Mathématiques Générales, 1ère année Premier semestre Algèbre
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Mathématiques Générales, 1ère année Premier semestre Algèbre Groupes Théorèmes d'homomorphismes; actions de groupes, théorèmes de Sylow et applications, exemples des groupes symétriques et linéaires Anneaux Anneaux et idéaux (restes chinois, localisation), Bases de Groebner, éléments entiers sur un anneau, Indépendance algébrique et normalisation de Noether, Théorème des zéros de Hilbert. Exemples à traiter : anneaux des polynômes d'une et plusieurs variables, anneaux des entiers (p-adiques). Modules (parties libres et génératrices, modules de type fini, lemme de Nakayama), modules sur les anneaux principaux, anneaux et modules noethériens (transfert de Hilbert). TD: spectre et topologie de Zariski, anneaux locaux, suites exactes (exactitude de Hom, suites scindées, lemme du serpent et des cinq), fonction et polynôme de Hilbert, bases et degré de transcendance. Algèbre tensorielle sur un corps Produit tensoriel (construction, propriété universelle, isomorphismes naturels). Propriétés du produit tensoriel (produit tensoriel d'applications, sommes directes, exactitudes), Puissances extérieures, Puissances et algèbres symétriques. TD : restriction et extension des scalaires, retour aux représentations linéaires des groupes finis. Analyse - Espaces normés: exemples, normes équivalentes, applications linéaires, isométries, espace dual, prolongement Hahn-Banach, cônes tangent et normal. - Ensembles et fonctions convexes: propriétés, semi-continuité, critères de convexité, jauge, séparation Hahn-Banach, corollaires, sous-différentiel. - Topologies faibles: topologie induite, topologies faible et faible* et leurs propriétés, convergence faible, théorème de Banach-Alaoglu, espaces séparables. - Espaces de Banach: exemples, borne uniforme, principes de minimisation approchée, application ouverte, graphe fermé, le bidual, espaces réflexifs, compacité faible, la méthode directe, convexité uniforme, dualité des espaces de Lebesgue. - Espaces de Hilbert: projection, théorème de Riesz, orthogonalité, théorème de Bessel- Parseval, bases hilbertiennes, éléments de la théorie spectrale, opérateurs compacts. Géométrie Courbes Courbes paramétrées : régularité, forme locale, courbes enveloppes. Propriétés métriques des courbes : longueur, courbure, torsion. La formule de Green-Riemann : formes différentielles et intégration. Propriétés globales des courbes : indice de rotation, théorème de Jordan, inégalité isopérimétrique. Surfaces Surfaces paramétrées : régularité, position par rapport au plan tangent, intersection. Aspects métriques : première forme fondamentale, aire, isométrie. Courbure : application tangente, courbures principales, Theorema Egregium. Courbes remarquables sur les surfaces : courbes asymptotiques, lignes de courbure, géodésiques. Le théorème de Gauss-Bonnet : formule de Harriot, trièdre de Darboux, théorème de Gauss-Bonnet. Sous-variétés Sous-variétés, morphismes, espaces tangents, champ de vecteurs et formes différentielles, différentielle extérieure, orientation, formule de Stokes. Second semestre Analyse appliquée aux équations aux dérivées partielles - Théorie avancée de la mesure. Mesure de Hausdorff. Variétés et ouverts lipschitziens. Théorème flux-divergence. Formule de la co-aire et applications. - Généralisation de la notion de fonction. Mesures de Radon, dérivées généralisées. Introduction à la théorie des distributions. - Analyse de Fourier dans L² et l'espace de Schwartz. Retour sur la résolution des équations linéaires par analyse de Fourier. - Espaces de Sobolev. Théorème de différentiation de Lebesgue. Les grands théorèmes. - Formulation faible des problèmes aux limites. Théorie spectrale des équations elliptiques et applications aux problèmes d'évolution. Retour sur la séparation des variables. - Equations de transport. Arithmétique et combinatoire L’objectif est de présenter les idées et méthodes fondamentales de la théorie analytiques des nombres et de combinatoire énumérative. Le contenu du cours devrait faire partie