Les collisions approche élémentaire

Les collisions
approche élémentaire

Dans l’étude d’une collision, on ne s’intéresse pas au détail de l’interaction, mais seulement aux
caractéristiques de chacune des particules avant et après l’interaction. Le terme collision est à
prendre au sens large, il n’y a pas forcément un contact "physique" pour les objets (comète autour
du soleil ou déviation des charges électriques, etc.). On considère simplement deux corps avant
que les forces d’interaction soient significatives, puis, après rapprochement conduisant à des forces
significative.
Une collision sera ici vue sous sa forme la plus simple : deux points matériels sont en
interaction, sans aucune autre force extérieure appliquée à ce système.
Collisions
Collisions
101
101
VII. Collisions
1. Introduction
L’étude des collisions est une application très intéressante, et particulièrement instructive, des
lois de la mécanique concernant la quantité de mouvement et l’énergie cinétique. Il ne sera
pas fait appel ici aux autres notions vectorielles ou scalaires.
Dans l’étude d’une collision, on ne s’intéresse pas au détail de l’interaction, mais seulement
aux caractéristiques de chacune des particules avant et après l’interaction. Le terme collision
est à prendre au sens large, il n’y a pas forcément un contact "physique" pour les objets
(comète autour du soleil ou déviation des charges électriques par exemple). On considère
simplement deux corps avant que les forces d’interaction soient notables, puis, après
rapprochement conduisant à des forces significatives, à leurs nouvelles caractéristiques,
lorsque les interactions redeviennent négligeables.
Une collision sera ici vue sous sa forme la plus simple : deux points matériels sont en
interaction, sans aucune autre force extérieure appliquée à ce système (*).
Les deux seules forces en présence sont donc les actions réciproques :
12
F et 21 F avec
12 21 0FF
2. Conservation de la quantité de mouvement
Avant collision les quantités de mouvement sont respectivement notées :
1
p et 2 p
Après collision, elles deviennent :
1
'
p et 2
'
p
Il a été établi dans le chapitre "Principes fondamentaux de la dynamique : application" que
dans le cas où il n’y a pas de force extérieure appliquée, la quantité totale de mouvement est
constante. Donc :
''
12 12
p
ppp
Cette relation est valable même si la masse n’est pas constante.
3. Dimensions de la collision.
Dans le cas général, la collision se déroule à 3 dimensions : les deux vecteurs 1
p
et
2
p
définissent un plan, et 1
'
p
et 2
'
p
définissent généralement un autre plan.
(*) Plus généralement, si dt représente le temps d’interaction, il suffit que
F
dt soit
négligeable devant les quantités de mouvement des masses en interaction.
Collisions
101
101
VII. Collisions
1. Introduction
L’étude des collisions est une application très intéressante, et particulièrement instructive, des
lois de la mécanique concernant la quantité de mouvement et l’énergie cinétique. Il ne sera
pas fait appel ici aux autres notions vectorielles ou scalaires.
Dans l’étude d’une collision, on ne s’intéresse pas au détail de l’interaction, mais seulement
aux caractéristiques de chacune des particules avant et après l’interaction. Le terme collision
est à prendre au sens large, il n’y a pas forcément un contact "physique" pour les objets
(comète autour du soleil ou déviation des charges électriques par exemple). On considère
simplement deux corps avant que les forces d’interaction soient notables, puis, après
rapprochement conduisant à des forces significatives, à leurs nouvelles caractéristiques,
lorsque les interactions redeviennent négligeables.
Une collision sera ici vue sous sa forme la plus simple : deux points matériels sont en
interaction, sans aucune autre force extérieure appliquée à ce système (*).
Les deux seules forces en présence sont donc les actions réciproques :
12
F et 21 F avec
12 21 0FF
2. Conservation de la quantité de mouvement
Avant collision les quantités de mouvement sont respectivement notées :
1
p et 2 p
Après collision, elles deviennent :
1
'
p et 2
'
p
Il a été établi dans le chapitre "Principes fondamentaux de la dynamique : application" que
dans le cas où il n’y a pas de force extérieure appliquée, la quantité totale de mouvement est
constante. Donc :
''
12 12
p
ppp
Cette relation est valable même si la masse n’est pas constante.
