options exotiques

INSEEC – MASTER PARIS
2016 2017
DOSSIER INDIVIDUEL
VERSION 02 – DU 03 MARS 2017
PRICING AVANCE
POUR
OPTIONS EXOTIQUES
Philippe DUCHEMIN
DOSSIER INDIVIDUEL
Evaluation
L’évaluation de ce cours portera sur la remise d’un devoir personnel, au maximum de 15 pages
(au minimum 5 pages). Les annexes ne sont pas autorisées. Le détail des calculs ne seront pas à
produire.
Le mémoire sera réalisé individuellement
L’objet du mémoire est de valoriser 3 options exotiques, selon trois méthodes différentes afin
que l’élève puisse évaluer lui-même sa compréhension du sujet et les écarts pouvant générer
chaque méthode.
La liste des 2 options exotiques à valoriser est présentée en annexe pour chaque étudiant.
Le mémoire sera rendu sous Word ou sous PDF. Les feuilles Excel ne seront pas prises en compte.
L’élève s’attachera à présenter ses résultats en expliquant bien la méthode utilisée et les calculs
intermédiaires.
Les 3 méthodes retenues sont:
Méthodes binomiales : on utilisera cette méthode avec un nombre de pas égal à 100 pour les
options vanilles et 40 pour les barrières. On utilisera la méthode CRR (Cox Ross Rubinstein) pour
convertir la volatilité en (u,d).
Méthode Analytique : cette méthode repose sur l’utilisation de formules dites « fermées », de
type BSM. Les formules sont disponibles en annexe 3.
Méthode Monte Carlo : on utilisera cette méthode avec un nombre de simulations de 500. La
génération aléatoire passera par la production de nombres de Halton et l’utilisation de la formule
Box Muller pour la génération d’une distribution aléatoire normale et standard (moyenne nulle
et écart type unitaire).
Les paramètres utilisés pour générer les nombres de Halton sont 3 et 5.
L’étudiant utilisera les fonctions VBA fournies (voir le code en Annexe 2). Ces fonctions seront à
adapter en fonction du pay-off et du type d’option à valoriser. C’est en ce sens, que l’étudiant
montrera sa compréhension du cours.
Exercice 1 : option classique : rédaction1/2 à 1 page
L’annexe 1 vous donne les paramètres des options :
-
S et K, cours du sous-jacent et prix d’exercice ; la valeur des options sera défini dans la même
unité. Le montant de l’option n’intervient pas (montant supposé égal à 1).
- T, durée de l’option en année
- r%, le taux d’intérêt du sous-jacent
- vol%, volatilisé annuelle
Calculer la valeur des 2 options digitales : « cash ou rien » qui paie K et « titre ou rien » qui paie S,
selon les 3 méthodes suivantes pour un CALL et un PUT
- méthode binomiale CRR avec n = 100
- méthode analytique : formule BSM
- méthode monte carlo avec n = 1000
Résultats : 6 valeurs pour Call et 6 valeurs pour Put
Vérifier la convergence des 3 méthodes
Vérifier ensuite la formule de parité call/put – on présentera la valeur du Call et du Put standard.
Remarque : toutes les options CALL et PUT (non binaires) ont une valeur comprise entre 5 et 100.
Exercice 2 : option digitale à barrière : rédaction 2 à 5 pages
Calculer le prix de votre option digitale à barrière selon les méthodes suivantes :
METHODE 1 :
- La méthode binomiale avec 40 pas, en calculant le nombre de chemins touchant (option in)
ou ne touchant pas (option out) la barrière (faire attention de bien positionner la barrière par
rapport aux valeurs terminales de l’arbre). Présenter les calculs suivants :
o u, d, p, q, w de la barrière, wc* et wp.
- Présenter la décomposition de la valeur précédente en un Call et en un Put, avec un
ajustement.
- Vérifier le calcul de l’option avec le programme « binomialBarBinaire »
METHODE 2 :
- La méthode binomiale selon le temps de premier passage à la barrière. avec un nombre de
pas égal à 40.
