Théorèmes 5° - COLLEGE ROUGES BARRES

TRIANGLES
Inégalité triangulaire :
Th Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des
longueurs des deux autres côtés.
Th Trois longueurs étant données,
Si la plus grande est inférieure à la somme des deux autres, alors on peut construire un
triangle qui a pour côté ces trois mesures
Sinon, on ne peut pas le construire.
Th Si C est sur [AB], alors AB = AC + CB
et réciproquement :
Si AB = AC + CB, alors C est sur [AB]
Th La somme des angles d'un triangle vaut 180°
Def Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit
Th Si un triangle est rectangle, alors ses angles aigus sont complémentaires (c’est à dire
que leur somme vaut 90°)
Th Réciproquement : Si un triangle a deux angles complémentaires, alors c’est un triangle
rectangle.
Def Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l'angle droit est appelé l'hypoténuse.
Def Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de même mesure.
Th Dans un triangle isocèle, les deux angles à la base sont de même mesure.
Th Les angles aigus d'un triangle rectangle isocèle mesurent 45°.
Def Un triangle équilatéral est un triangle qui a trois côtés de même mesure.
Th Si un triangle est équilatéral, alors ses trois angles mesurent 60°
Th Réciproquement : Si un triangle a trois angles de 60°, alors il est équilatéral
Si un triangle isocèle a un angle de 60°, alors c'est un triangle équilatéral.
SYMETRIES
Médiatrice d’un segment :
Def La médiatrice d’un segment est la droite qui passe par le milieu du segment et qui lui
est perpendiculaire.
Théorèmes de la médiatrice :
Th Si un point est sur la médiatrice d'un segment, alors il est à égale distance des
extrémités de ce segment.
Th Si un point est à égale distance des extrémités d'un segment, alors il appartient à la
médiatrice de ce segment.
Symétrie axiale :
Def : Une droite (d) étant donnée :
«Le point M’ est le symétrique d’un point M par rapport à (d) » signifie que :
 Si M n’est pas sur (d) : (d) est la médiatrice du segment [MM’]
 Si M est sur (d) : M’ est confondu avec M.
(d) est appelé axe de la symétrie
Symétrie Centrale :
Def : Un point O étant donnée :
« Le point M’ est le symétrique d’un point M par rapport à O » signifie que O est le milieu du
segment [MM’].
O est appelé centre de la symétrie.
Propriétés :
Th Le symétrique d’une droite dans une symétrie centrale est une droite parallèle
(dans une symétrie axiale, l’image n’est pas forcément parallèle)
Th Le symétrique d’un segment est un segment de même longueur
Th Le symétrique d’un angle est un angle de même mesure.
Th Le symétrique d’une figure est une figure de même aire.
ANGLES
Def Deux angles sont adjacents s'ils ont le même sommet, un côté commun et s'ils sont
de part et d'autre de ce côté.
Def DEUX angles opposés par le sommet sont formés par deux droites sécantes.
Th Si deux angles sont opposés par le sommet, alors ils sont égaux.
Def Deux droites coupés par une sécante forment des angles alternes-internes et des
angles correspondants :
Th Si deux droites sont parallèles et si elles sont coupées par une sécante,
alors les angles alternes-internes (ainsi formés) sont égaux
Th Si deux droites sont parallèles et si elles sont coupées par une sécante,
alors les angles correspondants (ainsi formés) sont égaux.
Réciproquement :
Th Si deux angles alternes-internes sont égaux,
alors : les droites qui les forment (avec une sécante) sont parallèles.
Th Si deux angles correspondants sont égaux,
alors : les droites qui les forment (avec une sécante) sont parallèles.
QUADRILATERES
Th La somme des angles d'un quadrilatère est égale à 360°.
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.
propriété Un parallélogramme admet un centre de symétrie : le point d’intersection des
diagonales.
propriété Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu
propriété Les côtés opposés d'un parallélogramme sont de même longueur 2 à 2.
propriété Les angles opposés d'un parallélogramme ont la même mesure.
propriété Deux angles consécutifs d’un parallélogramme sont supplémentaires.
Théorèmes :
Si un quadrilatère a ses côtés parallèles deux à deux,
alors c'est un parallélogramme.
Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leurs milieux,
alors c'est un parallélogramme
Si un quadrilatère non croisé a 2 côtés opposés parallèles et de même longueur,
alors c’est un parallélogramme
Si un quadrilatère non croisé a ses côtés opposés de même longueur,
alors c’est un parallélogramme
Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits.
Propriété Un rectangle est un parallélogramme. Il en a donc toutes les propriétés.
propriété Les diagonales d'un rectangle ont la même longueur.
propriété Un rectangle a deux axes de symétrie : ses médianes
Théorèmes
Si un quadrilatère a trois angles droits,
alors c'est un rectangle.
Si un parallélogramme a un angle droit,
alors c'est un rectangle.
Si un parallélogramme a ses diagonales de la même longueur,
alors c'est un rectangle.
Si les diagonales d'un quadrilatère ont le même milieu et la même longueur,
alors c'est un rectangle.
Un losange est un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur.
propriété Un losange est un parallélogramme. Il en a donc toutes les propriétés.
propriété Les diagonales d'un losange sont perpendiculaires.
Propriété Un losange a deux axes de symétrie : ses diagonales.
théorèmes:
Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur,
alors c'est un losange.
Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires,
alors c'est un losange.
Si les diagonales d'un quadrilatère ont le même milieu et sont perpendiculaires,
alors c'est un losange.
Un carré est un quadrilatère qui a quatre angles droits et quatre côtés de même longueur.
Un carré est à la fois un rectangle et un losange. Il en a donc toutes les propriétés.
Entre autres : un carré a
- un centre de symétrie : le point d’intersection des diagonales.
- quatre axes de symétrie.
théorèmes:
Si un losange a un angle droit,
alors c'est un carré.
Si un rectangle a deux côtés consécutifs de même longueur,
alors c'est un carré.
Si les diagonales d'un quadrilatère ont le même milieu, la même longueur et sont
perpendiculaires,
alors c'est un carré.