du bagage de tout étudiant désirant poursuivre leurs études en Master 2 de mathématique; il sera aussi utile à ceux qui ont l’intention de continuer leurs études en cryptographie, théorie de codage et informatique théorique. Prérequis : Il est préférable que les étudiants ont déjà suivi un semestre de cours d’Algèbre au niveau de Licence comme celui d’Algèbre et Théorie des Nombres en Licence 3 de l’UCBL. Quelques notions rudimentaires de MAPLE seront aussi utiles. Programme : Dénombrement de classes d’applications et mots; nombres binomiaux et multinomiaux; compositions et partitions d’un entier. Fonctions génératrices: définitions et exemples; séries formelles. Le principe d’Inclusion-Exclusion. Formule d’inversion de Möbius. Nombres de Bernoulli, formule sommatoire d’Euler-Maclaurin et applications. Structure de Z/nZ, racines primitives, racines carrées dans Z/nZ, logarithme discret, symbole de Legendre, méthode de calcul. Distribution des nombres premiers, fonction zeta de Riemann Produit eulérien, fonctions arithmétiques. Courbes elliptiques et factorisation. Application en cryptographie à clés publiques. Partitions d’ensemble; nombres de Stirling et de Bell. Théorie de Polya. Récurrences; linéaires avec coefficients constants; récurrences non-linéaires; nombres de Catalan, problème de scrutin. Méthode symbolique pour des structures non étiquetées: classes combinatoires; constructions et leurs fonctions génératrice; compositions revisitées, mots, arbres et chemins. Méthode symbolique pour des structures étiquetées: fonctions génératrices exponentielles; classes étiquetées et constructions; graphes, partitions d’ensemble revisitées. Formule d’inversion de Lagrange, extraction de coefficients de fonctions génératrices et leurs comportements asymptotiques. Faute de temps, certains thèmes pourraient être étudiés dans le cadre d’un TER. - Éléments de modélisation déterministe et aléatoire L'objectif est de se familiariser avec quelques modèles classiques, aux domaines d'application variés, et de voir quelques méthodes simples permettant leur simulation sur ordinateur. I. Modèles déterministes 1) Équations différentielles ordinaires. Équations d'Euler--Lagrange en mécanique, exemple du pendule simple. Équation de van der Pol en électricité. Équation logistique, équations de Lotka-Volterra en dynamique des populations. Comparaison avec les modèles discrets. Schéma d'Euler. Portraits de phase. 2) Équations aux dérivées partielles. - Équation de Poisson en électrostatique. Équations des fluides parfaits incompressibles et irrotationnels (potentiel, fonction de courant). - Équation de transport. Équation des cordes vibrantes. Équation de continuité en mécanique des fluides, application au trafic routier. - Équation de la chaleur. Équations de réaction-diffusion en biologie. Simulation par différences finies. Conditions aux limites de Neumann et de Dirichlet. II. Modèles aléatoires 1) Méthodes de simulation de variables aléatoires: fonction de répartition, méthode du rejet, etc... Méthode de simulation de chaînes de Markov. Méthode de Monte-Carlo pour le calcul approché d'intégrale. 2) Modèles probabilistes classiques - Marche au hasard. Illustration du comportement asymptotique; simulation du mouvement Brownien. - Modèles simples de dynamique des populations : Processus de Galton-Watson. Ebauche d'étude et simulation. - Absence de mémoire de l'exponentiel; processus de Poisson. Modèles de file d'attente. Méthode de simulation. 3) Statistique. Illustration du théorème de la limite centrale: intervalle de confiance, méthode du Bootstrap. Tests. Equations différentielles ordinaires – – Théorème de Cauchy-Lipschitz ; flot. Théorème de prolongement. Barrières et pièges. Equations différentielles autonomes, portrait de phase. - Equations différentielles linéaires. Résolvante. - Stabilité de l’équilibre, théorie de Lyapunov. Ensembles-limite. – Equations différentielles dans le plan. Théorème de Poincaré- Bendixon. Indice. – Equations linéaires aux coefficients périodiques. – Application de Poincaré. Stabilité des orbites périodiques. – – Introduction aux