Jacques-A. Sepulchre (Département de Physique) UE3 (1 PARTIE) BASES PHYSIQUES DES MÉTHODES D’EXPLORATION

UE3 (1ÈRE PARTIE)
BASES PHYSIQUES DES MÉTHODES
D’EXPLORATION
PHYSIQUE GÉNÉRALE
Jacques-A. Sepulchre (Département de Physique)
UE3 (1ÈRE PARTIE)
BASES PHYSIQUES DES MÉTHODES D’EXPLORATION
PHYSIQUE GÉNÉRALE (2)
ONDES (1)
OPTIQUE I (GÉOMETRIQUE, ONDULATOIRE) (2)
PHYSIQUE QUANTIQUE (1)
OPTIQUE II (SOURCES DE LUMIÈRE) (2)
Jacques-A. Sepulchre (Département de Physique)
3
Plan (4h)
1. Mécanique newtonienne
2. Dynamique de rotation
3. Le formalisme du potentiel
4. Etude du dipôle électrique
5. Conduction électrique
6. Oscillateurs
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1. Mécanique Newtonienne (Rappels)
! 
1.1 Référentiel
! 
1.2 Cinématique d’objets ponctuels
! 
1.3 Dynamique de points matériels
! 
1.4 Quelques exemples de forces
! 
1.5 Quelques applications du PFD
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4
5
1.1 Référentiel
Le mouvement d’un corps, ponctuel ou étendu, est toujours relatif à un référentiel
qu’il faut préciser. Un référentiel
R est constitué:
  
-  d’un repère math (O, i , j , k ) dont l’origine est un point d’un solide de référence et
dont les vecteurs unitaires forment une base orthonormée, fixe par rapport à ce solide.
-  d’un repère de temps (horloge)
Tout point
€ M en mouvement p.r. à O est alors repéré par 3 coordonnées (x,y,z) qui
sont des fonctions du temps.
Dans R la trajectoire d’un point M est l’ensemble des positions successives occupées
par M au cours du temps.
OM(t) est le vecteur position de M à l’instant t .
j
Exemple : (mouvement circulaire uniforme dans le plan z=0)
x(t) = r cosωt
OM(t) y(t) = r sin ωt
z(t) = 0
€
y!
Remarques:
ω est la vitesse angulaire
(exprimée en rad.s-1)
OM(t) =
M!
ω t!
r!

i
x!
O!
x 2 + y 2 + z2 = r
€
6
1.2 Cinématique d’objets ponctuels

Le vecteur vitesse (instantannée) v de M est défini comme la dérivée de OM(t) par
rapport au temps:
 dOM(t)
v=
dt
En pratique, pour mesurer
€ la vitesse on utilise l’approximation : (Δt supposé petit)
 OM(t + Δt) − OM(t)
v≈
€Δt
OM(t)!
OM(t+Δt)-OM(t)!
OM(t+Δt)!
O
O
Propriété: le vecteur vitesse est toujours tangent à la trajectoire de M au point

qu’il occupe à l’instant t.
j
Exemple : (mouvement circulaire uniforme)

v
Remarque:
v x (t) = −ω r sin ωt v = v x 2 + v y 2 + v z 2 = ω r

v (t) v y (t) = ω r cos ωt
v
ou
v z (t) = 0
encore ω =
r
r!
M!
O!
€
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€

i
Dans le référentiel R donné, le vecteur accélération
son vecteur vitesse par rapport au temps:
OM(t)! O

v (t)
O

a(t)Δt

a(t)
€

aT (t)

aN (t)

v (t + Δt)
€
€
€la dérivée
On peut aussi calculer
€ a comme
seconde de OM(t) par rapport€au temps.
€
€
Exemple : (mouvement circulaire uniforme)

a
7
du point M est la dérivée de



dv (t) v (t + Δt) − v (t)

a(t) =
≈
dt
Δt
Il est utile de décomposer l’accélération comme la
somme vectorielle de:
aT(t), la composante tangentielle, collinéaire à v(t)
aN(t), la composante normale, perpendiculaire à v(t).
Si la trajectoire est courbe, aN(t) est dirigé vers
l’intérieur. Si le mouvement est rectiligne aN(t)=0.
Si le mouvement est circulaire uniforme, aT(t)=0.

j
ax (t) = −ω 2 r cosωt

a(t) ay (t) = −ω 2 r sin ωt

a
az (t) = 0

a(t) = −ω 2 OM(t)

v
M!
O!

i
€
2
v

a(t) = a = ω 2 r =
r
€ centripète)
(accélération purement
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€
1.3 Dynamique du centre d’inertie de points matériels
On considère un référentiel R et un corps constitué de masses ponctuelles mi, situées
en Mi (i=1,2,…). Alors la position du centre d’inertie G de ce corps est donnée par:

1
xG = ∑ mi OM
i
m i
(avec m = ∑ mi )
i

Soit vG la vitesse du centre d’inertie.
On définit la quantité de mouvement (qdm) du système comme le vecteur:


P = m vG
Première loi de Newton (ou principe d’inertie de Galilée ou loi de conservation de la qdm) :
Dans un référentiel galiléen, la quantité de mouvement est constante
si et seulement si la somme des forces extérieures est nulle.


dP
= 0 ⇔ Ftot = 0
dt
Deuxième loi de Newton (Principe fondamental de la dynamique « PFD ») :
Dans un référentiel galiléen,


FA / B
dP 
= Ftot
dt
8
9
Troisième
 loi de Newton (ou principe d’action-réaction):
Si F
est la force qu’un corps A exerce sur un corps B, on a toujours:
A /B
€


FA / B = −FB / A

∑

Fext consiste à établir le bilan des forces extérieures.
Dans le PFD, calculer Ftot =
€
" Les forces internes (entres les mi) ne sont donc pas prises en compte dans ce bilan.
Parmi les forces extérieures on distingue les forces à distance (p.ex. la
force due au poids) et les forces de contact (p.ex. les forces de frottement).
Dans un problème de dynamique l’objectif est de déterminer le mouvement (ici
du point G) au cours du temps. Mathématiquement, ceci conduit le plus souvent à
écrire des équations différentielles,
c-à-d. des équations qui lient les coordonnées

du vecteur position xG à celles de leurs dérivées par rapport au temps (vitesses,
accélérations).

