INTRODUCTION Statistiques L2S3

Statistiques
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INTRODUCTION
I. VOCABULAIRE




Donnée statistique : résultat de l’observation d’une variable pour un individu.
Population : totalité des individus sur lesquels portent certaines préoccupations.
Echantillon : sous-ensemble/ partie de la population pour lesquelles on collecte les données.
Statistiques descriptives : décrire, résumer les données sans se préoccuper du champ de la collecte.
Les statistiques inductives (ou informelles) sont un ensemble de méthodes qui font le cheminement :
« généraliser quelque chose à une population à partir de l’observation d’un échantillon ».
Remarques : Certaines populations sont finies donc observables (étudiant L2 psycho Angers) et d’autres
populations sont quasi-infinies, donc inobservables. Travailler avec un échantillon permet une réduction du
coût, un gain de temps, une augmentation des possibilités d’études.
II. INDICATEURS USUELS EN STATISTIQUES DESCRIPTIVE
Nous réutiliserons la moyenne arithmétique et la variance on considère une variable quantitative X pour
laquelle on dispose de N observations.
Cf. formulaire L1
III. CONSTITUTION DES ECHANTILLONS
L’échantillonnage (ou sondage) : ensemble des opérations de prélèvement d’un échantillon.
A. METHODE D’ECHANTILLONAGE
1. Echantillonnage raisonné
Méthode de quotas : L’échantillon est choisie pour constituer une image fidèle de la population pour certaines
variables, appelées variables de contrôle. L’enquêteur choisi les enquêtés avec comme contrainte le respect de
certains quotas pour les variables de contrôle (l’âge, le sexe, catégorisation socio-professionnelle…). Les
variables de contrôle doivent être corrélées avec le domaine de l’étude. Leur répartition doit être connue de la
population.
Avantage : Coût très faible, délais très court, cela traite (en les oubliant) les refus de réponse.
2. Echantillonnage aléatoire
 Echantillonnage aléatoire simple :
Méthode dans laquelle chaque échantillon (d’effectif donné) à la même probabilité d’être tiré. Il faut une base
de sondage. Cependant, il y a des difficultés de mise en œuvre.
 Echantillonnage par grappe :
On divise la population en grappe, on a une base de sondage de grappes. On tire un échantillon aléatoire de
grappe. On interroge tous les individus des grappes tirées. (Ex : immeuble, rue, village, une partie du
village…). Ceci augmente la faisabilité d’une enquête car le coût et le délai sont réduits.
Règle d’Or : le bon échantillon est celui qui est aléatoire, c’est ce qui fonde la statistique inductive sur le
calcul des probabilités, cela donne une base scientifique à l’opération de généralisation.
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B. OUTILS ALEATOIRES
1. Tables de nombres aléatoires
Outils ancien : c’est une table qui contient des nombres obtenus par des procédés aléatoire (tirages,…).
2. Générateur de nombres pseudo-aléatoire :
Outils moderne : un générateur engendre des nombres par un procédé déterministe qui simule le hasard.
Méthode de LEHMER :
M = diviseur
k = multiplicateur
Xo = graine
Xi + 1 = kXi (module M) c’est-à-dire Xi + 1 est le reste obtenu quand on divise le produit kXi par M.
Exemple : calculer X1. X1 est le reste obtenu quand on divise le produit kXo par M.
M= 101
k = 89
On calcul kXo = 89 x 23 = 2047 ; On divise le résultat par M :
Xo = 253
X1
=
2047/101
=
27,….
X1= 27 X2=80 Ce générateur produit des nombres entiers compris entre 1 et 100 donc entre 1 et M-1.
Quand on divise ces nombres obtenus par M on obtient des nombres rationnels compris dans
l’intervalle ]0 ;1[ A partir de ces nombres uniformément répartis sur l’intervalle on peut engendrer
des nombres répartis selon n’importe quelle loi (binomiale, normale…)
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NOTIONS SUR L’ESTIMATION
I. INTRODUCTION
On dispose d’une population dont on extrait un échantillon, on utilise comme variable le poids et on considère
