Angles et parallélisme Exercices corrigés

Angles et parallélisme
Exercices corrigés
Sont abordés dans cette fiche :












Exercice 1 : montrer que deux angles sont complémentaires
Exercice 2 : trouver l’angle complémentaire à un angle
Exercice 3 : montrer que deux angles sont supplémentaires
Exercice 4 : trouver l’angle supplémentaire à un angle
Exercice 5 : angles aigus et obtus
Exercice 6 : angles adjacents
Exercice 7 : angles opposés par le sommet
Exercice 8 : angles alternes-internes et angles correspondants
Exercice 9 : angles formés par deux droites parallèles et une droite sécante
Exercice 10 : angles de même mesure et parallélisme de deux droites
Exercice 11 : somme des angles dans un triangle
Exercice 12 : cas particuliers du triangle rectangle, du triangle isocèle et du triangle équilatéral
Rappel : Dénomination d’un angle
En général, on utilise trois lettres pour nommer un
Sommet de l’angle
angle. La lettre centrale désigne alors le sommet.
A droite, est représenté l’angle ̂ , que l’on peut
Demi-droite
aussi noter ̂ .
Demi-droite
Remarque : Cependant, une seule lettre peut suffire
s’il n’y a aucun risque de confondre.
Ainsi, à droite sont représentés l’angle ̂ en orange,
l’angle ̂ en bleu et l’angle ̂ en rouge.
On peut noter de 3 manières différentes l’angle ̂ .
̂
̂
̂
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Exercice 1 (1 question)
Niveau : facile
Dans chaque cas, dire si l’angle bleu et l’angle rouge sont complémentaires.
1)
2)
3)
4)
Correction de l’exercice 1
Rappel : Angles complémentaires
Deux angles ̂ et ̂ sont complémentaires si la somme de leurs mesures est égale à
̂
̂
, c’est-à-dire si
. Autrement dit, si la somme de leurs mesures est égale à la mesure d’un angle droit.
1) L’angle rouge mesure
La somme des angles est égale à
2) L’angle rouge mesure
et l’angle bleu mesure
. La somme de ces angles est donc
.
donc les angles sont complémentaires.
et l’angle bleu mesure
La somme des angles n’est pas égale à
. La somme de ces angles est
.
donc les angles ne sont pas complémentaires.
3) L’angle bleu mesure
et l’angle rouge mesure
. La somme de ces angles ne peut pas être égale à
car la mesure de l’angle bleu, à elle seule, est déjà supérieure à
.
Il n’est pas toujours
Les angles ne sont pas complémentaires.
4) Dans ce cas, on ne dispose que d’une mesure d’angle, celle de l’angle droit gris.
La somme des mesures de l’angle bleu et de l’angle rouge est, par codage, égale à
complémentaires.
nécessaire
d’effectuer des
calculs !
donc les angles sont
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Exercice 2 (1 question)
Niveau : facile
Dans chaque cas, donner si possible la mesure d’un angle complémentaire à l’angle proposé.
1) ̂
2) ̂
3) ̂
Correction de l’exercice 2
1) On cherche un angle complémentaire à l’angle ̂ donc on cherche un angle ̂ tel que ̂
̂
Autrement dit, on cherche ̂ tel que ̂
.
L’angle de mesure
est complémentaire à l’angle de mesure
2) On cherche un angle ̂ tel que ̂
̂
̂
.
.
. On cherche donc ̂ tel que ̂
̂
Cette mesure d’angle est négative donc il n’existe pas d’angle complémentaire à l’angle de mesure
3) On cherche un angle ̂ tel que ̂
̂
. On cherche donc ̂ tel que ̂
L’angle de mesure est l’angle complémentaire à l’angle de mesure
droit sont complémentaires.
.
.
̂
.
. Autrement dit, l’angle nul et l’angle
Remarque : On pourra retenir qu’un angle obtus n’a pas d’angle complémentaire.
Exercice 3 (1 question)
Niveau : facile
Dans chaque cas, dire si les angles sont supplémentaires.
1)
2)
3)
4)
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3
Correction de l’exercice 3
Rappel : Angles supplémentaires
Deux angles ̂ et ̂ sont supplémentaires si la somme de leurs mesures est égale à
somme de leurs mesures est égale à la mesure d’un angle plat. On a donc : ̂
1) L’angle rouge mesure
.
et l’angle bleu mesure
La somme des angles n’est pas égale à
2) L’angle bleu mesure
3) L’angle rouge mesure
.
. La somme de ces angles est par conséquent
donc les angles ne sont pas supplémentaires.
et l’angle rouge mesure
La somme des angles est égale à
̂
, c’est-à-dire si la
. La somme de ces angles est
.
donc les angles sont supplémentaires.
et l’angle rouge mesure
La somme des angles n’est pas égale à
. La somme de ces angles est
.
donc les angles ne sont pas supplémentaires.
Remarque : On pourra retenir que deux angles aigus ne sont pas supplémentaires.
4) Dans ce cas, on ne dispose que d’une mesure d’angle, celle de l’angle plat gris.
La somme des mesures de l’angle bleu et de l’angle rouge est, par codage, égale à
supplémentaires.
Exercice 4 (1 question)
donc les angles sont
Niveau : facile
Dans chaque cas, donner si possible la mesure d’un angle supplémentaire à l’angle proposé.
1) ̂
2) ̂
3) ̂
Correction de l’exercice 4
1) On cherche un angle supplémentaire à l’angle ̂ donc on cherche un angle ̂ tel que ̂
̂
Autrement dit, on cherche ̂ tel que ̂
.
L’angle de mesure
est supplémentaire à l’angle de mesure
est supplémentaire à l’angle de mesure
.
.
2) On cherche un angle supplémentaire à ̂ donc on cherche un angle ̂ tel que ̂
̂
dit, on cherche ̂ tel que ̂
.
L’angle de mesure
̂
̂
. Autrement
.
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3) On cherche un angle ̂ tel que ̂
.
̂
. Par conséquent, on cherche ̂ tel que ̂
L’angle de mesure
est l’angle supplémentaire à l’angle de mesure
sont supplémentaires.
̂
. Autrement dit, deux angles droits
Exercice 5 (2 questions)
Niveau : moyen
Dans chacun des quatre cas ci-dessous, construire, si possible, l’angle décrit et dire s’il est aigu ou obtus.
1) Un angle complémentaire à un angle aigu.
2) Un angle complémentaire à un angle obtus.
3) Un angle supplémentaire à un angle aigu.
4) Un angle supplémentaire à un angle obtus.
Correction de l’exercice 5
Rappel : Angle aigu et angle obtus