- Etablir les statistiques relatives aux points de premier passage (P1) : donner le temps
d’arrivée en ce point (indice entre 0 et n), le nombre de chemin pour y arriver, et le nombre
de chemins sortant (une puissance de 2), et la probabilité en ce point.
- Faire de même pour le point de second passage (P2) et de troisième passage (P3).
- Retrouver le prix de l’option précédente, avec une prime payée à maturité.
- Calculer le prix de l’option « at hit ».
- Calculer le prix de l’option « out » correspondant à l’option « In ».
METHODE 3
- La méthode analytique, utiliser les formules classiques d’options barrières digitales
Remarque ces options ont une valeur entre 0 et 1, car le nominal de l’option sera égal à 1 unité
monétaire.
METHODE 4
La méthode monte carlo, en utilisant la fonction MonteCarloBarrier, qui effectue une double
simulation, sur les trajets et en décomposant le temps.
Prendre comme variables :
nombre de simations : Nsimulations=500
décomposition du temps : n = 40
Exercice 3 : option à barrière : rédaction 1 page
Prendre l’option digitale précédente, et calculer la valeur de l’option barrière classique avec un prix
d’exercice égal au prix de la barrière (K=L), dans le cas d’un Call et d’un Put, toujours pour l’option
« in ».
Le calcul se fera avec un nominal de 1 euro.
Faire un bref commentaire sur le résultat.
Date de remise : Le samedi 11 mars 2017, 22h.
Adresse mail 8: [email protected]
Annexe 01 - Sujets par élève.
Option 01 : options vanilles
S
N
1 AGBETE Alvares
2 BALLI Zeynal
3 BELHACHMI Sébastien-Karim
4 BONNIALY Axel
5 BOUANGA-KALOU Laëtitia
6 BROU KOUAKOU Nadège
7 CHABOUNY Alaaeddine
8 CHERIEF Kenza
9 DE CAUMONT Thibault
10 DEDDECH Farah
11 FRANT Hugo
12 GHERAB Mohamed-Aziz
13 GUILLAUME Valentine
14 KENNOUDA Hind
15 LAPORTE Christophe
16 LAUCOIN Maxime
17 MACKOTY Alain
18 MASSAMBA Augcia
19 MUNINI Antoine
20 NGUYEN Quang-Hung
21 REMY Thomas
22 ROJAS Charles
23 SALL Clotilde
24 STUCKER Mathieu
25 SYLVESTER Fidèle
26 TATA-BELLO Zeyna
27 TOURE Abdoulkarim
28 XI Fengjiao
29 YONG Sha
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
bsm
bsm
bsm
bsm
bsm
bsm
bsm
bsm
bsm
bsm
bsm
bsm
bsm
bsm
bsm
bsm
bsm
bsm
bsm
bsm
bsm
bsm
bsm
bsm
bsm
bsm
bsm
bsm
bsm
K
130
295
150
255
150
150
220
200
210
220
120
125