un paramètre défini sur la population : le poids moyen des poissons de l’étang. Il va falloir estimer ce
paramètre à l’aide d’un estimateur.
Exemple du pisciculteur, il utilise un échantillon d’effectif 5 (0,3; 0,4; 0,4; 0,45; 0,5) et calcule la moyenne :
= 0,41 Cependant si on prélève un autre échantillon (0,4; 0,45; 0,45; 0,5;
⁄
0,5) on obtient une estimation de 0,46 qui est différente.
L’estimation varie avec l’échantillon, il y a toujours une incertitude.
a. Démarche population => échantillon : Théorie de l’échantillonnage
On connait la répartition de la variable dans la population, on cherche à étudier les propriétés de tous les
échantillons possibles. C’est une démarche de probabilité, elle fournit les résultats théoriques utilisés dans la
démarche inverse.
b. Démarche échantillon => population
On connait un échantillon et on cherche à généralisée à la population certaines propriétés issus de l’étude de
l’échantillon.
La méthode d’estimation permet d’estimer la valeur inconnue d’un paramètre de la population.
La méthode de tests statistiques permet de tester si une propriété de la population est acceptable ou non par
rapport à l’échantillon.
En statistique inductive on ne peut jamais avoir de certitude, il faut faire attention au risque de généralisation
erronée pour le contrôler car on ne peut pas le supprimer.
II. ESTIMATION POUR UNE VARIABLE QUANTITATIVE
a. Moyenne arithmétique
On s’intéresse à la moyenne de la variable X dans la population :  , on cherche donc à l’estimer :
Echantillon d’effectif n décrit par n variables statistiques : X1……Xn
On utilise l’estimation ̅ ∑
I que l’on applique à un échantillon pour obtenir ̅
appelle la moyenne d’estimation, elle va nous permettre d’estimer .
∑
i
c’est ce qu’on
b. Variance
On s’intéresse à la variance de X dans la population : ², on cherche à l’estimer :
̅ ;
On utilise l’estimation S²n = ⁄ ∑
ion obtient la variance descriptive ou de population : s²n = ⁄ ∑
i-
̅
Cette formule à un défaut, elle sous-estime ² donc on la remplace par l’estimateur
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S²n-1 = ⁄
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∑
i-
̅
ce qui donne la variance inductive ou d’échantillon s²n-1 = ⁄
∑
i-
̅
Dans l’exemple du pisciculteur : s²n-1=0,0055
Pour la calculatrice casio l’écart type descriptif est noté xn et l’écart type inductif xn-1
III. ESTIMATION POUR UNE VARIABLE QUALITATIVE estimation d’une proportion
On va envisager le cas d’une variable qualitative et se restreindre au cas de 2 modalités notées ̅
. On
veut estimer à proportion inconnue d’individus présentant la modalité A dans la population ; on la notera .
On extrait un échantillon aléatoire d’effectif n, dans lequel on observe nA individus présentant la modalité A.
On choisit l’estimateur naturel et on estime  avec p = nA / n ; c’est la proportion d’individus présentant la
modalité dans l’échantillon.
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INFLUENCE STATISTIQUE ET TESTS D’HYPOTHESES
I. PRINCIPES
Objet des tests d’hypothèses : prendre une décision relative à la population en situation d’incertitude en
contrôlant le risque lié à cette incertitude.
Idée ; S’appuyer sur l’expérimentation pour décider (l’expérience fournit les données de l’échantillon)
Effectuer un test statistique c’est réaliser 3 opérations :
- Enoncer une hypothèse expérimentale à laquelle on s’intéresse afin de la confirmer ou de l’infirmer.
Cette hypothèse se rejetter ou non, c’est l’hypothèse nulle notée H0
- On oppose à cette hypothèse, elle joue le rôle d’opposant ou de recours en cas de rejet de H0, on
l’appelle l’hypothèse alternative elle est notée H1
- Déterminer une procédure qui conduit à prendre la décision
o Rejeter H0 et accepter H1
o Ne pas rejeter H0
A la fin de la procédure on doit comparer la réalité et la décision prise :
H0 vraie
Ne pas rejeter H0
Rejeter H0
(1-)