Un angle aigu mesure entre
et
exclus.

Un angle obtus mesure entre
et
exclus.
1)
Construisons dans un
premier temps, en bleu, un
angle aigu.
Regardons dans un second
temps s’il existe un angle
complémentaire en
cherchant un angle ̂ tel
que ̂
.
Construisons ensuite cet
angle, en rouge.
Enfin, concluons.
L’angle obtenu est
un angle aigu.
̂
Il existe bien un angle
complémentaire de
mesure
.
Remarque : On pourra retenir que l’angle complémentaire à un angle aigu est un angle aigu.
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2)
Construisons dans un premier temps, en bleu, un
angle obtus.
Regardons dans un second temps s’il existe un angle
complémentaire en cherchant un angle ̂ tel que
̂
.
̂
Il n’existe donc pas d’angle complémentaire.
Remarque : On pourra retenir qu’il n’existe pas d’angle complémentaire à un angle obtus.
3)
Construisons dans un
premier temps, en bleu, un
angle aigu.
Regardons dans un second
temps s’il existe un angle
supplémentaire en
cherchant un angle ̂ tel
que ̂
.
Construisons ensuite cet
angle, en rouge.
Enfin, concluons.
L’angle obtenu est
un angle obtus.
̂
Il existe bien un angle
supplémentaire de mesure
.
Remarque : On pourra retenir que l’angle supplémentaire à un angle aigu est un angle obtus.
4)
Construisons dans un
premier temps, en bleu, un
angle obtus.
Regardons dans un
second temps s’il existe
un angle supplémentaire
en cherchant un angle ̂
tel que ̂
.
Construisons ensuite cet angle,
en rouge.
Enfin, concluons.
L’angle obtenu est
un angle aigu.
̂
Il existe bien un angle
supplémentaire
de
mesure
.
Remarque : On pourra retenir que l’angle supplémentaire à un angle obtus est un angle aigu.
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Exercice 6 (1 question)
Niveau : facile
Dans chaque cas, dire si les angles rouge et bleu sont adjacents. Lorsqu’ils ne le sont pas, justifier.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Correction de l’exercice 6
Rappel : Angles adjacents
Deux angles adjacents ̂ et ̂ sont deux angles qui :