bifurcations. Théorèmes de Grobman-Hartman et sous-variétés invariantes. Stabilité structurelle. Groupes classiques et géométrie Ce cours présente une collection importante d'exemples de problèmes où la théorie des groupes et la géométrie sont en interaction. Ces exemples ont été choisis pour s'intégrer dans le cadre de lecons à l'oral du CAPES et de l'agrégation. On commence par des rappels et compléments sur les groupes linéaires, avant de passer à l'étude des groupes classiques, c'est-à-dire des groupes d'automorphismes de formes linéaires. On montrera comment la géométrie permet de mieux connaitre les propriétés topologiques (sur R et C), ou combinatoires (sur un corps fini) de ces groupes et inversement comment ces groupes permettent de résoudre de façon simple et élégante les problèmes classiques de géométrie. Pour ce dernier point nous utiliserons tout au long du cours la notion d'action de groupe, d'orbite et d'invariant d'action qui fournissent des outils puissants sur l'ensemble de la géométrie. Programme : - Groupes topologiques, actions de groupes et espaces homogènes. Application à l'étude des morphismes, endomorphismes et formes quadratiques dans un espace vectoriel sur un corps k. - Les groupes linéaires et leurs sous-groupes remarquables; formes bilinéaires et formes hermitiennes, groupes orthogonaux, unitaires, symplectiques. - L'exponentielle de matrices et ses applications; notion de groupe à un paramètre. Algèbres de Lie et relations avec les groupes. - Etude des isomorphismes exceptionnels entres groupes classiques. Corps des quaternions. - Etude détaillée de quelques exemples d'applications en géométrie affine et en géométrie projective. Introduction à la Topologie Algébrique Surfaces de Riemann Surfaces de Riemann : CP¹, tores, courbes algébriques, fonctions holomorphes et méromorphes, applications entre surfaces de Riemann. Groupes fondamentaux et revêtements Groupes fondamentaux: homotopie des chemins, groupes fondamentaux, espaces simplement connexe, produits et rétract, théorème de Van Kampen. Revêtements (non-)ramifiés,relèvement des applications, applications propres (et holomorphes). Revêtement universel: groupes opérant proprement et librement, construction par recollement, automorphisme d'un revêtement, revêtement universel, classification des revêtements. Fonctions algébriques Fonctions algébriques:classification des revêtements d'un disque épointé, prolongement analytique, fonctions algébriques, séries de Puiseux. Topologie des surfaces Triangulation, genre, caractéristique d'Euler-Poincaré, formes holomorphes et méromorphes, Théorème de Riemann-Hurwitz. Probabilités et modèles aléatoires Le but de ce cours est d'une part d'introduire ou d'approfondir les notions fondamentales de probabilités (formalisme de Kolmogorov, théorèmes limites, espérance conditionnelle), d'autre part de commencer l'étude des processus stochastiques à temps discret (martingales et chaînes de Markov). Bien que le cours ne présuppose pas de connaissance en probabilités, les élèves ayant suivi un module de probabilités en L3 auront plus de facilités à l'assimiler. Programme: - Rappels rapides du formalisme des probabilités et des théorèmes-limites (loi des grands nombres, théorème central limite). - Marches aléatoires dans Z^n. - Espérance conditionnelle. - Martingales à temps discret (théorèmes de convergence). - Chaînes de Markov. Théorie de Galois Théorie des corps : extensions de corps, éléments algébriques, théorème de l'élément primitif, corps de décomposition, corps finis, racines de l'unité, extensions galoisiennes et correspondance de Galois, discriminant d'un polynôme, groupe de Galois et réduction modulo p. Applications : extensions de Kummer, résolution des équations par radicaux, l'équation générale de degré n. TD : construction à la règle et au compas, existence d'une base normale. Théorie algébrique des nombres Anneau des entiers d'un corps de nombres, Théorème des unités de Dirichlet, théorème de Hermite-Minkowski. TD : corps quadratiques, sommes de Gauss, réciprocité quadratique, cas particuliers du théorème de Kronecker-Weber.
