voir que le dual A∗ d’une
algèbre de Hopf A de dimension finie est, de façon naturelle, une algèbre de
Hopf (l’antipode du dual étant le dual de l’antipode). On a également un
isomorphisme d’algèbres de Hopf canonique (A∗ )∗ ∼
= A.
Exemple 1.5.1. On considère un groupe fini G et un corps K. L’application
h , i : F(G) × K[G] → K définie par :
X
λi f (gi )
hf, xi =
i
P
pour tous f ∈ F(G) et x = ( i λi gi ) ∈ K[G], induit les isomorphismes
d’algèbres de Hopf suivants : F(G)∗ ∼
= K[G] et F(G) ∼
= K[G]∗ .
Cependant, en dimension infini, on ne peut pas en général munir le dual
A∗ d’une algèbre de Hopf A d’une structure d’algèbre de Hopf par la méthode
précédente, puisque le dual de la multiplication ne prend a priori pas ses
valeurs dans le sous-espace A∗ ⊗ A∗ de (A ⊗ A)∗ .
En dépit de cette difficulté, on peut définir le dual d’une queconque algèbre de Hopf, de dimension finie ou pas.
Définition 1.5.2. Soit A une algèbre de Hopf sur un corps K. On appelle
dual de Hopf de A l’ensemble A◦ défini par :
A◦ = {α ∈ A∗ | µ∗ (α) ∈ A∗ ⊗ A∗ } .
C’est une algèbre de Hopf pour les applications naturelles.
En effet, puisque A∗ ⊗ A∗ est une sous-algèbre de (A ⊗ A)∗ , A◦ est une
sous-algèbre de A∗ . Et on peut montrer que :
µ∗ (A◦ ) ⊂ A◦ ,
∆∗ (A◦ ⊗ A◦ ) ⊂ A◦
et S ∗ (A◦ ) ⊂ A◦ .
Cette construction a en fait une interprétation simple en théorie des représentations. On peut montrer que A◦ est exactement l’espace engendré par
les matrices de toutes les représentations de A de dimensions finies. On en
déduit la généralisation suivante de la notion de dual de Hopf. Soit Σ un
ensemble de représentations de A de dimensions finies, contenant la représentation triviale, et stable par somme directe, produit tensoriel et passage
au dual (à gauche). Soit A◦Σ l’espace engendré par les matrices des éléments
de Σ. Alors A◦Σ est une sous-algèbre de Hopf de A◦ , et toute sous-algèbre de
Hopf de A◦ et de cette forme.
Il peut être souvent agréable de contourner cette question délicate qu’est
la dualité en travaillant avec la notion plus faible de crochet non-dégénéré
entre des algèbres de Hopf A et B sur un anneau commutatif unitaire K.
10
C’est un crochet h , i : A × B → K, K-bilinéaire, non-dégénéré dans le sens
où si ha, bi = 0 pour tout a ∈ A (resp. pour tout b ∈ B) alors b = 0 (resp.
a = 0), et satisfaisant aux conditions suivantes :
hıA (a), bi = ha, εB (b)i,
hµA (a1 ⊗ a2 ), bi = ha1 ⊗ a2 , ∆B (b)i,
hεA (a), bi = ha, ıB (b)i
h∆A (a), b1 ⊗ b2 i = ha, µB (b1 ⊗ b2 )i
hS A (a), bi = ha, S B (b)i
pour tous a, a1 , a2 ∈ A et b, b1 , b2 ∈ B. Dans la seconde paire d’équations,
on a étendu le crochet à (A ⊗ A) × (B ⊗ B) de la façon naturelle :
ha1 ⊗ a2 , b1 ⊗ b2 i = ha1 , b1 iha2 , b2 i
Il est clair que si A et B sont de dimension finie sur un corps K, un tel
crochet induit les homomorphismes injectifs A ,→ B∗ et B ,→ A∗ . Dans ce
cas, l’existence d’un tel crochet est équivalente au fait que A et B sont les
duaux l’un de l’autre.
2
Algèbres de Hopf quasi-triangulaires
2.1
Algèbres de Hopf presque cocommutatives
Définition 2.1.1. Une algèbre de Hopf A sur un anneau commutatif unitaire
K est dite presque cocommutative lorsqu’il existe un élément inversible R
de A ⊗ A tel que :
∆op (a) = R∆(a)R−1
(1)
pour tout a ∈ A. Si l’on veut préciser le nom de l’élément, on écrit (A, R).
Remarques 2.1.2.
