Sujet de la leçon. Classe. Référence.
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Sujet de la leçon. Les angles remarquables. Classe. 2ème année de l’enseignement général. Référence. A) Au programme. - Géométrie - Propriétés géométriques - Propriétés relatives aux angles et aux droites remarquables - Angles d’un triangle - Déterminer la somme des angles d’un triangle. - Déterminer la relation entre un angle extérieur et les angles intérieurs non-adjacents. B) Au socles de compétences. - Les solides et figures - Dégager des régularités, des propriétés, argumenter - Dans un contexte de pliage, de découpage, de pavage et de reproduction de dessins, relever la présence de régularités. - Relever des régularités dans des familles de figures planes et en tirer des propriétés relatives aux angles, aux distances et aux droites remarquables. - Comprendre et utiliser, dans leur contexte, les termes usuels propres à la géométrie. - Les grandeurs - Comparer, mesurer - Mesurer des angles. 1 Objectif de la leçon. a) Spécifiques. 1ère heure Au terme de la leçon, l’élève sera capable de justifier mathématiquement les propriétés concernant les angles correspondants, alternes internes et alternes externes. 2ème heure Au terme de la leçon, l’élève sera capable de résoudre des exercices dans lesquels il doit trouver l’amplitude d’un angle sur une construction géométrique en utilisant les propriétés des angles remarquables. 3ème heure Au terme de la leçon, l’élève sera capable de déterminer l’amplitude d’un angle dans un triangle en ayant démontré antérieurement que la somme des amplitudes des angles dans un triangle vaut 180°. b) Intermédiaires. 1ère heure - Au terme de la leçon, l’élève sera capable d’identifier dans un pavage des angles qui ont la même amplitude qu’un angle repéré en utilisant le rapporteur si besoin. - Au terme de la leçon, l’élève sera capable de justifier avec ses mots l’égalité d’amplitude de certains angles dans un pavage. - Au terme de la leçon, l’élève sera capable d’identifier des angles remarquables grâce à leurs caractéristiques qui sont données. - Au terme de la leçon, l’élève sera capable de justifier mathématiquement que des angles correspondants formés par deux droites parallèles coupées par une sécante ont la même amplitude. - Au terme de la leçon, l’élève sera capable de justifier mathématiquement que des angles alternes internes formés par deux droites parallèles coupées par une sécante ont la même amplitude. - Au terme de la leçon, l’élève sera capable de justifier mathématiquement que des angles alternes externes formés par deux droites parallèles coupées par une sécante ont la même amplitude. - Au terme de la leçon, l’élève sera capable de justifier mathématiquement que si deux droites forment soit des angles correspondants, soit des angles alternes internes, soit des angles alternes externes de même amplitude, alors ces deux droites sont parallèles. 2 2ème heure - Au terme de la leçon, l’élève sera capable de justifier mathématiquement que deux angles dont les côtés sont parallèles deux à deux ont la même amplitude s’ils sont tous les deux aigus. - Au terme de la leçon, l’élève sera capable de justifier mathématiquement que deux angles dont les côtés sont parallèles deux à deux sont supplémentaires si l’un est aigu et l’autre obtus. - Au terme de la leçon, l’élève sera capable d’identifier sur une construction géométrique une paire d’angles remarquables (angles correspondants, angles alternes internes, angles alternes externes, angles supplémentaires, angles complémentaires et angles opposés par le sommet). - Au terme de la leçon, l’élève sera capable d’identifier quels angles remarquables forment deux angles donnés dans une construction géométrique. - Au terme de la leçon, l’élève sera capable de résoudre des exercices simples dans lesquels il doit trouver l’amplitude d’un angle sur une construction géométrique en utilisant les propriétés des angles remarquables. - Au terme de la leçon, l’élève sera capable de résoudre des exercices complexes dans lesquels il doit trouver l’amplitude d’un angle sur une construction géométrique en utilisant les propriétés des angles remarquables. 3ème heure - Au terme de la leçon, l’élève sera capable d’exprimer les données d’une démonstration en le faisant pour la démonstration de la somme des amplitudes des angles dans un triangle. - Au terme de la leçon, l’élève sera capable d’exprimer la thèse d’une démonstration en le faisant pour la démonstration de la somme des amplitudes des angles dans un triangle. - Au terme de la leçon, l’élève sera capable d’expliquer pourquoi la somme des amplitudes dans un triangle est de 180° en faisant la démonstration. - Au terme de la leçon, l’élève sera capable de déterminer l’amplitude d’un angle dans un triangle en ayant des renseignements sur les deux autres angles ou sur les côtés du triangle. - Au terme de la leçon, l’élève sera capable de citer quelques propriétés liées aux angles de triangles particuliers (triangle isocèle, triangle équilatéral et triangle rectangle isocèle). Prérequis. - Les élèves doivent connaître les propriétés liées aux angles dans un pavage. - Les élèves doivent connaître la notion d’angles adjacents. - Les élèves doivent connaître les propriétés de la translation et de la symétrie centrale liées aux angles. - Les élèves doivent connaître les notions d’angles correspondants, d’angles alternes internes et d’angles alternes externes. - Les élèves doivent connaître les notions d’angles supplémentaires et d’angles complémentaires. - Les élèves doivent savoir reconnaître des angles alternes internes. - Les élèves doivent connaître les propriétés dans angles alternes internes. - Les élèves doivent savoir déterminer l’amplitude d’un angle dans un triangle en connaissant l’amplitude des deux autres angles. 