 = 1- 
 : correspond à la probabilité de rejeter H0 alors que H0 est vraie, c’est la probabilité de rejeter à tort H0.
C’est le risque d’erreur de 1er espèce (de type I), aussi appelé niveau de signification du test.
(1-) correspond à la probabilité de ne pas rejeter H0 quand elle est vraie
 : correspond à ne pas rejeter H0 quand elle est fausse, c’est le risque d’erreur de 2nd espèce (type II)
 = 1-  : correspond à la probabilité de rejeter H0 quand elle est fausse, c’est la puissance du test.
H0 fausse
Exercices :
1) H0 : il pleut / H1 il ne pleut pas
L’erreur de 1er espèce correspond à dire que l’on rejette H0 , on considère qu’il ne pleut pas alors
qu’il pleut dehors, donc on met des tongs, on a les pieds mouillés et on tombe malade.
L’erreur de 2nd espèce correspond à dire que l’on ne rejette pas H0, on considère qu’il pleut alors
qu’il ne pleut pas donc on prend un parapluie mais on n’en a pas besoin.
2) H0 : catastrophe / H1 :pas de catacstrophe
L’erreur de 1er espèce correspond à dire que l’on rejette H0, on considère qu’il n’y a pas de
catastrophe alors qu’il y a catastrophe, donc on meurt.
L’erreur de 2nd espèce correspond à dire que l’on ne rejette pas H0, on considère qu’il va y a voir une
catastrophe alors qu’il n’y en a pas donc on prend pas l’avion et on survis.
On veut que la procédure permette de contrôler les valeurs de  et , cependant les risques sont antagonistes
donc si  diminue  augmente et inversement, ils ne peuvent pas tendre tous les deux vers 0, il n’y a donc pas
de certitude.
II. METHODE : polycopié
Etape 1 : Enoncer les hypothèses H0 et H1
Etape 2 : Fixer à priori la valeur du risque 
Etape 3 : Choisir l’indicateur « statistique du test » et déterminer sa loi quand H0 est vraie
Etape 4 : Délimiter la zone de rejet de H0
Etape 5 : Calculer la valeur numérique e la statistique du test à partir des données de l’échantillon
Etape 6 : Conclure le test
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VARIABLES QUALITATIVES TEST DE PROPORTION
I.
TEST DE COMPARAISON D’UNE PROPORTION ET D’UNE NORME (H1 bidirectionnelle)
3. Méthode exact (loi binomiale)
Etape 1 : Une variable quantitative à 2 modalités : A et ̅
 = proportion inconnue d’individus A dans la population
o = norme (compris entre 0 et 1)
Le jeu d’hypothèse revient à comparer la proportion  et la norme o, s’écrit :
Ho :  = o
H1 :  ≠ o (ici l’hypothèse est bidirectionnelle ou bilatérale)
Exemple 1: le pisciculteur élève 2 espèces A et ̅ ; les deux espèces sont-elles ou non aussi résistantes ?
Il y a autant de poissons A et ̅, la proportion de poisson A est égale à 0,5 ;  = 0,5 donc cette
hypothèse correspond à Ho.
Il n’y a pas autant de poissons A et ̅, le proportion de poisson A n’est plus égale à 0,5 ;  ≠ 0,5 donc
cette hypothèse correspond à H1.
La norme correspond donc à o = 0,5
Exemple 2 : le pisciculteur prélève un échantillon (avec remise)d’effectif n=14 ; il obtient 11 poisson A.
Etape 2 : On fixe la valeur maxi de , ici 5% (max = 0,05)
Etape 3-4-5 : Calcul de la probabilité critique
On suppose Ho vrai et on calcule ce qui se passe quand on tire un échantillon au hasard :
Epreuve de Bernouilli : prélever un poisson, 2 résultats possibles : A (succès) ou ̅ (non succès)
Schéma de Bernouilli : prélever 14 poissons, n = 14
X = nombre de poissons A dans l’échantillon ; X  Ɓ (14 ; 0,5)
NB : la probabilité de succès correspond au cas où Ho est vrai, soit .
Selon la table obtenir un échantillon pour lequel X est voisin de np = 7 est un évènement fréquent. Si on
obtient un tel échantillon on ne rejette pas Ho.
Obtenir un échantillon tel que np ≠ 7 est un évènement rare, on devra donc rejeter Ho. On peut définir un
ensemble qui incite à rejeter Ho : E
- Seuil 1 définis par la valeur observée, ici 11
- Seuil 2 définis par symétrie du seuil 1 par rapport à np, ici 3
E ={0,1,2,3,11,12,13,14}
Calculer p(X € E) =p(X=0) + p(X=1)…….p(X=14) = 0,0576 = probabilité critique du test.
Etape 6 :
Règle de décision
Si pcritique < max on rejette Ho
Si pcritique > max on ne peut pas rejeter Ho
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Dans notre exemple pcritique > max , on ne peut pas rejeter Ho, on l’accepte par abus : les poissons sont aussi
résistants.
4. Méthode approchée (loi normale réduite)
CONDITIONS DE VALIDITES
Cette méthode approché est valable seulement si no  5 et n(1-o)  5.
On choisira la méthode exacte quand c’est possible c’est-à-dire lorsque n
Etape 1 : identique
Ho :  = o
H1 :  ≠ o
Etape 2 : On fixe max. Pour notre exemple max=0.05
Etape 3 : On choisit la statistique