1. Il est clair que si A est commutative et presque cocommutative, alors
elle est cocommutative. Par exemple, l’algèbre F(G) d’un groupe nonabélien G n’est pas presque cocommutative.
2. Si λV : A → EndK (V ) et λW A → EndK (W ) sont des représentations
d’une algèbre de Hopf presque cocommutative (A, R), les produits tensoriels V ⊗ W et W ⊗ V sont isomorphes en tant que représentations
de A. En effet, il est facile de montrer que si σ : V ⊗ W → W ⊗ V est
le flip des facteurs, alors σ ◦ (λV ⊗ λW )(R) : V ⊗ W → W ⊗ V est un
isomorphisme qui commute avec l’action de A.
Si A est presque cocommutative, alors R est évidemment unique modulo
une multiplication à droite par un élément du centralisateur C de ∆(A) dans
A ⊗ A. Si Z désignele centre de A, on a clairement Z ⊗ Z ⊂ C. Dans l’autre
direction, on a :
11
Proposition 2.1.3. Soit ϕ : A ⊗ A l’homomorphisme de K-modules défini
par ϕ(a1 ⊗ a2 ) = a1 S(a2 ) pour tous a1 , a2 ∈ A. Alors on a ϕ(C) ⊂ Z ⊗ Z.
Preuve. On munit A de sa structure naturelle de (A⊗A)-module à gauche :
(a1 ⊗ a2 ) ∗ a = a1 aS(a2 )
pour tous a, a1 , a2 ∈ A. Alors on a ϕ(x) = x ∗ 1 pour tout x ∈ A ⊗ A et
∆(a) ∗ 1 = ε(a)1 par la commutativité des diagrammes de la définition 1.2.1.
Plus généralement, si c ∈ C et a ∈ A,
∆(a) ∗ ϕ(c) = ∆(a) ∗ (c ∗ 1) = (∆(a)c) ∗ 1
= (c∆(a)) ∗ 1 = c ∗ (∆(a) ∗ 1)
= ε(a)(c ∗ 1) = ε(a)ϕ(c).
Soit désormais c ∈ C fixé. On définit un homomorphisme de K-module
ψ : A ⊗ A ⊗ A → A par :
ψ(a1 ⊗ a2 ⊗ a3 ) = a1 ϕ(c)S(a2 )a3 = [(a1 ⊗ a2 ) ∗ ϕ(c)]a3
pour tous a1 , a2 , a3 ∈ A. Pour a ∈ A arbitraire, on note ∆(a) =
et on calcule :
X
X
(ψ ◦ (∆ ⊗ id) ◦ ∆)(a) =
(∆(ai ) ∗ ϕ(c))ai =
ϕ(c)ε(ai )ai
i
P
i ai
⊗ ai
i
= ϕ(c)((ε ⊗ id) ◦ ∆)(a) = ϕ(c)a
X
X
(ψ ◦ (id ⊗ ∆) ◦ ∆)(a) =
ai ϕ(c)[(µ(S ⊗ id)(∆(ai ))] =
ai ε(ai )ϕ(c)
i
i
= ((id ⊗ ε) ◦ ∆)(a)ϕ(c) = aϕ(c).
Par ailleurs, A étant une cogèbre, on a (∆ ⊗ id) ◦ ∆ = (id ⊗ ∆) ◦ ∆, donc :
ϕ(c)a = (ψ ◦ (∆ ⊗ id) ◦ ∆)(a) = (ψ ◦ (id ⊗ ∆) ◦ ∆)(a) = aϕ(c)
pour tout a ∈ A, ce qui montre bien que ϕ(c) ∈ Z. ¤
Si σ désigne l’application flip, on note R21 = σ(R), et en applicatn σ aux
deux membres de l’égalité (1), on obtient R21 R ∈ C, d’où ϕ(R21 R) ∈ Z. Le
résultat suivant permet de raffiner cette observation.
Proposition 2.1.4. Soit u1 = (µ ◦ (S ⊗ id))(R21 ). Alors, u1 est un élément
inversible de A, et pour tout a ∈ A on a S 2 (a) = u1 au−1
1 .
Preuve. On commence par montrer que pour tout a ∈ A
u1 a = S 2 (a)u1 .
12
(2)
P
Soit donc a ∈ A. On écrit ((∆ ⊗ id) ◦ ∆)(a) = i ai ⊗ ai0 ⊗ a00i et l’égalité (1)
entraine alors
Ã
! Ã
!