3 Références bibliographiques. - Le nouvel Actimath : Edition Van in Auteurs : P. ANCIA ; P. DEWAELE ; N. DUQUESNE ; C. GRONDAL ; A. WANT ISBN : 978-90-306-4436-1 - Astromath : Edition Plantyn Auteurs : J.-M. DANEL G. DELCROIX M. DEMUYNCK C.-A. HUGO ISBN : 978-2-8010-5603-5 Matériel. a) Du maitre. Les feuilles élèves complétées, des craies et le tableau noir. b) De l’élève. Les feuilles élèves, un rapporteur et de quoi écrire. d) Documents distribués. Les feuilles élèves sont distribuées, elles se trouvent en annexe. 4 Plan de la leçon. a) La motivation. La motivation est l’exercice sur le pavage. Activité 1 Dans le pavage ci-dessous, les droites a, b, c et d sont parallèles, les droites e, f et g sont parallèles et les droites h et i sont parallèles ; colorie quelques angles qui ont la même amplitude que l’angle repéré ( D1 ). Comment est-il possible d’expliquer ces égalités d’amplitudes ? 5 c) Le corps de la leçon. 1ère heure Première étape. Dénomination. Unité de matière. Un pavage avec des triangles est proposé aux Les angles élèves, ils vont devoir trouver des angles de même amplitude. Objectif intermédiaire. Documents et matériels. Au terme de la leçon, l’élève sera capable d’identifier dans un pavage des angles qui ont la même amplitude qu’un angle repéré en utilisant le rapporteur si besoin. - De l’élève : les feuilles de cours, de quoi écrire et un rapporteur. - Du maître : les feuilles élèves complétées, le tableau noir et des craies. Niveau taxonomique. Exemples. Analyse. L’angle D1 étant l’angle repéré, un angle de même amplitude peut être l’angle A 1. Méthode. Le professeur laisse les élèves chercher eux-mêmes quels sont les angles qui ont la même amplitude que l’angle repéré sur le pavage. Questions posées. Réponses attendues. Cette étape est une recherche aucune question n’est Aucune. donc posée. Durée de l’étape. Tableau noir. 5 minutes. Rien n’est écrit au tableau noir. 6 Deuxième étape. Dénomination. Unité de matière. Après avoir identifié les angles de même Les angles. amplitude, les élèves vont essayer de justifier mathématiquement pourquoi ces angles ont la même amplitude. Objectif intermédiaire. Documents et matériels. Au terme de la leçon, l’élève sera capable de Rien de nouveau. justifier avec ses mots l’égalité d’amplitude de certains angles dans un pavage. Niveau taxonomique. Exemples. Compréhension. L’angle C1 peut être appliqué sur l’angle D1 par une translation de vecteur CD. Méthode. Le professeur demande aux élèves s’ils ont une idée pour justifier pourquoi certains angles ont la même amplitude que l’angle repéré. Questions posées. Réponses attendues ? - Vous venez de trouver plusieurs angles qui ont la - Par une transformation du plan. même amplitude, comment pouvez-vous expliquer cela ? S’ils ne trouvent pas, je les aide un petit peu. - Est-ce que vous ne voyez pas une transformation - Si, on peut appliquer les angles les uns sur les autres par une translation. du plan qui pourrait justifier certaines égalités ? - Oui une translation est correcte pour certains - Si, une rotation. angles, mais pas pour tous. N’y aurait-il pas une transformation du plan qui applique aussi certains angles sur l’angle repéré ? Durée de l’étape. Tableau noir. 5 minutes. Rien n’est écrit au tableau noir. 7 Troisième étape. Dénomination. Unité de matière. Les élèves vont devoir repérer sur une petite figure Les angles correspondants, alternes internes et des angles correspondants, des angles alternes alternes externes. internes et des angles alternes externes. Objectif intermédiaire. Documents et matériels. Au terme de la leçon, l’élève sera capable Rien de nouveau. d’identifier des angles remarquables grâce à leurs caractéristiques qui sont données. Niveau taxonomique. Exemples. Compréhension. Dénomination Angles ……… Conditions -Situés d’un même côté de la sécante. -L’un à l’intérieur et l’autre à l’extérieur des droites a et b. -Non adjacents. Paires d’angles ………… ………… ………… ………… Méthode. Le professeur a indiqué sur les feuilles élèves les caractéristiques des angles correspondants, alternes internes et alternes externes. Les élèves vont devoir chercher eux-mêmes quels sont les angles qui répondent aux conditions données. Réponses attendues. - Quelles sont les angles qui sont situés d’un même - A2 ; A4 ; B2 ; B4 ou A1 ; A3 ; B1 ; B3 Questions posées. côté de la sécante ? 