E+Q

ED D ’É LECTROSTATIQUE
PAES-APEMK
Professeur Tijani GHARBI
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1
Rappels
1.1 Notion de champs
Nous revenons ici sur la notion de champ. Un champ associé à une grandeur physique représente la valeur de cette grandeur physique en chaque point de
l’espace. Prenons l’exemple de la grandeur scalaire : la température. Nous pouvons parler d’un champ de température pour exprimer le fait qu’en tout point
de l’espace (x, y, z), il existe une grandeur dont la valeur est la température. Ce
champ T (x, y, z) est un champ scalaire. Intéressons nous maintenant à la notion
de champ électrique. La charge q0 de la figure(1.1) subit, la résultante 1 des forces
→
−
→
−
→
−
F q1 /q0 , F q2 /q0 , F q3 /q0
z
−
→
F q3 /q0
q0
q1
−
→
F q1 /q0
−
→
F q2 /q0
q3
o
y
q2
x
→
−
→
−
→
−
1. Le vecteur qui représente la somme vectorielle, des 3 vecteurs : F q1 /q0 , F q2 /q0 , F q3 /q0
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1.2
Les lignes du champ électrique
2
Supposons que nous déplaçons la charge q0 de manière à l’amener à n’importe
quel point p(x, y, z), elle sera toujours soumise à une force dont l’expression est :
1
q0 q2 −
q0 q3 −
q0 q1 −
→
−
→
→
→
× u 10 + 2 × u 20 +
× u 30
F (q1 ,q2 ,q3)/q0 =
4πε0 r01
r03
r02
Que nous pouvons écrire sous la forme :
− →
F( 3
i=1 qi )/q0
=
N
1 q0 qi −
→
2 u i0
4πε0
r
i
i=1
=
N
q0 qi →
−
2 u i0
4πε0
r
i=1 i
→
−
Reamarque : ici le terme ( F (3 qi )/q0 est en indice de F pour exprimer, la force
i=1
subie par q0 , due à q1 , q2 , q3 .
la présence de la charge q0 au point p0 (x, y, z) change donc les propriétés de
l’espace, notamment en p1 (x, y, z), p2 (x, y, z), p3 (x, y, z) , et ceci est ressenti par
q1 , q2 , q3 . Nous traduisons cette effet par l’existence d’un champ électrique, grandeur vectorielle qui ne doit pas dépendre de q0 , puisque le phénomène n’est pas lié
à q0 . Cette grandeur sera définie pour l’espace entier :
−
→
E (p0 ) =
N
N
→
−
1 qi −
→
=
u
Ei
i0
2
4πε0
r
i
i=1
i=1
Une autre façon de l’exprimer consistera à dire que le champ électrique subit
par q0 au point p0 (x, y, z), champ dû aux autres charges, est :
→
−
F ( 3 qi )/q0
−
→
i=1
E (p0 ) =
q0
Le champ ainsi défini est tout à fait indépendant de la charge q0 utilisée pour le
mettre en évidence. Ce champ ne dépend que des charges qui sont à sa source.
1.2 Les lignes du champ électrique
Par définition : Les lignes du champ électrique sont les lignes tangentes au
→
−
vecteur champ électrique en chaque point. Elles sont orientées dans le sens de E .
En tout point, le champ électrique résultant est tangent à la ligne de champ
passant par ce point. Pour tracer convenablement les lignes de champ, certaines
règles s’appliquent.
1. Les lignes de champ sont continues entre les charges positives et négatives.
Les lignes de champ sont produites par les charges positives et absorbées par
les charges négatives.
2. Le nombre de lignes de champ produites ou absorbées par une charge est
proportionnel à la grandeur de la charge. La charge +2q produit deux fois
plus de lignes qu’en absorbe une charge −q.
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1.2
Les lignes du champ électrique
3
3. Les lignes de champ doivent respecter la symétrie de la distribution des
charges.
4. Les lignes de champ ne doivent pas se croiser.
5. En s’éloignant de la distribution de charges, les lignes de champ semblent
provenir d’une charge ponctuelle de valeur égale à la charge nette de la distribution.
1.2.1
Cas d’une charge positive
Une charge +q produirait en tout point de l’espace un champ :
−
→
E crée par q =
1 q
u
4πε0 r 2
+q
→
∀ la direction de −
u
−
→
u
F IGURE 1 – lignes de champ produites par une charge ponctuelle positive isolée.
1.2.2
Cas d’une charge négative
Dans ce cas le champ crée par la charge est opposé au vecteur unitaire u (car
la charge est négative).
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−q
−
→
u
F IGURE 2 – lignes de champ produites par une charge ponctuelle négative isolée.
2
QCM 1
La zone du spectre UV de l’onde électromagnétique qui se situe entre 320−400 nm
est appelée UV-A, celle de la zone 290 − 320 nm correspond à l’UV-B et enfin le
spectre de l’UV-C se situe entre 10 nm et 290 nm. La vitesse de la lumière est de
3 108 m/s.
a. Une onde de fréquence ν = 6 × 1015 Hz, se situerait dans l’UV-C.,
b. Une onde de fréquence ν = 2 × 1015 Hz, se situerait dans l’UV-B.,
c. Une onde de fréquence ν = 1.2 × 1015 Hz, se situerait dans l’UV-C.,
d. Pour qu’une onde se situe dans l’UV-A, il faut que sa fréquence soit inférieure à ν = .75 × 1015 Hz.
e. Si une onde présente une fréquence égale à la somme des fréquences des
deux ondes définies en (1) et (2), elle se situera dans l’UV-B.