X
X
ai ⊗ a0i ⊗ a00i =
a0i ⊗ ai ⊗ a00i (R ⊗ 1).
(R ⊗ 1)
i
En écrivant R =
i
P
j rj
X
⊗ rj , on a
rj ai ⊗ rj a0i ⊗ a00i =
X
a0i rj ⊗ ai rj ⊗ a00i .
i,j
i,j
On applique ensuite id ⊗ S ⊗ S 2 avant de renverser l’ordre des facteurs et de
multiplier, d’où :
X
X
S 2 (a00i )S(rj a0i )rj ai =
S 2 (a00i )S(ai rj )a0i rj
i,j
i,j
que l’on réécrit sous la forme
X
X
S(a0i S(a00i ))S(rj )rj ai =
S 2 (a00i )S(rj )S(ai )a0i rj .
i,j
(3)
i,j
On remarque alors que :
X
S(ai )a0i ⊗ a00i = ((µ ⊗ id) ◦ (S ⊗ id ⊗ id) ◦ (∆ ⊗ id) ◦ ∆)(a)
i
= ((ε ⊗ id) ◦ ∆)(a) = 1 ⊗ a
d’où
X


X
S(rj )S(ai )a0i rj ⊗ a00i = 
S(rj )rj  ⊗ a = u1 ⊗ a
i,j
j
et donc le membre de droite de l’égalité (3) est égal à S 2 (a)u1 . De façon
similaire, on a :
X
ai ⊗ a0i S(a00i ) = a ⊗ 1
i
et on en déduit que le membre de gauche de l’équation (3) est égal à u1 a.
On a donc prouvé l’égalité (2).
−1
Pour terminer la preuve, on montrePque v = (µ ◦ (S −1 ⊗ id))(R21
) est
l’inverse de u1 . On pose en fait R−1 = k sk ⊗ sk , d’où :
X
X
u1 v =
u1 S −1 (sk )sk =
S(sk )u1 sk
k
=
X
k
−1
S(r s )rj sk = µ ◦ (S −1 ⊗ id))(R21 R21
)
j k
j,k
= 1.
13
En prenant a = v dans l’équation (2), on obtient S 2 (v)u1 = 1. Comme u1
admet un inverse à gauche et à droite, u1 est inversible. ¤
Sur le même modèle, on peut encore définir u2 = (µ ◦ (S ⊗ id))(R−1 ),
u3 = (µ ◦ (id ⊗ S −1 ))(R21 ) et u4 = (µ ◦ (id ⊗ S))(R−1 ). On a également la
relation S 2 (a) = ui au−1
pour tous a ∈ A et i ∈ {2, 3, 4}. On en déduit
i
Corollaire 2.1.5. Les éléments u1 , ..., u4 ∈ A commutent les uns avec les
autres, et les ui u−1
j sont dans le centre Z de A pour tous i, j ∈ {1, ..., 4}.
Remarques 2.1.6.
1. On a également montrer que :
−1 ⊗ S)(R−1 )),
u−1
1 = ϕ((S
21
−1
u−1
=
ϕ(R
),
3
21
−1 ⊗ S −1 )(R)),
u−1
2 = ϕ((S
u4−1 = ϕ(R).
−1
−1
−1
De plus, on a S(u1 ) = u−1
2 , S(u2 ) = u1 , S(u3 ) = u4 et S(u4 ) = u3 .
2. On a ϕ(R21 R) = u3 u−1
4 .
3. Si (S ⊗ S)(R) = R, alors u1 = u3 et u2 = u4 . Egalement, si l’on
suppose R21 = R−1 , on a u1 = u2 et u3 = u4 .
La proposition 2.1.4 a plusieurs conséquences intéressantes en théorie des
représentations. Par exemple, on peut déduire de la fin de la discussion de
la section 1.5 le résultat suivant :
Corollaire 2.1.7. Les duaux à gauche et à droite d’une quelconque représentation d’une algèbre de Hopf presque cocommutative sont canoniquement
isomorphes.