8 - Parmi ces angles, pouvez-vous en citer deux qui - A2 et A4 ou A2 et B2 sont disposés de façon à ce qu’il y en a un à l’intérieur et l’autre à l’extérieur des droites a et b ? - Très bien, maintenant, la dernière condition est - A2 et B2 qu’il ne faut pas qu’ils soient adjacents. Quel est donc une des paires d’angles qui répond aux trois conditions ? Le même genre de question sera posé pour les angles alternes internes et alternes externes. Durée de l’étape. Tableau noir. 10 minutes. Au tableau noir se trouvera une représentation du tableau que les élèves doivent compléter. Dénomination Conditions Angles ………… Angles ………… Angles ………… Paires d’angles -Situés d’un même côté de la sécante. -L’un à l’intérieur et l’autre à l’extérieur des droites a et b. -Non adjacents. …………………… …………………… …………………… …………………… -Situés de part et d’autre de la sécante. -À l’intérieur des droites a et b. -Non adjacents. …………………… …………………… …………………… …………………… -Situés de part et d’autre de la sécante. -À l’extérieur des droites a et b. -Non adjacents. …………………… …………………… …………………… …………………… Quatrième étape. Dénomination. Unité de matière. Les élèves vont devoir justifier pourquoi des angles Les angles correspondants. correspondants ont la même amplitude. Objectif intermédiaire. Documents et matériels. Au terme de la leçon, l’élève sera capable de Rien de nouveau. justifier mathématiquement que des angles correspondants formés par deux droites parallèles coupées par une sécante ont la même amplitude. 9 Niveau taxonomique. Exemples. Compréhension. Les droites a et b étant parallèles, les angles Â1 et B̂ 1 sont des angles correspondants de mêmes amplitudes. Méthode. Le professeur propose aux élèves une représentation d’angles correspondants pour que les élèves puissent justifier pourquoi ils ont égaux. Questions posées. Réponses attendues. - Quelle est la transformation du plan la plus - Une translation de vecteur AB. caractéristique qui applique Â1 sur B̂ 1? - Quel invariant de cette transformation utilises-tu - La translation conserve l’amplitude des angles. pour prouver que | Â1| = | B̂ 1| ? Durée de l’étape. Tableau noir. 5 minutes. Rien n’est écrit au tableau, le professeur dicte aux élèves. Cinquième étape. Dénomination. Unité de matière. Les élèves vont devoir justifier pourquoi des angles Les angles alternes internes. alternes internes ont la même amplitude. Objectif intermédiaire. Documents et matériels. Au terme de la leçon, l’élève sera capable de Rien de nouveau. justifier mathématiquement que des angles alternes internes formés par deux droites parallèles coupées par une sécante ont la même amplitude. 10 Exemples. Niveau taxonomique. Compréhension. Les droites a et b étant parallèles, les angles Â3 et B̂ 2 sont des angles alternes internes de même amplitude. Méthode. Le professeur propose aux élèves une représentation d’angles alternes internes pour que les élèves puissent justifier pourquoi ils ont égaux. Réponses attendues. Questions posées. - Quelle est la transformation du plan la plus - Une symétrie centrale dont le centre est le milieu du segment [AB]. caractéristique qui applique Â3 sur B̂ 2 ? - Quel invariant de cette transformation utilises-tu - La symétrie centrale conserve l’amplitude des angles. pour prouver que | Â | = | B̂ | ? 3 2 Durée de l’étape. 5 minutes. Tableau noir. Rien n’est écrit au tableau, le professeur dicte aux élèves. Sixième étape. Dénomination. Unité de matière. Les élèves vont devoir justifier pourquoi des angles Les angles alternes externes. alternes externes ont la même amplitude. Objectif intermédiaire. Documents et matériels. Au terme de la leçon, l’élève sera capable de Rien de nouveau. justifier mathématiquement que des angles alternes externes formés par deux droites parallèles coupées par une sécante ont la même amplitude. 11 Niveau taxonomique. Exemples. Compréhension. Les droites a et b étant parallèles, les angles Â1 et B̂ 4 sont des angles alternes externes de même amplitude. Méthode. Le professeur propose aux élèves une représentation d’angles alternes externes pour que les élèves puissent justifier pourquoi ils ont égaux. Questions posées. Réponses attendues. - Quelle est la transformation du plan la plus - Une symétrie centrale dont le centre est le milieu du segment [AB]. caractéristique qui applique Â1 sur B̂ 4 ? - Quel invariant de cette transformation utilises-tu - La symétrie centrale conserve l’amplitude des angles. pour prouver que | Â1| = | B̂ 4| ? Durée de l’étape. Tableau noir. 5 minutes. Rien n’est écrit au tableau, le professeur dicte aux élèves. Septième étape. Dénomination. Unité de matière. Les élèves pourront expliquer que si une droite Les angles correspondants, alternes internes et coupe deux autres droites en formant soit des alternes externes. angles correspondants, soit des angles alternes internes, soit des angles alternes externes de même amplitude, alors ces deux droites sont parallèles. Objectif intermédiaire. Documents et matériels. Au terme de la leçon, l’élève sera capable de Rien de nouveau. justifier mathématiquement que si deux droites forment soit des angles correspondants, soit des angles alternes internes, soit des angles alternes externes de même amplitude, alors ces deux droites sont parallèles. 