ont le même sommet

ont un côté commun

se situent de part et d’autre de ce côté commun
Côté commun
Sommet commun
1) L’angle rouge et l’angle bleu ont le même
sommet et un côté commun et se situent de
part et d’autre de ce côté commun. Ainsi, ces
angles sont adjacents.
Sommet commun
Côté commun
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2) L’angle rouge et l’angle bleu ont le même
sommet mais pas de côté commun. Donc ces
angles ne sont pas adjacents.
Sommet commun
3) L’angle rouge et l’angle bleu n’ont pas le
même sommet donc ces angles ne sont pas
adjacents.
4) L’angle rouge et l’angle bleu ont le même
sommet et un côté commun et se situent de
part et d’autre de ce côté commun. Donc ces
angles sont adjacents.
Sommet commun
Côté commun
5) L’angle rouge et l’angle bleu ont le même
sommet et un côté commun et se situent de
part et d’autre de ce côté commun. Par
conséquent, ces angles sont adjacents.
6) L’angle rouge et l’angle bleu ont le même
sommet et un côté commun mais ils ne se
situent pas de part et d’autre de ce côté
commun. Donc ces angles ne sont pas
adjacents.
Sommet commun
Côté commun
Sommet commun
Côté commun
Exercice 7 (1 question)
Niveau : facile
Dans chaque cas, dire si les angles rouge et bleu sont opposés par le sommet. Lorsqu’ils ne le sont pas, justifier.
1)
2)
3)
4)
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Correction de l’exercice 7
Rappel : Angles opposés par le sommet
Deux angles opposés par le sommet sont deux angles qui :

ont le même sommet

ont leurs côtés dans le prolongement l’un de l’autre
Sommet commun
Remarque : Deux angles opposés par le sommet ont même mesure et sont symétriques par rapport au sommet.
1) L’angle rouge et l’angle bleu ont le même sommet. L’un des côtés de
l’angle rouge est dans le prolongement d’un des côtés de l’angle bleu,
mais le deuxième côté de l’angle rouge n’est pas dans le prolongement
de l’autre côté de l’angle bleu. Par conséquent, ces angles ne sont pas
opposés par le sommet.
Remarque : Observant que les angles ne sont pas de même mesure, on peut directement conclure que les
angles ne sont pas opposés par le sommet.
2) L’angle rouge et l’angle bleu ont le même sommet. De plus, ces angles
ont leurs côtés dans le prolongement l’un de l’autre donc ils sont
opposés par le sommet.
3) L’angle rouge et l’angle bleu ont le même sommet. L’un des côtés de
l’angle rouge est dans le prolongement d’un des côtés de l’angle bleu,
mais le deuxième côté de l’angle rouge n’est pas dans le prolongement
de l’autre côté de l’angle bleu. Par conséquent, ces angles ne sont pas
opposés par le sommet.
4) L’angle rouge et l’angle bleu ont la même mesure, d’après le codage.
Toutefois, ils n’ont pas le même sommet donc ces angles ne sont pas
opposés par le sommet.
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Exercice 8 (2 questions)
Niveau : facile
En utilisant la figure ci-contre,
1) nommer des angles alternes-internes formés par les
droites
et
et la sécante
2) nommer des angles correspondants formés par les
droites
et
et la sécante
Correction de l’exercice 8
Rappel : Angles alternes-internes et angles correspondants
Soient deux droites
sécante
et
coupées par une droite
.
Deux angles alternes-internes sont deux angles formés par
ces trois droites et :