2
m
d xG  dxG 
= F(
, xG )
2
dt
dt
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10
1.4 Quelques exemples de forces
a)  Force d’attraction gravitationnelle

m m
Fa/b = −G a 2 b r̂
r
G = 6.7 10 −11

Fa/b mb
ma
Nm 2 kg−2
r
b) Cas particulier : la force de pesanteur à la surface de la terre

mT m 
FT = −G
k
(RT + z)2

m
≈ −G T2 m k
RT

= −mg k
avec
et

k
z << RT ≈ 6400 km
z
g=G
mT
≈ 9.81 ms −2
2
RT
0
€
m

−mg k
qa
c) Force électrique de Coulomb
11
qb
+

Fa / b
+

q q
Fa/b = k a 2 b r̂
r
[q] = C
k = 9 10 9
1
k=
,
4πε 0
r
coulomb
€ qb
qa
+
Nm 2 C 2
-
ε 0 = constante diélectrique du vide

Fa / b
ou permittivité du vide
r
Pour une distribution de charges donnée, la force de Coulomb est€additive.
Le champ électrique au point (x,y,z) est défini comme la force électrique
qui s’exercerait sur une charge unité placée en ce point.


F = q E (x, y,z)
q=1

E
Dans quelle situation peut-on avoir un champ électrique uniforme ?
€
€
12
d) Champ électrique créé par une distribution plane de charges
Soit une distribution de charge superficielle, avec une densité σ (en C.m-2).
Le champ électrique créé par cette distribution est perpendiculaire au plan et
constant en norme : E = σ/(2ε0)
+
+
+
E=σ/2ε0
+
+
+
Le champ électrique entre 2 plans chargés est uniforme.
En appliquant le principe de superposition à l’exemple précédent, on déduit que le
champ créé par deux plaques (infinies) chargées, avec des densités opposées, est
constant entre les plaques, où il vaut E = σ/ε0 , et s’annule à l’extérieur de celles-ci.
Rem: quoique l’unité s.i. de E soit le N/C, on utilise généralement
l’unité équivalente « Volt/mètre ». 1 Vm-1 = 1 N C-1
E=0
+
+
+
E=σ/ε0
+
+
+
-
E=0
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13
e) Force de rappel d’un ressort (déformation élastique)

Fr


Fr = −k(x − x0 ) i

i
k = constante de rappel (en N.m-1)
x
f) Force de frottement visqueux

Fvisq


Fvisq = −β v

v
β = coefficient de viscosité (en N.m-1s)
€
x0

R

Fs
g) Force de frottement sec dynamique

v

i

 
Fs = −µ d R sign(v) i
µd = coefficient de frottement sec dynamique qui dépend du support de l’objet.
R = norme de la force de réaction du support de l’objet.
Typiquement R= mg sauf si l’on « pousse » sur l’objet.
14
1.5 Quelques exemples d’application du PFD
a)  Trajectoire d’une masse m dans un champ de force constant
z!
Applications : tir balistique, déflexion de faisceaux de particules chargées…
# dvx
=0
%m
dt
#vx (t) = v0 x
%

% dv
%

m aG = F ⇔ $ m y = 0 ⇒ $vy (t) = 0
% dt
%
&vz (t) = v0 z − at
% dvz
m
=
−F
% dt
&
h!
€
et a =
"
dx
" x(t) = v0 x t
$vx (t) = dt = v0 x
$
$
$
$
$
dy
=0
⇒ # y(t) = 0
#vy (t) =
dt
$
$
2
$
$ z(t) = h + v t − at
dz
0z
vz (t) =
= v0 z − at
$
$
%
2
%
dt
Ou, en éliminant la variable t :
€
z =h+
O!

v0

F
x!
F
m
cas particulier:
mvt rectiligne si v0x= 0!
v 0z
g
x − 2 x2
v 0x
2v 0x
(équation d’une parabole)
15
b) Ralentissement d’une particule soumise à une force de frottement visqueux


Fvisq = −β v
 
ma = Fvisq ⇔


dv
m
= −β v
dt

Fvisq
soit:
Equation différentielle du premier ordre :
τ=

v
m
β
dvx
1
= − vx
dt
τ
Résolution de l’équa-diff du premier ordre:
1
⇔
d
1
ln vx = −
dt
τ
t
ln vx (t) = − + cst
τ
v(t)/v0
1 dvx
1
=−
vx dt
τ
t
exp(ln vx (t)) = exp(− + cst)
τ
t
vx (t) = vx 0 exp(− )
τ
⇔
2.
0
0
1
2
3
4
5
6
temps (unité )
Dynamique de rotation
! 
2.1 Produit vectoriel
! 
2.2 Vecteur tournant à vitesse constante
! 
2.3 Moment d’une force
! 
2.4 Moment angulaire
! 
2.5 Moment d’inertie
! 
2.6 Moments angulaires orbital et intrinsèque
! 
2.7 Rotation libre
! 
2.8 Mouvement de précession
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16
2.
17
Dynamique de rotation



2.1 Le produit vectoriel de 2 vecteurs est représenté par l’expression : a ∧ b = c
Il s’agit d’un vecteur tel que:
 
- sa direction est perpendiculaire au plan défini par les vecteurs (a, b)
-  son sens est donné par la règle
du trièdre « pouce, index, majeur » (main
 droite)