12 Niveau taxonomique. Exemples. Compréhension. Les angles Â1 et B̂ 1 étant des angles correspondants, s’ils ont la même amplitude alors les droites a et b sont parallèles. Méthode. Les élèves connaissant déjà les propriétés concernant les angles remarquables dans un sens, le professeur va poser des questions pour que les élèves remarquent que ces propriétés sont aussi vraies dans l’autre sens. Questions posées. Réponses attendues. - Comment sont les angles Â1 et B̂ 1 ? - Ce sont des angles correspondants. - Quand ont-ils la même amplitude ? - Quand les droites a et b sont parallèles. - Sachant qu’ils ont la même amplitude, que - Elles sont parallèles. pouvez-vous affirmer concernant les droites a et b? Durée de l’étape. Tableau noir. 10 minutes. Rien n’est écrit au tableau noir, les explications se font oralement. 2ème heure Première étape. Dénomination. L’élève saura prouver que deux angles aigus dont Unité de matière. les côtés sont parallèles deux à deux sont de même Angles à côtés parallèles deux à deux. amplitude. 13 Objectif intermédiaire. Au terme de la leçon, l’élève sera capable de justifier mathématiquement que deux angles dont les côtés sont parallèles deux à deux ont la même amplitude s’ils sont tous les deux aigus. Documents et matériels. - De l’élève : les feuilles de cours et de quoi écrire. - Du maître : les feuilles élèves complétées, le tableau noir et des craies. Niveau taxonomique. Analyse. Méthode. Le professeur propose une représentation d’angles dont les côtés sont parallèles deux à deux et il écrit sous la forme d’un texte lacunaire les différentes étapes à suivre pour réussir à prouver la propriété. Questions posées. Réponses attendues. - Comment sont les angles Â1 et B̂ 1 ? - Ce sont des angles correspondants. - Que pouvez-vous affirmer concernant l’amplitude - Ces deux angles ont la même amplitude. de ces angles ? - Comment sont les angles B̂ 1 et Ĉ 1 ? - Ce sont des angles correspondants. - Que pouvez-vous affirmer concernant l’amplitude - Ces deux angles ont la même amplitude. de ces angles ? - Que pouvez-vous conclure concernant les angles - Ils ont la même amplitude. Â1 et Ĉ 1 ? Tableau noir. Au tableau noir se trouvera une représentation de la situation. |Â1| = | B̂ 1| car ce sont des angles correspondants. | B̂ 1| = | Ĉ 1| car ce sont des angles correspondants. Durée de l’étape. => |Â1| = | Ĉ 1| 5 minutes. 14 Deuxième étape. Dénomination. Unité de matière. L’élève saura prouver qu’un angle aigu et un angle Angles à côtés parallèles deux à deux. obtus dont les côtés sont parallèles deux à deux sont supplémentaires. Objectif intermédiaire. Documents et matériels. Au terme de la leçon, l’élève sera capable de Rien de nouveau. justifier mathématiquement que deux angles dont les côtés sont parallèles deux à deux sont supplémentaires si l’un est aigu et l’autre obtus. Niveau taxonomique. Analyse. Méthode. Le professeur propose une représentation d’angles dont les côtés sont parallèles deux à deux et il écrit sous la forme d’un texte lacunaire les différentes étapes à suivre pour réussir à prouver la propriété. Questions posées. Réponses attendues ? - Comment sont les angles Â1 et B̂ 1 ? - Ce sont des angles correspondants. - Que pouvez-vous affirmer concernant l’amplitude - Ces deux angles ont la même amplitude. de ces angles ? - Comment sont les angles B̂ 1 et B̂ 2 ? - Ce sont des angles supplémentaires. - Comment sont donc les angles Â1 et B̂ 2 ? - Ils sont supplémentaires. Tableau noir. Au tableau noir se trouvera une représentation de la situation. |Â1| = | B̂ 1| car ce sont des angles correspondants. B̂ 1 et B̂ 2 sont des angles supplémentaires. => Â1 et B̂ 2 sont angles supplémentaires. Durée de l’étape. 5 minutes. 15 Troisième étape. Dénomination. Unité de matière. L’élève saura appliquer la théorie vue sur les Les angles remarquables. angles correspondants, les angles alternes internes, les angles alternes externes, les angles supplémentaires, les angles complémentaires et les angles opposés par le sommet Objectif intermédiaire. Documents et matériels. Au terme de la leçon, l’élève sera capable Rien de nouveau. d’identifier sur une construction géométrique une paire d’angles remarquables (angles correspondants, angles alternes internes, angles alternes externes, angles supplémentaires, angles complémentaires et angles opposés par le sommet). Niveau taxonomique. Application. Méthode. Exercices. Le professeur laisse travailler les élèves pendant quelques instants, ensuite il corrige oralement l’exercice. Si des élèves ont un problème, il refait un exemple au tableau noir de l’angle remarquable qui a posé des problèmes. Les angles B1 et ……. sont correspondants. Les angles C6 et ……. sont opposés par le sommet. Les angles C2 et ……. sont complémentaires. Les angles B2 et …… sont supplémentaires. Les angles C3 et ….... sont alternes externes. Les angles B3 et …… sont alternes internes. Réponses attendues. - Quel est l’angle qui forme avec l’angle B1 des - L’angle C6. Questions posées. angles correspondants ? - Quel est l’angle qui forme avec l’angle C6 des - L’angle C3. angles opposés par le sommet ? 