qui n’ont pas le même sommet

qui sont de part et d’autre de la droite sécante

qui sont à l’intérieur de la bande délimitée par les
droites
et
Deux angles correspondants sont deux angles formés par
ces trois droites et :

qui n’ont pas le même sommet

qui sont du même côté de la droite sécante

dont l’un est à l’intérieur de la bande délimitée par
les droites
et
et dont l’autre est à l’extérieur
de cette bande
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1)
Les angles bleus ̂ et ̂ sont alternesinternes. En effet, ils n’ont pas même sommet, se
situent à l’intérieur de la bande grise et sont de part et
d’autre de la sécante verte.
Les angles bleus ̂ et ̂ sont alternesinternes. En effet, ils n’ont pas même sommet, se
situent à l’intérieur de la bande grise et sont de part et
d’autre de la sécante verte.
2)
̂ et ̂ sont
Les angles rouges
correspondants. En effet, ils n’ont pas même
sommet, sont du même côté de la sécante verte et l’un
se trouve à l’intérieur de la bande grise alors que
l’autre se trouve à l’extérieur de cette bande.
Les angles rouges ̂ et ̂ sont
correspondants. En effet, ils n’ont pas même
sommet, sont du même côté de la sécante verte et l’un
se trouve à l’intérieur de la bande grise alors que
l’autre se trouve à l’extérieur de cette bande.
Exercice 9 (1 question)
Niveau : moyen
On sait que :
 les droites
et
sont parallèles ;
 les points , et sont alignés dans cet ordre ;
 les points , et sont alignés dans cet ordre ;
 les points , et sont alignés dans cet ordre.
A l’aide des mesures portées sur la figure et des
informations données ci-dessus, donner la mesure des
angles ̂ , ̂ , ̂ , ̂ , ̂ et ̂ .
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Correction de l’exercice 9
Rappel : Parallèles, sécante et angles de même mesure
Si deux droites

et
sont parallèles et coupées par une droite sécante
, alors :
les angles alternes-internes qu’elles forment ont même mesure
Les angles bleus ont
la même mesure.
Les angles rouges
Droites parallèles
ont la même mesure.

les angles correspondants qu’elles forment ont même mesure
Les angles bleus
sont tous de même
mesure.
Les angles rouges
sont tous de même
mesure.

Calculons la mesure de l’angle ̂ .
Les droites
et
sont parallèles et elles sont coupées par
la droite
donc elles forment des angles correspondants de
même mesure.
Or, comme les angles ̂ et ̂ sont correspondants, il en
̂
résulte que ̂
L’angle ̂ mesure
.
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
Calculons la mesure de l’angle ̂ .
Les points , et sont alignés dans cet ordre donc l’angle ̂
est un angle plat. Autrement dit, ̂
.
En outre, les angles ̂ et ̂ sont adjacents car ils ont le même
sommet , le même côté commun
et se situent de part et
d’autre de ce côté commun.
̂
̂
Ainsi, ̂
(autrement dit, les angles ̂ et
̂ sont supplémentaires).
Par conséquent, en remplaçant par les mesures connues, on a :
̂
̂
̂

L’angle ̂ mesure
.
L’angle ̂ mesure
.
Calculons la mesure de l’angle ̂ .
Comme les droites
et
sont parallèles et coupées par la
droite
, elles forment des angles correspondants de même
mesure. Les angles ̂ et ̂ étant correspondants, on a :
̂
̂
L’angle ̂ mesure