√


; o est la norme,
On suppose de Ho est vrai et on approxime
c’est la proportion de A.
par une loi Normal N (0 ; 1)
Etape 4 : On définit la zone de rejet de Ho quand est éloignée de 0, c’est-à-dire quand | | est élevée soit
quand | |
où S est 1 seuil positif. Pour S on écrit p ( | |
) = max avec U approximé par N (0 ; 1).
 INSERER SCHEMA
On utilise la table pour déterminer S :
On obtient le seuil S et la zone de rejet bilatérale :
Dans notre exemple la zone de rejet correspond à
Etape 5 : Calcule numérique de U à partir des données de l’échantillon.
Pour le cas du pisciculteur n = 14 et nA=11 donc U = 2,14
Etape 6 :
Règle de décision
Si
on rejette Ho et on accepte H1 par abus
U appartient à notre ensemble de rejet donc on rejette Ho, les deux espèces ne sont pas aussi résistantes.
 INSERER POLY DES REMARQUES
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II.
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TEST DE COMPARAISON D’UNE PROPORTION ET D’UNE NORME (H1 unidirectionnelle)
1. Méthode exact (>)
Etape 1 :
On a une variable qualitative à 2 modalités : A et ̅
 est la proportion d’individus A dans la population et o est la norme (comprise en 0 et 1)
Le jeu d’hypothèse :
Ho :  = o ou  o
H1 :  > o
Dans notre exemple H1 correspond à l’hypothèse selon laquelle l’espèce A est plus résistante que les ̅, cela
signifie qu’il y aura plus de poisson A, donc  > 0,5, ceci correspond à notre hypothèse H1. Donc Ho
correspond à l’hypothèse selon laquelle les poissons A ne sont pas plus résistants.
Etape 2 : On fixe max. Pour notre exemple max=0.05
Etape 3-4-5 :
On suppose Ho vrai et on calcule ce qui se passe quand on tire un échantillon au hasard :
Epreuve de Bernouilli : prélever un poisson, 2 résultats possibles : A (succès) ou ̅ (non succès)
Schéma de Bernouilli : prélever 14 poissons, n = 14
X = nombre de poissons A dans l’échantillon ; X  Ɓ (14 ; 0,5)
NB : la probabilité de succès correspond au cas où Ho est vrai, soit .
On détermine l’ensemble de rejet à partir d’un seuil inclus qui correspond à la valeur observé, ici nA=11, puis
notre hypothèse étant unidirectionnelle on s’intéresse aux possibilités donc E{11, 12, 13, 14}
Calculer p(X € E) =p(X=11) + p(X=12) + p(X=13) +p(X=14) = 0,0288 = probabilité critique du test.
Etape 6 :
Règle de décision
Si pcritique < max on rejette Ho
Si pcritique > max on ne peut pas rejeter Ho
Dans notre exemple pcritique
max , on rejette Ho, on accepte H1 par abus : les poissons A sont plus résistants.
2. Méthode exact (<)
Etape 1 : Le jeu d’hypothèse :
Ho :  = o ou 
H1 :  < o
o
Etape 3-4-5 : L’ensemble E{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}
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3. Méthode approchée (>)
CONDITIONS DE VALIDITES
Cette méthode approché est valable seulement si no  5 et n(1-o)  5.
On choisira la méthode exacte quand c’est possible c’est-à-dire lorsque n
Etape 1 : jeu d’hypothèse :
Ho :  = o ou 
H1 :  > o
o
Dans notre exemple H1 correspond à l’hypothèse selon laquelle l’espèce A est plus résistante que les ̅, cela
signifie qu’il y aura plus de poisson A, donc  > 0,5.
Etape 2 : On fixe max. Pour notre exemple max=0.05
Etape 3 : On choisit la statistique