 
-  sa norme est égale à a ∧ b = a.b.sin θ , θ étant l’angle entre a et b
 
a∧b
Propriétés:




- Le produit vectoriel est antisymétrique: a ∧ b = −b ∧ a


- Le produit vectoriel est nul si a est parallèle à b :
 
a∧b = 0
si


a=kb
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18
2.2 Equation vectorielle d’un vecteur tournant à vitesse angulaire constante

Si r tourne autour d’un axe avec une vitesse angulaire constante on a:

  
v = ω ∧r
 

ω
En effet, v est bien perpendiculaire au plan (ω, r )
Et on observe que l’on a bien:

v
r!
v = ω r! = ω r sin θ

dr  
= ω ∧r
Donc la solution de l’équation différentielle :
dt
est un vecteur tournant à la vitesse angulaire constante ω
autour de l’axe défini par ω

θ

r
O!

Propriété utile dans la suite : Si θ = 90° (i.e. r perpendiculaire à l’axe ω ) on a:

 
r ∧ v = r 2ω
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2.3 Le moment d’une force F s’exerçant sur un bras de levier OM est défini par:

F


Γ = OM ∧ F
M!
O!
Il décrit la façon dont F tend à faire tourner OM si O est fixé.
Cette notion est d’autant plus utile s’il existe un « couple de forces
» dont la
€
résultante est nulle, mais qui tend à faire pivoter un bras axe autour de O:
 
F1 + F2 = 0 ,



mais Γ tot = OM1 ∧ F1 + OM 2 ∧ F2 ≠ 0
M1!
M2!
O!

F1

F2
2.4 Le moment angulaire ou moment cinétique d’une distribution de masses

 
ponctuelles mi est défini par:
J=
m r ∧v
∑
i
i
i
i
Le PFD implique une équation
 fondamentale pour
 la dynamique de rotation:
dP 
= Ftot
dt
⇒
dJ 
= Γ tot
dt
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20
2.5 Moment d’inertie



Lorsqu’un objet tourne autour d’un axe de symétrie, J = I ω où ω est la vitesse
angulaire de l’objet et I est appelé moment d’inertie par rapport à l’axe de rotation.

ω
Ex 1. Masse ponctuelle

 
J = m r ∧v


J = m r 2ω →
I = mr 2
m
Ex 2. Roue creuse (vélo)

J = ∑ Δmi
i

J = ∑ Δmi
i


J =Iω→
où
i

ω
 
ri ∧ vi

r 2ω

ri

vi
Δmi
I = mr 2
m = ∑ Δmi

v

r
rem: unité s.i. de
I est kg.m2
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
ω
Moment d’inertie (suite)
Ex 3. Disque en rotation

 
J = ∑ Δmi ri ∧ v
i


J = ∑ Δmi ri 2ω
i
→
i
où

ri
m = ∑ Δmi
et
i
I disque = ∑ Δmi ri 2 =
i

vi
Δmi
1
mr 2
2
r = max i r i
Autres exemples
Cylindre :
Sphère :
1
mr 2
2
2
= mr 2
5
I cylindre =
I sphère
etc…


J =Iω
Lequel de ces mouvements
est le plus difficile ?
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22
2.6 Moments angulaires orbital et intrinsèque
Si un objet tournant sur lui-même est en révolution autour d’un centre O,
  
on peut décomposer :
où
et


 
L = m rG ∧ vG
J = L+S
est le moment angulaire orbital
O
S est le moment angulaire par rapport au C.I. G de l’objet.

rG

vG
m

Dans le cas des particules élémentaires (électrons, protons, …) S est
appelé moment angulaire intrinsèque ou spin de la particule.
2.7 Rotation libre
Supposons

Γ tot = 0 .

d
J
Alors
=0
dt
(Avec p.ex.


J = I ω ).
Donc un objet étendu peut tourner sur lui-même en l’absence d’interaction extérieure
s’appliquant sur cet objet.
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23
Rotation libre (suite)

dJ
= 0 implique la conservation du moment angulaire. Supposons
dt


J =Iω
Conséquence remarquable : si, lors d’une rotation libre, le moment d’inertie varie au
cours du temps, la vitesse de rotation doit varier en raison inverse.
Applications classiques: patinage artistique, saltos, golf…
Autre application:
Nécéssité d’un rotor anti-couple dans la structure d’un
hélicoptère.
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2.8 Mouvement de précession
Lorsqu’une toupie, possédant un moment angulaire


S=Iω
est inclinée par rapport à la verticale, elle
 subit un moment




dS 
Γ tot = rG ∧ mg donc
= rG ∧ mg
dt



S
avec rG =
l
( rG =l)
Iω



dS  
mg
D’où
= Ω∧ S avec Ω = −
l
dt
Iω

Donc le vecteur S (donc l’axe de la toupie) tourne autour
mgl
de son point d’appui avec une vitesse angulaire: Ω =
Iω
de force:

S

mg

rG
l
Ce mouvement est appelé précession.
On le trouve également dans le contexte de la RMN (cf. plus loin) ou de l’astronomie…
Rem : il faut supposer
Ω << ω
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25
3. Le formalisme du potentiel
! 
3.1 Le travail d’une force
! 
3.2 Energie potentielle d’un objet ponctuel dans un champ de force
! 
3.3 Energie potentielle associée à une distribution de charges
! 
3.4 Potentiel électrique créé par une distribution de charges ponctuelles
! 
3.5 Relation force – énergie potentielle
! 
3.6 Energie cinétique et énergie totale
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26
3.1 Le travail d’une force
a) Travail d’une force ou d’un champ de force entre deux points A et B:
  