.
Calculons la mesure de l’angle ̂ .
Les points , et sont alignés dans cet ordre. Par conséquent,
l’angle ̂ est un angle plat.
De plus, les angles ̂ et ̂ sont adjacents car ils ont le même
sommet , le même côté commun
et se situent de part et
d’autre de ce côté commun.
̂
̂
De ce fait, ̂
(ce qui signifie en d’autres
termes que les angles ̂ et ̂ sont supplémentaires).
Il s’ensuit, en remplaçant par les mesures connues, que :
̂
̂
̂

Calculons la mesure de l’angle ̂ .
Les angles ̂ et ̂ sont opposés par le sommet donc ils ont
̂
même mesure. On a donc ̂
L’angle ̂ mesure

.
Calculons la mesure de l’angle ̂ .
1ère méthode : Les points , et sont alignés dans cet ordre.
Donc l’angle ̂ est un angle plat.
Les angles ̂ et ̂ sont adjacents et supplémentaires puisque
̂
̂ ̂ . Il vient alors que :
̂ ̂
̂
L’angle ̂ mesure
.
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2e méthode : Les angles ̂ et ̂ sont opposés par le sommet
donc ils ont la même mesure.
̂
Par conséquent, on obtient ̂
L’angle ̂ mesure
.
3ème méthode : Les droites
et
sont parallèles et elles
sont coupées par la droite
; donc elles forment des angles
alternes-internes de même mesure.
Or, les angles ̂ et ̂ sont alternes-internes puisqu’ils n’ont
pas le même sommet, sont de part et d’autre de la droite sécante
et sont à l’intérieur de la bande délimitée par les droites
et
.
̂
Il en résulte que ̂
L’angle ̂ mesure
.
En résumé, on a :
Remarques :
 Il peut exister plusieurs démonstrations possibles.
Quelle que soit la méthode utilisée, il convient de
détailler la rédaction pour montrer au correcteur
que les savoirs (définitions, propriétés…) et les
savoir-faire sont parfaitement maitrisés.
 Il serait possible de calculer la mesure des angles
manquants, à savoir d’une part ̂ et d’autre part
̂ , en utilisant la formule de la somme des
angles dans les triangles
d’une part et
d’autre part.
Exercice 10 (1 question)
Niveau : facile
Dans chacun des quatre cas suivants, dire si les droites
1)
et
sont parallèles. Justifier.
2)
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3)
4)
Correction de l’exercice 10
Rappel : Parallèles, sécante et angles de même mesure (réciproque)

Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes-internes de même mesure, alors
ces droites sont parallèles.
Angles de même
mesure
La droite bleue
est parallèle à la
droite rouge.

Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles correspondants de même mesure, alors
ces droites sont parallèles.
Les droites rouge et
bleue sont
parallèles.
1) D’après le dessin, les angles ̂ et ̂ sont des
angles correspondants.
De plus, ̂ ̂
.
Ainsi, les droites
et
coupées par la
sécante
forment des angles correspondants de
même mesure.
Il s’ensuit que les droites
et
sont
parallèles.
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2) D’après le dessin, les angles ̂ et ̂ sont des
angles alternes-internes.
De plus, ̂ ̂ .
Ainsi, les droites
et
coupées par la
sécante
forment des angles alternes-internes de
mesures différentes.
Par conséquent, les droites
et
ne sont
pas parallèles.
3) Les points , et sont alignés dans cet ordre donc
les angles ̂ et ̂ sont des angles adjacents et
supplémentaires.
On a donc : ̂ ̂
d’où :
̂
̂
On a donc ̂ ̂
.
̂
Par ailleurs, les angles
et ̂ sont
correspondants.
En conséquence, les droites
et
sont
parallèles.
4) Les angles ̂ et ̂ sont opposés par le sommet
donc ils sont de même mesure.
Ainsi, on a ̂ ̂
On a donc finalement ̂ ̂
.
Or, les angles ̂ et ̂ sont des angles
correspondants.
Autrement dit, les angles ̂ et ̂ sont
correspondants et de même mesure.
Par conséquent, les droites
et
sont
parallèles.
Exercice 11 (2 questions)
Niveau : facile
En utilisant la figure ci-contre, calculer la mesure respective
des angles ̂ et ̂ puis en déduire celle de ̂ .
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Correction de l’exercice 11
Rappel : Somme des angles dans un triangle
Droite parallèle à
Dans un triangle, la somme des trois angles est
égale à
. On a : ̂
̂
̂
Autrement dit, les trois angles d’un triangle sont
supplémentaires.