2.2
Algèbres de Hopf quasi-triangulaires
P
Il est clair que l’élément R = j rj ⊗ rj d’une algèbre de Hopf presque
cocommutative A vérifiant l’équation (1) ne peut être quelconque puisque
Aop est une algèbre de Hopf. En fait, on a pour tout a ∈ A :
−1
((∆op ⊗ id) ◦ ∆op )(a) = R12 (∆ ⊗ id)(R)((∆ ⊗ id) ◦ ∆)(a)(∆ ⊗ id)(R)−1 R12
−1
((id ⊗ ∆op ) ◦ ∆op )(a) = R23 (id ⊗ ∆)(R)((id ⊗ ∆) ◦ ∆)(a)(id ⊗ ∆)(R)−1 R23
P
où Rlm = j (1 ⊗ ... ⊗ 1 ⊗ rj ⊗ 1 ⊗ ... ⊗ 1 ⊗ rj ⊗ 1 ⊗ ... ⊗ 1) avec rj en l-ième
position et rj en m-ième position du produit tensoriel. Ainsi, une condition
suffisante pour la coassociativité de ∆op est :
R12 (∆ ⊗ id)(R) = R23 (id ⊗ ∆)(R).
(4)
On peut de même formuler une condition suffisante pour que la coünité ε aie
la propriété (ε ⊗ id) ◦ ∆op = (id ⊗ ε) ◦ ∆op = id en faisant intervenir R :
(ε ⊗ id)(R) = (id ⊗ ε)(R) = 1.
14
Définition 2.2.1. Une algèbre de Hopf presque cocommutative (A, R) est
dite quasi-triangulaire si R satisfait à :
(∆ ⊗ id)(R) = R13 R23
et
(id ⊗ ∆)(R) = R13 R12 .
(5)
Si A est quasi-triangulaire, l’élément R est appelé R-matrice universelle de
l’algèbre de Hopf (A, R).
On dit que (A, R) est triangulaire lorsqu’elle est quasi-triangulaire et que
R vérifie R21 = R−1 .
−1
Si (A, R) est quasi-triangulaire, alors (A, R21
), (Aop , R21 ), (Aop , R21 ) et
le sont également.
Si A est une algèbre de Hopf quasi-triangulaire, les éléments deucentre
de A construits à la section précédente se réduisent essentiellement au seul
élément u1 S(u1 ). En effet, il découle des propriétés de quasi-triangularité
que u1 = u3 et u2 = u4 = S(u1 )−1 . Ainsi, les éléments ui u−1
sont ou
j
bien triviaux, ou bien égaux à uS(u) ou son inverse. De plus, on déduit des
propositions 2.1.4 et 2.2.2 que :
(Aop
op , R)
∆(u) = (R21 R12 )−1 (u ⊗ u) = (u ⊗ u)(R21 R12 )−1 .
Proposition 2.2.2. Soit (A, R) une algèbre de Hopf quasi-triangulaire. On
a les égalités suivantes :
R12 R13 R23 = R23 R13 R12
(6)
dite équation quantique de Yang-Baxter,
(ε ⊗ id)(R) = 1 = (id ⊗ ε)(R)
(S ⊗ id)(R) = R
−1
= (id ⊗ S
−1
(7)
)(R)
(8)
(S ⊗ S)(R) = R.
(9)
Preuve. De l’équation (1), on a :
R12 R13 R23 = R12 (∆ ⊗ id)(R) = (∆op ⊗ id)(R)R12 .
En appliquant σ12 aux deux membres de la première équation de (5), on
obtient (∆op ⊗ id)(R) = R23 R13 ce qui fournit la première égalité.
L’équation suivante découle directement de l’application de (ε ⊗ id ⊗ id)
et (id ⊗ id ⊗ ε) respectivement aux deux membres des première et seconde
équations de (5).
Pour prouver la première égalité de l’équation (8), on écrit :
R(S ⊗ id)(R) = ((µ ⊗ id) ◦ (id ⊗ S ⊗ id))(R13R2 3 )
= ((µ ⊗ id) ◦ (id ⊗ S ⊗ id) ◦ (∆ ⊗ id))(R)
= ((µ ◦ (id ⊗ S) ◦ ∆) ⊗ id)(R)
= (ε ⊗ id)(R) = 1
La seconde équation vient de l’application du même argument à l’algèbre de
Hopf quasi-triangulaire (Aop , R21 ). ¤
15
Remarques 2.2.3. Soient A une algèbre de Hopf et R ∈ AP⊗ A. On consi0
∗
dère f : α ∈ A
P 7→ hα ⊗ 0id, Ri ∈ A, ie que si l’on note R = j rj ⊗ rj , alors
on a f (α) = j hα, rj irj . On en déduit :
1. La première équation de (5) et la première égalité de (7) sont équivalente au fait que f soit un homomorphisme d’algèbres.
2. Si A est de dimension finie (de sorte que A∗ hérite d’une structure de
cogèbre), les secondes égalités de (5) et (7) sont équivalentes au fait
que f : A → Aop soit un homomorphisme de cogèbres.