δW = F ( r ). dr
B
W AB =
∫
  
F ( r ). dr
Travail moteur
si: WAB > 0
Travail résistant si: WAB < 0
A
Exemple 1 : la force de pesanteur
€
 
= ∫€
P. dr =
B
WAB
A
zA
zB
∫ −mg dz = −mg(z
B
− zA )
zB
zA


Fr = −k x i
Exemple 2 : la force de rappel d’un ressort
B
W AB =
∫
A
 
Fr . dr =
€
xB
k 2
−k
x
dx
=
−
(x B − x A2 )
∫
2
xA
xA 0
€

−mg k
xB
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27
Exemple 3 : la force de Coulomb
B
W AB =
∫
 
Fc . dr =
A
rB
Qq
∫kr
rA
2
dr = kQq(
1
1
− )
rA rB
Q
q
0
rA

Fc
rB
€
€
Propriété (non démontrée) : dans les 3 exemples, le résultat du calcul de
WAB dépend uniquement des points A et B, mais pas du chemin suivi entre
A et B.
W AB
 
1
1
= ∫ Fc . dr = kQq( − )
rA rB
A−> B
Q
q
0
rA

Fc
rB
Définition : une force F est dite conservative si WAB(F) ne dépend que des
€
points de départ et d’arrivée, A et B.
€
" Les forces de pesanteur, d’élasticité et de Coulomb sont conservatives !
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28
3.2 Energie potentielle d’un objet ponctuel dans un champ de force
On suppose qu’un objet ponctuel est soumis à une force conservative F.
On définit alors la variation d’énergie potentielle de cet objet entre
deux positions A et B comme :
U F (B) − U F (A) = W BA
La fonction UF, appelée énergie potentielle de l’objet en question,
n’est donc définie qu’à une constante près.
€
(U F (B) + const) − (U F (A) + const) = W BA
Remarque: Pourquoi utilise-t-on l’adjectif « potentielle » ?
L’idée est que l’énergie « potentielle » exprime une « capacité » à être mis en
mouvement sous l’action de la force F.
Si€
WBA est positif, cela signifie que F favorise globalement le déplacement
de B vers A. Donc si WBA >0, alors en se déplaçant de A vers B on augmente
la capacité de l’objet en question à être mis en mouvement vers A par la force F.
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29
Exemple 1. Energie potentielle associée à la force de pesanteur:
W AB = −mg(z B − z A )
zA
U P (z B ) − U P (z A ) = W BA = −W AB = mg z B − mg z A
€
€
D’où
zB
U P (z) = mg z + const
En général on choisit cette constante égale à 0.
€
€
Exemple 2. De même on définira l’énergie potentielle d’un ressort:
k
= − (x B2 − x A2 )
2
W AB
U R (x B ) − U R (x A ) = W BA
D’où

−mg k
k x B2 k x A2
=
−
2
2
k x2
U R (x) =
+ const
2


Fr = −k x i
xA 0
xB
€
€
€
30
Exemple 3. Energie potentielle associée à la force de Coulomb
entre deux charges ponctuelles:
Q
W AB
1
1
= kQq( − )
rA rB
U F (rB ) − U F (rA ) = W BA =
€
0
U F (r) =
rA
rB
kQq kQq
−
rB
rA
D’où la définition usuelle de l’énergie potentielle électrique
d’une charge ponctuelle q dans le champ électrique créé par
une autre charge ponctuelle Q:
€
q
kQq
+ const.
r
Q
r
q
En général on choisit cette constante égale à 0.
Cette convention revient à choisir le zéro de l’énergie potentielle lorsque les
particules
Q et q sont infiniment éloignées.
€
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31
Si la charge Q n’est pas située à l’origine, mais repérée par le vecteur
position r0 la distance entre les deux charges s’exprime comme
|r-r0| et la fonction énergie potentielle de la charge q devient :
Q

kQq
U( r ) =  
| r − r0 |
€
r0
r-r0 q
r
O
En fait, cette fonction est symétrique par rapport à la permutation des 2
charges; pour r fixé et r0 variable cette fonction représente l’énergie potentielle
de la charge Q dans le champ électrique créé par q. En somme on peut
définir la fonction énergie potentielle d’une distribution de charges (q,Q).
kQq
 
U( r0 , r ) =  
| r − r0 |
En particulier on retrouve l’énergie potentielle de la charge q en pensant cette
expression seulement comme fonction des coordonnées de la charge en question.
€
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32
3.3 Energie potentielle d’une distribution de charges
La fonction énergie potentielle électrique à N charges s’écrit:
N N
qiq j
 

U( r1, r2 ,..., rN ) = k ∑ ∑  
i=1 j =1 | r j − ri |
q1
i< j
Le système est dit lié si U est négatif, (car il faut
€fournir l’énergie –U pour dissocier la structure).
Si U est positif, le système peut libérer une énergie
U en se dissociant si ses charges s’éloignent à l’infini.
rj
q2
Exemple : calculer l’énergie électrostatique de 4 charges placées
sur les sommets d’un carré de côté a :
q
a
-q
U =2
-q
q
€
q2
q2
q 2 1− 2 2
−4
= k 2(
)
a
a
a 2
2
U< 0. Cette structure est donc liée.
qj
3.4 Potentiel électrique créé par une distribution de charges
33
On suppose qu’un champ électrique E(r) est créé par une
distribution de charges donnée.
Définition : La différence de potentiel électrique entre le point B et
le point A, appelée également tension électrique entre B et A,
est le travail de la force électrique sur une charge unité (appelée
parfois « charge test ») lorsqu’elle se déplace de B à A :
B
 