16 - Quel est l’angle qui forme avec l’angle C2 des - L’angle C3. angles complémentaires ? - Quel est l’angle qui forme avec l’angle B2 des - L’angle B3. angles supplémentaires ? - Quel est l’angle qui forme avec l’angle C3 des - L’angle B1. angles alternes externes ? - Quel est l’angle qui forme avec l’angle B3 des - L’angle C6. angles alternes internes ? Durée de l’étape. Tableau noir. 5 minutes. Une représentation de la construction géométrique est faite ai tableau noir. Quatrième étape. Dénomination. Unité de matière. L’élève saura appliquer la théorie vue sur les Les angles remarquables. angles correspondants, les angles alternes internes, les angles alternes externes, les angles supplémentaires, les angles complémentaires et les angles opposés par le sommet Objectif intermédiaire. Documents et matériels. Au terme de la leçon, l’élève sera capable Rien de nouveau. d’identifier quels angles remarquables forment deux angles donnés dans une construction géométrique. Niveau taxonomique. Exercices. Application. Méthode. Le professeur laisse travailler les élèves pendant quelques instants, ensuite il corrige oralement l’exercice. Si des élèves ont un problème, il refait un exemple au tableau noir de l’angle remarquable qui a posé des problèmes. Les angles A3 et A2 sont ………………………….. Les angles E2 et E4 sont …………………………… Les angles D1 et B1 sont …………………………… Les angles F1 et F2 sont ……………………………. Les angles G2 et F1 sont …………………………… Les angles A3 et C3 sont …………………………… 17 Réponses attendues. Questions posées. - Comment sont les angles A3 et A2 ? - Comment sont les angles E2 et E4 ? - Comment sont les angles D1 et B1 ? - Comment sont les angles F1 et F2 ? - Comment sont les angles G2 et F1 ? - Comment sont les angles A3 et C3 ? - Ce sont des angles complémentaires. - Ce sont des angles opposés par le sommet. - Ce sont des angles alternes internes. - Ce sont des angles supplémentaires. - Ce sont des angles alternes externes. Durée de l’étape. 5 minutes. - Ce sont des angles alternes internes. Tableau noir. Une représentation de la construction géométrique est faite ai tableau noir. Cinquième étape. Dénomination. Unité de matière. Les élèves vont utiliser les propriétés sur les angles - Les angles remarquables. remarquables pour résoudre des exercices simples. Objectif intermédiaire. Documents et matériels. Au terme de la leçon, l’élève sera capable de Rien de nouveau. résoudre des exercices simples dans lesquels il doit trouver l’amplitude d’un angle sur une construction géométrique en utilisant les propriétés des angles remarquables. Niveau taxonomique. Application. Méthode. Exercices. Le professeur laisse travailler les élèves individuellement, la correction se fera ensuite au 3. Sans mesurer, trouve l’amplitude de l’angle demandé. tableau noir. Justifie. a) a//b | A 1| = 40° | B 1| = ? 18 b) a//b | A 1| = 130° c) [AC // [BF Questions posées. Exercice a. - Que vaut l’amplitude de l’angle B 1 ? | B 1| = ? [AD // [BE | A| = 53° | B| = ? d) [AB ⊥ [AC | A2 | = 30° e) A ∈ d | A2 | = 45° | A 1| = ? | A 1| = ? Réponses attendues. Exercice a. - 40° ? - Pourquoi ? - Parce que les angles A 1 et B1 étant formés par deux droites parallèles coupées par une sécante, ils forment des angles correspondants de même amplitude. Exercice b. - Que vaut l’amplitude de l’angle B 1 ? Exercice b. - 130° car les angles A 1 et B 1 étant formés par deux droites parallèles coupées par une sécante, ils forment des angles alternes externes de même amplitude. 19 Exercice c. - Que vaut l’amplitude de l’angle B ? Exercice c. - 53° car les angles B ont leurs côtés parallèles deux à deux. Exercice d. - Que vaut l’amplitude de l’angle A 1 ? Exercice d. Exercice e. - Que vaut l’amplitude l’angle A 1 ? - 60° car les angles A 1 et A2 sont des angles complémentaires. Exercice e. - 135° car les angles A 1 et A2 sont des angles supplémentaires. Durée de l’étape. Tableau noir. 15 minutes. Au tableau noir se trouvera la correction des exercices que les élèves n’auront pas compris. Sixième étape. Dénomination. Unité de matière. Les élèves vont utiliser les propriétés sur les angles Les angles remarquables. remarquables pour résoudre des exercices complexes. Objectif intermédiaire. Documents et matériels. Au terme de la leçon, l’élève sera capable de Rien de nouveau. résoudre des exercices complexes dans lesquels il doit trouver l’amplitude d’un angle sur une construction géométrique en utilisant les propriétés des angles remarquables. Niveau taxonomique. Application. Méthode. Le professeur laisse travailler les élèves Exercices. individuellement, la correction se fera ensuite au 4. Détermine l’amplitude de l’angle B1 en connaissant tableau noir. celle de l’angle D1 . a) a // b | D1 | = 120° 20 Questions posées. b) a // b | D1 | = 80° c) a // b c // d | D1 | = 50° Réponses attendues. Exercice a. Exercice a. - Est-ce que l’on sait déterminer directement quelle - Non. est l’amplitude de l’angle B1 ? - Comment pourrait-on procéder ? - On pourrait calculer l’amplitude du supplément de D1 . - Et que vaut cet angle ? - 60° - Et maintenant … - Cet angle et l’angle B1 sont des angles correspondants, et comme ils sont formés par deux droites parallèles et une sécante, ils ont la même amplitude. - Quelle est donc l’amplitude de l’angle B1 ? - 60°. Exercice b. - Comment pourrait-on procéder dans ce cas ? Exercice b. - On pourrait calculer l’amplitude du supplément de l’angle B1. - Pourquoi ? - Parce que le supplément de l’angle B1 et l’angle D1 forment des angles de même amplitude. 