GEC. TD 5, 6 Cercles et faisceaux 2008 Exercice 5.

GEC. TD 5, 6 Cercles et faisceaux
2008
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Exercice 5.1 . Un cercle coupe les côtés (BC), (CA) et (AB) d'un triangle ABC respectivement en des
points D, D' ; E, E' et F, F' (tous différents de A, B et C) . Montrer que si les droites (AD), (BE) et
(CF) sont concourantes, les droites (AD'), (BE') et (CF') sont concourantes ou parallèles.
Exercice 5.2 (Théorème de Pascal). Soit ABCDEF un hexagone (non nécessairement convexe)
inscrit dans un cercle. On pose :
{L} = (AB) ∩ (DE), {M} = (FA) ∩ (CD), {N } = (EF) ∩ (BC),
{U} = (CD) ∩ (EF), {V } = (EF) ∩ (AB), {W } = (AB) ∩ (CD).
Montrer que les points L, M et N (c'est à dire les points d'intersection des côtés opposés) sont
alignés.
(Appliquer quatre fois le théorème de Ménélaüs dans le triangle UVW.)
Exercice 5.3 . Soient un triangle ABC et A', B', C' les pieds des hauteurs issues respectivement de A,
B et C et H l'orthocentre. Montrer que :
HA. HA′ = HB. HB′ = HC. HC ′ et A′B. A′C = − A′H. A′A.
Exercice 5.4 . Soient cinq cercles
coupent en A et B, que
enfin que
cocycliques.
2
et
0
,
3
et
, 1, 2 , 3 et
4 . On suppose que
0,
1 et
2 se
4 se coupent en C et D, que
1 et
3 se coupent en I et J et
0
se coupent en K et L. . Montrer que les points I, J, K, L sont alignés ou
On désignera par α l'intersection (si elle existe) des droites (AB) et (CD) .
4
Exercice 5.5 . Soient deux cercles et ' de centres distincts O et O', I le milieu du segment [OO'] ,
H le point d'intersection de l'axe radical des deux cercles avec la droite (OO'), M un point du plan et
M' son projeté orthogonal sur (OO').
1) Montrer que PC (M) − PC ′ (M) = 2OO′. HM ′ .
2) Quel est le lieu des points M dont la différence des puissances à et ' est constante ?
Exercice 5.6 . Soit 0 = f(x,y) = x2 + y2 - 2ax - 2by + c l'équation d'un cercle
dans un repère
orthonormé. Calculer P (M) en fonction des coordonnées de M; retrouver l'existence de l'axe
radical de deux cercles non concentriques et donner son équation.
Exercice 5.7 . Si deux droites issues d'un point M coupent en A et B (resp. C et D ) un cercle
de centre O et de rayon R , montrer que les triangles MAD et MCB sont semblables. En déduire
que MA. MB = MC . MD et retrouver que la valeur commune de ces produits est OM 2 - R 2 .
Exercice 5.9 . On projette orthogonalement les sommets d'un triangle ABC sur une droite d en A'
, B' , C' . Montrer que les perpendiculaires abaissées de A' , B' et C' respectivement sur (BC), (CA) et
(AB) sont concourantes.
(Indication : introduire le cercle ayant pour centre le milieu du segment [BC] et passant par B'
ainsi que les deux autres cercles construits de manière analogue, puis déterminer les axes radicaux de
ces cercles pris deux à deux.)
Exercice 6.1 . 0) Construire l'axe radical de deux cercles disjoints.
1) Construire un cercle orthogonal à un cercle donné
de centre O et rayon R et passant
par deux points donnés A et B (avec A,B,O 2 à 2 différents)
(Indication : introduire l'axe radical du cercle et du cercle-point (A) ).
2) Construire les points-limites d'un faisceau de Poncelet défini par deux cercles.
3) Construire un cercle orthogonal à deux cercles donnés et passant par un point donné.
Exercice 6.2 . 1) Si plusieurs points du plan ont même puissance par rapport à trois cercles, ces
cercles font partie d'un même faisceau et les points considérés sont sur l'axe radical du faisceau.
2) Application : les orthocentres des quatre triangles d'un quadrilatère complet sont alignés
(considérer les cercles ayant pour diamètres les diagonales de ce quadrilatère). Les milieux des
diagonales d'un quadrilatère complet sont alignés sur une droite perpendiculaire à la précédente.
Exercice 6.3 . Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on écrira l'équation d'un cercle sous la