235
240
245
150
165
185
120
135
265
275
265
145
165
100
200
250
280
T
150
275
145
275
165
145
250
210
225
260
155
145
205
220
210
185
185
200
145
150
300
300
300
175
145
125
185
230
250
r
3,00
2,00
2,50
4,00
3,00
1,75
2,75
3,75
4,75
3,75
1,75
2,75
3,75
4,75
2,00
1,75
2,75
3,75
4,75
2,00
1,75
2,75
3,75
4,75
2,00
1,75
2,75
3,75
4,75
vol
2,00%
3,50%
1,50%
4,00%
7,00%
4,00%
3,20%
4,20%
5,00%
4,60%
2,00%
3,50%
1,50%
4,00%
7,00%
4,00%
3,20%
4,20%
5,00%
2,00%
3,50%
1,50%
4,00%
7,00%
4,00%
3,20%
4,20%
5,00%
2,00%
20%
12%
12%
15%
22%
25%
12%
18%
15%
6%
20%
20%
12%
12%
15%
22%
25%
12%
18%
20%
12%
12%
15%
22%
25%
12%
18%
15%
6%
Option 02 : options digitales à barrières
option barrière
1 AGBETE Alvares
2 BALLI Zeynal
3 BELHACHMI Sébastien-Karim
4 BONNIALY Axel
5 BOUANGA-KALOU Laëtitia
6 BROU KOUAKOU Nadège
7 CHABOUNY Alaaeddine
8 CHERIEF Kenza
9 DE CAUMONT Thibault
10 DEDDECH Farah
11 FRANT Hugo
12 GHERAB Mohamed-Aziz
13 GUILLAUME Valentine
14 KENNOUDA Hind
15 LAPORTE Christophe
16 LAUCOIN Maxime
17 MACKOTY Alain
18 MASSAMBA Augcia
19 MUNINI Antoine
20 NGUYEN Quang-Hung
21 REMY Thomas
22 ROJAS Charles
23 SALL Clotilde
24 STUCKER Mathieu
25 SYLVESTER Fidèle
26 TATA-BELLO Zeyna
27 TOURE Abdoulkarim
28 XI Fengjiao
29 YONG Sha
S
bar
bar
bar
bar
bar
bar
bar
bar
bar
bar
bar
bar
bar
bar
bar
bar
bar
bar
bar
bar
bar
bar
bar
bar
bar
bar
bar
bar
bar
UI
UI
UI
UI
UI
UI
UI
UI
UI
UI
UI
UI
UI
UI
UI
UI
UI
UI
UI
UI
UI
UI
UI
UI
UI
UI
UI
UI
UI
L
75
110
50
75
145
85
75
110
50
75
145
75
145
85
75
110
50
75
145
75
145
85
75
110
50
75
145
50
85
T
95
135
75
80
165
100
95
130
85
90
175
90
165
110
100
125
25
85
115
80
165
100
90
125
95
40
175
85
106
r
2
4
3
1,5
2,5
2
2
4
3
1,5
2,5
2
4
3
1,5
2,5
2
2
4
3
1,5
2,5
2
4
3
1,5
2,5
2
2
vol
4%
2%
3%
5%
3%
4%
2%
3%
5%
3%
3%
4%
2%
3%
5%
3%
2%
4%
2%
3%
5%
3%
4%
2%
3%
5%
3%
2%
3%
20%
15%
20%
12%
7%
6%
20%
15%
20%
12%
7%
6%
7%
6%
20%
15%
20%
12%
7%
6%
7%
6%
20%
15%
20%
12%
7%
6%
7%
Annexe 03 – Formules de Pricing
Option BSM : Pay-off du CALL : Max( S - K , 0)
𝑆
𝜎2𝑇
𝐿𝑛 (𝐾 ) + 𝑟. 𝑇 + 2
𝑑1 =
𝜎√𝑇
𝑆
𝜎2𝑇
𝐿𝑛 (𝐾 ) + 𝑟. 𝑇 − 2
𝑑2 =
𝜎√𝑇
et PUT: Max(K – S , 0 )
𝐶𝑎𝑙𝑙 = 𝑆𝑁(𝑑1 ) − 𝐾𝑁(𝑑2 )/(1 + 𝑅)𝑇
𝑃𝑢𝑡 = −𝑆𝑁(−𝑑1 ) + 𝐾𝑁(−𝑑2 )/(1 + 𝑅)𝑇
Calcul du drift pour la simulation Monte Carlo : (𝑟 −
𝜎2
)
2
et simulation des sous-jacents à maturité :