√


; o est la norme,
On suppose que Ho est vrai on approxime
c’est la proportion de A.
par une loi Normal N (0 ; 1)
Etape 4 : On définit la zone de rejet de Ho quand est nettement plus grand que 0, c’est-à-dire quand U est
nettement plus grand que 0 soit
. Pour S on écrit p (
) = max avec U approximé par N (0 ; 1).
On utilise la table pour déterminer S :
On obtient le seuil S à la lecture de la table et donc la zone de rejet unilatérale :
Dans notre exemple la zone de rejet correspond à
Etape 5 : Calcule numérique de U à partir des données de l’échantillon.
Pour le cas du pisciculteur n = 14 et nA=11 donc U = 2,14
Etape 6 :
Règle de décision
Si
on rejette Ho et on accepte H1 par abus
Dans notre exemple U appartient à l’ensemble de rejet donc on doit rejeter Ho et on accepte H1 par abus.
L’espèce A est plus résistante.
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Statistiques
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4. Méthode approchée (<)
Etape 1 : jeu d’hypothèse :
Ho :  = o ou 
H1 :  < o
o
Dans notre exemple H1 correspond à l’hypothèse selon laquelle l’espèce A est plus résistante que les ̅, cela
signifie qu’il y aura plus de poisson A, donc  < 0,5.
Etape 2 : On fixe max.
Etape 3 : On choisit la statistique