forme
f(x,y) = x 2 + y 2 - 2ax - 2by + c = 0 .
1) Soit
un faisceau de cercles. On choisit comme axe des x la ligne des centres et comme
axe des y l'axe radical de ce faisceau. Montrer que l'équation générale d'un cercle de ce faisceau est
x 2 + y 2 - 2ax + c = 0 où a est variable et c est fixe. Identifier le type du faisceau sur cette équation.
2) Avec les notations précédentes, quelle est l'équation générale d'un cercle du faisceau
orthogonal à
?
3) Si f=0 et g=0 sont les équations de deux cercles, montrer que l'équation générale des cercles
du faisceau qu'ils engendrent est uf + vg=0 où u + v = 1.
Exercice 6.4 . Soient ABC un triangle, H, K, L les pieds des hauteurs issues respectivement de A, B,
C et D l'orthocentre.
1) Montrer que les deux cercles (AKLD) et (BCKL) sont orthogonaux.
2) Montrer que si deux cercles sont orthogonaux, on peut reconstituer la situation précédente.
Exercice 6.5 . Soit
un faisceau de cercles et un cercle ne faisant pas partie du faisceau. Montrer
que les axes radicaux de et des cercles de
se rencontrent en un point de l'axe radical de
(ou
ces droites sont parallèles).
Exercice 6.6 . Deux cercles sont orthogonaux si et seulement si le double de l'angle des droites
joignant un point d'intersection de ces deux cercles aux points de contact d'une tangente commune est
égal à un droit.
Exercice 6.7 . On considère un cercle Γ de centre O , de diamètre [BC] et A un point de ce
cercle. Soit M un point variable du segment [BC] . Soient P le point où la droite ( AM ) recoupe
Γ, Q le point de Γ tel que (PQ) soit parallèle à (BC) et N le point de Γ tel que AN = AQ .
1) Montrer que les cercles (ABM) et (ACM) sont orthogonaux.
2) Montrer que les triangles ABM et AQC sont semblables et que le produit AM.AN est
constant.
→
→
3) Calculer le produit scalaire AM . AN en introduisant le milieu Ω de [MN] .
4) Montrer que les bissectrices des angles (AP,AQ) et (AN,AQ) sont des droites fixes et
que l'angle (AN,AP) est constant.
5) Montrer que la puissance de A par rapport aux cercles de diamètre [MN] est constante.
Montrer que les cercles de diamètre [MN] sont orthogonaux à un cercle fixe.
Exercice 6.9 . (examen de juin 2004, extrait)
On considère un cercle
de centre O et rayon
R et un cercle ' de centre O' et rayon R' avec R ≠ R' et O ≠ O' .
→
R' →
1) Si I est un centre d'homothétie de
et ' , montrer que : ΙΟ' = ± R .ΙΟ .
On considère dorénavant un repère orthonormé d'origine O et tel que O' ait pour
coordonnées (u,0) avec u > 0 .
2) Déterminer les coordonnées des 2 centres d'homothétie I et J de
et ' .
3) Déterminer des équations des cercles
, ' et du cercle Γ de diamètre [IJ] .
4) Montrer que les cercles
, ' et Γ font partie d'un même faisceau.
On rappelle que si x2 + y2 - 2ax - 2by -c = 0 et x2 + y2 - 2a'x - 2b'y -c' = 0 sont les équations de
2 cercles non concentriques, leur axe radical a pour équation - 2ax - 2by -c = - 2a'x - 2b'y -c' .
Exercice 6.10 . (examen de septembre 2004, extrait)
On considère deux cercles
et ' de centres respectifs O et O' ( O ≠ O' ) et Δ leur axe
radical. On note
le faisceau de cercles engendré par
et ' . Si M est un point du plan
n'appartenant ni à Δ ni à
' , on note " le cercle du faisceau
passant par M et O" le
centre de " . On note p (resp. p' , p" ) la puissance de M par rapport au cercle
(resp. ' ,
" ) et H la projection orthogonale de M sur Δ .
 
 
1) Montrer que p = 2 OO".HM et p' = 2 O'O".HM .
(utiliser l'exercice 5.5)

p
p 
2) En déduire que : OO".( 1 - p' ) = - .OO' et donc que O" est entièrement déterminé par le
p'
p
rapport p' .
p
3) Montrer que l'ensemble des points M du plan non dans ' tels que p' soit une constante k
( k ≠ 1 ) est un cercle du faisceau de cercles
(privé de son intersection éventuelle avec Δ ) .