21 - Quelle est donc l’amplitude du supplément de - 80°. l’angle B1 ? - Et finalement quelle est l’amplitude de l’angle B1 ? - 100°. Exercice c. Exercice c. - Quelle est l’amplitude de l’angle B1 ? - 50°. - Pourquoi ? - Parce que ces deux angles sont des angles à côtés parallèles et donc ils ont la même amplitude. Durée de l’étape. Tableau noir. 15 minutes. Au tableau noir se trouvera la correction des exercices que les élèves n’auront pas compris. 3ème heure Première étape. Dénomination. Unité de matière. Nous allons démonter que la somme des Somme des amplitudes des angles dans un triangle. amplitudes des angles dans un triangle est de 180°. Pour commencer la démonstration, les élèves vont devoir indiquer les données. Objectif intermédiaire. Documents et matériels. Au terme de la leçon, l’élève sera capable - De l’élève : les feuilles de cours et de quoi écrire. d’exprimer les données d’une démonstration en le - Du maître : les feuilles élèves complétées, le faisant pour la démonstration de la somme des tableau noir et des craies. amplitudes des angles dans un triangle. Niveau taxonomique. Analyse. Exemples. Le pavage proposé aux élèves. 22 Méthode. Un pavage est proposé aux élèves, ils vont d’abord remarquer que la somme des amplitudes des angles dans un triangle est bien de 180°. Ensuite ils vont devoir rechercher les données pour commencer la démonstration. Questions posées. Réponses attendues. - Comment peut-on voir que la somme des - Les trois angles du triangle ABC forme un angle amplitudes des angles dans un triangle est bien de plat dans le pavage. 180° ? - Très bien, nous allons maintenant commencer la - ABC est un triangle quelconque. démonstration. Tout d’abord quelles sont les données, c'est-à-dire ce que nous connaissons ? - Ensuite quels sont les trois angles intérieurs du triangle ABC ? - A, B et C - Très bien, mais nous allons juste noter A1 à la place de l’angle A pour avoir plus facile pour la suite. Durée de l’étape. Tableau noir. 5 minutes. Au tableau noir se trouveront les données de la démonstration. Données : - ABC triangle quelconque. -A1, B et C angles intérieurs du triangle ABC. Deuxième étape. Dénomination. Après avoir trouvé les données, les élèves vont maintenant exprimer la thèse de la démonstration. Objectif intermédiaire. Unité de matière. Au terme de la leçon, l’élève sera capable Somme des amplitudes des angles dans un triangle. d’exprimer la thèse d’une démonstration en le faisant pour la démonstration de la somme des amplitudes des angles dans un triangle. Niveau taxonomique. Documents et matériels. Analyse. Rien de nouveau. 23 Méthode. Le professeur propose une représentation d’angles dont les côtés sont parallèles deux à deux et il écrit sous la forme d’un texte lacunaire les différentes étapes à suivre pour réussir à prouver la propriété. Questions posées. Réponses attendues ? - Est-ce que vous savez ce que le mot « thèse » » signifie ? - Non. - C’est en fait ce que nous voulons prouver, et que - Que la somme des amplitudes des angles dans un veut-on prouver ? triangle vaut 180°. - Comment pourrait-on exprimer cela avec les - |A1| + |B| + |C| = 180° données que nous avons citées ? Durée de l’étape. 5 minutes. Tableau noir. Au tableau noir se trouvera la thèse de la démonstration. Thèse : |A1| + |B| + |C| = 180° Troisième étape. Dénomination. Unité de matière. Maintenant que les données et la thèse de la Somme des amplitudes des angles dans un triangle. démonstration sont écrites, nous allons passer à la démonstration en elle-même. Objectif intermédiaire. Documents et matériels. Au terme de la leçon, l’élève sera capable Rien de nouveau. d’expliquer pourquoi la somme des amplitudes dans un triangle est de 180° en faisant la démonstration. Niveau taxonomique. Analyse. 24 Méthode. Exemple. Le professeur laisse chercher les élèves individuellement. Les élèves vont avoir beaucoup Démonstration : de temps étant donné que c’est la première démonstration qu’ils effectuent. Ensuite le professeur va faire la démonstration au tableau noir avec els élèves. Astuce : - Par A, mène la parallèle à la droite BC. - Utilise ensuite les angles remarquables. Questions posées. Réponses attendues. - Quelle est la première chose à faire ? - Tracer la parallèle a à la droite BC qui passe par A. - Deux nouveaux angles apparaissent, nous allons - A2 et C forment des angles alternes internes. les noter A2 et A3. Que pouvez-vous dire de l’angle A2 ? - Comment sont leurs amplitudes ? - Ils ont la même amplitude. - Ensuite que pouvez-vous dire de l’angle A3 ? - A3 et B forment aussi des angles alternes internes. - Comment est donc leurs amplitudes ? - Ils ont la même amplitude. - Les angles A1 + A2 + A3 forment quel type - Un angle plat. d’angle ? - Comment pouvons-nous écrire cela sous forme - |A1| + |A2| + |A3| = 180° d’équation ? - Et dans cette équation que peut-on remplacer ? - Pourquoi ? - Et ensuite ? - |A3| par |B| - Ces deux angles ont la même amplitude. - |A2| par |C| pour la même raison. - Comment peut-on maintenant réécrire cette - |A1| + |C| + |B| = 180° équation ? 