√


; o est la norme,
On suppose que Ho est vrai on approxime
c’est la proportion de A.
par une loi Normal N (0 ; 1)
Etape 4 : On définit la zone de rejet de Ho quand est nettement plus grand que 0, c’est-à-dire quand U est
nettement plus grand que 0 soit
. Pour S on écrit p (
) = max avec U approximé par N (0 ; 1).
On utilise la table pour déterminer S :
On obtient le seuil S à la lecture de la table et donc la zone de rejet unilatérale :
Etape 5 : Calcule numérique de U à partir des données de l’échantillon.
Etape 6 :
Règle de décision
Si
on rejette Ho et on accepte H1 par abus
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Statistiques
III.
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TEST DE COMPARAISON DE 2 PROPORTIONS (Observations indépendantes)
Ce test s’effectue aussi par une méthode exacte, il s’appelle alors test exact de Ficher.
Situation : On dispose d’une variable qualitative à deux modalités, elle est définis sur une deux populations :
Population 1 : 1 est la proportion inconnue de A / Population 2 : 2 est la proportion inconnue de A
On extrait 2 échantillons aléatoires, un dans chaque population :
̅
A
n11
n22
n.1
Echantillon 1
Echantillon 2
Total
n12
n21
n.2
Total
n1.
n2.
n..
Notations : On peut lire les 2 indices :
- Le premier i correspond à l’échantillon
- Le second j correspond à la modalité
On considère les observations indépendantes car les individus qui composent les 2 échantillons sont distincts.
1. Cas d’une hypothèse H1 Bidirectionnelle
CONDITIONS DE VALIDITES
min(n.j x ni.) > 5n
Etape 1 : On veut tester un jeu d’hypothèse : Ho : 1 = 2 / H1 : 1 ≠ 2
On compare 2 réglages sur une machine et on observe la qualité des pièces, la variable qualitative est la
qualité et elle a deux modalités, correct ou insuffisante. Les hypothèses sont les suivantes :
- Ho : 1 = 2 : la qualité des pièces est la même, elle ne dépend pas des réglages
- H1 : 1 ≠ 2 : la qualité des pièces n’est pas la même, elle dépend des réglages
Etape 2 : On fixe max. Pour notre exemple max=0.05
Etape 3 : On choisit la statistique
√(
)
On suppose que Ho est vrai on approxime
par une loi Normal N (0 ; 1)
Etape 4 : On définit la zone de rejet de Ho quand est éloignée de 0, c’est-à-dire quand | | est élevée soit
quand | |
où S est 1 seuil positif. Pour S on écrit p ( | |
) = max avec U approximé par N (0 ; 1).
On utilise la table pour déterminer S :
On obtient le seuil S et la zone de rejet bilatérale :
Dans notre exemple la zone de rejet correspond à
Etape 5 : Calcul de U
Etape 6 :
Si
Règle de décision
on rejette Ho et on accepte H1 par abus
Dans notre exemple on ne peut pas rejeter donc on accepte Ho par abus.
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2. Cas d’une hypothèse H1 (>)
Etape 1 : On veut tester un jeu d’hypothèse : Ho : 1 = 2 / H1 : 1 > 2
On compare 2 réglages sur une machine et on observe la qualité des pièces, la variable qualitative est la
qualité et elle a deux modalités, correct ou insuffisante. Les hypothèses sont les suivantes :
- Ho : 1 = 2 : la qualité des pièces est la même, elle ne dépend pas des réglages
- H1 : 1 > 2 : la qualité des pièces est meilleure avec les réglages 1, elle dépend des réglages
Etape 2 : On fixe max. Pour notre exemple max=0.05
Etape 3 : On choisit la statistique
√(
)
On suppose que Ho est vrai on approxime
par une loi Normal N (0 ; 1)
Etape 4 : On définit la zone de rejet de Ho quand est nettement plus grand que 0, c’est-à-dire quand U est
nettement plus grand que 0 soit
. Pour S on écrit p (
) = max avec U approximé par N (0 ; 1).
On utilise la table pour déterminer S :
On obtient le seuil S à la lecture de la table et donc la zone de rejet unilatérale :
Dans notre exemple la zone de rejet correspond à
Etape 5 : Calcule numérique de U à partir des données de l’échantillon.
Pour le cas du pisciculteur n = 14 et nA=11 donc U = 2,14
Etape 6 :
Règle de décision
Si
on rejette Ho et on accepte H1 par abus
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3. Cas d’une hypothèse H1 (<)
Etape 1 : On veut tester un jeu d’hypothèse : Ho : 1 = 2 / H1 : 1 < 2
On compare 2 réglages sur une machine et on observe la qualité des pièces, la variable qualitative est la
qualité et elle a deux modalités, correct ou insuffisante. Les hypothèses sont les suivantes :
- Ho : 1 = 2 : la qualité des pièces est la même, elle ne dépend pas des réglages
- H1 : 1 < 2 : la qualité des pièces est meilleure avec les réglages 2, elle dépend des réglages
Etape 2 : On fixe max. Pour notre exemple max=0.05
Etape 3 : On choisit la statistique
√(
)
On suppose que Ho est vrai on approxime
par une loi Normal N (0 ; 1)
Etape 4 : On définit la zone de rejet de Ho quand est nettement plus grand que 0, c’est-à-dire quand U est
nettement plus grand que 0 soit
. Pour S on écrit p (
) = max avec U approximé par N (0 ; 1).
On utilise la table pour déterminer S :
On obtient le seuil S à la lecture de la table et donc la zone de rejet unilatérale :
Dans notre exemple la zone de rejet correspond à
Etape 5 : Calcule numérique de U à partir des données de l’échantillon.
Etape 6 :
Règle de décision
Si
on rejette Ho et on accepte H1 par abus
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L2S3
TESTS D’HYPOTHESES VARIABLES QUANTITATIVES
I. TEST DE COMPARAISON D’UNE MOYENNE ET D’UNE NORME QUAND LA VARIABLE SUIT UNE LOI
NORMALE D’ECART TYPE INCONNU
On dispose d’une variable quantitative notée X, on appelle  la moyenne inconnue de X dans la population.
H0 :  = o la moyenne inconnue de X est égale à la norme tirée du contexte.
H1 : peut prendre 3 formes :
Bidirectionnelle  ≠ o
Unidirectionnelle  > o
Unidirectionnelle  < o
-
BIDIRECTIONNELLE
Etape 1 :
H0 :  = o
H1 :  ≠ o
Etape 2 : On fixe 
Etape 3 : On choisit la statistique