3
Double quantique
3.1
Construction générale
On donne dans cette section les résultats sans les démontrer, les preuves
ne présentant pas de difficulté théorique particulière.
Soient B et C des algèbres de Hopf sur un anneau commutatif unitaire
K, et R un élément inversible de C ⊗ B tel que :
(id ⊗ ∆B )(R) = R12 R13 ,
(∆C ⊗ id)(R) = R13 R23 ,
(id ⊗ S B )(R) = R−1 ,
(S C ⊗ id)(R) = R−1 .
(10)
Proposition 3.1.1. Si R ∈ C ⊗ B satisfait aux équations (10), alors B ⊗ C,
avec la structure usuelle d’algèbre, la comultiplication
−1
C
∆(b ⊗ c) = R23 ∆B
13 (b)∆24 (c)R23
l’antipode
−1
S(b ⊗ c) = R21
(S B (b) ⊗ S C (c))R21
et la coünité
ε(b ⊗ c) = εB (b)εC (c)
est une algèbre de Hopf que l’on note B ⊗R C.
On considère alors une algèbre de Hopf A de dimension finie sur un corps
K. On applique la construction précedente à B = A∗ et C = Aop .
Lemme 3.1.2. L’élément canonique R ∈ Aop ⊗ A∗ associé à l’application
idA satisfait aux conditions (10).
On déduit de cette proposition la définition du double quantique.
Définition 3.1.3. Si A est de dimension finie, on appelle double quantique
ou double de Drinfeld de A, et on note D(A), l’espace :
D(A) = (A∗ ⊗R Aop )∗ .
16
Notons qu’en tant que cogèbre − et donc en tant qu’espace vectoriel, on a
D(A) ∼
= A ⊗ A∗ . De plus, il est facile de vérifier que les injections canoniques
A ,→ D(A) et (A∗ )op ,→ D(A) sont des homomorphismes d’algèbres de Hopf.
Il peut s’avérer intéressant de mieux décrire la multiplication de D(A). Le
problème est d’exprimer un produit α.a, avec a ∈ A et α ∈ (A∗ )op , comme
une combinaison linéaire de produits a0 .α0 . On pose :
X
ai ⊗ a0i ⊗ a00i
((S −1 ⊗ id) ◦ ∆)(a) =
i
∆op (α) =
X
αj ⊗ αj0 ⊗ αj00 .
j
On trouve alors que
α.a =
X
hαj , ai ihαj00 , a00i ia0i .αj0
i,j
où h , i est le crochet naturel entre A et son dual.
L’importance des doubles quantiques réside dans le fait qu’ils possèdent
une structure naturelle d’algèbre de Hopf quasi-triangulaire.
Proposition 3.1.4. Le double D(A) d’une algèbre de Hopf A de dimension
finie est une algèbre de Hopf quasi-triangulaire avec pour R-matrice universelle l’élément canonique de A ⊗ A∗ ⊂ D(A) associé à l’application idA .
Dans le cas de la dimension infinie, on procède de même pour construire
le double en substituant A◦ à A∗ et en prenant R dans une complétion algébrique du produit tensoriel A ⊗ A◦ . On peut également travailler seulement
sur un anneau commutatif.
3.2
Cas d’un groupe fini
Précisons les notations. Dans la suite, on désigne par G un groupe fini
noté multiplicativement et de neutre e. Alors C[G] est l’algèbre du groupe,
dont une base est (x)x∈G . On note enfin F(G) l’algèbre des fonctions à
valeurs complexes définies sur G, dont une base est (δg )g∈G avecPpour tout
g ∈ G, δg masse de Dirac en g, et dont l’élément neutre est 1 = g∈G δg .
On construit le double de Drinfeld de G que l’on note D(G) en appliquant la construction précédente à A = F(G). On a vu qu’alors A∗ = C[G]
et les structures d’algèbre de Hopf sur C[G] et F(G) sont celles définies
respectivement dans les exemples 1.3.1 et 1.3.2.