3. Dimensions de la collision.
Dans le cas général, la collision se déroule à 3 dimensions : les deux vecteurs 1
p
et
2
p
définissent un plan, et 1
'
p
et 2
'
p
définissent généralement un autre plan.
(*) Plus généralement, si dt représente le temps d’interaction, il suffit que
F
dt soit
négligeable devant les quantités de mouvement des masses en interaction.
Collisions
101
101
VII. Collisions
1. Introduction
L’étude des collisions est une application très intéressante, et particulièrement instructive, des
lois de la mécanique concernant la quantité de mouvement et l’énergie cinétique. Il ne sera
pas fait appel ici aux autres notions vectorielles ou scalaires.
Dans l’étude d’une collision, on ne s’intéresse pas au détail de l’interaction, mais seulement
aux caractéristiques de chacune des particules avant et après l’interaction. Le terme collision
est à prendre au sens large, il n’y a pas forcément un contact "physique" pour les objets
(comète autour du soleil ou déviation des charges électriques par exemple). On considère
simplement deux corps avant que les forces d’interaction soient notables, puis, après
rapprochement conduisant à des forces significatives, à leurs nouvelles caractéristiques,
lorsque les interactions redeviennent négligeables.
Une collision sera ici vue sous sa forme la plus simple : deux points matériels sont en
interaction, sans aucune autre force extérieure appliquée à ce système (*).
Les deux seules forces en présence sont donc les actions réciproques :
12
F et 21 F avec
12 21 0FF
2. Conservation de la quantité de mouvement
Avant collision les quantités de mouvement sont respectivement notées :
1
p et 2 p
Après collision, elles deviennent :
1
'
p et 2
'
p
Il a été établi dans le chapitre "Principes fondamentaux de la dynamique : application" que
dans le cas où il n’y a pas de force extérieure appliquée, la quantité totale de mouvement est
constante. Donc :
''
12 12
p
ppp
Cette relation est valable même si la masse n’est pas constante.
3. Dimensions de la collision.
Dans le cas général, la collision se déroule à 3 dimensions : les deux vecteurs 1
p
et
2
p
définissent un plan, et 1
'
p
et 2
'
p
définissent généralement un autre plan.
(*) Plus généralement, si dt représente le temps d’interaction, il suffit que
F
dt soit
négligeable devant les quantités de mouvement des masses en interaction.
Action réciproque

En absence de force extérieure la quantité de mouvement est conservée. Notons que cette
relation est valable même si la masse n’est pas constante.
Collisions: conservation de la quantité de mouvement
Collisions
101
101
VII. Collisions
1. Introduction
L’étude des collisions est une application très intéressante, et particulièrement instructive, des
lois de la mécanique concernant la quantité de mouvement et l’énergie cinétique. Il ne sera
pas fait appel ici aux autres notions vectorielles ou scalaires.
Dans l’étude d’une collision, on ne s’intéresse pas au détail de l’interaction, mais seulement
aux caractéristiques de chacune des particules avant et après l’interaction. Le terme collision
est à prendre au sens large, il n’y a pas forcément un contact "physique" pour les objets
(comète autour du soleil ou déviation des charges électriques par exemple). On considère
simplement deux corps avant que les forces d’interaction soient notables, puis, après
rapprochement conduisant à des forces significatives, à leurs nouvelles caractéristiques,
lorsque les interactions redeviennent négligeables.
Une collision sera ici vue sous sa forme la plus simple : deux points matériels sont en
interaction, sans aucune autre force extérieure appliquée à ce système (*).
Les deux seules forces en présence sont donc les actions réciproques :
12
F et 21 F avec
12 21 0FF
2. Conservation de la quantité de mouvement
Avant collision les quantités de mouvement sont respectivement notées :
1
p et 2 p
Après collision, elles deviennent :
1
'
p et 2
'
p
Il a été établi dans le chapitre "Principes fondamentaux de la dynamique : application" que
dans le cas où il n’y a pas de force extérieure appliquée, la quantité totale de mouvement est
constante. Donc :
''
12 12
p
ppp
Cette relation est valable même si la masse n’est pas constante.