̅
√
n est l’échantillon, ̅ la moyenne et s l’écart type de l’échantillon
On suppose Ho vraie et on approxime par une loi de Student à (n-1) degré de liberté.
Etape 4 : On rejette Ho pour | | élevé c’est-à-dire dépassant le seuil S pour lequel p(| |

la symétrie de la loi de Student p(| | S) = , on obtient S dans la table
S) =  , soit d’après
La zone de rejet E s’écrit
Etape 5 : Calcul de t
Etape 6 :
Règle de décision
Si
on rejette Ho et on accepte H1 par abus
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Statistiques
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UNIDIRECTIONNELLE positive
Etape 1 :
H0 :  o
H1 :  > o
Etape 2 : On fixe 

̅
Etape 3 : On choisit la statistique
√
n est l’échantillon, ̅ la moyenne et s l’écart type de l’échantillon
On suppose Ho vraie et on approxime par une loi de Student à (n-1) degré de liberté.
Etape 4 : On rejette Ho quand t est trop grand, on cherche donc un seuil S pour lequel p(t
S dans la table. La zone de rejet E s’écrit
S) =  , on obtient
Etape 5 : Calcul de t
Etape 6 :
Règle de décision
Si
on rejette Ho et on accepte H1 par abus
UNIDIRECTIONNELLE négative
Etape 1 :
H0 :  o
H1 :  < o
Etape 2 : On fixe 
Etape 3 : On choisit la statistique

̅
√
n est l’échantillon, ̅ la moyenne et s l’écart type de l’échantillon
On suppose Ho vraie et on approxime par une loi de Student à (n-1) degré de liberté.
Etape 4 : On rejette Ho quand t est trop grand, on cherche donc un seuil S négatif pour lequel p(t
obtient S dans la table. La zone de rejet E s’écrit
S) =  , on
Etape 5 : Calcul de t
Etape 6 :
Règle de décision
Si
on rejette Ho et on accepte H1 par abus
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Statistiques
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II. TEST DE COMPARAISON DE 2 MOYENNES LORSQUE LES DISTRIBUTIONS SONT NORMALES
D’ECART TYPE EGAUX MAIS DE VALEUR INCONNNUE (OBSERVATIONS INDEPENDANTES)
On dispose d’une variable quantitative X, on est en présence de 2 populations dont sont extrait 2 échantillons :
Population 1 : effectif n1 ; moyenne 1 ; écart type 1 ; observations x11 x12…
Population 2 : effectif n2 ; moyenne 2 ; écart type 2 ; observations x21 x22…
Le dispositif expérimentale est constitué par 2 échantillons formés d’individus distincts
H0 : 1 = 2
H1 : peut prendre 3 formes :
Bidirectionnelle 1 ≠ 2
Unidirectionnelle 1 > 2
Unidirectionnelle 1 < 2
-
BIDIRECTIONNELLE
Etape 1 :
H0 : 1 = 2
H1 : 1 ≠ 2
Etape 2 : On fixe 
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
Etape 3 : On choisit la statistique
√
√
On suppose Ho vraie et on approxime par une loi de Student à (n1 + n2 - 2) degré de liberté.
Etape 4 : On rejette Ho pour | | élevé c’est-à-dire dépassant le seuil S pour lequel p(| |