V (B) − V (A) = W BA, q=1 = − ∫ A E ( r ).dr
Autrement dit, la différence de potentiel électrique entre
deux points est égale à la différence d’énergie potentielle
d’une charge unité entre ces deux points.
q=1 C
B
€
WBA = 1,5 J
L’unité de potentiel électrique est
le VOLT
A
1 V = 1 J C-1
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34
3.5 Relation Force - énergie potentielle
A dr B
a) Rappel :
B 


 
U F ( rB ) − U F ( rA ) = W BA = − ∫ F ( r ). dr
rA
rB
A
Si A et B sont très proches:
€
Alors :



rB = rA + dr


U F ( rA + dr) − U F ( rA ) =
€
= −(Fx dx + Fy dy + Fz dz)


dr = dx: i
dU F
Fx = −
dx
€ Antipolis - Année universitaire 2013-2014
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dU F = −Fx dx
€
  
W AB = F ( r ). dr
  
dU F = −F ( r ). dr
b) En une dimension spatiale, par exemple si
€
et
d’où :
35
c ) Exemples :
x2
U F (x) = k
2
U F (z) = mgz
U F (r) = k
Qq
r
€
€
Fx = −k x
⇒
Fz = −mg
Qq
r2
dU F
dx
UF(x)

F
 2 =0 

F3
F1
F
5
€

F4 = 0
€
Fr = k
⇒
Fx = −
Cas général à une variable :
€
⇒
Remarques:
x2 : point d’équilibre instable
x4 : point d’équilibre stable
€
€x1
x2 x3
x4
x
x5
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36
3.6 Energie cinétique et énergie totale
E c = 12 m v 2
a)  L’ énergie cinétique d’une particule de masse m :
Cette définition est motivée par le dévelopement théorique suivant:
Donc :

d 1  
dv   
( 2 m v. v) = m . v = Ftot . v
dt
dt
€

dEc  dr
= Ftot .
dt
dt
En intégrant cette expression on obtient le théorème de l’énergie cinétique:
B
B 
La variation d’énergie cinétique

entre les positions A et B égale
dEc = Ftot . dr
le travail des forces extérieures
A
A
entre ces deux positions.
(ext )
∫
∫
Ec (B) − Ec (A) = WAB
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37
b) Si les forces extérieures sont conservatives on a WAB = Uext (A) – Uext (B), soit
E c (B) − E c (A) = U ext (A) − U ext (B)
⇒ E c (B) + U ext (B) = E c (A) + U ext (A)
€
Donc on a obtenu la loi de conservation de l’énergie totale:
Si les forces extérieures sont conservatives,

la quantité E = 12 m v 2 + U( r ) est conservée au cours du temps.
où U(r) représente l’énergie potentielle associée a toutes les forces
extérieures agissant sur cette particule.
€
Exemple
1 : énergie totale d’une masse liée à un ressort
1
2
2
1
2
E = mv + k x


Fr = −k x i
2
x
0
€
€
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38
Exemple 2 : énergie totale d’une masse soumise à la pesanteur
et liée à un ressort
E = 12 m v 2 + 12 k (z − z 0 ) 2 + mgz
z0
z
g
€
Exemple 3 : énergie totale de N particules chargées en interaction
coulombienne:
N
E=
1
2
N
N
qiq j
m
v
+
k
∑
∑ ∑ | r − r |
j
i
i=1
i=1 j =1
2
i i
i< j
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€
39
4. Etude du dipôle électrique
! 
4.1 Définitions
! 
4.2 Champ potentiel du dipôle
! 
4.3 Forces sur un dipôle dans un champ électrique
! 
4.4 Dipôles dans la matière
! 
4.5 Condensateurs et diélectriques
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40
4.1 Définitions
On appelle dipôle électrique une distribution de charges constituée de
deux charges +q et –q placées en deux points.
-q
uˆ
A
+q
B
uˆ : vecteur unité
direction AB
2a
€
On y associe un moment dipolaire:
€

p = 2aq uˆ
(q > 0)
Il s’agit d’un vecteur:
-  qui est aligné sur la droite joignant les 2 charges
-  dont le sens va de la charge – à€
la charge +
-  dont on notera la norme par : p
- avec les unités : [p] = C.m (coulomb-mètre)
- ordre de grandeur : 2a = 10-10 m, q= 1,6 10-19 C => p = 1,6 10-29 C.m
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41
4.3 Force sur un dipôle dans un champ E constant
a) La force totale est nulle mais le dipôle est soumis à des moments de force.

E
-q




FA = −qE , FB = qE


FA + FB = 0
q
A€
O
B



Γ = OA ∧ FA + OB ∧ FB


= q(−OA ∧ E + OB ∧ E )

= q(AO + OB) ∧ E
Le couple de force tend
à aligner le dipôle et le champ E.

E
q
O
€
  
Γ = p∧ E
=>



Note :| OA ∧ FA | = | OA | × | FA | × sin(OA, FA )
-q
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€
42
b) Energie potentielle associée au dipôle dans le champ électrique:

E
-q

O p
€
€
θ
 
U(θ ) = − p. E = − pE cosθ
q
€
U(θ )
€
θ
€
€

p

E

E

p

p

E
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€
€
€
43
4.4 Dipôles dans la matière
a) Autour de nous la matière apparaît globalement neutre, mais
la présence de charges positives (p.ex. les noyaux atomiques) et négatives
(p.ex. les électrons) conduit à l’existence de distributions de charges dipolaires.
-  +
-  +
- - A
+ B+
- -- +
-  +
-  +
-  +
(Q+ =-Q-)
On généralise la notion de moment dipolaire [défini jusqu’ici pour une paire de charges (-q,+q)]
En considérant le vecteur:
p = Q+ AB ,
où AB est le vecteur qui joint les barycentres des charges négatives et
celui des charges positives, et Q+ est la charge positive totale.
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44
b) Moment dipolaire induit
" 
Atomes et molécules non polaires (p.ex. molécules diatomiques ou symétriques)
Distribution de charges (ou « nuage électronique »)
symétrique autour du noyau.