3. Dimensions de la collision.
Dans le cas général, la collision se déroule à 3 dimensions : les deux vecteurs 1
p
et
2
p
définissent un plan, et 1
'
p
et 2
'
p
définissent généralement un autre plan.
(*) Plus généralement, si dt représente le temps d’interaction, il suffit que
F
dt soit
négligeable devant les quantités de mouvement des masses en interaction.
Avant Après
Dimensions de la collision
Dans le cas général une collision se déroule en trois dimensions. Les vecteurs p1 et p2 définissent
un plan et les vecteurs p’1 et p’2 définissent un autre plan.
Dans le cas particulier ou une particule est immobile la collision se déroule dans un plan (2D).

Collisions: conservation de la quantité de mouvement
Avant Après
Dimensions de la collision
Dans le cas général une collision se déroule en trois dimensions. Les vecteurs p1 et p2 définissent
un plan et les vecteurs p’1 et p’2 définissent un autre plan.
Dans le cas particulier où une particule est immobile la collision se déroule dans un plan (2D).
Collisions
100
100
VII. COLLISIONS .............................................................................................................. 101
1. INTRODUCTION ................................................................................................................ 101
2. CONSERVATION DE LA QUANTITE DE MOUVEMENT.......................................................... 101
3. DIMENSIONS DE LA COLLISION. ....................................................................................... 101
4. RELATION ENTRE LES VITESSES (MASSES CONSTANTES).................................................. 103
5. COLLISIONS ELASTIQUES (CONSERVATION DE L’ENERGIE CINETIQUE)............................. 103
5.1 Propriétés ................................................................................................................. 103
5.2 Collision élastique de deux masses identiques dont une est immobile. ................... 105
5.3 Collision élastique directe........................................................................................ 105
5.4 Collision élastique directe avec une masse immobile.............................................. 107
6. COLLISION INELASTIQUE (NON CONSERVATION DE EC). ENCASTREMENT. ...................... 109
7. COLLISIONS ET REPERE LIE DU CENTRE DE MASSE ........................................................... 111
7.1 Cas général .............................................................................................................. 111
7.2 Collision élastique.................................................................................................... 111
7.3 Collision totalement inélastique (encastrement)...................................................... 113
7.4 Changement de repère ............................................................................................. 113
m
2
m
1
m
2
m
1
p
1
p
2
p’
1
p’
2
Collision 3D
Plan
d’incidence
1212
''
p
ppp
ext .
dp F dt
Rappel:
ext .
dp F dt
Rappel:
Si les forces extérieures
•sont nulles
• ou n’ont pas le temps d’agir

Collisions: une particule à l’arrêt
Collisions
102
102
m
2
m
1
m
2
m
1
p
1
p’
1
p’
2
Collision 2D
(ici m
2
immobile)
p
1
p’
2
p’
1
Plan de la collision
112
''
ppp
1
p
1
'
p
2
'
p
1
Collision, m
2
au repos
(vecteurs dans le plan de la feuille)
11 11 2 2
''
masses cons tantes m V m V m V    
 11 11 1 2 2 2
11 1 2 2 2
''
''
mV mV cos mV cos
mV sin mV sin
11 11 2 2
''
masses cons tantes m V m V m V    
 11 11 1 2 2 2
11 1 2 2 2
''
''
mV mV cos mV cos
mV sin mV sin