la symétrie de la loi de Student p(| | S) = , on obtient S dans la table
S) =  , soit d’après
La zone de rejet E s’écrit
Etape 5 : Calcul de t
Etape 6 :
Règle de décision
Si
on rejette Ho et on accepte H1 par abus
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L2S3
UNIDIRECTIONNELLE positive
Etape 1 :
H0 : 1 2
H1 : 1 > 2
Etape 2 : On fixe 
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
Etape 3 : On choisit la statistique
√
√
On suppose Ho vraie et on approxime par une loi de Student à (n1 + n2 - 2) degré de liberté.
Etape 4 : On rejette Ho quand t est trop grand, on cherche donc un seuil S pour lequel p(t
S dans la table. La zone de rejet E s’écrit
S) =  , on obtient
Etape 5 : Calcul de t
Etape 6 :
Règle de décision
Si
on rejette Ho et on accepte H1 par abus
UNIDIRECTIONNELLE négative
Etape 1 :
H0 : 1 2
H1 : 1 < 2
Etape 2 : On fixe 
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
Etape 3 : On choisit la statistique
√
√
On suppose Ho vraie et on approxime par une loi de Student à (n1 + n2 - 2) degré de liberté.
Etape 4 : On rejette Ho quand t est trop grand, on cherche donc un seuil S négatif pour lequel p(t
obtient S dans la table. La zone de rejet E s’écrit
S) =  , on
Etape 5 : Calcul de t
Etape 6 :
Règle de décision
Si
on rejette Ho et on accepte H1 par abus
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III.
L2S3
TEST DE COMPARAISON DE 2 MOYENNES (OBSERVATIONS APPARIEES)
1. Introduction
Ce test est utilisé pour étudier l’effet d’un traitement sur une variable quantitative pour une population, dans
ce cas la variable X peut dépendre de facteurs, autres que le traitement, que l’on souhaite contrôler afin
d’isoler l’effet du traitement. Les observations sont effectuées par paires entre lesquelles seul le facteur étudié
varie. Ce dispositif expérimentale est appelé observations appariées ou appareillées.
On a un unique échantillon, chaque individu est soumis à 2 mesures de la variable, une pour chaque modalité
de traitement.
2. Principe du test
Pour un traitement à 2 modalités notons :
- X la mesure de la variable sous la modalité 1, x moyenne de la variable sous la modalité 1
- Y la mesure de la variable sous la modalité 2, y moyenne de la variable sous la modalité 2
Pour un échantillon d’effectif n, on obtient n couples d’obervations (xi , yi). On cherche à comparer les deux
moyennes.
On introduit la variable différence D= X – Y et di = xi - yi et d = x - y
x = y donc d = 0
x ≠ y donc d ≠ 0
x > y donc d > 0
Comparer 2 moyennes revient à comparer la différence d avec 0. On se retrouve donc avec un test classique
d’une moyenne à une norme (paragraphe I). Il faut vérifier que D suit une loi Normale d’écart type inconnue.
BIDIRECTIONNELLE
Etape 1 :
H0 : x = y soit d = 0
H1 : x ≠ y soit d ≠ 0
Etape 2 : On fixe 
Etape 3 : On choisit la statistique
̅
√
n est l’effectif de l’échantillon D, ̅ la moyenne et sd l’écart type
On suppose Ho vraie et on approxime par une loi de Student à (n-1) degré de liberté.
Etape 4 : On rejette Ho pour | | élevé c’est-à-dire dépassant le seuil S pour lequel p(| |

la symétrie de la loi de Student p(| | S) = , on obtient S dans la table
S) =  , soit d’après
La zone de rejet E s’écrit
Etape 5 : Calcul de t
Etape 6 :
Règle de décision
Si
on rejette Ho et on accepte H1 par abus
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Statistiques
L2S3
UNIDIRECTIONNELLE positive
Etape 1 :
H0 : x y donc d 0
H1 : x > y donc d > 0
Etape 2 : On fixe 
Etape 3 : On choisit la statistique
̅
√
n est l’effectif de l’échantillon D, ̅ la moyenne et sd l’écart type
On suppose Ho vraie et on approxime par une loi de Student à (n-1) degré de liberté.
Etape 4 : On rejette Ho quand t est trop grand, on cherche donc un seuil S pour lequel p(t
S dans la table. La zone de rejet E s’écrit
S) =  , on obtient
Etape 5 : Calcul de t
Etape 6 :
Règle de décision
Si
on rejette Ho et on accepte H1 par abus
UNIDIRECTIONNELLE négative
Etape 1 :
H0 :  o
H1 :  < o
Etape 2 : On fixe 
Etape 3 : On choisit la statistique
̅
√
n est l’effectif de l’échantillon D, ̅ la moyenne et sd l’écart type
On suppose Ho vraie et on approxime par une loi de Student à (n-1) degré de liberté.
Etape 4 : On rejette Ho quand t est trop grand, on cherche donc un seuil S négatif pour lequel p(t
obtient S dans la table. La zone de rejet E s’écrit
S) =  , on
Etape 5 : Calcul de t
Etape 6 :
Règle de décision
Si
on rejette Ho et on accepte H1 par abus
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