𝑆𝑇 = 𝑆. exp⁡(𝑑𝑟𝑖𝑓𝑡. 𝑇 + 𝜎. √𝑇. 𝑢 𝑇 ), uT, une simulation de la loi normale standard
Calcul des mouvements u et d, dans le modèle CRR : u=exp(-r.T) et d=exp((r.T)
Définition de la fonction DistD(S,K,T,r,f,,flag)
𝑆
𝜎2𝑇
𝐿𝑛 (𝐾 ) + (𝑟 − 𝑓). 𝑇 + 𝑓𝑙𝑎𝑔 2
DistD(S, K, T, r, f, s, flag) =
𝜎√𝑇
Exemples:
d1=DistD(S,K,T,r,f,,1)
d2=DistD(S,K,T,r,f,,-1)
Options Digitale Cash ou Rien: Pay-off du CALL: M si (S>K) et du PUT: M si (S<K)
𝐶𝑎𝑙𝑙_𝐷𝑖𝑔𝑖𝑡𝑎𝑙_𝐶𝑎𝑠ℎ = 𝑀𝑁(𝑑2 )/(1 + 𝑅)𝑇
𝑃𝑢𝑡_𝐷𝑖𝑔𝑖𝑡𝑎𝑙_𝐶𝑎𝑠ℎ = 𝑀𝑁(−𝑑2 )/(1 + 𝑅)𝑇
Options Digitale Titre ou Rien: Pay-off du CALL: S si (S>K) et du PUT : S si (S<K)
𝐶𝑎𝑙𝑙_𝐷𝑖𝑔𝑖𝑡𝑎𝑙𝑒_𝑇𝑖𝑡𝑟𝑒 = 𝑆𝑁(𝑑1 )/(1 + 𝐹)𝑇
𝑃𝑢𝑡_𝑑𝑖𝑔𝑖𝑡𝑎𝑙𝑒_𝑇𝑖𝑡𝑟𝑒 = 𝑆𝑁(−𝑑1 )/(1 + 𝐹)𝑇
Option Barrière UI
Formules analytiques, S : sous-jacent à l’origine, L : niveau de la barrière, T : durée
𝐿
𝑈𝐼 == (𝑁(𝑥2) + ( )2(𝜀−1) 𝑁(−𝑦2))/(1 + 𝑅)𝑇
𝑆
𝐿
𝐷𝐼 == (𝑁(−𝑥2) + ( )2(𝜀−1) 𝑁(𝑦2))⁡/(1 + 𝑅)𝑇
𝑆
𝐿
𝑈𝑂 == (𝑁(−𝑥2) − ( )2(𝜀−1) 𝑁(−𝑦2))⁡/(1 + 𝑅)𝑇
𝑆
𝐿 2(𝜀−1)
𝐷𝑂 == (𝑁(𝑥2) − ( )
𝑁(𝑦2))⁡/(1 + 𝑅)𝑇
𝑆
𝑥2 =
𝑆
𝐿
𝐿𝑛( )+(𝑟).𝑇+
𝜎√𝑇
𝜎2 𝑇
2
𝑦2 =
𝐿
𝑆
𝐿𝑛( )+(𝑟).𝑇+
𝜎√𝑇
𝜎2 𝑇
2
2(𝜀 − 1) = 2
(𝑅)
−1
𝜎2
Annexe 04 – Programmes VBA
Function binomialBarBinaire(Ctype As String, S As Double, L As Double, T As
Double, R As Double, vol As Double, n As Long, dfopt As String) As Double
Dim
Dim
Dim
Dim
dt As Double, taux As Double, bin As Double, p As Double
w As Double, wp As Double, wc As Double, i As Integer
u As Double, d As Double, alpha As Double
binc As Double, binp As Double
dt = T / n
taux = (1 + R) ^ dt
u = Exp(vol * Sqr(dt))
d = 1 / u
p = (taux - d) / (u - d)
binc = 0
binp = 0
w = Abs(Log(L / S / d ^ n) / Log(u / d) If (w - Int(w)) > 0.5 Then alpha =
1 Else alpha = 0
Select Case Ctype
Case "ui","uo":
wc = Int(w) + 1
wp = n - wc - alpha
Case “di”, “do”:
wp = Int(w)
wc = n - wp + alpha
End Select
binc = BINO(n - wc, n, 1 - p)
binp = BINO(wp, n, p)
Select Case Ctype
Case "ui": binomialBarBinaire =
1 + alpha)
Case = "uo": binomialBarBinaire
- n - 1 +
alpha)
Case "di": binomialBarBinaire =
1 - alpha)
Case "do": binomialBarBinaire =
n - 1 alpha)
End Select
binc + binp * (p / (1 - p)) ^ (2 * wc - n = 1 - binc - binp * (p / (1 - p)) ^ (2 * wc
binp + binc * ((1 - p) / p) ^ (2 * wc - n 1 - binp - binc * ((1 - p) / p) ^ (2 * wc -
binomialBarBinaire = binomialBarBinaire / (taux ^ n)
End Function
FIN DU DOCUMENT