Ainsi, un base intéressante de D(G) est (δg ⊗ x)g,x∈G . On réécrit alors la
structure d’algèbre de Hopf de D(G) dans ce cas particulier. La multiplication
s’écrit :
(ϕ ⊗ x).(ψ ⊗ y) = (ϕψx−1 ) ⊗ xy
17
où ψx−1 : g ∈ G 7→ ψ(x−1 gx), soit avec les éléments de la base choisie :
(δg ⊗ x).(δh ⊗ y) = δg,xhx−1 (δg ⊗ xy)
et le neutre est 1 ⊗ e. La comultiplication ∆ est définie par :
X
∆(δg ⊗ x) =
(δh ⊗ x) ⊗ (δk ⊗ x)
hk=g
et la coünité ε et l’antipode S sont telles que :
ε(δg ⊗ x) = δg,e (1 ⊗ e) et S(δg ⊗ x) = δx−1 g−1 x ⊗ x−1 .
Enfin, la R-matrice de D(G) vaut :
X
R=
(δg ⊗ e) ⊗ (1 ⊗ g)
g∈G
puisque l’on peut voir R comme un élément de D(G) ⊗ D(G).
4
Représentations irréductibles de D(G)
On considère les classes {CA }A∈0,...,p de conjugaisons de G avec C0 = {e}.
Dans chaque CA , on prend un élément g1A et on note ZgA le centralisateur
1
de g1A , ie :
©
ª
ZgA = h ∈ G | g1A h = hg1A .
1
Il est clair que ZgA dépend du choix de g1A dans CA . Mais l’égalité évidente
1
Zhgh−1 = hZg h−1 montre qu’à isomorphisme près, la structure de Zg ne
dépend que de la classe de conjugaison de g. On note donc ZA pour ZgA .
1
A de représentants des classes d’équiOn prend alors un système xA
,
...,
x
q
1
valence de G/ZA , avec xA
1 = e. On peut donc écrire :
©
ª
A A −1
A
A A A −1
CA = g1A = xA
.
1 g1 (x1 ) , ..., gq = xq g1 (xq )
Par la suite, on omet l’exposant A lorsqu’il n’y a pas d’ambiguïté sur la
classe de cojugaison. ? ? ? ?
Consdérons BA la sous-algèbre de D(G) engendrée en tant qu’espace
vectoriel par les éléments δg ⊗ x avec g ∈ G et x ∈ ZA . Soit alors α une
représentation irréductible de ZA sur un espace vectoriel Vα . On définit une
représentation πα de BA sur Vα par extension linéaire de l’expression suivante :
πα (δg ⊗ x) = δg,gA α(x)
1
pour tous g ∈ G et x ∈ ZA .
Cette représentation induit une représentation de D(G), notée παA , opérant sur un espace vectoriel VαA . Par définition, en tant que module à gauche,
18
on a VαA = D(G) ⊗BA Vα . Si | ei ii est une base de Vα , alors on voit facilement
qu’une base de V αA est donnée par | xA
j , ei ii,j . Et l’action de δg ⊗ x sur une
telle base est donnée par :
¡
¢
παA (δg ⊗ x) | xA
(δg ⊗ x).(1 ⊗ xA
j , ei i =
j ) ⊗ | ei i
¡
¢
= δg ⊗ (xxA
j ) ⊗ | ei i
¡
¢
= δg ⊗ (xA
k h) ⊗ | ei i
A
A
où xA
k et h sont définis par la relation xxj = xk h et h ∈ ZA . Ainsi,
A
παA (δg ⊗ x) | xA
j , ei i = (1 ⊗ xk ).(δ(xA )−1 gxA ⊗ h)⊗ | ei i
k
= δg,xgA x−1
j
k
| xA
k , α(h)(ei )i.
Ces représentations vérifient une importante relation d’orthogonalité :
1 X
tr(παA (δg ⊗ x))tr(πβµ (δg ⊗ x))∗ = δα,β δA,µ
|G|
g,x∈G
qui vient de la remarque suivante :
½
0
si g ∈
/ CA ou gx 6= xg
A
tr(πα (δg ⊗ x)) =
.
A
tr(α(h)) sinon, avec g = gjA , xxA
j = xk h, h ∈ ZA
© ª
Ainsi, par la relation d’orthogonalité montre que l’ensemble παA A,α
constitue la liste de toutes les représentations irréductibles de D(G).
Références
[1] V. Chari et A. Pressley, A Guide to Quantum Groups, chap. 4, Cambridge
University Press, 1994.
[2] R. Dijkgraaf, V. Pasquier et P. Roche, Quasi Hopf Algebras, Group Cohomology and Orbifold Models, Nuclear Physics B Proceedings Supplements, vol. 18, 1990.
[3] G. Mason et S.H. Ng, Group Cohomology and Gauge Equivalence of some
Twisted Quantum Doubles, Mathematics department University of California Santa Cruz, 1999.
19