25 - Et cette équation est la même que quoi ? - Que notre thèse. - Effectivement, donc nous avons bien réussi à - 180° prouver notre thèse, donc la somme des amplitudes des angles dans un triangle est de combien ? Durée de l’étape. Tableau noir. 20 minutes. La démonstration sera effectuée au tableau noir. |A1| + |A2| + |A3| = 180° (1) A2 et C forment des angles alternes internes. → |A2| = |C| (2) A3 et B forment des angles alternes internes. → |A3| = |B| (3) (1) devient par (2) et par (3) : |A1| + |C| + |B| = 180° La somme des amplitudes des trois angles intérieurs du triangle ABC est bien de 180°. Quatrième étape. Dénomination. Unité de matière. Après avoir fait la démonstration, des exercices Somme des amplitudes des angles dans un triangle. sont maintenant proposés aux élèves. Objectif intermédiaire. Documents et matériels. Au terme de la leçon, l’élève sera capable de Rien de nouveau. déterminer l’amplitude d’un angle dans un triangle en ayant des renseignements sur les deux autres angles ou sur les côtés du triangle. 26 Niveau taxonomique. Application. Méthode. Exercices. 5 minutes sont laissées aux élèves afin qu’ils effectuent les exercices, ensuite la correction se fera au tableau noir. Questions posées. Réponses attendues. Aucune question n’est posée, les élèves résolvent Aucune réponse. les exercices et ensuite ils sont envoyés au tableau noir pour la correction. Durée de l’étape. Tableau noir. 10 minutes. Au tableau noir se trouvera la correction des exercices. 27 Cinquième étape. Dénomination. Unité de matière. Quelques cas particuliers de triangles sont proposés Propriétés des angles de triangles particuliers. aux élèves, ils vont découvrir plusieurs propriétés. Objectif intermédiaire. Documents et matériels. Au terme de la leçon, l’élève sera capable de citer Rien de nouveau. quelques propriétés liées aux angles de triangles particuliers (triangle isocèle, triangle équilatéral et triangle rectangle isocèle). Niveau taxonomique. Synthèse. 28 Méthode. Exemple. Le professeur laisse un peu de temps aux élèves Le tableau reprenant les propriétés. pour essayer de compléter le tableau. Ensuite la correction se fera oralement. Les angles à la base d’un triangle isocèle ont la même amplitude. ABC triangle isocèle en A => ………… Les angles d’un triangle équilatéral ont la même amplitude : 60°. ABC triangle équilatéral => …………… Les angles d’un triangle rectangle isocèle ont toujours pour amplitudes : 90°, 45° et 45°. ABC triangle rectangle en A | A| = …… |B| = |C| = Questions posées. isocèle …… Réponses attendues. - Si un triangle est isocèle, comment sont les angles - Ils ont la même amplitude. à la base ? - Sur le dessin, à quoi cela correspond-il ? - |C| = |B| - Ensuite, si le triangle est maintenant équilatéral, - Tous les angles auront la même amplitude. comment seront l’amplitude de chacun des angles ? - Et de combien sera-t-elle ? - 60°. Durée de l’étape. Tableau noir. 15 minutes. Rien n’est écrit au tableau, cette étape se fait oralement. 29 d) Feuilles élèves. Les angles remarquables Différents types d’angles. 1) Introduction. Activité 1 Dans le pavage ci-dessous, les droites a, b, c et d sont parallèles, les droites e, f et g sont parallèles et les droites h et i sont parallèles ; colorie quelques angles qui ont la même amplitude que l’angle repéré (D1). Comment est-il possible d’expliquer ces égalités d’amplitudes ? e h d f c g b i a ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… 30 Activité 2 La sécante s coupe les droites a et b respectivement en A et en B. Cette sécante forme deux groupes de quatre angles respectivement de sommets A et B. Pour chaque dénomination, repère les paires d’angles qui satisfont les conditions énoncées. Dénomination Conditions Paires d’angles Angles ……………… o Situés d’un même côté de la sécante. o L’un à l’intérieur et l’autre à l’extérieur des droites a et b. o Non adjacents. ……………………….. ……………………….. ……………………….. ……………………….. Angles ……………… o Situés de part et d’autre de la sécante. o À l’intérieur des droites a et b. o Non adjacents. ……………………….. ……………………….. ……………………….. ……………………….. Angles ……………… o Situés de part et d’autre de la sécante. o À l’extérieur des droites a et b. o Non adjacents. ……………………….. ……………………….. ……………………….. ……………………….. 31 2) Propriétés des angles remarquables. a) Quelle est la transformation du plan (+ caractéristique) qui applique Â1 sur B̂ 1? ……………………………………………………………………… Quel invariant de cette transformation utilises-tu pour prouver que | Â1| = | B̂ 1| ? ………………………………………………….