22. a) La densité de charge linéique est la charge par unité de

22. a) La densité de charge linéique est la charge par unité de longueur de la tige. Étant donné que la charge est
répartie uniformément sur la tige, λ q/L.
b) On situe l’axe des x le long de la tige. L’axe trouve son point de départ à l’extrémité gauche de la tige (voir le
schéma). Supposez que dx est une longueur infinitésimale de la tige au point x. La charge de ce segment est
dq λ dx. La charge dq peut être assimilée à une charge ponctuelle. Le champ électrique qu’elle établit au
point P a une seule composante x, qu’on détermine ainsi :
dEx =
1
λ dx
.
4πε0 (L + a − x)2
Le champ électrique total que la tige entière établit au point P est l’intégrale suivante :
L
λ
dx
Ex =
4πε0 0 (L + a − x)2
L
λ
1
=
4πε0 L + a − x 0
λ
1
1
=
−
4πε0 a L + a
λ
L
.
=
4πε0 a(L + a)
Lorsqu’on remplace λ par q/L, on obtient
Ex = −
1
q
.
4πε0 a(L + a)
Le signe négatif indique que le champ est dirigé vers la tige.
c) Si a est de beaucoup supérieure à L, on peut estimer que la quantité L a du dénominateur est approximativement de a, auquel cas l’expression du champ électrique est la suivante :
q
.
Ex = −
4πε0 a2
Il s’agit bien de l’expression du champ électrique d’une charge ponctuelle à l’origine.