3
Solution QCM1
Écrivons tout d’abord la relation entre la fréquence d’une onde, sa vitesse et sa
fréquence :
OA
ν=
OA
A l’aide de la relation précédente nous remplissons le tableau suivant :
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5
ν × 1015 Hz
λ
10 nm
290 nm
320 nm
400 nm
Nous situerons alors ces fréquences sur la figure(3) :
10 nm
290 nm
UV-C
320 nm
UV-B
F IGURE 3 – Représentation graphique des résultats.
Nous répondons ensuite au QCM.
4
QCM 2
5
Solution QCM 2
Écrivons tout d’abord l’expression d’un champ crée par une charge Q :
−
→
E =
OAaaaa −−→
1
×
× uAB
4πε0 OAaaaa
A l’aide de la relation précédente nous remplissons le tableau suivant :
−−→
E+Q =
1
OAaaaa −−→
× uAB
×
4πε0 OAaaaa
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a)
b)
c)
d)
e)
−→
EB
+Q
M
+Q
+Q
+Q
+Q
−→
EB
M
−→
EA
M
−→
EB
−
−−
→
E−Q =
−→
EA
−→
EA
M
−→
EA
−→
EB
−→
EA
−→
EB
M
−Q
−Q
−Q
−Q
−Q
1
OAaaaa −−→
× uAB
×
4πε0 OAaaaa
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6
QCM 3
Deux charges électriques ponctuelles sont placées en deux points A et B, tels que
AB = 8cm. La charge en A, vaut qA = 3.56 nC (nano Coulomb) alors que
celle placée en B vaut qB = −14.23 nC ; Nous allons nous intéresser aux champs
électriques crées en un point C de la médiatrice de AB situé à 4cm du milieu de
AB. Pour cela, plaçons une charge sonde qC qui vaut 1C au point C. On donne :
√
√
√
1
= 9 × 109 N m2 /C 2 , et 17 = 4.12, 7 = 2.65, 5 = 2.23.
4πε0
a. L’intensité du champ créé par la charge qA au point C est de l’ordre 1V /m
b. L’intensité du champ électrique total, créé par les deux charges (qA et qB )
au point C est de 4.12V /m. C
c. Lorsque la charge qC se trouve au point médian M (milieu du segment AB),
le vecteur champ électrique créé par qA et qB au point M est dirigé vers B.
d. Pour que le champ électrique créé par qA et qB , au point M soit nul, il faut
que qB = −qA
e. Lorsque qB = −qA , ces deux charges forment un dipôle électrique.
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7
8
Solution QCM 3
A
B
qA
qB
QCM 4
Deux petites sphères métalliques, de masse m = 10−2 kg, sont suspendues au
même point par deux fils isolants rigides de masse négligeable devant la masse
des sphères, de longueur l = 1.34 m. Elles portent deux charges électriques
identiques égales à q. A l’équilibre, les centres des deux sphères sont distants de
d, l’angle entre les deux fils est de 60◦ .
On donne :
|g | = 9.8m/s2 , cos(30◦ ) = 0.86, sin(30◦ ) = 0.50,
cos(60◦ ) = 0.50, sin(60◦ ) = 0.86,
sin(30◦ )
1
= 1.16, tan(30◦ ) =
= 0.85, tan(60◦ ) = 1.73,
0.86
cos(30◦ )
√
√
1
= 9 × 109 N m2 /C 2 , 1.342 = 1.8, 12 = 3.46, 11.368 = 3.37.
4πε0
a. A l’équilibre d = 1.8 m
b. L’intensité |T | de la tension sur chaque fil est de 120 × 10−3 N .
c. L’intensité des forces électrostatiques est égale à la moitié de l’intensité de
la tension du fil.
d. La valeur de la charge |q| est de 3.46μC.
e. Tous les résultats obtenus auraient été identiques si les charges en présence
étaient de signe opposé.
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9
Solution QCM 4
60◦
A
B
q
q
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10 QCM 5
Soit l’association de condensateurs de la figure(4). Calculons la capacité du
condensateur équivalent et la tension à ses bornes. Données : C1 = 1μF , C2 =
1μF , C3 = 2μF ,V 1 = V 2 = V 3 = 15V .
a. La capacité du condensateur équivalent est de 2μF .
b. La capacité du condensateur équivalent est de 1μF
c. La tension aux bornes de ce condensateur équivalent est de 45V .
d. La tension aux bornes de ce condensateur équivalent est de 30V .
e. La tension aux bornes de ce condensateur équivalent est de 15V .
C1
A1
B1
C3
V1
A3
C2
A2
B3
V3
B2
V2
F IGURE 4 – Association de condensateurs
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11 Solution QCM5
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