…………………… Deux parallèles coupées par une sécante déterminent des angles correspondants de même amplitude. b) Quelle est la transformation du plan (+ caractéristique) qui applique Â3 sur B̂ 2 ? ……………………………………………………………………… Quel invariant de cette transformation utilises-tu pour prouver que | Â3| = | B̂ 2| ? ……………………………………………………………………… Deux parallèles coupées par une sécante déterminent des angles alternes internes de même amplitude. c) Quelle est la transformation du plan (+caractéristique) qui applique Â1 sur B̂ 4 ? ……………………………………………………………………… Quel invariant de cette transformation utilises-tu pour prouver que | Â1| = | B̂ 4| ? ……………………………………………………………………… Deux parallèles coupées par une sécante déterminent des angles alternes externes de même amplitude. d) Si une sécante s détermine avec deux droites a et b - Soit deux angles correspondants de même amplitude - Soit deux angles alternes-internes de même amplitude - Soit deux angles alternes-externes de même amplitude alors, ces deux droites a et b sont parallèles 32 3) Angles à côtés parallèles deux à deux. a // b et c // d et | Â| = 65° 1) Comparons Ĉ 1 et Â1 . a) Â1 et B̂ 1 sont des angles ….…………………..…….. , donc | B̂ 1| = ……… b) B̂ 1 et Ĉ 1 sont des angles …...……….....………........ , donc | Ĉ 1| = ……… c) | Â1| et | Ĉ 1| ont donc ……………………………………………….…... Ce sont deux angles aigus dont les côtés sont …………………………………. 2) Comparons Â1 et B̂ 2 . a) Â1 et B̂ 1 sont des angles ……….……………..…….. , donc | B̂ 1| = ……... b) B̂ 1 et B̂ 2 sont des angles …………………………..... , donc | B̂ 2|= ……... c) Â1 et B̂ 2 sont donc des angles …………………………………………... Ce sont deux angles dont les côtés sont ……………………………………… Â1 étant aigu et B̂ 2 obtus. Conclusion. Deux angles qui ont leurs côtés parallèles deux à deux : • ont …………………………………………… s’ils sont aigus (ou obtus). • sont …………………………………………... si l’un est aigu et l’autre obtus. 33 4) Exercices. 1. En observant la figure ci-dessous, complète les phrases. Les angles B1 et ……. sont correspondants. Les angles C6 et ……. sont opposés par le sommet. Les angles C2 et ……. sont complémentaires. Les angles B2 et …… sont supplémentaires. Les angles C3 et ….... sont alternes externes. Les angles B3 et …… sont alternes internes. 2. Dans le parallélogramme ABCD de centre E, on a tracé [AF] ⊥ [AB] et [CG] ⊥ [CD]. Les angles A3 et A2 sont ……………………………………………………….. Les angles E2 et E4 sont ………………………………………………………… Les angles D1 et B1 sont ………………………………………………………… Les angles F1 et F2 sont ………………………………………………………… Les angles G2 et F1 sont ……………………………………………………….... Les angles A3 et C3 sont ………………………………………………………… 34 3. Sans mesurer, trouve l’amplitude de l’angle demandé. Justifie. a) a//b |A1| = 40° |B 1 | = ? …………………………………… …………………………………… …………………………………… …………………………………… …………………………………… b) a//b | A1| = 130° |B1| = ? …………………………………… …………………………………… …………………………………… …………………………………… …………………………………… c) [AC // [BF [AD // [BE |A| = 53° |B| = ? …………………………………… …………………………………… …………………………………… …………………………………… …………………………………… d) [AB ⊥ [AC |A2| = 30° | A 1| = ? …………………………………… …………………………………… …………………………………… …………………………………… …………………………………… e) A ∈ d |A2| = 45° | A 1| = ? …………………………………… …………………………………… …………………………………… …………………………………… …………………………………… 35 4. Détermine l’amplitude de l’angle B1 en connaissant celle de l’angle D1. a) a // b |D1| = 120° …………………………………… …………………………………… …………………………………… …………………………………… …………………………………… b) a // b |D1| = 80° …………………………………… …………………………………… …………………………………… …………………………………… …………………………………… c) a // b c // d |D1| = 50° …………………………………… …………………………………… …………………………………… …………………………………… …………………………………… 36 Angles d’un triangle. 1) Somme des amplitudes des angles intérieurs d’un triangle. Tu sais peut être que dans un triangle, la somme des amplitudes des angles vaut 180°. Montre dans ce pavage ci-dessous que les trois angles du triangle ABC peuvent former un angle plat. Démontre cette propriété. Données. ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… Thèses. ……………………………………………………………………………… Démonstration : Astuce : - Par A, mène la parallèle à la droite BC. - Utilise ensuite les angles remarquables. ……………………………………………………………………………. ………………………………………..…………………………………… …………………………………………………………..………………… ……..……………………………………………………………………… …………..………………………………..……………………………….. 37 2) Exercices. Calcul l’amplitude des angles de ces triangles. |A| = …… |B| = …… |C| = …… |A| = …… |B| = …… |C| = …… |D| = …… |E| = …… |F| = …… |G| = …… |H| = …… |I| = …….. |J| = …… |K| = …… |L| = …… |M| = ……. |N| = ……. |O| = ……. 38 3) Propriétés des angles de triangles particuliers. Les angles à la base d’un triangle isocèle ont la même amplitude. ABC triangle isocèle en A => ………… Les angles d’un triangle équilatéral ont la même amplitude : 60°. ABC triangle équilatéral => ……………. Les angles d’un triangle rectangle isocèle ont toujours pour amplitudes : 90°, 45° et 45°. ABC triangle isocèle rectangle en A |A| = …… |B| = |C| = …… 39 4 Exercices. a) En utilisant les renseignements fournis par le dessin, détermine l’amplitude de l’angleB1. Explique tout ton raisonnement. ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… b) Sachant que a // b et en utilisant les renseignements fournis par le dessin, détermine l’amplitude de l’angleA1. Explique tout ton raisonnement. ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… 40