1ère étape

2ème étape
3ème étape
Dans le triangle
, la somme Dans le triangle
, la somme Les angles ̂ et ̂ sont
̂
̂
̂
̂
̂
des angles
,
et
est des angles
,
et ̂ est adjacents.
égale à
.
égale à
.
On a donc :
̂ ̂ ̂
On a donc :
On a donc :
̂ ̂ ̂
̂ ̂ ̂
C’est-à-dire :
̂
̂
L’angle ̂ mesure
̂
.
C’est-à-dire :
̂
̂
L’angle ̂ mesure
̂
L’angle ̂ est un angle obtus
de mesure
.
.
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Exercice 12 (1 question)
Niveau : moyen
Dans chacun des six cas suivants, donner la mesure de tous les angles du triangle.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Correction de l’exercice 12
Rappel : Mesures d’angles dans un triangle isocèle
Si un triangle est isocèle, alors ses angles à la base sont égaux (les angles à
la base sont indiqués sur la figure en orange).
Réciproquement, si un triangle a deux angles égaux, alors il est isocèle.
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1)
D’après le codage de la figure,
̂
isocèle en . Ainsi, ̂
. Donc le triangle
est
.
En outre, la somme des angles d’un triangle est égale à
̂ ̂ ̂
. D’où :
̂
̂ ̂
2)
D’après le codage, le triangle
est isocèle en
̂.
On a donc ̂
Par ailleurs, d’après la figure, ̂
.
donc
car
.
Comme, dans un triangle, les angles sont supplémentaires, on a la
̂ ̂
relation suivante : ̂
.
̂ donc, en remplaçant, on a ̂
On vient de montrer que ̂
⏟
C’est-à-dire
̂
̂
̂
, soit
̂
̂
.
̂
. Il en résulte que ̂
. Finalement,
.
3)
D’après la codage de la figure, le triangle
est rectangle en .
̂
Donc
.
De plus, la figure indique clairement que ̂
.
La somme des mesures des angles d’un triangle étant égale à
,
̂
̂
̂
on a l’égalité suivante :
. Il s’ensuit
̂
̂
que : ̂
.
Rappel : Mesures d’angles dans un triangle équilatéral
Si un triangle est équilatéral, alors chacun de ses angles mesure
.
Réciproquement, si un triangle a trois angles égaux, alors il est équilatéral.
4)
D’après le codage, le triangle
est isocèle en et, par ailleurs, ̂
. Or, d’après une propriété du cours, si un triangle isocèle a un angle de
, alors il est équilatéral.
Par conséquent, ̂
̂
̂
.
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Rappel : Mesures d’angles dans un triangle rectangle isocèle
Si un triangle est rectangle isocèle, alors chacun de ses angles aigus
mesure
.
Réciproquement, si un triangle a deux angles mesurant
, alors il est
rectangle isocèle. De même, si un triangle rectangle a un angle mesurant
, alors il est rectangle isocèle.
5)
Le codage montre que le triangle
dit, ̂
. De plus, ̂
est rectangle en . Autrement
.
D’après une propriété du cours, si un triangle rectangle a un angle de
, alors il est rectangle isocèle.
Il en résulte que ̂
̂
.
6)
D’après la figure,
, ce qui signifie que le triangle
̂
isocèle en . Dès lors, il vient que ̂
.
D’après une propriété du cours, si un triangle a deux angles de
alors il est rectangle isocèle. Donc
est rectangle isocèle en .
Par conséquent, ̂
est
,
.
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