p =α E
2a
+
+
+
+
- +

E
€
€

p
-
α : coefficient de polarisabilité
H
He
C
Na
α (10 −40 cm 2 / V ) 0.73 0.23 1.7 30
K
CH 4
38
2.9
A.N. : si E= 106 V/m, pNa = 3 .10-33 C.m
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45
c) Moment dipolaire permanent
Celui-ci existe si les barycentres des charges + et – ne coïncident pas.
(la structure géométrique de la molécule n’est pas symétrique)
"  molécules polaires
Exemples:
HCl. le nuage électronique du H est légèrement déporté sur le Cl.
« Notation δ » : H − Cl pHCl = 3.4 10-30 C.m (>> pNa induit par 106 V)
δ+
δ−
H2O . Cas très important en biologie. pH2O = 6.2 10-30 C.m
€
note: la distance « 2a » est minuscule!
p
6.2 10−30
2a = =
= 3.9 pm
q 10 (1.6 10−19 )
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€
46
Un grand nombre de biomolécules possèdent aussi
des moments dipolaires permanents.
p.ex., acides aminés polaires:
(en particulier ceux dont le résidu est hydrosolubilisant)
Arg, Lys, Asp, Glu, Asn, Gln,…
€
+δ
+δ
−δ
En présence d’un champ électrique, les molécules polaires se manifestent
par une polarisabilité plus forte que celle des molécules
non polaires:
€
€


p =α E
On a de nouveau :
α : coefficient de polarisabilité
Ici la polarisabilité n’est pas due en premier lieu à la déformation du
nuage électronique sous l’effet du champ électrique (cf. dipôle induit);
elle est engendrée par l’orientation moyenne des dipôles permanents
€ dans la direction du champ électrique.
qui ont tendance à s’aligner
(" α d’une molécule polaire diminue avec la température)
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4.5 Condensateurs et diélectriques
47
a) Rappels sur le « dipôle condensateur »

E
Q = CV
+
+
C : capacité du condensateur
+
(vide)
εS
1
1
+€
C = 0 , ε0 =
=
S.I.
d
4 πk 36 π 10 9
Q
-Q
[C] = F (farad) ou pF= 10-12 F
+ V Symbole électrique:
Énergie emmagasinée dans
un condensateur :
W = 12 CV 2
NB. (rappel) : ε0 est appelé permittivité ou constante diélectrique du vide.
€
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48
b) Condensateur rempli de diélectrique


+ - E" < E
+ + + + + + + €
-Q
Q
-  +
-  +
-  +
-  +
Q = CV = C"V "
E " < E ⇒ V " < V ⇒ C" > C
€
On définit la constante diélectrique εr
(ou permittivité relative ) par :
C"
= ε r ≥1
C
Rem: V " = V /ε r
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€
49
Valeurs expérimentales de constantes diélectriques:
Matériaux diélectriques
Constante diélectrique εr
Air
1.00059
Eau (vapeur, 100°C)
1.008
Eau (liquide, 20°C)
80
Verre
4
Méthanol
33
« L’eau divise les forces
électrostatique d’un
facteur 80 »
Remarques:
- On définit la permittivité d’un matériau par le coefficient ε = ε0εr
- Lorsque le courant est alternatif (i.e. potentiel électrique oscillant)
la constante diélectrique dépend également de la fréquence de ce courant.
εr = εr(ν)
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5. Conduction électrique
! 
5.1 Introduction
! 
5.2 La loi d’Ohm
! 
5.3 Circuits électriques
! 
5.4 Modèle classique des électrons libres
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50
51
5.1 Introduction
Parmi les matériaux on oppose souvent 2 groupes:
- Les diélectriques : matériaux ne disposant pas de charge libre mais
sujets au phénomène de polarisation (ch. 4)
-Les conducteurs : matériaux possédant des charges libres et pouvant
se laisser traverser par un courant.
L’étude de ces matériaux rentre dans 2 cadres différents :
- Electrostatique
- Electrocinétique : « étude des phénomènes relatifs aux charges en
mouvement »
Exemples de charges pouvant être mises en mouvement:
- Électrons dans certain types de cristal (métal)
- Ions dans un solution aqueuse (électrolyte)
- Électron ou ions dans le vide (tubes cathodiques, accélérateurs)
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52
5.2 La loi d’Ohm
La loi d’Ohm décrit le phénomène général du déplacement des charges
dans un élément conducteur sous l’effet d’un champ électromoteur.
Soit UA-UB > 0 la d.d.p. aux bornes du conducteur caractérisé par une
résistance RAB. Alors ce conducteur est parcouru par un courant I tel que:
I
I
UA
UB
RAB
€
U A −U B = RAB I
unité de [R] = Ω (ohm) €
U = (U A −U B )
Rappel: UA-UB représente le travail de la force électrique lorsqu’une
€ charge d’un coulomb se déplace de A à B.
La loi d’Ohm exprime que pour maintenir un courant constant dans l’élément
conducteur il faut apporter en permanence de l’énergie électrique aux charges ;
2
La puissance consommée est alors : P = (U A −U B )I = RAB I =
(U A −U B )2
RAB
53
5.3 Les lois de Kirchoff
Loi des nœuds (conservation du courant) : la somme algébrique des
courants qui arrivent sur un nœud du réseau s’annule..
Loi des mailles (conservation de l’énergie électrique) : la somme
algébrique des tensions le long d’une maille (circuit fermé)
du réseau s’annule.
Exemple d’application: résistance équivalente de deux résistances
en parallèle.
I = I1 + I2 =
U1,I1
I
R1
R2
€
U 2 ,I2
€
€
€
U1 U 2
+
R1 R2
U1 − U 2 = 0
U = U1 = U 2 = Req I
⇒
1
1
1
=
+
Req R1 R2
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€
€
54
5.4 Modèle classique des électrons libres
(Modèle de Drude, ~1900)
Objectifs : (i) comprendre l’origine microscopique de la loi d’Ohm;
(ii) caractériser la conductivité d’un matériau en fonction d’autres
paramètres fondamentaux du matériau.