2
112
''
p
pp  
Collisions
102
102
m
2
m
1
m
2
m
1
p
1
p’
1
p’
2
Collision 2D
(ici m
2
immobile)
p
1
p’
2
p’
1
Plan de la collision
112
''
ppp
1
p
1
'
p
2
'
p
1
Collision, m
2
au repos
(vecteurs dans le plan de la feuille)
11 11 2 2
''
masses cons tan tes m V m V m V    
 11 11 1 2 2 2
11 1 2 2 2
''
''
mV mV cos m V cos
mV sin mV sin
11 11 2 2
''
masses cons tan tes m V m V m V    
 11 11 1 2 2 2
11 1 2 2 2
''
''
mV mV cos m V cos
mV sin mV sin
2
112
''
p
pp  
Collisions
102
102
m
2
m
1
m
2
m
1
p
1
p’
1
p’
2
Collision 2D
(ici m
2
immobile)
p
1
p’
2
p’
1
Plan de la collision
112
''
ppp
1
p
1
'
p
2
'
p
1
Collision, m
2
au repos
(vecteurs dans le plan de la feuille)
11 11 2 2
''
masses cons tan tes m V m V m V    
 11 11 1 2 2 2
11 1 2 2 2
''
''
mV mV cos mV cos
mV sin mV sin
11 11 2 2
''
masses cons tan tes m V m V m V    
 11 11 1 2 2 2
11 1 2 2 2
''
''
mV mV cos mV cos
mV sin mV sin
2
112
''
p
pp  
Collisions
102
102
m
2
m
1
m
2
m
1
p
1
p’
1
p’
2
Collision 2D
(ici m
2
immobile)
p
1
p’
2
p’
1
Plan de la collision
112
''
ppp
1
p
1
'
p
2
'
p
1
Collision, m
2
au repos
(vecteurs dans le plan de la feuille)
11 11 2 2
''
masses cons tantes m V m V m V    
 11 11 1 2 2 2
11 1 2 2 2
''
''
mV mV cos mV cos
mV sin mV sin
11 11 2 2
''
masses cons tantes m V m V m V    
 11 11 1 2 2 2
11 1 2 2 2
''
''
mV mV cos mV cos
mV sin mV sin
2
112
''
p
pp  
Collisions
102
102
m
2
m
1
m
2
m
1
p
1
p’
1
p’
2
Collision 2D
(ici m
2
immobile)
p
1
p’
2
p’
1
Plan de la collision
112
''
ppp
1
p
1
'
p
2
'
p
1
Collision, m
2
au repos
(vecteurs dans le plan de la feuille)
11 11 2 2
''
masses cons tantes m V m V m V    
 11 11 1 2 2 2
11 1 2 2 2
''
''
mV mV cos mV cos
mV sin mV sin
11 11 2 2
''
masses cons tantes m V m V m V    
 11 11 1 2 2 2
11 1 2 2 2
''
''
mV mV cos mV cos
mV sin mV sin
2
112
''
p
pp  
Collisions
103
103
Dans le cas particulier d’une collision où une des particules est immobile (m2 par exemple),
l’ensemble de la collision se déroule dans un seul plan.
En effet, puisque 20p :
''
112
p
pp
Ces trois vecteurs composent un triangle qui définit le plan de la collision.
4. Relation entre les vitesses (masses constantes)
Simplification :
dans toute la suite, nous allons nous situer dans le cas de masses constantes.
La masse étant constante, la conservation de la quantité de mouvement devient :
''
11 2 2 11 2 2
mV mV mV mV
Soit aussi :
''
11 1 2 2 2
()()mV V mV V mCte
Le produit de la masse par la variation de vitesse est donc le même pour chacune des
particules, au signe près.
Attention, c’est une relation vectorielle.
Les masses 1
met 2 msont connues ainsi que les vitesses 1 V
et 2 V
. Nous recherchons '
1
V et '
2
V
,
que nous allons essayer de calculer dans quelques cas typiques.
5. Collisions élastiques (conservation de l’énergie
cinétique)
5.1 Propriétés
Ce sont les collisions qui se déroulent avec conservation de l’énergie cinétique du système. Il
est inutile de parler ici de l’énergie mécanique puisqu’il n’existe pas d’énergie potentielle, les
forces extérieures étant nulles.
Rappel : l’écriture 2
1
2
c
EmVnécessite que la masse soit constante.
La conservation de l’énergie cinétique se traduit donc par :
22'2'2
11 2 2 11 2 2
11 1 1
22 2 2
mm m mVVV V
Elle peut se réécrire sous la forme :
'' ' '
11 1 1 1 2 2 2 2 2
()()()()mmVVVV VVVV 
relation scalaire, qui présente une certaine similitude avec la relation vectorielle entre les
vitesses issue de la conservation de la quantité de mouvement (cf. paragraphe précédent).
Ces trois vecteurs composent un triangle qui définit
le plan de la collision.