E
a) Hypothèses:
e-
€

i
- N0 électrons par unité de volume dans un milieu de particules
ponctuelles. Il n’y a pas d’interaction entre les e- mobiles. (« gaz d’e- »)
€
-Description par la mécanique classique (pas d’effet quantique)
-En l’absence de champ électromoteur, les e- ont une vitesse moyenne
(vectorielle) nulle.
- Les collisions subies par les e- résultent en une force de frottement
visqueux Fvisq, = −β v où β est un coefficient de viscosité.
55
b) Avec ces hypothèses, l’équation de la dynamique d’un « électron

moyen », de charge –e, s’écrit (appliquer le PFD dans la direction // i ) :



dv

m
= eE − βv, avec v = v i et E = −E i
dt
€ bille) qui
Cette équation est analogue à celle d’un objet (p.ex. une petite
tombe dans un liquide visqueux :
-β v
€
dv
m
= mg − βv
mg
dt
z
Dans les deux cas la vitesse atteint une valeur stationnaire qui est telle
que dv/dt =0.
€La vitesse de dérive des électrons dans le conducteur atteint la valeur stationnaire:
eE
v0 =
NB: τ=m/β peut être interprété
comme un temps moyen entre
deux collisions d’un électron.
β
= acceleration × temps =
eE m
m β
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€
dv 1
L’équation dynamique pour v devient:
= (v 0 − v)
dt τ
Il s’agit d’une équation différentielle du 1ère ordre dont la solution s’écrit:
t
v(t; E ) = v 0 (1− exp(− ))
τ
€
où
v0 =
€
€
eE
m
, τ=
β
β
kB T
D
où T est la température et D le coefficient de diffusion, [et en général D=D(T)]
la vitesse de dérive peut également s’écrire:
c) En utilisant l’équation d’Einstein : β =
v0 =
eE D
kB T
€
et aussi:
τ=
mD
kB T
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€
€
56
57
c) Retrouver la loi d’Ohm. Définir résistivité et conductivité électriques.
Supposons que les e- avancent dans un conducteur de section S:
S
v 0 .1
I
€
S
€
B
A
Le volume balayé par S en une unité de temps
est S v0.
La quantité de charge qui passe par S en
une unité de temps est donc (le courant) : I = N 0 e S v 0
eE D
N0 e2 S D
or v 0 =
⇒I=
E
kB T
kB T
€
U A −U B
U
N 0 e2 D S
E=
=
⇒ I=
U
et
LAB
LAB
k BT
LAB
Conclusion : I et U sont bien proportionnels:
I=
U
R
avec
R=
kBT LAB
N 0e2 D S
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Donc :
" k T
R = $ B2
# N 0e D
%" LAB %
'
'$
&# S &
58
= (facteur phys.) x (facteur géom.)
Remarques:
€
- On définit aussi la résistivité électrique par :
ρ=
kB T
N 0e 2 D
- Pour un solide cristallin D=D(T) ne varie pas beaucoup avec T et
la résistivité électrique augmente avec la témpérature T.
€
- Pour les électrolytes, les électrons sont remplacés par les
ions positifs et négatifs, et D(T) augmente vite avec T.
On observe dès lors que la résistivité diminue avec la température.
- La résistance ohmique R est proportionnelle à la longueur des conducteurs et
est inversément proportionnelle à leur section.
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6. Oscillateurs
! 
6.1 Introduction
! 
6.2 Etude de l’oscillateur harmonique
! 
6.3 Oscillateur harmonique et amorti
! 
6.4 Oscillateur amorti et entretenu
! 
6.5 Oscillateurs couplés
59
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6.1 Introduction
Certains systèmes physiques admettent les caractéristiques suivantes:
- Ils possèdent une position d’équilibre stable;
- Une fois déplacé de cette position le système présente des
oscillations périodiques autour de cette position d’équilibre;
- Les oscillations s’atténuent dans le temps à moins qu’elles ne soient
entretenues par une force périodique.
Exemples :
- Une masse liée à un ressort
- Un pendule (masse suspendue sur un fil que l’on déplace de la verticale)
- Un pendule à torsion (masse suspendue sur un fil que l’on fait tourner)
- Un circuit (R)LC
- Une molécule diatomique en vibration (H-H)
- Objet flottant qui oscille à la surface d’un liquide
etc…
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60
61
6.2 Etude de l’oscillateur harmonique
a) Définition: un oscillateur harmonique est un système dynamique dont
l’équation du mouvement peut se mettre sous la forme suivante:
d2x
= −ω 02 x
2
dt
où ω0 est une constante positive
appelée pulsation propre de l’oscillateur
Exemple 1 :
Masse liée à un ressort.
PFD:
donc
d2x
= −k x
dt 2
d2x
= −ω 02 x,
2
dt


Fr = −k x i
m
x
k
avec ω =
m
2
0
0
€
62
Exemple 2: petites oscillations d’un corps solide
dθ
J = I O ω,
ω=
dt


dJ 
= rG ∧ mg
dt
d 2θ
IO 2 = −rG mgsin θ
€
dt
O
θ

rG

mg
Approximation des petits angles :
sin θ ≈ θ
Donc
si
| θ |<< 1 rad
d 2θ
= −ω 02 θ
2
dt
avec
ω 02 =
rG mg
IO
Exercice: montrer que pour un pendule (masse ponctuelle suspendue
à l’extrémité d’une ficelle de longueur l)
ω 02 =
g
l
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63
b)  Oscillations libres d’un oscillateur harmonique.
Trouver une solution de l’équa-diff:
Poser:
d2x
= −ω 02 x
2
dt
f (t) = A sin(ω 0 t + φ )
df
= ω 0 A cos(ω 0 t + φ )
dt
d2 f
⇒ 2 = −ω 02 A sin(ω 0 t + φ )= −ω 02 f
dt
⇒
Donc f (t) = A sin(ω 0 t + φ ) est une solution possible de l’équation différentielle.
On peut démontrer mathématiquement que c’est la solution la plus générale.
Elle dépend de 2 paramètres A et φ qu’il faut déterminer en fonction des données
du problème.
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64
Illustration:
x(t) = A sin(ω 0 t)
T=
2π
ω0
(×T )
Conclusions : on a montré que les variables (p.ex. position
€ du bloc
lié au ressort, ou angle pour le pendule) d’un oscillateur harmonique,
effectuent des oscillations périodiques sinusoïdales
€ au cours du temps.
On les appelle oscillations harmoniques et elles s’écrivent:
x(t) = A sin(ω 0 t + ϕ )
-  A est l’amplitude des oscillations, qui est fixée par l’énergie du système.
- ω0 est appelé la pulsation propre de l’oscillateur.
€
Propriété remarquable:
la pulsation de cet oscillateur ne varie pas avec A.
- ϕ est la phase. Elle dépend du choix des conditions initiales.
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65
6.3 Oscillateur harmonique amorti
On considère une masse liée à un ressort et soumise à une force
de frottement visqueux :


Fv = −β v
€
x


Fr = −k x i
0
Soit:
€
d2x
dx
=
−
β
−kx
dt 2
dt
d2x
dx
β
k
= −γ
− ω 02 x, avec γ =
et ω 02 =
2
dt
dt
m
m
m
La solution générale de cette équation différentielle est donnée par:
x(t) = C1e p1 t + C2e p 2 t €
où C1 et C2 sont des constantes arbitraires et
p1 et p2 sont les racines de l’éq. de 2nd degré:
p 2 + γ p + ω 02 = 0
€
→ p1,2 = −
γ
γ
± ( ) 2 − ω 02
2
2
€
γ 2 66
ω =ω −( ) >0
2
Des oscillations amorties pseudo-périodiques ont lieu si :
Dans ce cas:
x(t) = A e
γ
− t
2
2
1
2
0
sin(ω1t + ϕ )
- L’amplitude des oscillations décroît exponentiellement au cours du temps
€
- Dans ce système on observe deux échelles de temps:
€ d’amortissement, défini par τ = 2/γ (diminution d’un facteur e-1)*
(i)  Le temps
(ii)  La pseudo-période, définie par T1 = 2π/ω1.
e
γ
− t
2
(γ = 0.3)
2π
ω1
(τ / T1 ≈ 7)
T1 =
€
( × T1 )
€
On définit aussi le nombre Q = ω0 /γ appelé facteur de qualité de l’oscillateur.
En particulier le facteur de qualité est grand €
lorsque l’amortissement est faible.
Dans ce cas on dit que l’oscillateur est un résonateur (cf. section suivante).
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67
6.4 Oscillateur harmonique amorti et entretenu
a)  Lorsqu’un oscillateur est amorti on peut encore obtenir des oscillations
périodiques en soumettant le système à un forçage périodique F(t).


Fv = −β v


F (t) = F sin(ωt) i


Fr = −k x i
x
€
€
d2x
dx
= −β
− k x + F sin(ωt)
2
dt
dt
d2x
dx
F
+γ
+ ω 02 x = sin(ωt)
2
dt
dt
m
m
0
€
Il existe alors un régime entretenu avec des oscillations de fréquence
identique à celle du forçage périodique :
€
x(t) = A sin(ωt + ϕ )
Cependant ici A et ϕ ne sont pas arbitraires, mais des fonctions de ω:
F
€1
(ω 2 − ω 02 ) 2 + ω 2γ 2 m
A(ω ) =
tan ϕ (ω ) =
ωγ
ω − ω 02
2
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€
€
68
b)  Analyse de l’amplitude des oscillations et résonance.
Si la force F était constante, on aurait une amplitude stationnaire
F
d2x
dx
F
comme suit:
x s = As =
(car
+γ
+ ω 02 x = )
2
2
mω 0
dt
dt
m
0
Donc le facteur d’amplification dû au forçage périodique est en fait:
A
ω 02
=
€
As
(ω 2 − ω 02 ) 2 + ω 2γ 2
€
€
ω0
(= Q)
γ
Q = 10
Q=2
€
€
€
Δω
γ
1
=
=
ω0 ω0 Q
Un phénomène de
résonance a lieu
lorsque Q>>1.
Dans ce cas l’amplitude
devient maximale
en fonction de ω,
dans un petit interval
[ω0-γ/2 , ω0+γ/2]
(bande passante du
résonateur).
69
Exemple d’application du phénomène de résonance
(tiré de A. BOUYSSY, M. DAVIER, B. GATTY, Belin 1987)
Le corps humain est susceptible de vibrer
sous l’action d’une force extérieure,
les fréquences propres allant de 2 à 80 Hz environ.
" A protéger grâce à des suspensions ou
amortisseurs…
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Sources et crédits
- 
« Physique pour les sciences de la vie, tome 1 à 3 », A. Bouyssy, M. Davier et
B. Gatty, (ed. Belin, 1988)
- 
Physique,1ière S, et terminale, Collection Parisi, (ed. Belin, 2006)
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